高中数学第一章解直角三角形1_1_1正弦定理同步导学案新人教B版

合集下载

高中数学第一章解直角三角形1.1.2余弦定理学案新人教B版必修5

高中数学第一章解直角三角形1.1.2余弦定理学案新人教B版必修51.掌握余弦定理及其推论.(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点)[基础·初探]教材整理1 余弦定理阅读教材P6中间1.1.2余弦定理～P7第15行，完成下列问题.1.三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C.2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题.(1)已知三边，求三角.(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.1.以下说法正确的有________.(填序号)①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例.【解析】①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解.②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形.③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确.④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广. 【答案】 ②③④2.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c ＝________.【解析】根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.【答案】 219教材整理2 余弦定理的变形阅读教材P 7例1上面倒数第三自然段～P 8，完成下列问题. 1.余弦定理的变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2.利用余弦定理的变形判定角：在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角.1.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则∠B ＝________.【解析】 cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝4＋1－34＝12，∠B ＝60°.【答案】 60°2.在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则∠A ＝________. 【解析】 ∵a 2＝b 2＋bc ＋c 2， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又∵0°＜∠A ＜180°， ∴∠A ＝120°. 【答案】 120°[小组合作型]已知两边及一角解三角形在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，角B ＝30°，求角A ，角C 和边a . 【精彩点拨】解答本题可先由正弦定理求出角C ，然后再求其他的边和角.也可以由余弦定理列出关于边长a 的方程，首先求出边长a ，再由正弦定理求角A ，角C .【自主解答】法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，∠A ＝30°， ∴∠C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴∠A ＝90°，∴∠C ＝60°.法二：由b <c ，∠B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解.由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴∠C ＝60°或120°，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当∠C ＝120°时，∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3.已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边也可以两次应用正弦定理求出第三边).[再练一题]1.在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，∠C ＝60°，求边c . 【解】由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.已知三边解三角形在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C . 【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角？ (2)求sin C 能否应用余弦定理？【自主解答】 ∵a >c >b ， ∴∠A 为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴∠A ＝120°， ∴sin A ＝sin 120°＝32. 由正弦定理a sin A ＝csin C，得：sin C ＝c sin A a＝5×327＝5314， ∴最大角∠A 为120°，sin C ＝5314.1.本题已知的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键.2.已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角.[再练一题]2.在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，求角C . 【解】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2－c 2＋b 2＝2ab cos C . ∴ab ＝2ab cos C .∴cos C ＝12，∴∠C ＝60°.[探究共研型]正、余弦定理的综合应用22222B＋sin 2C 成立吗？反之说法正确吗？为什么？【提示】设△ABC 的外接圆半径为R .由正弦定理的变形，将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a 2＝b 2＋c 2可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C .反之将sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C可得a 2＝b 2＋c 2.因此，这两种说法均正确.探究2 在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝π2成立吗？反之若∠C ＝π2，则c 2＝a 2＋b2成立吗？为什么？【提示】因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2－c 2＝0，由余弦定理的变形cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，即cos C ＝0，所以∠C ＝π2，反之若C ＝π2，则cos C ＝0，即a 2＋b 2－c 22ab ＝0，所以a2＋b 2－c 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2.在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC的形状.【精彩点拨】【自主解答】法一：∵(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ， ∴由正、余弦定理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ，即sin C cos B sin B ＝sin C cos A sin A .∵sin C ≠0，∴sin B cos B ＝sin A cos A ， ∴sin 2B ＝sin 2A .∴2∠B ＝2∠A 或2∠B ＋2∠A ＝π，即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.1.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.2.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.[再练一题]3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长.【解】 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，(其中R 为△ABC 外接圆半径)所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin A sin B，所以sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin B cos C ＋2sin C cos B ，所以sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ).又∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，所以sin Csin A＝2.(2)由(1)知sin C sin A ＝2，由正弦定理得c a ＝sin Csin A ＝2，即c ＝2a .又因为△ABC 的周长为5，所以b ＝5－3a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝a 2＋(2a )2－4a 2×14，解得a ＝1，a ＝5(舍去)，所以b ＝5－3×1＝2.1.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )A.60°B.90°C.120°D.150°【解析】由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.【答案】 C2.在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12【解析】由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋432－1322×7×43＝32，所以∠C ＝π6，故选B. 【答案】 B3. 在△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________.【解析】法一：∵a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a.∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，即b 2＝c 2，b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形.法二：∵a ＝2b cos C ，∴sin A ＝2sin B cos C ，而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴cos B sin C ＝sin B cos C ，即sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.又－180°<∠B －∠C <180°， ∴∠B －∠C ＝0，即∠B ＝∠C . ∴△ABC 为等腰三角形. 【答案】等腰三角形4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝∠C,2b ＝3a ，则cos A ＝________.【解析】由∠B ＝∠C,2b ＝3a ，可得b ＝c ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.【答案】 135.在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长.【解】 5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去).∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.。

