数学北师大版八年级下册中考几何综合专题--图形变换
第3章图形的变换 题型解读4 旋转问题的三大典型题型2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《图形的变换》题型解读4 旋转问题的三大典型题型【知识梳理】一.“半角模型”【题型介绍】大角含半角+有相等的边，通过旋转"使相等的边重合，拼出特殊角".凡涉及等腰直角三角形、正三角形、正四边形的图形，都可能出现半角模型。
总体解题思路：题目出现半角模型，先旋转，让被分成两部分的两个半角合成一个半角，再证三角形全等，利用全等解题。
除了90º角外，出现其它角中含有它的一半角度时，也是可以运用旋转来解决问题。
二.“尺子模型”【题型介绍】尺子题型，应该说是旋转问题应用中最古老的题型，它通过两把尺子的旋转，能组合成各种几何图形，探索出各种数学问题，这也给了我们一些解题启示，遇到尺子题时，我们也可以通过旋转来解决题目所提出的问题。
三. 绕点旋转模型【题型介绍】绕点旋转型，是旋转问题应用中最常见也是难度最大的题型，实际上绝大部分的旋转都属于绕点旋转，如“手拉手模型”；一般出现在一些存在边相等的特殊三角形中，这为我们解决这类最难的旋转题目提供了一个很好的题目背景，在遇到等边三角边，等腰直角三角形及正方形这些中心对称图形或轴对称图形时，又需要添辅助线的情况下，可以考虑采用旋转的思想来解题。
四.手拉手模型【题型介绍】三角形全等中最经典的全等模型，图形中出现“有公共交点的两个相同的特殊图形”时，可利用全等知识及全等性质解题。
【典型例题】例1.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为．解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4﹣x）2=x2，解得：x=52，∴FM=52．例2.如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、CD上，∠EBF=45°则△EDF的周长等于______。
数学北师大版八年级下册中考几何综合专题--图形变换
点B所走的路线长
线段OA扫过的面积 线段OB扫过的面积
2.5 π 4.5 π 12.5 π
O
E D
A
AB所扫过的扇形面积是多少？
B
12.5 π -4.5 π=8 π
变换3——轴对称
3、如图，矩形ABCD沿EF折叠，C与A重合， 若AB=4，AD=8，求BF的长度。
2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对 角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是 C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使 点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG；
变换1——平移
1、如图，∠ABC=90°，Rt△ABC沿CB的方向 平移 2 3 得Rt△DEF，AP=2，DE=5，求四边形 BEDP的面积。 （3+5）× 2 3 = 8 3
变式：
2
A 2
8 3
P
D
8 3
求四边形ACFP的面积。
转化思想
C
2 3
5
3
F
B2 3 E
（1）猜想三角形POQ的形状，说明理 等腰直角三角形 由。 （2）猜想AP,DP,PQ三条线段的关系？ （3）设正方形边长为4，AP=x，用x 表示PQ，求出PQ最小值？
2 2 2 PQ x ( 4 x )
2 2 x 8 x 16 所以， PQ 最小值为 2 2 2 2 (x 2 ) 8
（3）平行四边形对边相等； （4）等量代换；
1、正方形ABCD对角线交于O，另一个正方形 OEFG的顶点放在O点，绕着O点旋转，分别与 正方形的边交于点P、Q。问两个这个正方形 的重叠部分的面积与正方形ABCD面积的关系？
北师大版八年级下册数学阶段核心归类图形变换的四种作图
阶段核心归类
解：如图，作法：(1)过点A作直线m的垂线，垂 足为点O，在垂线上截取OA′＝OA，点A′就是点 A关于直线m的对称点； (2)同理，可以分别作出点B，C关于直线m 的对称点B′，C′； (3)连接A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′就是 所要求作的图形．
阶段核心归类
6．【2020·江西】如图，在正方形网格中，△ABC的顶 点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留 作图痕迹)． (1)在图①中，作△ABC关于点O 对称的△A′B′C′；
解：如图①， △A′B′C′即为所求．
阶段核心归类
(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点 解(2)：分 同如别理图以，②O可B，以，△分OA别CB为作′C一出′即边点为作B所，∠求BC．O关E于，直∠线COmF，使得∠BOE＝∠COF＝∠AOD且OE＝OB，OF＝OC，点E，F处就是B，C的对应点的位置；
阶段核心归类
4．【中考·金华】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标 解：如图②，△AB′C′即为所求．
先找准旋转中心和旋转角，确定关键点，再作出各个关键点的对应点，最后顺次连接各关键点的对应点． 两线段相交于点O；
是(0，3)，点B在x轴上Fra bibliotek将△AOB绕点A逆时针旋转90° 就是△ABC绕点O旋转得到的图形．
阶段核心归类
解：如图，△AEF就是所画的三角形． 点E的坐标是(3，3)，点F的坐标是(3，－1)．
阶段核心归类
(2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B 的坐标．
解：答案不唯一，如点B的坐标是(－2，0)．
阶段核心归类
5．如图，请作出与△ABC关于直线m成轴对称的图形． 【点拨】作平面图形关于某条直线的对称图形， 只要找到已知图形的关键点，作这些关键点 关于这条直线的对称点，再顺次连接这些对 称点即可．
北师大数学中考一轮综合复习 (图形变换)
北师大数学中考一轮综合复习（图形变换）知识点1 翻折变换翻折就是将一个图形或图形的一部分沿着一条直线折叠。
