《万能大师莱布尼兹》课件1-优质公开课-人教B版选修3-1精品
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人教版B版高中数学选修3-1(B版)我将撬动地球
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阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的 面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何 体的表面积和体积的计算方法。在推演这些 公式的过程中，他进一步发展了欧多克斯发 明的“穷竭法”，即用内接和外切的直边图 形不断地逼近曲边形以用来解决曲面面积问 题，即我们今天所说的逐步近似求极限的方 法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用 圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积 逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率。
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《抛物线求积法》，研究了曲线图形求积的 问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任 何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形 （即抛物线），其面积都是其同底同高的三 角形面积的三分之四。”他还用力学权重方 法再次验证这个结论，使数学与力学成功地 结合起来。 《平面的平衡》，是关于力学的最早的科学 论著，讲的是确定平面图形和例题图形的重 心问题。
谢 谢！
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当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使 用一些简单机械，譬如：螺丝、滑车、杠杆、 齿轮等，阿基米德花了许多时间去研究，发 现了“杠杆原理”和“力矩”的观念，对于 经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将 理论运用到实际的生活上是轻而易举的。他 自己曾说：“给我一个支点和一根足够长的 杠杆，我就能撬动整个地球。”
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阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多 为希腊文手稿。他的著作集中探讨了求积问 题，主要是曲边图形的面积和曲面立方体的 体积，其体例深受欧几里德《几何原本》的 影响，先设立若干定义和假设，再依次证明。
作为数学家，他写出了《论球和圆柱》、 《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺 线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》数 学著作。作为力学家，他著有《论图形的平 衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《原理》 等力学著作。
人教版高中数学选修3-1第五讲 微积分的诞生 第三节 莱布尼茨的“微积分”
优先权的争议
1684年，莱布尼茨的第一篇微积分论 文刚一发表，便在英国境内掀起了一场轩 然大波.因为英国有不少数学家都知道牛顿 已完成了微积分的创建工作，而莱布尼茨 却抢先发表了这方面的成果.他们认为，莱 布尼茨可能剽窃了牛顿的成果.于是他们向 莱布尼兹发起了猛烈的攻击.
欧洲其他国家一些了解莱布尼茨工作 细节的数学家们站出来，与英国数学家针 锋相对，坚决维护莱布尼茨的利益.这场有 关微积分优先发明权的争议持续了几十年， 以致于使英国数学家与欧洲大陆数学界的 思想交流隔绝了半个多世纪.
莱布尼茨（G.W.
Leibniz，1646.7.1.— 1716.11.14.）德国自然科
学家、数学家、物理学 家、历史学家和哲学家， 一个举世罕见的科学天 才，和牛顿同为微积分 的创建人.
教学目标
知识与能力
• 了解莱布尼茨的一生.
• 知道莱布尼茨也是微积分学的创立者.
• 理解微积分的诞生——人类精神的最高
莱布尼兹与微积分
1672年，莱布尼茨作为 一名外交官出使巴黎，在巴黎 居留期间开始了自己的学术生 涯.在那里，他结识了大量的 数学家和科学家，特别是与惠 更斯的交往，激起他对数学的 浓厚兴趣.特别是有关微积分 的先驱性工作更是令他心驰神 往.
1673年左右，莱布尼茨看到了求曲线的 切线的正问题和反问题的重要性，他也完全 相信，反方法等价于通过求和来求面积和体 积.这一认识正是发明微积分的关键.从1673年 到1678年，莱布尼兹已完成了创建微积分学 的主要工作，于1684年开始发表有关微积分 方面的学术论文.
第5讲 微积分的诞生
——人类精神的最高胜利
回顾旧知
回 忆
上节课我们讲了科学巨 人牛顿的工作，那么牛顿 的主要贡献都有哪些呢?
