高一(上)期中数学试卷(解析版)
广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学考试用时：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{3P x x =∈≥N 或0}x ≤，{}2,4Q =，则()P Q =N （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =，所以(){}1,2,4P Q =N ，故选：D ．2.命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（ ）A.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+B.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∉+C.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∈+D.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∈+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是“()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+.故选：A. 3.函数()f x =的定义域是（ ） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞【答案】D 【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】()f x =的定义域满足1020x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞C. ()2,∞+D. [2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】对x 的范围分类，把(f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．【详解】()32,1121,1223,2x x f x x x x x x −≤=−+−=<< −≥，作出函数()f x 的图像如图所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞， 故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()af x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以23a =，所以()23f x x ==，因为2013<<， 因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢， 故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .6. 函数31()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数81ln y x =与31803x y − =−−在()0,∞+上均为增函数，所以()f x 在()0,∞+上为增函数．因为()281ln 2830f =−<，()381ln 3810f =−>， 所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内． 故选：B7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（ ）A. 11,2 −B. 1,12−C. 1,12D. ()2,1−【答案】A 【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则221,2b a a−+=−−=，解得1,1a b =−=−， 故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,2x ∈−. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −. 故选：A .8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则(1)(1)f g =（ ） A. 22e 1e 1+− B. 22e 1e 1−+C. 221e 1e −+D. 221e 1e +−【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()111e g f −−−−=有()()111e g f −+=， 又()()11e g f −=，所以()121e e g −=+，()121e ef −=−， 所以()()12121e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()1f x x =+与21()1x g x x −=−B. ()1f t t =−与()1g x x =−C. ()ln e x f x =与()g x =D. ln ()e x f x =与()g x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；对于C ，函数()()f x x x =∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；对于D ，()()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误． 故选：BC10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数1y x x=+的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m ab m b+<+ D. “11a b>”是“a b <”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误， 对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0， 由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；对于C ，()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m ab m b+<+，故C 正确， 对于D ，①若11a b>，则当0a >，0b >时，则0a b <<， 当0a <，0b <时，则0a b <<， 当a ，b 异号时，0a b >>．的②若a b <，则当a ，b 同号时，则11a b >， 当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b<， 所以“11a b>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．故选：BC11. 下列命题正确的是（ ）A. 函数212log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1x xy −=+在R 上单调递增C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减D. 函数13xy =与3log y x =−的图像关于直线y x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()21e 1x f x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >， 故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错； 对于B ，()21e 1x f x =−+， 由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>， 所以1e 1x y =+在R 上单调递减，2e 1xy =−+在R 上单调递增， 因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增， 又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；对于D ，由于函数13xy =与13log y x =（即3log y x =−）互为反函数．所以两函数图象关于y x =对称，D 正确． 故选：BCD.12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ） A. ()D x 的解析式为()R 1,,0,.x Q D x x Q ∈ = ∈B. ()D x 的值域为[]0,1C. ()D x 的图像关于直线1x =对称D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确． 对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =，所以()()1D D x =，所以D 正确． 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.110.752356416(4)−−−++++=________．【答案】414##1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：11111430.752364353355426416(4)[()](2)(2)22233−−−−+=+−+++⋅ 221141821033444=−+++==． 故答案：414. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________． 【答案】52##2.5 【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =，b =，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x −+=的两个实数根， 由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=， 则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a ba b b a b a a ba ba ba b++−⋅++=+===−=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或12t =， 不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +==+=．故答案为：52.15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=，则2x y +的最小值是__________． 【答案】8 【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号.所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．【答案】3,32 −+ ． 【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222T t =−− ，t ≤≤上的范围，由二次函数的性质即可求解.【详解】()124T x y xy =−++，设x y t +=，则212t xy −=， 所以221124212t T t t t −=−+⋅=−．因为22x y xy + ≤，所以22124t t −≤．所以t ≤≤又213222T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+．故答案为：3,32 −+ 四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}(,)|1Ax y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m ==++．（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；（2）若1a =，且A B ∩≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）11,22A B=−（2）[]2,1−． 【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若1a =，0m =，则(){},|Bx y y x ==． 由1y x y x =−=− ，得1212x y= =− ． 所以11,22A B =−． 【小问2详解】由()211x y y mx x m −==+++消去y，得210mx m +++=①． 因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．当0m =时，方程①可化为1=−，解得x =，所以1y ， 所以0m =符合要求．当0m ≠时，要使方程①有解，必须(()2Δ410m m =−+≥，即220m m +−≤，解得21m −≤≤， 所以21m −≤≤，且0m ≠． 综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式2514x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ． （1）求集合A ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,4（2）[)1,4．【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.【小问1详解】 解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044x x x x −−−=≤−−， 即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．【小问2详解】解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，由不等式()2220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤， 当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问1详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−+−=−， 因为()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =−−=−+， 所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>． 【小问2详解】易如()()200f f −==，当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()22f a a a =+； 当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与的隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．（1）求k 的值；（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.【答案】（1）1k =（2）18万元．【解析】【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.【小问1详解】由题知()116h =，所以3232161k −=+， 解得1k =；【小问2详解】由（1）知，()()32320201h x x x =−≤≤+， 所以()()323220201f x x x x =−−≤≤+， 所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++， 因为()3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211x x =++，即3x =时取等号， 所以()341618f x ≤−=， 所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．21. 已知23()21x x a f x −−=+， （1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．的【答案】（1）13− （2）41,3【解析】【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=，得出方程，进而求得实数a 的值； （2）令()0h x =，得到()23210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞上有两个不相等的根， 方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞，即可求解. 【小问1详解】 解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++， 可得232312121x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立， 因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13a =−． 【小问2详解】 解：由232()()1x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+， 所以()23210x x a a −−++=， 两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=． 令2x t =，因为1x >−，所以12t >， 于是方程可化为2210at at −+=，（*） 问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞上有两个不相等的根，显然0a ≠， 方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意； 若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>， 故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<． 综上可得，实数a 的取值范围是41,3． 方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=， 所以10a a−>，即a<0或1a >，①此时，1t −=，即1t =±，其中11,2 +∞ ，则112−>12<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：①()()()4f x y f x f y +=+−；②(2)6f =；③当0x >时，()4f x >．（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析 （2）[]1,3【解析】的【分析】（1）令2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．【小问1详解】解：令2x =，0y =，可得()04f =．函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，令1x y x +=，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−， 因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>， 所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R【小问2详解】解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，即()()ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ， 又由()26f =，所以()()()ln 3e 122ln 32xf a x a f −++−−≤ ， 因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立， 根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，则13e 0x a a <+ >，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤， 可得1334ex <+≤，所以03a <≤ ①， 又由（*）式可化为()()2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+= ， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x xa a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()()3e 1e 10x x a +−≥成立， 因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立， 即max1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②． 由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
2023-2024学年北京师大附属实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{x |x ＝2k +1，k ∈Z }，B ＝{x |﹣2＜x ＜4}，那么A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，1}B ．{1，3}C ．{﹣1，1，3}D ．{0，2，4}2．函数f （x ）=√1−x 2的定义域是（ ） A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝x +1C ．y =−1xD ．y ＝x 34．已知x ＞0，则x +9x的最小值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．6D ．105．已知函数f(x)={x 2−1，x ≥1，x −2，x ＜1．若f （a ）＝3，则a ＝（ ）A ．±2B ．2C ．﹣2D ．56．已知函数f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且在[0，6]上单调递增．以下结论正确的是（ ） A ．f （﹣5）＞f （π）＞f （﹣2） B ．f （π）＞f （﹣2）＞f （﹣5） C ．f （π）＞f （﹣5）＞f （﹣2）D ．f （﹣5）＞f （﹣2）＞f （π）7．已知函数y ＝f （x ）图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表以下说法中错误的是（ ） A ．f （0）＜0B ．当x ＞2时，f （x ）＞0C ．函数f （x ）有且仅有一个零点D ．函数g （x ）＝f （x ）+x 可能无零点8．已知f （x ）是定义在R 上的函数，那么“存在实数M ，使得对任意x ∈R 总有f （x ）≤M ”是“函数f （x ）存在最大值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题．在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，△BCE 为等腰直角三角形，设AB =√a ，BC =√b(b ≥a ＞0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）A ．a+b 2≥√abB ．2aba+b ≤√ab C ．a 2+b 2≥2√abD ．a+b 2≤√a 2+b 2210．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第k 行的所有数的和为r k （k ＝1，2，3，4，5），m 为r 1，r 2，r 3，r 4，r 5中的最小值，则m 的最大值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一（上）期中数学试卷一、选择题1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a +1b ＜b +1a C ．若0＜a ＜b ＜c ，则ba ＜b+c a+cD ．若a ＞0，b ＞0，则b 2a+a 2b≤a +b2．已知a 1，a 2∈（0，1），记M ＝a 1a 2，N ＝a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A ．甲方案B ．乙方案C ．一样D ．无法确定4．不等式（1﹣x ）（2+x ）＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ＞1} B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}5．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A ．若0＜x ＜13，则x （1﹣3x ）的最大值为112B ．函数y =x 2+3x+3x+1(x ＞−1)的最小值为2C ．已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，则12x+12y的最小值为54D ．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x +y 的最小值是36．关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0解集为{x |﹣2＜x ＜3}，不等式cx 2﹣bx +a ＜0解集是（ ） A ．(−∞，−12)∪(13，+∞) B ．(−∞，−13)∪(12，+∞) C ．(−12，13)D ．(−13，12)7．不等式（a ﹣2）x 2+（a ﹣2）x ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）8．已知a ，b ∈（0，+∞），且a 2+3ab +4b 2＝7，则a +2b 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．2√2D ．3√2二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＜b ，1a ＜1b ，则ab ＜0B ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则ea−c＞e b−dC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b＞a+c b+c10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法错误的是（ ） A ．2√xy 的最大值为2 B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．4xy x+y的最小值为211．已知关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，则a 的取值可以是（ ） A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣1D ．012．下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2+2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x 的最大值是2−4√3二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上） 13．已知x ，y 为正实数，且x +y ＝2，则1x+1xy的最小值为 ．14．已知f(x)=x 3+1x ，若正数m ，n 满足f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，则1m+1n的最小值为 ．15．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0，则实数m 的取值范围为 ． 16．若存在常数k 和b ，使得函数F （x ）和G （x ）对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F （x ）≥kx +b 和G （x ）≤kx +b 恒成立（或F （x ）≤kx +b 和G （x ）≥kx +b 恒成立），则称此直线y ＝kx +b 为F （x ）和G （x ）的“隔离直线”．已知函数f （x ）＝﹣x 2（x ∈R ），g(x)=1x (x ＞0)，若函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ，则实数b 的取值范围是 ． 四．解答题17．设函数f （x ）＝x 2﹣ax +b ，已知不等式f （x ）＜0的解集是{x |1＜x ＜2}． （1）求不等式bx 2﹣ax +1＞0的解集； （2）对任意x 1，x 2∈R ，比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小．18．（1）已知2＜a ＜6，1＜b ＜3，求a ﹣2b ，ab取值范围；（2）已知1≤a +b ≤5，﹣1≤a ﹣b ≤3，求3a ﹣2b 的取值范围． 19．设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣2）x +3（a ∈R ），（1）若不等式f （x ）＜0的解集为（1，3），求函数f （x ）的解析式； （2）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＞﹣4x +2的解集． （3）若f （1）＝4，b ＞﹣1，a ＞0，求1a +a b+1的最小值．20．已知关于x 的不等式kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0的解集为M ． （1）若M ＝R ，求实数k 的取值范围；（2）若存在两个实数a ，b ，且a ＜0，b ＞0，使得M ＝{x |x ＜a 或x ＞b }，求实数k 的取值范围； （3）李华说集合M 中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a +1b ＜b +1a C ．若0＜a ＜b ＜c ，则ba ＜b+c a+cD ．若a ＞0，b ＞0，则b 2a+a 2b≤a +b解：对于A ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2＝0，故A 错误；对于B ，(a +1b )−(b +1a )=a −b +a−bab =(a −b)(1+1ab )， 由于a ＜b ＜0，故a ﹣b ＜0，1+1ab ＞0，所以(a +1b )−(b +1a )＜0，即a +1b ＜b +1a，B 正确； 对于C ，ba −b+c a+c=c(b−a)a(a+c)，由于0＜a ＜b ＜c ，故ba−b+c a+c =c(b−a)a(a+c)＞0，即b a＞b+c a+c，C 错误；对于D ，根据基本不等式，可知b 2a+a +a 2b+b ≥2√b 2a ⋅a +2√a 2b⋅b =2a +2b ，当b 2a=a 且a 2b=b ，即a ＝b 时取得等号，因此b 2a+a 2b≥a +b ，故D 错误．故选：B ．2．已知a 1，a 2∈（0，1），记M ＝a 1a 2，N ＝a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定解：由M ﹣N ＝a 1a 2﹣a 1﹣a 2+1＝（a 1﹣1）（a 2﹣1）＞0，故M ＞N ， 故选：B ．3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A ．甲方案B ．乙方案C ．一样D ．无法确定解：设两次加油的油价分别为x ，y （x ，y ＞0，且x ≠y ），甲方案每次加油的量为a （a ＞0），乙方案每次加油的钱数为b （b ＞0）， 则甲方案的平均油价为：ax+ay 2a=x+y 2，乙方案的平均油价为：2bbx +by=2xy x+y，因为x+y 2−2xy x+y=(x−y)22(x+y)＞0，所以x+y 2＞2xy x+y，即乙方案更经济．故选：B ．4．不等式（1﹣x ）（2+x ）＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ＞1} B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}解：由（1﹣x ）（2+x ）＞0，得（x ﹣1）（x +2）＜0，解得﹣2＜x ＜1， 所以不等式的解集为{x |﹣2＜x ＜1}． 故选：B ．5．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A ．若0＜x ＜13，则x （1﹣3x ）的最大值为112B ．函数y =x 2+3x+3x+1(x ＞−1)的最小值为2C ．已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，则12x+12y的最小值为54D ．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x +y 的最小值是3 解：对于A ：由于0＜x ＜13，所以13•3x （1﹣3x ）≤13•（3x+1−3x 2）2=112，当且仅当x =16时，等号成立，故A 正确；对于B ：由于x ＞﹣1，故x +1＞0，所以y =x 2+3x+3x+1=(x+1)2+(x+1)+1x+1=（x +1）+1x+1+ 1≥2√(x +1)⋅1x+1=2+1＝3，当且仅当x ＝0时，等号成立，故B 错误；对于C ：已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，所以1＝x +y ≥2√xy ，整理得1xy≥4，12x+12y≥2√12x ⋅12y =√1xy≥2，当且仅当x ＝y =12时，等号成立，故C 错误； 对于D ：正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，整理得y =2x −x ，所以3x +2x −x ＝2x +2x ≥2√2x ⋅2x=4，当且仅当x ＝1时取等号，故D 错误． 故选：A ．6．关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0解集为{x |﹣2＜x ＜3}，不等式cx 2﹣bx +a ＜0解集是（ ） A ．(−∞，−12)∪(13，+∞) B ．(−∞，−13)∪(12，+∞) C ．(−12，13)D ．(−13，12)解：关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜3}， ∴a ＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根，∴b a=−(−2+3)=−1，ca=−6，即b ＝﹣a ，c ＝﹣6a ，a ＜0，∴不等式cx 2﹣bx +a ＜0化为﹣6ax 2﹣ax +a ＞0， 化为6x 2﹣x ﹣1＜0，解得−13＜x ＜12． 因此不等式的解集为{x|−13＜x ＜12}． 故选：D ．7．不等式（a ﹣2）x 2+（a ﹣2）x ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）解：当a ＝2时，﹣1＜0恒成立，符合题意， 当a ≠2时，依题意得：{a −2＜0△=(a −2)2+4(a −2)＜0，解得：﹣2＜a ＜2，综上，实数a 的取值范围为（﹣2，2]， 故选：B ．8．已知a ，b ∈（0，+∞），且a 2+3ab +4b 2＝7，则a +2b 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2√2D ．3√2解：∵7＝（a +2b ）2﹣ab ＝（a +2b ）2−12a •2b ≥（a +2b ）2−12（a+2b 2）2=7(a+2b)28， 则（a +2b ）2≤8，即|a +2b |≤2√2， 又a ，b ∈（0，+∞），所以0＜a +2b ≤2√2 当且仅当a ＝2b =√2时取等号， ∴a +2b 的最大值为2√2． 故选：C ． 