【典例】例1（2020春•高新区期中）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝6cm，EF＝8cm，则边AB的长度等于（）A．10cm B．9.6cm C．8.4cm D．8cm例2（2020•嘉兴模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6例3（2020春•鞍山期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝12，将∠A向内翻折，使点A在BC上，记为A'，折痕为DE．（1）若点A'恰好是边BC的中点，请直接写出AB的长；（2）在（1）的条件下，若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，求出此时AE的长；（3）连结CB'，试判断CB'与A'B'的数量关系．例4（2021秋•黄陂区期中）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝α，O 为AC 的中点，将点O 沿BC 翻折得到点O ′，将△ABC 绕点O ′顺时针旋转，使点B 与C 重合，旋转后得到△ECF ．（1）如图1，旋转角为 ．（用含α的式子表示）（2）如图2，连BE ，BF ，点M 为BE 的中点，连接OM ，①∠BFC 的度数为 ．（用含α的式子表示）②试探究OM 与BF 之间的关系．（3）如图3，若α＝30°，请直接写出的值为 ．【随堂练习】1．（2020秋•崂山区期中）如图，Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．59B ．43C ．56D ．532．（2020秋•旌阳区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （3，0），连接AB ，将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A '处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ．则BC 的长为（ ）A ．3√32B ．√13C ．3√52D ．52 3．（2021秋•溧水区期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，ED ＝EC ，回答下列问题：（1）与AE 相等的线段是 ．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD 沿BE 翻折得到△EBF ，连接CF ，请你完成剩下解答过程．4．（2020秋•昆都仑区期末）已知矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8．（1）如图1，点P 从点D 开始沿D →A 以每秒1个单位的速度移动，同时另一个点Q 从点B 开始在线段BC 上以每秒3个单位的速度往返移动．设P ，Q 运动时间为t 秒，当0＜t ≤8时，是否存在这样的时刻，四边形DCQP 为平行四边形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，点A与点E重合，展平后折痕为MF．一动点N从点D出发，沿D→A→B→C→D，以每秒1个单位的速度移动一周，设N运动的时间为x秒．请直接写出当△MFN为直角三角形时x的值．知识点2平移变换1、平移的定义平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
北师版中考数学图形的转换
区块链项目 区块链应用 数字货币；
过/甚至有生灵の利爪/直接抓到马开身上/到马开身上留下壹道血痕/ 生灵确定恐怖の/它们都虹咯眼睛/都拼命似の扑向马开/要为人形生灵报仇/舞动の力量/都确定最强の攻击/ 壹抓而下/要确定别の修行者肯定会被撕裂/但到马开身上只确定留下咯壹道血痕/这就确定它の肉身/强悍恐怖/ 马开横推 而去/无敌天下般/真有至尊风范/强势の壹塌糊涂/到它手中抪知道沾染咯多少血液/真の如同战神/身上已经沾满咯血液/壹路杀伐而去/ 当然/它身上也留下咯抪少伤痕/血痕壹道道/触目惊心/ 上万の修行者/到这些生灵の厮杀下/只剩下五千抪到到咯/这确定惨烈の战斗/但每壹佫人依旧咬紧牙关/冲 杀而去/此刻/唯有拼命壹搏/还有壹线生机/ 众人也到咯马开/马开身下已经尸骨堆积如山咯/抪知道被它斩杀咯多少生灵/尽管每壹佫人都见到马开身上触目惊心交错の血痕/但依旧心生敬畏/ 这数万の修行者/无数都冲杀向马开/到这样の围攻下/马开只确定伤痕累累根本抪算确定伤/马开の战斗力这 次再次展现出来/ 着马开依旧声势如雷/如同战神壹样/抪少人都心中震动/这佫人真の确定越战越勇/杀咯这么多生灵/居然毫无力竭の趋势/ 杀戮依旧到持续/马开身上再次添加咯几道伤痕/身下の尸骨多咯许多/到它手中/抪知道死咯多少生灵/ "哈哈哈/如此大战/怎么能缺少我们/" 就到群雄和数万 生灵交手の时候/壹佫响亮の声音响起来/随着这佫身影响起/恐怖の威严暴动而下/ 冰凌王/晴文婷/慕纤纤/龙华皇子这些强者都出现/身后还有无数の修行者跟随它们前来/也有数万之多/ 这些人参与进来/原本处于绝对下风の群雄这时候才缓咯壹口气/士气大涨の它们/冲杀向无数の生灵/开始疯狂の 反扑起来/ 壹面倒の情况改变咯/两者开始势如破竹の厮杀起来/惨叫声抪绝于耳/时抪时有生命被斩杀/ 生灵到夺取修行者の精华/修行者到夺取生灵の血液/它
数学北师大版八年级下册中考几何综合专题--图形变换
中考几何综合专题—图形变换(3)辽宁省阜新市水泉中学 李丹【教材分析】 1．对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，它又是公式法的基础，同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础。
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过的一元一次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程，这就是降次。
2．本节课由简到难展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体解法。
【学情分析】1.知识掌握上，九年级学生学习了平方根的意义。
他们还学习了完全平方式，这对配方法解一元二次方程奠定了基础。
2.学生学习本节的障碍。
学生对配方法怎样配系数是个难点，老师应该予以简单明白、深入浅出的分析。
3.我们老师必须从学生的认知结构和心理特征出发，分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题。
而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方式、二次根式，这就为我们继续研究用配方法解一元二次方程奠定了基础。
【教学目标分析】依据《数学课程标准》的目标，把握新的数学理念，制定以下教学目标： 1、知识与技能目标（1）会用直接开平方法解形如（x+m ）2=n (n ≧0) 的方程。
（2）会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
2、过程与方法目标：（1）经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想。
专题6 与图形变换有关的热点、难点问题探究-2022-2023学年八年级下册数学学练测(北师大版)
专题6 与图形变换有关的热点、难点问题探究-2022-2023学年八年级下册数学学练测(北师大版)引言在数学学科中，图形变换是一个重要的内容，它涉及到几何图形的平移、旋转、翻转等操作。
对于学生来说，掌握图形变换的方法和技巧对于解题和应用数学知识具有重要意义。
因此，本文将围绕八年级下册数学教材中与图形变换有关的热点、难点问题展开探究，并给出相应的解题思路和方法。
一、平移变换平移变换是指在平面上将一个图形沿着一定的方向移动一段距离的变换。
在八年级下册数学教材中，平移变换主要涉及到图形的平移、坐标的变化等方面。
1. 平移变换的定义和性质平移变换是一种保持图形大小、形状和方向不变的变换。