2020人教版高二数学选修3-1(B版)电子课本课件【全册】
第一章 灿烂的古希腊数学
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Байду номын сангаас
0002页 0004页 0006页 0030页 0050页 0074页 0076页 0130页 0132页 0182页 0184页 0208页 0232页 0234页 0236页 0238页 0240页
第一章 灿烂的古希腊数学 1.2 几何学无王者之路 阅读与欣赏 2.2 ”韩信点兵“与中国剩余定理 阅读与欣赏 3.2 青年数学家阿贝尔和伽罗瓦 3.4 对称的数学 第四章 数与形的完美结合——解析几何的产生 4.1 4.3 业余数学大师 第五章 运动与变化的数学——微积分诞生记 5.1 5.3 万能大师 阅读与欣赏 6.2 数学王子高斯 7.2 新奇的非欧几何世界 7.4 从假设到现实——非欧几何的意义 8.2 伯努利家族的贡献 第九章 中国现代数学两巨星 9.1 传奇数学家——华
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人教版高二数学选修3－1(B版)电 子课本课件【全册】目录
0002页 0004页 0006页 0008页 0042页 0083页 0085页 0158页 0160页 0201页 0242页 0283页 0302页 0304页 0306页 0308页 0310页
第一章 灿烂的古希腊数学 1.2 几何学无王者之路 阅读与欣赏 2.2 ”韩信点兵“与中国剩余定理 阅读与欣赏 3.2 青年数学家阿贝尔和伽罗瓦 3.4 对称的数学 第四章 数与形的完美结合——解析几何的产生 4.1 4.3 业余数学大师 第五章 运动与变化的数学——微积分诞生记 5.1 5.3 万能大师 阅读与欣赏 6.2 数学王子高斯 7.2 新奇的非欧几何世界 7.4 从假设到现实——非欧几何的意义 8.2 伯努利家族的贡献 第九章 中国现代数学两巨星 9.1 传奇数学家——华
第一章 灿烂的古希腊数学
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第一章 灿烂的古希腊数学 1.2 几何学无王者之路 阅读与欣赏 2.2 ”韩信点兵“与中国剩余定理 阅读与欣赏 3.2 青年数学家阿贝尔和伽罗瓦 3.4 对称的数学 第四章 数与形的完美结合——解析几何的产生 4.1 4.3 业余数学大师 第五章 运动与变化的数学——微积分诞生记 5.1 5.3 万能大师 阅读与欣赏 6.2 数学王子高斯 7.2 新奇的非欧几何世界 7.4 从假设到现实——非欧几何的意义 8.2 伯努利家族的贡献 第九章 中国现代数学两巨星 9.1 传奇数学家——华
第一章 灿烂的古希腊数学
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4 定积分概念及牛顿莱布尼茨公式[优质PPT]
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f
( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式的几何解释：在区间[a, b]上至少存在一
y
个点 ，使得以区间[a,b]为
n
n
A Ai f (i )xi
i1
i1
4) 取极限. 当分割无限加细时，
则曲边梯形面积
n
A
lim
0
i1
Ai
n
lim
0
i1
f
( i
)xi
y o a x1 xi1 xi
i
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动, 已知速度
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
0
0
解 令 f (x) ex, g(x) x, x [2, 0]
当x[2,0]时，f (x) g(x)
0
2
f
(x)dx
0
2
g ( x)dx,
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质5（估值性质）
设M 及m 分别是函数
第二换元积分法：(根式换元、三角换元）
(1) a2 x2 令x asin t; (2) a2 x2 令x a tant; (3) x2 a2 令x asec t.
5.万能大师-人教B版选修3-1数学史选讲教案
5.万能大师-人教B版选修3-1 数学史选讲教案一、教学目标1.了解数学史中重要的人物和事件；2.深化学生对数学思想和方法的理解，加深对数学基本概念和术语的认识；3.提高学生的数学素养和数学思维能力；4.培养学生对数学的兴趣和热爱。
二、教学内容•数学史的基本概念；•古希腊数学史；•古代中国数学史；•文艺复兴数学史；•非洲数学史。
三、教学重点1.了解古希腊数学史中的数学家和他们的主要贡献；2.了解古代中国数学史中的数学家和他们的主要贡献；3.了解文艺复兴数学史的关键事件和数学家的贡献；4.了解非洲数学史中的数学家和他们的主要贡献。
四、教学方法1.讲授法；2.课堂讨论法；3.信息搜集法；4.图示展示法。
五、教学流程第一节：数学史的基本概念1.引入：在数学的学习过程中，我们不仅要了解现代数学的发展，还要了解数学史的发展过程，这将有助于我们更好地理解数学的思想和方法。
2.定义：介绍数学史的基本概念，“数学史”指的是数学学科在不同历史阶段的发展历程，包括数学概念、数学方法、数学思想的形成和演变等方面的内容。
3.课堂讨论：请同学们围绕数学史的意义和重要性进行讨论。
第二节：古希腊数学史1.引入：古希腊是数学史上非常重要的阶段，我们将主要介绍古希腊数学史中的数学家和他们的主要贡献。
2.讲授：讲授数学家毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德和希帕索斯等数学家的主要贡献，包括平面几何、球面几何、立体几何、无理数、测量等方面的内容。
3.课堂讨论：请同学们就古希腊数学史的发展对欧几里得几何进行讨论。
第三节：古代中国数学史1.引入：古代中国数学史中也有很多的数学家和他们的主要贡献，让我们一起来了解他们吧。
2.讲授：讲授数学家张丘建、刘徽、秦九韶、李冶等数学家的主要贡献，包括天元术、高次方程、割补法、求圆周率等方面的内容。
3.课堂讨论：请同学们就中国古代数学的特点进行讨论。
第四节：文艺复兴数学史1.引入：文艺复兴时期是欧洲文化重要的历史阶段，数学的发展也非常迅速，我们将介绍文艺复兴数学史的关键事件和数学家的贡献。
