高一第二学期周练18(必修4第三章)

合集下载

高一第二学期周练17(必修4第三章)

湛江市实验中学高一第二学期周练数学 (第17周) 参考答案1．解析：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.答案：C2.解析：cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.答案：C3．解析：∵cos α＝－35，α∈(π2，π)，∴sin α＝45.又sin β＝－1213，β是第三象限角，∴cos β＝－513.∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－513×(－35)＋(－1213)×45＝－3365.答案：A4．解析：因为a ·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，又∵A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形，故选B. 答案：B 5．解析：原式＝cos[(80°＋2α)－(65°＋2α)]＝cos15°＝cos(45°－30°)＝2＋64.答案：C6．解析：∵3sin x ＋cos x ＝4－m ，∴32sin x ＋12cos x ＝4－m 2，∴sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝4－m 2， ∴cos(x －π3)＝4－m2. ∵|cos(x －π3)|≤1， ∴|4－m 2|≤1，∴2≤m ≤6. 答案：A7．解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案：A8．解析：∵sinα＝35，(π2<α<π)，∴tanα＝－34.∵tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12. ∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－211.答案：C9．解析：∵28°＋32°＝60°，∴tan60°＝tan(28°＋32°)＝tan28°＋tan32°1－tan28°tan32°＝3，∴tan28°＋tan32°＝3(1－m)．答案：B10．解析：∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B＝3，∴tan A＋tan B＝3(1－tan A·tan B)＝23 3，解得tan A·tan B＝13.故选B.答案：B11．解析：sinα＝55，且α为锐角，则cosα＝255，tanα＝12；所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝12－31－12×(－3)＝－1.又α＋β∈(π2，3π2)，故α＋β＝3π4.答案：B12．解析：因为α，β为锐角，且cosα＝4 5，所以sinα＝35，所以tanα＝34.又tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝34－tanβ1＋34tanβ＝－13，所以tanβ＝139，即sinβcosβ＝139，因为β为锐角，所以13cosβ＝91－cos2β，整理得cosβ＝910 50.答案：A13．解析：原式＝cos[(30°＋α)－α]＝cos30°＝3 2.答案：3 214．解析：原式＝sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝1＋1＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×13＝83.答案：8 315．解析：由sinα－cosβ＝1 2两边平方得sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝14，①由cosα－sinβ＝13两边平方得cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝19，②①＋②得：(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝14＋19.∴1－2sin(α＋β)＋1＝1336. ∴sin(α＋β)＝5972.答案：59 7216.解析：∵α＋β＝34π，∴tan(α＋β)＝－1＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝1－(tanαtanβ－1)＋tanαtanβ＝2.答案：217.解析：原式＝sin(15°－8°)＋cos15°sin8°cos(15°－8°)－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝2－ 3. 答案：2－ 318．解析：tan(α＋β－π4)＝tan[(α＋π12)＋(β－π3)]＝tan(α＋π12)＋tan(β－π3)1－tan(α＋π12)tan(β－π3)＝2＋221－2×22＝－ 2.tan(α＋β)＝tan[(α＋β－π4)＋π4]＝tan(α＋β－π4)＋tanπ41－tan(α＋β－π4)tanπ4＝－2＋11－(－2)×1＝22－3.答案：22－319．解：(1)因为f(π3)＝2，所以A cos(π12＋π6)＝2，A＝2cosπ4＝2.(2)因为f(4α＋4π3)＝－3017，所以2cos[14(4α＋4π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－3017，所以sinα＝1517.又因为f(4β－2π3)＝85，所以2cos[14(4β－2π3)＋π6]＝2cosβ＝85，所以cosβ＝45，又因为α，β∈[0，π2]，所以cosα＝817，sinβ＝35，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝817×45－1517×35＝－1385.。

高一下学期数学必修4全册课时作业-第三章312002

[学业水平训练]1．已知α∈(3π2，2π)，cos α＝45，则tan(α＋π4)＝( ) A.17B ．7C ．－17D ．－7解析：选A.由cos α＝45且α∈(3π2，2π)，则sin α＝－35， ∴tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17. 2．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A.因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，从而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3，故选A. 3．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )A ．2B ．1C.12D ．4 解析：选C.因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12. 4．已知sin α＝55且α为锐角，tan β＝－3且β为钝角，则角α＋β的值为( ) A.π4B.3π4C.π3D.2π3 解析：选B.sin α＝55，且α为锐角，则cos α＝255，tan α＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12－31－12×（－3）＝－1. 又α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故α＋β＝3π4. 5.tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°的值应是( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3 解析：选D.∵tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°，∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°＝－tan 60°＝－ 3.6．在△ABC 中，tan A ＝13，tan B ＝－2，则角C ＝________．解析：tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝13＋（－2）1－13×（－2）＝－1，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4. 答案：π47．tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________．解析：因为tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°，所以tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.答案：18．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝22，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝________．解析：由于α＋β－π4＝⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3，故tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12·tan ⎝⎛⎭⎫β－π13。

