2011年全国高中数学联赛试题
2011年全国高中数学联赛一试试题参考答案与评分标准
即 t 4 − ( x1 + x 2 )t 2 + x1 ⋅ x 2 + 4t 2 − 2( y 1 + y 2 )t + y 1 ⋅ y 2 = 0 ， 即 t 4 − 14t 2 − 16t − 3 = 0 ， 即 (t 2 + 4t + 3)(t 2 − 4t − 1) = 0 ． 从而点 C 与点 A 显然 t 2 − 4t − 1 ≠ 0 ， 否则 t 2 − 2 ⋅ 2t − 1 = 0 ， 则点 C 在直线 x − 2 y − 1 = 0 上， 或点 B 重合． 所以 t 2 + 4t + 3 = 0 ，解得 t 1 = −1, t 2 = −3 ． 故所求点 C 的坐标为 (1,−2) 或 (9,−6) ．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在横线上．
1 ．设集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B = {−1, 3, 5, 8} ，则集合 A = ． 解 显然，在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 3(a1 + a 2 + a 3 + a 4 ) = (−1) + 3 + 5 + 8 = 15 ， 故 a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 5 ，于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5 ＝0，5－8＝－3，因此，集合 A = {−3, 0, 2, 6} ．
2011 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）
2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2011年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2011B1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201011S S -=，则2011S = ． ◆答案：10092011★解析：因为{}n a 是等差数列，所以201011S S -=即120091006=a ，得200911006=a ， 所以2011S =()20092011201122011100620111==+a a a2011B 2、已知复数z 的模为1，若1z z =和2z z =时1z i ++分别取得最大值和最小值，则12z z -= .◆答案：()i +12★解析：由z i i z z i ++≤++≤-+111，即12112+≤++≤-i z ，当i z ++1取得最大值（最小值）时，z 与i +1共线，且方向相同（相反）， 又⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 4cos 21ππi i ，所以4sin 4cos 1ππi z +=，45sin45cos 2ππi z += 所以()i i i z z +=--+=-1245sin 45cos4sin4cos 21ππππ2011B 3、若正实数b a ,满足2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log . ◆答案： 1- ★解析：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+． 又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是 ab b a 22=+．②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎩⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎩⎨⎧-=+=,12,12b a ，故1log -=b a ．2011B 4、把扑克牌中,2,,,,A J Q K 的分别看作数字1,2,,11,12,13.现将一副扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_____． ◆答案：652 ★解析：从26张牌中任意取出2张，共有325226=C 种取法。
全国高中数学联赛试题参考答案(0000)
2011年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A {-3,0,2,6}．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a xa x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。
2011年全国高中数学联赛加试试题参考答案与评分标准
………………10 分
注意到，若 i, j 固定，则显然至多有一个 k 使得①成立．因 i < j ，即 i 有 j −1 种选法，
故 g j (r) ≤ j −1． 同样地，若 j, k 固定，则至多有一个 i 使得①成立．因 k > j ，即 k 有 n − j 种选法，故
g j (r) ≤ n − j ．从而
又因为 Q 为 BD 的中点，所以 ∠CQB = ∠DQF ． 又 ∠AQB = ∠DQF ，所以 ∠AQB = ∠CQB ．
………………40 分
2011 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）答案第 1 页（共 4 页）
