等比数列 课件 高考数学复习课件
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高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第30讲 等比数列及其前n项和(53张PPT)
向
固
3．关于等比数列的性质的方法技巧
基 础
(1)在等比数列{an}中，a3a7＝a10.( )
(2)若等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝12，则a2与a4的等
比中项为14.( ) (3)若等比数列{an}中，a1＝2，a5＝18，则a3＝±6.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
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令cn＝abnn，则cn－1＝abnn－ －11.
an 当n≥2时，ccn－n 1＝abn－n 1＝aan－n 1÷bbn－n 1＝qq12，故数列abnn也一
bn－1 定是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（11－－qqn）.
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
向
—— 链接教材 ——
固
基
础
1．[教材改编]
已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝
384，则该数列的通项公式an＝________．
[答案] 3×2n－3
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
向
固
基 础
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则 a3＝a1q2＝3，①
(1)求数列{an}的通项公式；
考 向
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若不等式 Sn>kan－2 对一切 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
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第30讲 等比数列及其前n项和
［思考流程］ (1)条件：给出等比数列{an}的递推公
点 面 讲
式．目标：求数列{an}的通项公式．方法：利用等比数列 的定义及递推公式求解．
高三数学 第五模块 第3节等比数列的概念与性质课件 新人教A
(1)证明：由 a1＋S1＝1 及 a1＝S1 得 a1＝12. 又由 an＋Sn＝n 及 an＋1＋Sn＋1＝n＋1 得 an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1. ∴2(an＋1－1)＝an－1，即 2bn＋1＝bn. ∴数列{bn}是以 b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比 的等比数列．
(2)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列， ∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1， ∴ a1 ， a3 ， a5 ， … ， a2n － 1 ， … 与 a2 ， a4 ， a6 ， … ， a2n，…都是公比为3的等比数列． ∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1， ∴bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1.
解：要确定一个等比数列，只需求出它的首项a1和公 比q即可．利用已知条件，可得首项a1和公比q的两个方程， 解之可得数列{an}，从而S8可求得．
设数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知条件得： a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*) a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.
()
A．2
7 B.3
8 C.3
D．3
思路分析：观察题目的结构特点知，本题涉及S3，S6， S9之间的关系，可考虑用等比数列的前n项和的性质求解．
解析：根据等比数列的性质知，若 Sn 是等比数列 的前 n 项和(Sk≠0)，则 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)也 成等比数列，于是，S3，S6－S3，S9－S6 成等比数列．
考 纲 要 求
1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并 能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型三 等比数列的判定与证明
例 3 (2011·天津文)已知数列{an}与{bn}满足 bn＋1an＋bnan ＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－2 1n－1，n∈N*，且 a1＝2.
设 cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
aq1＝13， 解方程组1－a1 q＝－12，
得aq1＝＝31，， ⇒n＝4
∴a2n＝a1·q2n－1＝1·32n－1＝32n－1＝37.
【答案】 37
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 1 (1)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项 和公式 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1)共涉及五个量 a1，an， q，n，Sn，知其三就能求另二，体现了方程思想的应用．
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第六章 数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2012·考纲下载
1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并 能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系.
2．(2012·大连模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30， a3＋a4＝60，则 a7＋a8＝________.
答案 240
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
高考数学总复习 第5章 第3讲 等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版
第二十六页，共49页。
[变式探究(tànjiū)] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求 证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1， ∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴ an ＋ 1 ＝ Sn ＋ 1 － Sn ＝ (2an ＋ 1 ＋ 1) － (2an ＋ 1) ＝ 2an ＋ 1 － 2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，
－an－1)，不为定值，故不符合题意；对于 f(x)＝ |x|，f(an)＝
|an|，则
|an| ＝ |an－1|
aan－n 1＝ |q|为定值，
第二十四页，共49页。
符合题意；对于 f(x)＝ln|x|，f(an)＝ln|an|，由等比数列定 义得， ln|an| 并不为定值，故不符合题意；故①③正确．
(2)在等比数列{an}中，a2013＝8a2010，则 q＝________. (3)已知等比数列的公比是 2，且前 4 项的和为 1，那么 前 8 项之和为________．
第十页，共49页。
2. 等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0)． (2){an}{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{abnn}是等比数列． (3){an}为等比数列，则aamn ＝________. (4)若 m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq. 特别地，a1an＝a2an－1
填一填：(1)2 2n－1－12 (2)2
第十四页，共49页。
(3)17 提示：将 q＝2，S4＝1，n＝4 代入 Sn＝a111－－qqn， 得 1＝a111－－224，解之得 a1＝115， ∴S8＝11511－－228＝17.
