三角形的证明回顾与思考课件+教学设计+拓展资源

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北师大版八年级数学三角形的证明回顾与思考教案

“三角形的证明回忆与思考〞教学设计一、学生知识状况分析学生已经了解等腰三角形性质探索经验的根底上，继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的根底.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要开展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.本节课的教学目标是：1．知识目标：在回忆与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，开展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用标准的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：通过题组练习对所学知识进行复习稳固是重点，难点：本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：问题导思；第二环节：知识梳理；环节：题组训练；第四环节：思维拓展；第五环节：作业布置。

第一环节：问题导思活动内容：通过提问方式复习本章所学习的相关根本知识，如定理、逆定理等。

活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的稳固，最终到达掌握并灵活应用的目的。

活动过程：问题1：说说作为证明根底的几条根本领实问题2：等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？直角三角形呢？它们各自分别有那些判定条件？问题3：说说两个直角三角形全等的判定条件。

问题4：分别说说线段垂直平分线，角平分线的性质定理及其逆定理。

问题5：如何用反证法证明？请举例说明。

请你说出一对互逆命题，并判断它们是真命题还是假命题。

问题6：底边及底边上的高，如何用尺规作等腰三角形？一直角边和斜边，如何用尺规作直角三角形。

第一章三角形的证明回顾与思考教案

（3）三角形面积公式的灵活运用，特别是涉及不规则图形时；
难点举例：学生在解决不规则图形的面积问题时，需要将问题转化为三角形或熟悉的基本图形，然后运用面积公式。
（4）三角形特殊点的性质在解决具体问题时的运用；
难点举例：学生需要理解并运用外心、内心、垂心等特殊点的性质来解决问题，如外接圆半径、内切圆半径的计算。
第一章三角形的证明回顾与思考教案
一、教学内容
《第一章三角形的证明回顾与思考教案》
本节教学内容以教材中第一章“三角形的证明”为基础，主要涵盖以下内容：
1.三角形的定义及基本性质；
2.勾股定理及其证明；
3.三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）；
4.三角形的重心、外心、内心、垂心等特殊点性质；
五、教学反思
在今天的三角形证明回顾与思考教学中，我发现学生们对于三角形的基本性质和证明方法掌握得相对扎实。他们在案例分析环节能够迅速识别出全等三角形的条件，并运用勾股定理解决实际问题。这一点让我感到很欣慰，说明学生们已经具备了较好的几何基础。
然而，我也注意到在难点解析部分，一些学生在运用全等判定方法时仍然存在困难。尤其是当图形较为复杂时，他们往往不知道从何处入手。针对这一点，我认为在今后的教学中，应增加一些关于如何识别和分解复杂图形的练习，帮助学生提升空间想象力和逻辑推理能力。
（5）三角形中位线、角平分线、高、中线等性质的综合应用；
难点举例：学生在解决综合问题时，需要将中位线、角平分线等性质综合运用，这需要较强的空间想象力和逻辑推理能力。
四、教学流程
《第一章三角形的证明回顾与思考教案》
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《三角形的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否观察过三角形的稳定性及其在建筑中的应用？”比如，桥梁和房屋的支撑结构。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾三角形的证明的奥秘。

北师大版八年级下册第一章《三角形的证明回顾与思考》教案

-综合应用能力的提升：学生在面对综合性的几何问题时，难以将所学知识点综合运用，需要通过多样化的题目练习和案例分析来提高。
-创新思维的激发：学生在解决问题时往往习惯于模仿和重复，缺乏创新尝试的勇气和方法，教师需要提供开放性问题，鼓励学生探索不同的解决方案。
举例解释：
-在逻辑推理和证明过程中，难点在于如何指导学生从已知条件出发，逐步推导出结论。例如，在证明等腰三角形底角相等时，学生需要理解如何利用SSS或SAS定理进行推理。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SSS、SAS、ASA、AAS判定法则以及勾股定理的应用。对于难点部分，我会通过具体的例题和图形分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作三角形模型，演示三角形性质。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生回顾和深化对三角形证明的理解。首先，通过日常生活中的问题导入新课，我发现学生们对三角形的实际应用产生了浓厚的兴趣。他们积极参与讨论，提出了一些很有见解的问题，这让我感到很欣慰。
在理论介绍和案例分析环节，我注意到了一些学生在理解判定方法和证明过程上的困难。我尽量用简明的语言和具体的例子来解释，但可能还需要在今后的教学中加入更多的直观演示和互动环节，帮助学生更好地消化这些知识点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形的证明回顾与思考》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明三角形性质的情况？”比如，在户外活动时，如何确定一个三角形是等腰的或等边的。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。