对于平移变换，有以下几个重要性质： - 平移前后的图形是全等的； - 平移变换的向量是平移的方向和距离。
2. 平移变换的表示方法平移变换可以用向量来表示。
设平移向量为$\\overset{\\rightarrow}{v}(a，b)$，对于点(x，y)的平移后的点为(x+a，y+b)。
示例题：已知点A(2，3)经过平移变换后得到点B(5，8)，求平移向量。
解析：我们可以通过观察坐标的变化来确定平移向量。
根据题意，点A经过平移变换后得到点B，即点A到点B的平移向量为(5−2，8−3)=(3，5)。
3. 平移的性质与应用在几何题中，利用平移的性质可以帮助我们快速解决问题。
例如，通过平移可以找到相应位置的图形，从而进行对称、相等性等的判断。
示例题：如图，正方形ABCD经过平移变换得到正方形A’B’C’D’，点E在BD边上，若A’E的长度为8cm，求BE的长度。
解析：由于正方形ABCD经过平移变换得到正方形A’B’C’D’，所以A’E和BE是相等的，即A’E = BE。
已知A’E的长度为8cm，所以BE的长度也为8cm。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形以一定的角度绕一个旋转中心进行旋转的变换。
在数学教材中，旋转变换主要涉及到图形的旋转角度、旋转中心等方面。
基础知识必备手册之八年级数学(下)(北师大版)：专题三 图形的平移与旋转
一、图形的平移1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2、性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.确定一个平移运动的条件是：平移的方向和距离4.平移的规则：图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离．5.画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．二、图形的旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
三、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
5.中心对称与中心对称图形区别与联系.（1）.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．（2）.中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．【例1】如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（）A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位【答案】A．【解析】分析：根据网格结构，可以利用一对对应点的平移关系解答．【名师指南】本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位置．平移前后图形的形状、大小都不变，平移得到的对应线段与原线段平行且相等，对应角相等，平移时以局部带整体，考虑某一特殊点的平移情况即可．【例2】在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【答案】(1)作图见解析；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【解析】分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．解答：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置以及变化情况是解题的关键．对于直线、线段、多边形等特殊图形，将原图中的关键点与移动后的对应点连接起来，就能准确作出图形．【例3】如图，已知A（-3，-3），B（-2，-1），C（-1，-2）是直角坐标平面上三点．（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．【答案】(1)作图见解析；（2）h的取值范围为2＜h＜3.5．解答：（1）△A1B1C1如图所示；（2）点B2的坐标为（2，-1），由图可知，点B2到B1与A1C1的中点的距离分别为2，3.5，所以h的取值范围为2＜h＜3.5．【名师指南】本题考查了利用旋转变换作图，关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．【例4】已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为( )A．(1，2) B．(2，9)C．(5，3) D．(－9，－4)【答案】A．【名师指南】】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【例5】下列四个图案中，属于中心对称图形的是( )【答案】D．考点：中心对称图形．【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．【例6】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析.解答：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．【例7】在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4.则下列结论错误的是( )A．AE∥BC B．∠ADE＝∠BDC C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9【答案】B．【解析】分析：首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．【名师指南】】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．【例8】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为．【答案】2.【解析】分析：根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．解答：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，【名师指南】】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．。
数学北师大版八年级下册变换莫测的图形
“变幻莫测”
的图形
郑州龙门实验学校 单志蕊
学习目标
１通过小组互助交流初步了解错误率较高 的题目。 ２通过同学的讲解认识正确的做法，能解 决问题并反思自己失误的原因。 ３总结经验，建立模型，增强信心。
在△ABC中AB=AC=10,AD平分∠BAC,点E为AC 的中点,连接DE.则△DCE的周长为多少?
已知△ABC面积为24,将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C′的 位置使B′和点C重合,连接AC′交A′C于点D,则△CDC′的面积为 多少?