课时提升作业十八必修4 Unit 3

关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业十八必修４Unit 3Ａtasｔe ｏf Ｅnglish humoｕr(限时35分钟)Ⅰ、阅读理解AWhen I was iｎcoｌｌege, I speｎt a ｓemｅｓteｒｓtudｙｉng ab ｒoaｄat ｔhｅUniｖｅｒsｉty oｆStrａthclyde iｎGlasgoｗ,Scoｔｌand、Ｉn my brief time tｈｅre, Ｉcame ｔo ｌovｅScotｌa nd ｆoｒi ｔs local culture, fooｄand sceｎerｙ、Yｏu mｉght ｔhｉｎk, “Scotland isn'ｔsｏｄifferent fｒｏm the US; they stilｌｓpeaｋEｎgliｓh there! ”But when I sｔepped ｏff thｅｐlaｎｅ,I was ｇreｅted by a ｇrｕff—voicｅｄ(声音粗哑的) ladｙaｔcusｔｏms、“Yｏu’ｌｌbｅiｎg fｒom Ameriｃa, tｈen? ” Ｓｈe askeｄmｅ,aｎｄI nｏdded、“Bｕt all of ouｒguys aｒe leaｖing Glasｇｏw for tｈｅStates!" Heｒtｈick Ｓcoｔtish Eｎglｉshａｎd seｎse of humor were obviｏｕs rｉghtａｗay、Iｗas not ｉｎthｅUS aｎｙmore,wｈｅreｃustoｍｓaｇenｔｓnｅver jｏke aroｕnｄ、AｓＩseｔｔled iｎatｔhe uｎiverｓity,I coulｄfeel myseｌｆｇetｔinｇused to heariｎg—and evｅｎsｐeaking-ｔｈe Ｓｃoｔｔｉsh Ｅnｇliｓhｏf ｍy cｕsｔｏｍｓaｇeｎt、Iｎｃlａsｓｒｏom ｄiscｕssｉonｓ,ｐeople wouｌd sａy “ｅｍ” ｗｈｅn they couldn't think of ｗhaｔtoｓａy iｎｓteａd oｆ“um”, wｈiｃhｗas great ｆun、Aftｅr the first fｅw weeks, I stoｐｐｅd chucｋlｉｎgａbｏut this、Stratｈcｌyde students staｙed uｐlａte inｔo thｅnighｔ, running arouｎd ｃampｕs anｄshoｕtin ｇ, “Go！Lｅt's go, leｔ’ｓgｏ, let’s gｏcｕrse wordＧlaｓｇow! "Ｐrｅtty ｓoｏｎ, I was no lｏnger sayiｎｇ“thanks” ａｔthe ｓuperｍａrket—inｓtｅａd, Ｉsａid“chｅｅｒs”。

高一年级下学期数学周练4答案

2bc
2
又 A 为△ABC 的内角，所以 A＝π. 6
8．已知函数 f(x)＝2sin(2x＋π)，记函数 f(x)在区间[t，t＋π]上的最大值为 M，最小值为 m，设
6
4
函数
h(t)＝Mt－mt.若
t∈[ π ，5π]，则函数 12 12
h(t)的值域为__________．
[解析] 由已知函数 f(x)的周期 T＝π，区间[t，t＋π]的长度为T.作出函数 f(x)在[ π ，2π]的图象．
B(2，b)，且 cos2α＝2，则|a－b|＝(
)
3
A．1 5
B． 5 5
C．2 5 5
D．1
[解析] 由 cos2α＝2cos2α－1＝2可得 cos2α＝5＝ cos2α ＝ 1 ，化简可得 tanα＝± 5.
3
6 sin2α＋cos2α tan2α＋1
5
当 tanα＝ 5时，可得a＝ 5，b＝ 5，即 a＝ 5，b＝2 5，此时|a－b|＝ 5；当 tanα＝－ 5时，
所以 cos 2α＝1－2sin2α＝1－2× 9 ＝－1. 16 8
3
10. 已知向量 a＝(2cosx， 3sinx)，b＝(cosx,2cosx)，函数 f(x)＝a·b＋m，m∈R，且当
x∈[0，π]时，f(x)的最小值为 2. 2
(1)求 f(x)的单调递增区间；
66
6
6
－2 3.
(2) ①若 m⊥n，则 m·n＝0，即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，即 sin α＝1，可得α＝2kπ＋π或α
2
6
＝2kπ＋5π，k∈Z. 6
②若|m－n|＝ 2，则(m－n)2＝2，即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2，