北师大版八年级下册第一章《三角形的证明回顾与思考》教学设计

北师大版八年级下册第一章《三角形的证明回顾与思考》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生回顾和巩固三角形的基本概念、性质及判定方法，加深对三角形知识的理解和应用。
2.通过对三角形证明方法的回顾与思考，使学生掌握三角形证明的基本思路和技巧，提高逻辑推理能力和解题能力。
3.引导学生运用三角形的性质和判定方法解决实际问题，培养他们将理论知识运用到实际生活中的能力。
b.引导学生从不同角度分析问题，培养他们的发散思维和创新意识。
5.方法指导，培养习惯：
a.教会学生总结规律，形成自己的解题方法，提高解题效率。
b.引导学生养成良好的学习习惯，如课前预习、课后复习等，提高自主学习能力。
6.评价反馈，促进发展：
a.采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组讨论等，全面评价学生的学习效果。
2.练习题涵盖不同类型的三角形证明题目，使学生在练习中掌握各种证明方法的运用。
3.教师针对学生的练习情况进行个别指导，帮助他们找到解题过程中的不足，并及时给予指导。
4.对学生在练习中普遍存在的问题，进行集中讲解，确保每位学生都能掌握本节课的重点内容。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结三角形证明的基本方法和技巧。
2.讲解三角形证明的基本方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS等判定方法，并通过例题进行演示。
3.分析不同证明方法的适用场景和注意事项，引导学生理解证明过程的严谨性。
4.总结三角形证明的常用技巧，如辅助线、角度转化等，帮助学生形成解题思路。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：将学生分成若干小组，针对教师提供的例题和练习题，进行小组讨论。
2.学生分享自己在解决问题过程中的心得体会，以及学习三角形证明的收获。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考(教案)

2.在小组讨论环节，我发现部分学生参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不感兴趣或缺乏自信。针对这一问题，我会尝试设计更多有趣且富有挑战性的讨论主题，激发学生的兴趣，鼓励他们积极参与。
3.教学过程中，我发现有些学生在解决实际问题时，难以将所学知识运用到具体情境中。为了提高学生的应用能力，我会在课堂上增加一些与生活密切相关的实例，让学生明白所学知识在实际生活中的重要性。
3.直角三角形的性质与判定
-直角三角形的内角和为180°
-直角三角形的斜边最长
-有一个角是直角的三角形是直角三角形
4.三角形全等的判定方法
- SSS（三边全等）
- SAS（两边和夹角全等）
- ASA（两角和边全等）
- AAS（两角和非夹边全等）
5.三角形相似的性质与判定
-对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
同学们，今天我们将要学习的是《三角形的证明回顾与思考》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明三角形全等或相似的情况？”（如拼图游戏、建筑设计等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
- AA（两角对应相等）
- SAS（两边和夹角对应相等）
- SSS（三边对应成比例）
6.三角形在实际问题中的应用
本节课将结合教材内容，通过实例讲解、练习巩固，帮助学生回顾与思考三角形的相关知识，提高学生的几何证明能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握三角形的性质与判定方法，提高空间观念和几何直观能力；
五、教学反思
在本次教学过程中，我深感三角形证明这一章节的内容对于八年级学生来说具有一定的挑战性。从教学实践来看，以下几个方面值得我反思和改进：