高中数学第一章解直角三角形 1.1.1 正弦定理同步导学案新人教B版必修5

- 1 - 1.1.1正弦定理
一、预习问题：
1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？
2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即。

3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做。

4、用正弦定理可解决下列那种问题
① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。

5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？
二、实战操作：
例1、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。

例2、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》55

第一章解三角形1.1.1正弦定理（一）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题2 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：正弦定理的推导即理解（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin a b c A B C ==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪。

（四）教学过程 1[创设情景]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如下图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a , AC=b , AB=c , 根据直角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c=，又sin 1c C c==,则sin sin sin a b c c A B C ===，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C== 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如下图，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C=思考3 在钝角△ABC 中，以上关系式是否仍然成立？从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C ==2RR 为三角形ABC 的外接圆半径 [理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C = 等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

高中数学教材新课标人教B版目录完整版

高中数学（ B 版）必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用（Ⅰ）2．4函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用（Ⅱ）高中数学（ B 版）必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3圆的方程2．4 空间直角坐标系高中数学（ B 版）必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样 2．2用样本估计总体 2．3 变量的相关性第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3． 4概率的应用高中数学（ B 版）必修四第一章基本初等函 (Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积高中数学（ B 版）必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（ B 版）选修 1－ 1第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．2双曲线第三章导数及其应用3．1导数3．2导数的运算高中数学（ B 版）选修3．31－ 2导数的应用第一章第三章统计案例数系的扩充与复数的引入第二章第四章推理与证明框图高中数学（ B 版）选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词 1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程 2.2椭圆 2.3双曲线2.4抛物线 2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算 3.2空间向量在立体几何中的应用高中数学（ B 版）选修 2-2第一章导数及其应用1.1导数 1.2导数的运算1.3导数的应用 1.4定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（ B 版）选修 2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理 1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.3 随机变量的数字特征2.2 条件概率与事件的独立性2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验 3.2 回归分析高中数学（ B 版）选修 4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2 极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1 曲线的参数方程 2.2 直线和圆的参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程高中数学（ B 版）选修 4－ 5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法式1．3绝对值不等式的解法1．41．2 基本不等绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。

高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理(第1课时)教案高二数学教案

1.1.1 正弦定理 1课时模式与方法开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的教学目的(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题重点 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用难点 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用教学内容师生活动及时间分配创提设出情问境题教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若∠C为直角，则有a＝csinA，b＝csinB，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到asinA＝bsinB，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系？从而展开正弦定理的探究．回顾直角三角形中边角关系.如图：导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法．启发学生发现问题实质是：已知△ABC中∠B、∠C和BC长度，求AB距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边．创设情境，提出问题，激发学生兴趣引出课题，探究三角形的边（三边）、角（三角）关系．正弦定理及其推导在锐角三角形中作CD AB于D，有在钝角三角形中作CD AB于D，有引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.利用c边相同，寻求形式的和谐统一，即：在Rt△ABC中思考：在斜三角中，上式关系是否成立？引导学生自主探究对于一般的三角形是否仍然成立分类讨论（１）在锐角三角形中，等式是否成立？（２）在钝角三角形中，等式是否成立？综上：得：正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即例2变式训练：利用作图法总结已知两边及一边对角解三角形时解的情况小结：（１）正弦定理：（２）正弦定理的运用（３）思想和方法（３）如何证明？让学生分组讨论自主探究，教师注意巡视指导，引导学生思考引导学生学会自己总结，让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.。

人教版高中必修5(B版)第一章解直角三角形教学设计

人教版高中必修5(B版)第一章解直角三角形教学设计一、教学目标1.了解直角三角形的概念及其特殊的三角函数关系；2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其基本性质；3.应用所学的三角函数知识解决一些实际问题；4.培养学生探究问题，实践操作和分析解决问题的能力。

二、教学重点和难点教学重点：1.掌握直角三角形及其相关概念，掌握三角函数的定义、性质和计算方法；2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其基本性质，并能有效解决相关问题。

教学难点：1.能够利用直角三角形及其三角函数关系解决实际问题；2.了解解三角形三边、三角形面积的相关公式，灵活运用求解。

三、教学内容和过程教学内容1.直角三角形概念及相关概念。

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其基本性质。

3.应用三角函数知识解决实际问题，如计算高度、角度、距离等。

教学过程课前预习环节（5分钟）教师布置题目：小明在造房子时，发现房子旁有一条小溪，想知道自己房子与溪流之间的距离，但是溪流的宽度比较难以测量，请帮他计算一下。

导入环节（10分钟）板书“什么是直角三角形？”>简单介绍直角三角形的定义和特殊性质板书“什么是三角函数？”>简单介绍三角函数以及三角函数的基本性质讲授环节（20分钟）1.讲解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质2.利用实例辅助讲解如何求出直角三角形中的角度、高度、距离等练习环节（30分钟）1.给出多个直角三角形例题进行练习，例如：1.在一个直角三角形中，一角为45度，直角边长为4 cm，请计算斜边的长度。