高一数学必修4第三章综合检测题

第三章综合检测题、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. si门2右一cos2；n的值为（C ）B.2 D. ,3~2［解析］原式=-(cos2^- sin^F - cos62.函数f（x）= sin2x—cos2x的最小正周期是（B ）nA.q3 B . n C . 2 n D . 4 n［解析］f(x) = sin2x—cos2x= , 2sin(2x—4)，故T=今=冗13.已知cos 0= 3,(0,n )则cos(32 + 2 0 = ( C )4；29D.9［解析］cos(3n + 2 0= sin2 A 2sin 0os0= 2X 屮3=普44.若tan a= 3, ta n B= 3，则tan (a— 3 等于(D )C. 3D.13 —4tan a—tan 3 3 1［解析］tan(a—®=■—o= = 3.1 + tan dt an B〔+ 3X4 335. COS275°+COS215°+COS75°C OS15的值是(A )5 6 3 2A.4B.〒eq D. 1 +可2 21 5 ［解析］原式=sin215°+ cos 15° + sin15 6os15°= 1 + ?sin30 = 4.6. y= cos2x—sin2x+ 2sinxcosx的最小值是(B )A. 2 B2 C. 2 D2_ n _［解析］y= cos2x+ si n2x= 2si n( 2x+ 4),.，.y max=— 2.7.若tan a= 2, tan(B— M= 3,贝U tan(B—2 0)= ( D )A. —1B. —5C.7D.1tan p- a—tan a 3 —2 i［解析］tan( p—2 a = tan［( p— a) —a = = =千1 + tan p—a tan a 1 + 68.已知点P(cos a, sin M, Q(cos p, sin®,贝U |PQ| 的最大值是(B )A. 2［解析］ PQ = (cos® —cos a, sin p—si n a ,贝U |PQ| = p cos®—cos a2+ sin p- sin a2='2—2cos a— p,故|PQ|的最大值为2.cos2x+ sin2x”^「十厂9.函数y= cos2x —sin2x的最小正周期为（C ）n nA. 2 nB. nC.qD.41 + tan2x n n［解析］y= =tan(2x+ 4),.T=2.1 —tan2x 4 210. 若函数f(x) = sin2x —*x€ R),则f(x)是(D )A .最小正周期为訓勺奇函数B .最小正周期为n的奇函数C.最小正周期为2 n的偶函数 D .最小正周期为n的偶函数1 12 12［解析］f(x)= sin2x—2= —2(1 —2sin2x) = —^cos2x,.f(x)的周期为n的偶函数.n11. y= sin(2x —3)—sin2x 的一个单调递增区间是(B )n n n 7^ r 5 1^ _ _ _ n 5 nA . ［—6, 3］ B.［石，石n］c.［匚n 石n ］ D . ［3,石！5 n n n n n［解析］ y = sin(2x — 3) — sin2x = sin2xcos^ — coshes% — sin2x =- (sin2xcos^ + cos2xsin^)=—sin(2x + 3)，其增区间是函数y = sin(2x +3)的减区间，即2k n+㊁三2x + 3W 2k n+~2，「k nn7 n 「 r 「 n 7 n+12= x <k n+12，当 k = 0 时，x € ［乜，乜］.12. 已知 sin(a+ 3 = 2，sin(a- 3 = £，则 log • 5(器等于 (C . 41 sin a os 3+ cos a in 23得 1sin a os 3— cos a in 3= 313. (1+ tan 17 )(1 + tan28 °tan 17 ° tan28［解析］原式=1 + tan 17 + tan28 °tan 17 °tan28 ；又 tan(17 +28°) = ------------- =1 — tan17 )an28 0 tan45 = 1，Atan17 + tan28 = 1— tan 17 °tan28 )14. (2012全国高考江苏卷)设a 为锐角，若cosn a+6=5，贝U sin 2 a+ 的值为弋^2.n n 2 n n ［解析］Ta 为锐角，.「6<a+ 6<3，v cos a- 6 =4 5, n 3 sin a+ 6 = 5；n n n 24.••sin 2 a+ 3 = 2sin a+ 6 cos a+ 6 = 25,n n 2 .2 n 7cos(2 a+ 3) = cos( a+ g) 一 sin ( a+ g) =25 . n n n . n .•sin 2 a+ 12 = sin 2 + 3— 4 = sin 2 a — 3 ncos4—cosc n . n 1A /2 2a+3 sin 4= 50 .115.已知 cos2a= 3，贝U sin 4 a+ cos 4a=［解析］由sin(a+ 3 = 2， sin(a- a 5sin ocos 3=12.tan a 1，• °tan 3cos a i n 3=徨=5,「•log ‘5(眯沪 g 552 = 4.、填空题(本大题共4个小题, 每小题5分，共20分)代入原式可得结果为2.521 2 2 2［解析］cos2o a 2cos a—1= 3 得cos a 3,由cos2o a 1 —2s in a得sin2a 3(或据sin2a2 2 1 , + cos a 1得Sin a= 3),代入计算可得.3 1 n n16.设向量a=(刃sin0, b= (cos0 3)，其中0€ (0,刃，若a / b,贝U 0= ___41 n ［解析］若a//b，贝U sin 0cos A2，即卩2sin(Cos B= 1 ,：sin2 A1,又(0,㊁),n 4.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤3 - 3 sin2 a+ 2sin a,17.（本题满分10分）已知cos a—sin a= 5^，且na^n 求—1 —t an a—的值.［解析］因为cos a—sin aa%"2,所以1 —2si n a cos a=卷，所以2si n«cos a= £又a€ ( n "2)，故sin a+ CoS a=-冷 1 + 2sin0cos a= —誉,2 2sin2 a+ 2sin a 2sin a cos a+ 2sin a cos a 2sin a cos a cos a+ sin a所以=1 —tan a COS a—sin a COS a—sin aZ x4/225x一 55 28 75.18.（本题满分12分）设x€ [0 , 3］，求函数y= cos(2x-3) + 2sin(x—力的最值.n n n n［解析］y = cos(2x—3) + 2si n(x—6)= cos2(x—6)+ 2sin(x—石)2n n n 1 2 3=1 —2sin (x—舌)+ 2sin(x —6)= —2［sin(x—$) —2 + 21 1 3 1 • x€ ［0 , 3］, —x—g［一6，6］.• °sin(x—g) € ［一？, 2］ ,^ymax a2，ymin= —2*19.(本题满分12分)已知tan2a2tan2a+ 1,求证:cos20+ sin2a= 0.十卄2cos20- sin20 2 1 —tan20 2—2tan2a［证明］ cos2 0+ sin a= 2 2 + sin a= 2 + sin a= 2cos20+ sin20 1 + tan20 1 + 2tan2a+ 1+ si n2a=.2—sin a 2 + sin a= COS a+ Sin a 2 o—sin a+ sin a 0.3x . 3xx . x »亠12分)已知向量 a = (cos^, sin_2), b = (co^,— sin^), c = (.3— 1),其中 x €R.(1)当a 丄b 时，求x 值的集合； ⑵求a —ci 的最大值.3x x 3x xk n n ［解析］(1)由 a 丄b 得 a b = 0,即卩 cos^cos^ —sin-^sin^a 0,贝Ucos2x = 0,得x a ^ + 4(kk n n€ Z), Ax 值的集合是{x|x = 2 + 4, « Z}.2 3x1- 2 3x 2 o 3x t -3x o 3x 3x(2)|a — c| = (cos 刁—.3) + (sin_2 + 1) = cos"^ — 2.3cos^ + 3+ sin + 2sin^ + 1=5+ 2sin^x —2 ,3。