八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考教案2北师大版

《回顾与思考》教学目标1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。

2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。

教学重点通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固教学难点本章知识的综合性应用。

教学过程第一环节：知识回顾1.第二环节：题组训练（一）.等腰三角形1.等腰三角形的一边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）． A 、9 B 、12 C 、15 D 、12或152．等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______． 3．等腰三角形的一个角是80°，则它的另两个角是． 4.等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长为 . 5.如图，在中，D 是AC 上的一点，且，，则_______，______，________.6.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD,求∠EDC 的度数通过探索、猜测、计算、证明得到的定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线角的平分线（二）等边三角形1.如图，等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若△ABC的周长为12，则△DCE的周长为___________．2.如图，已知：在等边三角形ABC中，D、E分别在AB和AC上，且，BE和CD相交于点P.求：的度数.（三）线段的垂直平分线1.如图，，AB的垂直平分线交AC于D，则．2如图，中，DE垂直平分的周长为13，那么的周长为__________．3.如图,△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,EF垂直平分AB, EF=2．求AB与BC的长．（四）角平分线1.如图，在△ABC中，∠A的平分线交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则△BDE的周长为_________.2.如图，已知：在中，，AD=BD=BC,求∠A的度数3.．如图，中，，试说明：．（五）命题1.下列命题中正确的是 ( )A．有两条边相等的两个等腰三角形全等 B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C．两角对应相等的两个等腰三角形全等 D．一边对应相等的两个等边三角形全等2.下列定理中，没有逆定理的是 ( )A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形两腰上的高相等C．全等三角形的周长相等 D．有一个锐角对应相等的两直角三角形相似（六）作图如图，求作一点P，使，并且使点P到的两边的距离相等，并说明你的理由．三：综合练习1.如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC.你能说明BE 与DF 相等吗？2. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FGFCBE GAABCDEF1 2八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可解答．【详解】选项A 有四条对称轴；选项B 有六条对称轴；选项C 有四条对称轴；选项D 有二条对称轴. 综上所述，对称轴最少的是 D 选项．故选D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．下列各数中，（）是无理数． A ．1 B ．-2C ．2πD ．1．4【答案】C【解析】根据无理数的定义：无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，逐一判定即可. 【详解】A 选项，1是有理数，不符合题意； B 选项，-2是有理数，不符合题意； C 选项，2π是无理数，符合题意； D 选项，1.4是有理数，不符合题意；故选：C. 【点睛】此题主要考查对无理数的理解，熟练掌握，即可解题.3．当x=－1时，代数式()22(1)1x x x x x --+-的结果是（）A ．－3B ．1C ．－1D ．－6【答案】A【分析】把x=-1代入，根据有理数混合运算法则计算即可得答案.【详解】∵x=-1，∴()22(1)1x x x x x --+-=(-1)2×(-1-1)-(-1)[(-1)2+(-1)-1] =-2+(-1) =-3. 故选：A. 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键. 4．若把分式3xyx y-（,x y 均不为0）中的x 和y 都扩大3倍，则原分式的值是（） A ．扩大3倍 B ．缩小至原来的13C ．不变D ．缩小至原来的16【答案】A【分析】将原式中x 变成3x ，将y 变成3y ，再进行化简，与原式相比较即可. 【详解】由题意得3332733333()x y xy xyx y x y x y⋅⋅==⋅---，所以原分式的值扩大了3倍故选择A. 【点睛】此题考察分式的化简，注意结果应化为最简分式后与原分式相比较. 5．如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为（）A ．1080︒B ．900︒C ．720︒D ．540︒【答案】C【分析】根据多边形的内角和=180°（n-2），其中n 为正多边形的边数，计算即可【详解】解：正六边形的内角和为：180°×（6-2）=720° 故选C ．【点睛】此题考查的是求正六边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 6．下列约分正确的有（）（1）22a2a33a2a11aa---=+++；（2）()()33a m n1b n m-=-；（3）2xyxy2+=+；（4）a m ab m b+=+A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】原式各项约分得到结果，即可做出判断．【详解】（1）()()()2a-3a+1a-3a+1a+1=，故此项正确；（2）()()()()3333a m n a m n a=bb n m b m n--=----，故此项错误；（3）2xy xy21xy2xy2++==++，故此项错误；（4）a mb m++不能约分，故此项错误；综上所述答案选B【点睛】此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．7．在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而减小，则它的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】由y的值随着x值的增大而减小可得出2m﹣1＜1，再利用b=1＞1，可得出一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象与y轴交点在其正半轴上，进而可得出一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象不经过第三象限．【详解】解：∵在一次函数y＝（2m﹣1）x+1中，y的值随着x值的增大而减小，∴2m﹣1＜1．∵2m﹣1＜1，1＞1，∴一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y＝（2m﹣1）x+1的图象不经过第三象限．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，即在一次函数y=kx+b（k≠1）中，①k＞1，b＞1⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞1，b＜1⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜1，b＞1⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜1，b＜1⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．8．