[变式探究(tànjiū)] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求 证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1， ∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴ an ＋ 1 ＝ Sn ＋ 1 － Sn ＝ (2an ＋ 1 ＋ 1) － (2an ＋ 1) ＝ 2an ＋ 1 － 2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，
－an－1)，不为定值，故不符合题意；对于 f(x)＝ |x|，f(an)＝
|an|，则
|an| ＝ |an－1|
aan－n 1＝ |q|为定值，
第二十四页，共49页。
符合题意；对于 f(x)＝ln|x|，f(an)＝ln|an|，由等比数列定 义得， ln|an| 并不为定值，故不符合题意；故①③正确．
(2)在等比数列{an}中，a2013＝8a2010，则 q＝________. (3)已知等比数列的公比是 2，且前 4 项的和为 1，那么 前 8 项之和为________．
第十页，共49页。
2. 等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0)． (2){an}{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{abnn}是等比数列． (3){an}为等比数列，则aamn ＝________. (4)若 m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq. 特别地，a1an＝a2an－1
填一填：(1)2 2n－1－12 (2)2
第十四页，共49页。
(3)17 提示：将 q＝2，S4＝1，n＝4 代入 Sn＝a111－－qqn， 得 1＝a111－－224，解之得 a1＝115， ∴S8＝11511－－228＝17.
等比数列-课件ppt
(4an1 4an ) 2an1 2an1 4an 2
an1 2an
an1 2an
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1. ∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.
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(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,
∴
an1 2n1
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1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它
的前一项 的比等于 同一 常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常
用字母 q(q≠0) 表示.
其数学表达式为：
an+1 an
= q（q为常数）或
an = q a n-1
（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等
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设等比数列{an}的公比q＜1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=
,
则
a1q2=2,
①
a1(1- q4 ) 5 a1(1- q 2 )
②
1-q
1-q
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
a1(1- qn ) 1- q
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1 1 1
1
n2
2
2
1 1 n1 1 2
1 1 2
1
2
1
1
n1
3 2
5
2
1
n1
3 3 2
当n=1时，
5 3
2 3
1 2
n1
=1=a1,
高三数学 第四篇 第三节等比数列课件 理 北师大版
第二十五页，编辑于星期五：八点 三十五分。
也成等比数列，其公比为qn，于是，问题转化为： A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 要求A1q3n＋A1q4n＋A1q5n的值． 由A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 得q2n＋qn－6＝0，那么qn＝2或qn＝－3. 由A1q3n＋A1q4n＋A1q5n ＝A1q3n(1＋qn＋q2n)＝2·q3n·7＝14·q3n
第四页，编辑于星期五：八点 三十五分。
性质 .
(5)设等比数列{an}的公比为q，则数列 {kan}(k为常数)仍为q等比数列，公比为 .
(6)设数列{an}，{bn}为等比数列，公比分别 为q1，q2，则{an·bn}也为等比q1q数2 列，公比为
第五页，编辑于星期五：八点 三十五分。
b2=ac是a,b,c成等比的什么条件？ 提示：b2=ac是a,b,c成等比的必要不充分条件，∵ 当b=0,a,c至少有一个为零 时，b2=ac成立，但a,b,c不成等比，反之，假设a,b,c成等比，那么必有 b2=ac.
第三节 等比数列
第一页，编辑于星期五：八点 三十五分。
考纲点击
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和 公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等 比关系，并能用有关知识解决相应的问 题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以定义及等比中项为背景，考查等比 数列的判定. 2.以考查通项公式、前n项和公式为主，
那么na1＝40,2na1＝3 280，矛盾．
∴q≠1，∴ a1(11－－qqn)＝40
①
a1(11－－qq2n)＝3 280 ②
第二十三页，编辑于星期五：八点 三十五分。
②÷①得1＋qn＝82，∴qn＝81 ③ 将③代入①得q＝1＋2a1 ④ 又∵q＞0，∴q＞1，∴a1＞0，{an}为递增数列． ∴an＝a1qn－1＝27 ⑤ 由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4. ∴a2n＝a8＝1×37＝2 187.