2017-2018学年数学北师大版必修4练习：第三章章末测试 Word版含解析

11 1－ ×
3 2＝1.
1π
π
又∵β∈(0，π)，tanβ＝－7，∴2＜β＜π，又 α∈(0，4)， 3π
∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－ 4 . 16．如图，
设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点，P、Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点， π
∠AOP＝6，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
34
＝ cos17° ＝sin30°＝2. π
1
1
15．已知 α∈(0，4)，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝2，tanβ＝－7，求 2α－β.
2
1
11 － 27
1
11
1－ × －
解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ 2
7 ＝3，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝
11 ＋ 32
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． sin47°－sin17°cos30°
14．化简求值：
sin73°
.
sin30°＋17°－sin17°cos30° sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°
解：原式＝
cos17°
＝
sin30°cos17°
1
cos17°
tan 2
ππ
x1－tan2Fra bibliotek6．当 x∈[－6，3]时，y＝
2的最小值为( )
3
3
A．－ 3 B．－ 6
23
3
C．－ 3 答案：B
D．－ 2 x
tan 2
x1
π
3
1－tan2
解析：∵y＝
2＝2tanx，∴当 x＝－6时，ymin＝－ 6 .

高一下学期数学(人教版必修4)第三章3.1.3课时作业

π π 1 π 3．已知 sin( ＋x)sin( －x)＝，x∈( ，π)，求 sin 4x 的值． 4 4 6 2 π π π π π π π 1 π 解：∵sin( ＋x)sin( －x)＝sin( ＋x)sin[ －( ＋x)]＝sin( ＋x)cos( ＋x)＝ sin( ＋2x) 4 4 4 2 4 4 4 2 2 1 1 ＝ cos 2x＝， 2 6 1 ∴cos 2x＝ . 3 π 2 2 ∵x∈( ，π)，∴2x∈(π，2π)，∴sin 2x＝－ . 2 3 ∴sin 4x＝2sin 2xcos 2x＝－ 4 2 . 9
[学业水平训练] π π π π cos －sin cos ＋sin 的值为( 1. 12 12 12 12 A．－ 1 C. 2 3 2 )
1 B．－ 2 D. 3 2
π π π 3 解析：选 D.原式＝cos2 －sin2 ＝cos ＝ . 12 12 6 2 α 3 α 4 2．已知 sin ＝，cos ＝－，则角 α 终边所在的象限是( 2 5 2 5 A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 )
1＋sin 4θ－cos 4θ 1＋sin 4θ＋cos 4θ 4．求证：＝ . 2tan θ 1－tan2θ 证明：原式变形为 1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，① 而①式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝ sin 2θ (2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ) cos 2θ
24 A．－ 25 24 C. 25 解析：选 A.∵ cos 2x π 2cos x＋4 1 ＝， 5
4 B．－ 5 2 5 D. 5
∴
cos2x－sin2x 1 ＝， cos x－sin x 5