二、（本题满分 40 分）证明：对任意整数 n ≥ 4 ，存在一个 n 次多项式
i = m +1
即第 2 行至第 3 行、第 m +1列至第 n 列组成一个“好矩形”，从而至少有 2 个小方格不是“坏
格”，矛盾．
类似地，也不存在 m, n, 0 ≤ m < n ≤ 9 ，使 S m + Tm ≡ S n + Tn (mod10) ． …………30 分
因此上述断言得证．故
9
9
9
∑ ∑ ∑ S k ≡ Tk ≡ (S k + Tk ) ≡ 0 +1+ 2 +L + 9 ≡ 5(mod10) ，
f (x) = (x +1)(x + 2)L(x + n) + 2 ，
①
………………10 分
将①的右边展开即知 f (x) 是一个首项系数为 1 的正整数系数的 n 次多项式．
下面证明 f (x) 满足性质（2）．
对任意整数 t ，由于 n ≥ 4 ，故连续的 n 个整数 t +1, t + 2,L, t + n 中必有一个为 4 的倍数，
2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．
9．（本小题满分 16 分）已知实数 x, y, z 满足：x ≥ y ≥ z ，x + y + z = 1，x 2 + y 2 + z 2 = 3 ．求
实数 x 的取值范围． 解 令 x = 1+ t ．由 x + y + z = 1得 z = −t − y ，代入 x 2 + y 2 + z 2 = 3 ，得
2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（B 卷）第 4 页（共 5 页）
x 2 − 4 pq x − 2qy1 y2 = 0 ．
①
y1 + y2
y1 + y2
由于 A1 A2 所在的直线与抛物线 x 2 = 2qy 相切，所以方程①的判别式
化简整理得
Δ
=
⎜⎜⎝⎛ −
)=
2009a1006
=1，
于是 a1006
=
1 2009
，所以
S 2011
= 2011( a1
+ a 2011 )09
．
2．已知复数 z 的模为 1， 若 z = z1 和 z = z2 时|z+1+i|分别取得最大值和最小值，则
z1 − z2 =
．
解 易知|1+i|-|z|≤|z+1+i|≤|1+i|+|z|，即 2 −1 ≤|z+1+i|≤ 2 +1 ．
2
2
又 x ≥ y ，所以 1+ t ≥ − t + 4 − 4t − 3t 2 ，即 2 + 3t ≥ 4 − 4t − 3t 2 ，解得 t ≥ 0 ． 2
2011年全国高中数学联赛试题参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
◆答案：
5 , 4 4
5 5 3 3 3
★解析： 不等式 cos sin 7(sin cos ) 等价于 sin 又 f ( x) x
3
1 5 x 是 (,) 上的增函数，所以 sin cos ， 7 5 (k Z)． 故 2k 2k 4 4
3(a1 a 2 a 3 a 4 ) (1) 3 5 8 15 ，故 a1 a 2 a 3 a 4 5 ，
于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3， 因此，集合 A {3, 0, 2, 6} ．
2011A 2、函数 f ( x )
0
3
★解析： 设四面体 ABCD 的外接球球心为 O ， 则 O 在过△ ABD 的外心 N 且垂直于平面 ABD 的垂线 上．由题设知， ABD 是正三角形，则点 N 为 ABD 的中心．设 P, M 分别为 AB, CD 的中点，则
2011 年全国高中数学联合竞赛试题 （A 卷） 第 2 页 共 11 页
2
ACB 90 0 ，则点 C 的坐标为
◆答案： (1,2) 或 (9,6) ． ★解析： 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C (t ,2t ) ， 由
2
x 2 y 1 0, 2 得 y 8y 4 0 ， 则 y1 y 2 8 ， 2 y 4 x ,
2011 年全国高中数学联合竞赛试题 （A 卷） 第 4 页 共 11 页
于是 0 a 1 1 b 2 ．
10 1． b2 10 10 ] | lg[6(b 2) ]． 从而 f (10a 6b 21) | lg[6(b 2) b2 b2 10 ] 4 lg 2 ， 又 f (10a 6b 21) 4 lg 2 ，所以 lg[6(b 2) b2 10 1 16 ．解得 b 或 b 1 （舍去） 故 6(b 2) ． 3 b2 1 2 把 b 代入 ( a 1)(b 2) 1 解得 a ． 3 5 2 1 所以 a ， b ． 5 3
2011年全国高中数学联赛试题及标准答案
2０11年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。
(完整word版)2011年全国高中数学联赛试题及答案
．
3.（50分）设 是给定的正实数， ．对任意正实数 ，满足 的三元数组 的个数记为 ．
证明： ．
4.（50分）设A是一个 的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个 的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
，
故 ，于是集合 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合 ．
2． .提示：设 ，且 ，则
．
设 ，则 ，且 ，所以 ．
3．-1.提示：由 ，得 ．又
，
即
．
于是
．
再由不等式 中等号成立的条件，得 ．与 联立解得 或
故 ．
4． .提示：不等式
等价于
.