也成等比数列，其公比为qn，于是，问题转化为： A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 要求A1q3n＋A1q4n＋A1q5n的值． 由A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12， 得q2n＋qn－6＝0，那么qn＝2或qn＝－3. 由A1q3n＋A1q4n＋A1q5n ＝A1q3n(1＋qn＋q2n)＝2·q3n·7＝14·q3n
第四页，编辑于星期五：八点 三十五分。
性质 .
(5)设等比数列{an}的公比为q，则数列 {kan}(k为常数)仍为q等比数列，公比为 .
(6)设数列{an}，{bn}为等比数列，公比分别 为q1，q2，则{an·bn}也为等比q1q数2 列，公比为
第五页，编辑于星期五：八点 三十五分。
b2=ac是a,b,c成等比的什么条件？ 提示：b2=ac是a,b,c成等比的必要不充分条件，∵ 当b=0,a,c至少有一个为零 时，b2=ac成立，但a,b,c不成等比，反之，假设a,b,c成等比，那么必有 b2=ac.
第三节 等比数列
第一页，编辑于星期五：八点 三十五分。
考纲点击
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和 公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等 比关系，并能用有关知识解决相应的问 题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以定义及等比中项为背景，考查等比 数列的判定. 2.以考查通项公式、前n项和公式为主，
那么na1＝40,2na1＝3 280，矛盾．
∴q≠1，∴ a1(11－－qqn)＝40
①
a1(11－－qq2n)＝3 280 ②
第二十三页，编辑于星期五：八点 三十五分。
②÷①得1＋qn＝82，∴qn＝81 ③ 将③代入①得q＝1＋2a1 ④ 又∵q＞0，∴q＞1，∴a1＞0，{an}为递增数列． ∴an＝a1qn－1＝27 ⑤ 由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4. ∴a2n＝a8＝1×37＝2 187.
高考数学一轮总复习课件：等比数列
等比数列的性质 (1)等比数列{an}中，m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 am·an＝___a_p·__aq_____． (2)等比数列{an}中，Sn为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝S 奇·__q___． (3)等比数列{an}中，公比为q，依次k项和为Sk，S2k－Sk， S3k－S2k(Sk≠0)成_等__比__数列，新公比q′＝__q_k___．
常用技巧
(1)若等比数列{an}的前n项和Sn＝A·qn＋B，则A，B满足的 关系式为__A__＋_B_＝__0___．
(2)三个数成等比数列可设三个数分别为
b q
，b，bq，四个数
成等比数列且公比大于0时，可设四个数分别为qb3，bq，bq，bq3.
1．(课本习题改编)(1)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四 项等于___－_2_4___．
则称数列{an}为等比数列． (2)通项公式an＝__a_1·__q_n－_1___＝am·__q_n_－m___ (q≠0)．
__n_a_1 _，q＝1， (3)前n项和公式Sn＝____a1_(1_1-_-qq_) _n ____，q≠1. (4)M，N同号时它们的等比中项为_±__M__N___．
满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( C )
A．4
5 B.2
C．2
1 D.2
解析
方法一：由题意，得
a1·a1q4＝16， a1q＝2，
解得
a1＝1， q＝2
或
aq1＝＝－－21，(舍去)．故选C.
方法二：a1a5＝a32＝16.
由an>0，得a3＝4，∴q＝aa23＝2.
3．(2020·课标全国Ⅰ，文)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3 ＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( D )
高三高考数学复习等差数列、等比数列(共29张PPT)
即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，
即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是
“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、
公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等． 精编优质课PPT江苏省2020届高三高考数学复习
等差数列、等比数列(共29张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
从而 a3×a5＝25×27＝212，所以 log2(a3a5)＝log2212＝12．
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变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一 设等差数列{an}的公差为 d，
解：设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，
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法二 同法一得a5＝3.
等差数列的等差中项
∴又da＝2a5a＋5－3a8a＝2＝d0⇒2，3anana21＋＝mamaa82＝－0d⇒＝2－a25＋. 2a5＝0a⇒n aa2＝m －(n3. m)d
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第三节 等比数列
= √2,
解得
1 = 5√2-5.
(2)由题意,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①
a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②
联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1q3=54.故选C.