苏教版高中数学必修4高一第二学期周练答案

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）高一数学第二学期周练（五）答题纸班级学号姓名得分一、填空题：1.______平行___________ 2._______11/2_____________3._________ 1 或 3_____4.________-8_______________5._________{4，-2，0}______ 6._________1_______________7._________  3 _______ 38.___4π ____________________9._______0<ω <3/2_______ 10._________[-3/2,3]________ 11.________ -π /2_______ 12.___________ π /4_________ 13.______（1/5,-2/5）___ 14.__________④_____________ 二、解答题： 15.解：由 5x2-7x-6=0 解得 x1=2,x2=-0.6∵ 是第三象限角∴sin =-0.6∴tan =3/4原式= cos  (sin  )  tan 2    tan 2   cos  ( sin )∴原式=-9/1616. CD= 2a2 b， CE a4 b3317．（1）∵ AB  (1,2) ∴| AB | 5∴与AB共线的单位向量是5 5，25 5（2）设 D 点的坐标为（x,y）,则 CD  (1  x,1  y)∵四边形 ABCD 是平行四边形∴ AB ＝ DC{1 x 1∴ 1 y2 ∴x=0,y=-1, ∴D 点的坐标为(0,-1)(3) ∵ AB 与 AC 不共线∴设 a=xAB+yAC∴(5,8)=(x+2y,2x+y){ ∴x2 2xy5 y8∴x=11 3,y=2 3∴ a=11AB+2AC3318.(1)f(x)=4sin(2x+  ) 3(2)g(x)=4sin( 2 -2x)=-4sin(2x- 2 )33减区间为k 12, k7 12kZ（3）f(x)+g(x)= 4sin(2x+  )+4sin( 2 -2x)33=8 sin(2x+  ) 3∴f(x)+g(x)的最大值为 819．解：（1） f (a)= (1,1),f (b)  (0, 1)（2）设 a  (x1, y1),b  (x2, y2)ma  nb  (mx1  nx2, my1  ny2 )  f (ma  nb)  (my1  ny2, 2my1  2ny2  mx1  nx2 ) mf (a)  nf (b)  m( y1, 2 y1  x1)  n( y2, 2 y2  x2 ) (my1  ny2, 2my1  2ny2  mx1  nx2 )对于任意向量 a、b 及常数 m、n， f (ma  nb)  mf (a)  nf (b)(3)a  (x, y) f (a)  ( y, 2 y  x)  (3,5) {y32 yx5 x  1, y  3 c  (1, 3)20．解：（1）f(x)=sinx+ 3 cos x  1 sin x22 3 sin x  3 cos x 22 3 sin(x   ) 63( 3 sin x  1 cos x)22(2)T= 2 ,对称中心（ k   ,0 ）( k  Z ) 6(3)  x [0,  ] 2 x   [ , ] 6 63sin(x   ) [1 ,1] 62 f (x) [ 3 , 3] 2 f (x)的最大值为 3，此时x   3f (x)的最小值为 3 ，此时x  0 2。

高中周周测必修4高一试题(共11页)

高一语文(yǔwén)加油站——必修四第一专题练习一、根底知识〔51分，每一小题3分〕1．选出以下各组词语中加点的字读音和书写全都正确的一项是哪一项〔〕A．饿莩．〔piǎo〕山颠．〔diān〕踬踣．．〔ái ái〕．．〔zhì bó〕白雪皑皑B．庠．序〔xiáng〕炽．热〔zhì〕编纂．〔zuàn〕碧血横．飞〔héng〕C．菲．薄〔fēi〕犄．角〔jǐ〕筋胳．〔luò〕摇摇欲坠．〔zhuì〕D．蜷．曲〔quán〕猖獗．．〔chāng jué〕汗涔．涔．〔cén cén〕枯燥如焚〔zào〕2．以下各句中加点成语的使用有误的一项是哪一项〔〕A．由于剩余价值的发现，这里就豁然开朗．．．．了，而先前无论资产阶级经济学家或者者HY 批评家所做的一切都只是在黑暗中探究。

B．在冬春相交的日子，气象多变，雨、雪天气根本上是平分秋色．．．．，这使得环城路拥挤不堪。

C．但这种乐趣保存在运发动内心深处，在某种程度上只是自得其乐．．．．。

D．在州长仍旧仲裁及回绝执行联邦政府法令大放厥词．．．．的阿拉巴马，有一天，黑人男孩和白人男孩可以无拘无束地手牵着手，情同手足。

3．以下句子中没有语病的一句是〔〕A．中国的情况不在于几代同堂，而在于人们的生活中有一种观念，要求代际之间有一种融洽的关系。

B．马克思在他所研究的每一个领域都有独到的发现，这样的领域是很多的，然而其中任何一个领域他都不是浅薄地研究的。

C．随着社会的开展，加快对外太空的开发、探究和研究，是一个必然的趋势。

D．这个城墙由于劳动的创造(chuàngzào)，它的工程表现出伟大的集体创造与成功的力量。

4、选出以下加点字注音错误最多的一项〔〕A、颛臾〔zhuān〕虎兕〔shì〕买椟〔dǔ〕还珠固而近于费〔bì〕挫〔cuò〕折B、粟〔shù〕弃甲曳〔yè〕兵胜〔shēn〕食数〔shù〕罟饿莩〔piǎo〕C、鸡豚狗彘之畜〔chù〕庠〔yáng〕序孝悌〔dì〕嫉〔jì〕恨炽〔zhì〕热D、镣〔liáo〕铐给〔jǐ〕予义愤填膺〔yīng〕编纂〔zuǎn〕皑皑〔ǎi〕5．以下各项中没有错别字的一项是哪一项〔〕A．璀璨浅薄温馨祸起箫墙 B．庠序分崩离析赎罪安之假设素C．编纂语焉不祥祈祷缔造 D．枷锁大放厥词蜕变遥遥欲坠6、以下横线上依次填入的词语，最恰当的一项是哪一项〔〕①就某种意义而言，今天我们是为了要求诺言而聚集到我们国家的首都来的。