2.在一个直角三角形中，斜边长为5 cm，一角为30度，请计算其它两条边的长度。

3.在一个直角三角形中，一角为60度，斜边长为1，请计算高度和底边长。

2.学生在配合教师纠正答案和思路错误的同时独立完成。

总结环节（5分钟）老师指导学生梳理本节课学习的知识点和重点，强化记忆。

四、教学评价1.学生能够熟练掌握直角三角形的概念及其特殊的三角函数关系；2.学生能够掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其基本性质；3.学生能够灵活运用所学的三角函数知识解决一些实际问题。

必修五第一章解三角形导学案1.1.1正弦定理学案

课题：正弦定理【学习目标】1.掌握正弦定理的内容2.会用正弦定理解三角形第一环节：导入学习（约3分钟）a ,sin sin sin ABC A B C b c A B C==在直角三角形中，角C 为直角，角、、对应的边分别为a,b,c,则sinA=______,sinB=_______,sinC=________.所以那么，对于一般三角形，以上关系是否存在呢？第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟）（一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和他所对的角的相等，即a s i n s i n s i nbcA B C == 2. 三角形的三个角A ，B ，C 和它所对的边a,b,c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做3. 正弦定理可以解决哪些解三角形的问题（1）（2）类型1已知两角和一边，求其它 1.?,20,ABC a A =≈例已知在三角形中＝30，Ｃ＝45，求B ，b ，c(sin1050.966)类型2：已知两边及一边的对角，解三角形 ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a例2.已知下列各三角形中两边及一边的对角，先判断是否有解，有解的作出解答（1）a=7,b=8,A=105(2) a=10,b=20,A=80(3)b=10,c=65 ,C=60 (4) a=（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）1.,ABC A C a b 已知在中，＝60，Ｂ＝45，ｃ＝20，求，2.3c 1,ABC B C b 中，=０，=45，=求及三角形外接在三角形圆的半径3.在∆ABC 中，A=45，a=2, b=2,求B ，C ，c第四环节：展示学习（约7分钟）第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）（约8分钟）（1）定理的表示形式：sin sin a b A B =sin c C ==++=++2sin sin sin a b cR A B C；或=2sin a R A ，=2sin b R B ，=2sin c R C (0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:。

高中数学必修五《正弦定理》精品导学案附课时作业

第一章解三角形§ 1．1．1 正弦定理【情形激趣】有一个旅行景点，为了吸引更多的旅客，想在景色区两座相邻的山之间搭建一条参观索道。

已知一座山顶 A 到山脚 C 的直线距离是 1500 米，在山脚 C 测得两座山顶之间的夹角是脚 C 与山顶 A 之间的夹角是 30 。

求需要建多长的索道？b5E2RGbCAP450，在另一座山顶B 测得山BA300451500C【学习过程】一、课前准备试验：固定 ABC 的边 CB 及思虑： C 的大小与它的对边明显，边 AB 的长度跟着其对角B ，使边 AC 绕着极点 C 转动． AB 的长度之间有如何的数目关系？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精准地表示出来？二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下边就第一来商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AC=b ，AB=c ，p1EanqFDPw依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc进而在直角三角形 ABC 中，ab c．sin A sin B sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD= a sin B b sin A ，则 a bsin A ，cb sin B 同理可得，sin C sin B 进而 a b csin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试推导.1.表达正弦定理的内容：2.正弦定理的变形①边化角： a = ， b = ， c = ；DXDiTa9E3d②角化边：sin ， sin ， sin C ； RTCrpUDGiT3.正弦定理的推论： a : b : c进而知正弦定理的基本作用为：①②一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作_______【沟通释疑】（二）合作商讨种类一已知两角及一边解三角形例 1. 在ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ，a42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm，解三角形．规律总结：种类二已知两边及此中一边的对角解三角形例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a2,求 b和 B, C ．变式：在ABC中， b3, B 60 , c1, 求a 和A, C ．规律总结：种类三判断三角形的形状例 3在ABC 中，已知a2tan B b 2 tan A ，试判断三角形的形状。

高中数学第一章解直角三角形 1.1.2 余弦定理教案新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学

1．1．2余弦定理[教学目标] 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

[教学重、难点]重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

[教学过程][创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，那么 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？〔由学生推出〕从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②三角形的三条边就可以求出其它角。

数学同步新导学案人教B必修五课件：第一章解三角形 1.1.2 第2课时

a2＋b2－c2 cos C＝ ____2_a_b____.
知识点二用两边夹角表示的三角形面积公式一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即 S△ABC＝12absin C ＝_12_b_c_s_in__A_＝__12_a_cs_i_n_B__.
思考 1 S△ABC＝12absin C 中，bsin C 的几何意义是什么？答案 BC边上的高.
反思感悟求三角形面积，主要用两组公式 (1) 12×底×高. (2)两边与其夹角正弦的乘积的一半.
选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求.
跟踪训练 2
在△ABC 中，已知A→B·A→C＝tan A，当 A＝π6时，△ABC 的面积为
1 6
.
解析 ∵A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos A＝tan A，
例2 在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为
A.9
B.18
√C.9 3
D.18 3
解析由正弦定理得sAinCB＝sBinCA，
∴AC＝BCsi·nsiAn B＝6×sisnin301°20°＝6 3.
又∵C＝180°－120°－30°＝30°，
∴S△ABC＝12AC·BC·sin C＝12×6 3×6×12＝9 3.
(1)求A的大小；
解由题意及余弦定理知，
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ac＋2bbcc－ac＝12， ∵A∈(0，π)，∴A＝3π. (2)求bsicn B的值. 解由 b2＝ac，得bc＝ab，
∴bsicn
B＝sin
B·ba＝sin
sin B·sin
AB＝sin
A＝
3 2.
题型二求三角形面积