二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＜b ，1a ＜1b ，则ab ＜0B ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则ea−c＞e b−dC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b＞a+c b+c解：对于A ，若a ＜b ，1a ＜1b，则1a−1b=b−a ab＜0，所以ab ＜0，即A 正确；对于B ，若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则a ﹣c ＞0，b ﹣d ＞0，b ﹣a ＜0，c ﹣d ＜0， 所以e a−c −e b−d =e(b−d)−e(a−c)(a−c)(b−d)=e(b−a+c−d)(a−c)(b−d)＜0，所以e a−c＜e b−d，即B 错误；对于C ，若c ＞a ＞b ＞0，则c ﹣a ＞0，c ﹣b ＞0，a ﹣b ＞0， 所以a c−a−b c−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=c(a−b)(c−a)(c−b)＞0，即C 正确；对于D ，若a ＞b ＞c ＞0，则a ﹣b ＞0， 所以ab −a+c b+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=c(a−b)b(b+c)＞0，即D 正确．故选：ACD ．10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法错误的是（ ） A ．2√xy 的最大值为2 B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．4xy x+y的最小值为2解：因为x +y ＝2，x ＞0，y ＞0，所以2√xy ≤x +y ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，A 正确； x 2+y 2≥2×(x+y 2)2=2，即最小值为2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，B 错误； （√x +√y ）2＝x +y +2√xy ≤2+2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号， 所以√x +√y ≤2，即最大值为2，C 错误；4xy x+y=41x +1y=8(1x +1y)(x+y)=82+y x +x y≤82+2=2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，即最大值为2，D 错误．故选：BCD ．11．已知关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，则a 的取值可以是（ ） A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣1D ．0解：不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，等价于a ≤（x 2﹣4x ﹣1）max ， 设f （x ）＝x 2﹣4x ﹣1，x ∈[1，4]，则f （x ）＝（x ﹣2）2﹣5，而f （1）＝﹣4，f （4）＝﹣1， 故f （x ）在[1，4]上的最大值为﹣1，故a ≤﹣1，所以a 的取值可以是﹣6，﹣5，﹣1． 故选：ABC ．12．下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x的最大值是2−4√3解：由基本不等式可知，x ＞0时，x +1x ≥2，当且仅当x =1x 即x ＝1时取等号，故A 正确； B ：2√x 2+2=√x 2+2≥√2，当x ＝0时取得等号，故B 正确； C ：2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2，因为y =t +1t 在[2，+∞）上单调递增，当t ＝2时，取得最小值52，故C 错误； D ：2−(3x +4x )在x ＜0时，没有最大值，故D 错误． 故选：AB ．二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上） 13．已知x ，y 为正实数，且x +y ＝2，则1x +1xy 的最小值为 1+√32 ． 解：∵x ，y 为正实数，且x +y ＝2，∴x+y 2=1 ∴1x +1xy=1x+x+y 2xy=12y+32x=12（12y+32x）•（x +y ）＝1+12（x 2y+3y 2x）≥1+√x 2y ⋅3y2x =1+√32， 当且仅当x2y=3y 2x，即y =√3−1，x ＝3−√3时取等号，∴1x +1xy的最小值为1+√32．故答案为：1+√32．14．已知f(x)=x 3+1x，若正数m ，n 满足f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，则1m+1n的最小值为32+√2 ．解：因为f(x)=x 3+1x定义域为{x |x ≠0}， 且f(−x)=(−x)3+1−x =−(x 3+1x)=−f(x)，所以f （x ）为奇函数， 因为f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，所以2m +n ﹣2＝0，即2m +n ＝2， 因为m ＞0，n ＞0， 所以1m+1n =(1m +1n)(2m +n)⋅12=12(n m+2m n+3)≥32+√2，当且仅当n m=2mn，即m =2−√2，n =2√2−2时取等号．故答案为：32+√2．15．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0，则实数m 的取值范围为 （−√22，0） ．解：∵二次函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x ∈[m ，m +1]，都有f （x ）＜0成立，∴{f(m)=2m 2−1＜0f(m +1)=(m +1)2+m(m +1)−1＜0，即 {−√22＜m ＜√22m(2m +3)＜0，解得−√22＜m ＜0，故答案为：（−√22，0）．16．若存在常数k 和b ，使得函数F （x ）和G （x ）对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F （x ）≥kx +b 和G （x ）≤kx +b 恒成立（或F （x ）≤kx +b 和G （x ）≥kx +b 恒成立），则称此直线y ＝kx +b 为F （x ）和G （x ）的“隔离直线”．已知函数f （x ）＝﹣x 2（x ∈R ），g(x)=1x(x ＞0)，若函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ，则实数b 的取值范围是 [94，2√3] ． 解：因为函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ， 所以当﹣x 2≤﹣3x +b 时，可得﹣x 2+3x ﹣b ≤0 对任意的x ∈R 恒成立， 则b ≥﹣x 2+3x ，即 b ≥﹣（x −32）2+94， 所以b ≥94，当1x ≥−3x +b 时，可得对x ＞0恒成立，即3x 2−bx+1x≥0，令t （x ）＝3x 2﹣bx +1，则有t （x ）＝3x 2﹣bx +1≥0 对x ＞0恒成立，所以{b 6＞0b 2−12≤0，解得−2√3≤b ≤2√3 或b ＞0，即b ∈（0，2√3]，综上所述，实数b 的取值范围是94≤b ≤2√3．故答案为：[94，2√3]．四．解答题17．设函数f （x ）＝x 2﹣ax +b ，已知不等式f （x ）＜0的解集是{x |1＜x ＜2}． （1）求不等式bx 2﹣ax +1＞0的解集；（2）对任意x 1，x 2∈R ，比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小．解：（1）因为不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集是{x |1＜x ＜2}， 所以x ＝1，x ＝2是方程x 2﹣ax +b ＝0的解， 由韦达定理得：a ＝3，b ＝2，故不等式bx 2﹣ax +1＞0为2x 2﹣3x +1＞0， 解得其解集为{x|x ＜12或x ＞1}； （2）由（1）知，f （x ）＝x 2﹣3x +2， 所以f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=(x 1+x 22)2−3⋅x 1+x 22+2−x 12−3x 1+2+x 22−3x 2+22=(x 1+x 22)2−x 12+x 222=−(x 1−x 2)24≤0，所以f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2． 18．（1）已知2＜a ＜6，1＜b ＜3，求a ﹣2b ，a b取值范围； （2）已知1≤a +b ≤5，﹣1≤a ﹣b ≤3，求3a ﹣2b 的取值范围．解：（1）因为1＜b ＜3，由不等式的性质可得﹣3＜﹣b ＜﹣1，则﹣6＜﹣2b ＜﹣2， 又2＜a ＜6，故﹣4＜a ﹣2b ＜4． 又13＜1b＜1，2＜a ＜6，故23＜ab＜6．综上a ﹣2b ∈（﹣4，4），a b∈(23，6)；（2）令3a ﹣2b ＝m （a +b ）+n （a ﹣b ），（m ，n ∈R ），即3a ﹣2b ＝（m +n ）a +（m ﹣n ）b ， 则{m +n =3m −n =−2，解得{m =12n =52． 则12≤12(a +b)≤52，−52≤52(a −b)≤152，所以−52+12≤52(a −b)+12(a +b)≤152+52，即﹣2≤3a﹣2b ≤10．综上3a ﹣2b ∈[﹣2，10]．19．设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣2）x +3（a ∈R ），（1）若不等式f （x ）＜0的解集为（1，3），求函数f （x ）的解析式； （2）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＞﹣4x +2的解集． （3）若f （1）＝4，b ＞﹣1，a ＞0，求1a +a b+1的最小值．解：（1）由不等式f （x ）＜0的解集为（1，3）可得：方程ax 2+（b ﹣2）x +3＝0的两根为1，3且a ＞0，由根与系数的关系可得：a＝1，b＝﹣2，所以：f（x）＝x2﹣4x+3；（2）由f（x）＞﹣4x+2得ax2+（b﹣2）x+3＞﹣4x+2，又因为b＝﹣a﹣3，所以不等式f（x）＞﹣4x+2，化为ax2﹣（a+1）x+1＞0，即（x﹣1）（ax﹣1）＞0，当a＝0时，原不等式变形为﹣x+1＞0，解得x＜1；当a＜0时，1a ＜1，解得1a＜x＜1．若a＞0，原不等式⇔(x−1a)(x−1)＞0．此时原不等式的解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故当a＝1时，不等式(x−1a)(x−1)＞0的解为x≠1；当a＞1时，1a ＜1，不等式(x−1a)(x−1)＞0，解得x＜1a或x＞1；当0＜a＜1时，1a ＞1，不等式(x−1a)(x−1)＞0⇔x＜1或x＞1a，综上所述，不等式的解集：当a＜0时，{x|1a＜x＜1}；当a＝0时，{x|x＜1}；当0＜a＜1时，{x|x＞1a或x＜1}；当a＝1时，{x|x≠1}；当a＞1时，{x|x＜1a或x＞1}．（3）由已知得f（1）＝4，a+（b+1）＝4，又b＞﹣1，则1a +ab+1≥14+2√b+14a⋅ab+1=14+1=54．当且仅当2a=b+1=83时等号成立．20．已知关于x的不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集为M．（1）若M＝R，求实数k的取值范围；（2）若存在两个实数a，b，且a＜0，b＞0，使得M＝{x|x＜a或x＞b}，求实数k的取值范围；（3）李华说集合M中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．解：（1）不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集M＝R，①当k ＝0时，1＞0恒成立，符合题意；②当k ≠0时，则{k ＞0Δ=4k 2−4k(1−k)＜0，解得0＜k ＜12， 综上，实数k 的取值范围为{k |0≤k ＜12}；（2）因为不等式 kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0 的解集为M ＝{x |x ＜a 或x ＞b }，且a ＜0，b ＞0，所以关于x 的方程 kx 2﹣2kx ﹣k +1＝0 有一正一负两个实数根a ，b ，可得{ k ＞0Δ=4k 2−4k(1−k)＞01−k k ＜0，解得k ＞1， 综上，实数k 的取值范围为{k |k ＞1}．（3）李华的说法不正确，理由如下：若解集M 中仅有一个整数，则有k ＜0，二次函数 y ＝kx 2﹣2kx ﹣k +1，开口向下，对称轴为 x ＝1， 因为不等式 kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1．则{k −2k −k +1＞0−k +1≤0，解得k ∈∅． 即M 中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确．。
2023-2024学年江苏省南通市如东县高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市如东县高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣3，4）B ．（﹣3，1）C ．（1，3）D ．（1，4）2．已知a ∈R ，则“a ＞0”是“a ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．函数f(x)=x+13x−2(x −1)0的定义域为（ ）A ．(23，+∞) B ．[23，1)∪(1，+∞) C ．(23，1)∪(1，+∞)D ．[23，+∞]4．函数f （2x +1）＝x 2﹣3x +1，则f （3）＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．25．R 上的函数y ＝f （x ）满足以下条件：①f （﹣x ）＝f （x ），②对任意x 1，x 2∈（﹣∞，0]，当x 1＞x 2时都有f （x 1）＞f （x 2），则f （2），f （π），f （﹣3）的大小关系是（ ） A ．f （π）＞f （2）＞f （﹣3） B ．f （π）＞f （﹣3）＞f （2）C ．f （π）＜f （2）＜f （﹣3）D ．f （π）＜f （﹣3）＜f （2）6．一个容器装有细沙acm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin 后剩余的细沙量为y ＝ae bt （cm 3），经过4min 后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（ ） A ．8minB ．12minC ．16minD ．18min7．设0＜m ＜14，若t =1m +41−4m ，则t 的最小值为（ ） A ．32B ．16C ．8D ．48．已知函数f(x)={2x +1，x ≤1x 2−1，x ＞1，若n ＞m ，且f （n ）＝f （m ），设t ＝n ﹣m ，则t 的最小值为（ ）A ．1B ．.√5−1C ．.1712D ．.43二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．{﹣1，4}B ．{1，2，4}C ．{1，4}D ．{﹣1，2，4}2．命题“∃x ∈R ，x +|x |＜0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +|x |＜0 B ．∃x ∈R ，x +|x |≥0 C ．∀x ∈R ，x +|x |≥0D ．∃x ∈R ，x +|x |＞03．函数y =√x−2|x|−3的定义域是（ ） A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ≥2且x ≠3}C ．{x |x ≠3}D ．{x |x ＞2且x ≠3}4．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．{40} B ．[40，160] C ．（﹣∞，40]D ．[160，+∞）5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．26．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣27．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ） A ．5B ．6C ．10D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b211．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C．√ab≤14D．√a+√b≥√212．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f （x）＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（）A．∀x∈[﹣1，0]，f（x）＝﹣1B．∀x∈R，f（x+1）＝f（x）+1C．f（x+y）≥f（x）+f（y）D．2f2（x）﹣f（x）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x＞﹣1，则2x+1x+1的最小值为．14．已知函数y=√x2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是．（写出其中一个即可）15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+2，则f（﹣1）＝．16．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，8），且满足f（mx2）+8f（4﹣3x）≥0恒成立，则实数m的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}．（1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13．（1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间． （1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，4}B．{1，2，4}C．{1，4}D．{﹣1，2，4}解：由题意知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，可得∁U A＝{x|x＜0或x＞2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1，4}．故选：A．2．命题“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x+|x|＜0B．∃x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|≥0D．∃x∈R，x+|x|＞0解：“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是：∀x∈R，x+|x|≥0．故选：C．3．函数y=√x−2|x|−3的定义域是（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥2且x≠3}C．{x|x≠3}D．{x|x＞2且x≠3}解：函数y=√x−2|x|−3的定义域满足{x−2≥0|x|−3≠0，解得x≥2且x≠3，故它的解集为{x|x≥2且x≠3}．故选：B．4．已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．{40}B．[40，160]C．（﹣∞，40]D．[160，+∞）解：函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，20]上单调递增，对称轴x=k8≤5，解得：k≤40，所以k的取值范围为（﹣∞，40]，故选：C．5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．2解：f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，可得f （3）＝f （4）＝f （5）＝f （6）＝6﹣5＝1．故选：C ．6．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣2解：设g(x)=ax 3+bx −c x ，函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， g(−x)=−ax 3−bx +cx =−g(x)，函数为奇函数， f （2023）＝g （2023）+2＝6，故g （2023）＝4，f （﹣2023）＝g （﹣2023）+2＝﹣g （2023）+2＝﹣4+2＝﹣2． 故选：D ．7．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解：因为函数f （x +1）为偶函数， 所以f （x +1）＝f （1﹣x ）， 所以f （x ）的图象关于x ＝1对称， 所以f(−12)=f(52) 又当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，所以函数f （x ）在[1，+∞）上递增， 因为52＞2＞1，所以f(52)＞f(2)＞f(1)所以b ＜c ＜a ． 故选：B ．8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ）A．5B．6C．10D．12解：当1≤x≤2时，1⊕x＝x2，2⊕x＝2，故f（x）＝x3+2，函数单调递增，f（x）max＝f（2）＝10；当﹣2≤x＜1时，1⊕x＝1，2⊕x＝2，故f（x）＝x+2，函数单调递增，f（x）max＜f（1）＝3；综上所述：函数f（x）的最大值为10．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}解：ax2﹣ax+1＞0恒成立，当a＝0时，1＞0，成立；当a≠0时，{a＞0Δ=a2−4a＜0，解得0＜a＜4；综上所述：0≤a＜4，命题p成立的一个充分不必要条件是{a|0≤a＜4}的真子集，CD满足．故选：CD．10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2解：对A，由ac2＞bc2，显然c2＞0，两边除以c2可得a＞b．故A正确；对B，当c＝0时显然不成立．故B错误；对C，当a=2，b=−1，1a=12，1b=−1，1a＞1b，故C错误；对D，因为a＞b＞0，同时乘以a有a2＞ab，同时乘以b有ab＞b2，故a2＞ab＞b2．故D正确．故选：AD．11．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C ．√ab ≤14D ．√a +√b ≥√2解：对选项A ：1a+1b=(1a+1b)(a +b)=b a+a b+2≥2√b a ⋅ab+2=4，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项B ：a 2+b 2=(a +b)2−2ab ≥1−(a+b)22=12，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项C ：取a =b =12，√ab =12，C 显然错误；对选项D ：取a =14，b =34，D 显然错误． 故选：AB ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则f （x ）＝[x ]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（ ） A ．∀x ∈[﹣1，0]，f （x ）＝﹣1B ．∀x ∈R ，f （x +1）＝f （x ）+1C ．f （x +y ）≥f （x ）+f （y ）D ．2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞） 解：对选项A ：f （0）＝0，故错误；对选项B ：x 的整数部分为a ，则x +1的整数部分为a +1，即f （x +1）＝f （x ）+1，故正确； 对选项C ：x 的整数部分为a ，y 的整数部分为b ，则x +y 的整数部分为a +b 或a +b +1，即f （x +y ）≥f （x ）+f （y ），故正确； 对选项D ：2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0，则f （x ）≤﹣1或f(x)≥32， 解得x ∈（﹣∞，0）∪[2，+∞），故正确． 故选：BCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若x ＞﹣1，则2x +1x+1的最小值为 2√2−2 ．解：若x ＞﹣1，则2x +1x+1=2（x +1）+1x+1−2≥2√2(x +1)⋅1x+1−2＝2√2−2， 当且仅当2（x +1）=1x+1，x =√22−1，取等号． 故答案为2√2−2．14．已知函数y =√x 2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是 {0，4}（答案不唯一） ．（写出其中一个即可）解：y =√x 2=|x|，取|x |＝0，则x ＝0；取|x |＝4，则x ＝±4； 故定义域可以为：{0，4}或{0，﹣4}或{0，4，﹣4}． 故答案为：{0，4}（答案不唯一）．15．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （﹣1）＝ ﹣3 ． 解：根据题意，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （1）＝3， f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣3． 故答案为：﹣3．16．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（2，8），且满足f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围为 [98，+∞) ．解：由题设f （x ）＝x α，其图象过点（2，8）可得2α＝8＝23，故α＝3，所以f （x ）＝x 3， 所以8f （x ）＝（2x ）3＝f （2x ）， 易知f （x ）为R 上的奇函数且为增函数，而f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0等价于f （mx 2）≥﹣8f （4﹣3x ）＝f （6x ﹣8）， 所以mx 2≥6x ﹣8，所以mx 2﹣6x +8≥0恒成立，当m ＝0时，﹣6x +8≥0不恒成立，不合题意， 当m ≠0时，{Δ=36−4×m ×8≤0m ＞0，解得m ≥98． 所以实数m 的取值范围为[98，+∞)． 故答案为：[98，+∞)．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A ＝{x |3≤x ≤a +5}，B ＝{x |2＜x ＜10}． （1）当a ＝2时，求∁R （A ∪B ），（∁R A ）∩B ； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，A ＝{x |3≤x ≤7}，所以A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}， ∁R A ＝（﹣∞，3）∪（7，+∞），所以∁R （A ∪B ）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁R A ）∩B ＝（2，3）∪（7，10）； （2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ， 当A ＝∅时，3＞a +5，解得a ＜﹣2； 当A ≠∅时，{3≤a +5a +5＜10，解得﹣2≤a ＜5；综上所述：a 的取值范围为{a |a ＜5}．18．（12分）设函数f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ，a ∈R ． （1）解关于x 的不等式f （x ）＜0；（2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0， 当a ＜1时，不等式f （x ）＜0的解集为（a ，1）； 当a ＝1时，不等式f （x ）＜0的解集为∅； 当a ＞1时，不等式f （x ）＜0的解集为（1，a ）． （2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立， 则x −a ≥−1x−1，即a ≤x +1x−1恒成立． 因为x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1，即x ＝2时，等号成立， 所以a ≤3，即a ∈（﹣∞，3]．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围．解：（1）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≤(x+y2)2，令x +y ＝t ＞0，则t +3≤t 24，整理得（t ﹣6）（t +2）≥0，解得t ≥6，即x +y ≥6，当且仅当x ＝y ＝3时等号成立， 所以x +y 的取值范围为[6，+∞）．（2）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≥2√xy +3，令√xy =m ＞0，则m 2≥2m +3，整理得（m ﹣3）（m +1）≥0，解得m ≥3，即xy ≥9， 当且仅当x ＝y ＝3时等号成立，所以xy 的取值范围为[9，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13． （1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0． 解：（1）因为函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，f(0)=0=−b−4，所以b ＝0； 又f(1)=−13，a12−4=−13，解得a ＝1，所以a ＝1，b ＝0，f(x)=xx 2−4， 又f(−x)=−xx 2−4=−f(x)，故满足f （x ）是奇函数． （2）证明：∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，即﹣2＜x 1＜x 2＜2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−4−x 2x 22−4=x 1(x 22−4)−x 2(x 12−4)(x 12−4)(x 22−4)=(x 2−x 1)(x 2x 1+4)(x 1−2)(x 1+2)(x 2−2)(x 2+2)， 因为x 2﹣x 1＞0，x 2x 1+4＞0，x 1﹣2＜0，x 1+2＞0，x 2﹣2＜0，x 2+2＞0， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 所以函数y ＝f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递减．（3）函数y ＝f （x ）在（﹣2，2）上单调递减，且为奇函数，由f （t ﹣1）+f （t ）＜0得f （t ﹣1）＜﹣f （t ）＝f （﹣t ），所以{t −1＞−t −2＜t −1＜2−2＜t ＜2，解得12＜t ＜2．所以不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0的解集为(12，2)．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0＜x ＜100时，L =100x −12x 2−10x −1100−2000=−12x 2+90x −3100；当x ≥100时，L =100x −(120x +4500x−90−5400)−2000=−20x −4500x−90+3400． 所以L ={−12x 2+90x −3100，0＜x ＜100−20x −4500x−90+3400，x ≥100． （2）当0＜x ＜100时，L =−12x 2+90x −3100=−12(x −90)2+950，当x ＝90时，L 取得最大值，且最大值为950，当x ≥100时，L =−20x −4500x−90+3400=−20(x −90+225x−90)+1600≤−20(2√225)+1600=1000， 当且仅当x ＝105时，等号成立．因为1000＞950，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元．22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间．（1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）函数y ＝2x 2在R 上的值域是[0，+∞），且y ＝2x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]，所以[a ，b ]∈[0+∞），所以a ≥0，而函数y ＝2x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{2a 2=a 2b 2=b ，又a ＜b ，所以{a =0b =12， 所以函数y ＝2x 2的“保值”区间为[0，12]．（2）若函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间，①若a ＜b ≤1，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递减，所以{a 2−2a +m =b b 2−2b +m =a ，消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b ﹣1＝0，即a ＝﹣b +1．又{b ≤1−b +1＜b ，所以12＜b ≤1． 因为m =−b 2+2b +a =−b 2+b +1=−(b −12)2+54，12＜b ≤1，所以{m |1≤m ＜54}． ②若1≤a ＜b ，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递增，所以{a 2−2a +m =a b 2−2b +m =b 消去m 得a 2﹣b 2＝3（a ﹣b ），整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣3）＝0，因为a ＜b ，所以a +b ﹣3＝0，即b ＝﹣a +3，又{a ≥1−a +3＞a，所以1≤a ＜32． 因为m =−a 2+3a =−(a −32)2+94，1≤a ＜32，所以2≤m ＜94综合①、②得，函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间， m 的取值范围是[1，54)∪[2，94)．。