人教版B版高中数学选修3-1(B版)万能大师
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1665年，莱布尼茨向莱比锡大学提交了博士 论文《论身份》，1666年，审查委员会以他 太年轻而拒绝授予他法学博士学位，黑格尔 认为，这可能是由于莱布尼茨哲学见解太多， 审查论文的教授们看到他大力研究哲学，心 里很不乐意。他对此很气愤，于是毅然离开 莱比锡，前往纽伦堡附近的阿尔特多夫大学， 并立即向学校提交了早已准备好的那篇博士 论文，1667年2月，阿尔特多夫大学授予他 法学博士学位，还聘请他为法学教授。
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戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646年-1716年) 德国数学家。第一个公开微积分方法的人，并 且符号被主流应用，而牛顿是确认早于莱布尼 茨使用微积分的。中年后莱布尼茨健康出现问
题，智力退化严重,初步 估计一次剧烈的健康下滑 产生于莱布尼茨去往意大 利后，死于70岁。死后 第一时间由好友，莱布尼 茨所敬重的法国高人伯. 方特纳尔撰写生平。
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1673年1月，为了促使英国与荷兰之间的和 解，他前往伦敦进行斡旋未果。他却趁这个 机会与英国学术界知名学者建立了联系。他 见到了与之通信达三年的英国皇家学会秘书、 数学家奥登伯以及物理学家胡克、化学家波 义耳等人。1673年3月莱布尼茨回到巴黎，4 月即被推荐为英国皇家学会会员。这一时期， 他的兴趣越来越明显地表现在数学和自然科 学方面。
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在繁忙的公务之余，莱布尼茨广泛地研究哲 学和各种科学、技术问题，从事多方面的学 术文化和社会政治活动。不久，他就成了宫 廷议员，在社会上开始声名显赫，生活也由 此而富裕。1682年，莱布尼茨与门克创办了 近代科学史上卓有影响的拉丁文科学杂志 《学术纪事》（又称《教师学报》），他的 数学、哲学文章大都刊登在该杂志上；这时， 他的哲学思想也逐渐走向成熟。
牛顿莱布尼茨公式课件
则
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
a
0
2若f (x)为奇函数, 则 a f (x)dx 0. a
定理2 设函数f (x)为周期为T的连续函数,
则
aT
T
a f (x)dx 0 f (x)dx.
以上两个定理可以作为性质用.
例9
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
三、定积分计算方法
（一）Newton Leibniz公式
b a
f
(x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)
b a
(1)求原函数(即不定积分);
(2)计算F(b) F(a).
例1.计算 1 1 x2 dx.(参照第一节例26) 0
y
( x)
oa
x x x b x
定理1 设函数在区间[a , b]上连续 , 则
(x) x f (t)dt在区间[a , b]上可导,且 a x (x) (a f (t)dt) f (x).
定理2 设函数f (x)在区间[a , b]上连续 ,
则
x
(b]上的一个原函数.
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
莱布尼茨与微积分PPT课件
然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀 起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的 研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于 牛顿。
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二、二进制
关于莱布尼茨的二进
制与中国的八卦图的关系，
有许多的考证，但是对于
莱布尼茨是受到八卦图的
影响而发明二进制还是单
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
独发明二进制，迄今似乎
也没有定论。
“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口， 他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰 富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
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中西文化交 流之倡导者
莱布尼茨对中国的科学、 文化和哲学思想十分关注，他 是最早研究中国文化和中国哲 学的德国人。他向耶稣会来华 传教士格里马尔迪了解到了许 多有关中国的情况，包括养蚕 纺织、造纸印染、冶金矿产、 天文地理、数学文字等等，并 将这些资料编辑成册出版。他 认为中西相互之间应建立一种 交流认识的新型关系。
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二、智者的奋斗史
(一)、少年天才
从幼年时代起，莱布尼茨就明显展露出 一颗灿烂的思想明星的迹象。他13岁时就像 其他孩子读小说一样轻松地阅读经院学者的 艰深的论文了。
他提出无穷小的微积分算法，并且他发 表自己的成果比伊萨克·牛顿爵士将它的手 稿付梓早三年，而后者宣称自己第一个做出 了这项发现。
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三、思想观点
（二）、《单子论》
全文共 90节，大体可分为两部分：1～48节 主要论述一切实体的本性，包括实体应是构成复 合物的最后单位，本身没有部分，是单纯的东西， 即精神性的单子；实体本身应具有内在的能动原 则等等。49～90节主要论述实体间的关系，包括 前定和谐及这个世界是“一切可能的世界中最好 的世界”的学说等等。莱布尼兹的单子论是一个 客观唯心主义的体系，有向宗教神学妥协的倾向， 但也包含一些合理的辩证法因素，如万物自己运 动的思想等。