高中数学第一章1.1 正弦定理(第3课时)导学案新人教版必修5

§1.1 正弦定理(第3课时）学习要求1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；2．熟记正弦定理及其变形形式；3．判断△ＡＢＣ的形状.温故知新1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin R 2, 2R sin sin sin sin sin a b a b c A B A B C±±±==±±±，R 为ABC ∆的_______________ 2．三角形的面积公式：（1）s=____ ___=___ ____=_____ __（2）s=__________________（3）s=____________【问题探究】【问题1】在△ＡＢＣ中，已知A a cos ＝B b cos ＝C c cos ，试判断△ＡＢＣ的形状．【问题2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明AC AB ＝DCBD ．【问题3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数．（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ；（2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）a =，b =，45A =︒，求B ；（4）a =b =45A =︒，求B ；（5）4a =，b =，60A =︒，求B ．巩固提高1. 在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 22. 在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（） A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形3.在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( )A ．4:1:1B ．2:1:1 CD4.已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶25.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ，b = ，c = ．6．在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-【拓展延伸】7.如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值．.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》04

高考文科数学一轮复习：解三角形第一课时正弦定理（教案）考纲要求：1掌握正弦定理的基本内容；2能用正弦定理解决一些简单三角形度量问题。

本节课重点：正弦定理的内容及其基本应用；本节课难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数；正弦定理的变形形式在解三角形中的应用。

一．知识梳理：1直角三角形各元素之间的关系：（1）三边之间的关系: 222()a b c +=勾股定理（2）两个锐角的关系: 90A B ︒+=（3）边角之间的关系:sin cos ,sin cos a b A B B A c c ====，1tan tan a A B b==锐角三角函数 2斜角三角形各元素之间的关系：（1）内角之间的关系：（2）边之间的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（3）边角之间的关系: ？？？？？？？？？？引出本节课要复习的课题：正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2()sin sin sin a b c R R A B C===∆是ABC 外接圆的半径定理剖析：（1）正弦定理说明在同一三角形中，各边和它所对角的正弦的成正比，且比例系数为一个常数2R ，使得2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，；（2）sin sin sin a b c A B C ==等价于sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C= 从而得知正弦定理的作用：180A B C π︒++=（或）()()()sin sin cos cos tan tan .A B C A B C A B C +=+=-+=-，；（1）已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；如sin sin b A a B= （2）已知两边和一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角如sin sin b A B a =思考：正弦定理有哪些变形形式呢？（学生上台板书，在总结）(1)2sin 2sin 2sin (2)sin sin sin 222(3)::sin :sin :sin (4)2sin sin sin sin sin sin a R A b R B c R C a b c A B C R R R a b c A B C a b c a b a R A B C A B A =======+++===+++，，；，，；；何为解三角形？？？一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它的对边a,b,c 叫做三角形的元素。

高中数学第一章1.1 正弦定理(第1课时)导学案新人教版必修5

§1.1 正弦定理(第1课时）学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，尝试掌握几种证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题温故知新1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）_________________________ _______；（2）_________________________________________________________________【问题探究】【问题1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．【问题2】根据下列条件解三角形：（1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a =︒=．巩固提高1．在△ABC 中，0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（） A )13(5- B )13(5+ C 10 D )26(5+2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin =（）A 43B 61C 21 D 1 3．在△ABC 中，（1）已知075=A ，045=B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知030=A ，0120=B ，12=b ，求a ，c .4．根据下列条件解三角形：（1）40=b ，20=c ，025=C ；（2）13=b ，26=a ，030=B 。

5．在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．6．在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是．7．在ABC ∆中，30bc =，ABC S ∆=A ∠= ．【拓展延伸】 8．在锐角三角形ABC 中，A=2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，试求b a 的范围。