2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{2，3}D ．{0，1，2}2．函数f(x)=x−11+x的定义域为（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数D （x ）={1，x 是有理数，0，x 是无理数．若函数f （x ）＝D （x ）﹣x 2，则下列实数中不属于函数f （x ）值域的是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣35．若f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f （5）＞f （2），下列各式中一定成立的是（ ） A ．f （﹣2）＜f （5） B ．f （0）＜f （6） C ．f （4）＜f （5）D ．f （0）＜f （4）6．已知函数f （x ）＝x 4+x 2﹣2，x ∈R ，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．(−23，2)C ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D ．(−∞，−23)∪(2，+∞)7．给定函数f （x ）＝x 2﹣2，g （x ）=−12x +1，用M （x ）表示函数f （x ），g （x ）中的较大者，即M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．7−√178C ．14D ．28．已知f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0，|3−2x |，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围是（ ）A．(−∞，53)B．（﹣∞，2）C．(−∞，133)D．(53，133)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设a，b为正数，且a＞b，下列不等式中一定成立的是（）A．ba4＞ab4B．ba ＜b+1a+1C．a+1a＞b+1b D．b−a b＜a−b a10．将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f（t）的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（）A．B．C．D．11．定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则下列结论一定正确的有（）A．f（0）＝0B．f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）C．f（x）为R上的增函数D．f（x）为奇函数12．某数学兴趣小组对函数f(x)=1−x|x|+1进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）A．f（﹣2023）+f（2023）＝2B．∃x1≠x2，都有f（x1）＝f（x2）C．f（x）的值域为（0，2）D．∀x1，x2∈（0，+∞），都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数f（x）＝xα（α∈R）是奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，则α的值可以是．（只要写一个即可）14．命题“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为 ．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若集合A ＝{y |y =[2x 2−3x 2+1]，x ∈R }，则A 中元素的个数是 ． 16．已知函数f （x ）＝﹣x +2，g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，若对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2），则实数m 的取值范围 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}． （1）求（∁U A ）∩B ；（2）已知C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 18．（12分）若正数a ，b 满足ab ＝4a +b +t ，t ∈R ． （1）当t ＝0时，求a +4b 的最小值； （2）当t ＝5时，求ab 的取值范围．19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象与直线y ＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式f （x ）＜0的解集为[﹣1，3]． （1）求f （x ）的解析式；（2）关于x 的不等式f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m 的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 20．（12分）立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格P （x ）（元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）＝1+2x．该商品的日销售量 Q （x ）（个）与时间x （天）部分数据如下表所示：给出以下两种函数模型：①Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，②Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ．（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q （x ）与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）求该商品的日销售收入f （x ）（1≤x ≤60，x ∈N *）的最小值．21．（12分）定义：对于函数f 1（x ），f 2（x ），h （x ），如果存在实数a ，b ，使得af 1（x ）+bf 2（x ）＝h （x ），那么称h （x ）为f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数．（1）给出函数f 1（x ）=−14x 2−12x +154，f 2（x ）＝x 2﹣4x ﹣5，h （x ）＝x 2﹣10x +5，请判断h （x ）是否为f（x）和f2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设f1（x）＝x（x＞0），f2（x）=1x（x＞0），当a＝2，b＝8时，f1（x）和f2（x）的生成函数为h （x）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2＝2，是否存在实数m，使得h（x1）h（x2）＞m恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知f（x）＝x（|x﹣4a|+2），a∈R．（1）若f（1）＝3，判断f（x）的奇偶性；（2）若f（x）在[1，3]上的最小值是3，求正数a的值．2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{2，3}D ．{0，1，2}解：由Venn 图可知，阴影部分所表示的集合为A ∩（∁U B ）＝{0，1，2，3}∩{x |x ≤1}＝{0，1}． 故选：B ． 2．函数f(x)=2x√x−1√1+x的定义域为（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：要使原函数有意义，则{x −1＞01+x ＞0，解得x ＞1．∴函数f(x)=2x√x−1√1+x的定义域为（1，+∞）．故选：A ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数D （x ）={1，x 是有理数，0，x 是无理数．若函数f （x ）＝D （x ）﹣x 2，则下列实数中不属于函数f （x ）值域的是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣3解：由题意得f（x）={1−x2，x是有理数−x2，x是无理数，A：由于f（1）＝0，A正确；B：由f（x）＝﹣1，当x是有理数时，1﹣x2＝﹣1，则x=±√2，不合题意；当x是无理数时，﹣x2＝﹣1，则x＝±1，不合题意；C：因为f（√2）＝﹣2，故﹣2为函数的一个函数值；D：由f（√3）＝﹣3，故﹣3为函数的一个函数值．故选：B．5．若f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（5）＞f（2），下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣2）＜f（5）B．f（0）＜f（6）C．f（4）＜f（5）D．f（0）＜f（4）解：因为f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，所以f（﹣5）＝f（5），f（﹣2）＝f（2），因为f（5）＞f（2），所以f（5）＞f（﹣2），故A正确，因为无法判断函数的单调性，故其余选项不能判断．故选：A．6．已知函数f（x）＝x4+x2﹣2，x∈R，则满足f（2x）＜f（x+2）的x的取值范围为（）A．（0，2）B．(−23，2)C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．(−∞，−23)∪(2，+∞)解：因为f（﹣x）＝x4+x2﹣2，所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＞0时，y＝x4，y＝x2单调递增，所以函数f（x）＝x4+x2﹣2在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，因为f（2x）＜f（x+2），所以|2x|＜|x+2|，所以（2x）2＜（x+2）2，整理得3x2﹣4x﹣4＜0，解得−23＜x＜2，所以x的取值范围为（−23，2）．故选：B．7．给定函数f （x ）＝x 2﹣2，g （x ）=−12x +1，用M （x ）表示函数f （x ），g （x ）中的较大者，即M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．7−√178C ．14D ．2解：令x 2﹣2=−12x +1，解得x ＝﹣2或x =32， 作出函数M （x ）的图象如图所示：由图象可知，当x =32时，M （x ）取得最小值为M （32）=14．故选：C ．8．已知f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0，|3−2x |，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围是（ ）A ．(−∞，53) B ．（﹣∞，2）C ．(−∞，133)D ．(53，133)解：画出f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0|3−2x |，x ＞0的图象，如图所示：设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝a，则a∈（0，3），令x2+4x+3＝3，解得x＝﹣4或0，因为y＝x2+4x+3的对称轴为x＝﹣2，由对称性可得x1+x2＝﹣4，且x1∈（﹣4，﹣3），x2∈（﹣1，0），其中1x1+1x2=x1+x2x1x2=−4x1x2=−4(−4−x2)x2=4(x2+2)2−4，因为x2∈（﹣1，0），所以（x2+2）2﹣4∈（﹣3，0），故1x1+1x2=4(x2+2)2−4∈（﹣∞，−43），又2x3−3＝3−2x4，故1x3+1x4=3，所以1x1+1x2+1x3+1x4∈（﹣∞，53）．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设a，b为正数，且a＞b，下列不等式中一定成立的是（）A．ba4＞ab4B．ba ＜b+1a+1C．a+1a＞b+1b D．b−a b＜a−b a解：对于A，因为a，b为正数，且a＞b，则ba4﹣ab4＝ab（a3﹣b3）＞0，故A正确；对于B，b（a+1）﹣a（b+1）＝b﹣a＜0，则B正确；对于C，（a+1a）﹣（b+1b）＝（a﹣b）−a−bab=（a﹣b）（1−1ab），由于1−1ab的符号不确定，故C错误；对于D，（b−ab）﹣（a−ba）＝（b﹣a）−a2−b2ab=（b﹣a）（1+a+bab），由于b﹣a＜0，ab＞0，a+b＞0，则（b﹣a）（1+a+bab）＜0，则D正确．故选：ABD．10．将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f（t）的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（）A．B．C．D．解：由已知图像可知面积S的增速经历三种变化，首先面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，A选项：由圆的性质可知，面积S的增速先越来越大，后越来越小，A选项不符合；B选项：面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，B选项符合；C选项：面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，C选项符合；D选项：面积S增速越来越小，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越大，D选项不符合．故选：BC．11．定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则下列结论一定正确的有（）A．f（0）＝0B．f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）C．f（x）为R上的增函数D．f（x）为奇函数解：令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0），即f（0）＝0，故A正确；令y＝﹣x，可得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），且定义域为R，则f（x）为奇函数，故D正确；由f（x）为奇函数，可得f（x﹣y）＝f（x）+f（﹣y）＝f（x）﹣f（y），故B正确；设f（x）＝﹣x，满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），但f（x）＝﹣x为递减函数，故C错误．故选：ABD．12．某数学兴趣小组对函数f(x)=1−x进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）|x|+1A．f（﹣2023）+f（2023）＝2B．∃x1≠x2，都有f（x1）＝f（x2）C．f（x）的值域为（0，2）D ．∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2 解：根据题意，可得f(x)=1−x|x|+1的定义域为R ， 对于A ，因为f(−x)=1−−x |−x|+1=1+x |x|+1，所以f （﹣x ）+f （x ）＝2，对任意x ∈R 成立，故f （﹣2023）+f （2023）＝2成立，A 正确；对于B ，化简得f(x)={1x+1，x ≥02+1x−1，x ＜0，可知f （x ）在（﹣∞，0）上与在[0，+∞）上都是减函数，所以f （x ）在R 上为减函数，不存在x 1≠x 2，使f （x 1）＝f （x 2）成立，故B 错误；对于C ，由f(x)={1x+1，x ≥02+1x−1，x ＜0，可知当x ∈（﹣∞，0）时，−1＜1x−1＜0，f （x ）=2+1x−1∈（1，2），当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=1x+1∈（0，1]，所以f （x ）在R 上的值域为（0，2），C 正确； 对于D ，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=1x+1，其图像是由反比例函数y =1x 向左平移1个单位而得， 图象是单调递减的曲线且以x 轴为渐近线，可知f （x ）是凹函数， 可知∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2成立，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数f （x ）＝x α（α∈R ）是奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，则α的值可以是 ．（只要写一个即可） 解：当α＝﹣1时，则f （x ）=1x为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，符合题意． 故答案为：﹣1（答案不唯一）．14．命题“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为 ． 解：“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为：∀x ＞1，x 2≥1． 故答案为：x ＞1，x 2≥1．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若集合A ＝{y |y =[2x 2−3x 2+1]，x ∈R }，则A 中元素的个数是 ． 解：∵2x 2−3x 2+1=2(x 2+1)−5x 2+1=2−5x 2+1，x 2+1≥1，0＜5x 2+1≤5，∴−3≤2−5x 2+1＜2， ∴−3≤2x 2−3x 2+1＜2， ∴A ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，A 中元素的个数为5． 故答案为：5．16．已知函数f （x ）＝﹣x +2，g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，若对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2），则实数m 的取值范围 ．解：∵f （x ）＝﹣x +2为减函数，∴当x ∈[1，2]时，其值域A ＝[0，1]； ∵x ∈（﹣2，3），∴x +3∈（1，6）， 令t ＝x +3，则t ∈（1，6），g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，可化为y =(t−3)2+5(t−3)+10t +m ＝t +4t+m ﹣1（1＜t ＜6）， 由对勾函数的性质可知，h （t ）＝t +4t+m ﹣1在区间（1，2]上单调递减，在区间[2，6）上单调递增， ∴h （t ）min ＝h （2）＝3+m ，又h （1）＝4+m ，h （6）=173+m ，h （6）＞h （1）， ∴h （t ）∈[3+m ，173+m ），∴当x ∈（﹣2，3）时，g （x ）的值域为B ＝[3+m ，173+m ）；∵对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2）， ∴A ⊆B ， ∴{3+m ≤0173+m ＞1，解得−143＜m ≤﹣3．故答案为：（−143，﹣3]． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}． （1）求（∁U A ）∩B ；（2）已知C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}， 所以∁U A ＝{x |﹣3≤x ≤5}，（∁U A ）∩B ＝（﹣2，5]；（2）因为C ⊆B ，所以{a +1≤10a ≥−2，解得﹣2≤a ≤9，即a 的取值范围[﹣2，9]．18．（12分）若正数a ，b 满足ab ＝4a +b +t ，t ∈R ． （1）当t ＝0时，求a +4b 的最小值；（2）当t ＝5时，求ab 的取值范围． 解：（1）当t ＝0时，4a +b ＝ab ， 所以4b +1a=1，所以a +4b ＝（a +4b ）（1a +4b ）＝17+4ba +4ab ≥17+2√4b a ⋅4ab =25，当且仅当4a b=4b a且ab ＝4a +b ，即a ＝b ＝5时取等号；（2）当t ＝5时，ab ＝4a +b +5≥2√4ab +5，当且仅当b ＝4a ，即a =52，b ＝10时取等号， 解得ab ≥25，故ab 的取值范围为[25，+∞）．19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象与直线y ＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式f （x ）＜0的解集为[﹣1，3]． （1）求f （x ）的解析式；（2）关于x 的不等式f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m 的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 解：（1）根据题意，可得f （x ）＜0的根为﹣1和3，且ax 2+bx +c +4＝0有两个相等的实数根， 故{−1+3=−ba −1×3=c a ，且b 2﹣4a （c +4）＝0，解得a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣3，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣3；（2）f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m ，即x 2﹣2x ﹣3＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m ，整理得x 2﹣（m +1）x +m ＜0， 若m ＝1，不等式化为（x ﹣1）2＜0，解集为空集，不符合题意； 若m ≠1，不等式化为（x ﹣m ）（x ﹣1）＜0，当m ＜1时，解集为（m ，1），若恰有两个整数在区间（m ，1），则﹣2≤m ＜﹣1； 当m ＞1时，解集为（1，m ），若恰有两个整数在区间（1，m ），则3＜m ≤4． 综上所述，实数m 的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（3，4]．20．（12分）立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格P （x ）（元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）＝1+2x．该商品的日销售量 Q （x ）（个）与时间x （天）部分数据如下表所示：给出以下两种函数模型：①Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，②Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ．（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q （x ）与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）求该商品的日销售收入f （x ）（1≤x ≤60，x ∈N *）的最小值．解：（1）模型①：Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，x ＝25时，Q （25）＝b ＝1670， x ＝20时，Q （20）＝25a +1670＝1680，解得a ＝0.4； 所以Q （x ）＝0.4（x ﹣25）2+1670；计算Q （45）＝0.4×202+1670＝1830＞1690， Q （60）＝0.4×352+1670＝2160＞1720；模型②：Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ，表示在x ＝30两侧“等距”的函数值相等， 由{Q(25)=5a +b =1670Q(20)=10a +b =1680，解得a ＝2，b ＝1660， 所以Q （x ）＝2|x ﹣30|+1660，所以Q （45）＝15×2+1660＝1690，Q （60）＝30×2+1660＝1720； 所以利用模型②最合适，此时Q （x ）＝2|x ﹣30|+1660；（2）由（1）知，该商品的日销售收入f （x ）＝P （x ）•Q （x ）＝（1+2x）（2|x ﹣30|+1660）={3440x −2x +1716，1≤x ≤302x +3200x+1604，30＜x ≤60， 当1≤x ≤30时，f （x ）是单调递减函数，最小值为f （30）=344030−60+1716≈1771， 当30＜x ≤60时，f （x ）＝2x +3200x +1604≥2√2x ⋅3200x +1604＝1764，当且仅当2x =3200x，即x ＝40时“＝”成立，综上，f （x ）的最小值是1764．21．（12分）定义：对于函数f 1（x ），f 2（x ），h （x ），如果存在实数a ，b ，使得af 1（x ）+bf 2（x ）＝h （x ），那么称h （x ）为f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数． （1）给出函数f 1（x ）=−14x 2−12x +154，f 2（x ）＝x 2﹣4x ﹣5，h （x ）＝x 2﹣10x +5，请判断h （x ）是否为f （x ）和f 2（x ）的生成函数？并说明理由；（2）设f 1（x ）＝x （x ＞0），f 2（x ）=1x （x ＞0），当a ＝2，b ＝8时，f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数为h （x ）．若对于任意正实数x 1，x 2且x 1+x 2＝2，是否存在实数m ，使得h （x 1）h （x 2）＞m 恒成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数，理由如下：若h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数，则存在实数a ，b 使得h （x ）＝af 1（x ）+bf 2（x ）成立， 所以x 2−10x +5=a(−14x 2−12x +154)+b(x 2−4x −5)，即{ −14a +b =1−12a −4b =−10154a −5b =5，解得a ＝4，b ＝2， 所以h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数．（2）f 1（x ）＝x （x ＞0），f 2(x)=1x (x ＞0)，当a ＝2，b ＝8时的生成函数ℎ(x)=2x +8x， 假设存在实数m ，使得对任意正实数x 1，x 2，满足x 1+x 2＝2，h （x 1）h （x 2）≥m 恒成立， 所以ℎ=ℎ(x 1)ℎ(x 2)=4x 1x 2+64x 1x 2+16(x 1x 2+x2x 1)=4x 1x 2+64x 1x 2+16[(x 1+x 2)2x 1x 2−2]=4x 1x 2+128x 1x 2−32，令t =x 1x 2，t =x 1x 2≤(x 1+x 22)2=1， 因为ℎ=4t +128I−32在（0，1]单调递减， 所以h 的最小值为100，所以m 的最大值为100． 22．（12分）已知f （x ）＝x （|x ﹣4a |+2），a ∈R ． （1）若f （1）＝3，判断f （x ）的奇偶性；（2）若f （x ）在[1，3]上的最小值是3，求正数a 的值． 解：（1）根据题意，f （x ）＝x （|x ﹣4a |+2），其定义域为R ， 若f （1）＝3，即|1﹣4a |+2＝3，解得a ＝0或a =12， 当a ＝0时，f （x ）＝x |x |+2x ，因为f （﹣x ）＝﹣x |﹣x |﹣2x ＝﹣x |x |﹣2x ＝﹣f （x ），所以f （x ）是奇函数， 当a =12时，f （x ）＝x |x ﹣2|+2x ，所以 f （﹣1）＝﹣5，f （1）≠f （﹣1），f （1）≠﹣f （﹣1）， 所以f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数； （2）由题意得f （x ）={x 2−(4a −2)x ，x ≥4a −x 2+(4a +2)x ，x ＜4a，对于f （x ）＝x 2﹣（4a ﹣2）x ，其对称轴为x ＝2a ﹣1，开口向上， 对于f （x ）＝﹣x 2﹣（4a +2）x ，其对称轴为x ＝2a +1，开口向下， 又由f （x ）在[1，3]上的最小值是3，则有f （1）＝|1﹣4a |+2≥3， 解可得a ≤0或a ≥12，又由a为正数，则a≥1 2，当a=12时，f（x）＝x|x﹣2|+2x，易得f（x）在[1，3]上递增，且f（1）＝3，符合题意；当a＞12时，有4a＞2a+1＞2a﹣1，f（x）在（﹣∞，2a+1]单调递增，在[2a+1，4a]单调递减，在[4a，+∞）单调递增．有1＜2a+1且f（4a）＝8a＞4＞3，则f（x）在[1，3]上的最小值只能在x＝1处取到，但f（1）＝4a+2＞3，与之矛盾；故a＞12不符合题意，综合可得：a=1 2．。
2023-2024学年山东省烟台市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省烟台市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A＝{1，2m，m2﹣m}，且0∈A，则m的值为（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣12．命题“∀x∈R，x2﹣x＞0”的否定为（）A．∃x∈R，x2﹣x≤0B．∃x∈R，x2﹣x＞0C．∀x∈R，x2﹣x≤0D．∀x∈R，x2﹣x＜03．已知a＞b，且ab≠0，则（）A．a2＞ab B．a2＞b2C．1a ＜1bD．1ab2＞1a2b4．某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（）A．180m3B．220m3C．260m3D．320m35．在同一坐标系内，函数y＝x m（x＞0）和y=mx+1m的图象可能是（）A．B．C．D．6．若函数y＝ax2（a≠0）的图象恒在y＝2x﹣1图象的上方，则（）A．a＞1B．a≥1C．0＜a＜1D．0＜a≤17．若f(x)={⬚在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（0，3）B．（0，3]C．（2，3）D．[2，3]8．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递增，若f （﹣2）＝0，则（x +1）（f （x ）﹣2f （﹣x ））＜0的解集是（ ） A ．（﹣2，0）∪（0，2） B ．（﹣2，0）∪（1，2）C ．（﹣2，﹣1）∪（0，2）D ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．以下各组函数中，表示同一函数的有（ ） A ．y =√x 2，y ＝|x | B ．y =√x ⋅√x +1，y =√x 2+xC ．y ＝x +1，y ＝t +1D ．y ＝x +2，y =x 2−4x−210．给定集合M ，N ，定义M ﹣N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }．若M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，N ＝{y |y ＝x +1x+1，x ＞﹣1}，则（ ） A ．N ＝{y |y ≥1} B ．M ﹣N ＝{x |﹣2≤x ＜1}C ．N ﹣M ＝{x |x ≥2}D ．N ﹣（N ﹣M ）＝{x |1≤x ≤2}11．已知a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1则（ ） A ．ab 的最大值为18B ．1a+2b的最小值为6C ．a −18b 的最大值为0D ．a +18b 的最小值为1812．德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间[0，1]上的函数f （x ），且满足：①任意0≤x 1＜x 2≤1，f （x 1）≤f （x 2）；②f(x)=2f(x4)；③f （x ）+f （1﹣x ）＝1，则（ ） A ．f （x ）在[0，1]上单调递增 B ．f （x ）的图象关于点(12，12)对称C ．当x =116时，f(x)=14D ．当x ∈[116，1516]时，f(f(x))=12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年河北省张家口市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省张家口市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，集合B ＝{2，3}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{4}B ．{3}C ．{1，3，4}D ．{3，4}2．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}3．若实数α，β满足﹣13＜α＜β＜﹣12，则α﹣β的取值范围是（ ） A ．﹣13＜α﹣β＜﹣12 B ．﹣25＜α﹣β＜0 C ．﹣1＜α﹣β＜0D ．﹣1＜α﹣β＜14．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab +b ，则满足x ⊙（x ﹣1）＜0的x 的取值范围为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，十∞）D ．（﹣1，0）5．设x ∈R ，则“x 2＞x ”是“|x |＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ，则当x ＞0时，函数f （x ）的解析式是（ ） A ．f （x ）＝﹣x 2+2x B ．f （x ）＝﹣x 2﹣2xC ．f （x ）＝x 2+2xD ．f （x ）＝x 2﹣2x7．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x ﹣1）＜f （1）的解集是（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）8．已知函数f （x ）={(a −2)x +52，x ≤2a x ，x ＞2是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2）B ．（1，2）C ．[1，2）D ．（0，1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列集合中，可以表示为{2，3}的是（ ） A ．{x ∈Z |2≤x ≤3}B ．{x |x 2﹣5x +6＝0}C ．{(x ，y)|x +y =5x −y =−1}D ．不等式组{x ＞22x −6＜0的解集10．下列函数既是偶函数，在（0，+∞）上又是增函数的是（ ） A ．y ＝x 2+1B ．y ＝2xC ．y ＝|x |D ．y =|1x−x|11．下列结论正确的是（ ）A ．“x ∈N ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件B ．“∃x ∈R ，使得x 2﹣3x +40≤0”是假命题C ．命题“∀x ＞0，x 2﹣3＞0”的否定是“∃x ＞0，x 2﹣3≤0”D ．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则a 2+b 2＝c 2是“△ABC 是直角三角形”的充要条件12．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＞b ＞0，则ba ＜b+2a+2C ．若a ＞1，则a 2−4a+7a−1的最小值是2D ．若a ＞0，b ＞0，3a+1b=1，则3a +b 的最小值是16 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。