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二、二进制
关于莱布尼茨的二进
制与中国的八卦图的关系，
有许多的考证，但是对于
莱布尼茨是受到八卦图的
影响而发明二进制还是单
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
独发明二进制，迄今似乎
也没有定论。
“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口， 他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰 富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
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中西文化交 流之倡导者
莱布尼茨对中国的科学、 文化和哲学思想十分关注，他 是最早研究中国文化和中国哲 学的德国人。他向耶稣会来华 传教士格里马尔迪了解到了许 多有关中国的情况，包括养蚕 纺织、造纸印染、冶金矿产、 天文地理、数学文字等等，并 将这些资料编辑成册出版。他 认为中西相互之间应建立一种 交流认识的新型关系。
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二、智者的奋斗史
(一)、少年天才
从幼年时代起，莱布尼茨就明显展露出 一颗灿烂的思想明星的迹象。他13岁时就像 其他孩子读小说一样轻松地阅读经院学者的 艰深的论文了。
他提出无穷小的微积分算法，并且他发 表自己的成果比伊萨克·牛顿爵士将它的手 稿付梓早三年，而后者宣称自己第一个做出 了这项发现。
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三、思想观点
（二）、《单子论》
全文共 90节，大体可分为两部分：1～48节 主要论述一切实体的本性，包括实体应是构成复 合物的最后单位，本身没有部分，是单纯的东西， 即精神性的单子；实体本身应具有内在的能动原 则等等。49～90节主要论述实体间的关系，包括 前定和谐及这个世界是“一切可能的世界中最好 的世界”的学说等等。莱布尼兹的单子论是一个 客观唯心主义的体系，有向宗教神学妥协的倾向， 但也包含一些合理的辩证法因素，如万物自己运 动的思想等。
人教A版高中数学选修3-1-5.3-莱布尼茨的“微积分”-课件(共18张PPT)
➢ 1664年1月，莱布尼茨完成了论文《论法学之艰 难》，获哲学硕士学位。
➢ 1667年2月 他以论文《论身份》获法学博士学 位。
➢ 1667年发表了他的第一篇数学论文《论组合的 艺术》。
➢ 1684年10月发表论文《一种求极大极小的奇妙 类型的计算》，是最早的微积分文献。
➢ 1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》， 人们公认他是世界语的先驱。
➢ 突出了著名的“单子论”
➢ “没有两片完全相同的树 叶，世界上没有性格完全 相同的人。” ——莱布尼茨
（五） “乘法机”的发明
➢ 受八卦启发，率先为计算机设计系统提出二进 制运算法则，为计算机的现代发展奠定了基础。
➢ 能进行乘除运算的“乘法机”的发明。
四、著作目录
➢ 1663年5月，以《论个体原则方面的形而上学争 论》一文获学士学位 。
五、评价
“当一个人考虑到自己并把自己的才能和莱布尼 茨的才能来作比较时，就会弄到恨不得把书都丢 了去找个世界上比较偏僻的角落藏起来以便安静 的死去。这个人是混乱的大敌：罪错综复杂的事 物一进入他的心灵就弄得秩序井然。他把两种几 乎不相容的品质结合在一起了，这这就是探索发 现的精神和讲求条理的精神；而他借以积累起最 广泛的各种不同种类知识最坚毅又最五花八门的 研究既没有剥弱这一品质，也没有剥弱另一种品 质。就哲学家和数学家这两个词所能具有的最充 分的意义来说，他是一位哲学家和一位数学家。”
（二）数学上的贡献
1、始创微积分。
2、对负数和复数的性质 的探讨。
3、首次引入行列式的概 念。
4、数理逻辑的首创者和 真正奠基人。
（三）物理方面的Байду номын сангаас献
1、提出了能量守恒定律的雏形。 2、证明了永动机的荒谬性。 3、提出马里奥特——莱布尼茨理论。 4、利用微积分求极值的方法推导出折射定律。
➢ 1667年2月 他以论文《论身份》获法学博士学 位。
➢ 1667年发表了他的第一篇数学论文《论组合的 艺术》。
➢ 1684年10月发表论文《一种求极大极小的奇妙 类型的计算》，是最早的微积分文献。
➢ 1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》， 人们公认他是世界语的先驱。
➢ 突出了著名的“单子论”
➢ “没有两片完全相同的树 叶，世界上没有性格完全 相同的人。” ——莱布尼茨
（五） “乘法机”的发明
➢ 受八卦启发，率先为计算机设计系统提出二进 制运算法则，为计算机的现代发展奠定了基础。
➢ 能进行乘除运算的“乘法机”的发明。
四、著作目录
➢ 1663年5月，以《论个体原则方面的形而上学争 论》一文获学士学位 。
五、评价
“当一个人考虑到自己并把自己的才能和莱布尼 茨的才能来作比较时，就会弄到恨不得把书都丢 了去找个世界上比较偏僻的角落藏起来以便安静 的死去。这个人是混乱的大敌：罪错综复杂的事 物一进入他的心灵就弄得秩序井然。他把两种几 乎不相容的品质结合在一起了，这这就是探索发 现的精神和讲求条理的精神；而他借以积累起最 广泛的各种不同种类知识最坚毅又最五花八门的 研究既没有剥弱这一品质，也没有剥弱另一种品 质。就哲学家和数学家这两个词所能具有的最充 分的意义来说，他是一位哲学家和一位数学家。”
（二）数学上的贡献
1、始创微积分。
2、对负数和复数的性质 的探讨。
3、首次引入行列式的概 念。
4、数理逻辑的首创者和 真正奠基人。
（三）物理方面的Байду номын сангаас献
1、提出了能量守恒定律的雏形。 2、证明了永动机的荒谬性。 3、提出马里奥特——莱布尼茨理论。 4、利用微积分求极值的方法推导出折射定律。
高等数学牛顿—莱布尼茨公式PPT课件
为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的
F (b) F (a) 记作 F ( x) b , 这样 上面公式就写成如下形式： a
b f (x)dx F (x) b F (b) F (a).