高中数学第一章解直角三角形 1.1.1 正弦定理学案新人教B版必修5

1.1.1 正弦定理1.掌握正弦定理及基本应用.(重点)2.会判断三角形的形状.(难点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 正弦定理阅读教材P 3～P 4例1以上内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于钝角三角形.( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立.( )(3)在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则三角形是等腰三角形.( ) 【解析】 (1)×.正弦定理适用于任意三角形. (2)√.由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B . (3)√.由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，即a ＝b ，所以三角形为等腰三角形.【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 解三角形阅读教材P 4例1～P 5例2，完成下列问题.1.一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 【解析】由正弦定理得：32sin 60°＝ACsin 45°，所以AC ＝32·sin 45°sin 60°＝2 3.【答案】 2 32.在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C ＝________.【解析】由正弦定理得：3sinπ3＝3sin B ，所以sin B ＝12.又a >b ，所以∠A >∠B ，所以∠B ＝π6，所以∠C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π2.【答案】π23.在△ABC 中，∠A ＝45°，c ＝2，则AC 边上的高等于________. 【解析】 AC 边上的高为AB sin A ＝c sin A＝2sin 45°＝ 2. 【答案】2[小组合作型]A.322B.324 C.32D.62(2)在△ABC 中，已知BC ＝12，∠A ＝60°，∠B ＝45°，则AC ＝________.【导学号：18082000】【精彩点拨】 (1)可先由角A 、B 求出角C ，然后利用正弦定理求b ； (2)直接利用正弦定理求解.【自主解答】 (1)因为∠A ＝75°，∠B ＝60°，所以∠C ＝180°－75°－60°＝45°. 因为c ＝3，根据正弦定理得b sin B ＝csin C，所以b ＝c sin Bsin C ＝3×3222＝322.(2)由正弦定理知：AC sin B ＝BCsin A ，则ACsin 45°＝12sin 60°，解得AC ＝4 6.【答案】 (1)A (2)46解决已知两角及一边类型的三角形解题方法：若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边[再练一题]1.在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.【解析】 ∠C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.【答案】 2b ＝42，则∠B ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，∠A ＝30°，求∠B ，∠C 和c .【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点，直接求解.注意三角形解的个数问题. (2)先利用正弦定理求角B ，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边c . 【自主解答】 (1)由正弦定理，得asin A＝bsin B.把∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，代入，解得sin B ＝22，∴B ＝45°或135°，∵b ＜a ，∴∠B ＜∠A ，又∵∠A ＝60°，∴0°＜∠B ＜60°，∴∠B ＝45°.【答案】 45° (2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又a ＝23，b ＝6，a <b ， ∴B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. 综上，B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时的方法：首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论[再练一题]2.在△ABC 中，c ＝6，∠C ＝π3，a ＝2，求∠A ，∠B ，b .【导学号：18082001】【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝22， ∴∠A ＝π4或34π.又∵c >a ，∴∠C >∠A ，∴∠A ＝π4，∴∠B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.[探究共研型]. 【提示】如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°， ∠BAC ＝∠BDC ，在Rt△BCD 中，BC ＝BD ·sin∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即a sin A ＝2R ，同理b sin B ＝2R ，csin C＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 探究2 根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？【提示】利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形； (2)已知两角和其中一角的对边解三角形. 探究3 由a sin A ＝b sin B ＝csin C可以得到a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？【提示】 (1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C.(2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC的形状.【精彩点拨】解决本题的关键是利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 把sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角A ，然后再利用sin A ＝2sin B cos C 求解.【自主解答】法一：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A 是直角，∠B ＋∠C ＝90°，∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1，∴sin B ＝22. ∵0°<∠B <90°，∴∠B ＝45°，∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形. 法二：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴∠A 是直角.∵∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0.又－90°<∠B －∠C <90°， ∴∠B －∠C ＝0，∴∠B ＝∠C ， ∴△ABC 是等腰直角三角形.1.判断三角形的形状应看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.2.已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可以考虑用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系，或者化角为边，通过代数恒等变换找出三边之间的关系，再给出判断.[再练一题]3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝a cos C ，试判断△ABC 的形状.【解】 ∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得 sin B ＝sin A cos C .(*)∵∠B ＝π－(∠A ＋∠C )，∴sin B ＝sin(A ＋C )，从而(*)式变为 sin(A ＋C )＝sin A cos C ， ∴cos A sin C ＝0. 又∵∠A ，∠C ∈(0，π)， ∴cos A ＝0，∠A ＝π2，即△ABC 是直角三角形.1.在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则∠A 与∠B 的大小关系为( ) A.∠A ＞∠B B.∠A ＜∠BC.∠A ≥∠BD.∠A ，∠B 的大小关系不能确定【解析】因为a sin A ＝bsin B ，所以a b ＝sin Asin B.因为在△ABC 中，sin A >0，sin B >0，sin A ＞sin B ，所以a b ＝sin Asin B>1，所以a >b ，由a ＞b 知∠A ＞∠B . 【答案】 A2.在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.不等边三角形【解析】由正弦定理知c ＝2R sin C ，a ＝2R sin A ，故sin C ＝2sin A cos B ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，所以∠A ＝∠B . 故△ABC 为等腰三角形. 【答案】 B3.在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则BC ＝_____. 【解析】利用正弦定理BC sin A ＝ABsin C，而∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝75°，故BC ＝AB sin A sin C ＝3sin 45°sin 75°＝3－ 3. 【答案】 3－ 34.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A ＝60°，则cos B ＝________.【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得15sin 60°＝10sin B，∴sin B ＝33，∵b <a ，∴∠B <∠A . 故角B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫33 2＝63. 【答案】63。

