2014年高考一轮复习数学教案：5.5 向量的应用

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2014届高三数学一轮复习导学案：向量的概念与基本运算

1, 2 0 ，
1 2 1 , AP 1 AB 2 AC ,
求证：P 在边 BC 上。
2
课堂检测——向量的概念与基本运算
姓名：
1.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF = . .
D M
C
b
A
a
B
5、 ABC 中， P, Q 分别在边 BC 上， BP QC 且 AB AC m , （AP AQ ）则 m ____ . 三：课堂研讨例 1、AD、BE 分别是 ABC 的边 BC、AC 上的中线，且 AD a, BE b ，用 a 与 b 来表示向量 BC 。
课题：向量的概念与基本运算
班级
姓名：
备注
一：学习目标理解向量的模，零向量，单位向量，平行向量，相等向量等基本概念；会正确应用向量的加、减法法则及运算律；理解实数与向量的积的意义；会利用向量共线的充要条件判断向量的共线问题，会用平面向量的基本定理解决问题。 .二：课前预习 1、如图，D、E、F 分别是三角形 ABC 各边的中点，写出图中 C 与 DE 相等的向量与 FD 相等的向量；共线的向量；共线的向量；
3Hale Waihona Puke 课外作业——向量的概念与基本运算 1.下列算式中正确的是 ① AB + BC + CA =0 ③0· AB =0 （填序号）. ② AB - AC = BC ④ （ a）= · ·a
姓名：
2.在△ABC 中， AB =c， AC =b，若点 D 满足 BD =2 DC ，则 AD = （用 b,c 表示）. 3.若 AB =3e1， CD =-5e1，且| AD |=| BC |，则四边形 ABCD 是 11.已知：任意四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，求证： EF = ( AB + DC ).

高三数学一轮复习：向量的应用教案

第二课时向量的应用【复习目标】初步懂得运用向量方法进行简单的几何证明和计算．【基础练习】1．△OAB 中,→--OA =a →,→--OB =b →,→--OP =p →,若p →=()||||abt a b →→→→+，t ∈R ，则点P 在( )A(A)∠AOB 平分线所在直线上 (B)线段AB 中垂线上 (C)AB 边所在直线上 (D)AB 边的中线上2．在△OAB 中,(2cos ,2sin )OA αα= , (5cos ,5sin )OB ββ=,若5OA OB ⋅=- ,则OAB S ∆=___ . 3. 已知ABC的三个顶点分别为(()(3,,6,0,5,,A B C 求ACB ∠的大小. 23π4．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-5.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；6.若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=设||||AP PD λ= ，则λ的值为___（答：2）； 7.若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为____（答：120）8.若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7(6,)3--）9.已知(,0),(3,2A a B a +，直线12y a x =与线段AB 交于M ，且2A M M B = ，则a 等于___２___.10.若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为___24(,)33-__. 【典型例题】例1、按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a把点(7,2)-平移到点______（答：（－８，３））；例2、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，2,DC BD = 2,CE EA = 2,AF FB =则AD BE CF ++ 与BC( A )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直例3、已知→a ，→b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-→→→→c b c a ,则→c 的最大值是（C ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 例4、已知向量)sin 1,sin 1(x x a -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值. 解：（1）若a 与b 平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行. （2）由于b a x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(s i n ∈x ，于是22s i n1s i n 22s i n 1s i n2=⋅≥+x x x x ，当x x s i n 1s i n2=，即22s i n =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22. 例5、在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=．（1）求22AB AC + 的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩因此，228AB AC += ．（Ⅱ）2cos AB AC A AB AC AB AC⋅==⋅⋅ ，1sin 2ABC S AB AC A =⋅ △12AB =⋅=≤=．（当且仅当2AB AC == 时，取等号），当ABC △1cos 2AB AC A AB AC ⋅==⋅，所以3π=∠A . 例6、已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+.（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP 和OM夹角的最大值，并求此时P 点的坐标解：（1）设(,)P x y ，(,)M X Y ，则(,)OP x y = ，(,0)OQ x =，(2,)OM OP OQ x y =+=222212,1,124X x x X X x y Y Y y y Y⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩ . （2）设向量OP 与OM的夹角为α，则222cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅ 令231t x =+，则cos α= 当且仅当2t =时，即P点坐标为(33±±时，等号成立. OP ∴ 与OM夹角的最大值是.【复习巩固】1.给出下列结论：其中正确命题的序号为：④⑤①若0a ≠ ，0a b ⋅= ，则0b = ； ②若a b b c ⋅=⋅ ，则a c = ；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ； ④()()0a b a c c a b ⎡⎤⋅⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦；⑤0 平行于任意向量； ⑥a b a b ->- ；2.若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；3.已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+ ，2v a b =+ ，且//u v ，则x ＝______（答：4）；4.设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11）5.已知(1,2),(3,)OA OB m =-= ，若OA OB ⊥ ，则m = （答：32）；6.以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；7.已知(,),n a b =向量n m ⊥ ，且n m = ，则m 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或）8.函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→a ＝________（答：(,1),4k k Z ππ-∈）9.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）10.设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()sin ,cos a x x =-,()sin ,3cos b x x =-,()cos ,sin c x x =-,x R ∈（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.解：（Ⅰ）由题意得，()()22sin 2sin cos 3cos 2cos 2sin 2f x a b c x x x x x x =⋅+=-+=+-3224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，()x f的最大值为2=最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由3sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得324x k ππ+=,即328k x ππ=-,k Z ∈，于是3,228k d ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，d = k Z ∈因为k Z ∈，要使d 最小，则只有1k =,此时,28d π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即为所求.11.(理) 在直角坐标平面中，若点()()()()n n n P P P P 2,,2,3,2,2,2,133221⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中n 是正整数，对平面上任意一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，…… n A 为1-n A 关于点n P 的对称点，⑴求向量20A A 的坐标；⑵当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数)(x f y =的图像，其中)(x f 是以3为周期的周期函数，且当(]3,0∈x 时x x f lg )(=，求以曲线C 为图像的函数在(]4,1上的解析式；⑶对任意偶数n ，用n 表示向量n A A 0的坐标；参考解答：⑴()022,4A A =，⑵()lg 14y x =--，(]1,4x ∈，⑶()()*0421,3n n A A n n N ⎛⎫⋅- ⎪=∈ ⎪⎝⎭。

高中数学教案设计——向量的应用

高中数学教案设计——向量的应用一、教学目标1.了解向量的概念，掌握向量的加减法、数量积、向量积等基本性质和计算方法。

2.掌握向量的几何应用，如点、直线、平面的位置关系、三角形重心、垂心、外心、内心等特殊点。

3.学会通过向量的知识解决实际问题，如平面几何、力、速度、位移等。

二、教学难点1.高中向量的综合应用能力培养。

2.向量的数量积、向量积的几何意义及应用。

3.向量的投影、角度及夹角。

三、教学重点1.向量加减法的基本概念、几何意义及运算规律。

2.向量的数量积、向量积的计算方法和几何意义。

3.向量的投影、夹角的计算方法及几何意义。

四、教学方法1.课堂讲授与对话演练相结合。

2.运用多媒体教学辅助工具进行教学。

3.拓展学生思维，激发学生兴趣。

五、教学内容及课时安排第一课时：向量的概念和基本性质1.向量的定义、运算法则及几何意义。

2.零向量、负向量的概念及性质。

3.向量的平移、相等概念及性质。

4.向量组的线性运算概念及性质。

第二课时：向量的数量积及几何应用1.向量的数量积的定义、性质及计算方法。

2.向量的数量积的几何意义和应用，如向量的夹角、向量的垂直、平行关系的判定。

3.向量的应用，如平面几何、力等。

第三课时：向量的投影及几何应用1.向量的投影的定义、计算方法及意义。

2.向量的几何应用，如平面几何角度、速度等。

第四课时：向量积及其几何应用1.向量积的定义、性质及计算方法。

2.向量积的几何意义及应用，如判断三角形面积，判断向量垂直、平行、夹角等关系。

第五课时：向量线性方程组及其几何应用1.向量线性方程组的概念及解的方法。

2.向量线性方程组的几何意义及应用。

3.向量几何问题的求解，如三角形内心、外心、垂心、重心等。

六、教学方式措施1.知识点的讲述及演示。

2.练习题的讲解及演示。

3.复习提醒、巩固测试。

七、教学评价1.学生从零基础开始逐步学习，由浅入深，能够渐进式的理解向量的相关知识。

2.利用多元化的教学方式，激发学生的学习热情，强化学习能力，让学生掌握向量知识的实际应用。

高三数学一轮教案向量综合应用(一)

6.A〔-1，-1〕，B〔1，3〕，且C〔x,5〕在线段AB的延长线上，假设，那么m=__。
7.函数y=log2(2x－1)+4的图象按向量平移得到y=log2(2x)的图象，那么 =.
8.按向量将点平移到点，那么按向量将点平移到〔〕
A． B． C． D．
19.向量 ,向量 ,向量，那么向量与向量的夹角的取值范围为〔〕
3假设 ,求的值。
【稳固练习】
2将函数的图象按向量平移，得到的图象解析式是。
3平面直角坐标系中，O为坐标原点，A〔3，1〕，B〔-1，3〕，假设点C满足，其中、 R，且 + =1，那么点C的轨迹方程为〔〕
〔A〕3x+2y-11=0〔B〕(x-1)2+(y-2)2=5〔C〕2x-y=0〔D〕x+2y-5=0
(A) (B) (C) (D)
【典型例题】
例1如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD边上，且| |= ，AE BF.
1试用向量的方法证明：| |= ；
2假设B〔2，1〕，C〔8，4〕，试求点E的坐标.
例2设向量
〔1〕求；
〔2〕求的最小值。
例3A(2,0),B(0,2),C(
2假设，求与的夹角；
〔2〕假设点在边上，且，求点的坐标。
3．ΔABC中，4．AB=2，5．BC= ，6．AC=3，7．〔1〕求的值；〔2〕设点O是ΔABC的外心，8．当时，9．务实数p、q的值.
10．向量 ,且〔1〕求及；〔2〕求函数的最小值。
17 是的边上的中线，假设、，那么等于〔〕
A. B. C. D.
19点分所成的比为，那么以下结论正确的选项是〔〕