a
a
“Newton—Leibniz公式”
例 3 计算下列定积分.
(1)
1 0
1
1 x
y
则(x)
x
f (t) d t
a
y f (x)
( x)
是 f (x)在[a , b]上的一个原函数 . O a x
bx
4
例 1 (1)已知 (x) x et2dt, 求 (x).
解
(x)
1
x et2 dt
ex2 .
1
(2) 求 d x2 1 dt
2
dx;
(2) 3 sin x dx. 0
解
1
(1)
1 dx arctan x 1
0 1 x2
0
arctan1 arctan0 ; 4
(2) 3 sin x dx cos x 3
0
0
cos ( cos 0) 1 1 1
3
积分上限函数求导定理
定理1 若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，
则变上限定积分
x
(x) a f (t) d t
在区间 [a, b] 上可导，并且它的导数等于被积函数，
即 (x) f (x)
或 d
x
f (t) d t f (x)
dx a
定理2 (原函数存在定理）如果f (x)在闭区间[a , b]上连续
(西方哲学史课件)8.斯宾诺莎和莱布尼
• “除了神以外，不能有任何实体，也不能设想任何实 体”
斯宾诺莎的实体一元论
对实体一元论的论证
1.不可能有两个具有相同属性的实体（第一部分命题5） 2.神是具有无限多属性的实体（第一部分定义6） 3.神必然存在（第一部分命题11） 4.任何与神不同的实体必定与神具有相同属性（从2推
出）
结论： 除了神以外，不能有任何实体，也不能设想任何实体
• 笛卡尔循环：如果笛卡尔纲领就是“摧毁一切，完全 从基础重新开始”，那么他在重建的第一步不就不用 预先假设他并未赖以建立的结果呢吗？
• “清楚明显得知觉到的东西是真实的”这条原则毫无 用处，除非我们有“清楚明显”的判别标准。
斯宾诺莎：生平及著作
• 1632-1677生于阿姆斯特丹 • 1656年被开除犹太教籍 • 以研磨镜片作为生活来源 • 在荷兰境内过着贫困流离的
(西方哲学史课件)8.斯宾诺莎Biblioteka 莱布尼茨笛卡尔的方法论特征
• 哲学或科学解释必须使用清晰明白的概念；理想的知 识是从第一因推出的知识，受到理性的自然之光指引。
• 具体方法是把问题分解开来，并把它还原到最基本的 成分，最终得到简单自明的可信赖的命题，并由此作 为出发点，进行演绎推理后得到我们所困惑的问题之 解答。
心灵内是怎样排列和联系着，身体的感触和事物的形象在身体 内也恰好是那样排列着和联系着。”
2.作为观念的心灵必然被其对象个体化。身体是不同的
性质（如大小、形状）等在其中来来往往的主体，心灵是不同 的观念等在其中来来往往的主体。
3.心灵的过程、能力和限度可以通过身体的过程、能 力和限度来解释。
知识分类与真观念
• 把数学方法推广到人类知识范围内的一切东西。
• 例如：从“我思”这样的阿基米德基点出发，借助于 上帝，构造出“真的和确定的知识之体系”。
斯宾诺莎的实体一元论
对实体一元论的论证
1.不可能有两个具有相同属性的实体（第一部分命题5） 2.神是具有无限多属性的实体（第一部分定义6） 3.神必然存在（第一部分命题11） 4.任何与神不同的实体必定与神具有相同属性（从2推
出）
结论： 除了神以外，不能有任何实体，也不能设想任何实体
• 笛卡尔循环：如果笛卡尔纲领就是“摧毁一切，完全 从基础重新开始”，那么他在重建的第一步不就不用 预先假设他并未赖以建立的结果呢吗？
• “清楚明显得知觉到的东西是真实的”这条原则毫无 用处，除非我们有“清楚明显”的判别标准。
斯宾诺莎：生平及著作
• 1632-1677生于阿姆斯特丹 • 1656年被开除犹太教籍 • 以研磨镜片作为生活来源 • 在荷兰境内过着贫困流离的
(西方哲学史课件)8.斯宾诺莎Biblioteka 莱布尼茨笛卡尔的方法论特征
• 哲学或科学解释必须使用清晰明白的概念；理想的知 识是从第一因推出的知识，受到理性的自然之光指引。