2023-2024学年山东省日照市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省日照市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，3，4}B．{1，2，3，4}C．{3}D．{2，3}2．命题“∀x＞1，x2+1≥0”的否定为（）A．∃x≤1，x2+1≥0B．∃x＞1，x2+1＜0C．∀x＞1，x2+1＜0D．∃x≤1，x2+1＜03．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）＝x B．f(x)=1C．f（x）＝﹣x|x|D．f（x）＝﹣x2x4．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{y|﹣1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为（），1)A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．(126．已知函数f（x）的图象在区间[1，3]上连续不断，则“f（1）+f（2）+f（3）＝0”是“f（x）在[1，3]上存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y ＝[x ]称为高斯函数，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.2]＝1，[﹣2]＝﹣2．设函数f （x ）＝x 2﹣x [x ]，则使不等式f （x ）﹣2ax 2≤0恒成立的实数a 的最小值为（ ） A ．0B ．14C ．12D ．18．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若∀x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则不等式f(1t)−(6t 2−t)f(6t −1)＞0的解集为（ ） A ．(−3，0)∪(12，+∞) B ．(−12，0)∪(13，+∞)C ．(−∞，−3)∪(12，+∞)D ．(−∞，−13)∪(12，+∞)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知b ＜a ＜0，则下列结论正确的有（ ） A ．a 2＜b 2B ．ab ＞b 2C ．ba +a b＞2 D ．√−a ＜√−b10．已知函数f （x ）＝x 2+1的值域是[1，5]，则f （x ）的定义域可能是（ ） A ．[﹣1，2]B ．[﹣3，2]C ．(−12，2]D ．[−2，12]11．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x1+x，则（ ） A ．函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递减B ．关于x 的不等式f （x ）+f （2x ﹣1）＜0的解集为(−∞，13)C ．关于x 的方程f （x ）＝x 有三个实数解D ．∀x 1，x 2，|f （x 1）﹣f （x 2）|＜212．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，且g （1+x ）+f （1﹣x ）＝1，f （x ﹣1）﹣g （x ）＝1，若y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，则以下说法正确的是（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．y ＝g （x ）图象关于直线x ＝1对称C ．若f （x ）的值域为[m ，M ]，则m +M ＝2D ．f （1）+g （1）+f （2）+g （2）+⋯+f （2023）+g （2023）＝2023 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={|x|−1，x ∈[−1，+∞)2f(x +2)，x ∈(−∞，−1)，则f(−52)= ．14．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是（2，+∞），则关于x 的不等式（ax +b ）（x ﹣3）＜0的解集是 ． 15．若不等式mx 2+mx+2x 2+x+1＞1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围为 ．若存在实数b ，使得关于m 的方程m 2+（3﹣b ）m +6﹣b ＝0在上述范围有解，则实数b 的取值范围为 ． 16．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构一一故宫，沿着一条子午线对称分布，壮美有序．其中某建筑物的外形轮廓部分可用函数f(x)=√|x −2a|+√|x|的图像来刻画，已知关于x 的方程f （x ）＝b 恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3＝b （其中a ，b ∈（0，+∞）），则b ﹣9a 的值为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣9＜0}，B ＝{x |2≤x +1≤4}． （1）求A ∩B ；（2）若集合C ＝{x |m ≤x ≤m +1，m ∈R }，A ∩C ＝∅，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1（a ∈R ）． （1）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）≤0的解集； （2）当a ＞0时，求关于x 的不等式f （x ）＜0的解集． 19．（12分）已知函数f （2x ﹣1）＝4x 2﹣2x +3． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）＝（1﹣2m ）x +2﹣2m 有两个实根，其中一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根在区间（2，3）内，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=x +ax +1(a ∈R)．（1）若a ＝2，判断并证明f （x ）在（0，+∞）上的单调性；（2）若存在x ∈（0，1），使不等式f(√x)＜−√x 1√x 4成立，求实数a 的取值范围．21．（12分）设矩形ABCD 的周长为16，且AB ＞AD ，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P ．设AB ＝x ，△ADP 的面积为S ． （1）用x 表示PD 长，并写出x 的范围； （2）求S 的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣|x2﹣2|﹣ax．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的零点；（2）设函数g（x）＝f（x）+2x2+2区间（0，4]上有三个不同零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求x1x2+x1x3的取值范围；（3）当a≥2√2时，若在[0，2]上存在2023个不同的实数x i（i＝1，2，⋯，2023），x1＜x2＜ (x2023)使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x2022）﹣f（x2023）|＝6，求实数a的取值范围．2023-2024学年山东省日照市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，3，4}B．{1，2，3，4}C．{3}D．{2，3}解：集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}．故选：B．2．命题“∀x＞1，x2+1≥0”的否定为（）A．∃x≤1，x2+1≥0B．∃x＞1，x2+1＜0C．∀x＞1，x2+1＜0D．∃x≤1，x2+1＜0解：命题为全称命题，则命题“∀x＞1，x2+1≥0”的否定为∃x＞1，x2+1＜0．故选：B．3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）＝x B．f(x)=1xC．f（x）＝﹣x|x|D．f（x）＝﹣x2解：对于A，f（x）＝x是奇函数，但在定义域R上单调递增，故A不符合题意；对于B，f（x）=1x是奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递减，但在定义域内不单调，故B不符合题意；对于C，f（x）＝﹣x|x|={x2，x≤0−x2，x＞0是奇函数，且在R上单调递减，故C符合题意；对于D，f（x）＝﹣x2为偶函数，故D不符合题意．故选：C．4．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{y|﹣1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是（）A．B．C ．D ．解：由题意可知函数的定义域为集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，值域为集合B ＝{y |﹣1≤y ≤1}的子集， 对于选项A ：函数图像满足定义域和值域的要求，且定义域内一个x 对应值域内唯一的一个y 值，所以选项A 正确，对于选项B ：函数图像满足定义域和值域的要求，但是当x ＝0时，y 的值有2个，不符合函数的定义，故选项B 错误，对于选项C ：函数的定义域不符合题意，故选项C 错误， 对于选项D ：函数的定义域不符合题意，故选项D 错误， 故选：A ．5．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)解：函数f （x ）的定义域为（0，1）， 令0＜2x ﹣1＜1，解得12＜x ＜1．故选：D ．6．已知函数f （x ）的图象在区间[1，3]上连续不断，则“f （1）+f （2）+f （3）＝0”是“f （x ）在[1，3]上存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：举例：f （x ）＝（x ﹣2）2，此时f （x ）的零点为2，但f （1）+f （2）+f （3）＝2≠0， 即当f （x ）在[1，3]上存在零点时，不一定能得到f （1）+f （2）+f （3）＝0，所以必要性不满足； 当f （1）+f （2）+f （3）＝0时，若f （1），f （2），f （3）三个值中存在0，则f （x ）在[1，3]上显然存在零点， 若f （1），f （2），f （3）三个值均不为0，不妨假设f （1）≥f （2）≥f （3），因为f （1）+f （2）+f （3）＝0，所以f （1）≥0，f （3）≤0，取等号时f （1）＝f （2）＝f （3）＝0不满足条件，所以f （1）＞0，f （3）＜0，则f （1）f （3）＜0，根据零点的存在性定理可知f （x ）在[1，3]上存在零点，所以充分性满足；所以“f （1）+f （2）+f （3）＝0”是“f （x ）在[1，3]上存在零点”的充分不必要条件， 故选：A ．7．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y ＝[x ]称为高斯函数，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.2]＝1，[﹣2]＝﹣2．设函数f （x ）＝x 2﹣x [x ]，则使不等式f （x ）﹣2ax 2≤0恒成立的实数a 的最小值为（ ） A ．0B ．14C ．12D ．1解：因为f （x ）＝x 2﹣x [x ]，所以不等式f （x ）﹣2ax 2≤0，即x 2﹣x [x ]≤2ax 2， 当x ＝0时，不等式成立； 当x ＞0时，a ≥12(1−[x]x )， 此时0≤[x ]＜x ，所以0≤[x]x ≤1，故12(1−[x]x )∈[0，12]，a ≥12； 当x ＜0时，a ≥12(1−[x]x )， 此时0＞[x ]＞x ，所以[x]x≥1，故12(1−[x]x)∈(−∞，0]，a ≥0；综上所述：a ≥12． 故选：C ．8．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若∀x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则不等式f(1t )−(6t 2−t)f(6t −1)＞0的解集为（ ） A ．(−3，0)∪(12，+∞) B ．(−12，0)∪(13，+∞)C ．(−∞，−3)∪(12，+∞) D ．(−∞，−13)∪(12，+∞)解：令函数g （x ）＝xf （x ）， ∵函数f （x ）是R 上的偶函数，∴g （﹣x ）＝﹣xf （﹣x ）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是R 上的奇函数， ∀x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＜0，即∀x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2＜0，∴函数g （x ）在[0，+∞）上单调递减，又g （x ）是R 上的奇函数， ∴g （x ）在（﹣∞，0]上也单调递减， ∴g （x ）在R 上单调递减，∴当t ＞0时，f(1t )−(6t 2−t)f(6t −1)＞0⇔1t f(1t )＞(6t −1)f(6t −1)， 即g(1t )＞g(6t −1)，则0＜1t ＜6t −1，则{t ＞06t 2−t −1＞0，解得t ＞12；当t ＜0时，f(1t)−(6t 2−t)f(6t −1)＞0⇔1tf(1t)＜(6t −1)f(6t −1)， 即g(1t )＜g(6t −1)，则0＞1t ＞6t −1，则{t ＜06t 2−t −1＞0，解得t ＜−13，所以原不等式的解集是(−∞，−13)∪(12，+∞)． 故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知b ＜a ＜0，则下列结论正确的有（ ） A ．a 2＜b 2B ．ab ＞b 2C ．ba +a b＞2 D ．√−a ＜√−b解：因为a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）， b ＜a ＜0，a +b ＜0，a ﹣b ＞0， 所以a 2﹣b 2＜0，即a 2＜b 2，A 正确； 由ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ），b ＜a ＜0，a ﹣b ＞0，故ab ＜b 2，B 错； 因为b ＜a ＜0，所以ba＞0，a b＞0，则ba +a b ≥2√b a ⋅ab=2，当ba=a b，即a ＝b 时取等，而b ＜a ＜0，所以b a+a b＞2，C 正确；因为√−a −√−b =√−a+√−b−a−(−b)=√−a+√−bb−a，√−a+√−b＞0，b﹣a＜0，所以√−a＜√−b，D正确．故选：ACD．10．已知函数f（x）＝x2+1的值域是[1，5]，则f（x）的定义域可能是（）A．[﹣1，2]B．[﹣3，2]C．(−12，2]D．[−2，12]解：函数f（x）＝x2+1的值域是[1，5]，f（0）＝1，f（2）＝f（﹣2）＝5，故函数的定义域是[﹣2，2]的子集，且含有x＝0，且至少有一个端点值，对比选项知：ACD满足条件．故选：ACD．11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x1+x，则（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减B．关于x的不等式f（x）+f（2x﹣1）＜0的解集为(−∞，13)C．关于x的方程f（x）＝x有三个实数解D．∀x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：当x＞0时，f(x)=x1+x=11+1x，因为y=1+1x在（0，+∞）上递减，且y＞0，所以y=11+1x在（0，+∞）上递增，且x→0时，y→0+；x→+∞时，y→1﹣，结合函数f（x）在R上是奇函数，作出f（x）的图象如下：由图象可知，f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0，且|f（x）|＜1，A错误；对于B：f（x）+f（2x﹣1）＜0⇔f（2x﹣1）＜﹣f（x）＝f（﹣x）⇔2x﹣1＜﹣x，解得x＜13，B正确；对于C，显然x＝0符合题意；x＞0时，f（x）＝0⇒x1+x=x⇒x2＝0，解得x＝0，此时方程无解；显然x＜0时，f（x）＝x亦无解，所以f（x）＝x只有一个解x＝0，C错误；对于D，因为﹣1＜f（x）＜1，所以∀x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜2恒成立，D正确．故选：BD．12．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且g（1+x）+f（1﹣x）＝1，f（x﹣1）﹣g（x）＝1，若y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，则以下说法正确的是（）A．f（x）为奇函数B．y＝g（x）图象关于直线x＝1对称C．若f（x）的值域为[m，M]，则m+M＝2D．f（1）+g（1）+f（2）+g（2）+⋯+f（2023）+g（2023）＝2023解：对于A，因为f（x﹣1）﹣g（x）＝1，令x＝x+1，所以f（x）﹣g（x+1）＝1，因为f（x）的图像关于直线x＝1对称，所以f（1﹣x）＝f（1+x），f（x）＝f（2﹣x），因为g（1+x）+f（1﹣x）＝1，所以f（x）+f（1﹣x）＝2，f（x）+f（1+x）＝2，令x＝x+1，有f（x+1）+f（x+2）＝2，所以f（x）＝f（x+2），得函数f（x）周期为2，所以f（2﹣x）＝f（2+x），即f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，故A错误；对于B，因为g（1+x）+f（1﹣x）＝1，令x＝1+x，得g（2+x）+f（﹣x）＝1，令x＝1﹣x，得g（﹣x）+f（x）＝1，因为f（x）为偶函数，得g（2+x）+f（x）＝1，得g（2+x）＝g（﹣x），所以g（x）图像关于直线x＝1对称，故B正确；对于C，因为f（x）+f（1﹣x）＝2，所以f（x）关于点(12，1)成中心对称，所以f（x）存在一对最小值与最大值也关于点(12，1)成中心对称，即m+M＝2成立，故C正确；对于D，因为g（1+x）+f（1﹣x）＝1，令x＝x﹣1，得g（x）+f（2﹣x）＝1，所以g（x）+f（x）＝1，g（﹣x）+f（﹣x）＝1，即g（x）＝g（﹣x），所以g（x）是偶函数，因为g（2+x）＝g（﹣x）＝g（x），所以函数g（x）周期为2，因为f（x）是偶函数，所以f（1﹣x）＝f[﹣（1﹣x）]＝f（x﹣1），所以g（1+x）+f（x﹣1）＝1，所以g（1+x）+g（x）＝0，即g（1）+g（2）＝0，所以f（1）+g（1）+f（2）+g（2）+⋯+f（2023）+g（2023）＝f（1）+f（2）+⋯+f（2023）＝2023，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={|x|−1，x ∈[−1，+∞)2f(x +2)，x ∈(−∞，−1)，则f(−52)= ﹣1 ．解：f(x)={|x|−1，x ∈[−1，+∞)2f(x +2)，x ∈(−∞，−1)，则f(−52)=2f(−12)=2(12−1)=−1．故答案为：﹣1．14．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是（2，+∞），则关于x 的不等式（ax +b ）（x ﹣3）＜0的解集是 {x |x ＜﹣2或x ＞3} ．解：若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是（2，+∞），则2为方程ax ﹣b ＝0的根，且a ＜0， 可得2a ﹣b ＝0且a ＜0，即b ＝2a 且a ＜0，则关于x 的不等式（ax +b ）（x ﹣3）＜0即为（ax +2a ）（x ﹣3）＜0，且a ＜0， 可得（x +2）（x ﹣3）＞0，解得x ＞3或x ＜﹣2，所以关于x 的不等式（ax +b ）（x ﹣3）＜0的解集是{x |x ＜﹣2或x ＞3}． 故答案为：{x |x ＜﹣2或x ＞3}． 15．若不等式mx 2+mx+2x 2+x+1＞1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围为 [1，5） ．若存在实数b ，使得关于m 的方程m 2+（3﹣b ）m +6﹣b ＝0在上述范围有解，则实数b 的取值范围为 [5，233) ． 解：由条件可知即为不等式（m ﹣1）x 2+（m ﹣1）x +1＞0，x ∈R 恒成立， 当m ＝1时不等式显然恒成立；当m ≠1时，由一元二次不等式（m ﹣1）x 2+（m ﹣1）x +1＞0，x ∈R 恒成立可得{m −1＞0Δ＜0，即{m ＞1(m −1)(m −5)＜0，∴1＜m ＜5，综上可知：m 的取值范围为[1，5）； ∵m ∈[1，5），可知m +1≠0，依题意，方程m 2+（3﹣b ）m +6﹣b ＝0有解， 即方程b =m 2+3m+6m+1，(1≤m ＜5)有解，∴求b 的范围即转化为求函数f(m)=m 2+3m+6m+1，(1≤m ＜5)的值域，∵f(m)=m 2+3m+6m+1=(m+1)2+(m+1)+4m+1=(m +1)+4m+1+1，令t ＝m +1∈[2，6），g(t)=t +4t+1，又对勾函数g （t ）在[2，6）上为增函数，且g （2）＝5，g(6)=233， ∴g(t)∈[5，233)，即∴f(m)∈[5，233)，所以b 的取值范围为[5，233)． 故答案为：[1，5）；[5，233)． 16．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构一一故宫，沿着一条子午线对称分布，壮美有序．其中某建筑物的外形轮廓部分可用函数f(x)=√|x −2a|+√|x|的图像来刻画，已知关于x 的方程f （x ）＝b 恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3＝b （其中a ，b ∈（0，+∞）），则b ﹣9a 的值为 −163． 解：因为f(x +2a)=√|x +2a −2a|+√|x +2a|=√|−x −2a|+√|−x|=f(−x)， 所以f （x ）关于x ＝a 对称，所以f （x ）＝b 的根应成对出现，又因为x 的方程f （x ）＝b 恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3且x 1＜x 2＜x 3＝b ， 所以该方程的一个根是a ，得x 1＝2a ﹣b ，x 2＝a ，x 3＝b ，且a ≠b ，所以{f(a)=√a +√a =2√a =b f(b)=√|b −2a|+√b =b，由f(a)=2√a =b 得a =b24，（1）当b ﹣2a ≥0，即b ﹣2×b24≥0，即0＜b ≤2时，f(b)=√b −2a +√b =b ，① 则√b −2a −√b =−2a b−2a+b=−2×b 24b =−b 2，②由①﹣②得2√b =32b ，解得b =169，所以a =6481； （2）同理，当b ﹣2a ＜0，即b ＞2时，f(b)=√2a −b +√b =b ，③√2a −b −√b =2a−2b 2a−b+b=2×b 24−2b b =b 2−2，④ 由③﹣④得2√b =b2+2，即(√b −2)2=0，解得b ＝4，此时a =b24=4=b ，不合题意，舍去，综上，a =6481，b =169，所以b −9a =169−9×6481=−163． 故答案为：−163．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣9＜0}，B ＝{x |2≤x +1≤4}．（1）求A∩B；（2）若集合C＝{x|m≤x≤m+1，m∈R}，A∩C＝∅，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|x2﹣9＜0}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∩B＝{x|1≤x＜3}．（2）集合C＝{x|m≤x≤m+1，m∈R}，A∩C＝∅，则m+1≤﹣3或m≥3，解得m≤﹣4或m≥3，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R）．（1）当a＝﹣2时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）＜0的解集．解：（1）当a＝﹣2时，f（x）＝﹣2x2+x+1，由f（x）≤0得﹣2x2+x+1≤0，即2x2﹣x﹣1≥0，所以（x﹣1）（2x+1）≥0，解得x≤−12或x≥1，故不等式的解集为(−∞，−12]∪[1，+∞)．（2）当a＞0时，ax2﹣（a+1）x+1＜0，即（ax﹣1）（x﹣1）＜0，当a＝1时，1a=1，（ax﹣1）（x﹣1）＜0，（x﹣1）2＜0，无解；当0＜a＜1时，1a ＞1，（ax﹣1）（x﹣1）＜0的解为1＜x＜1a；当a＞1时，1a ＜1，（ax﹣1）（x﹣1）＜0的解为1a＜x＜1．综上所述：当a＝1时，不等式解集为∅；当0＜a＜1时，不等式解集为(1，1a )；当a＞1时，不等式解集为(1a，1)．19．（12分）已知函数f（2x﹣1）＝4x2﹣2x+3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝（1﹣2m）x+2﹣2m有两个实根，其中一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根在区间（2，3）内，求实数m的取值范围．解：（1）函数满足f（2x﹣1）＝4x2﹣2x+3，f（2x﹣1）＝（2x﹣1）2+2x﹣1+3，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+3．（2）f （x ）＝x 2+x +3＝（1﹣2m ）x +2﹣2m ，整理得x 2+2mx +1+2m ＝0， 又因为方程有两个实根，且x 1∈（﹣1，0），x 2∈（1，2），设g （x ）＝x 2+2mx +1+2m ，由二次函数的图象与性质，可得{g(−1)=2＞0g(0)=1+2m ＜0g(3)=8m +10＞0g(2)=5+6m ＜0，解得−54＜m ＜−56，则实数m 的取值范围为(−54，−56)． 20．（12分）已知函数f(x)=x +a x +1(a ∈R)．（1）若a ＝2，判断并证明f （x ）在（0，+∞）上的单调性； （2）若存在x ∈（0，1），使不等式f(√x)＜−√x 1√x4成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）a ＝2，则f(x)=x +2x +1，当x ＞0时，f （x ）在(0，√2)上单调递减，在(√2，+∞)上单调递增． 证明：∀x 1，x 2∈（0，+∞）且x 2＞x 1，f(x 2)−f(x 1)=(x 2+2x 2+1)−(x 1+2x 1+1)=(x 2−x 1)+(2x 2−2x 1)=(x 2−x 1)+2(x 1−x 2)x 2x 1=(x 2−x 1)(1−2x 2x 1)=(x 2−x 1)(x 2x 1−2)x 2x 1，x 2＞x 1＞0，故x 2﹣x 1＞0，x 2x 1＞0， 当x 1，x 2∈(0，√2)时，x 2x 1﹣2＜0，所以(x 2−x 1)(x 2x 1−2)x 2x 1＜0，故f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1），所以函数f （x ）在(0，√2)上单调递减； 当x 1，x 2∈(√2，+∞)时，x 2x 1﹣2＞0，所以(x 2−x 1)(x 2x 1−2)x 2x 1＞0，故f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），所以函数f （x ）在(√2，+∞)上单调递增． （2）f(√x)＜−√x 1√x 4，即√x +a√x +1＜−√x 1√x +4，即√x＜−2√x +√x+3，存在x ∈（0，1），使得a ＜−2x +3√x +1成立．令t =√x ，x ∈（0，1），t ∈（0，1）．所以存在t ∈（0，1），a ＜﹣2t 2+3t +1成立． 所以a ＜（﹣2t 2+3t +1）max ，t ∈（0，1）．又−2t 2+3t +1=−2(t −34)2+178，所以当t =34时，(−2t 2+3t +1)max =178，所以a ＜178，即a ∈(−∞，178)． 21．（12分）设矩形ABCD 的周长为16，且AB ＞AD ，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P ．设AB ＝x ，△ADP 的面积为S ． （1）用x 表示PD 长，并写出x 的范围； （2）求S 的最大值．解：（1）已知矩形ABCD 的周长为16，且AB ＞AD ， 由AB ＝x ， 则BC ＝8﹣x ， 设PD ＝y ，由△ADP ≌△CB 'P ，可得DP ＝B 'P ＝y ， 在直角△CB 'P 中，由勾股定理可得CP =√CB′2+B′P 2=√(8−x)2+y 2， 又由CP +PD ＝x ，可得√(8−x)2+y 2+y =x ， 整理得y =8x−32x， 又因为AB ＞AD ， 可得{x ＞48−x ＞0，故4＜x ＜8， 所以PD =8x−32x，x ∈{x |4＜x ＜8}． （2）由△ADP 为直角三角形， 可得：S =12(8−x)⋅y =12(8−x)⋅8x−32x =4⋅(−x −32x +12)=48−4⋅(x +32x)≤48−4×2√x ⋅32x =48−32√2， 当且仅当x =32x 时，即x2＝32，又x＞0，即x=4√2时等号成立，所以△ADP面积的最大值为48−32√2．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣|x2﹣2|﹣ax．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的零点；（2）设函数g（x）＝f（x）+2x2+2区间（0，4]上有三个不同零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求x1x2+x1x3的取值范围；（3）当a≥2√2时，若在[0，2]上存在2023个不同的实数x i（i＝1，2，⋯，2023），x1＜x2＜ (x2023)使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x2022）﹣f（x2023）|＝6，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，令f（x）＝﹣|x2﹣2|+x＝0，当|x|≥√2时，﹣（x2﹣2）+x＝0，解得x＝2或x＝﹣1（舍去）；当|x|＜√2时，（x2﹣2）+x＝0，解得x＝1或x＝﹣2（舍去）；所以函数f（x）的零点是1和2．（2）令g（x）＝f（x）+2x2+2＝﹣|x2﹣2|﹣ax+2x2+2＝0，且x∈（0，4]，可得a=−|x2−2|+2x2+2x，记ℎ(x)=−|x2−2|+2x2+2x={3x，0＜x＜√2x+4x，√2＜x≤4，作出h（x）的图象，如图所示，由h（x）的图象得a∈(4，3√2)，易知3x1＝a，注意到x2，x3是方程x+4x=a的两根，即方程x2﹣ax+4＝0的两根，可得x 2+x 3＝a ，所以x 1x 2+x 1x 3=x 1(x 2+x 3)=a 23∈(163，6)，即x 1x 2+x 1x 3的取值范围为(163，6)． （3）因为f(x)=−|x 2−2|−ax ={x 2−ax −2，0≤x ≤√2−x 2−ax +2，√2＜x ≤2，当a ≥2√2时，f （x ）在[0，2]上单调递减， 则f （x 1）＞f （x 2）＞⋯＞f （x 2023），可得|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+⋯+|f （x 2022）﹣f （x 2023）|＝f （x 1）﹣f （x 2）+f （x 2）﹣f （x 3）+⋯+f （x 2022）﹣f （x 2023）＝f （x 1）﹣f （x 2023）≤f （0）﹣f （2）＝﹣2﹣（﹣2﹣2a ）＝2a ， 所以2a ≥6， 得a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，+∞）．。
2023-2024学年安徽省高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，集合N ＝{x ∈R |x 2＝2x }，则M ∩N ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，0}C ．{0}D ．∅2．已知命题p ：∃x ∈R ，4x ＞x 4，则¬p 是（ ） A ．∃x ∈R ，4x ≤x 4 B ．∀x ∈R ，4x ＜x 4C ．∀x ∈R ，4x ＞x 4D ．∀x ∈R ，4x ≤x 43．若α是β的必要不充分条件，γ是β的充要条件，则γ是α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x α（α∈Z ），具有如下性质：f 2（1）+f 2（﹣1）＝2[f （1）+f （﹣1）﹣1]，则f （x ）是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数5．函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，且f （a ﹣3）＝f （a +2）（a ∈R ），则f （a ）＝（ ）A ．2B ．1C ．√2D ．06．已知实数a ，b ，c 满足3×2a ﹣2b +1＝0，且a ＝c +x 2﹣x +1（x ∈R ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a7．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出的速度如图甲乙所示．某天零点到六点该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下三个论断：①零点到三点只进水不出水；②三点到四点不进水只出水；③四点到六点不进水也不出水．其中正确论断的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①8．设函数f(x)=√ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ，且a ＜0）的定义域为D ，若所有点（s ，f （t ））（s ，t ∈D ）构成一个正方形区域，则a ＝（ ） A ．﹣4B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题（答案在最后）2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}- D.{1,0,1,2,3,4}-2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.28.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c->- D.b c ba c a+>+10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12D.有最大值11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减D.函数()41y f x =+为偶函数第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．14.函数()f x =的定义域为______．15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.山东省2023~2024学年第一学期期中高一数学试题2023.11说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{0,2}B.{1,1,3,4}-C.{1,0,2,4}-D.{1,0,1,2,3,4}-【答案】B 【解析】【分析】求()()A B A B ð得解.【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为()(){1,1,3,4}A B A B =- ð.故选：B2.命题“x ∀∈R 都有210x x ++>”的否定是（）A.不存在2,10x R x x ∈++>B.存在2000,10x R x x ∈++≤C.存在2000,10x R x x ∈++>D.对任意的2,10x R x x ∈++≤【答案】B 【解析】【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由全称命题的否定为特称命题，∴原命题的否定为：存在2000,10x R x x ∈++≤.故选：B3.下列图象中，以{}01M x x =≤≤为定义域，{}01N x x =≤≤为值域的函数是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．【详解】对于A ，其对应函数的值域不是{}01N y y =≤≤，A 错误；对于B ，图象中存在一部分与x 轴垂直，即此时x 对应的y 值不唯一，该图象不是函数的图象，B 错误；对于C ，其对应函数的定义域为{|01}M x x = ，值域是{|01}N y y = ，C 正确；对于D ，图象不满足一个x 对应唯一的y ，该图象不是函数的图象，D 错误；故选：C ．4.“12x >”是“12x<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】12x >时12x <成立，12x <时如112x =-<，则=1x -12<，因此只能是充分不必要条件，故选：A ．5.已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（）A.11B.2C.5D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，令213x +=求出x 即可计算作答.【详解】函数()22132f x x +=+，令213x +=，得1x =，所以()233125f =⨯+=.故选：C6.函数()f x =的单调递增区间是（）A.(]-1∞， B.[)1+∞，C.[]1,3 D.[]1,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出()f x 定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.【详解】函数()f x =的定义域需要满足2320x x +-≥，解得()f x 定义域为[]13，-，因为232y x x =+-在[]11-，上单调递增，所以()f x =在[]11-，上单调递增，故选：D .7.已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()112f a f a -=+，则a 的值为（）A.1B.12-C.-1D.2【答案】B 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，分别确定1a -与12a +的范围，代入相应的函数解析式，再利用()()112f a f a -=+即可求解.【详解】当0a >时，有11a -<，121a +>，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21122a a a a -+=-+-，解得：1a =-，又0a >，所以1a =-舍去；当a<0时，有11a ->，121a +<，又因为()()112f a f a -=+，所以()()21212a a a a ++=---，解得：12a =-.故选：B.8.已知函数y =的定义域与值域均为[]0,1，则实数a 的取值为（）A.-4B.-2C.1D.1【答案】A 【解析】【分析】依题意知2y ax bx c =++的值域为[]0,1，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，可得0c =，a b =-，从而确定当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，进而解得4a =-.【详解】依题意，2y ax bx c =++的值域为[]0,1，且20ax bx c ++≥的解集为[]0,1，故函数的开口向下，a<0，则方程20ax bx c ++=的两根为0x =或1，则0c =，0122b a +-=，即a b =-，则222124a y ax bx c ax ax a x ⎛⎫=++=-=-- ⎪⎝⎭，当12x =时，2124a y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值为1，即14a-=，解得：4a =-.故选：A.