又 是 上的增函数，所以 ，故
当 时， C ，在C 中，同样可求得 中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为 ，故 不是整数．
因此，整数项的个数为 ．
9．因为 ，所以
，
所以 或 ，又因为 ，所以 ，所以 ．
又由 有意义知 ，从而
，
于是
．
所以
．
从而
．
又
，
所以
，
故 ．解得 或 （舍去）．
把 代入 解得 ．
8．15.提示： C ．
要使 为整数，必有 均为整数，从而 ．
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时， 和 均为非负整数，所以 为整数，共有14个．
当 时， C ，在C 中， 中因数2的个数为
2011年全国高中数学联赛一试试题及参考答案
１
２ ０ ０！ 中， 同样可求得９ ２！ 中 因 数 ２ 的 个 数 为 ９ ２！ ·１ ０ ８！
８ ６ 故Ｃ ８ ８， １ ０ ８！ 中因数 ２ 的个数为 １ ０ ５， ２ ０ ０中 因 数 ２的 个
２ ２ ３ ） ） （ ） 又（ ａ＋ ｂ ＝４ ａ ｂ＋ （ ａ－ ｂ ＝４ ａ ｂ＋４ ａ ｂ ２ ３ （ ） ， ） ＝８ ａ ｂ ａ ｂ·（ ａ ｂ ≥４·２ 槡
ｂ＋１） （ ， 实数 ａ， 满 足 ｆ（ ｂ ａ＜ ｂ） ａ） ＝ｆ（ － １ ０ ａ＋６ ｂ＋ ｆ（ ｂ＋２ ） 求 ａ， ２ １ ＝４ ｌ ２， ｂ 的值 ． ｇ
中学生数学 ·２ 高中 ） ０ １ ２ 年 １ 月上 · 第 ４ ３ ３期（
２ ０ １ １ 年全国高中数学联赛一试 试题及参考答案
试 题
一、 填空题 （ 每小题 ８ 分 ， 共６ ４分） ， 设集合 Ａ＝ ｛ 若 Ａ 中所有三元子 １． ａ ａ ａ ａ １， ２， ３， ４｝ ， 则 集的三个元素之和组成的 集 合 为 Ｂ ＝ ｛ －１， ３， ５， ８｝ 集合 Ａ＝ ．
８ ６ ３ ８ －５ ８ ６ ， 当 ｎ ＝８ 在Ｃ ６ 时， ａ ２ ０ ０ ·３ ·２ ２ ０ ０ ＝ ８ ６ ＝Ｃ
ＯＮ ⊥Ｄ Ｐ， ＯＭ ⊥Ｃ Ｄ．
因为 ∠Ｃ ＤＡ ＝ ∠Ｃ Ｄ Ｂ＝ ， 设Ｃ Ｂ＝６ ０ ° Ｄ 与平面 ∠ＡＤ ， Ａ Ｂ Ｄ 所成角为θ 可求得 ｃ ｏ ｓ ＝ θ ３ 槡 １， ２ 槡 ｓ ｉ ｎ ＝ ． θ ３ 槡
８ ６ 所以 Ｃ 故 ９ ７－８ ２－１ １ ０＝５， ２ ０ ０ 中因数 ２ 的个数为 １
2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2011年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2011A1、设集合{}4321,,,a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成为{}8,5,3,1-=B ，则集合=A ◆答案： {3,0,2,6}-★解析：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3， 因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2011A 2、函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ◆答案：(,(1,)2-∞-+∞ ★解析：提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．2011A 3、设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ◆答案： 1- ★解析：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+． 又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是 ab b a 22=+．②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎩⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎩⎨⎧-=+=,12,12b a ，故1log -=b a ．2011A 4、如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围为◆答案： ⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ ★解析：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+. 又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >， 故∈+<<+k k k (45242ππθππZ )．因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ．2011A 5、现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ◆答案：15000★解析：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案； 所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．2011A 6、在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则在四面体ABCD 的外接球的半径为◆答案：★解析：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，ABD ∆是正三角形，则点N 为ABD ∆的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在DMN ∆中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ． 由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．2011A 7、直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，090=∠ACB ，则点C 的坐标为◆答案： )2,1(-或)6,9(-．★解析：设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．2011A 8、已知()nnnn C a ⎪⎭⎫⎝⎛=-2162003200（95,,2,1 =n ），则数列{}n a 中整数项的个数为 ◆答案： 15★解析：由题意 =n a 65400320020023n nnC --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a 5388620023-⋅⋅C ，在!114!86!20086200⋅=C 中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以86200C 中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a 10369220023-⋅⋅C ，在!108!92!20092200⋅=C 中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故86200C 中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．二、解答题：本大题共3小题，共56分。
2011年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试二试为A卷)(教师版)
1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．【答案】{3,0,2,6}-.2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 【答案】2(,(1,)-∞+∞. 【解析】提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ． 设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 【答案】-1. 【解析】提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ① 于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a 故1log -=b a ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 【答案】⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ.【解析】提示：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+. 又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故∈+<<+k k k (45242ππθππZ)． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 【答案】15000.【解析】提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ． 【答案】3. 【解析】A BCDOPMN7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ． 【答案】)2,1(-或)6,9(-．【解析】提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ， 即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ， 即03161424=---t t t ， 即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ． 故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn，则数列}{n a 中整数项的个数为 ． 【答案】15.【解析】提示：=n a C 65400320020023nnn --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数． 当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数． 因此，整数项的个数为15114=+．9．（本题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ． 10．（本题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（本题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．【解析】（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则1212223232PA PB y y k k x x --+=--122112(2)(32)(2)(32)(32)(32)y x y x x x --+--=--，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．