• 具体方法是把问题分解开来，并把它还原到最基本的 成分，最终得到简单自明的可信赖的命题，并由此作 为出发点，进行演绎推理后得到我们所困惑的问题之 解答。
心灵内是怎样排列和联系着，身体的感触和事物的形象在身体 内也恰好是那样排列着和联系着。”
2.作为观念的心灵必然被其对象个体化。身体是不同的
性质（如大小、形状）等在其中来来往往的主体，心灵是不同 的观念等在其中来来往往的主体。
3.心灵的过程、能力和限度可以通过身体的过程、能 力和限度来解释。
知识分类与真观念
• 把数学方法推广到人类知识范围内的一切东西。
• 例如：从“我思”这样的阿基米德基点出发，借助于 上帝，构造出“真的和确定的知识之体系”。
2020人教版高二数学选修3-1全册课件【完整版】
第一讲 早期的算术与几何 一 古埃及的数学
2020人教版高二数学选修3－1全册 课件【完整版】
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2020人教版高二数学选修3－1全 册课件【完整版】目录
0002页 0025页 0048页 0144页 0300页 0360页 0386页 0410页 0456页 0502页 0582页 0724页 0747页 0791页 0845页 0869页
第一讲 早期的算术与几何 一 古埃及的数学 三 丰富多彩的记数制度 二 毕达哥拉斯学派 四 数学之神──阿基米德 二 《九章算术》 四 中国古代数学家 二 笛卡儿坐标系 四 解析几何的进一步发展 二 科学巨人牛顿的工作 第六讲 近代数学两巨星 一 分析的化身──欧拉 第七讲 千古谜题 一 三次、四次方程求根公式的 三 伽罗瓦与群论 第八讲 对无穷的深入思考 一 古代的无穷观念 三 集合论的进一步发展与完善 二 人民的数学家──华罗庚 学习总结报告
牛顿莱布尼兹公式2021推荐ppt
作 和
n
n
S(T)Mi, s(T)mi
i1
i1
分 别 称 为 f关 于 分 割 T的 上 和 与 下 和 （ 或 称 为 达 布 上 和 与 达 布
一个下 函数和 究竟， 要满足统 何种称 条件为 ，才达 能可布 积？和 这是） 本节所要讨论的
一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的
割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。
思由路: 达鉴于布积分和和与定分法义和介可点有知关, ，先简达化积布分和和. 未必是积分和 .但达布 和由分法
2、闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积 ？
唯一确定. 则显然有： 一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的
6说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积
便是多余的条件。
例 1、利用牛 —莱 顿布尼茨公式 积求 分下列定
b
1）、 xndx (nN),
a
b
2)、exd,x
b
3)、
1dx（ 0ab).
a
a x2
2
4)、sinxd,x 5)、x 4x2dx
6说明，单调0函数即使有无限多个间断点，仍0不失其可积
利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列 一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的
利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分
（ 有 关 上 、 下 和 性 质 的 详 细 讨 论 参 见 课 本 P231— 236）
定理9.3 (可积准则）函数f 在[a,b]上可积的充分条件是：任给 0，
总 相应的一个分割T，使得：S（T）s(T) .