高中数学向量的应用教案

高中数学向量的应用教案
目标：1. 理解向量的定义和加法运算
2. 学会平面上向量的坐标表示和计算
3. 掌握向量的数量积和叉积运算
4. 能够应用向量解决实际问题
教学过程：
一、导入：
1. 学生回顾向量的定义和加法运算。

2. 引导学生思考向量在生活中的应用。

二、学习向量的坐标表示和计算：
1. 讲解向量在平面坐标系中的表示方法。

2. 演示向量的坐标计算方法。

3. 练习向量坐标计算的例题。

三、学习向量的数量积运算：
1. 讲解向量的数量积定义和性质。

2. 演示向量数量积的计算方法。

3. 练习向量数量积的例题。

四、学习向量的叉积运算：
1. 讲解向量的叉积定义和性质。

2. 演示向量叉积的计算方法。

3. 练习向量叉积的例题。

五、实际问题应用：
1. 给学生提供一些生活中的问题，让他们应用所学知识解决。

2. 学生分组讨论并展示解决方案。

六、总结复习：
1. 总结学习到的知识点和应用方法。

2. 学生进行自测和答疑。

七、作业布置：
1. 完成课堂练习题。

2. 选择一道真实生活中的问题，用向量方法解决并写出解析。

评价方式：通过作业和课堂练习的表现来评价学生对向量应用的掌握程度，并根据学生的情况进行及时调整和指导。

高三数学一轮复习精品教案1：5.4向量的应用及向量与其他知识的综合问题教学设计

5.4向量的应用及向量与其他知识的综合问题考纲传真1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．向量在几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(b ≠0)． (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用①cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，②|AB |＝|AB →|＝AB →2＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．2．向量在物理中的应用(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用．(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W ＝f ·s . 3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．1．(人教A 版教材习题改编)已知三个力f 1，f 2，f 3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f 1＝(2，2)，f 2＝(－2，3)，则|f 3|为( )A ．2.5B ．42C ．22D ．5『解析』由题意知f 1＋f 2＋f 3＝0，∴f1＝－(f 1＋f 2)＝(0，－5)，∴|f 3|＝5. 『答案』 D2．已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．重心 C ．外心 D ．垂心『解析』 OA →·OB →＝OB →·OC →⇒OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0⇒OB ⊥AC . 同理：OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 是△ABC 的垂心．『答案』 D3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形『解析』 AB →·BC →＋AB →2＝0可化为AB →·(BC →＋AB →)＝0，即AB →·AC →＝0，所以AB →⊥AC →.所以△ABC 为直角三角形．『答案』 D4．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( ) A ．以a ，b 为两边的平行四边形的面积 B ．以b ，c 为两边的平行四边形的面积 C ．以a ，b 为两边的三角形的面积 D ．以b ，c 为两边的三角形的面积『解析』由题知，a ⊥c ，∴|cos 〈b ，c 〉|＝|sin 〈a ，b 〉|. 又|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|b ||c |cos 〈b ，c 〉＝|b ||a |sin 〈a ，b 〉．『答案』 A5．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是________．『解析』 ∵OP →·OA →＝4，∴(x ，y )·(1，2)＝4.∴x ＋2y －4＝0. 『答案』 x ＋2y －4＝0向量在平面几何中的应用(2013·潍坊模拟)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．『思路点拨』以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点P 、C 、B 、A 的坐标，进而表示出|P A →＋3PB →|，然后转化为函数问题求解．『尝试解答』建立平面直角坐标系如下图所示．设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，A (2，0)，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )．∴|P A →＋3PB →|2＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )，当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|最小，|P A →＋3PB →|min ＝5.『答案』 5,平面几何问题的向量解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．(2013·西安模拟)已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为________．『解析』法一 (坐标法)以C 为原点，建立平面直角坐标系如下图，设P 点坐标为(x ，y )且0≤y ≤3，0≤x ≤4，则CP →·(BA →－BC →)＝CP →·CA →＝(x ，y )·(0，3)＝3y ，当y ＝3时，取得最大值9.法二 (基向量法)∵CP →＝CA →＋AP →，BA →－BC →＝CA →， ∴CP →·(BA →－BC →)＝(CA →＋AP →)·CA →＝CA →2＋AP →·CA →＝9－AP →·AC →＝9－|AP →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝9－3|AP →|·cos ∠BAC ，∵cos ∠BAC 为正且为定值，∴当|AP →|最小即|AP →|＝0时，CP →·(BA →－BC →)取得最大值9. 『答案』 9向量在物理中的应用如下图4－4－1所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 、摩擦力f 所做的功分别为多少？『思路点拨』力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含义，要先求出力F ，f 和位移的夹角．『尝试解答』设木块的位移为s ，则F ·s ＝|F |·|s |cos 30°＝50×20×32＝500 3 J ， F 在竖直方向上的分力大小为|F |sin 30°＝50×12＝25(N)，所以摩擦力f 的大小为|f |＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f ·s ＝|f |·|s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22 J. ∴F ，f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J ．,1．物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型．2．应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比．例如，向量加法的平行四边形法则可与物理中力的合成进行类比，平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比．3．用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．27B ．25C ．2D ．6『解析』如下图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28.∴|F 3|＝27.『答案』 A向量在三角函数中的应用(2013·潍坊模拟)设a ＝(cos α，(λ－1)sin α)，b ＝(cos β，sin β)，(λ＞0，0＜α＜β＜π2)是平面上的两个向量，若向量a ＋b 与a －b 互相垂直． (1)求实数λ的值；(2)若a ·b ＝45，且tan β＝43，求tan α的值．『思路点拨』 (1)利用(a ＋b )⊥(a －b )得到|a |2－|b |2＝0，建立关于λ的方程求解． (2)根据a ·b ＝45，求出cos(α－β)，然后求出tan(α－β)，再求tan α.『尝试解答』 (1)由题设可得(a ＋b )·(a －b )＝0，即|a |2－|b |2＝0，代入a ，b 坐标可得cos 2α＋(λ－1)2sin 2α－cos 2β－sin 2β＝0. ∴(λ－1)2sin 2α－sin 2α＝0，∵0＜α＜π2，∴sin α≠0，∴λ2－2λ＝0，又λ＞0，∴λ＝2.(2)由(1)知，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝45，∵0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0，∴sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝－34.∴tan α＝tan 『(α－β)＋β』＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）·tan β＝－34＋431－（－34）×43＝724.∴tan α＝724.,1．解答本题(1)的关键是把向量垂直转化为数量积为0，解答题(2)的前提是利用a ·b 的值求出cos(α－β)的值．2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解．(2013·宁波模拟)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P 满足AB →＝BP →.(1)记函数f (α)＝PB →·CA →，求函数f (α)的最小正周期； (2)若O 、P 、C 三点共线，求|OA →＋OB →|的值．『解』 (1)AB →＝(cos α－sin α，－1)，设OP →＝(x ，y )，则BP →＝(x －cos α，y )，由AB →＝BP →得x ＝2cos α－sin α，y ＝－1，故OP →＝(2cos α－sin α，－1)． PB →＝(sin α－cos α，1)，CA →＝(2sin α，－1)，∴f (α)＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1)＝2sin 2α－2sin αcos α－1＝－(sin 2α＋cos 2α) ＝－2sin(2α＋π4)，∴f (α)的最小正周期T ＝π.(2)由O 、P 、C 三点共线可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝43，sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425， |OA →＋OB →|＝（sin α＋cos α）2＋1＝2＋sin 2α＝745.一种手段实现平面向量与三角函数、平面几何与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．两种思想用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用．一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决．从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面几何问题，要求较低，但向量与三角函数、解析几何等知识交汇常常出现，平面向量在其中起一个穿针引线的作用．此类题目常以向量的运算为切入口，体现了向量的工具性作用．规范解答之七平面向量在解析几何中的应用(12分)(2013·长沙模拟)已知平面上一定点C (－1，0)和一定直线l ：x ＝－4，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0. (1)求点P 的轨迹方程；(2)点O 是坐标原点，过点C 的直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，求OA →·OB →的取值范围．『规范解答』 (1)设P (x ，y )，则Q (－4，y )， ∴PQ →＝(－4－x ，0)，PC →＝(－1－x ，－y )．∵(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0，∴PQ →2－4PC →2＝0，∴|PQ →|2＝4|PC →|2.2分 ∴(－4－x )2＝4『(－1－x )2＋(－y )2』，整理得：x 24＋y 23＝1，即为点P 的轨迹方程.4分(2)①当过点C 的直线斜率不存在时，其方程为x ＝－1.解得A (－1，－32)，B (－1，32)．此时OA →·OB →＝－54，5分②当过点C 的直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．代入方程x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.8分∴y 1y 2＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－9k 23＋4k 2. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－5k 2＋124k 2＋3＝－54－334（4k 2＋3）.10分k 2≥0，∴－114≤－334（4k 2＋3）＜0，∴OA →·OB →∈『－4，－54)．综合①②知，OA →·OB →的取值范围是『－4，－54』.12分『解题程序』第一步：设点P (x ，y )，表示向量PQ →与PC →；第二步：利用向量数量积与模的运算，得点P 的轨迹方程；第三步：当斜率不存在即直线x ＝－1时，求OA →·OB →的值；第四步：当斜率k 存在时，用参数k 表示OA →·OB →；第五步：利用函数的性质与不等式的性质求OA →·OB →的取值范围；第六步：检验易错点，规范题目结论．易错提示：(1)不会对向量的条件进行转化，造成思维受阻，出现这种现象的原因是对平面向量代数化的思想理解不深刻．(2)忽略对过点C 的直线斜率的讨论，导致解答不完整．变形能力差，部分同学虽得到OA →·OB →＝－5k 2＋124k 2＋3，却无法进一步求出其取值范围．防范措施：(1)加强坐标法的理解和运用，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化．(2)通过向量的坐标运算把OA →·OB →转化为关于k 的函数，从而把求OA →·OB →的取值范围问题转化为求函数的值域；根据式子的结构特征，分离法是较好的方法．1．(2012·江苏高考)如下图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．『解析』法一以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x ，2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x ，2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x ，2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1，∴BF →＝(1－2，2)．∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.法二设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋(22－1)AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·『BC →＋(22－1)AB →』＝(AB →＋12BC →)『BC →＋(22－1)AB →』＝(22－1)AB →2＋12BC →2＝(22－1)×2＋12×4＝ 2. 『答案』22．(2013·温州模拟)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .『解』 (1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝（sin β＋cos β）2＋（4cos β－4sin β）2＝17－15sin 2β≤4 2. 又当β＝－π4＋k π(k ∈Z )时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，即4cos α·4cos β－sin α·sin β＝0，所以a ∥b .。