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.若0a b c >>>则以下结论正确的是（）A.c c a b> B.22ac bc >C.a b b c ->- D.b c ba c a+>+【答案】AB 【解析】【分析】对于AB ，可利用不等式的性质直接判断；对于CD ，可赋值判断.【详解】对于A ，因为0a b >>，所以11a b <，又因为0c >，所以c c a b>，故A 正确；对于B ，因为0a b c >>>，则有20c >，所以22ac bc >，故B 正确；对于C ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则211a b -=-=，()112b c -=--=，此时a b b c -<-，故C 错误；对于D ，因为0a b c >>>，若2a =，1b =，1c =-，则11021b c a c +-==+-，12b a =，此时b c b a c a +<+，故D 错误.故选：AB.10.设正实数a 、b 满足1a b +=，则（）A.有最大值12B.1122a b a b +++有最小值3C.22a b +有最小值12 D.有最大值【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求出各选项中代数式的最值，由此可判断各选项的正误.【详解】设正实数a 、b 满足1a b +=.对于A 122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立，A 选项正确；对于B 选项，由基本不等式可得()111113322322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭()()111122=222322322a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫++++=+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，B 选项错误；对于C 选项，()()()222222122222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，C 选项正确；对于D 选项，()222a b a b =+++=≤，当且仅当22a b ==时，等号成立，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为奇函数，且对任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，已知()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，则下列正确的是（）A.()f x 的图象关于点()2,0-对称B.()f x 在R 上是增函数C.()()44f x f x +-=D.关于x 的不等式()0f x <的解集为(),2-∞【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性及单调性，再逐项判断即得答案．【详解】由()2f x +为奇函数，得()2(2)f x f x -+=-+，即(4)()0f x f x -+=，因此()f x 的图象关于点()2,0对称，由任意[)12,2,x x ∈+∞，12x x ≠，()()()1212[]0f x f x x x -->恒成立，得函数()f x 在[)2,+∞上单调递增，于是()f x 在R 上单调递增，B 正确；显然(2)(2)0f f -<=，即()f x 的图象关于点()2,0-不对称，A 错误；对C ，由(4)()0f x f x -+=，得()()44f x f x +-≠，C 错误；对D ，由于()f x 在R 上单调递增，()()0(2)f x f x f <⇔<，则2x <，即不等式()0f x <的解集为(),2-∞，D 正确．故选：BD12.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若函数2()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()424f = B.()4f x 的值域为[]0,4C.()4f x 在[]1,1-上单调递减 D.函数()41y f x =+为偶函数【答案】BCD 【解析】【分析】令2214x x -+≤求出不等式的解，即可求出()4f x 的解析式，即可判断A 、B 、C ，再求出()41y f x =+的解析式，画出图象，即可判断D.【详解】根据题意，由2214x x -+≤，解得13x -≤≤，∴()2421,134,14,3x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩，所以()24222211f =-⨯+=，故A 错误；当13x -≤≤时()()224211f x x x x =-+=-，且()4f x 在[]1,1-上单调递减，在[]1,3上单调递增，()401f =，()()44431f f -==，所以()404f x ≤≤，即()4f x 的值域为[]0,4，故B 、C 正确；因为()24,2214,24,2x x y f x x x ⎧-≤≤⎪=+=<-⎨⎪>⎩，则()41y f x =+的图象如下所示：由图可知()41y f x =+的图象关于y 轴对称，所以函数()41y f x =+为偶函数，故D 正确；故选：BCD第II 卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合{}21,2,4m M m +=+，且5M ∈，则m 的值为________．【答案】1或3##3或1【解析】【分析】根据题意得到25m +=，245m +=，解方程再验证得到答案.【详解】{}21,2,4m M m +=+，5M ∈，当25m +=时，3m =，此时{}1,9,13M =，满足条件；当245m +=时，1m =±，1m =-时，不满足互异性，排除；1m=时，{}1,3,5M =，满足条件.综上所述：1m =或3m =.故答案为：1或3.14.函数()f x =的定义域为______．【答案】1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负且分母不为零得到不等式组，解得即可.【详解】对于函数()f x =，则1021210xx x -⎧≥⎪+⎨⎪+≠⎩等价于()()1210210x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得112x -<≤，所以函数()f x =的定义域为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：1,12⎛⎤-⎥⎝⎦15.函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为__________.【答案】[]1,4【解析】【分析】根据分段函数单调性的定义，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】函数2(5)2,2()2(1)3,2a x x f x x a x a x --≥⎧=⎨-++<⎩是R 上的单调减函数，则44(1)32(5)21250a a a a a -++≥--⎧⎪+≥⎨⎪-<⎩，解得14a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,4.故答案为：[]1,4．16.设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________.【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【解析】【分析】令()()F x xf x =，可得函数利()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数且在(0,)+∞上单调递增，原不等式等价于()80F x x->，分析可得答案.【详解】令()()F x xf x =，由()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，可得()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，由对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，可得()()F x xf x =在(0,)+∞上单调递增，由(2)4f =，可得(2)8F =，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)8F -=，不等式8()0f x x ->，即为()80xf x x ->，即()80F x x->，可得0()8x F x >⎧⎨>⎩或0()8x F x <⎧⎨<⎩，即02x x >⎧⎨>⎩或020x x <⎧⎨-<<⎩解得2x >或20x -<<.故答案为：(2,0)(2,)-+∞ .四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}27,{121}A xx B x m x m =-≤≤=+<<-∣∣，（1）3m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|45A B x x =<<I （2）(]4∞-，【解析】【分析】（1）代入m 求集合B ，根据交集的定义即可得解；（2）A B B = ，即B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：若3m =，则{}45B x x =<<，又{}27A xx =-≤≤∣，所以{}|45A B x x =<<I ；【小问2详解】解：因为A B B = ，所以B A ⊆，当B =∅时，则211m m -≤+，解得2m ≤，此时B A ⊆，符合题意，当B ≠∅时，则12112217m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得24m <≤，综上所述4m ≤，所以若A B B = ，m 的取值范围为(]4∞-，.18.已知幂函数()()215m f x m m x+=--，且函数在()0,∞+上单增（1）函数()f x 的解析式；（2）若()()122f a f -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()4f x x =（2）13,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）幂函数()()215m f x m m x+=--，有251m m --=，再由函数在()0,∞+上单调递增，解出m 的值，得函数()f x 的解析式；（2）由函数的奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】()()215m f x m m x +=--为幂函数，则有251m m --=，解得3m =或2m =-，3m =时，()4f x x =，在()0,∞+上单调递增，符合题意；2m =-时，()1f x x -=，在()0,∞+上单调递减，不合题意；所以()4f x x =.【小问2详解】()4f x x =，函数定义域为R ，()()()44f x x x f x -=-==，函数为偶函数，在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，若()()122f a f -<，有2122a -<-<，解得1322a -<<，所以实数a 的取值范围为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.已知函数()2bf x ax x=-，且()11f -=-，()13f =（1）求()f x 解析式；（2）判断并证明函数()f x 在区间()1,+∞的单调性.【答案】（1）()22f x x x=+（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）依题意可得1a b +=-，3a b -=，解方程即可得函数解析式；（2）利用函数单调性的定义法判断即可.【小问1详解】因为()11f -=-，()13f =，所以1a b +=-，3a b -=，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 解析式为：()22f x x x=+.【小问2详解】函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，证明如下：由（1）知()22f x x x=+，取任意1x 、()21,x ∈+∞，令12x x <，则()()()22121212121212222f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⋅⎝⎭因为12x x <，所以120x x -<，又211x x >>，则122x x +>，121x x ⋅>，所以12101x x <<⋅，则12202x x <<⋅，所以1222x x ->-⋅，即121220x x x x +->⋅，所以()()120f x f x -<，即函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增.20.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ，设置为多少？请说明理由.【答案】（1）顾客购得的黄金是大于10g ，理由见详解（2）三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比2λ=,理由见详解【解析】【分析】（1）设天平的左臂长为a ，右臂长b ，则a b ¹，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金x g 放在右盘使之平衡；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金y g 放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x y +（g）利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.（2）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，加上前两次利用基本不等式进行分析即可.【小问1详解】由于天平两臂不等长，设天平左臂长为a ，右臂长为b ，且a b ¹，先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则5,5bx a ay b ==，则55,a b x y b a ==，所以555210a b x y b a +=+≥⨯=当且仅当a bb a=，即a b =时取等号，由a b ¹，所以10x y +>顾客购得的黄金是大于10g【小问2详解】由（1）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金m g 放在右盘使之平衡，则此时有5a bm =，此时有5am b=，所以三次黄金质量总和为：55525()52a b a a b x y m b a b b a ++=++=+≥⨯=当且仅当2a b b a =，即2a b b λ=⇒==所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比22λ=.21.已知命题：“[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式()223200x ax a a ≥-+≠的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}5A m m =>（2）5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或【解析】【分析】（1）分析可知24m x x >-在[]13,x ∈-时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数m 的取值集合A ；（2）分析可知A B ⊆，分a<0、0a >两种情况讨论，求出集合B ，结合A B ⊆可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由[]1,3x ∀∈-，都有不等式240x x m --<成立，得240x x m --<在[]13,x ∈-时恒成立，所以()2max4m x x>-，因为二次函数24y x x =-在[]1,2-上单调递减，在[]2,3上单调递增，且()21145x y=-=-+=，233433x y ==-⨯=-，所以，当[]13,x ∈-时，max 5y =，5m ∴>，所以，{}5A m m =>.【小问2详解】解：由22320x ax a -+≥可得()()20x a x a --≥.①当0a <时，可得{2B x x a =≤或}x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则5a ≤，此时，0a <；②当0a >时，可得{B x x a =≤或}2x a ≥，因为x A ∈是x B ∈的充分条件，则A B ⊆，则25a ≤，解得52a ≤，此时502a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是5002a a a ⎧⎫<<≤⎨⎩⎭或.22.已知函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x ax =-+.（1）当1a =时，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数.且对任意的[)1,m ∈+∞，()221240tf mt m f m m ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的范围.【答案】（1）22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩（2）5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和0x ≥时()f x 的解析式，即可得出0x <时的解析式，进而得出答案；（2）由()f x 的单调性和奇偶性解不等式，通过参变分离、换元法、构造函数求单调性，求得函数的最值，可求实数t 的范围．【小问1详解】函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，1a =，当0x ≥时，2()f x x x =-+．当0x <时，有0x ->，22()()()f x f x x x x x =--=---=+．所以22,(0)(),(0)x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩．【小问2详解】因奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，由2()f x x ax =-+在[)0,∞+上单调递减，故函数()f x 为单调递减函数，由()221240t f mt mf m m⎛⎫-+->⎪⎝⎭，可得()2221124t t f mt mf f m m m m ⎛⎫⎛⎫->--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22124t mt m m m -<-，即221124m t m m m ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，又注意到22211424m m m m ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，结合[)1,m ∈+∞，知120m m +>，得：14(21(2)t m m m m<+-+．令1()2=+g x x x，其中[)1,x ∞∈+，任取121x x ≤<，故2112121212121212111()()222()()2x x g x g x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因121x x ≤<，则120x x -<，121x x >，12120->x x ，故12121()20x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12()()<g x g x ，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，得()()13g x g ≥=．又令12m n m +=，则14(21(2)t m m m m <+-+转化为4t n n <-，其中3n ≥．要使式子成立，需t 小于4n n-的最小值．又注意到函数y x =与函数4y x=-均在[)3,+∞上单调递增，则函数4y x x=-在[)3,+∞上单调递增．故445333n n -≥-=，得53t <，则t 的范围为5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．。
高一(上学期)期中考试数学试卷
高一（上学期）期中考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{,}A x y =，集合{}22,2B x x =，且A B =，则x =_______ 2．已知函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 坐标是___________3．定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(0)f f π+=，则(1)f -=___________．4．方程42log 13x +=的解x =___________．5．若关于x 的方程53=+x a 有负实根，则实数a 的取值范围是___________6．若函数2245y x x =-+的图象按向量a 平移后得到函数22y x =的图象，则向量a 的坐标为________. 7．在如今这个5G 时代，6G 研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps ，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道宽带W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．若不改变宽带W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递率C 会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）8．设a 是实数，若1x =是x a >的一个充分条件，则a 的取值范围是__________.9．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且211a q =+，则该数列的各项和的最小值为__________． 10．已知0,0a b >>，且12223a b +=+，则2a b +的最小值为___________. 11．已知a 为奇数且0a >，则关于x 的不等式21a x x x ≤-的解集为___________． 12．设,x y ∈R ，若|||4||||1|5x x y y +-++-≤，则23x y xy -+的取值范围为___________．二、单选题13．设a 、b 、c 表示三条互不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，则使得“//a b ”成立的一个充分条件为（ ）A ．a c ⊥，b c ⊥B ．//a α，//b αC ．//a α，b αβ=，a β⊂D ．b α⊥，//c α，a c ⊥ 14．设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，那么下列四个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①①①①B ．①①①C ．①①D ．①15．设20202021202120222121,2121a b ++==++，则下列说法中正确的是（ ） A ．a b > B ．11a b > C ．222a b +≥ D ．2b a a b+= 16．设C ={复数}，R ={实数}，M ={纯虚数}，全集U C =，则下列结论中正确的是（ ）A ．⋃=R M CB ．⋂=∅C R M C ．C C R M ⋂=D ．⋃=C C M R C三、解答题17．设全集为R ，已知301x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}223B x a x a =-<<+． (1)若1a =，求A B ⋂；(2)若A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围．18．若不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立． （1）函数1()f x x=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数2()lg ,1a f x M x =∈+求a 的取值范围； （3）设函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a ，证明：函数2()2x f x x M =+∈，并求出对应的0x （结果用a 表示出来）．21．设非空集合{}2|(2)10,A x x b x b b R =++++=∈，求集合A 中所有元素的和．参考答案：1．12【分析】根据A ＝B ，得到两个集合的元素相同，然后根据集合元素的特点建立方程即可．【详解】解：因为集合A ：{x ，y }，B ：{2x ，2x 2}，且A ＝B ，当x ＝2x 时，x ＝0，此时A ＝{0，0}，B ＝{0，0}，不成立，舍去．所以x ＝2x 2，y ＝2x 解得x 12=或x ＝0（舍）． 当x 12=时，A ＝{12，1}，B ＝{1，12}满足条件． 所以A ＝{12，1}． 故答案为：12【点睛】本题主要考查集合相等的应用，集合相等，对应元素完全相同．注意进行检验．2．()1,5【分析】根据指数函数的指数为0，求出函数过定点坐标；【详解】解：因为1()4x f x a -=+，令10x -=，即1x =，所以11(1)45f a -=+=，即函数恒过点()1,5P ； 故答案为：()1,53．π-【分析】利用奇函数的性质有(1)(0)(1)0f f f +=--+，结合已知即可求值.【详解】由题意(0)0f =且()()f x f x -=-，则(1)(0)(1)0f f f π+=--+=，则(1)f π-=-.故答案为：π-.4．4【分析】根据对数的定义可得．【详解】由42log 13x +=得4log 1x =，所以4x =．故答案为：4．5．()3,2--【分析】设方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，得到0051x <<，进而得到031a <+<，即可求解.【详解】设关于x 的方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，可得0051x <<，所以031a <+<，可得32a -<<，即实数a 的取值范围是()3,2--.故答案为：()3,2--.6．(1,3)--【分析】把函数式2245y x x =-+配方后，根据图象变换知可得．【详解】2245y x x =-+22(1)3x =-+，因此把它向左平移1个单位，再下平移3个单位可得22y x =的图象．①(1,3)a =--．故答案为：(1,3)--．【点睛】本题考查函数图象平移，考查向量的概念．属于基础题．7．2.5##52【分析】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ， 再根据题意求21CC ，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.【详解】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ，则由题意可知，122log (111)log 12C W W =+=，222log (1499)log 500C W W =+=， 所以()()()()log log log log lo log g C W C W ⨯⨯===⨯⨯223222222122210525500232123 log log log ...log log log ..+++⨯====≈+++23222232222523523232896252232158358倍. 所以最大信息传递率C 会提升到原来的2.5倍.故答案为：2.58．(),1-∞【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为{}{}1|x x a ⊆>，由子集的定义求解即可.【详解】解：因为1x =是x a >的一个充分条件，则{}{}1|x x a ⊆>，所以1a <，则a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.9．)21 【分析】先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可.【详解】{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，∴{}n a 数列的各项和为()()22111lim lim =11n n n n q q q S q q →+∞→+∞+-+=--，其中()()1,00,1q ∈-， 又11q -<<且0q ≠，012q ∴<-<且10q -≠，()())2211112122=21111q q q q q q ⎡⎤--++⎣⎦∴==-+-≥---，当且仅当211q q-=-，即1q =∴数列{}n a 的各项和的最小值为)21.故答案为：)21 10．8 【分析】根据0,0a b >>，且12223a b +=+，将2a b +转化为()2224a b a b +=++-()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣，利用基本不等式求解. 【详解】因为0,0a b >>，且12223a b +=+， 所以()2224a b a b +=++-，()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣， ()2324244a b a b +⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭,24834⎛ ≥+-= ⎝， 当且仅当()422a b a b+=+,即1,6a b ==时，等号成立， 所以2a b +的最小值为8，故答案为：811．{|1x x ≥或10}2x ≤< 【分析】讨论0x <、102x ≤<、12x >分别求对应解集，最后取并即得结果. 【详解】由题设1(21)02121a a a x x x x x x x ----=≥--，又a 为奇数且0a >，则12,N a k k -=∈， 当0x <时，1210a a x x ---<，210x -<，则021a x x x -<-不满足题设； 当102x ≤<时，021a x x x ≤≤-成立； 当12x >时，不等式等价于1(21)1a x x --≥， 若112x <<时，10,211a x x -<-< ，即1(21)1a x x --<与题设矛盾；若1≥x 时，1,211a x x --≥，满足1(21)1a x x --≥；综上，不等式解集为{|1x x ≥或10}2x ≤<. 故答案为：{|1x x ≥或10}2x ≤< 12．[3,9]-【分析】利用绝对值三角不等式可得|||4||||1|5x x y y +-++-=，即04x ≤≤，01y ≤≤，利用23m x y xy=-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点，讨论3x =或2y =-、3x ≠研究m 的范围即可.【详解】|||4||||4||4|4x x x x x x +-=+-≥+-=，当04x ≤≤时等号成立，|||1||||1||1|1y y y y y y +-=+-≥+-=，当01y ≤≤时等号成立，所以|||4||||1|5x x y y +-++-≥，而|||4||||1|5x x y y +-++-≤，故|||4||||1|5x x y y +-++-=，此时04x ≤≤，01y ≤≤，令23m x y xy =-+中(,)x y ，与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤所表示的区域有公共点，当3x =或2y =-时6m =，而3[0,4]x =∈，故6m =满足；当3x ≠时，由62[0,1]3m y x -=-∈-得：6233m x -≤≤-，而04x ≤≤， 若34x <≤时60m ->，此时23(1)x m x ≤≤-，故69<≤m ；若03x ≤<时60m ->，此时233x m x ≥≥-，故36m -≤<；综上，3m -≤≤9.故答案为：[3,9]-【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式得|||4||||1|5x x y y +-++-=确定x 、y 的范围，再将问题转化为23m x y xy =-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点求m 的范围即可.13．C【分析】由线线垂直的性质可判断A ，由线面平行的性质可判断B ，由线面平行的性质可判断C ，由线面平行垂直的性质可判断D ．【详解】选项A ：当a c ⊥，b c ⊥时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①A 错误，选项B ：当//a α，//b α时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①B 错误，选项C ：由线面平行的性质定理，当//a α，a β⊂，b αβ=时，则//a b ，①C 正确，选项D ：当b α⊥，//c α时，①b c ⊥，①a c ⊥，则//a b 或a 与b 相交或异面，①D 错误故选：C14．C【分析】根据函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为{}02M x x =≤≤，对于①中，函数的定义域不是集合M ，所以不能构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系； 对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，根据函数的定义，集合M 中的元素在集合N 中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C15．A【分析】令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++，判断函数的单调性，即可判断A ，再根据不等式的性质即可判断BC ，再利用基本不等式即可判断D.【详解】解：令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++， 因为121x y +=+在R 上递增，且1210x ++>，所以函数()f x 在在R 上递减，所以()()202020210f f >>，即0a b >>，所以11a b<， 故A 正确，B 错误； 因为2020202120212022212101,012121a b ++<=<<=<++， 所以222a b +<，故C 错误；因为2b a a b +≥， 当且仅当b a a b=，即a b =时，取等号，又a b >， 所以2b a a b +>，故D 错误. 故选：A.16．D【分析】注意复数域的构成，对选项逐一分析，可得结果.【详解】因为对于任意复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，当0b =时z 为实数，当0b ≠时z 为虚数，当0,0a b =≠时z 为纯虚数，所以复数包括实数和虚数，纯虚数是特殊的虚数，所以对于A 项，并集中还少不是纯虚数的虚数，对于B 项，交集应该为R ，对于C 项，结果应该为虚数集，只有D 项是满足条件的，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数域的问题，涉及到的知识点有复数的分类，集合的运算，数域简单题目. 17．(1){|13}x x <≤；(2)3a >.【分析】(1)解分式不等式可得集合A ，并求出A ，由1a =得集合B ，再利用交集的定义直接计算作答.(2)由A B =R 可得A B ⊆，再借助集合的包含关系列式计算作答.(1) 解不等式：301x x ->+，即(3)(1)0x x -+>，解得：1x <-或3x >，则{|1A x x =<-或3}x >， 因全集为R ，于是得{|13}A x x =-≤≤，当1a =时，{|15}B x x =<<， 所以{|13}A B x x ⋂=<≤.(2)由(1)知，{|13}A x x =-≤≤，因A B =R ，因此有：A B ⊆，于是得21233a a -<-⎧⎨+>⎩，解得3a >， 所以实数a 的取值范围是：3a >.18．(]4,0-【分析】本题需要对0m =和0m ≠两种情况分别讨论. 当0m =时结论恒成立; 当0m ≠时，使用二次函数的性质分析求解; 最后综合两种情况的结论即可.【详解】由已知可得，当0m =时，10-<成立;当0m ≠时，要使不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立,则二次函数开口向下, 即0m <,且最大值要小于0, 即和x 轴没有交点, 所以240m m ∆=+<, 解得40m -<<; 综上, m 的取值范围为(]4,0m ∈-.19．（1）20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【解析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x ∈和(16,40]x ∈上的解析式，即可求解； （2）当(0,16]x ∈和(16,40]x ∈时，令()68f x <，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x ∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b =-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++，由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<， 即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟. 20．（1）1()f x M x=∉，答案见解析；（2）3a ⎡∈⎣；（3）证明见解析；01x a =+． 【分析】（1）集合M 中元素的性质，即有()()()0011f x f x f +=+成立，代入函数解析式列出方程，进行求解即可；（2）根据()()()0011f x f x f +=+和对数的运算，求出关于a 的方程，再根据方程有解的条件求出a 的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用()()()0011f x f x f +=+和()22x f x x M =+∈，整理出关于0x 的式子，利用2x y =图象与函数y x=-的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明.【详解】（1）若1(),f x M x=∈在定义域内存在0x ， 则20000111101x x x x =+⇒++=+方程无解，所以1(),f x M x=∉第 11 页 共 11 页 （2）由题意得2()lg 1a f x M x =∈+ 222lg lg +lg (2)22(1)0(+1)112a a a a x ax a x x ∴=⇒-++-=++ 当2a =时，12x =； 当2a ≠时，由0∆≥，得2640a a -+≤，解的)(32,35a ⎡∈+⎣综上，3a ⎡∈⎣； （3）函数2()2,x f x x M =+∈001220000(1)()(1)2(1)23x x f x f x f x x +∴+--=++---00100=22(1)22(1),x x x x -⎡⎤+-=+-⎣⎦又函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a则010202(1)0x a a x -+=⇒+-=，其中01x a =+00(1)()(1),f x f x f ∴+=+即2()2x f x x M =+∈．【点睛】此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.21．答案见解析【分析】分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论，当有相等实根时，直接求解，当有不相等实根时由根与系数关系求解.【详解】当0b =时，解得121x x ==-，{1}A =-，所以A 中所有元素之和为1-，当0b ≠时，22(2)4(1)0b b b ∆=+-+=>，方程2(2)10x b x b ++++=有两个不等的实根，由根与系数的关系知12(2)x x b +=-+，即A 中所有元素之和为2b --，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，分类讨论的思想，集合的描述法，属于中档题.。