13莱布尼茨与微积分PPT课件
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他还给出一些积分方法，如：变量替换 法、分部积分法、有理函数的积分法、 在积分号下对参量变求微分的方法等。
莱布尼茨还通过积分变换，得到平面曲 线的面积公式，又给出求一条曲线绕 轴旋转一周所形成的旋转体表面积公式 和曲线长度公式等。
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1665年不到20岁的莱布尼茨便提交了博士 论文《论身份》，但莱比锡大学以他太年轻 为由没有授予他博士学位（黑格尔认为，也 许是哲学观点太多）。他气愤之下离开莱比 锡前往纽伦堡的阿尔特多夫大学，1667年2月 阿尔特多夫大学授予他法学博士，并聘他做 法学教授，但被他谢绝了。
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虽然牛顿的工作大部分是在莱布尼茨之前 作的，但是莱布尼茨关于微积分的主要思想 是他独立发明的。也就是说，1665—1676 年微积分产生阶段，牛顿（1665—1666） 先于莱布尼茨（1673—1676）创立了微积 分，而莱布尼茨（1684—1686）早于牛顿 （1704—1736）发表了微积分。
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这期间莱布尼茨还广泛阅读了培根、开 普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述 进行深入的思考和评价。在听了教授讲授的 欧几里得的《几何原本》的课程后，莱布尼 茨对数学产生了浓厚的兴趣。
1664年1月，莱布尼茨以论文《论法学之 艰难》获哲学硕士学位。是年2月12日，母 亲不幸去世，18岁的莱布尼茨从此只身一人 生活。
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莱布尼茨发明的机器叫“乘法器” ， 约1米长，内部安装了一系列齿轮机构， 除了体积较大之外，基本原理继承于帕斯 卡。
莱布尼茨介绍PPT课件
微积分 拓扑学 符号思维 单子论 形式逻辑
• 1672及1673年Boineburg和Johann Philipp却相继过世， 迫使莱布尼茨最后于1676年离开巴黎而转任职服务于汉诺 威的Johann Friedrich公爵。于上任时，顺道于海牙拜访 斯宾诺莎，与其数天一同讨论哲学。之后莱布尼茨就到汉 诺威管理图书馆，并担任公爵法律顾问。
• 1716年11月14日莱布尼茨于汉诺威孤独地过世，除了他自 己的秘书外，即使George Ludwig本人正巧在汉诺威，宫 廷无其他人参加他的丧礼。直到去世前几个月，才写完一 份关于中国人宗教思想的手稿：《论中国人的自然神学》。
.
6
人物生平
人物成就
微积分 拓扑学 符号思维 单子论 形式逻辑
• 现今在微积分领域使用的符号仍是莱布尼茨所提出的。在 高等数学和数学分析领域，莱布尼茨判别法是用来判别交 错级数的收敛性的。
.
9
人物生平 人物成就
微积分 拓扑学 符号思维 单子论 形式逻辑
.
• 莱布尼茨承断了西方哲学传统的思想，他认为世界，因其 确定（换句话说，有关世界的知识是客观普遍和必然的） 之故，必然是由自足的实体所构成。所谓的自足，是不依 他物存在和不依他物而被认知。莱布尼茨的前辈斯宾诺莎 以为实体只有一个，就是神/自然。莱布尼茨对此不敢苟 同，原因之一是斯氏的泛神观和圣经的神学有明显冲突， 其次，是因为斯氏的理论没有能够解决由笛卡儿以降的二 元论，令世界出现了断层（他虽然强调世界为一，但没有 说明这一个看来是二元对立的世界的一统是如何可能）。
莱布尼茨介绍
人物生平
人物成就
微积分 拓扑学 符号思维 单子论 形式逻辑
• 德国哲学家、数学家
• 在政治学、法学、伦理学、神学、 哲学、历史学、语言学诸多方向都 留下了著作
• 1672及1673年Boineburg和Johann Philipp却相继过世， 迫使莱布尼茨最后于1676年离开巴黎而转任职服务于汉诺 威的Johann Friedrich公爵。于上任时，顺道于海牙拜访 斯宾诺莎，与其数天一同讨论哲学。之后莱布尼茨就到汉 诺威管理图书馆，并担任公爵法律顾问。
• 1716年11月14日莱布尼茨于汉诺威孤独地过世，除了他自 己的秘书外，即使George Ludwig本人正巧在汉诺威，宫 廷无其他人参加他的丧礼。直到去世前几个月，才写完一 份关于中国人宗教思想的手稿：《论中国人的自然神学》。
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人物生平
人物成就
微积分 拓扑学 符号思维 单子论 形式逻辑
• 现今在微积分领域使用的符号仍是莱布尼茨所提出的。在 高等数学和数学分析领域，莱布尼茨判别法是用来判别交 错级数的收敛性的。
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人物生平 人物成就
微积分 拓扑学 符号思维 单子论 形式逻辑
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• 莱布尼茨承断了西方哲学传统的思想，他认为世界，因其 确定（换句话说，有关世界的知识是客观普遍和必然的） 之故，必然是由自足的实体所构成。所谓的自足，是不依 他物存在和不依他物而被认知。莱布尼茨的前辈斯宾诺莎 以为实体只有一个，就是神/自然。莱布尼茨对此不敢苟 同，原因之一是斯氏的泛神观和圣经的神学有明显冲突， 其次，是因为斯氏的理论没有能够解决由笛卡儿以降的二 元论，令世界出现了断层（他虽然强调世界为一，但没有 说明这一个看来是二元对立的世界的一统是如何可能）。
莱布尼茨介绍
人物生平
人物成就
微积分 拓扑学 符号思维 单子论 形式逻辑
• 德国哲学家、数学家
• 在政治学、法学、伦理学、神学、 哲学、历史学、语言学诸多方向都 留下了著作
牛顿莱布尼茨公式试讲市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
b
a
f
( x)值d x 由被积函数和
积分区间确定，与积分变量符号无关,任意
, x a,b都 有ax一f t个dt数值与其
对应，所以
是上限ax f t函dt数,称为积x 分上限函数。记作：
x
x
a
f
tdt ,a
x
b
显然
a
a
a
f
t dt
0
b
b
a
f
t dt
b
a
f
x d x
2第3页
三、积分上限函数性质
定理1
假如函数
f
x在区间
a,
b上连续，则积分上限函数
x
x
a
f
t
dt
在区间 a,b上可导，且它导数等于被积函数，
即
'x
x af x
证实：
设 则
由积分中值定理
由 连续性
3第4页
原函数存在定理 定理2
4第5页
四、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本公式：
假如 是连续函数 在区 间 上一个原函数，则
证实：
是 在 上一个原函数 即
其中
5第6页
五、 例题
例1 求 解：原式 例2 求 解：原式
6第7页
六、内容小结
1
积分上限函数
2
积分上限函数导 数
3
微积分基本公式
7第8页
10 第9页
第1页
一、复习回顾
定积分物理意义
若物体以速度 v vt 作变速直线运动，由定积分物理意义，物体从某
时刻a到b所经过旅程为：
另首先：物体从某时刻a到b所经过旅程能够记作：
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的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号
表示的微积分运算法则。
然而关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起
了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的
研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早
于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》
上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，
在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。
中西文化交流之倡导者
Байду номын сангаас
莱布尼兹对中国的科学、文化和哲学思想十分关 注，是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他 向耶稣会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关 中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、 天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册 出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的 新型关系。
始创微积分