高三数学《54向量的应用》复习学案

高三数学《54向量的应用》复习学案课型：复习课授课时间：重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力．考纲要求：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题．【教学目标】利用平面向量的概念及运算法则，尤其在掌握向量平行与垂直的性质的基础上，解决向量相关问题.【基础知识】1．平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝____________________； 2.两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔_______________⇔_________________ 3.两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔_______________⇔_________________. 【基本训练】1.已知a ，b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A ．a 与b 相等B ．如果a 与b 平行，那么a 与b 相等C. a ·b ＝1 D ．a 2＝b 22．设A (1，3)，B (－2，－3)，C (x ，7)，若AB →∥BC →，则x 的值为3．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，(a ＋b )·(a ＋3b )＝33，则a 与b 的夹角为 4．若｜a ｜＝｜b ｜＝1，a ⊥b ，且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为 5．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。

【例题讲解】例1四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?练习：在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＜0，则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定例2若非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|a －b |.证明：a ⊥b .练习: .已知a ＋b ＝c ，a －b ＝d 求证：|a |＝|b |⇔c ⊥d例3圆O 内两弦AB 、CD 垂直相交于P 点，求证：PO PD PC PB PA 2=+++.练习: 已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标.例4．已知A(3,0),B(0,3),C(cos ).sin ,αα (1)若α2sin ,1求-=⋅BC AC 的值； (2)若. OC ),,0(,13||的夹角与求且OB OC OA πα∈=+练习: 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AF AE ⋅的值为例5、如图，在矩形A B C D中，2==，点E为B C的中点，点F在边C D上，若A B B CA B A F=，则A E B F的值是▲ ．2练习:（2012北京理）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则D E C B⋅的值为________;⋅的最大值为________.D E D C例6.设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.【课堂检测】1．下面有五个命题，其中正确的命题序号为①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b |( )2．（2010陕西文数）已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则m ＝ .3．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与k a－4b也互相垂直，则k的值为4.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),|AB |的取值范围是5.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足OC =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( )A.01123=-+y xB.5)2()1(22=-+-y xC. 02=-y xD. 052=-+y x6.如图，在A B C 中，A D A B ⊥,B C D =,1A D =,则A C A D = .【课后作业】1．（2010上海文数）13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量。

2014届高三数学一轮复习导学案：向量的坐标运算

3 2
1 3
8 2 , 5
1
求 cos(

2

8
)的值
例 3、已知平面内有三个向量 OA 、 OB、 OC ，其中 OA 与 OB 的夹角为 120 ，
OA 与 OC 的夹角为 30 ，且 | OA | 1 ， | OC | 2 3 , | OB | 2 ，试用 OA 与
OB 表示 OC
1 (a+b)三向量的终点在同一条直线 3
上 (2) 若|a|=|b|且 a 与 b 的夹角为 600，那么 t 为何值时|a-tb|的值最小
例 2、（1）设 a ( ,sin ), b (cos , ) 且 a // b ，求角的值（2）已知向量 m=(cos ,sin )和 n=( 2 -sin ，cos ), ( ,2 ),|m+n|=
4
课题：向量的坐标运算
一：学习目标
班级
姓名：
备注
理解：平面向量的基底，共线向量充要条件的坐标表示掌握：平面向量的坐标运算，会用坐标处理问题。二：课前预习 1、已知 A（x1,y1）B(x2,y2),则 AB 2、已知 e1 和 e2 不共线，a =m e1 +n e2 =p e1 +q e2 ,则必有 3、已知：a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) ，则 a b = 4、若 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 共线，则 5、已知 a （， 25 ） ,| b | 2 | a | ，若 b 与 a 方向相反，则 b =_____________. 6、已知向量 e1，e2 不共线，a=e1+xe2,b=-2xe1-e2,且 a、b 共线，则 x= 7、已知 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u//v 则 x= 三：课堂研讨例 1、若 a,b 是两个不共线的非零向量，t R (1) 若 a 与 b 起点相同，t 为何值时，a,tb, ； a 。。

高中数学向量及其应用教案

高中数学向量及其应用教案
一、教学目标：
1. 理解向量的概念和表示方法；
2. 掌握向量的运算规则和性质；
3. 能够应用向量解决实际问题；
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：
1. 向量的概念及表示方法；
2. 向量的运算（加法、减法、数量积、向量积）；
3. 向量的性质和运算规则；
4. 向量在几何和物理中的应用。

三、教学过程：
1. 引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法；
2. 讲解向量的加法和减法，进行相关练习；
3. 讲解向量的数量积和向量积，进行相关练习；
4. 总结向量的性质和运算规则；
5. 应用向量解决几何和物理问题，如力的合成、平面向量几何等；
6. 汇总课程内容，进行综合练习和讨论，巩固所学知识；
7. 布置作业，让学生练习和应用向量的知识。

四、教学方式：
1. 讲授教学法，结合实例讲解向量的概念和运算规则；
2. 分组讨论和练习，提高学生的合作能力和解决问题的能力；
3. 案例分析和应用实践，引导学生将所学知识应用到实际问题中。

五、教学资源：
1. 教科书和教辅材料；
2. 多媒体教学工具；
3. 实验器材和实际问题的案例。

六、评价与反思：
1. 考察学生的学习效果和掌握程度；
2. 认真听取学生的反馈意见，及时调整教学方法和内容；
3. 总结教学经验，不断改进教学方式，提高教学效果。