2023-2024学年山东省实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1．集合A ＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{0，2，4}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0，2}B ．{﹣1，1，3，4}C ．{﹣1，0，2，4}D ．{﹣1，0，1，2，3，4}2．命题“∀x ∈R 都有x 2+x +1＞0”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，x 2+x +1＞0B ．存在x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0C ．存在x 0∈R ，x 02+x 0+1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 2+x +1≤03．下列图象中，以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，N ＝{x |0≤x ≤1}为值域的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．4．“x ＞12”是“1x＜2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数f （2x +1）＝3x +2，则f （3）的值等于（ ） A ．11B ．2C ．5D ．﹣16．函数f(x)=√3+2x −x 2的单调递增区间是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[1，+∞）C ．[1，3]D ．[﹣1，1]7．已知实数a ≠0，函数f(x)={2x +a ，x ＜1−x −2a ，x ≥1，若f （1﹣a ）＝f （1+2a ），则a 的值为（ ）A ．1B ．−12C ．﹣1D ．28．已知函数y =√ax 2+bx +c 的定义域与值域均为[0，1]，则实数a 的取值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．1D ．11二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9．若a ＞b ＞0＞c 则以下结论正确的是（ ） A ．ca＞cbB ．ac 2＞bc 2C ．a ﹣b ＞b ﹣cD ．b+ca+c＞ba10．设正实数a 、b 满足a +b ＝1，则（ ） A ．√ab 有最大值12B ．1a+2b+12a+b有最小值3C ．a 2+b 2有最小值12D ．√a +√b 有最大值√211．若定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +2）为奇函数，且对任意x 1，x 2∈[2，+∞），x 1≠x 2已知[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立，则下列正确的是（ ） A ．f （x ）的图像关于点（﹣2，0）对称B ．f （x ）在R 上是增函数C ．f （x ）+f （4﹣x ）＝4D ．关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为（﹣∞，2）12．设函数y ＝f （x ）的定义域为R ，对于任意给定的正数p ，定义函数f p (x)={f(x)，f(x)≤p p ，f(x)＞p，则称f p（x ）为f （x ）的“p 界函数”．若函数f （x ）＝x 2﹣2x +1，则下列结论正确的是（ ） A ．f 4（2）＝4B ．f 4（x ）的值域为[0，4]C ．f 4（x ）在[﹣1.1]上单调递减D ．函数y ＝f 4（x +1）为偶函数三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知集合M ＝{﹣1，m +2，m 2+4}，且5∈M ，则m 的值为 ． 14．函数f(x)=√1−x2x+1的定义域为 ． 15．函数f(x)={(a −5)x −2，x ≥2x 2−2(a +1)x +3a ，x ＜2是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为 ．16．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，满足：x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＞0，若f（2）＝4，则不等式f(x)−8x＞0的解集为．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}．（1）m＝3时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）x m+1，且函数在（0，+∞）上单调递增．（1）函数f（x）的解析式；（2）若f（1﹣2a）＜f（2），求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=ax2−bx，且f（﹣1）＝﹣1，f（1）＝3．（1）求f（x）解析式；（2）判断并证明函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性．20．（12分）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ．一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？（2）如果售货员又将5g的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少？请说明理由．21．（12分）已知命题：“∀x∈[﹣1，3]，都有不等式x2﹣4x﹣m＜0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合A；（2）设不等式x2﹣3ax+2a2≥0（a≠0）的解集为B，若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝﹣x2+ax．（1）当a＝1时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为R上的单调函数．且对任意的m∈[1，+∞），f(2mt−4m2)+f(tm−1m2)＞0恒成立，求实数t的范围．2023-2024学年山东省实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1．集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{0，2，4}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，2}B．{﹣1，1，3，4}C．{﹣1，0，2，4}D．{﹣1，0，1，2，3，4}解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{0，2，4}，则A∩B＝{0，2}，A∪B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，∴阴影部分表示集合为{﹣1，1，3，4}．故选：B．2．命题“∀x∈R都有x2+x+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+x+1＞0B．存在x0∈R，x02+x0+1≤0C．存在x0∈R，x02+x0+1＞0D．对任意的x∈R，x2+x+1≤0解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈R，x02+x0+1≤0．故选：B．3．下列图象中，以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{x|0≤x≤1}为值域的函数是（）A．B．C．D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，该函数的定义域为M＝{x|0≤x≤1}，值域不是N＝{x|0≤x≤1}，不符合题意；对于B ，该函数的定义域不是M ＝{x |0≤x ≤1}，值域是N ＝{x |0≤x ≤1}，不符合题意； 对于C ，该函数的定义域为M ＝{x |0≤x ≤1}，值域为N ＝{x |0≤x ≤1}，符合题意； 对于D ，该函数的图象中存在一个x 对应两个y 的情形，不符合函数的定义，不符合题意． 故选：C ．4．“x ＞12”是“1x＜2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当x ＞12时1x＜2成立，1x＜2时如1x=−1＜2，则x ＝﹣1＜12， 因此只能是充分不必要条件， 故选：A ．5．已知函数f （2x +1）＝3x +2，则f （3）的值等于（ ） A ．11B ．2C ．5D ．﹣1解：因为f （2x +1）＝3x +2， 令2x +1＝3可得x ＝1， 则f （3）＝3+2＝5． 故选：C ．6．函数f(x)=√3+2x −x 2的单调递增区间是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[1，+∞）C ．[1，3]D ．[﹣1，1]解：设z ＝3+2x ﹣x 2，则y =√z ， 由3+2x ﹣x 2≥0，解得﹣1≤x ≤3，由于z ＝3+2x ﹣x 2在[﹣1，1]递增，在[1，3]递减， 又y =√z 在z ∈[0，+∞）递增，可得f(x)=√3+2x −x 2的单调递增区间为[﹣1，1]． 故选：D ．7．已知实数a ≠0，函数f(x)={2x +a ，x ＜1−x −2a ，x ≥1，若f （1﹣a ）＝f （1+2a ），则a 的值为（ ）A ．1B ．−12C ．﹣1D ．2解：当a ＞0时，1﹣a ＜1，1+2a ＞1， f （1﹣a ）＝f （1+2a ），则2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+2a ）﹣2a ，解得a ＝﹣1，不符合a ＞0，舍去， 当a ＜0时，1﹣a ＞1，1+2a ＜1， f （1﹣a ）＝f （1+2a ），则﹣（1﹣a ）﹣2a ＝2（1+2a ）+a ，解得a =−12， 综上所述，a 的值为−12． 故选：B ．8．已知函数y =√ax 2+bx +c 的定义域与值域均为[0，1]，则实数a 的取值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．1D ．11解：依题意，y ＝ax 2+bx +c 的值域为[0，1]，且ax 2+bx +c ≥0 的解集为[0，1]，故函数的开口向下，a ＜0，则方程ax 2+bx +c ＝0 的两根为x ＝0或1，则c ＝0，−b2a =0+12， 即a ＝﹣b ，则y =ax 2+bx +c =ax 2−ax =a(x −12)2−a 4，当x =12 时，y =a(x −12)2−a4取得最大值为1，即−a 4=1，解得a ＝﹣4． 故选：A ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9．若a ＞b ＞0＞c 则以下结论正确的是（ ） A ．ca＞c bB ．ac 2＞bc 2C ．a ﹣b ＞b ﹣cD ．b+ca+c＞ba解：对于A ，因为a ＞b ＞0，所以1a＜1b，又因为c ＜0，所以ca＞cb，故A 正确；对于B ，因为a ＞b ＞0＞c ，则有c 2＞0，所以ac 2＞bc 2，故B 正确；对于C ，因为a ＞b ＞0＞c ，若a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，则a ﹣b ＝2﹣1＝1，b ﹣c ＝1﹣（﹣1）＝2，此时a ﹣b ＜b ﹣c ，故C 错误；对于D ，因为a ＞b ＞0＞c ，若a ＝2，b ＝1，c ＝﹣1，则b+c a+c=1−12−1=0，b a=12，此时b+ca+c＜ba，故D 错误．故选：AB ．10．设正实数a 、b 满足a +b ＝1，则（ ） A ．√ab 有最大值12B ．1a+2b+12a+b有最小值3C ．a 2+b 2有最小值12D ．√a +√b 有最大值√2解：因为正实数a 、b 满足a +b ＝1． 对于A 选项，由基本不等式可得√ab ≤a+b 2=12，当且仅当a =b =12时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，由基本不等式可得1a+2b+12a+b=13(3a +3b)(1a+2b+12a+b)，=13[(a +2b)+(2a +b)](1a+2b +12a+b )=13(2+2a+b a+2b +a+2b 2a+b )≥13(2+2√a+2b 2a+b ⋅2a+b a+2b )=43， 当且仅当a =b =12时，等号成立，B 选项错误；对于C 选项，a 2+b 2=(a +b)2−2ab ≥(a +b)2−2×(a+b 2)2=(a+b)22=12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，C 选项正确；对于D 选项，∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ≤2(a +b)=2，则√a +√b ≤√2， 当且仅当a =b =12时，等号成立，D 选项正确． 故选：ACD ．11．若定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +2）为奇函数，且对任意x 1，x 2∈[2，+∞），x 1≠x 2已知[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立，则下列正确的是（ ） A ．f （x ）的图像关于点（﹣2，0）对称B ．f （x ）在R 上是增函数C ．f （x ）+f （4﹣x ）＝4D ．关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为（﹣∞，2） 解：∵定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +2）为奇函数， ∴f （0+2）＝f （2）＝0①，f （﹣x +2）+f （x +2）＝0，② ∴f （x ）的图像关于点（2，0）对称③，故A 错误；对任意x 1，x 2∈[2，+∞），x 1≠x 2已知[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立⇒f （x ）在[2，+∞）上是增函数，∴f （x ）在R 上是增函数④，故B 正确；在②中，令2﹣x 替换x ，得f （x ）+f （4﹣x ）＝0，故C 错误； 由①④得关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为（﹣∞，2），故D 正确． 故选：BD ．12．设函数y＝f（x）的定义域为R，对于任意给定的正数p，定义函数f p(x)={f(x)，f(x)≤pp，f(x)＞p，则称f p（x）为f（x）的“p界函数”．若函数f（x）＝x2﹣2x+1，则下列结论正确的是（）A．f4（2）＝4B．f4（x）的值域为[0，4]C．f4（x）在[﹣1.1]上单调递减D．函数y＝f4（x+1）为偶函数解：根据题意，由x2﹣2x+1≤4，解得﹣1≤x≤3，∴f4（x）={x2−2x+1，−1≤x≤3 4，x＜−14，x＞3，所以f4(2)=22−2×2+1=1，故A错误；当﹣1≤x≤3时，f4（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，且f4（x）在[﹣1，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，f4（1）＝0，f4（﹣1）＝f4（3）＝4，所以0≤f4（x）≤4，即f4（x）的值域为[0，4]，故B、C正确；因为y＝f4（x+1）={x2−2x+1，−1≤x≤34，x＜−14，x＞3，则y＝f4（x+1）的图象如下所示：由图可知y＝f4（x+1）的图象关于y轴对称，所以函数y＝f4（x+1）为偶函数，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知集合M＝{﹣1，m+2，m2+4}，且5∈M，则m的值为±1或3．解：集合M＝{﹣1，m+2，m2+4}，且5∈M，当m+2＝5，∴m＝3，满足题意；当m2+4＝5，∴m＝±1，满足题意．故答案为：﹣1，1，3．14．函数f(x)=√1−x 2x+1的定义域为 (−12，1] ．解：对于函数f(x)=√1−x 2x+1，则{1−x 2x+1≥02x +1≠0等价于{(1−x)(2x +1)≥02x +1≠0，解得−12＜x ≤1，所以函数f(x)=√1−x 2x+1的定义域为(−12，1]． 故答案为：(−12，1]．15．函数f(x)={(a −5)x −2，x ≥2x 2−2(a +1)x +3a ，x ＜2是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为 [1，4] ．解：根据题意，函数f(x)={(a −5)x −2，x ≥2x 2−2(a +1)x +3a ，x ＜2是R 上的单调减函数，则有{a −5＜0a +1≥24−4(a +1)+3a ≥2(a −5)−2，解可得1≤a ≤4，即a 的取值范围为[1，4]．故答案为：[1，4]．16．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，满足：x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＞0，若f （2）＝4，则不等式f(x)−8x ＞0的解集为 （﹣2，0）∪（2，+∞） ． 解：令g （x ）＝xf （x ），∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴g （x ）＝xf （x ）是定义在R 上的偶函数， 又对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，满足：x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＞0，∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增，又f （2）＝4， ∴g （2）＝2f （2）＝8， ∴f(x)−8x ＞0可化为：xf(x)−8x=g(x)−g(2)x＞0，当x ＞0时，g （x ）＞g （2）⇒x ＞2； 当x ＜0时，g （x ）＜g （﹣2）⇒﹣2＜x ＜0；综上，不等式f(x)−8x ＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤7}，B ＝{x |m +1＜x ＜2m ﹣1}． （1）m ＝3时，求A ∩B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）m ＝3时，集合A ＝{x |﹣2≤x ≤7}，B ＝{x |4＜x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x |4＜x ＜5}； （2）若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，当B ＝∅时，m +1≥2m ﹣1，解得m ≤2， 当B ≠∅时，{m +1＜2m −1m +1≥−22m −1≤7，解得2＜x ≤4．综上，实数m 的取值范围是（﹣∞，4]．18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣5）x m +1，且函数在（0，+∞）上单调递增． （1）函数f （x ）的解析式；（2）若f （1﹣2a ）＜f （2），求实数a 的取值范围． 解：（1）函数f （x ）为幂函数， 则m 2﹣m ﹣5＝1，解得m ＝﹣2或3，当m ＝﹣2时，f （x ）＝x ﹣1，函数在（0，+∞）上单调递减，不符合题意，舍去，当m ＝3时，f （x ）＝x 4，函数在（0，+∞）上单调递增，符合题意， 综上所述，f （x ）＝x 4，（2）f （x ）＝x 4，函数定义域为R ， 在（0，+∞）上单调递增，f （1﹣2a ）＜f （2），函数f （x ）为偶函数， 则f （|1﹣2a |）＜f （2）， 故|1﹣2a |＜2，解得−12＜a ＜32， 故实数a 的取值范围为（−12，32）．19．（12分）已知函数f(x)=ax 2−b x，且f （﹣1）＝﹣1，f （1）＝3． （1）求f （x ）解析式；（2）判断并证明函数f （x ）在区间（1，+∞）的单调性．解：（1）根据题意，函数f(x)=ax 2−b x，且f （﹣1）＝﹣1，f （1）＝3， 则有{a +b =−1a −b =3，解可得a ＝1，b ＝﹣2，则f （x ）＝x 2+2x ；（2）f （x ）在区间（1，+∞）上递增，证明：设1＜x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＝（x 12+2x 1）﹣（x 22+2x 2）＝（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）， 由于1＜x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2＞2，x 1x 2＞1，2x 1x 2＜2， 则有f （x 1）﹣f （x 2）＜0，故f （x ）在区间（1，+∞）上递增．20．（12分）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为λ．一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，（1）试分析顾客购得的黄金是小于10g ，等于10g ，还是大于10g ？为什么？（2）如果售货员又将5g 的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少？请说明理由． 解：（1）由于天平两臂不等长，设天平左臂长为a ，右臂长为b ，且a ≠b ，先称得黄金为xg ，后称得黄金为yg ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，则x =5a b ，y =5b a ，所以x +y =5a b +5b a ≥2√5a b ⋅5b a =10， 当且仅当5a b =5b a ，即a ＝b 时取等号，由a ≠b ，所以x +y ＞10，顾客购得的黄金是大于10g ；（2）由（1）再一次将5g 的砝码放在天平左盘，再取黄金mg 放在右盘使之平衡，则此时有5a ＝bm ，此时有m =5a b ， 所以三次黄金质量总和为：x +y +m =5a b +5b a +5a b =10a b +5b a ≥2√10a b ⋅5b a =10√2，当且仅当10a b =5b a ，即b =√2a 时取等号， ∴a b =√22=λ，所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比λ=√22．21．（12分）已知命题：“∀x ∈[﹣1，3]，都有不等式x 2﹣4x ﹣m ＜0成立”是真命题．（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设不等式x 2﹣3ax +2a 2≥0（a ≠0）的解集为B ，若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）由∀x ∈[﹣1，3]，都有不等式x 2﹣4x ﹣m ＜0成立，得x 2﹣4x ﹣m ＜0在x ∈[﹣1，3]时恒成立，所以m ＞（x 2﹣4x ）max ，因为二次函数y ＝x 2﹣4x 在[﹣1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，且f （﹣1）＝5，f （3）＝﹣3，当x ∈[﹣1，3]时，y max ＝5，可得m ＞5，所以A ＝{m |m ＞5}．（2）由x 2﹣3ax +2a 2≥0可得（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0．①当a ＜0时，可得B ＝{x |x ≤2a 或x ≥a }，因为x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B ，则a ≤5，此时，a ＜0；②当a ＞0时，可得B ＝{x |x ≤a 或x ≥2a }，因为x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则A ⊆B ，则2a ≤5，解得a ≤52，此时0＜a ≤52．综上所述，实数a 的取值范围是{a|a ＜0或0＜a ≤52}．22．（12分）已知函数f （x ）是定义域在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝﹣x 2+ax ．（1）当a ＝1时，求函数f （x ）的解析式；（2）若函数f （x ）为R 上的单调函数．且对任意的m ∈[1，+∞），f(2mt −4m 2)+f(t m −1m 2)＞0恒成立，求实数t 的范围．解：（1）当a ＝1时，当x ≥0时，f （x ）＝﹣x 2+x ，设x ＜0，则﹣x ＞0，所以f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（﹣x 2﹣x ）＝x 2+x ，所以f （x ）={−x 2+x ，(x ≥0)x 2+x ，(x ＜0)． （2）因为函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）在关于原点对称的区间上有相同的单调性，①当函数f （x ）单调递减时，f （x ）＝﹣x 2+ax 在[0，+∞）上单调递减，又函数f （x ）的对称轴为x =a 2，所以a 2≤0，即a ≤0，因为函数f（x）为奇函数，所以f（2mt﹣4m2）+f（tm −1m2）＞0，所以f（2mt﹣4m2）＞﹣f（tm−1m2）＝f（−tm+1m2），又当a≤0时，函数f（x）单调递减，所以2mt﹣4m2＜−tm+1m2，所以（2m+1m）t＜4m2+1m2=（2m+1m）2﹣4，又m≥1，所以2m+1m＞0，所以t＜（2m+1m）−4(2m+1m)，令g（x）＝2x+1x，x≥1，任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，所以g（x1）﹣g（x2）＝2x1+1x1−2x2−1x2=2（x1﹣x2）+x2−x1x1x2＝（x1﹣x2）（2−1x1x2），因为x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞），所以x1﹣x2＜0，2−1x1x2＞0，所以（x1﹣x2）（2−1x1x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝3，又令2m+1m=n，则t＜（2m+1m）−4(2m+1m)，转化为t＜n−4n，其中n≥3，所以只需t＜（n−4n）min，又注意到函数y＝x与函数y=−4x在[3，+∞）上单调递增，则函数y＝x−4x在[3，+∞）上单调递增，所以n −4n ≥3−43=53，所以t ＜53，所以t 的取值范围为（﹣∞，53）， ②当函数f （x ）单调递增时，f （x ）＝﹣x 2+ax 在[0，+∞）上单调递增， 又函数f （x ）的对称轴为x =a 2， 所以a 2＞0，即a ＞0， 因为函数f （x ）为奇函数，所以f （2mt ﹣4m 2）+f （t m −1m 2）＞0， 所以f （2mt ﹣4m 2）＞﹣f （t m −1m 2）＝f （−t m +1m 2）， 又当a ＞0时，函数f （x ）单调递增， 所以2mt ﹣4m 2＞−t m +1m 2， 所以（2m +1m ）t ＞4m 2+1m 2=（2m +1m ）2﹣4， 又m ≥1，所以2m +1m＞0， 所以t ＞（2m +1m ）−4(2m+1m )， 令g （x ）＝2x +1x ，x ≥1，任取x 1，x 2∈[1，+∞），且x 1＜x 2，所以g （x 1）﹣g （x 2）＝2x 1+1x 1−2x 2−1x 2=2（x 1﹣x 2）+x 2−x1x 1x 2 ＝（x 1﹣x 2）（2−1x 1x 2）， 因为x 1＜x 2，x 1，x 2∈[1，+∞）， 所以x 1﹣x 2＜0，2−1x 1x 2＞0， 所以（x 1﹣x 2）（2−1x 1x 2）＜0， 即g （x 1）＜g （x 2），所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，所以g （x ）≥g （1）＝3， 又令2m +1m =n ，则t ＞（2m +1m ）−4(2m+1m )，转化为t ＞n −4n，其中n ≥3， 所以只需t ＞（n −4n ）max ，但是n −4n 无最大值，无解，综上所述，t 的取值范围为（﹣∞，53）．。
2023-2024学年山东省济南市历城一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省济南市历城一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合S ＝{s |s ＝2n +1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n +1，n ∈Z }，则S ∩T ＝（ ） A ．∅B ．SC ．TD ．Z2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．命题p ：ax 2+2x +1＝0有实数根，若¬p 是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＜1 B ．a ≤1C ．a ＞1D ．a ≥14．若规定|abcd|=ad −bc ，则不等式0＜|1x x 3|＜2的解是（ ）A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x|−√3＜x ＜√3}C ．{x|1＜x ＜√3}D ．{x|−√3＜x ＜−1或1＜x ＜√3}5．在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x ．已知该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 的函数关系是（ ） A ．y ＝m （1﹣x ）2B ．y ＝m （1+x ）2C ．y ＝2m （1﹣x ）D ．y ＝2m （1+x ）6．已知a ＝log 72，b ＝log 0.70.2，c ＝0.70.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜c ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b7．某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）（ ） A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．20298．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＜0，且f （2）＝4，则不等式f （x ）−8x ＞0的解集为（ ） A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（0，4）D ．（4，+∞）二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2022-2023学年安徽省淮北市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
当 时， 且 单调递减，故在定义域内 不是减函数，A错误；
若函数 的值域为 ，当 时， ，
由于 可取遍所有的正数，故函数值域为 ，符合题意；
当 时， 需满足 ，解得 ，
综上可得实数 的取值范围是 ，B正确；
函数 为幂函数，则 ，
解得 或 ，
当 时， 在 上为减函数，当 时， 在 上为增函数，
【详解】解：函数 是定义在R上的偶函数，所以 ，又当 时
所以当 时， ，故D错误；
当 时， ，所以 在 单调递增， 单调单调递减，所以 ，由于偶函数关于 轴对称，所以 在 单调递增， 单调单调递减，所以 ， 的最大值为1，故A正确，B正确；
当 时，， ，解得 ，当 时， ，解得 ，所以 的解集为 ，故C正确.
故 .
故选：A
【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.
6.“ ”是“ ”的
A 充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】若 ，当 时，有 ，必要性不成立，
若 时，则 ，充分性成立，
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
7.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为 ，其中O表示鱼的耗氧量的单位数若一条鱼的游速是 ，则这条鱼的耗氧量是（）个单位.
A.2400B.2700C.6400D.8100
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入函数解析式，利用指数式与对数式的互化即可求解.