高一下学期数学(人教版必修4)第三章3.2课时作业

[学业水平训练]1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在解析：选B.由2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在，当cos α2≠0时，则tan α2＝12.2．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，那么 sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2解析：选D.若5π<θ<6π，则5π2<θ2<3π，5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 3．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43解析：选D.1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 4．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．±1 解析：选C.∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos 2β＝0.5．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值是( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：选B.f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝⎝⎛⎭⎫1＋3sin x cos x cos x ＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<23π，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取到最大值2.6．化简：sin α＋sin 2α1＋cos α＋cos 2α＝________．解析：原式＝sin α（1＋2cos α）1＋cos α＋2cos 2α－1＝sin α（1＋2cos α）cos α（1＋2cos α）＝tan α.答案：tan α7．已知sin θ2＋cos θ2＝233，则cos 2θ＝__________．解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以1＋sin θ＝43，即sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－29＝79.答案：798．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 等于________．解析：在△ABC 中，B ＋C 2＝π2－A2，sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－A 2＋cos 2A ＝cos 2A 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝－19. 答案：－199．求3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）的值．解：原式＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°sin 12°·2cos 24°＝3sin 12°－3cos 12°sin 24°cos 24°＝43（sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°）2sin 24°cos 24°＝43sin （－48°）sin 48°＝－4 3.10．如图，屋顶的断面是等腰三角形ABC ，其中AB ＝BC ，横梁AC 的长为定值2l ，试问：当屋顶面的倾斜角α为多大时，雨水从屋面(屋面为光滑的斜面)上流下所用的时间最短？解：雨水从屋顶沿屋面下落做初速度为零，加速度为g sin α的匀加速运动．设雨水从B 运动到A 所用的时间为t ，则|AB |＝l cos α＝12(g sin α)t 2，所以t 2＝2l g sin αcos α＝4l g sin 2α≥4l g ，当且仅当sin 2α＝1，即α＝π4时，雨水从屋顶上流下所用时间最短．[高考水平训练]1．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2D.2π3解析：选D.f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3，当θ＝2π3时， f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 为奇函数． 2．设p ＝cos αcos β，q ＝cos 2α＋β2，则p 与q 的大小关系是________．解析：因为p －q ＝2cos αcos β－1－cos （α＋β）2＝2cos αcos β－1－cos αcos β＋sin αsin β2＝cos （α－β）－12≤0，所以p ≤q .答案：p ≤q3．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2.解：∵α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，∴cos α＝－35，cos β＝513.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－35×513＋45×1213＝3365.又π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α－β<π，0<α－β2<π2.∴cos α－β2＝1＋cos （α－β）2＝1＋33652＝76565. 4．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．解：(1)由已知f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35. ∴cos α－sin α＝325，平方得1－sin 2α＝1825.∴sin 2α＝725.。

高一下学期数学必修4全册课时作业-第三章31002

[学业水平训练]1.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选D.原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 2．已知sin α2＝35，cos α2＝－45，则角α终边所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由题意，得sin α＝2sin α2cos α2＝－2425<0，cos α＝2cos 2α2－1＝725>0，故α是第四象限角．3．下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是( )A ．f (x )＝sin 2x g (x )＝2sin x cos xB ．f (x )＝cos 2x g (x )＝cos 2x －sin 2xC ．f (x )＝2cos 2x －1 g (x )＝1－2sin 2xD ．f (x )＝tan 2x g (x )＝2tan x 1－tan 2x解析：选D.显然选项A 、B 、C 均正确，对于D ，函数f (x )与g (x )的定义域不同，所以二者表示的函数不同．4．已知cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425 B ．－45 C.2425 D.255解析：选A.∵cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15， ∴1＋sin 2x ＝125， ∴sin 2x ＝－2425.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且 sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2D. 3解析：选D.∵sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14. ∴cos α＝±12. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3. 6．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________．解析：由已知可得cos α＝－255， ∴tan α＝－12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425. 答案：2425。

苏教版高中数学必修4高一第二学期周练试卷

高一数学第二学期周练（五）班级学号姓名得分一、填空题：1.平面四边形ABCD 和点O ，若OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是四边形.2.(1,2),(2,3),(2,0),(,)A B C D x y ---，且2AC BD =u u u r u u u r，则x y += 3.1,2,a b a b λ===r r r r ，则a b -r r=4.设12,e e u r u u r 是两个不共线的向量，已知122,AB e ke =+u u u r u r u u r 12123,2CB e e CD e e =+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r，若A B D 、、三点共线，则k =5.函数sin 2cos tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域为 6.442cos sin 2sin x x x -+的值为7.若cos()63x π-=5cos()6x π+=8.函数()sin()42xf x π=-的最小正周期为9.函数()2tan (0)f x x ωω=>在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的范围是10.已知()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是11.若函数2()sin 2cos f x x x =+在2,3πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的值是12.为了得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将cos(2)3y x π=-的图象向右平移个长度单位.13.已知坐标平面内(1,2),(3,1),(1,2)OA OB OM ==-=-u u u r u u u r u u u u r，p 是直线OM 上一点，当22PA PB +u u u r u u u r 最小时，OP uuu r的坐标为14.下列说法正确的序号是①a b r r 与不共线，则a b λr r与也不共线 ②函数tan y x =在第一象限内是增函数③函数()sin ,()sin f x x g x x ==均是周期函数 ④函数()4sin(2)3f x x π=+在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ⑤函数()sin(2)23f x a x π=++的最大值为2a +二、解答题：15.若sin α是方程25760x x --=的一个根，且α是第三象限角，求233sin()cos()tan ()22cos()sin()αππαπαπαπα--⋅-⋅--+.16.如图，ABC ∆中，D E 、为边AB 的两个三等分点，=3,2CA a CB b =u u u r r u u u r r，试a b r r 、表示向量CD CE u u u r u u u r、.C ADEB17.已知(1,0),(0,2),(1,1)A B C -，(1)求与AB u u u r共线的单位向量；(2)若ABCD 是平行四边形，求点D 的坐标；(3)若(5,8)a =r，试用AB AC u u u r u u u r 、表示a r .18.已知定义在R 上的函数()sin()(,0,0)2f x A x A πωϕϕω=+<>>的最小正周期为π，且对一切x R ∈，都有()()412f x f π≤=.(1)求()f x 的表达式；(2)若()()6g x f x π=-，求()g x 的单调递减区间；(3)求()()f x g x +的最大值.19.已知向量(,)u x y =r 与向量(,2)v y y x =-r 的对应关系可用()v f u =r r表示.(1)设(1,1),(1,0)a b ==r r ，求向量()()f a f b r r及的坐标；(2)证明：对于任意向量a b r r 、及常数m n 、，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+r r r r成立； (3)求使()(3,5)f c =r成立的向量c r .20.阅读与理解：给出公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；我们可以根据公式将函数()sin g x x x =化为：1()2(sin )2(sin cos cos sin )2sin()22333g x x x x x x πππ=+=+=+(1)根据你的理解将函数()sin cos()6f x x x π=+-化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式.(2)求出上题函数()f x 的最小正周期、对称中心. (3)求函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值及相应的x 的值.。