通过以上教学范本，相信能够帮助教师更好地设计和实施高中数学向量及其应用的教学活动，提升学生的学习效果和能力。

希望教师们能够根据实际情况，灵活运用这一模板，更好地开展教学工作。

【步步高】2014届高三数学大一轮复习 5.4平面向量的应用教案理新人教A版

§5.4 平面向量的应用2014高考会这样考 1.考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2.考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题．复习备考要这样做 1.掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离；2.体会数形结合思想，重视向量的工具性作用．1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a²b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝a ²b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F²s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)． 3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质． [难点正本疑点清源]1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则F 1与F 3所成的角为________．答案 90°解析如图，F3＝－(F 1＋F 2)．在▱OACB 中，|OA |＝1，|AC |＝2， ∠OAC ＝60°，∴|OC |＝12＋22－2³1³2³cos 60° ＝3，∴∠AOC ＝90°，即OA →⊥OC →，∴F 1⊥F 3.2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为_____．答案 y 2＝8x (x ≠0)解析由题意得AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →²BC →＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)．3．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．答案 226 m/s解析如图所示小船在静水中的速度为 102＋22＝226 m/s.4．已知A 、B 是以C 为圆心，半径为5的圆上的两点，且|AB →|＝5，则AC →²CB →等于( )A ．－52B.52 C ．0 D.532答案 A解析 ∵|AB →|＝5＝r ，∴∠ACB ＝60°， AC →²CB →＝－CA →²CB →＝－|CA →|²|CB →|²cos∠ACB＝－5²5cos 60°＝－52.5． a ，b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )²(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析因为f (x )＝(x a ＋b )²(x b －a )＝(a ²b )x 2＋(|b |2－|a |2)x －a ²b .当f (x )为一次函数时，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ²b ＝0，|b |2－|a |2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥b ，|b |≠|a |，故f (x )为一次函数时一定有a ⊥b .当a ⊥b 且|a |＝|b |时，f (x )为常函数，所以“a ⊥b ”不是“f (x )为一次函数”的充分条件，故选B.题型一应用平面向量的几何意义解题例1 平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA→＋yOB → (x ，y ∈R )，且a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. (1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →；(2)求|OP →|的最大值，并求此时四边形OAPB 面积的最大值．思维启迪：对第(1)问，可先求OM →，再由条件即可得到结论；对第(2)问，先设点M 为线段AB 的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定P ，O ，A ，B 四点共圆，结论即可得到．(1)证明因为点M 为线段AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →.所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →. (2)解设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1.又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，得 |MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122b 2＝1. 所以|MP →|＝|MO →|＝|MA →|＝|MB →|＝1.故P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当OP 为圆M 的直径时，|OP →|max ＝2.这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|²|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.探究提高本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点M 为线段AB 的中点入手，借助条件及第(1)问的结论，去探究|OP →|的最大值问题．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比是( )A.13 B.12 C.23 D.34答案 A解析由已知可得PC →＝2AP →，∴P 是线段AC 的三等分点(靠近点A )，易知S △PAB ＝13S △ABC ，即S △PAB ∶S △ABC ＝1∶3.题型二平面向量在物理计算题中的应用例2 质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．答案 27解析方法一由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. 因此，|F 3|＝27.方法二如图，|F 1F 2→|2＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1||F 2|cos 60°＝12，则|OF 1→|2＋|F 1F 2→|2＝|OF 2→|2，即∠OF 1F 2为直角， |F 3|＝2F 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|F1F 2→|22＝27.如图所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦因数μ ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 、摩擦力f 所做的功分别为多少？解设木块的位移为s ，则F²s ＝|F|²|s |cos 30°＝50³20³32＝500 3 (J)， F 在竖直方向上的分力大小为|F |sin 30°＝50³12＝25(N)，所以摩擦力f 的大小为|f |＝(80－25)³0.02＝1.1(N)，所以f²s ＝|f|²|s |cos 180°＝1.1³20³(－1)＝－22(J)． ∴F ，f 所做的功分别为500 3 J ，－22 J. 题型三平面向量与三角函数的交汇例3 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．解 (1)∵p∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0， ∴sin 2A ＝34，sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°. (2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫180°－B －A －3B 2＝2sin 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°)＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60° ＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.探究提高向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．向量与其他知识的结合往往也是这种简单组合，因此这种题目较为简单．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．答案5π6解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，又∵asin A＝bsin B＝csin C，则化简得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，∵0<B <π，∴B ＝5π6.题型四平面向量与解析几何的综合问题例4 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →²PF →的最小值．解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1. 所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →²PF →＝(NE →－NP →)²(NF →－NP →) ＝(－NF →－NP →)²(NF →－NP →) ＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任意一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 2＝16－4y 23，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝23时，NP →2取得最小值(23－1)2＝13－43，(此时x 0＝0)，故PE →²PF →的最小值为12－4 3.探究提高本题是平面向量与解析几何的综合性问题，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和曲线等问题，该题的难点是向量条件的转化与应用，破解此问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解设M (x 0，y 0)、N (x ，y )．由MA →＝2AN →得 (1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .∵点M (x 0，y 0)在圆C 上，∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4. ∴x 2＋y 2＝1.∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.利用平面向量解三角形典例：(12分)已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，m⊥n . (1)求角A 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．审题视角先根据m⊥n ，利用两个向量的数量积将已知条件转化成三角形中边、角的条件，然后利用正弦定理或余弦定理解题．规范解答解 (1)已知m⊥n ，所以m²n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，－2＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，[2分]即3sin A －cos A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，[4分]因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.[6分](2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63，由正弦定理知：a sin A ＝bsin B，[9分] 所以b ＝a ²sin Bsin A＝2³6332＝423，所以b ＝423.[12分]答题模板利用向量解三角形问题的一般步骤为第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系；第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形；第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答．温馨提醒解三角形问题要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，灵活进行变形．向量只是题目的载体，三角形中的条件及转化才是解题关键.方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．4．解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题．失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系：两者并不等价． 2．注意向量的共线和直线平行的关系．3．构造向量解题：要根据题目需要灵活构造向量．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|²BC →＝0且AB →|AB →|²AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形答案 A解析因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|²BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC . 又cos∠BAC ＝AB→|AB →|²AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3. 所以△ABC 为等边三角形．2．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a²b ＝0有两相等实根，则向量a与b 的夹角是( ) A ．－π6B ．－π3C.π3D.2π3答案 D解析由已知可得Δ＝|a |2＋4a²b ＝0，即4|b |2＋4²2|b |²|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.3．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案 B解析由题意知：CB →－PB →＝λPA →，即CB →＋BP →＝λPA →，∴CP →＝λPA →，即CP →与PA →共线， ∴点P 在AC 边所在直线上．4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →²PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →²PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →²AC →＝BA →²BC →＝1，那么c ＝________.答案2解析由题意知AB →²AC →＋BA →²BC →＝2，即AB →²AC →－AB →²BC →＝AB →²(AC →＋CB →) ＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.6．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →²OM →≤1,0≤OP →²ON →≤1，则z ＝OQ →²OP →的最大值为________．答案 3解析 OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)， ∴OP →²OM →＝x ＋y ，OP →²ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识，当x ＝0，y＝1时，z max ＝3.7．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a²b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.答案 150°解析 ∵AB →²AC →<0，∴∠BAC 为钝角，又S △ABC ＝12|a||b |sin∠BAC ＝154.∴sin∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°.三、解答题(共22分)8． (10分)已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明建立如图所示的直角坐标系，设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y )． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a .∵AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a,0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 2， OE →＝CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a ，∴AD →²CE →＝(－a )³a 3＋23a ³a 2＝－13a 2＋13a 2＝0.∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .9． (12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8时，求函数f (x )＝2a²b ＋1的最大值，并求此时x 的值．解 (1)设a 与c 的夹角为θ，当x ＝π6时，a ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，cos θ＝a²c |a||c | ＝32³－1＋12³0322＋122³－12＋02＝－32. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.(2)f (x )＝2(－cos 2x ＋sin x cos x )＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，2π.∴当2x －π4＝3π4，即x ＝π2时，f (x )的最大值为2³22＝1. B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a |2|b |2－a ²b 2B.|a |2|b |2＋a ²b 2C.12|a |2|b |2－a ²b 2D.12|a |2|b |2＋a ²b 2答案 C解析设∠AOB ＝θ，那么cos θ＝a²b|a|²|b |，则sin θ＝1－cos 2θ＝|a |2|b |2－a²b 2|a|²|b |，那么△OAB 的面积S ＝12|a||b |²sin θ＝12|a||b |²|a |2|b |2－a²b 2|a|²|b |＝12|a|2|b |2－a²b 2.2. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →²BC →等于( )A.32 B.52 C ．2D ．3答案 B解析 AO →²BC →＝AO →²(AC →－AB →)＝AO →²AC →－AO →²AB →，因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →²AB →＝12|AB →|²|AB →|＝2，同理AO →²AC →＝12|AC →|²|AC →|＝92，故AO →²BC →＝92－2＝52.3．已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB →＝m ＋n ，AC →＝m －3n ，D 为BC 边的中点，则|AD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析由题意知：|AD →|＝12|AB →＋AC →|＝12|2m －2n |＝|m －n |＝|m －n |2＝1. 二、填空题(每小题5分，共15分)4. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．答案 2解析依题意，|OC →|＝1，则|OC →|2＝1，又OC →＝xOA →＋yOB →，|OA →|＝|OB →|＝1，〈OA →，OB →〉＝120°， ∴x 2²OA →2＋y 2²OB →2＋2xyOA →²OB →＝1，因此x 2＋y 2＋2xy cos 120°＝1，xy ＝x 2＋y 2－1. ∴3xy ＝(x ＋y )2－1≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，(x ＋y )2≤4.∴x ＋y 的最大值是2.5． (2012²湖南)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →²AC →＝________.答案 18解析根据向量的加法几何意义及数量积运算律求解． ∵AP →²AC →＝AP →²(AB →＋BC →)＝AP →²AB →＋AP →²BC → ＝AP →²AB →＋AP →²(BD →＋DC →)＝AP →²BD →＋2AP →²AB →，又∵AP ⊥BD ，∴AP →²BD →＝0.∵AP →²AB →＝|AP →||AB →|cos∠BAP ＝|AP →|2， ∴AP →²AC →＝2|AP →|2＝2³9＝18.6．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．答案 ±2解析如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.三、解答题7． (13分)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h ，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．解建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v 1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v 2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2.由题意，可得向量v 1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,103)，向量v 2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v ＝v 1＋v 2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，所以|v |＝302＋1032＝203(km/h)．因为tan α＝10330＝33(α为v 和v 2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 3 km/h.。

高三数学复习教案第五章平面向量第五讲向量的应用(一)

芯衣州星海市涌泉学校1．向量)11,2a b ⎛=-= ⎝⎭。

假设存在实数x ，y ，使向量()2143,1c a x bd ya b x =+-=-+-，且c d ⊥。

〔Ⅰ〕试求函数()y f x =的关系式；〔Ⅱ〕假设1x >，那么是否存在实数m ，使得()m f x <恒成立？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，请说明理由。

解：〔Ⅰ〕()13,1,,2,1,02a b a b a b ⎛=-=∴==⋅= ⎝⎭，又c d ⊥，()22222143434340111x x c d ya a b y x a b b y x x x --∴⋅=-+⋅--⋅+=-+=+--， ()()()243141x y f x x x -∴==≠-。

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得()()()()()2411111141418414141x f x x x x x x -+⎡⎤⎡⎤==++=-++⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，()11,10,4141x x x x ∴>∴->∴-+≥-〔当且仅当32x =时“=〞成立〕。

即()3,f x ≥当1x >时，实数()m f x <恒成立。

∴实数m 的取值范围为(),3-∞。

2．13(3,1),(,).22ab =-=〔Ⅰ〕证明：a b ⊥;〔Ⅱ〕假设存在不同时为零的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试求关系式().kf t =〔Ⅲ〕讨论关于t 的方程()0f t tk -=的解的情况。

解：〔Ⅰ〕133(1)0,22a b a b =⨯+-⨯=∴⊥……3分〔Ⅱ〕2220(3)0x y x y ka t t b ⊥⇒=⇒-+-=2214(3)0()(3)4k t t k f t t t ⇒-+-=⇒==-……6分〔Ⅲ〕21()0(3)004f t tk t t tk t -=⇒--=⇒=或者者21(3)4k t =-………8分当34k >-时,原方程有三个解当34k ≤-时,原方程有一解3．设平面上的向量y x b a ,,,，满足关系y x b x y a -=-=2,，且1||||,==⊥b a b a ，θ为y x ,的夹角，求2tanθ的值．4．点O 〔0，0〕，A 〔1，1〕，B 〔2，3〕，P 为一动点，且AB t OA OP +=,t ∈R.(1) 证明：P 点必在直线AB 上(2) t 为何值时，P 分有向线段AB 的比为1：3； (3) 当P 点在线段AB 上时，求OA ·OP 的最大值。

高中数学教案向量的计算和应用

高中数学教案向量的计算和应用高中数学教案 - 向量的计算和应用引言:高中数学中，向量是一种常见的数学工具，具有广泛的应用领域。

向量的计算和应用是数学学习中的重要内容。

通过系统的教学安排和合理的教学方法，可以帮助学生理解向量的概念、掌握向量的计算方法，并将向量应用于实际问题的解决中。

本篇教案将围绕向量的计算和应用展开，通过具体案例和实际问题，帮助学生全面理解和掌握向量的相关知识和技能。

一、概念引入及基本性质1. 向量的定义及表示方法：引入向量的概念，介绍向量的表示方法和基本术语，比如位移、零向量等。

2. 向量的相等和相反：讲解向量相等和相反的概念，并给出相等和相反向量的性质。

3. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法运算，重点解释向量加法的几何意义和向量减法的计算方法。

二、向量的计算方法1. 向量的数量积：讲解向量的数量积的定义和计算方法，重点强调数量积的几何应用，如夹角的余弦表示等。

2. 向量的叉积：介绍向量的叉积的定义和计算方法，重点讲解叉积的几何意义和向量共线性的判定条件。

三、向量的应用1. 向量在几何中的应用：通过几何问题的具体例子，展示向量在几何中的应用，如直线的平行与垂直判定、三角形的面积计算等。

2. 向量在物理中的应用：以运动学为例，介绍向量在物理问题中的应用，如位移、速度、加速度等的向量表示和计算。

四、课堂练习与小结1. 向量计算的综合练习：设计一些练习题，综合运用向量的计算方法解决问题，检验学生对向量的掌握程度。

2. 知识小结与提升：对本节课的内容进行总结复习，强调向量的计算方法和应用技巧，并引导学生形成扎实的向量知识基础。

结束语:通过本节课的学习，学生将全面了解向量的定义、计算方法和应用领域。

学生可以通过具体实例和问题练习，掌握向量的加法、减法、数量积和叉积的计算方法，培养解决实际问题的能力。

通过提供案例和实际问题，使学生在实践中巩固所学知识，并将向量的计算方法应用到几何和物理问题中。

2014届高考数学一轮复习教学案空间向量与空间角(含解析)