人教版高中必修5(B版)第一章解直角三角形课程设计

人教版高中必修5(B版)第一章解直角三角形课程设计一、课程背景高中数学中，解直角三角形是一个非常重要的章节。

直角三角形是所有三角形中最基础的类型，因此，对于解直角三角形的理解，对于学生后续学习三角函数、平面向量、立体几何等内容都有很大的帮助。

本课程设计针对人教版高中必修5(B 版)第一章解直角三角形，旨在帮助学生理解和掌握解直角三角形的方法和技巧。

二、教学目标1.了解和掌握勾股定理和正弦定理的基本概念和公式。

2.能够熟练运用勾股定理和正弦定理解决各种解直角三角形的问题。

3.能够分析和解决在实际生活中遇到的解直角三角形的问题。

三、教学内容和方法内容1.直角三角形的定义与性质。

2.勾股定理及运用。

3.任意三角形中的正弦定理及运用。

4.角角定理。

方法本次课程设计主要采用以下教学方法：1.讲授2.演示3.组织课堂测试4.课后作业四、教学流程第一节课1. 知识点讲解：直角三角形的定义与性质，勾股定理及运用1.1 直角三角形的定义与性质•直角三角形的定义：一个角为90度的三角形。

•直角三角形的性质：斜边是直角的对边（又叫斜边），直角两边叫做直角边。

1.2 勾股定理及运用•勾股定理：直角三角形中，斜边平方等于直角边的平方和。

•勾股定理公式：a2+b2=c2•运用勾股定理解决直角三角形的问题：根据题目的所给的已知条件，分析出需要寻找的未知量，代入勾股定理公式，计算出未知量的值。

2. 演示：勾股定理的解题方法教师针对具体的例子进行演示，让学生了解勾股定理在解题中的具体应用方法。

3. 课堂测试对于已经学习过的内容进行课堂测试，检查学生对于勾股定理的掌握情况。

4. 课后作业布置勾股定理相关的课后作业，让学生进一步锻炼应用勾股定理解决问题的能力。

第二节课1. 知识点讲解：任意三角形中的正弦定理及运用2.1 任意三角形中的正弦定理•正弦定理：任意三角形中，三条边的正弦值成比例。

•正弦定理公式：$\\frac{a}{sinA}=\\frac{b}{sinB}=\\frac{c}{sinC}$2.2 运用正弦定理解决直角三角形的问题•根据题目所给的已知条件，根据正弦定理的公式计算出未知量。