高一下学期数学必修4全册课时作业-第三章312001

[学业水平训练]1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A ．－12B.12C.32 D ．－32解析：选A.原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12. 2．已知a ＝(2sin 35°，2cos 35°)，b ＝(cos 5°，－sin 5°)，则a ·b ＝( ) A.12 B ．1C ．2D ．2sin 40°解析：选B.a ·b ＝2sin 35°cos 5°－2cos 35°sin 5°＝2sin 30°＝1.3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选B.f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因为x ∈R ，所以x －π6∈R ，所以f (x )∈[－3，3]，故选B. 4．已知α，β都是锐角，sin α＝45，cos(α＋β)＝513，则sin β的值为( ) A.1665B.5665C.865D.4765 解析：选A.∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π，∴cos α＝1－sin 2α＝35， sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝1213. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝1213×35－513×45＝1665.5．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选A.在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0.即sin(B －A )＝0.又∵0<A <π，0<B <π，∴A ＝B ，故选A.6．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)＝________．解析：∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，则2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4) ＝2(45×22－35×22)＝15. 答案：157．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________．解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)， ∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3，即12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，两边同除以cos α，得12－32tan α＝12tan α－32，即1＋32tan α＝1＋32， ∴tan α＝1.答案：18．已知sin α－cos β＝12，cos α－sin β＝13，则sin(α＋β)＝______．解析：sin α－cos β＝12两边平方与cos α－sin β＝13两边平方相加得2－2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1336，即2－2sin(α＋β)＝1336，∴sin(α＋β)＝5972.。

湖北襄阳2018学年数学必修4练习：第三章章末测试 Word版含解析

故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋ ](k∈Z)．
7．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ的值为()
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，∴sin(－β)＝m，sinβ＝－m，又∵β为第三象限角，∴cosβ＝－ .
8．已知tan(α＋β)＝，tan(β－ )＝，则tan(α＋ )等于()
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝ [1＋cos(2x＋ )]＋1＋ sin2x
＝ [cos(2x＋ )＋sin2x]＋
＝ ( cos2x＋ sin2x)＋＝ sin(2x＋ )＋ .
当2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋，即kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)时，
函数h(x)＝ sin(2x＋ )＋是递增的．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝ .
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以
1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是
sin(2θ＋ )＝－ .
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝ .
因此θ＝或θ＝ .
18．已知函数f(x)＝cos2(x＋ )，g(x)＝1＋ sin2x.
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．

(2021年整理)人教版必修四第三章测试题(含答案)

人教版必修四第三章测试题(含答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（人教版必修四第三章测试题(含答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为人教版必修四第三章测试题(含答案)的全部内容。

第三章测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题4分,满分48分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα( ） A ．1325 B ． 1327 C ． 26217 D ． 2627 2．若βα,均为锐角,==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ) A ．552 B ． 2552 C ．2552552或 D ． 552-3．ππππ(cossin )(cos sin )12121212-+=（） A ． 23-B ． 21- C ． 21D ． 234．tan70tan50tan50︒+︒︒=（）A ． 3B ．33C ． 33-D ． 3-5．=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ) A ． αtan B ． αtan2 C ． 1 D ． 216．已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（） A ．x sin 2 B ．x sin 2- C ．x cos 2 D ．x cos 2-7．已知等腰三角形顶角的余弦值等于54，则这个三角形底角的正弦值为( ）A ．1010 B ．1010- C ．10103 D ．10103-8．若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ) A ． 6π-B ．6π C ． 65π D ． 65π-9．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（）A ．89- B ．21-C ． 21D ．8910．已知cos 23θ=，则44cos sin θθ-的值为（）A ．3-B ．3C ．49D ．1 11．求π2π3π4π5πcos cos cos cos cos 1111111111=（）A ．521B ． 421 C ． 1 D ． 012．函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是（）A ． 11π3x =B ．5π3x =C ．5π3x =-D ．π3x =-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．共16分．13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ．14．在ABC ∆中，已知tan A ，tan B 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ．15．若542cos ,532sin-==αα，则角α的终边在象限． 16．代数式sin15cos75cos15sin105︒+︒+︒︒= ．三、解答题:本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．（10分）△ABC 中，已知35cos π,cos π513A B ==，求sin C 的值．18．(10分）已π3π24βα<<<,αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<．19．(12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求πsin()4sin2cos21ααα+++的值．20．（12分）已知π(0,)4α∈，(0,π)β∈，且71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2．21．（ 12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =++，x ∈R ．（1)求证)(x f 的最小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．参考答案一、选择题1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．C 二、填空题 13．3π414．7- 15．第四 16．1 三、解答题， 43 17 ∴ 若又由 656313 5 5 3 13 12 5 4 sin cos cos sin ) sin( sin 1312 cos , 180 B A , 120 , 13 12 cos 60 2 3 sin , 13 12 sin 1 cos , 13 5 sin 5sin , 5 cos , : . 2 = ⨯ + ⨯ = + = + = = > + > ∴ - = > ∴ > ± = - ± = = = ∴= ∆ B A B A B A C B B B A A B B B A A ABC 故不合题意舍去这时可得中在解 .. ° ° °19。