空间向量与空间角[知识能否忆起]利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a||b |(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.3．求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD〉．(2)如图2、3，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A 由于cos 〈m ，n 〉＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°.所以直线l 与α所成的角为30°.2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°解析：选C cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×2＝22，即〈m ，n 〉＝45°，其补角为135°， ∴两平面所成的二面角为45°或135°.3.在如图所示的正方体A1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120C.120D.1010解析：选D 如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，1.则AC ＝(－1,1,0)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，若异面直线DE 与AC 所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈AC ，DE 〉|＝1010.4．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．解析：如图，建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1由已知条件A (1,0,0)， E ⎝⎛⎭⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎫0，1，23， AE ＝⎝⎛⎭⎫0，1，13，AF ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，23，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ，由⎩⎨⎧n ·AE ＝0，n ·AF ＝0，得⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)．设平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1)，则cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝311，tan θ＝23.答案：235．(教材习题改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值________．解析：建立如图所示直角坐标系，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，1A B ＝(0,4，－3)，1B C＝(－4,0，－3)．设异面直线A 1B 与B 1C 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈1A B ，1B C 〉|＝925.答案：925(1)利用向量求空间角，一定要注意将向量夹角与所求角区别开来，在将向量夹角转化为各空间角时注意空间各角的取值范围，异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]． (2)利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．典题导入[例1] (2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35[自主解答] 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得 O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，∴1BC ＝(0,2，－1)，1AB＝(－2,2,1)，∴cos 〈1BC ，1AB 〉＝1BC ·1AB|1BC ||1AB |＝4－15×9＝15＝55>0.∴1BC 与1AB的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55. [答案] A本例条件下，在线段OB 上，是否存在一点M ，使C 1M 与AB 1所成角的余弦为13？若存在，求出M 点；不存在，说明理由．解：不妨令CB ＝1，CA ＝CC 1＝2，建系如本例题图，假设存在符合条件的点M ，设M (0,0，a )，则1C M ＝(0，－2，a )，又1AB＝(－2,2,1)， ∴|cos 〈1C M ，1AB 〉|＝|a －4|4＋a 2·9＝13. ∴|a －4|＝4＋a 2，∴a 2－8a ＋16＝a 2＋4. ∴8a ＝12，∴a ＝32.又CB ＝1，∴a ＝32>1.故不存在符合条件的点M .由题悟法利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．以题试法1．(2012·安徽模拟)如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1.解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a,0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵1AB ＝(－a ，a ，a )，1DD＝(0,0，a )，∴cos 〈1AB ，1DD 〉＝1AB ·1DD|1AB |·|1DD |＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：∵1BB＝(－a ，－a ，a )，BC ＝(－2a,0,0)， 1FB＝(0，a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1FB ·1BB ＝0， 1FB ·BC＝0，∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . ∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.典题导入[例2] (2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A -PB -C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．[自主解答] (1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则C (22，0,0)．设D (2，b,0)，其中b >0，则 P (0,0,2)，E ⎝⎛⎭⎫423，0，23，B (2，－b,0)．于是PC＝(22，0，－2)， BE ＝⎝⎛⎭⎫23，b ，23，DE ＝⎝⎛⎭⎫23，－b ，23，从而PC ·BE＝0，PC ·DE ＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE . 又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BED .(2) AP ＝(0,0,2)，AB＝(2，－b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP ＝0，m ·AB＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－2b ，2. 因为二面角A －PB －C 为90°，所以面P AB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP＝(－2，－2，2)，所以cos 〈n ，DP 〉＝n ·DP|n ||DP |＝12，所以〈n ，DP〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.由题悟法利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角(如例2)．以题试法2.(2012·宝鸡模拟)如图，已知P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2，等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝1，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E .(1)求证：PC ⊥平面ADE ；(2)求直线AB 与平面ADE 所成角的大小．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，从而BC ⊥AD . 又AD ⊥PB ，BC ∩PB ＝B ，所以AD ⊥平面PBC ，得PC ⊥AD ，又PC ⊥AE ，AE ∩AD ＝A ，所以PC ⊥平面ADE .(2)如图所示，建立空间直角坐标系B －xyz . 则A (1,0,0)，C (0,1,0)， P (1,0，2)，因为PC ⊥平面ADE ，所以PC＝(－1,1，－2)是平面ADE 的一个法向量．设直线AB 与平面ADE 所成的角为θ，则sin θ＝|PC ·AB||PC||AB |＝(－1，1，－2)·(－1，0，0)2＝12，则直线AB 与平面ADE 所成的角为30°.典题导入[例3] (2012·江西高考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；(2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．[自主解答] (1)证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ，因为AA 1∥BB 1，得OE ⊥BB 1，因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC .因为AB ＝AC ，OB ＝OC ，得AO ⊥BC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ，所以OE ⊥平面BB 1C 1C .又AO ＝AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5，得AE ＝AO 2AA 1＝55.(2)如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0，－2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(－1,2,2)，由AE ＝151AA 得点E 的坐标是⎝⎛⎭⎫45，0，25，由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是OE ＝⎝⎛⎭⎫45，0，25，设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·11A B＝0，n ·1A C＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0. 令y ＝1，得x ＝2，z ＝－1，即n ＝(2,1，－1)，所以cos 〈OE ，n 〉＝OE·n| OE |·|n |＝3010，即平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是3010.由题悟法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．以题试法3．(2012·山西模拟)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0，)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )，∴AC ＝(－a ，a,0)，BE＝(－a ，－a ，λa )， ∴AC ·BE＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE . (2)显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，∵AC ＝(－a ，a,0)，AE＝(－a,0，λa )，∴⎩⎨⎧m ·AC＝0，m ·AE＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －ax ＋ay ＝0，－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －λz ＝0. 取z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)， ∵二面角C －AE －D 的大小为60°， ∴|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝λ1＋2λ2＝12， ∵λ∈(0,1]， ∴λ＝22.1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)，1BC ＝(2,0,2)，∴EF ·1BC＝2， ∴cos 〈EF ，1BC〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成角为60°. 答案：60°2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．解析：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)．设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则由cos 60°＝|m·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2. 答案： 23.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．解析：如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a2. 则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝⎝⎛⎭⎫－a ，－a 2，a 2，CB ＝(a ，a,0)．设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB ，n 〉＝CB·n | CB ||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 的夹角为90°－60°＝30°. 答案：30°4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．解：(1)证明：由题可知，AP 、AD 、AB 两两垂直，则分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP ＝(0,0,3)，AC ＝(23，6,0)，BD＝(－23，2,0)，∴BD ·AP ＝0，BD ·AC＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .(2)显然平面ABD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD ＝0，n ·BP ＝0. 由(1)知，BP＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.∴结合图形可知二面角P －BD －A 的大小为60°.5．(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．解：(1)法一：证明：如图，连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′， A ′C ⊂平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′.法二：证明：取A ′B ′ 中点P ，连接MP ，NP ，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)， B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫λ2，0，12，N ⎝⎛⎭⎫λ2，λ2，1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由⎩⎨⎧m ·A M ' ＝0，m ·MN＝0，得⎩⎨⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由⎩⎨⎧n ·NC ＝0，n ·MN＝0，得⎩⎨⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2(负值舍去)．6．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C . 又因为A 1C ⊥CD . 所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1, 3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·1A B ＝0，n ·BE =0.又1A B(3,0－＝ (－1,2，0)，所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3. 所以n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM＝所以sin θ＝|cos 〈n , CM 〉|＝|n ·CM|n ||CM ||＝48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0. 又1A D ＝(0，2，－23),DP＝(p ，－2,0)，所以⎩⎨⎧2y －2 3z ＝0，px －2y ＝0.令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3. 所以m ＝(2，p ，p 3)．平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．1．(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：P A ⊥EF ；(2)求二面角D －FG －E 的余弦值．解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (0,2,0)，C (－2,0,0)，P (0,0,2)，E (－1,0,1)，F (0,0,1)，G (－2,1,0)．(1)证明：由于PA ＝(0,2，－2)，EF ＝(1,0,0)，则PA ·EF＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，∴P A ⊥EF .(2)易知DF ＝(0,0,1)，EF＝(1,0,0)，FG ＝(－2,1，－1)，设平面DFG 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ·DF ＝0，m ·FG＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋y 1－z 1＝0. 令x 1＝1，得m ＝(1,2,0)是平面DFG 的一个法向量．设平面EFG 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得n ＝(0,1,1)是平面EFG 的一个法向量． ∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝25·2＝210＝105，设二面角D －FG －E 的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈m ，n 〉， ∴cos θ＝－105， ∴二面角D －FG －E 的余弦值为－105. 2．(2012·北京西城模拟)如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OD .由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点．又D 为BC 的中点，所以OD 为△A 1BC 的中位线，所以A 1B ∥OD ，因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.(2)由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°，得BA ，BC ，BB 1两两垂直．以BC ，BA ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz . 设BA ＝2，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，C 1(2,0,1)，D (1,0,0)，所以AD＝(1，－2,0)，1AC ＝(2，－2,1)．设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ＝0，n ·1AC ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x －2y ＋z ＝0.取y ＝1，得n ＝(2,1，－2)．易知平面ADC 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以cos 〈n ，v 〉＝n ·v |n |·|v |＝－23.因为二面角C 1－AD －C 是锐二面角，所以二面角C 1－AD －C 的余弦值为23.(3)假设存在满足条件的点E .因为点E 在线段A 1B 1上，A 1(0,2,1)，B 1(0,0,1)，故可设E (0，λ，1)，其中0≤λ≤2.所以AE＝(0，λ－2,1)，1DC ＝(1,0,1)．因为AE 与DC 1成60°角，所以|cos 〈AE ，1DC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE ·1DC|AE |·|1DC |＝12. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1(λ－2)2＋1·2＝12，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．所以当点E 为线段A 1B 1的中点时，AE 与DC 1成60°角．1．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．