在直角坐标系中,0为坐标原点,已知点A(1, ),在y 轴的正半轴上确定点P使△A0P为等腰三角形，则 点P的坐标为 。
已知△ABC与△ADE为等边三角形，点D为BC延长 线上一点。求证：BD=CE，AC+CD=CE
已知△ABC为等边三ห้องสมุดไป่ตู้形，点D为BC延长线上一点， CE平分∠ACD且BD=CE 求证：△ADE为等边三角形。
北师大初中数学中考总复习：图形的变换--知识讲解(提高)-精品
中考总复习：图形的变换--知识讲解（提高）【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.【要点诠释】１．图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.2．平移、旋转和轴对称之间的联系一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.【典型例题】类型一、平移变换1.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．（1）证明△A′AD′≌△CC′B；（2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．【思路点拨】（1）根据已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；（2）由已知可推出四边形ABC′D′是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=12AC，AB=12AC，从而得到AB=BC′，所以四边形ABC′D′是菱形．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．∴∠D′A′C′=∠BCA．∴△A′AD′≌△CC′B．（2）解：当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，∴C′D′=CD=AB．由（1）知AD′=C′B．∴四边形ABC′D′是平行四边形．在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点，∴BC′=12 AC．而∠ACB=30°，∴AB=12 AC．∴AB=BC′．∴四边形ABC′D′是菱形．【总结升华】本题考查了平移的性质特点以及全等的判定和菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握，考查学生综合运用数学的能力．2．操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是__________．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．【思路点拨】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A ′，设点B 表示的数为a ，根据题意列出方程求解即可得到点B 表示的数，设点E 表示的数为b ，根据题意列出方程计算即可得解；（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F 的坐标为（x ，y ），根据平移规律列出方程组求解即可．【答案与解析】（1）点A ′：-3×13+1=-1+1=0，设点B 表示的数为a ，则13a+1=2，解得a=3，设点E 表示的数为b ，则13b+1=b ，解得b=32；故答案为：0；3；32.（2）根据题意得，-313202am a m an ，解得12122amn ，设点F 的坐标为（x ，y ），∵对应点F ′与点F 重合，∴12x+12=x ，12y+2=y ，解得x=1，y=4，所以，点F 的坐标为（1，4）．【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，若将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动，若重叠部分PC A'的面积是21cm ，则移动的距离'AA 等于 .【答案】根据题意得：AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴∠A′PC=∠B=90°，∵∠A=∠CA′P=∠ACP=45°，∴△A′PC是等腰直角三角形，∵△A′PC的面积是1cm2，∴S△A′PC=12A′P?PC=1（cm2），∴A′P=PC=2cm，∴A′C=2cm，由于原等腰直角三角形的斜边是22cm，所以平移的距离是：22-2（cm）．类型二、轴对称变换3．（2016?贵阳模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE 沿DE折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′＝；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．【思路点拨】（1）根据点B，C′，D在同一直线上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；（2）利用垂直平分线的性质得出CC′=DC′=DC，则△DC′Ｃ是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案；（3）利用①当点C′在矩形内部时，②当点C′在矩形外部时，分别求出即可．【答案与解析】解：（1）如图1，∵点B，C′，D在同一直线上，∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；故答案为：4；（2）如图2，连接CC′，∵点C′在AB的垂直平分线上，∴点C′在DC的垂直平分线上，∴CC′=DC′=DC，则△DC′Ｃ是等边三角形，设CE=x，易得DE=2x，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，解得：x=2，即CE的长为2；（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：①当点C′在矩形内部时，如图3，∵点C′在AD的垂直平分线上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6﹣2，设EC=y，则C′E=y，NE=4﹣y，故N C′2+NE2=C′Ｅ2，即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，解得：y=9﹣3，即CE=9﹣3；②当点C′在矩形外部时，如图4，∵点C′在AD的垂直平分线上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6+2，设EC=z，则C′E=a，NE=z﹣4故NC′2+NE2=C′Ｅ2，即（6+2）2+（z﹣4）2=z2，解得：z=9+3，即CE=9+3，综上所述：CE的长为9±３．【总结升华】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．举一反三：【变式】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．（1）求MP的长；（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于1 3 .【答案】（1）解：连接BP 、PC ，由折法知点P 是点C 关于折痕BQ 的对称点．∴BQ 垂直平分PC ，BC=BP ．又∵M 、N 分别为AD 、BC 边上的中点，且四边形ABCD 是正方形，∴BP=PC ．∴BC=BP=PC ．∴△PBC 是等边三角形．∵PN ⊥BC 于N ，BN=NC=12BC=12，∠BPN=12×∠BPC=30°，∴PN=32，MP=MN-PN=232．（2）证明：由折法知PQ=QC ，∠PBQ=∠QBC=30°．在Rt △BCQ 中，QC=BC ?tan30°=1×33=33，∴PQ=33．∴以PQ 为边的正方形的面积为13．4.已知：矩形纸片ABCD 中，AB=26厘米，5.18BC厘米，点E 在AD 上，且6AE 厘米，点P 是AB 边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图（1）所示）；步骤二，过点P 作,AB PT交MN 所在的直线于点Q ，连结QE （如图（2）所示）；（1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ QE（填“＞”、“=”、“＜”号）（2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点,1Q ,1Q 点的坐标是（，）；②当6PA 厘米时，PT 与MN 交于点2Q ，2Q 点的坐标是（，）；③当12PA 厘米时，在图（3）中画出MN ，PT （不要求写画法）并求出MN 与PT 的交点3Q 的坐标；（3）点P 在在运动过程中，PT 与MN 形成一系列的交点,1Q 2Q ，3Q …观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.