对于B，函数 在 上是减函数，故B不符题意；
2023-2024学年山东省泰安市英雄山中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市英雄山中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．命题“∀x ＜0，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是（ ）A ．∃x ＜0，x 3﹣x 2+1≥0B ．∃x ＜0，x 3﹣x 2+1＞0C ．∃x ≥0，x 3﹣x 2+1≤0D ．∀x ≥0，x 3﹣x 2+1＞02．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |3x ＜1}，则A ∩B ＝（ ）A ．[﹣1，0）B ．[﹣1，0]C ．（﹣1，1）D ．[0，1）3．设集合M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．y ＝（12）xB ．y =1xC ．y ＝﹣x 3D ．y ＝x 25．函数f （x ）=2x +2−x x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若奇函数f （x ）在[1，3]上是增函数，且有最小值7，则它在[﹣3，﹣1]上（ ）A ．是减函数，有最小值﹣7B ．是增函数，有最小值﹣7C ．是减函数，有最大值﹣7D ．是增函数，有最大值﹣77．已知幂函数f(x)=mx m−12满足条件f （3﹣a ）＞f （a ），则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，1）B ．[0，32)C ．[0，32]D ．[0，3]8．若函数f(x)={(5a −4)x +7a −3，(x ＜1)(2a −1)x ，(x ≥1)在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．[35，45)B ．[35，1]C ．(35，45)D ．(12，45)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2023-2024学年山东省济宁市邹城市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省济宁市邹城市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣1，0，1}，集合B ＝{0，1，2}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．{﹣2}B ．{0，1}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．命题p ：∃x 0＞0，2x 0＜1，则命题p 的否定是（ ） A ．∃x 0＞0，2x 0≥1 B ．∃x 0≤0，2x 0≥1 C ．∀x ＞0，2x ≥1D ．∀x ≤0，2x ≥13．下列函数是幂函数且在（﹣∞，0）是增函数的是（ ） A ．y =1xB ．y ＝x 3+1C ．y ＝x ﹣2D ．y =√|x|4．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣dC ．若a ＞b ，c ＞d ，则ad＞b cD ．若ab ＜0，bc ﹣ad ＞0，则ca＜db5．已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+x ，则x ＞0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．f （x ）＝﹣x 2+x B ．f （x ）＝﹣x 2﹣x C ．f （x ）＝x 2﹣x D ．f （x ）＝x 2+x6．若x ＞﹣3，则2x +8x+3的最小值为（ ） A ．8B ．4C ．2D ．07．若函数f （x ）={x 2−2ax +1，x ＞1ax ，x ≤1在其定义域内是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．(0，23]C ．[0，1]D ．[0，23]8．设函数f(x)=x +1x，若不等式f （mx ）＜2mf （x ）对任意的x ∈[1，+∞）恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−√33)B ．(√33，+∞)C ．(−√33，0)D ．(0，√33)二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ） A ．f(x)=√x 2，g （x ）＝|x |B ．f(x)=x 2x ，g(x)=xC ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0D ．f （x ）＝x 2﹣2x ，g （t ）＝t 2﹣2t10．下列四个结论中，正确的结论是（ ） A ．“所有平行四边形都是菱形”是全称量词命题B ．已知集合A ，B 均为实数集R 的子集，且B ⊆A ，则（∁R A ）∪B ＝RC ．∀x ∈R ，有x 2﹣mx +1≥0，则实数m 的取值范围是[﹣2，2]D ．“1＜x ＜3”是“0≤x ≤4”的充分不必要条件 11．若函数f(x)=|x|−2x 2−4+1，定义域为D ，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于y 轴对称B ．∃x ∈D ，使f(x)=54C ．f （x ）在[0，2）和（2，+∞）上单调递减D ．f （x ）的值域为(0，32]12．已知a ，b ，c ∈R ，且a ﹣b ﹣c ＝0，若方程ax 2+2bx +2c ＝0（a ≠0）的两个实数根是x 1，x 2，则2|x 1−1|+2|x 2−1|的值可以是（ ）A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．9三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；其中，多空题第1空3分，第2空2分.） 13．已知集合A ＝{x |0＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为 ． 14．函数f （x ）的定义域为[3，+∞），函数g(x)=f(x +1)+1x−4的定义域为 ． 15．已知x ＞0，y ＞0，且3x +1y=2，则xy 的最小值是 ．16．已知“取整数”函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．当x ∈（﹣0.5，1]时，函数f （x ）＝[x ]的解析式为 ；定义：尾数函数y ＝x ﹣[x ]＝{x }，x ∈R ，那么，尾数函数y ＝{x }（x ∈R ）的值域为 ．四、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知集合M ＝{x |x 2﹣2x ≤8}，N ＝{x |﹣a +1≤x ≤2a +1}． （1）若a ＝2，求M ∩（∁R N ）；（2）若M ∪N ＝M ，试求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知关于x 的不等式4−x x+2＞1，其解集为A ．（1）求该不等式的解集A ；（2）对∀x ∈A ，不等式2x 2﹣ax ﹣12≤0恒成立，试求实数a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=x 2+ax1+x 2是定义在R 上的偶函数． （1）求实数a 的值；（2）若m ＞0，证明不等式：2[f(√m)]2≥f(m)．20．（12分）已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√33)，设函数g （x ）＝x ﹣f （x ）． （1）求函数f （x ）的解析式、定义域，判断此函数的奇偶性；（2）根据“定义”研究函数g （x ）的单调性，画出g （x ）的大致图象（简图），并求其值域．21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且f （0）＝1． （1）若函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝0，求f （x ）的解析式； （2）若b ＝﹣2，求函数f （x ）在区间[0，2]上的最小值．22．（12分）2023年10月13日，中国花卉人的盛会一CFIC 2023中花大会在无锡隆重开幕，“万物生花•惊艳绽放”，人在花中走，犹如画中游．某企业非常重视花卉苗木产业的培育和发展，决定对企业的某花卉进行一次评估，已知该花卉单棵售价为15元，年销售10万棵．（1）据市场调查，若该花卉单棵售价每提高1元，销售量将相应减少5000棵，要使销售的总收入不低于原收入，问：该花卉单棵售价最多定为多少元？（2）为了扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业计划对该花卉进行种植技术革新和营销策略改革，预计在2024年投入x （1≤x ≤30）万元作为技改费和宣传费用，单棵花卉的售价定为x +15元，预估单棵种植成本为5+1x+1元，销售量G （x ）的函数关系近似为G （x ）=120x+104x 2+11x+9万棵，另外每年需额外支出固定成本0.8万元，试问：投入多少万元技改费和宣传费能获得最高利润，此时利润是多少万元？（利润＝销售额﹣成本﹣技改费和宣传费）2023-2024学年山东省济宁市邹城市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣1，0，1}，集合B ＝{0，1，2}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．{﹣2}B ．{0，1}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}解：∵U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{0，1，2}， ∴A ∩B ＝{0，1}，∴∁U （A ∩B ）＝{﹣2，﹣1，2}． 故选：C ．2．命题p ：∃x 0＞0，2x 0＜1，则命题p 的否定是（ ） A ．∃x 0＞0，2x 0≥1 B ．∃x 0≤0，2x 0≥1 C ．∀x ＞0，2x ≥1D ．∀x ≤0，2x ≥1解：根据特称命题的否定是全称命题，可知命题p 的否定是：∀x ＞0，2x ≥1．选项C 正确． 故选：C ．3．下列函数是幂函数且在（﹣∞，0）是增函数的是（ ） A ．y =1xB ．y ＝x 3+1C ．y ＝x ﹣2D ．y =√|x|解：对于A ，y =1x 在（﹣∞，0）上单调递减，故A 错误； 对于B ，y ＝x 3+1不为幂函数，故B 错误；对于C ，y ＝x ﹣2，满足函数是幂函数且在（﹣∞，0）是增函数，故C 正确；对于D ，y =√|x|不为幂函数，故D 错误． 故选：C ．4．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣dC ．若a ＞b ，c ＞d ，则ad＞b cD ．若ab ＜0，bc ﹣ad ＞0，则ca＜db解：当c ＝0时，选项A 错误；取a ＝1，b ＝0，c ＝1，d ＝0，则a ﹣c ＝b ﹣d ，选项B 错误； 取c ＝0，则bc 无意义，选项C 错误；由bc ﹣ad ＞0，可得bc ＞ad ，又ab ＜0， 则bc ab＜ad ab，即c a＜db，选项D 正确．故选：D ．5．已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+x ，则x ＞0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．f （x ）＝﹣x 2+x B ．f （x ）＝﹣x 2﹣x C ．f （x ）＝x 2﹣xD ．f （x ）＝x 2+x解：因为当x ≤0时，f （x ）＝x 2+x ， 则x ＞0时，﹣x ＜0， 因为f （x ）为奇函数， 则f （﹣x ）＝x 2﹣x ＝﹣f （x ）， 故f （x ）＝﹣x 2+x ． 故选：A ．6．若x ＞﹣3，则2x +8x+3的最小值为（ ） A ．8B ．4C ．2D ．0解：当x ＞﹣3时，x +3＞0，则2x +8x+3=2x +6+8x+3−6≥2√(2x +6)⋅8x+3−6＝2， 当且仅当2x +6=8x+3，即x ＝﹣1时取等号． 故选：C ．7．若函数f （x ）={x 2−2ax +1，x ＞1ax ，x ≤1在其定义域内是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．(0，23]C ．[0，1]D ．[0，23]解：∵函数f （x ）={x 2−2ax +1，x ＞1ax ，x ≤1在其定义域内是一个单调递增函数，∴{a ≤1a ＞01−2a +1≥a ，解得0＜a ≤23．故选：B ．8．设函数f(x)=x +1x，若不等式f （mx ）＜2mf （x ）对任意的x ∈[1，+∞）恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(−∞，−√33)B ．(√33，+∞)C ．(−√33，0)D ．(0，√33)解：f(mx)＜2mf(x)⇒mx +1mx ＜2m(x +1x )， 即m 2x 2+2m 2−1mx＞0在区间[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝m 2x 2+2m 2﹣1，则g （x ）为开口向上且对称轴为y 轴的二次函数， 若m ＜0，此时mx ＜0，而g （x ）不恒为负数， 所以m 2x 2+2m 2−1mx＞0不恒成立，矛盾；若m ＞0，此时mx ＞0，要使得m 2x 2+2m 2−1mx＞0，则g （x ）＞0恒成立，而g （x ）在[1，+∞）单调递增，所以g(x)min =g(1)=3m 2−1， 所以只需满足3m 2﹣1＞0，解得m ＞√33或m ＜−√33（舍）．故选：B ．二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ） A ．f(x)=√x 2，g （x ）＝|x | B ．f(x)=x 2x ，g(x)=xC ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0D ．f （x ）＝x 2﹣2x ，g （t ）＝t 2﹣2t解：对于A ：f （x ）＝|x |，g （x ）＝|x |，定义域相同，解析式相同，故A 正确； 对于B ：f （x ）的定义域是{x |x ≠0}，g （x ）的定义域是R ，故B 错误； 对于C ：f （x ）的定义域是R ，g （x ）的定义域是{x |x ≠0}，故C 错误； 对于D ：f （x ），g （x ）的定义域相同，值域相同，是同一函数，故D 正确． 故选：AD ．10．下列四个结论中，正确的结论是（ ） A ．“所有平行四边形都是菱形”是全称量词命题B ．已知集合A ，B 均为实数集R 的子集，且B ⊆A ，则（∁R A ）∪B ＝RC ．∀x ∈R ，有x 2﹣mx +1≥0，则实数m 的取值范围是[﹣2，2]D ．“1＜x ＜3”是“0≤x ≤4”的充分不必要条件解：“所有平行四边形都是菱形”是全称量词命题，故A 正确；集合A ，B 均为实数集R 的子集，且B ⊆A ，则（∁R A ）∪B ＝∁R A ，故B 错误； ∀x ∈R ，有x 2﹣mx +1≥0，则Δ＝（﹣m ）2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2， 故实数m 的取值范围是[﹣2，2]，故C 正确； [0，4]⫌（1，3），故“1＜x ＜3”是“0≤x ≤4”的充分不必要条件，故D 正确． 故选：ACD ． 11．若函数f(x)=|x|−2x 2−4+1，定义域为D ，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于y 轴对称B ．∃x ∈D ，使f(x)=54C ．f （x ）在[0，2）和（2，+∞）上单调递减D ．f （x ）的值域为(0，32] 解：函数f(x)=|x|−2x 2−4+1，x 2﹣4≠0，即x ≠﹣2，且x ≠2， 可得D ＝{x |x ≠﹣2，且x ≠2}，关于原点对称， f （﹣x ）=|−x|−2(−x)2−4+1＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，即有f （x ）的图象关于y 轴对称，故A 正确；若f （x ）=54，即|x|−2x 2−4=14，化为（|x |﹣2）2＝0，解得x ＝±2，舍去，故B 错误；当x ≥0时，f （x ）=x−2x 2−4+1=1x+2+1在[0，2），[2，+∞）递减，故C 正确；当x ≥0时，f （x ）=1x+2+1∈（1，32]，由偶函数的性质可得f （x ）的值域为（1，32]，故D 错误．故选：AC ．12．已知a ，b ，c ∈R ，且a ﹣b ﹣c ＝0，若方程ax 2+2bx +2c ＝0（a ≠0）的两个实数根是x 1，x 2，则2|x 1−1|+2|x 2−1|的值可以是（ ）A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．9解：由题意可知{x 1+x 2=−2bax 1x 2=2ca，因为a ﹣b ﹣c ＝0，所以b ＝a ﹣c ， 所以2|x 1−1|+2|x 2−1|≥2√4|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|=4√|aa+2c+2b |=4√|aa+2c+2(a−c)|=4√13=4√33， 当且仅当|x 1﹣1|＝|x 2﹣1|时取得等号．故选：BCD ．三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；其中，多空题第1空3分，第2空2分.） 13．已知集合A ＝{x |0＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为 {a |a ≥3} ． 解：集合A ＝{x |0＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}，B ⊆A ， ∴a ≥3，则实数a 的取值范围为{a |a ≥3}． 故答案为：{a |a ≥3}．14．函数f （x ）的定义域为[3，+∞），函数g(x)=f(x +1)+1x−4的定义域为 [2，4）∪（4，+∞） ． 解：因为函数f （x ）的定义域为[3，+∞）， 所以{x +1≥3x −4≠0，解得x ≥2且x ≠4．故答案为：[2，4）∪（4，+∞） 15．已知x ＞0，y ＞0，且3x +1y=2，则xy 的最小值是 3 ．解：因为x ＞0，y ＞0，且3x +1y=2，由基本不等式得2=3x +1y ≥2√3xy ，当且仅当3x=1y=1，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以xy ≥3． 故答案为：3．16．已知“取整数”函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．当x ∈（﹣0.5，1]时，函数f （x ）＝[x ]的解析式为 f （x ）={−1，−0.5＜x ＜00，0≤x ＜11，x =1；定义：尾数函数y ＝x ﹣[x ]＝{x }，x ∈R ，那么，尾数函数y ＝{x }（x ∈R ）的值域为 [0，1） ． 解：根据题意，f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数， 当x ∈（﹣0.5，0）时，可得f （x ）＝﹣1， 当x ∈[0，1）时，可得f （x ）＝0， 当x ＝1时，可得f （x ）＝1．则f （x ）={−1，−0.5＜x ＜00，0≤x ＜11，x =1，对于尾数函数y ＝x ﹣[x ]＝{x }，x ∈R ，由于[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，即实数x 的整数部分， 则{x }的值域为[0，1）．故答案为：f （x ）={−1，−0.5＜x ＜00，0≤x ＜11，x =1；[0，1）．四、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知集合M ＝{x |x 2﹣2x ≤8}，N ＝{x |﹣a +1≤x ≤2a +1}． （1）若a ＝2，求M ∩（∁R N ）；（2）若M ∪N ＝M ，试求实数a 的取值范围． 解：（1）M ＝{x |x 2﹣2x ≤8}＝{x |﹣2≤x ≤4}， 当a ＝2时，N ＝{x |﹣1≤x ≤5}， 所以N ＝{x |x ＜﹣1，或x ＞5}， 所以M ∩（∁R N ）＝{x |﹣2≤x ＜﹣1}； （2）因为M ∪N ＝M ，所以N ⊆M ，①若﹣a +1＞2a +1，即a ＜0时，N ＝∅，符合题意， ②若﹣a +1≤2a +1，即a ≥0时， 满足N ⊆M ，须有{−a +1≥−22a +1≤4，解得0≤a ≤32，综上，所求实数a 的取值范围为（﹣∞，32]．18．（12分）已知关于x 的不等式4−x x+2＞1，其解集为A ．（1）求该不等式的解集A ；（2）对∀x ∈A ，不等式2x 2﹣ax ﹣12≤0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解：（1）不等式4−x x+2＞1等价于1−x x+2＞0，即x−1x+2＜0，解得﹣2＜x ＜1，故所求不等式的解集A ＝{x |﹣2＜x ＜1}． （2）令f （x ）＝2x 2﹣ax ﹣12，对∀x ∈A ＝{x |﹣2＜x ＜1}不等式2x 2﹣ax ﹣12≤0恒成立，所以{f(−2)≤0f(1)≤0，即{2(−2)2−a(−2)−12≤02−a −12≤0，解得﹣10≤a ≤2．所以实数a 的取值范围是[﹣10，2]．19．（12分）已知函数f(x)=x 2+ax1+x 2是定义在R 上的偶函数．（1）求实数a的值；（2）若m＞0，证明不等式：2[f(√m)]2≥f(m)．解：（1）因为f(x)=x2+ax1+x2是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），即(−x)2+a(−x)1+(−x)2=x2+ax1+x2对∀x∈R恒成立，所以（﹣x）2+a（﹣x）＝x2+ax，即2ax＝0对∀x∈R恒成立，所以a＝0．（2）由（1）得f(x)=x21+x2，不等式2[f(√m)]2≥f(m)即为2m2(1+m)2≥m21+m2①，因为m＞0，所以不等式①等价于2(1+m)2≥11+m2②，不等式等价于2（1+m2）≥（1+m）2，因为2（1+m2）﹣（1+m）2＝2+2m2﹣（1+m）2＝（1﹣m）2≥0，所以②成立，故原不等式2[f(√m)]2≥f(m)成立．20．（12分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点(3，√33)，设函数g（x）＝x﹣f（x）．（1）求函数f（x）的解析式、定义域，判断此函数的奇偶性；（2）根据“定义”研究函数g（x）的单调性，画出g（x）的大致图象（简图），并求其值域．解：（1）设幂函数f（x）＝x a．因为函数f（x）＝x a的图象过点(3，√33)，所以3α=√33=3−12；易得α=−12，所以f(x)=x −12．易得函数f （x ）的定义域为x ∈（0，+∞）；显然，函数f （x ）的定义域不是关于原点对称的区间，所以函数f （x ）既不是奇函数也不是偶函数；（2）由（1）知，g(x)=x −x −12=x −1√x ，x ∈（0，+∞）． 设∀x 1，x 2∈（0，+∞），且 x 1＜x 2；则g(x 1)−g(x 2)=(x 1−1√x )−(x 2−1√x )=(x 1−x 2)−(1√x 1√x ) =(x 1−x 2)√x 1√x 2x x=(√x 1−√x 2)(√x 1+√x 2)√x 1√x 2√x √x=(√x 1−√x 2)[(√x 1+√x 2)1x x ]， 因为 x 2＞x 1＞0，所以√x 1−√x 2＜0，√x 1+√x 2＞0，√x x ＞0，所以g （x 1）﹣g （x 2）＜0，即 g （x 1）＜g （x 2），所以函数g （x ）在区间（0，+∞） 上单调递增，函数g （x ）图象如右图所示：易得，函数g （x ）的值域为R ．21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且f （0）＝1．（1）若函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝0，求f （x ）的解析式；（2）若b ＝﹣2，求函数f （x ）在区间[0，2]上的最小值．解：（1）因为二次函数 f （x ）＝ax 2+bx +c ，且f （0）＝1，所以c ＝1，由题意{−b2a =−1a −b +1=0，解得a＝1，b＝2，所以f（x）＝x2+2x+1；（2）因为b＝﹣2，所以二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1，其对称轴为x=1a，x∈[0，2]，①当a＜0时，f（x）的图象是开口向下的抛物线，且在区间[0，2]上单调递减，所以当x＝2 时，f（x）取得最小值，即f（x）min＝f（2）＝4a﹣3；②当0＜1a＜2甲a＞12时，f（x）在区间[0，1a]单调递减，在区间[1a，2]单调递增，所以f(x)min=f(1a)=−1a+1=1−1a；③当1a≥2，即0＜a≤12时，f（x）的图象是开口向上的抛物线，且在区间[0.2]上单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝4a﹣3．综上所述，当a＜0或0＜a≤12时，f（x）min＝4a﹣3；当a＞12时，f(x)min=1−1a．22．（12分）2023年10月13日，中国花卉人的盛会一CFIC2023中花大会在无锡隆重开幕，“万物生花•惊艳绽放”，人在花中走，犹如画中游．某企业非常重视花卉苗木产业的培育和发展，决定对企业的某花卉进行一次评估，已知该花卉单棵售价为15元，年销售10万棵．（1）据市场调查，若该花卉单棵售价每提高1元，销售量将相应减少5000棵，要使销售的总收入不低于原收入，问：该花卉单棵售价最多定为多少元？（2）为了扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业计划对该花卉进行种植技术革新和营销策略改革，预计在2024年投入x（1≤x≤30）万元作为技改费和宣传费用，单棵花卉的售价定为x+15元，预估单棵种植成本为5+1x+1元，销售量G（x）的函数关系近似为G（x）=120x+104x2+11x+9万棵，另外每年需额外支出固定成本0.8万元，试问：投入多少万元技改费和宣传费能获得最高利润，此时利润是多少万元？（利润＝销售额﹣成本﹣技改费和宣传费）解：（1）依题意，设单棵花卉售价为t+15（t＞0）元，则销售量为10﹣0.5t万棵，从而有（t+15）（10﹣0.5t）≥15×10，即 2.5t﹣0.5t2≥0，因为t＞0，所以5﹣t≥0，所以t≤5，即单棵花卉的售价最多为15+5＝20（元）；（2）依题意，设企业的年利润为L（x）万元，则L（x）＝[（x+15）﹣（5+1x+1）]×120x+104x2+11x+9−x﹣0.8，即L(x)=(x+10−1x+1)×120x+104x2+11x+9−x−0.8=x2+11x+9x+1×120x+104x2+11x+9−x−0.8=120(x+1)−16x+1−x−0.8=121−[16x+1+(x+1)]]−0.8．因为1≤x≤30，所以x+1＞0，所以16x+1+(x+1)≥2√16x+1×(x+1)=8，当且仅当16x+1=x+1，即x＝3时取等号，所以L（x）＝121﹣[16x+1+（x+1）]，即L（x）＝L（3）＝112.2（万元），从而当x＝3时，年利润L（x）有最大值112.2万元．所以该企业投入3万元技改费和宣传费时，可获得最高利润112.2万元．。
2023-2024学年江苏省徐州市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}2．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．y ＝x +1，y ＝|x +1|B ．y ＝2x （x ＞0），y ＝2x （x ＜0）C ．y =√x 2，y =(√x)2D ．y =x 3+xx 2+1，y ＝x 4．已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．4√2B ．3+2√2C ．16D ．325．命题p ：“∀x ∈（2，3），3x 2﹣a ＞0”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞27B ．a ≤12C ．a ＜12D ．a ≥276．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则关于x 的不等式bx 2+ax +c ＜0的解集为（ ） A ．{x|−1＜x ＜65} B ．{x|x ＜−1或x ＞65} C ．{x|−23＜x ＜1}D ．{x|x ＜−23或x ＞1}7．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 43＝（ ） A ．a+b−12(b+1)B ．a+b−1b−1 C ．a−b+12(b−1)D ．a−b+1b+18．已知f （x ）＝ax +b （a ＞0），满足f （f （x ））＝x +2，则函数y =x −√f(x)的值域为（ ） A ．[1，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−54，+∞)D ．[0，+∞）二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列图形不可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题是真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ab ＞1B ．若a ＞b ，且1a＞1b，则ab ＞0C ．若a ＞b ＞0，则b+1a+1＞baD ．若1≤a ﹣b ≤2，2≤a +b ≤4，则5≤4a ﹣2b ≤1011．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若ab ＝1，则a +b ≥2B ．若a ＞b ＞0，且1a +1b=1，则a +b 最小值为4C ．若a ＞0，b ＞0，则(a +1a )(b +1b )≥4 D ．若a ＞0，b ＞0且a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为212．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x （1﹣y ），若命题p ：∃x ∈R ，使得（x ﹣a ）⊗（x +a ）＞1，则命题p 成立的充分不必要条件是（ ） A ．{a|a ＜−12或a ＞32} B ．{a|a ≤−12或a ＞32} C ．{a|a ＜−1或a ＞32}D ．{a |a ＞2}三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．命题p ：所有的质数都是奇数，则命题p 的否定是 ．14．已知函数f （x ）对任意实数x 都有f （x ）+2f （﹣x ）＝2x +1，则f （x ）＝ ．15．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x +1（x ∈R ）有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a 的取值范围为 ．16．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365，则一年后“进步”的是“落后”的 倍；大约经过 天后“进步”的分别是“落后”的10倍．（参考数据：lg 101≈2.004，lg 99≈1.996，102.91≈812.831，102.92≈831.764，102.93≈851.138，结果保留整数）四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算：（1）(214)12+(−2.5)0+√6−2√5(23)−2；（2）log 3√27+lg25−3log 32+2lg2． 18．（12分）已知集合A ={x|x−3x+2＜0}，B ＝{x ||x ﹣1|＞2}，C ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＜0}． （1）求集合A ∪B ；（2）若a ＜0且（A ∩B ）⊆C ，求实数a 的取值范围． 19．（12分）已知函数y ＝x 2﹣mx +3．（1）若y ≤﹣4的解集为[2，n ]，求实数m ，n 的值；（2）对于∀x ∈[12，+∞)，不等式y ≥2﹣x 2恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣m ＞0”为真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设集合N ＝{x |3a ＜x ＜a +4}，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分条件，求实数a 的取值范围． 21．（12分）某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件．（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该产品每件售价最多为多少元？ （2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价x （x ≥26）元，并投入334(x −26)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−25)2万件．则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．22．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）只能同时满足下列三个条件中的两个： ①a ＝2；②不等式f （x ）＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；③函数f （x ）的最大值为4． （1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f （x ）的解析式； （2）求关于x 的不等式f （x ）≥（m ﹣1）x 2+2（m ∈R ）的解集．2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}解：由已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝{0，1}． 故选：A ．2．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根， 则Δ＝12﹣4a ≥0，解得a ≤14， 而﹣2∈(−∞，14]，所以“a ＝﹣2”是“关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根”的充分条件， 故选：A ．3．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．y ＝x +1，y ＝|x +1|B ．y ＝2x （x ＞0），y ＝2x （x ＜0）C ．y =√x 2，y =(√x)2D ．y =x 3+xx 2+1，y ＝x 解：y ＝x +1与y ＝|x +1|的对应关系不同，不是同一函数； y ＝2x ，x ＞0与y ＝2x ，x ＜0定义域不同，不是同一函数；y =√x 2的定义域为R ，y ＝（√x ）2的定义域为[0，+∞）不同，不是同一函数； y =x+x 3x 2+1=x 与y ＝x 的定义域都为R ，对应关系相同，是同一函数． 故选：D ．4．已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．4√2B ．3+2√2C ．16D ．32解：在a +2b ＝ab 的两边都除以ab ，整理得2a+1b=1，所以a +b =(2a +1b )(a +b)=3+ab +2ba ≥3+2√ab ⋅2ba =3+2√2，当且仅当a b=2b a时，即a =2+√2，b =√2+1时，a +b 的最小值是3+2√2．故选：B ．5．命题p ：“∀x ∈（2，3），3x 2﹣a ＞0”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞27B ．a ≤12C ．a ＜12D ．a ≥27解：命题p ：“∀x ∈（2，3），3x 2﹣a ＞0”，命题p 是真命题， 当∀x ∈（2，3）时， 则a ＜(3x 2)min ＜3×22， 故a ＜12． 