解：(1)证明：如图，以D 为坐标原点，DA 、DP 、DC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设DA ＝1，则有D (0,0,0)，Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，所以DQ ＝(1,1,0)，DC ＝(0,0,1)，PQ＝(1，－1,0)，所以PQ ·DQ ＝0，PQ ·DC ＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .又DQ ⊂平面DCQ ，DC ⊂平面DCQ ，且DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)由(1)易知B (1,0,1)，CB ＝(1,0,0)，BP＝(－1,2，－1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·CB ＝0，n ·BP＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0，可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP＝0，m ·PQ ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，x 1－y 1＝0，可取m ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－155，故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155. 2．(2012·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．解：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛－12，⎭⎫12，0，P (0,0,2)．(1)证明：易得PC＝(0,1，－2)， AD＝(2,0,0)，于是PC ·AD＝0，所以PC ⊥AD .(2) PC ＝(0,1，－2)，CD＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·PC＝0，n ·CD＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h .由CD ＝(2，－1,0)，故cos 〈BE ，CD 〉＝BE ·CD|BE|·|CD |＝3212＋h 2×5＝310＋20h 2，所以310＋20h 2＝cos 30°＝32，解得h ＝1010，即AE ＝1010. 3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2.(1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A 1D ； (2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)．设E (1，y 0,0)(0≤y 0≤2)．(1)证明：∵1D E ＝(1，y 0，－1)，1A D＝(－1,0，－1)，则1D E ·1A D＝(1，y 0，－1)·(－1,0，－1)＝0， ∴1D E⊥1A D，即D 1E ⊥A 1D .(2)当AE ＝2－33时，二面角D 1－EC －D 的平面角为π6. ∵EC ＝(－1,2－y 0,0)，1D C＝(0,2，－1)，设平面D 1EC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC ＝0，n 1·1D C ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0.取y ＝1，则n 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1EC 的一个法向量．而平面ECD 的一个法向量为n 2＝1DD ＝(0,0,1)，要使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6，则cos π6＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2(2－y 0)2＋12＋22＝32，解得y 0＝2－33(0≤y 0≤2)． ∴当AE ＝2－33时，二面角D 1－EC －D 的平面角为π6. 4．(2012·湖北模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°.(1)若异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，求棱柱的高； (2)设D 是BB 1的中点，DC 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．解：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设AA 1＝h (h >0)，则有B (1,0,0)，B 1(1,0，h )，C 1(0,1，h )，A 1(0,0，h )，11B C ＝(－1,1,0)，11A C ＝(0,1,0)，1A B＝(1,0，－h )． (1)因为异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，所以cos60°＝|11B C ·1A B ||11B C |·|1A B |，即12·h 2＋1＝12，得1＋h 2＝2，解得h ＝1. (2)由D 是BB 1的中点，得D ⎝⎛⎭⎫1，0，h 2，于是1DC ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，h2. 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，于是由n ⊥1A B ，n ⊥11A C可得⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·11A C＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －hz ＝0，y ＝0，可取n ＝(h,0,1)，故sin θ＝|cos 〈1DC，n 〉|，而|cos 〈1DC ，n 〉|＝|1DC·n ||1DC |·|n |＝⎪⎪⎪⎪－h ＋h 214h 2＋2·h 2＋1＝hh 4＋9h 2＋8.令f (h )＝hh 4＋9h 2＋8＝1h 2＋8h2＋9，因为h 2＋8h 2＋9≥28＋9，当且仅当h 2＝8h 2，即h ＝48时，等号成立．所以f (h )≤19＋28＝18＋1＝22－17，故当h ＝48时，sin θ的最大值为22－17.立体几何(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·重庆模拟)若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行、异面或相交解析：选D 经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现．2．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱解析：选D 球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A 和C.对于如图所示三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同． 3．(2012·安徽模拟)在空间，下列命题正确的是( ) A ．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面 B ．若直线m 与平面α内的一条直线平行，则m ∥αC ．若平面α⊥β，且α∩β＝l ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD ．若直线a ∥b ，且直线l ⊥a ，则l ⊥b解析：选D 三条直线两两相交，可确定一个平面或三个平面，故A 错；m 与平面α内一条直线平行，m 也可在α内，故B 错；若平面α⊥β，且α∩β＝l ，当P ∈l 时，过P 点与l 垂直的直线可在β外，也可在β内，故C 错．由等角定理知D 正确．4．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6πB ．43πC ．46πD ．63π解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝(2)2＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π.5．(2012·北京海淀二模)某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A.203 B.43 C ．6D ．4解析：选A 由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点、以正方体的上底面为底面的四棱锥后的剩余部分，其体积是23－13×22×1＝203.6．(2013·安徽模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选B 由三视图的相关知识易知选B.7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与体对角线AC 1异面的棱有( ) A ．3条 B ．4条 C ．6条D ．8条解析：选C 从定义出发，同时考虑到正方体的体对角线AC 1与正方体的6条棱有公共点A 和C 1，而正方体有12条棱，所以与AC 1异面的棱有6条．8.(2012·衡阳模拟)如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )A.π4B.π2C.2π2D.2π4 解析：选B 此几何体是底面半径为12，母线长为1的圆锥，其侧面积S ＝πrl ＝π×12×1＝π2. 9．如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行解析：选D 由于C 1D 1与A 1B 1平行，MN 与C 1D 1是异面直线，所以MN 与A 1B 1是异面直线，故选项D 错误．10．(2012·皖南八校三联)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积为( )A ．18 cm 3B ．15 cm 3C ．12 cm 3D ．9 cm 3解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个上下均为长方体的组合体．如图所示，由图中数据可得该几何体体积为3×3×1＋1×2×3＝15(cm 3)．11．在正四面体A －BCD 中，棱长为4，M 是BC 的中点，P 在线段AM 上运动(P 不与A 、M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题：①BC ⊥面AMD ；②Q 点一定在直线DM 上；③V C －AMD ＝4 2.其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解析：选A ∵A －BCD 是正四面体，M 为BC 中点，∴AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，且AM ∩DM ＝M ，∴BC ⊥面AMD .∴①正确．V C －AMD ＝13S △AMD ·CM (∵BC ⊥面AMD ，∴CM 为四面体C －AMD 的高)．如图，在△AMD 中，AM ＝DM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝23，MN ＝AM 2－AN 2＝12－22＝22，∴S △AMD ＝12AD ·MN ＝12×4×22＝42， ∴V C －AMD ＝13×42×2＝823，故③不正确．由排除法知选A. 12．(2012·浙江高考)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直解析：选B 对于AB ⊥CD ，因为BC ⊥CD ，可得CD ⊥平面ACB ，因此有CD ⊥AC .因为AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1，所以AC ＝1，所以存在某个位置，使得AB ⊥CD .二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2012·肇庆二模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为________，________.解析：由三视图可知，该几何体的下部是一底边长为2，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长．所以长方体的表面积为S 1＝2×2×2＋4×2×4＝40，长方体的体积为V 1＝2×2×4＝16，球的表面积和体积分别为S 2＝4×π×12＝4π，V 2＝43×π×13＝4π3，故该几何体的表面积为S ＝S 1＋S 2＝40＋4π，该几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝16＋4π3.答案：40＋4π 16＋4π314． (2012·北京怀柔模拟)P 为△ABC 所在平面外一点，且P A 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题：①P A ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确的个数是________．解析：如图所示．∵P A ⊥PC ，P A ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴P A ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴P A ⊥BC .同理PB ⊥AC ，PC ⊥AB .但AB 不一定垂直于BC .共3个．答案：315.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于________．解析：如图，三棱柱的外接球球心为O ，其中D 为上底面三角形外接圆的圆心，其中AD ＝33×6＝23，又OD ＝3，故在Rt △OAD 中可得R ＝|OA |＝(23)2＋32＝21，故球的表面积为4π(21)2＝84π.答案：84π16．(2012·长春名校联考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠2，有以下四个命题：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)解析：过N 作NP ⊥BB 1于点P ，连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，∴AA 1⊥MN ，①正确；过M 、N 分别作MR ⊥A 1B 1、NS ⊥B 1C 1于点R 、S ，则当M 不是AB 1的中点，N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M 、N 分别是AB 1、BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，∴A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③对．综上所述，其中正确命题的序号是①③.答案：①③三、解答题(本大题有6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·陕西高考)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，∠CAB ＝π2. (1)证明：CB 1⊥BA 1；(2)已知AB ＝2，BC ＝5，求三棱锥C 1－ABA 1的体积．解：(1)证明：如图所示，连接AB 1，∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∠CAB ＝π2， ∴AC ⊥平面ABB 1A 1，故AC ⊥BA 1.又∵AB ＝AA 1，∴四边形ABB 1A 1是正方形，∴BA 1⊥AB 1，又CA ∩AB 1＝A ，∴BA 1⊥平面CAB 1，故CB 1⊥BA 1.(2)∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝5，∴AC ＝A 1C 1＝1，由(1)知，A 1C 1⊥平面ABA 1，∴VC 1－ABA 1＝13S △ABA 1·A 1C 1＝13×2×1＝23. 18．(本小题满分12分) (12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD . 解：在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，则F 即为所求作的点．∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，∴四边形FEGA 为平行四边形，∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .又在Rt △BCE 中， CE ＝BC 2－BE 2＝ a 2－23a 2＝33a . 在Rt △PBC 中，BC 2＝CE ·CP ，∴CP ＝a 23a3＝3a ，又EG CD ＝PE PC， ∴EG ＝PE PC ·CD ＝23a ，∴AF ＝EG ＝23a . ∴点F 为AB 靠近点B 的一个三等分点．19．(本小题满分12分) (12分)(2012·新课标全国卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．解：(1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.20．(本小题满分12分) (12分)(2012·安徽高考)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面A 1B 1C 1D 1是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱AA 1上任意一点．(1)证明：BD ⊥EC 1；(2)如果AB ＝2，AE ＝2，OE ⊥EC 1，求AA 1的长．解：(1)证明：连接AC ，A 1C 1.由底面是正方形知，BD ⊥AC .因为AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以AA 1⊥BD .又AA 1∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C .由EC 1⊂平面AA 1C 1C 知，BD ⊥EC 1.(2)法一：设AA 1的长为h ，连接OC 1.在Rt △OAE 中，AE ＝2，AO ＝2，故OE 2＝(2)2＋(2)2＝4.故Rt△EA1C1中，A1E＝h－2，A1C1＝22，故EC21＝(h－2)2＋(22)2.在Rt△OCC1中，OC＝2，CC1＝h，OC21＝h2＋(2)2. 因为OE⊥EC1，所以OE2＋EC21＝OC21，即4＋(h－2)2＋(22)2＝h2＋(2)2，解得h＝32，所以AA1的长为3 2.法二：∵OE⊥EC1，∴∠AEO＋∠A1EC1＝90°.又∵∠A1C1E＋∠A1EC1＝90°，∴∠AEO＝∠A1C1E.又∵∠OAE＝∠C1A1E＝90°，∴△OAE∽△EA1C1，∴AEA1C1＝AOA1E，即222＝2A1E，∴A1E＝22，∴AA1＝AE＋A1E＝3 2.21．(本小题满分12分) (12分)(2012·郑州一模)如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．解：(1)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD且平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD.∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE.∵AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝3，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°.∴∠BEC＝90°，即BE⊥CE.又SE∩CE＝E，，∴BE⊥平面SEC，∵BE⊂平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC.(2)如图，过点E作EF⊥BC于点F，连接SF.由(1)知SE⊥平面ABCD，而BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥SE ，又SE ∩EF ＝E ，∴BC ⊥平面SEF ，∵BC ⊂平面SBC ，∴平面SEF ⊥平面SBC .过点E 作EG ⊥SF 于点G ，则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高．由(1)易知，BE ＝2，CE ＝23，则BC ＝4，EF ＝ 3.在Rt △SEF 中，SE ＝1，SF ＝SE 2＋EF 2＝2，则EG ＝ES ·EF SF ＝32，∴三棱锥E －SBC 的高为32.22．(本小题满分12分) (14分)(2012·北京昌平二模)在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AD 的中点，F 为B 1C 1的中点．(1)求证：A 1F ∥平面ECC 1；(2)在CD 上是否存在一点G ，使BG ⊥平面ECC 1？若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取BC 的中点M ，连接AM ，FM .∴B 1F ∥BM 且B 1F ＝BM .∴四边形B 1FMB 是平行四边形．∴FM ∥B 1B 且FM ＝B 1B .∴FM ∥A 1A 且FM ＝A 1A ，∴四边形AA 1FM 是平行四边形．∴F A 1∥AM .∵E 为AD 的中点，∴AE ∥MC 且AE ＝MC .∴四边形AMCE 是平行四边形．∴CE ∥AM .∴CE ∥A 1F .∵A 1F ⊄平面ECC 1，EC ⊂平面ECC 1，∴A 1F ∥平面ECC 1.(2)在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1.取CD的中点G，连接BG.在正方形ABCD中，DE＝GC，CD＝BC，∠ADC＝∠BCD，∴△CDE≌△BCG.∴∠ECD＝∠GBC.∵∠CGB＋∠GBC＝90°，∴∠CGB＋∠DCE＝90°.∴BG⊥EC.∵CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴CC1⊥BG，又EC∩CC1＝C，∴BG⊥平面ECC1.故在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1.。