（1）（2）（3）【思路点拨】（1）根据折叠的特点可知△NQE ≌△NQP ，所以PQ=QE ．（2）过点E 作EG ⊥Q 3P ，垂足为G ，则四边形APGE 是矩形．设Q 3G=x ，则Q 3E=Q 3P=x+6．利用Rt △Q 3EG 中的勾股定理可知x=9，Q 3P=15．即Q 3（12，15）．（3）根据上述的点的轨迹可猜测这些点形成的图象是一段抛物线，利用待定系数法可解得函数关系式：y=112x 2+3（0≤x ≤26）．【答案与解析】（1）由折叠的特点可知△NQE ≌△NQP ，所以PQ=QE ．（2）①（0，3）；②（6，6）．③画图，如图所示．过点E 作EG ⊥Q 3P ，垂足为G ，则四边形APGE 是矩形．∴GP=6，EG=12．设Q 3G=x ，则Q 3E=Q 3P=x+6．在Rt △Q 3EG 中，∵EQ 32=EG 2+Q 3G 2∴x=9．∴Q 3P=15．∴Q 3（12，15）（3）这些点形成的图象是一段抛物线．函数关系式：y=112x 2+3（0≤x ≤26）．【总结升华】本题是一道几何与函数综合题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通过动点P 在AB 上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中，提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维．类型三、旋转变换5.（2016?本溪）已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B 、C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M.A BCDP EMNB C（P ）（A ） BCDE xN 1Q O6 12 18 24 61218 2Q y（1）如图①，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是；（2）如图②，当AC=BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图③，若，点P在线段CB的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP的面积．【思路点拨】（1）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质再用中位线即可；（2）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质，再用中位线即可；（3）同（1）（2）的方法作出辅助线，利用平行线中的基本图形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角形的面积公式即可．【答案与解析】解：（1）如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，∴B'Q=BP，AB'=AB，连接BB'，∵AC⊥BC，∴点C在BB'上，且CB'=CB，依题意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，故答案为：BP=2CM；（2）BP=2CM仍然成立，理由：如图2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，∴B'Q=BP，AB'=AB，连接BB'，∵AC⊥BC，∴点C在BB'上，且CB'=CB，依题意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，（3）如图3，设BC=2x，则AC=5x，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'延长BC交C'Q于N，∴四边形ACNC'是正方形，∴C'N=CN=AC=5x，∴BN=CN+BC=7x∵CM∥QN，∴∵CM=2，∴∴QN=7，∴BP=B'Q=C'N+QN﹣B'C'=5x+7﹣2x=3x+7，∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，根据勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2=132∴x=1或x=﹣（舍），∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25．【总结升华】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质，旋转的性质，中位线的性质，解本题的关键是作出辅助线，也是本题的难点．6 . 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即OO和1OO，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于12扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA B C按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是_______________?请你解答上述两个问题．【思路点拨】求出正方形OABC翻转时点O的轨迹弧长, 再求面积即可.要理解的是第4n次旋转，顶点O没有移动.【答案与解析】解：问题①：如图，正方形纸片经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧11223OO,O O,O O，所以顶点O在此运动过程中经过的路程为901902221 1801802.顶点 O在此运动过程中所形成的图形与直线2l围成图形的面积为2290290122111 360360.正方形纸片经过5次旋转，顶点O运动经过的路程为：90190232318018022.问题②：∵正方形纸片每经过4次旋转，顶点O运动经过的路程均为：901902221 1801802.又412022201222，而2是正方形纸片第4n+1次旋转，顶点O运动经过的路程.∴正方形纸片OABC按上述方法经过81次旋转，顶点O经过的路程是412022.【总结升华】本题涉及到分类归纳，图形的翻转，扇形弧长和面积.举一反三：【变式】如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．BPA(M)Q NDC【答案】(1) 点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图如图：(2) 弧AA1与AD，A1D围成图形的面积为：14圆的面积（半径为1）=4；弧A1A2与A1D，DN，A2N围成图形的面积为：1 4圆的面积（半径为2）＋正方形的面积（边长为1）=12；弧A2A3与A2N，NA3围成图形的面积为：36012090536012圆的面积（半径为1）=512；其他三块小面积分别与以上三块相同.∴点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S为：57. 21=2 42123。
八年级数学下册《图形的变换——平移、对称、旋转在几何证明中的巧用》专题考点试卷(附答案)【北师大版】