高中数学 1.1.1 正弦定理教案新人教B版必修5

1.1.1 正弦定理整体设计教学分析本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．在初中学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力．本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理．三维目标1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神．重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC 中的边角关系，若∠C 为直角，则有a ＝csinA ，b ＝csinB ，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到a sinA ＝b sinB，进一步提问，等式能否与边c 和∠C 建立联系？从而展开正弦定理的探究．思路2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A 和B ，某日两个观测点的林场人员分别测到C 处有火情发生．在A 处测到火情在北偏西40°方向，而在B 处测到火情在北偏西60°方向，已知B 在A 的正东方向10千米处．现在要确定火场C 距A 、B 多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC 中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB ＝10千米，求AC 与BC 的长．”这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习．推进新课新知探究提出问题阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？由得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立？正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？什么叫做解三角形？利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？活动：教师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性．如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识．让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系．先观察特殊的直角三角形．如下图，在Rt△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a c ＝sinA ，b c ＝sinB ，又sinC ＝1＝c c ，则a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝c.从而在Rt△ABC 中，a sinA ＝b sinB ＝c sinC .那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析．如下图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角的三角函数的定义，有CD ＝asinB ＝bsinA ，则a sinA ＝b sinB .同理，可得c sinC ＝b sinB .从而a sinA ＝b sinB ＝c sinC .(当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成)通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立．教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sinA ＝b sinB ＝c sinC上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明．教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系．因为如果∠A＜∠B，由三角形性质，得a ＜b.当∠A、∠B 都是锐角，由正弦函数在区间(0，π2)上的单调性，可知sinA ＜sinB.当∠A 是锐角，∠B 是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间(π2，π)上的单调性，可知sinB ＞sin(π－A)＝sinA ，所以仍有sinA ＜sinB.正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法．讨论结果：(1)～(4)略．(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形．(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论．应用示例例1在△ABC 中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a ＝42.9 cm ，解此三角形．活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b ，c.此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b ，若求边c ，则先求∠C，再利用正弦定理即可．解：根据三角形内角和定理，得∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；c ＝asinC sinA ＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角，再利用正弦定理．(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．变式训练在△ABC 中(结果保留两个有效数字)，(1)已知c ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求b ；(2)已知b ＝12，A ＝30°，B ＝120°，求a.解：(1)∵C＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，b sinB ＝c sinC， ∴b＝csinB sinC ＝3sin60°sin75°≈1.6. (2)∵a sinA ＝b sinB， ∴a＝bsinA sinB ＝12sin30°sin120°≈6.9.例2已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)：(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a ＝10；(2)a ＝3，b ＝4，∠A＝30°； (3)b ＝36，c ＝6，∠B＝120°.活动：教师可引导学生先画图，加强直观感知，明确解的实际情况，这样在求解之后，无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的明确，思路清晰流畅，同时体会分析问题的重要性，养成解题前自觉判定解题策略的良好习惯，而不是盲目乱试，靠运气解题．解：(1)因为∠C＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得 b ＝asinB sinA ＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c ＝asinC sinA ＝10si n75°sin60°≈11.2(如图1所示)．图1(2)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4sin30°3＝23，因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如图2所示)．图2当∠B≈41.8°时，∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c ＝asinC sinA ＝3sin108.2°sin30°≈5.7；当∠B≈138.2°时，∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，c ＝asinC sinA ＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如图2所示)． (3)由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝6sin120°36＝6×3236＝22，因此∠C＝45°或∠C＝135°.因为∠B＝120°，所以∠C ＜60°.因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.再由正弦定理，得a ＝bsinA sinB ＝36sin15°32≈2.2(如图3所示)．图3点评：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形．当然对于不符合题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的变式训练来体会．变式训练在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B(精确到1°)和c.(保留两个有效数字)解：∵b＜a ，∴B＜A ，因此B 也是锐角．∵sinB＝bsinA a ＝50sin38°60≈0.513 1， ∴B≈31°.∴C＝180°－(A ＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.∴c＝asinC sinA ＝60sin111°sin38°≈91.例3如图，在△ABC 中，∠A 的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD DC ＝AB AC. 活动：这是初中平面几何中角平分线的性质定理，用平面几何的方法很容易证得．教材安排本例的目的是让学生熟悉正弦定理的应用，教师可引导学生分析相关的三角形的边角关系，让学生自己证明．证明：如图，在△ABD 和△CAD 中，由正弦定理，得BD sin β＝AB sin α，①DC sin β＝AC 180°－α＝AC sin α，② ①÷②，得BD DC ＝AB AC. 点评：解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起的．本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用．例4在△ABC 中，A ＝45°，B∶C＝4∶5，最大边长为10，求角B 、C ，外接圆半径R 及面积S.活动：教师引导学生分析条件B∶C＝4∶5，由于A ＋B ＋C ＝180°，由此可求解出B 、C ，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨．解：由A ＋B ＋C ＝180°及B∶C＝4∶5，可设B ＝4k ，C ＝5k ，则9k ＝135°，故k ＝15°，那么B ＝60°，C ＝75°.由正弦定理，得R ＝102sin75°＝5(6－2)，由面积公式S ＝12bc·sinA＝12c·2RsinB·sinA＝75－25 3. 点评：求面积时，b 未知但可转化为b ＝2RsinB ，从而解决问题．1.在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sinC ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案：D解析：运用正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB 以及结论sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B)·sin(A－B)，由(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sinC ，∴(sin 2A ＋sin 2B)sin(A －B)＝(sin 2A －sin 2B)sinC. ∴(sin 2A ＋sin 2B)sin(A －B)＝sin(A ＋B)·sin(A－B)·sinC.