苏教版高中数学必修四向量的应用教案(3)

《向量的应用》教学设计一、教材分析向量概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程。

向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，向量在物理中的应用，是培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，向量在物理中的应用既是一个物理问题又是一个数学问题，所以在教学中，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理中量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象。

本节课是苏教版必修4第2章平面向量中第5节向量的应用，通过本节课的学习，学生将进一步深化用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。

二、学情分析本节课的授课对象为单招预科班学生，对于职高学生的数学基础及学习特点，为了激发学生学习兴趣并考虑学生的最近发展区针对单招预科班学生创设拔河比赛等问题情景。

学生已学习平面向量的相关内容,初步建立了向量的数学模型和物理模型。

教学中尽可能提供学生动手实践的机会,利用信息技术工具,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；应创设情境,提高学生学习兴趣,发挥主观能动性。

此外,学生总结归纳的能力还不够, 需要教师适当的引导和帮助。

三、教学目标知识与技能：1. 学会如何把生活中的问题提炼出数学信息，并加工成数学语言，并用向量知识解决物理问题，.体会向量是一种数学工具2. 掌握用向量知识解决代数问题与几何问题的互相转换和强化数形结合的数学思想方法．3.揭示知识背景，强化学生的参与意识；加强数学结合能力，发展运算能力和解决实际问题的能力.4.初步会用多媒体技术——几何画板作图工具处理数学问题。