专训2图形的变换——平移、对称、旋转在几何证明中的巧用名师点金：在进行与图形变换有关的计算或证明时，往往需要在图形中添加一些辅助线，添加辅助线后能使题目中的分散条件集中，较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有平移法、旋转法、翻折法等．翻折法1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.(1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明；(2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值．(第1题)平移法2．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC上的点，且BE ＝CF，请判断FE与BC的大小关系，并说明理由．(第2题)旋转法3．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作60°角，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，试探究BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证：EF<BF＋CE.(第4题)答案1．解：(1)等腰三角形有3个，分别为△ABC，△ABD，△ADC.证明：∵AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．∴∠B＝∠BAC.∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC＝36°.∴∠DAC＝∠C＝36°，∠B＝∠ADB＝72°.∴△ABD和△ADC都是等腰三角形．(2)如图，在AC上截取AE＝AB，连接DE(相当于将AB边沿AD向右翻折，与AC边重合，B点落在E点处)，(第1题)又∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED.∴∠AED＝∠B，BD＝ED.∵AB＋BD＝AC，∴BD＝EC.∴ED＝EC.∴∠EDC＝∠C.∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C，即∠B∶∠C＝2.2．解：FE<BC.理由如下：如图，将EF平移到BM，则此时BE平移到MF，由于CF＝BE ＝MF，考虑到MF与CF的对称关系，作∠MFC的平分线交BC于点D，连接MD，易得DM＝DC.因为BD＋DM>BM，所以BC>FE，即FE<BC.(第2题)点拨：本题从平移的角度来思考问题，从而降低了求解的难度．3．解：MN＝BM＋NC.证明如下：如图，延长NC到点E，使CE＝BM，连接DE(相当于将△DBM 绕点D旋转至△DCE)．∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝180°－120°2＝30°.∴∠DBM＝∠DCE＝90°.又∵DB＝DC，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE.∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE.∴∠EDN＝∠CDN＋∠CDE＝∠CDN＋∠BDM＝120°－60°＝60°.∴∠MDN＝∠EDN＝60°.∵DM＝DE，∠MDN＝∠EDN，DN＝DN，∴△DMN≌△DEN.∴MN＝EN.∴MN＝NC＋CE＝BM＋NC.(第3题)4．证明：由题意可知BM＝MC，∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，如图所示．∴BF＝CN，FM＝NM.连接EN，又∵ME⊥MF，∴EN＝EF.在△ENC中，EN<CN＋CE，∴EF<BF＋CE.(第4题)。
北师大版八年级下册 3.1 几何变换之平移 专题讲义(无答案)
内容根本要求 略高要求 较高要求 平移 理解图形平移，理解平移中对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等的性质能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能根据平移前后的图形，指出平移的方向和间隔 能运用平移的知识解决简单的计算问题；能运用平移的知识进展图案设计一、几何变换 几何变换是一类重要的解题方法，通过几何变换可以把图形变得更对称、更美观、更便于处理；通过几何变换可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们可以更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中．几何变换可以分为以下几类： 1． 平移：即保持点沿同一方向挪动一样间隔 ，且保持线段平行的变换．平移的性质有：保持角度不变，保持几何图形全等．2． 轴对称：将图形沿直线翻折．轴对称的性质有：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段的交点在对称轴上，保持几何图形全等．3． 中心对称：将图形关于一个点对称．中心对称的性质有：对应点的连线的中点永远是对称中心，保持几何图形全等．4． 旋转：即将平面图形绕一个定点旋转一个角度．旋转的性质有：对应点到旋转中心的间隔 相等，对应直线的夹角等于旋转角，保持几何图形全等．5． 位似：将图形关于一个点作放大或缩小变换．初中几何暂时不涉及这局部内容．二、平移变换1．平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向挪动一定的间隔 ，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注：⑴平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．⑵图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的间隔 ，这两个要素是图形平移的根据． ⑶图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的根本性质的根据．2．平移的根本性质：由平移的根本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向挪动一样的间隔 ，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有以下性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上)，对应线段平行且相等，对应角相等．平移变换前后的图形具有如下性质：⑴对应线段平行(或共线)且相等；⑵对应角的两边分别平行且方向一致；例题精讲中考要求几何变换之平移⑶对应的图形是全等形．注：⑴要注意正确找出“对应线段，对应角〞，从而正确表达根本性质的特征．⑵“对应点所连的线段平行且相等〞，这个根本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的根据．3．简单的平移作图想一想：⑴生活中的图形是由什么构成的？结论：点、线、面⑵我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出它平移后的图形呢？结论：在进展平移作图时，要知道平移的间隔 和方向，利用平移的相关性质(如：平移不改变图形的大小和形状等)作图，要找出图形的关键点．⑶平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的间隔 ． ４．平移变换的方法应用⑴平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角挪动到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联络起来．⑵平移法在应用时有三种情况：①平移条件：把条件中的某条线段或角平移；②平移结论：把结论中的线段或角平移；③同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移．5．平移变换的主要功能：把分散的线段、角相对集中起来，从而使条件集中在一个根本图形之中，而产生进一步的更加深化的结果，这种思想我们称之为“集散思想〞．或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化．应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下挪动位置．也可以使线段在保持平行且相等的条件下挪动位置，从而到达相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的．因为应用平移变换可以把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下挪动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下挪动位置，因此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．板块一 平移的根本概念及性质【例1】 观察图案，在A 、B 、C 、D 四幅图案中，能通过图案的平移得到的是( )A B C D【例2】 在下面的六幅图中，⑵⑶⑷⑸⑹中的图案_________可以通过平移图案⑴得到的．【例3】 图形经过平移后，图形的性质：①线段的长度；②两条线段或直线的相对位置关系；③角度的大小；④图形的面积。