考点二
等比数列的判断与证明
典例突破
例2.已知数列{an}中,a1=1,它的前n项和Sn满足2Sn+an+1=2n+1-1.
则a6+a8=(a1+a3)q5=1×q5=-32,
所以q5=-32,
10 + 12
故
5 + 7
=
( 5 + 7 ) 5
=q5=-32.
5 + 7
(2)方法一:设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
1 = 1,
1 ·1 3 ·1 4 = 1 2 ·1 5 ,
)
D.2
答案 A
解析由已知 a3=S3-S2=2,公比
4
q=
3
=
4
=2,所以
2
3
a1= 2
=
2
22
=
1
.
2
3.(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若
a1=1,S5=5S3-4,则S4=(
15A. 8) Nhomakorabea65
B. 8
C.15
D.30
答案 C
解析设等比数列{an}的公比为q,易知q>0,且q≠1.
得
可得 5
8
解得
1 = 5√2-5.
(2)由题意,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①
a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②
联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1q3=54.故选C.
考点二
等比数列的判断与证明
典例突破
例2.已知数列{an}中,a1=1,它的前n项和Sn满足2Sn+an+1=2n+1-1.
则a6+a8=(a1+a3)q5=1×q5=-32,
所以q5=-32,
10 + 12
故
5 + 7
=
( 5 + 7 ) 5
=q5=-32.
5 + 7
(2)方法一:设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
1 = 1,
1 ·1 3 ·1 4 = 1 2 ·1 5 ,
)
D.2
答案 A
解析由已知 a3=S3-S2=2,公比
4
q=
3
=
4
=2,所以
2
3
a1= 2
=
2
22
=
1
.
2
3.(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若
a1=1,S5=5S3-4,则S4=(
15A. 8) Nhomakorabea65
B. 8
C.15
D.30
答案 C
解析设等比数列{an}的公比为q,易知q>0,且q≠1.
得
可得 5
8
5.4 等比数列课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第五章数列
【融会贯通】 在等比数列{an}中，已知 a3＝3，S3＝21，求 q. 解：∵a3＝3，S3＝a1＋a2＋a3＝aq32＋aq3＋a3＝21，6q2－q－1＝0，∴q
＝12或 q＝－13.
1．已知等比数列14，－12，1，－2，…，则数列的第 10 项为( D )
A．127
B．128
C．－256
由 a5＝a1q4＝2 得 a1＝18.
方法二：aa59＝ ＝aa11qq48＝ ＝23① 2②， ②
由①得 q4＝16，所以 q＝±2， 由 a5＝a1q4＝2 得 a1＝18. 故 q＝±2，a1＝18.
【融会贯通】 若等比数列{an}满足 a2＝56，a5＝7，则该等比数列的
公比为( A )
16．在数列{an}中，前 n 项和 Sn＝3n－1，求{an}的通项公式，并证明 其为等比数列． 【解析】 ∵当 n＝1 时，a1＝S1＝31－1＝2，当 n≥2 时，an＝Sn－ Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝3n－3n－1＝2×3n－1，a1＝2 满足 an＝2×3n－1， ∴an＝2×3n－1. 又∵aan＋n 1＝22××33n－n 1＝3＝q，∴{an}是首项为 2，公比为 3 的等比数列．
A．2
B．－2
C．±2
D．5
【解析】 根据通项公式得：a4＝a2q2⇒q2＝aa42＝250＝4，∴q＝±2，故选
C.
2．等比数列{an}的前 3 项的和等于首项的 3 倍，则 q＝( C )
A．－2
B．1
C．－2 或 1 D．2 或－1
【解析】 由已知条件得：S3＝a1＋a2＋a3＝3a1，即 1＋q＋q2＝3，整
2 C.3
D．－23
【解析】 ∵a4＋a8＋a12＝q3(a1＋a5＋a9)＝－27，∴q3＝－287，则 q＝
2024届高考数学一轮总复习第四章数列第三讲等比数列及其前n项和课件
【题后反思】等比数列常见性质的应用 (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体 的变化特征即可找出解决问题的突破口.