精品高一数学必修4课时练：第三章三角恒等变换(A)

第三章三角恒等变换(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.322．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝π D ．x ＝3π23．已知sin(45°＋α)＝55，则sin 2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.454．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤5π12，13π12 D.⎣⎡⎦⎤π3，5π6 5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )A.43B.34C.53D.126．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.327．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A. 2 B ．－22 C ．2 D.2或－228．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( ) A ．向左平移π2个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向右平移π2个单位 D ．向左平移π4个单位 9．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c10．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( ) A.1tan 2α B ．tan 2α C.1tan αD ．tan α 11．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的正半轴，终边经过点P (－3，－4)．角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的正半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan β＝－2，则cos ∠POQ 的值为( )A ．－55 B ．－11525C.11525D.5512．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动．且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( )A ．2，πB ．2,4πC.1，4πD.1，π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________． 14．已知sin α＝cos 2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________. 15．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2. 求：tan(α＋β)及α＋β的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．19．(12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．20．(12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．22．(12分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值．第三章三角恒等变换(A )答案1．D [(cosπ12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.] 2．C [y ＝sin ⎣⎡⎦⎤(2x ＋π3)－(x －π6)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1.] 3．B [sin (α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55， ∴sin α＋cos α＝105. 两边平方，∴1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－35.] 4．B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x ＝－12sin 2x －32cos 2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 当x ＝π12时，y min ＝－1；当x ＝712π时，y max ＝1，且T ＝π.故B 项合适．]5．A [∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，1<sin θ＋cos θ≤ 2.] 6．B [sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin (90°＋73°)sin (270°－47°)＋sin (180°＋73°)sin (360°－47°)＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)＝－cos (73°＋47°)＝－cos 120°＝12.] 7．B [∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，则tan θ<0，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2(舍去)， ∴tan θ＝－22.] 8．C [y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ∴y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4.] 9．A [a ＝sin 62°，b ＝cos 26°＝sin 64°，c ＝sin 60°.∵y ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2为递增函数，∴c<a<b.] 10．B [原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝tan 2α.] 11．A[tan β＝tan (π－θ1)＝－tan θ1＝－2，∴tan θ1＝2，tan θ2＝43. ∴tan ∠POQ ＝tan θ1＋tan θ21－tan θ1tan θ2＝－2， ∴π2<∠POQ<π.∴cos ∠POQ ＝－55.] 12．C [OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2，12)⊗(x ，y )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12y )，则x Q ＝2x ＋π3，y Q ＝12y ，所以x ＝12x Q －π6，y ＝2y Q ，所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)．所以最大值A ＝12，最小正周期T ＝4π.] 13．1解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1，∴3tan 15°＋13－tan 15°＝1. 14．－33解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin 2α∴2sin 2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝12或－1. ∵π2<α<π，∴sin α＝12，∴α＝56π，∴tan α＝－33. 15.2＋1解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x －π4)＋1， ∴y max ＝2＋1.16．1解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β)∵α、β均为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.17．解 ∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. ∵0<α<π2，π<β<3π2， ∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4. 18．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73. 19．解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0.由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.解之，得tan α＝－43，或tan α＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－43. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．21．解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1， f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)．因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35. 由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]，从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 2(2x 0＋π6)＝－45. 所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310. 22．解 (1)tan α＝2tan α21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45. (2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π. 因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210. 所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7210×35＋210×45＝22. 因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以β＝3π4.。

高一数学高中数学必修4：第三章++三角恒等变换+单元同步测试(含解析)

第三章测试一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( )A.14 B ．－14 C.34 D ．－34解析原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－32 C.34 D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34. 又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32.答案 B3已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为() A. 2 B.22 C.32 D. 2解析在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，3sin A －cos(B ＋C )＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A )＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2.答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45 C.45 D.65 解析原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°，∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数，∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c .答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( )A ．tan A ·tanB >1 B. tan A ·tan B <1C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角．则有tan A >0，tan B >0，tan C <0.又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B<0，易知1－tan A ·tan B >0，即tan A ·tan B <1.答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C 11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2 解析原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( ) A.5665 B.1665 C.5665或1665 D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解析 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值；(2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79. ∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0.∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α.∴原等式成立． 19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22 ＝45.解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210，即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0，解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425. cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合；(2)求|a －c |的最大值．解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z .(2)|a －c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1 ＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3，则|a －c |2的最大值为9.∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2.22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。