北师大版八年级下册 3.2 几何变换之旋转 专题讲义 (无答案)
内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转||，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形||，能依据旋转前后的图形||，指出旋转中心和旋转角．能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计．一、旋转有关概念旋转：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转||，点O 叫做旋转中心||，转动的角叫做旋转角||，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ||，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图) 注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．⑵每一组对应点所构成的旋转角相等． 旋转的性质：①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角) ②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形)③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形) 旋转作图的基本步骤：由旋转的性质可知||，旋转作图必须具备两个重要条件： ⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度． 具体步骤分以下几步：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离||，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点．二、中心对称中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180︒||，如果它能够与另一个图形重合||，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称||，这个点叫做中心对称点||，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图) 注意：⑴两个图形成中心对称是旋转角为定角(180︒)的旋转问题||，它是一种特殊的旋转||，反映的是两个图形的一种特殊关系．⑵中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系． 中心对称的特征：关于中心对称的两个图形||，对称点所连线段都经过对称中心||，而且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形||，对应线段平行(或在同一直线上)且相等．例题精讲中考要求几何变换之旋转如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点||，并且被这一点平分||，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180︒||，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合||，那么这个图形叫做中心对称图形||，这个点就是它的对称中心．(如图⑶)中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称是指两个图形的关系||，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形||，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体||，则成为中心对称图形．关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时||，他们坐标符号相反||，反过来||，只要两个点的坐标符号相反||，则两个点关于原点对称．【例1】下列图不是中心对称图形的是( )A．①③B．②④C．②③D．①④【巩固】下列图形中||，绕某个点旋转180︒能与自身重合的有( )①正方形②长方形③等边三角形④线段⑤角A．5个B．2个C．3个D．4个【例2】在艺术字中||，有些字母是中心对称图形||，下面的5个字母中||，是中心对称图形的有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个【例3】下列图形中||，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个【例4】在下列四种图形变换中||，本题图案不包含的变换是( )①中心对称②旋转③轴对称④平移A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④版块二 旋转作图【例5】 图中的“笑脸”是图⑴逆时针旋转90︒形成的是( )【例6】 请在下列网格图中画出所给图形绕点O 顺时针依次旋转900︒、1800︒、2700︒后所成的图形．(注意：有阴影部分图形旋转后的对应图形要涂上阴影．不要求写画法)【例7】 正方形网格中||，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)||，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆． ⑴在正方形网格中||，作出11AB C ∆；(不要求写作法)⑵设网格小正方形的边长为1cm ||，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形||，然后求出它的面积．(结果保留π)【例8】 如图||，画出ABC ∆绕点O 顺时针旋转100︒所得到的图形． 【巩固】 如图||，作出ABC ∆绕旋转中心A ||，逆时针旋转75︒||，得到的图形．【例9】 如图||，已知ABC ∆绕某一点逆时针转动一个角度．得到旋转后的'''A B C ∆||，其中A 、B 、C 的对应点分别是'A 、'B 、'C ．试确定旋转中心O ．板块三 旋转的性质及相关计算【例10】 D 是等腰Rt ABC ∆内一点||，BC 是斜边||，如果将ABD ∆绕点A 逆时针方向旋转到'ACD ∆的度数是( )A ． 25︒B ．30︒C ．35︒D ．45︒【例11】 如图||，P 是正ABC ∆内的一点||，若将PBC ∆绕点B 旋转到P BA '∆||，则PBP '∠的度数是( )A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【例12】 如图||，把ABC ∆绕点C 顺时针旋转35︒||，得到'''A B C ∆||，''A B 交AC 于点D ||，若'90A DC ∠=︒||，则A ∠度数为( )A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒【巩固】 ABC ∆中||，108ACB ∠=︒||，将它绕着C 逆时针旋转30︒后得到''A B C ∆||，则'ACB ∠的度数是多少？ 【例13】 矩形的对角线相交于点O ||，过点O 的直线交AD ||，BC 于点E ||，F ||，2AB =||，3BC =||，则图中阴影部分的面积为_____【例14】 如图所示||，ABC ∆是直角三角形||，BC 是斜边||，将ABP ∆绕点A 逆时针旋转后||，能与'ACP ∆重合||，如果2AP =||，那么'PP =______．【例15】 如图||，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后||，得到矩形'''AB C D ||，如果22CD DA ==||，那么'CC =_________．【巩固】 正方形ABCD 中的ABP ∆绕点B 顺时针旋转能与'CBP ∆重合||，若4BP =||，求点P 所走过的路径长． 【例16】 如图||，在Rt ABC ∆中||，AB AC =||，D 、E 是斜边BC 上两点||，且45DAE ∠=︒||，将ADC ∆绕点A顺时针旋转90︒后||，得到AFB ∆||，连接EF ||，下列结论： 其中正确的是( )A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．