17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生 产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学 家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基 础上的微积分理论应运而生了。微积分思想，最早 可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和 体积的方法。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼兹 在1673——1676年间也发表了微积分思想的论著。
以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学 问题，是分别加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利 斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率 （导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不 连贯的。只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟 通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分
和积分是互逆的两种运算。
而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一 基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。 并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同
5.3 万能大师莱布尼兹
人教B版数学选修3-1《数学史选讲》
5．3万能大师莱布尼兹
我有那么多的想法，如果那些比我更敏锐的人
有一天深入到它们之中，把他们的绝妙见解同我的
努力结合起来的话，它们或许有些用处。
——莱布尼兹
莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之 家，广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学 者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的 学术目标。15岁时，他进了莱比锡大学学习法律， 还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作， 并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教 授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼 兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学 学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。
牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》 的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出 的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经 知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以 及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方 法，……
这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现 了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我 的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而 外。”因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自 独立地创建微积分的。牛顿从物理学出发，运用集 合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学， 造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发， 运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则， 其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。
丰硕的物理学成果
莱布尼兹的物理学成就也是非凡的。他发表了 《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运 动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将 带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他 还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨， 提出了能量守恒原理的雏型，
并在《教师学报》上发表了“关于笛卡儿和其他
人在自然定律方面的显著错误的简短证明”，提出了
运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单
位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普 通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能” 的观点。他也反对牛顿的绝对时空观，认为“没有物 质也就没有空间，空间本身不是绝对的实在性”，
“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样， 可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”。在光学
方面，莱布尼兹也有所建树，他利用微积分中的求极
值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法
解释光学基本定律。可以说莱布尼兹的物理学研究一
直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统 的目标前进的。
发明乘法计算机
德国人莱布尼兹发明了乘法计算机，他受中国易经 八卦的影响最早提出二进制运算法则。莱布尼兹对 帕斯卡的加法机很感兴趣。于是，莱布尼兹也开始 了对计算机的研究。1672年1月，莱布尼兹搞出了 一个木制的机器模型，向英国皇家学会会员们做了 演示。但这个模型只能说明原理，不能正常运行。
莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动， 运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他 发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x的 微分，∫表示积分，dnx表示n阶微分等等。这些符号 进一步促进了微积分学的发展。 1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起 源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明 了自己成就的独立性。
20岁时他发表了第一篇数学论文《论组合的艺
术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想 是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结 果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧 和数学才华。
莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投 身外交界。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹 的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔 马、帕斯卡等人的著作。他的兴趣已明显地朝向了数 学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地 创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共 同奠定了微积分学。1700年被选为巴黎科学院院士， 促成建立了柏林科学院并任首任院长。
1674年，最后定型的那台机器，就是由奥利韦一 人装配而成的。莱布尼兹的这台乘法机长约1米，宽 30厘米，高25厘米。它由不动的计数器和可动的定位 机构两部分组成。整个机器由一套齿轮系统来传动， 它的重要部件是阶梯形轴，便于实现简单的乘除运算。 莱布尼兹设计的样机，先后在巴黎、伦敦展出。由于 他在计算设备上的出色成就，被选为英国皇家学会会 员。