【变式训练】
1.(2021 年江淮十校月考)已知等比数列{an}的公比 q＝－21，该
数列前 9 项的乘积为 1，则 a1 等于(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考点三 等比数列性质的应用
[例 2](1)在各项不为零的等差数列{an}中，2a2 019－a22 020＋ 2a2 021＝0，数列{bn}是等比数列，且 b2 020＝a2 020，则 log2(b2 019·b2 021) 的值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析：因为等差数列{an}中 a2 019＋a2 021＝2a2 020， 所以 2a2 019－a22 020＋2a2 021＝4a2 020－a22 020＝0， 因为数列{an}各项不为零，所以 a2 020＝4，因为数列{bn}是等 比数列，所以 b2 019·b2 021＝a22 020＝16.所以 log2(b2 019·b2 021)＝log216 ＝4.C 正确.
【题后反思】等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等 比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通 过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq，当 q＞1 时，用公式 Sn＝a1(qq－n－11)代入计 算，当 q<1 时，用公式 Sn＝a1(11－－qqn)代入计算，可避免出现符号 错误.
高考数学一轮总复习 第32讲 等比数列的概念及基本运算课件 理 新人教A版
第二十六页，共62页。
(2)由(1)知，q＝f(c)＝c＋c 1， 又 bn＝f(bn－1)，所以 bn＝bnb－n1－＋1 1， 所以b1n＝bnb－n1－＋1 1＝bn1－1＋1， 即b1n－bn1－1＝1， 故{b1n}是以首项为b11＝3，公差为 1 的等差数列， 所以b1n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即 bn＝n＋1 2.
第二十页，共62页。
① ，
【点评】运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关 于等比数列特征量 a1 和 q 的方程是求解等比数列问题的常 用方法，同时应注意，在使用等比数列前 n 项和公式时， 应讨论公比 q 是否等于 1.
第二十一页，共62页。
素材 (sùcái )1
已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2 是 a2 和 a4 的等差中 项，求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn.
第二十二页，共62页。
【解析】设数列{an}的公比为 q. 由题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4， 所以 q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0， 所以 q＝2，即 an＝2·2n－1＝2n. Sn＝211－－22n＝2n＋1－2.
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二 等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的判 定及证明
第四十三页，共62页。
＝22sin2α2＋si2ncαocso2sαα－cos2α ＝2sisni2nαα＋cocsoαs2α＝2tatna2nαα＋1 ＝2x2x＋1， 即 f(x)＝2x2x＋1.
第四十四页，共62页。
(2)因为 a2n＋1＝2anf(an)＝2an·2a2na＋n 1＝2a22na＋2n 1， 所以a2n1＋1＝2a22na＋2n 1＝1＋21a2n. 当 n≥2 时，a12n－2＝1＋2a1n2－1－2＝2a1n2－1－1＝12(a2n1－1－2)， 而a121－2＝2， 所以数列{a12n－2}是以 2 为首项，12为公比的等比数列．
(2)由(1)知，q＝f(c)＝c＋c 1， 又 bn＝f(bn－1)，所以 bn＝bnb－n1－＋1 1， 所以b1n＝bnb－n1－＋1 1＝bn1－1＋1， 即b1n－bn1－1＝1， 故{b1n}是以首项为b11＝3，公差为 1 的等差数列， 所以b1n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即 bn＝n＋1 2.
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① ，
【点评】运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关 于等比数列特征量 a1 和 q 的方程是求解等比数列问题的常 用方法，同时应注意，在使用等比数列前 n 项和公式时， 应讨论公比 q 是否等于 1.
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素材 (sùcái )1
已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2 是 a2 和 a4 的等差中 项，求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn.
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【解析】设数列{an}的公比为 q. 由题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4， 所以 q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0， 所以 q＝2，即 an＝2·2n－1＝2n. Sn＝211－－22n＝2n＋1－2.
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二 等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的判 定及证明
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＝22sin2α2＋si2ncαocso2sαα－cos2α ＝2sisni2nαα＋cocsoαs2α＝2tatna2nαα＋1 ＝2x2x＋1， 即 f(x)＝2x2x＋1.
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(2)因为 a2n＋1＝2anf(an)＝2an·2a2na＋n 1＝2a22na＋2n 1， 所以a2n1＋1＝2a22na＋2n 1＝1＋21a2n. 当 n≥2 时，a12n－2＝1＋2a1n2－1－2＝2a1n2－1－1＝12(a2n1－1－2)， 而a121－2＝2， 所以数列{a12n－2}是以 2 为首项，12为公比的等比数列．
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