所以1||||sin 602PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒132(331)32(331)32772+-=⋅⋅⋅1173.49=一、（本题满分40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．【解析】 延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPA DPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CDPCBD AB =，即BD PC CD AB ⋅=⋅ . 从而有 BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21，即CDBQ AC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC QAB ∠=∠． 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ． 又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠． 二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有 )4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ． 但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <． 【解析】对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且r a a a a jk i j =-- ①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j ．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j ．同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j -≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值. 【解析】首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c b T a S ki i i k ki i k ，这里000==T S ．我们证明：三组数910,,,S S S ；910,,,T T T 及991100,,,T S T S T S +++ 都是模10的完全剩余系． 事实上，假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m S S ≡，则)10(mod 01≡-=∑+=m n nm i iS S a，即第1行的第1+m 至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾． 又假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m T T ≡，则)10(mod 0)(1≡-=+∑+=m n nm i i iT T c b，即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾． 类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(9909≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k kk k k kT ST S，所以 )10(mod 055)(999≡+≡+≡+∑∑∑===k k k k k k k T S T S ，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．。
2011年全国高中数学联赛试题及解答
2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合 ．2．函数()f x =的值域为 ．3．设为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则 ．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θπ∈，那么的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体中，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体的外接球的半径为 ．7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为 ．8．已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=，则数列{}n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg 2f a b ++=，求,a b 的值．10．已知数列满足：()1231a t t t =-∈≠±R 且，()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0t >，试比较与的大小．11．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60APB ∠=︒，求△P AB 的面积．加试一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若∠=∠．∠=∠，证明：AQB CQBBPA DPA二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：（1）011,,,n a a a -均为正整数；（2）对任意正整数，及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ，均有()()()()21k f m f r f r f r ≠．三、（本题满分50分）设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r ．证明：()24n n f r <．四、（本题满分50分）设A是一个39⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。
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x 2011年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设集合{}4321,,,a a a a A =，若中所有A 三元子集的三个元素之和组成的集合为{}8,5,3,1-=B ，则 集合=A ____________.2．函数()112-+=x x x f 的值域为____________.3．设b a ,为正实数，()()324,2211ab b a ba =-≤+，则=b a log ____________. 4．如果()[)πθθθθθ2,0,cos sin 7sin cos 3355∈-<-，那么θ的取值范围是____________.5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为____________. （用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知,2,3,600====∠=∠=∠CD BD AD CDA BDC ADB 则四面体ABCD 的外接球的半径为____________.7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，090=∠ACB ，则点C 的坐标为____________.8．已知()()95,,2,12162003200 =⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=-n C a nnn n ，则数列{}n a 中整数项的个数为____________. 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设函数()()1lg +=x x f ，实数()b a b a <,满足()⎪⎭⎫⎝⎛++-=21b b f a f ， ()2lg 421610=++b a f ，求b a ,的值．10．（本题满分20分）已知数列{}n a 满足：()1,321±≠∈-=t R t t a ，()()()+++∈-+--+-=N n t a t t a ta n n n n n n 121123211．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图），且()2,23P在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若060=∠APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmnm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A ≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线椭圆汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线双曲线汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线抛物线汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线轨迹与轨迹方程的求法汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线定点、定值、最值和参变量范围问题汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料导数及其应用汨罗市一中高三理科实验班复习资料导数及其应用汨罗市一中高三理科实验班复习资料导数及其应用汨罗市一中高三理科实验班复习资料导数及其应用汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料 数列 汨罗市一中高三理科实验班复习资料 数列 汨罗市一中高三理科实验班复习资料 数列 汨罗市一中高三理科实验班复习资料 数列2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线椭圆汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线双曲线汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线抛物线汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线轨迹与轨迹方程的求法汨罗市一中高三理科实验班复习资料圆锥曲线定点、定值、最值和参变量范围问题汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料函数汨罗市一中高三理科实验班复习资料导数及其应用汨罗市一中高三理科实验班复习资料导数及其应用汨罗市一中高三理科实验班复习资料导数及其应用汨罗市一中高三理科实验班复习资料导数及其应用汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列汨罗市一中高三理科实验班复习资料数列。