【例17】 如图||，三个圆是同心圆||，则图中阴影部分的面积为 ． 【例18】 中央电视台大风车栏目图标如图甲||，其中心为O ||，半圆ACB 固定||，其半径为2r ||，车轮为中心对称图形||，轮片也是半圆形||，小红通过观察发现车轮旋转过程中留在半圆ACB 内的轮片面积是不变的(如图乙)||，这个不变的面积值是___________．【例19】 如图||，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动||，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度||，则这个旋转的角度为多少？【例20】 ⑴如图1||，点O 是线段AD 的中点||，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ||，连结AC 和BD ||，相交于点E ||，连结BC ．求AEB ∠的大小．⑵如图2||，OAB ∆固定不动||，保持COD ∆的形状和大小不变||，将COD ∆绕着点O 逆时针旋转15︒||，求AEB ∠的大小．【例21】 如图||，王虎使一长为4cm ||，宽为3cm 的长方形木板||，在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)木板上点A 位置变化为12A A A →→||，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住||，使木板与桌面成30︒角||，则点A 翻滚到2A 位置时共走过的路径长( ) A ．10cm B ．4πcm C ．7πcm 2 D ．5cm 2【例22】 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中||，将它绕点C 顺时针旋转α角||，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中||，⑴ 如图①||，当点E 在射线CB 上时||，E 点坐标为___________；⑵ 当CBD ∆是等边三角形时||，旋转角α的度数是____________(α为锐角时)； ⑶ 如图②||，设EF 与BC 交于点G ||，当EG CG =时||，求点G 的坐标；⑷ 如图③||，当旋转角90α=︒时||，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点||，且经过点A 的抛物线上．1. 下列图形中||，既是轴对称图形||，又是中心对称图形的是( )2.在下图的网格中按要求画出图象||，并回答问题．⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆||，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心||，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆；⑵在与同学交流时||，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？3. 如图||，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转80︒得到AB C ''∆．若50BAC ∠=︒||，则CAB '∠的度数为( ) A ．30︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．80︒4. 如图||，P 是正三角形ABC 内的一点||，且6PA =||，8PB =||，10PC =．若将PAC ∆绕点A 逆时针旋转后||，得到'P AB ∆||，则点P 与点'P 之间的距离为______||，APB ∠= ．5.如图||，四边形ABCD 是正方形||，F 是BA 延长线上的点||，ADF ∆旋转一定角度后得到ABE ∆||，如果4AF =||，7AB =．⑴指出旋转中心和旋转角度； ⑵求DE 的长度．6.取一副三角板按图①拼||，固定三角板ADC ||，将三角板ABC 绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为α的角()045α︒<︒≤得到ABC '∆||，如图所示．试问：⑴当α为多少度时||，能使得图②中AB DC ∥？⑵连结BD ||，当045α︒<︒≤时||，探寻DBC CAC BDC ''∠+∠+∠值的大小变化情况||，并给出你的证明．课后练习。
【北师大版】八年级数学下册《图形变换的四种作图》专题考点试卷(附答案)
专训1图形变换的四种作图名师点金：平移、旋转、轴对称和中心对称这几种图形变换都可以改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，注意作图时要弄清平移的方向和距离、旋转的方向和角度，作图要求准确、明了．平移作图题型1已知平移方向和距离的作图1．如图，已知△ABC，将△ABC沿着北偏东60°的方向平移1 cm，作出平移后的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(第1题)题型2已知平移方法在网格(坐标系)中的作图2．如图，已知△ABC经过平移得到△A′B′C′，△ABC 中任意一点P(x1，y1)平移后的对应点为P′(x1＋6，y1＋4)，求点A′，B′，C′的坐标，并画出平移后的图形．(第2题)题型1已知旋转角和旋转中心作图3．如图，将△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C的对应点的位置并画出旋转后的三角形．题型2已知旋转方法在网格(坐标系)中作图4．【中考·金华】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B的对应点分别是E，F.(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标；(2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B 的坐标．(第4题)轴对称作图5．请作出图中与△ABC关于直线m成轴对称的图形．(第5题)中心对称作图6．【2017·金华】如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为(－2，－2)，(－4，－1)，(－4，－4)．(1)作出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1.(2)作出点A关于x轴的对称点A′.若把点A′向右平移a 个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围．(第6题)答案1．解：如图，△A1B1C1即为所求．点拨：平移作图时，找关键点的对应点是关键的一步．(第1题)2．解：∵点P(x1，y1)平移后的对应点为P′(x1＋6，y1＋4)，∴平移的方法为先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度．由题图可知，A(－4，－2)，B(－5，－5)，C(－1，－3)，∴A′(2，2)，B′(1，－1)，C′(5，1)．如图，△A′B′C′即为平移后的图形．3．解：(1)连接OA，OD，OB，OC；(2)分别以OB，OC为一边作∠BOE，∠COF，使得∠BOE＝∠COF＝∠AOD 且OE＝OB，OF＝OC；(3)连接EF，ED，FD，△DEF就是△ABC绕点O旋转得到的图形，如图所示．(第3题)点拨：旋转作图要严格按照步骤进行．先找准旋转中心和旋转角，确定关键点，再作出各个关键点的对应点，最后顺次连接各关键点的对应点．4．解：(1)如图，△AEF(第4题)点E的坐标是(3，3)，点F的坐标是(3，－1)．(2)答案不唯一，如B(－2，0)．5．解：如图，作法：(1)过点A作直线m的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′＝OA，点A′就是点A关于直线m的对称点；(2)类似地，可以分别作出点B，C关于直线m 的对称点B′，C′；(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′就是所要求作的图形．(第5题)点拨：作平面图形关于某直线的对称图形，只要找到已知图形的关键点，作这些关键点关于这条直线的对称点，再顺次连接这些对称点即可．6．解：(1)如图，△A1B1C1就是所求作的图形．(2)点A′如图所示，a的取值范围是4<a<6.(第6题。