若sin(A －B)＝0，则A ＝B.若sin(A －B)≠0，则sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.2．已知△ABC 中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶3∶2 D．2∶3∶1答案：C 知能训练1．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S 的值是( )A. 2B.3＋1C.12(3＋1) D ．2 2 2．在△ABC 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边长为__________．3．在△ABC 中，若(3b －c)cosA ＝acosC ，则cosA ＝__________.答案：1．B 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，得c ＝asinC sinA＝22，B ＝180°－A －C ＝105°， ∴△ABC 的面积S ＝12acsinB ＝12×2×22sin105°＝3＋1. 2.2＋66 解析：∵B＝105°，C ＝15°，∴A＝60°.∴b 为△ABC 的最长边．由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝5sin105°sin60°＝2＋66. 3.33解析：由正弦定理，知 a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC(R 为△ABC 的外接圆半径)． ∴(3sinB －sinC)cosA ＝sinA·cosC，化简，得3sinB·cosA＝sin(A ＋C)＝sinB.∵0＜sinB≤1，∴cosA＝33. 课堂小结1．先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解．2．我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作问题情境，由此展开问题的全面探究，正弦定理的证明方法很多，如平面几何法、向量法、三角形面积法等．让学生课后进一步探究这些证明方法，领悟这些方法的思想内涵．3．通过例3引入了三角形外接圆半径R 与正弦定理的关系．但应引起学生注意，R 的引入能给我们解题带来极大的方便．作业习题1—1A 组1、2、3.设计感想本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实．本教案的设计时刻注意引导并鼓励学生提出问题．一方面鼓励学生大胆地提出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入．根据上述设想，引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的情况，从而形成猜想，激起进一步探究的欲望，然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明，并让学生通过自己的努力发现多种证法，开阔学生视野．备课资料一、知识扩展1．判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种情况．一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析．设已知a 、b 、A ，则利用正弦定理 sinB ＝bsinA a，如果sinB ＞1，则问题无解；如果sinB ＝1，则问题有一解；如果求出的sinB ＜1，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2．利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC 或sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sinC ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用． 3．正弦定理的其他几种证明方法 (1)三角形面积法如图，已知△ABC，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，作AD⊥BC，垂足为D.则Rt△ADB 中，sinB ＝ADAB ，∴AD＝AB·sinB＝csinB. ∴S △ABC ＝12a·AD＝12acsinB.同理，可得S △ABC ＝12absinC ＝12bcsinA.∴acsinB＝absinC ＝bcsinA. ∴sinB b ＝sinC c ＝sinA a ，即a sinA ＝b sinB ＝csinC.(2)平面几何法如图，在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，作△ABC 的外接圆，O 为圆心，连结BO 并延长交圆于C′点，设BC′＝2R ，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，∴sinC＝sinC′＝c 2R .∴csinC ＝2R.同理，可得a sinA ＝2R ，bsinB ＝2R.∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R. 这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a sinA ＝bsinB ＝c sinC. 这种证明方法简洁明快．在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，并且引入了外接圆半径R ，得到a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R 这一等式，其变式为a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，可以更快捷地实现边角互化．特别是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利．(3)向量法①如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →，为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →，由分配律可得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →.∴|j ||AC →|cos90°＋|j ||CB →|cos(90°－C)＝|j ||AB →|cos(90°－A)． ∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝csinC .同理，可得c sinC ＝bsinB .∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC. ②如图，△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°，过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →，得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →，即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)， ∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝csinC.同理，可得b sinB ＝c sinC .∴a sinA ＝b sinB ＝csinC .③当△ABC 为直角三角形时，a sinA ＝b sinB ＝c sinC显然成立．综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立．二、备用习题1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( )A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 62．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sinB ＝12，sinC ＝32，则a∶b∶c 等于 … ( )A ．1∶3∶2 B．1∶1∶ 3C ．1∶2∶ 3D ．2∶1∶3或1∶1∶ 33．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 … ( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 24．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且B ＝2A ，则ba 的取值范围是 …( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(1，3)D ．(2，3) 5．在△ABC 中，若∠A＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________． 6．在△ABC 中，已知a ＝334，b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝________.7．在△ABC 中，cosA ＝－513，cosB ＝35，(1)求sinC 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积．参考答案：1．D 解析：由正弦定理，知b sinB ＝a sinA ，即b sin60°＝10sin45°，解得b ＝5 6. 2．D 解析：由题意，知C ＝60°或120°，B ＝30°，因此A ＝90°或30°.故选D. 3．D 解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC ，得sinC ＝12，于是有C ＝30°或C ＝150°(不符合题意，舍去)．从而A ＝30°.于是△ABC 是等腰三角形，a ＝c ＝ 2.4．D 解析：由正弦定理知b a ＝sinBsinA ，又∵B＝2A ，∴b a ＝sin2A sinA ＝2cosA. ∵△ABC 为锐角三角形，∴0°＜B ＜90°.∴0°＜2A ＜90°. ∴0°＜A ＜45°.又∵0°＜C ＜90°， ∴A＋B ＞90°.∴3A＞90°. ∴A＞30°.∴30°＜A ＜45°. ∴2＜2cosA ＜3，即2＜ba ＜ 3.故选D.5.1534 解析：由正弦定理，得AB sinC ＝BC sinA ，即5sinC ＝7sin120°，∴sinC＝57×32＝5314. 因此sinB ＝3314，所以S △ABC ＝12×5×7×3314＝1534.6.839 解析：由正弦定理，得4sinB ＝334sin30°，解得sinB ＝839. 7．解：(1)由cosA ＝－513，得sinA ＝1213.由cosB ＝35，得sinB ＝45，∴sinC＝sin(A ＋B)＝sinA·cosB＋cosA·sinB＝1665.(2)由正弦定理，得 AC ＝BC×sinBsinA ＝5×451213＝133，∴△ABC 的面积S ＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第一章解直角三角形1_1_1正弦定理同步导学案新人教B版

高中数学第一章解直角三角形1.1.2余弦定理学案新人教B版必修5

高中数学 第一章 解直角三角形 1.1.1 正弦定理同步导学案 新人教B版必修5

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》55

高中数学教材新课标人教B版目录完整版

高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(第1课时)教案 高二数学教案

人教版高中必修5(B版)第一章解直角三角形教学设计

必修五第一章解三角形导学案1.1.1正弦定理学案

高中数学必修五《正弦定理》精品导学案附课时作业

高中数学 第一章 解直角三角形 1.1.2 余弦定理教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学

数学同步新导学案人教B必修五课件：第一章 解三角形 1.1.2 第2课时

高中数学 第一章1.1 正弦定理(第3课时)导学案 新人教版必修5