故选：C ．6．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则关于x 的不等式bx 2+ax +c ＜0的解集为（ ） A ．{x|−1＜x ＜65} B ．{x|x ＜−1或x ＞65} C ．{x|−23＜x ＜1}D ．{x|x ＜−23或x ＞1}解：因为不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}， 所以2和3是方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数解，且a ＜0； 由根与系数的关系知，{2+3=−ba 2×3=c a ，所以b ＝﹣5a ，c ＝6a ；所以不等式bx 2+ax +c ＜0可化为﹣5ax 2+ax +6a ＜0， 即5x 2﹣x ﹣6＜0，解得﹣1＜x ＜65， 所求不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜65}． 故选：A ．7．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 43＝（ ） A ．a+b−12(b+1)B ．a+b−1b−1 C ．a−b+12(b−1)D ．a−b+1b+1解：∵a ＝lg 6＝lg 2+lg 3，b ＝lg 20＝1+lg 2， ∴lg 2＝b ﹣1，lg 3＝a ﹣lg 2＝a ﹣（b ﹣1）， ∴log 43=lg3lg4=lg32lg2=a−(b−1)2(b−1)=a−b+12(b−1)． 故选：C ．8．已知f （x ）＝ax +b （a ＞0），满足f （f （x ））＝x +2，则函数y =x −√f(x)的值域为（ ） A ．[1，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−54，+∞)D ．[0，+∞）解：因为f （x ）＝ax +b （a ＞0），满足f （f （x ））＝f （ax +b ）＝a （ax +b ）+b ＝x +2， 所以{a 2=1ab +b =2，解得a ＝1，b ＝1或a ＝﹣1（舍）， 故f （x ）＝x +1，则函数y =x −√f(x)=x −√x +1， 令t =√x +1，则t ≥0，原函数化为y ＝t 2﹣t ﹣1＝（t −12）2−54≥−54． 故选：C ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列图形不可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：对于A ，D ，存在一个x 对应两个y 的情况，故不满足函数的定义，故排除A ，D ， B ，C 均满足函数定义． 故选：AD ．10．下列命题是真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ab ＞1B ．若a ＞b ，且1a＞1b，则ab ＞0C ．若a ＞b ＞0，则b+1a+1＞baD ．若1≤a ﹣b ≤2，2≤a +b ≤4，则5≤4a ﹣2b ≤10解：当a ＝1，b ＝﹣1时，A ，B 显然错误； 若a ＞b ＞0，则b+1a+1−b a=a−b a(a+1)＞0，则b+1a+1＞ba，C 正确；若1≤a ﹣b ≤2，2≤a +b ≤4，则4a ﹣2b ＝3（a ﹣b ）+a +b ∈[5，10]，D 正确．故选：CD ．11．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若ab ＝1，则a +b ≥2B ．若a ＞b ＞0，且1a +1b=1，则a +b 最小值为4C ．若a ＞0，b ＞0，则(a +1a)(b +1b)≥4 D ．若a ＞0，b ＞0且a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2解：对于A ，ab ＝1，可能a ＝b ＝﹣1，此时a +b ≥2不成立，故A 不正确； 对于B ，a +b =(1a +1b )(a +b)=2+ba +ab ≥2+2√b a ⋅ab =4， 由于取等号的条件是ba =a b=1，即a ＝b ，与题设a ＞b ＞0矛盾，故a +b 最小值大于4，故B 不正确；对于C ，a ＞0，b ＞0，由a +1a ≥2√a ⋅1a =2，b +1b ≥2√b ⋅1b =2，两不等式相乘，得(a +1a )(b +1b)≥4，当且仅当a ＝1且b ＝1时，等号成立，故C 正确；对于D ，a ＞0，b ＞0且a +b ＝4，设m ＝a +2，n ＝b +2，则m ＞2，n ＞2，且m +n ＝8，a 2a+2+b 2b+2=(m−2)2m+(n−2)2n =m +4m−4+n +4n−4=(m +n)+4m+4n−8=4m+4n，因为4m+4n=4(m+n)mn=32mn≥32(m+n 2)2=2，当且仅当m ＝n ＝4时，即a ＝b ＝2时，等号成立，所以a 2a+2+b 2b+2的最小值为2，故D 正确．故选：CD ．12．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x （1﹣y ），若命题p ：∃x ∈R ，使得（x ﹣a ）⊗（x +a ）＞1，则命题p 成立的充分不必要条件是（ ） A ．{a|a ＜−12或a ＞32} B ．{a|a ≤−12或a ＞32} C ．{a|a ＜−1或a ＞32}D ．{a |a ＞2}解：根据题意，可得（x ﹣a ）⊗（x +a ）＞1，即（x ﹣a ）[1﹣（x +a ）]＞1，命题p 可化为：∃x ∈R ，使得（x ﹣a ）[1﹣（x +a ）]＞1，即：∃x ∈R ，使﹣x 2+x +a 2﹣a ﹣1＞0成立．化简得：∃x∈R，使x2﹣x﹣a2+a+1＜0成立，故Δ＝1﹣4（﹣a2+a+1）＞0，解得a＜−12或a＞32．综上所述，命题p成立的充要条件是a＜−12或a＞32，因此，命题p成立的充分不必要条件，对应的集合是{a|a＜−12或a＞32}的真子集，对照各个选项，可知C、D两项符合题意．故选：CD．三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．命题p：所有的质数都是奇数，则命题p的否定是存在某个质数不是奇数．解：命题p：所有的质数都是奇数，则命题p的否定是：存在某个质数不是奇数．故答案为：存在某个质数不是奇数．14．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x）+2f（﹣x）＝2x+1，则f（x）＝﹣2x+13．解：因为函数f（x）对任意实数x都有f（x）+2f（﹣x）＝2x+1，所以f（﹣x）+2f（x）＝﹣2x+1，解得f（x）＝﹣2x+1 3．故答案为：﹣2x+1 3．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1（x∈R）有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a的取值范围为（0，1）．解：∵函数f（x）＝ax2﹣2x+1（x∈R）有两个零点，∴a≠0，而且一个大于1另一个小于1，则{a＞0f(1)=a−2+1＜0或{a＜0f(1)=a−2+1＞0，解得：0＜a＜1．∴实数a的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．16．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365，则一年后“进步”的是“落后”的832倍；大约经过125天后“进步”的分别是“落后”的10倍．（参考数据：lg101≈2.004，lg99≈1.996，102.91≈812.831，102.92≈831.764，102.93≈851.138，结果保留整数）解：lg 1.013650.99365lg 1.01365﹣lg 0.99365＝365（lg 1.01﹣lg 0.99）＝365（lg 101﹣lg 99）≈2.92，故1.013650.99365=102.92≈832，设x 天后“进步”的分别是“落后”的10倍，则1.01x 0.99x=10，即lg 1.01x0.99x =lg1.01x −lg0.99x =x(lg1.01−lg0.99)=x(lg101−lg99)=1， 解得x =1lg101−lg99≈125． 故答案为：832；125．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算：（1）(214)12+(−2.5)0+√6−2√5(23)−2；（2）log 3√27+lg25−3log 32+2lg2．解：（1）原式=32+1+√(√5−1)2+94=32+1+√5−1+94=154+√5； （2）原式=log 3332+2lg 5﹣2+2lg 2=32+2（lg 5+lg 2）﹣2=32+2﹣2=32．18．（12分）已知集合A ={x|x−3x+2＜0}，B ＝{x ||x ﹣1|＞2}，C ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＜0}． （1）求集合A ∪B ；（2）若a ＜0且（A ∩B ）⊆C ，求实数a 的取值范围．解：（1）∵集合A ={x|x−3x+2＜0}={x |﹣2＜x ＜3}，B ＝{x ||x ﹣1|＞2}＝{x |x ＞3或x ＜﹣1}， ∴集合A ∪B ＝{x |x ≠3}．（2）由（1）可得A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜﹣1}，若a ＜0，则C ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＜0}＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}＝{x |3a ＜x ＜a }． 由（A ∩B ）⊆C ，可得{3a ≤−2a ≥−1，求得﹣1≤a ≤−23，即实数a 的取值范围为[﹣1，−23]．19．（12分）已知函数y ＝x 2﹣mx +3．（1）若y ≤﹣4的解集为[2，n ]，求实数m ，n 的值；（2）对于∀x ∈[12，+∞)，不等式y ≥2﹣x 2恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）由题意可得x 2﹣mx +3≤﹣4，即x 2﹣mx +7≤0，其解集为[2，n ]， 所以x 1＝2和x 2＝n 是方程x 2﹣mx +7＝0的两根，由韦达定理可得{2+n =m2n =7，解得n =72，m =112；（2）因为对于∀x ∈[12，+∞)，不等式y ≥2﹣x 2恒成立， 即对于∀x ∈[12，+∞)，不等式x 2﹣mx +3≥2﹣x 2恒成立， 即m ≤2x +1x 对于∀x ∈[12，+∞)恒成立， 又因为2x +1x≥2√2x ⋅1x=2√2， 当且仅当2x =1x ，即x =√22∈[12，+∞）时，等号成立，所以m ≤2√2，即实数m 的取值范围为（﹣∞，2√2]．20．（12分）已知命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣m ＞0”为真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设集合N ＝{x |3a ＜x ＜a +4}，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣m ＞0”为真命题，即不等式x 2﹣x ＞m 在R 上恒成立， 因为当x =12时，x 2﹣x 的最小值为−14，所以−14＞m ，即实数m 的取值集合M =(−∞，−14)； （2）若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分条件，则N ⊆M ， 而M =(−∞，−14)，N ＝{x |3a ＜x ＜a +4}，有以下两种情况： ①若3a ≥a +4，则N ＝∅，符合题意，此时a ≥2； ②若N ≠∅，则a ＜2且a +4≤−14，解得a ≤−174． 综上所述，实数a 的取值范围是(−∞，−174]∪[2，+∞）．21．（12分）某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件．（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该产品每件售价最多为多少元？ （2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价x （x ≥26）元，并投入334(x −26)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−25)2万件．则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：（1）该产品每件售价为x 元，则[8﹣（x ﹣25）×0.2]（x ﹣20）≥（25﹣20）×8，解得25≤x ≤60，故产品每件售价最多为60元；（2）设下个月的总利润为W ，则W =(x −20)[8−0.45(x−25)2(x −25)]−334(x −26)=47.8−(x−254+2.25x−25) ≤47.8−2√x−254⋅2.25x−25=46.3， 当且仅当x−254= 2.25x−25，即x ＝28时等号成立，故当每件售价为28时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3．22．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）只能同时满足下列三个条件中的两个： ①a ＝2；②不等式f （x ）＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；③函数f （x ）的最大值为4．（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f （x ）的解析式；（2）求关于x 的不等式f （x ）≥（m ﹣1）x 2+2（m ∈R ）的解集．解：（1）当a ＝2时，不等式f （x ）＞0的解集不能为{x |﹣3＜x ＜1}，且函数f （x ）没有最大值，所以a ＝2不成立，即满足题意的两个条件是②③，由f （x ）＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜1}，可令f （x ）＝a （x +3）（x ﹣1）＝ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）， f （x ）的最大值为4，所以4a×(−3a)−(2a)24a =4，解得a ＝﹣1，所以f （x ）＝﹣x 2﹣2x +3；（2）不等式f （x ）≥（m ﹣1）x 2+2可化为mx 2+2x ﹣1≤0，当m ＝0时，不等式等价于2x ﹣1≤0，解得x ≤12，所以不等式的解集为(−∞，12]；当m ＞0时，对于一元二次方程mx 2+2x ﹣1＝0，由于Δ＝4+4m ＞0，方程有两个不相等的实数根x 1=−1+√m+1m ，x 2=−1−√m+1m ， 不等式的解集为[−1−√m+1m ，−1+√m+1m ]； 当m ＜0时，对于一元二次方程mx 2+2x ﹣1＝0，Δ＝4+4m ，当m ＜﹣1时，Δ＜0，一元二次方程无实数根，所以不等式的解集为R ；当m ＝﹣1时，Δ＝0，一元二次方程有两个相等的实数根，此时不等式的解集也为R ；当﹣1＜m ＜0时，Δ＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根x 1=−1+√m+1m ，x 2=−1−√m+1m，且x 1＜x 2，所以不等式的解集为(−∞，−1+√m+1m ]∪[−1−√m+1m，+∞)，综上，当m＝0时，不等式的解集为(−∞，12 ]；当m＞0时，不等式的解集为[−1−√m+1m，−1+√m+1m]；当m≤﹣1时，不等式的解集为R；当﹣1＜m＜0时，不等式的解集为(−∞，−1+√m+1m]∪[−1−√m+1m，+∞)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016-2017学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={0，1，2}，那么（）A．0⊆A B．0∈A C．{1}∈A D．{0，1，2}⊊A 2．已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]3．下列各图中，可表示函数f（x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．4．函数的定义域为（）A．[﹣1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=x2B．y=log2C．y=﹣x D．y=（）x6．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．4 B．9 C．﹣3 D．﹣27．化简（0.25）﹣2+8﹣lg25﹣2lg2的结果为（）A．18 B．20 C．22 D．248．设函数，集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，x3，x4，x5}⊆N*，设c1≥c2≥c3，则c1﹣c3=（）A．6 B．8 C．2 D．4二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={2，7}，则A∪B=，∁U A．10．已知函数f（x）=a2x2+1，且f（1）=5则a=，函数f（x）在R上的单调递减区间为．11．已知映射f：（x，y）→（x﹣2y，2x+x），则（2，4）→，→（﹣5，3）．12．若a=log23，则2a+2﹣a=．13．如果函数f（x）=﹣x2+bx+c，对称轴为x=2，则f（1）、f（2）、f（4）大小关系是．14．当x＜0时，a x＞1成立，其中a＞0且a≠1，则不等式log a x＞0的解集是．15．已知f（x）=x2+（2+lga）x+lgb，f（﹣1）=﹣2且f（x）≥2x恒成立，求a、b的值．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∩B，A∪B；（2）若集合C={x|a＜x＜2a+6}，A⊆C，求实数a的取值范围．17．已知y=f（x）是二次函数，顶点为（﹣1，﹣4），且与x轴的交点为（1，0）．（1）求出f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在区间[﹣2，2]上的值域．18．设偶函数f（x）的定义域为[﹣4，0）∪（0，4]，若当x∈（0，4]时，f（x）=log2x，（1）求出函数在定义域[﹣4，0）∪（0，4]的解析式；（2）求不等式xf（x）＜0得解集．19．函数f（x）=是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，且f（2）=，（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定义法证明f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上不单调，求实数a的取值范围；（2）记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2．2016-2017学年浙江省温州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={0，1，2}，那么（）A．0⊆A B．0∈A C．{1}∈A D．{0，1，2}⊊A 【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．【分析】通过题设条件与选项，直接判断元素与集合的关系，以及集合与集合的关系即可．【解答】解：因为集合A={0，1，2}，所以0∈A，选项A不正确，选项B正确，选项C是集合与集合之间的关系，错用元素与集合关系，选项D；两个集合相等，所以D错误．故选B．【点评】本题考查集合与集合之间的关系，元素与集合的关系的应用，考查基本知识的掌握情况．2．已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．下列各图中，可表示函数f（x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义和函数图象之间的关系即可得到结论【解答】解：根据函数的定义可知，A，B，C对应的图象不满足y值的唯一性，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查函数的定义和函数图象之间的关系，比较基础．4．函数的定义域为（）A．[﹣1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]【考点】对数函数的定义域．【分析】由即可求得函数的定义域．【解答】解：由题意得：，解得﹣1＜x≤3．故选C．【点评】本题考查对数函数的定义域，关键是理解使函数成立的条件需要同时成立，属于基础题．5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=x2B．y=log2C．y=﹣x D．y=（）x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质分别判断即可得到结论．【解答】解：A．y=x2是偶函数，不满足；B．y=log2是非奇非偶函数，不满足；C．y=﹣x是奇函数，且是减函数，满足条件；D．y=（）x单调递减，为非奇非偶函数．故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．6．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．4 B．9 C．﹣3 D．﹣2【考点】函数的值．【分析】由已知得f（3）=1﹣3=﹣2，从而f（f（3））=f（﹣2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（3）=1﹣3=﹣2，f（f（3））=f（﹣2）=（1+2）2=9．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．化简（0.25）﹣2+8﹣lg25﹣2lg2的结果为（）A．18 B．20 C．22 D．24【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算性质和指数幂的运算性质计算即可【解答】解：原式=0.52×（﹣2）+﹣2lg5﹣2lg2=0.5﹣4+22﹣2（lg5+lg2）=（）﹣4+4﹣2（lg（52））=16+4﹣2lg10=16+4﹣2=18故选：A．【点评】本题考查了对数的运算性质和指数幂的运算性质，属于基础题．8．设函数，集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，x3，x4，x5}⊆N*，设c1≥c2≥c3，则c1﹣c3=（）A．6 B．8 C．2 D．4【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】把所给的方程整理，得到三个一元二次方程，要使的所给的方程出现自然数解集，可以列举出c的值有三个，把其中两个相减找出差的最大值．【解答】解：方程（x2﹣6x+c1）（x2﹣6x+c2）（x2﹣6x+c3）=0x2﹣6x+c1=0x2﹣6x+c2=0x2﹣6x+c3=0∵正整数解集为{x1，x2，x3，x4，x5}，∴当c=5时，x=1．x=5，当c=8时，x=2，x=4当c=9时，x=3，符合正整数解集，又c1≥c2≥c3，故c1=9，c3=5故c1﹣c3=4故选D【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是列举出符合题意的c的值，这样就可以得到自然数解集，本题是一个中档题目．二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={2，7}，则A∪B={1，2，4，5，7} ，∁U A{1，3，6，7} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由并集运算求出A∪B，再由补集运算得答案；【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={2，7}，则A∪B={1，2，4，5，7}，∁U A={1，3，6，7}，故答案为：{1，2，4，5，7}，{1，3，6，7}，【点评】本题考查并、补集的混合运算，是基础的计算题．10．已知函数f（x）=a2x2+1，且f（1）=5则a=±2，函数f（x）在R上的单调递减区间为（﹣∞，0] ．【考点】二次函数的性质．【分析】由f（1）=5得：a2+1=5，解得a值，进而可得f（x）=4x2+1，由二次函数的图象和性质，可得函数f（x）在R上的单调递减区间．【解答】解：∵f（x）=a2x2+1，且f（1）=5，∴a2+1=5，解得：a=±2；此时函数f（x）=4x2+1，函数f（x）在R上的单调递减区间为（﹣∞，0]，故答案为：±2，（﹣∞，0]．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．11．已知映射f：（x，y）→（x﹣2y，2x+x），则（2，4）→（﹣6，6），（1，3）→（﹣5，3）．【考点】映射．【分析】令x=2，y=4，求得x﹣2y和2x+x的值，可得（2，4）对应的点的坐标，同理可得（﹣5，3）的原像．【解答】解：令x=2，y=4，求得x﹣2y=﹣6，2x+x=6，故按照映射f：（x，y）→（x﹣2y，2x+x），则（2，4）→（﹣6，6），同理x﹣2y=﹣5，2x+x=3，∴x=1，y=3，∴（1，3）→（﹣5，3）．故答案为：（﹣6，6），（1，3）．【点评】本题主要考查映射的定义，求函数的值，属于基础题．12．若a=log23，则2a+2﹣a=．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】根据对数函数的恒等式，求出2a的值，再计算2a+2﹣a的值．【解答】解：∵a=log23，∴2a==3，∴2a+2﹣a=2a+=3+=．故答案为：．【点评】本题考查了对数恒等式的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．13．如果函数f（x）=﹣x2+bx+c，对称轴为x=2，则f（1）、f（2）、f（4）大小关系是f （2）＞f（1）＞f（4）．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知可得函数f（x）=﹣x2+bx+c图象的开口朝下，函数在[2，+∞）上为减函数，且f（1）=f（3），进而得到答案．【解答】解：函数f（x）=﹣x2+bx+c图象的开口朝下，若对称轴为x=2，则函数在[2，+∞）上为减函数，且f（1）=f（3），故f（2）＞f（3）＞f（4），即f（2）＞f（1）＞f（4），故答案为：f（2）＞f（1）＞f（4）．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．14．当x＜0时，a x＞1成立，其中a＞0且a≠1，则不等式log a x＞0的解集是（0，1）．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】由已知结合指数函数的性质可得a的范围，进一步求解对数不等式得答案．【解答】解：∵x＜0时，a x＞1，∴0＜a＜1，由log a x＞0=log a1，得0＜x＜1．∴不等式log a x＞0的解集是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式和对数不等式的解法，考查指数函数与对数函数的性质，是基础题．15．已知f（x）=x2+（2+lga）x+lgb，f（﹣1）=﹣2且f（x）≥2x恒成立，求a、b的值．【考点】二次函数的性质．【分析】已知f（x）=x2+（2+lga）x+lgb，f（﹣1）=﹣2，代入求得a和b的关系式，再根据f（x）≥2x恒成立，将其转化为lg2a﹣4lgb≤0，从而求出a，b的值；【解答】解：由f（﹣1）=﹣2得：1﹣（2+lga）+lgb=﹣2即lgb=lga﹣1 ①，∴由f（x）≥2x恒成立，即x2+（lga）x+lgb≥0，∴lg2a﹣4lgb≤0，把①代入得，lg2a﹣4lga+4≤0，（lga﹣2）2≤0∴lga=2，∴a=100，b=10【点评】此题主要考查二次函数的性质，以及函数的恒成立问题，是一道中档题，计算的时候要细心；三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∩B，A∪B；（2）若集合C={x|a＜x＜2a+6}，A⊆C，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）根据集合的基本运算即可求A∩B，A∪B；（2）根据A⊆C，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）全集U=R，集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，∴A∩B={x|3≤x≤7}；A∪B={x|2＜x＜10}．（2）集合C={x|a＜x＜2a+6}，∵A⊆C，则需要，解得：2≤a＜3，故得实数a的取值范围是[2，3）．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．17．已知y=f（x）是二次函数，顶点为（﹣1，﹣4），且与x轴的交点为（1，0）．（1）求出f（x）的解析式；（2）求y=f（x）在区间[﹣2，2]上的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由题意知：设f（x）=a（x+1）2﹣4，由函数与x轴的交点为（1，0），求出a值，可得f（x）的解析式；（2）由（1）分析函数在区间[﹣2，2]上的单调性，进而求出函数区间[﹣2，2]上的最值，可得函数区间[﹣2，2]上的值域．【解答】（本题满分15分）解：（1）由题意知：设f（x）=a（x+1）2﹣4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵函数与x轴的交点为（1，0）．∴4a﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴a=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）=（x+1）2﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）知，函数的对称轴为x=﹣1，开口向上∴f（x）在区间[﹣2，2]上先减后增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当x=﹣1时，f（x）有最小值为﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x=2时，f（x）有最大值为5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）的值域为[﹣4，5]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．18．设偶函数f（x）的定义域为[﹣4，0）∪（0，4]，若当x∈（0，4]时，f（x）=log2x，（1）求出函数在定义域[﹣4，0）∪（0，4]的解析式；（2）求不等式xf（x）＜0得解集．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），当x∈（0，4]时，f（x）=log2x，可求x∈[﹣4，0）的解析式．（2）根据定义域的不同，解析式不同，分类解不等式即可．【解答】解：（1）由题意知：f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），当x∈（0，4]时，f（x）=log2x，那么：当x∈[﹣4，0）时，则﹣x∈（0，4]，可得：f（﹣x）=log2﹣x，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）=log2﹣x，故得f（x）的函数解析式为：（2）当0＜x≤4时，f（x）=log2x，∵0＜x＜1时，f（x）＜0，不等式xf（x）＜0恒成立．当﹣4≤x＜0时，f（x）=log2﹣x，∵﹣4≤x＜﹣1时，f（x）＞0，不等式xf（x）＜0恒成立．综上所述：不等式的解集为（﹣4，﹣1）∪（0，1）．【点评】本题考考查了分段函数的解析式的求法以及不等式的解集转化为恒成立来求解．属于基础题．19．函数f（x）=是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，且f（2）=，（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定义法证明f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由函数f（x）=是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，且f（2）=，求出a，b的值，可得函数f（x）的解析式；（2）证法一：设任意﹣1＜x1＜x2＜1，求出f（x1）﹣f（x2），并判断符号，进而根据函数单调性的定义得到f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；证法二：求导，并分析出当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0恒成立，进而得到f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数（3）不等式f（t﹣1）+f（t）＜0可化为：﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解得答案．【解答】（本题满分15分）解：（1）∵函数f（x）=是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣，∴b=﹣b，∴b=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵f（2）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴a=1，∴函数f（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证法一：设任意﹣1＜x1＜x2＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣证法二：∵函数f（x）=，∴f′（x）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）：由题意知f（t﹣1）+f（t）＜0∴f（t﹣1）＜﹣f（t）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（t﹣1）＜f（﹣t）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴0＜t＜﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．20．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上不单调，求实数a的取值范围；（2）记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上不单调，则函数图象的对称轴x=∈[﹣1，1]，解得答案；（2）由|a|≥2得：a≥2，或a≤﹣2，则M（a，b）=|f（x）|max=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=，进而可证得M（a，b）≥2．【解答】解：（1）由题意知：函数f（x）的对称轴为x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵函数f（x）在区间[﹣1，1]上不单调，∴∈[﹣1，1]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴a∈[﹣2，2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣证明：（2）由|a|≥2得：a≥2，或a≤﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而函数f（x）的对称轴为直线x=，M（a，b）=|f（x）|max=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则4≤2|a|≤|1+a+b|+|1﹣a+b|≤2M（a，b）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即M（a，b）≥2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．。