高考数学专题复习向量及其应用教案

高考数学专题复习向量及其应用一、考点要求1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念； 2．掌握向量的加法和减法；3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件；4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算； 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；6．掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式；7．了解利用向量法证明空间平行垂直关系的方法，了解利用向量法进行角和距离的计算．二、基础过关1．若向量a ＝（1，1），b ＝（1，－1），c ＝（－1，2），则c ＝（）．A ．－12a ＋ 32bB ．12a － 32bC ．32a － 12bD ．－32a ＋12b解：设y x +=),(),(y y x x -+=),(y x y x -+=，∴⎩⎨⎧=--=+2,1y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,23,21y x故选B ．2．设|a |＝4，|b |＝3，a 与b 夹角为60°，则|a ＋b |等于（）．A ．37B ．13C ．37D ．13 解：选C ．3．已知四边形A BCD 是菱形，点P 在对角线A C 上（不包括端点A 、C ），则AP →＝( ) ．A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0，1) B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈(0，22)C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0，1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈(0，22)解：选A ．4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1) ，B(－1，3)，若点C 满足OC →＝αOA→＋βOB →，其中有α，β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为（）．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 解：选D ．5．将函数y ＝f (x )的图象按向量a 平移，使得图象上点的坐标由(1，0)变为（2，2），则平移后的图象的解析式为 ( ) ．A ．y ＝f (x ＋1)－2B ．y ＝f (x －1)－2C ．y ＝f (x －1)＋2D ．y ＝f (x ＋1)＋2 解：选C ．6．设 a ，b ，c 是平面内任意的非零向量且相互不共线，则①(ab )c －(ca )b ＝0 ②|a | －|b |＜|a －b | ③(bc )a －(ca )b 不与c 垂直 ④(3a ＋2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |2 其中真命题是（）． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④解：选D ．三、典型例题1．平面向量,中，已知=(3，2)，(1)若b a ⋅=13-，则向量b 在a 方向上的投影为_____. （2）向量)1,4(-=，则向量在方向上的投影为_____.2 2=2=，a 与b 的夹角为 60，且向量b a λ+与2-λ的夹角为钝角，则λ的取值范围为______例1 已知a ＝（cos α，sin α），b ＝（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |，其中k ＞0，（1）求证：(a ＋b )⊥(a －b )；（2）用k 表示a ·b ；（3）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的大小．解：（1）要求用k 表示a ·b ,而已知|k a +b |=3|a －k b |，故采用两边平方，得|k a +b |2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2+b 2+2k a ·b ＝3(a 2+k 2b 2－2k a ·b )，∴8k ·a ·b ＝(3－k 2)a 2+(3k 2－1)b 2，a ·b ＝kk k 8)13()3(2222b a -+-．∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β,sin β)，∴a 2＝1, b 2＝1，∴a ·b ＝k k k 813322-+-＝kk 412+．（2）∵k 2+1≥2k ，即k k 412+≥kk 42＝21，∴a ·b 的最小值为21．又∵a ·b ＝| a |·|b |·cos γ，|a|＝|b|＝1，∴21＝1×1×cos γ． ∴γ＝60°，此时a 与b 的夹角为60°．注与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a +b |2＝|(a +b )2|＝a 2+b 2+2a ·b 或|a |2+|b |2+2a ·b ．例2 如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90A ，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．解法1：∵AC AB ⊥，∴0=⋅AC AB ． ∵-=，-=，-=， ∴)()(-⋅-=⋅ =⋅+⋅-⋅-⋅=a ⋅+⋅--2=)(2AC AB AP a -⋅+- =a ⋅--212=a ⋅+-212=θcos 22a a +-．故当1cos =θ，既0=θ（与方向相同）时，⋅最大，其最大值为0．解法二：以直有项点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB |=c, |AC |=b ，则A （0，0），B （c ，0），C （0，b ）且a PQ 2||=，a BC =||．设点P 的坐标为),(y x ，则),(y x Q --，∴),(y c x -=，),(b y x ---=，),(b c BC -=，)2,2(y x PQ --=，∴)())((b y y x c x --+--=⋅=by cx y x -++-)(22．BC aC∵2||||cos aby cx BC PQ -=⋅=θ，∴θcos 2a by cx =-， ∴θcos 22a a +-=⋅，故当1cos =θ，既0=θ（与方向相同）时，⋅最大，其最大值为0．例3 在平面直角坐标系中有一条定长为3的线段，其端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，设点M 满足AM →＝2MB →．（1）求动点M 的轨迹方程，若轨迹C 是圆，写出其圆心坐标和半径；若C 是椭圆、双曲线或抛物线，写出其焦点坐标和准线方程；（2）直线l 垂直于y 轴，且与y 轴交于点D （0，433），过点D 的直线与曲线C 相交于P 、Q 两点，过点P 且平行于l 的直线与曲线C 相交于另一点R ，设DP →＝λDQ →（λ＞1），E （0，3），证明：ER →＝－λEQ →．解：（1）设M （x ，y ），A （a ，0），B （0，b ），则a 2＋b 2＝9，AM →＝（x －a ，y ），MB →＝（－x ，b －y 由AM →＝2MB →得，（x －a ，y ）＝2（－x ，b －y ），即：⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝2(－x )， y ＝2(b －y )．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝3y 2．代入a 2＋b 2＝9得，x 2＋y 24＝1，∴M 的轨迹C 是椭圆，其焦点坐标为（0，3），（0，－3），准线方程为y ＝433和y ＝－433．（2）设),(),,(2211y x Q y x P ，则DP →＝(x 1，y 1－433)，DQ →＝(x 2，y 2－433)，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1－433＝λ(y 2－433)，x 12＋y 124＝1， x 22＋y 224＝1．解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝7－λ23，y 2＝7λ－123λ．(注：运算时令t ＝433)∴ER →＝(－x 1，y 1－3)＝(－x 1，7－λ23－3)＝(－x 1，1－λ23)，EQ →＝(x 2，y 2－3)＝(x 2，7λ－123λ－3)＝(x 2，λ－123λ)，－λEQ →＝(λ-x 2，1－λ23)＝(－x 1，1－λ23)，∴ER →＝－λEQ →．例4 已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长AB =BC =3，BB 1=4，连结B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于点E ，交B 1C 于点F ．（1）求证：A 1C ⊥平面EBD ；（2）设A 1C ∩平面EBD =K ，求线段A 1K 的长；（3）求A 1B 与平面BDE 所成角的大小．解法1：（1）证BE C A ⊥1，BD C A ⊥1，可得A 1C ⊥平面EBD ．（2）在平面1BC 中用平几知识可求得49=CE ，在对角面1AC 中，设AC 与BD 交于点O ，可求得22CE OC OE +=4173=，由面积法得34349=CK ， 2121AA AC C A +=34=，34342511=-=CK C A K A ．（3）∵A 1C ⊥平面B DE ，∴∠A 1BK 就是所求的直线A 1B 与平面BDE 所成的角． ∴BK A 1sin ∠BA K A 11=34345=，∴直线A 1B 与平面BDE 所成的角为34345arcsin ．解法2：（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则D (0，0，0），A (3，0，0），C (0，3，0），B (3，3，0），A 1(3，0，4），D 1(0，0，4），C 1(0，3，4），B 1(3，3，4）．设E (0，3，z ），则∵BE ⊥B 1C ，∴·C B 1=0，=(-3，0，z ），C B 1=(-3，0，-4）， ∴·B 1C=(-3，0，z ）·（-3，0，-4）=9-4z=0，∴z=49， ∴E(0，3，49)， ∴A 1·DB =-3×3+3×3=0，A 1·DE =3×3-4×49=0，∴A 1⊥，A 1⊥，∴A 1⊥DB ，A 1C ⊥DE ， ∴A 1C ⊥平面BDE ．ABCD1A 1B 1C 1D EF（2）DK =m +n =m (3，3，0）+n （0，3，49）=(3m ，3m +3n ，49n ）， ∴K (3m ，3m +3n ，49n ），∴A 1=（3m -3，3m +3n ，49n-4），A 1⊥⇔A 1·=(3m -3，3m +3n ，49n -4）·(3，3，0）=0， ∴2m +n -1=0，及=A 1⊥DE ⇔·=(3m-3，3m+3n ，49n-4）·(0，3，49）=0， ∴16m +25n -16=0，∴m =349，n =178， ∴K （-3475，3475，-1750）=A 1，∴|A 1|=343425这就是所求的线段A 1K 的长．（3）∵A 1C ⊥平面BDE ，∴∠CA 1B 就是所求的直线A 1B 与平面BDE 所成的角的余角． A 1=（0，3，-4），|A 1|=5，∴sin ∠A 1BK34345，∴sin ∠A 1BK =arcsin=34345，即直线A 1B 与平面BDE 所成的角的大小为arcsin 为34345．四、热身演练1．|a ＋b |＝|a |＋|b |成立的充要条件是（）．DA ．a ＝λb (λ∈R )B ．a ＝λb (λ＞0)C ．a ＝λb (λ≥0)D ．a ＝λb (λ≥0)或b ＝02．如图，已知点分有向线段AB →的比为－3，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则以下等式成立的是（）．AA ．c ＝－12a ＋32b B ．c ＝－b ＋2aC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝32a －12b3．已知△ABC 中，AB →＝a ，CA →＝b ，a · b ＞0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角是（）．AA ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°4．已知OA →＝(4，3)，函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 按向量平移得到的图象，恰与直线4x ＋y －8＝0相切于点T (1，4)，则原函数的解析式为（）．CA ．f (x )＝x 2＋2x ＋1B ．f (x )＝x 2＋2x ＋2C ．f (x )＝x 2＋2x －2D ．f (x )＝x 2＋2x5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB→|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）．BA ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．已知a ，b 是不共线的两个向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，DC →＝－a ＋2b ，若A 、B 、D 三点共线，则p ＝___________．1-7．已知a ＝（cos α，sin α），b ＝(cos β，sin β)（0＜α＜β＜π），且|λa ＋μb |＝|μa －λb |（λμ≠0），则β－α＝．2πO8．已知OP →＝(2，1)，OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，设M 为直线OP 上一点，设M 是直线OP 上一点，则当MA →· MB →有最小值时，cos ∠AMB 的值为___________．41749．（1）已知a ，b 是两个非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角；（2）已知：|a |＝2，|b |＝3，a 和b 的夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角是锐角时λ的取值范围．解：（1）∵a +3b 与7a －5b 垂直，∴（a +3b ）·(7a －5b )=0，即7|a |2+16a ·b －15|b |2=0， ①又∵a －4b 与7a －2b 垂直，∴（a －4b ）·(7a －2b )=0．即7|a |2－30a ·b +8|b |2=0． ②①－②得46a ·b =23|b |2,得a ·b =21|b |2，代入①可得|a |=|b |，设所求a 与b 的夹角为θ，则cos θ=||||b a ba ⋅=22||||21a a =21，∴θ=60°．（2）由已知a ·b =|a |·|b |·cos45°=32·21=3．∵a +λb 与λa +b 夹角为锐角，∴（a +λb ）·(λa +b )>0，即a ·b λ2+(a 2+b 2) λ+a ·b >0．把a ·b =3，a 2+b 2=|a |2+|b |2=2+9=11代入得3λ2+11λ+3>0，解之得λ<68511--或λ>68511+-，此即所求λ的取值范围．10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，|AC |＝2，|AB |≤4．（1）求中线AM 长的取值范围；（2）当AM 长取最大值时，求两中线AM 与BN 所成钝角的大小．解：以C 为原点，CB →、CA →方向分别为x 轴、y 轴正方向建立如图坐标系，则A （0，2），设B（a ，0）(a ＞0)，则M （a 2，0），AB →＝（a ，－2），AM →＝（a 2，－2）．（1）|AM →|＝a 24＋4，由|AB|≤4，即|AB →|≤4，a 2＋4≤4，所以a 2≤12，故|AM →|＝a 24＋4≤7，又|AM →|＞2，所以AM 长的取值范围为（2，7]．（2）当|AM →|＝7时，a ＝23，此时M （3，0），N （0，1），B （23，0），AM →＝（3，－2），BN →＝（－23，1）．cos ＜AM →，BN →＞＝3×(－23)－2×17×(－23)2＋1＝－89191，故两中线AM 与BN 所y成钝角为π－a rccos(－89191)．11．已知椭圆中心在坐标原点，离心率为12，一个焦点是F （－m ，0）（m 是大于0的常数）．（1）求椭圆的方程；（2）设Q 是椭圆上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的斜率．解：（1）设所求椭圆方程是)0(12222>>=+b a b y a x 由已知得m c =，21=a c ，所以m b m a 3,2==，故所求椭圆方程是1342222=+my m x ．（2）设),(00y x Q ，直线)(:m x k y l +=，则点),0(km M ，当2=时，由于)0,(m F -，),0(km M ，由定比分点坐标公式得3210,322120kmkm y m m x Q Q =++=-=+-=，又点)3,32(km m Q -在椭圆上，所以13)3(4)32(2222=+mkmm m ，62±=k ；当2-=时km km y m m x Q Q -=-+=-=-+=210,22120，所以13)(4)2(2222=+m km m m 得，解得0=k ，故直线l 的斜率是0，62±．12．用向量法解题（请按照图形，建立坐标系）：正四棱锥S ABCD -中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点．（1）求二面角B SC D --的大小；（2）如果点Q 在棱SC 上，那么直线BQ 与PD 解：（1）取SC 的中点E ，连结,BE DE ，SCB ∆∆与∴SC BE ⊥，SC DE ⊥，∴BED ∠是二面角B SC D --在BED ∆中，2223381cos 263BE DE BD BED BE DE +-+-∠===-⋅，∴1arccos 3BED π∠=-，故二面角B SC D --的大小为1arccos 3π-．（2）设AC BD O =，以射线,,OA OB OS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设CQ x =，则(0,B D ，(),()2222P Q x x ，222(,2,),()2222DP BQ x x ==，30DP BQ x ⋅=-≠（∵0[∈x ，]2，∴BQ 与PD 不可能垂直．。

高一数学教案：《向量的应用》人教A版必修

教学目标：1.知识与技能：1.经历用向量法解决某些简单的几何问题,力学问题的过程.2.体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法：运用平面向量的知识解决平面几何中的平行、垂直等问题；提高分析问题、解决问题的能力.3.情感与价值观：培养学生的交流意识、合作意识;培养学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学习的信心和学习的兴趣。

教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一．激趣导学回顾所学的向量:①向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特征,又有几何特征;②通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数型结合的桥梁;③向量也是解决许多物理问题的有力工具.二．质疑讨论：三. 反馈矫正：例1.如图所示,无弹性的细绳OB OA ,的一端分别固定在B A ,处,同质量的细绳OC 下端系着一个称盘,且使得OC OB ⊥试分析OC OB OA ,,三根绳子受力的大小,判断哪根绳子受力最大.(物理学中的应用)例2.已知:BC OA ⊥,AC OB ⊥求证:AB OC ⊥思考:你能否画一个几何图形来解释例2 ?例3.已知直线l 经过点),(111y x P 和),(222y x P ,用向量方法求l 的方程.思考:把),(y x 改为),(33y x ,我们如图可以得到证明三点共线的一种方法.四．巩固迁移1.已知作用于点O 的力21,F F 的大小分别为6,8，且两力间的夹角为060，则两力合力的大小为__2.在四边形ABCD 中，−→−AB ·0=−→−BC ,=−→−BC −→−AD ,则四边形ABCD 是_______（直角梯形、菱形、矩形、正方形）3.在梯形ABCD 中，BD AC AD BC ⊥,//,)1,6(=−→−AB ,),(y x BC =−→−,)3,2(--=−→−CD ,则_____),(=y x ，梯形的面积是_____五．课堂小结:六． 1.如何把几何学问题转化为向量问题？2.如何把物理学问题转化为数学问题？3.如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成。