一个长方形的周长为12cm，一边长为x(cm)，则它的另一条边长y关于x的函数关系用图象表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，可得y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围，进而可得到函数图像. 【详解】由题意得：x+y=6， ∴y=-x+6，∵060x x >⎧⎨-+>⎩， ∴06x <<，∴ y 关于x 的函数图象是一条线段（不包括端点），即B 选项符合题意，故选B. 【点睛】本题主要考查实际问题中的一次函数图象，根据题意，得到一次函数解析式和自变量的范围是解题的关键. 9．如图，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，垂足为D ，若PD ＝3，则点P 到边OA 的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】作PE ⊥OA 于E ，根据角平分线的性质解答．【详解】解：作PE ⊥OA 于E ，∵点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ， ∴PE=PD=3，故选：C ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，点M（2，－1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】根据点的横坐标2＞0，纵坐标﹣1＜0，可判断这个点在第四象限．【详解】∵点的横坐标2＞0为正，纵坐标﹣1＜0为负，∴点在第四象限．故选D．【点睛】本题考查点在直角坐标系上的象限位置，解题的关键是熟练掌握各象限的横纵坐标符号.二、填空题11．“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题(填“真”或“假”)．【答案】真【分析】根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题，然后分析其真假即可．【详解】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形．因为符合三角形内角和定理，故是真命题．故答案为真【点睛】本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．一组数据为：5，﹣2，3，x，3，﹣2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的中位数是_____．【答案】1【分析】由于每个数据都是这组数据的众数，根据众数定义可知m=5，再根据中位数的计算方法进行计算即可．【详解】解：∵-2出现2次，1出现2次且每个数据都是这组数据的众数∴x＝5，∴这组数据从小到大排列为：-2，-2，1，1，5，5，∴中位数＝3+32＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了众数、中位数，解题的关键是掌握众数、中位数的计算方法． 13．当m=____时，关于x 的分式方程2x m-1x-3+=无解．【答案】-6【解析】把原方程去分母得，2x+m=-(x-3)①，把x=3代入方程①得，m=-6，故答案为-6.14．如图，O 对应的有序数对为（1，3）有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为（1，2），（5，1），（5，2），（5，2），（1，3），请你把这个英文单词写出来或者翻译成中文为________．【答案】HELLO【解析】H(1,2),E(5,1),L(5,2),L(5,2),O(1,3)，所以，这个单词为HELLO. 故答案为HELLO.15．如图，ABC ∆中，60A ∠=︒，50B ∠=︒，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，连接DE 并延长，交BC 的延长线于点F ，此时，35F ∠=︒，则1∠的度数为______．【答案】145°【分析】根据三角形外角性质求出AD E B F ∠=∠+∠，1A ADE ∠=∠+∠，代入求出即可．【详解】解：50B ∠=︒，35F ∠=︒，85ADE B F ∴∠=∠+∠=︒， 60A ∠=︒，16085145A ADE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：145︒．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD=16，则D 到AB 边的距离是．【答案】1．【分析】作DE ⊥AB ，根据角平分线性质可得：DE=CD=1.【详解】如图，作DE ⊥AB ，因为∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD=1，所以，DE=CD=1.即：D 到AB 边的距离是1.故答案为1【点睛】本题考核知识点：角平分线性质. 解题关键点：利用角平分线性质求线段长度.17．如果11m m -=-，那么221m m +=_______________．【答案】1【分析】根据完全平方公式进行求解即可．【详解】解：∵11m m -=-， ∴2221112m m m m⎛⎫-==-+ ⎪⎝⎭， ∴2213m m +=，故答案为1．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．三、解答题18．如图，在ABC ∆和DCB ∆中，90A D ∠=∠=︒，AC BD =，AC 与BD 相交于点O ．（1）求证：ABC DCB ∆∆≌；（2）OBC ∆是何种三角形？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）OBC ∆是等腰三角形，证明见解析【分析】（1）根据已知条件，用HL 直接证明Rt △ABC ≌Rt △DCB 即可；（2）利用全等三角形的对应角相等得到∠ACB ＝∠DBC ，即可证明△OBC 是等腰三角形．【详解】证明：（1）在ABC ∆和DCB ∆中，90A D ∠=∠=︒AC BD =，BC 为公共边，∴()Rt ABC Rt DCB HL ∆∆≌（2）OBC ∆是等腰三角形∵Rt ABC Rt DCB ∆∆≌∴ACB DCB ∠=∠∴OB OC =∴OBC ∆是等腰三角形【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定的理解和掌握，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题关键．19．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图①中，以格点为端点画一条长度为13的线段MN ；（2）在图②中，A 、B 、C 是格点，求∠ABC 的度数．【答案】（1）见解析；（2）45°【分析】（113的线段MN ；（2）连接AC ，根据勾股定理及逆定理可得三角形ABC 是等腰直角三角形，进而可求∠ABC 的度数．【详解】解：（1）如图根据勾股定理，得MN＝22AM AN+＝2223+＝13；（2）连接AC∵221310AC=+=，221310BC，222425AB=+=，∴AC2+BC2＝AB2，∴ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．【点睛】此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握勾股定理及逆定理是解决此题的关键．20．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．【答案】弯折点B与地面的距离为32米【分析】设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2即可求解．【详解】由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，即：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝32，答：弯折点B与地面的距离为32米．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用.21．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，AE 是ABC ∆的角平分线，,40BE AE B ︒=∠=．（1）求EAD ∠的度数；（2）若1CD =，求AC 的长．【答案】（1）10°；（1）1．【分析】(1)由题知∠ABE=∠BAE=40°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求得∠AEC=80°，因为AD 是BC 边上的高，即可求解.(1) AE 是ABC ∆的角平分线，结合题(1)得出∠DAC=30°，即可求解.【详解】解：（1）∵,40BE AE B ︒=∠=∴40BAE B ︒∠=∠=∴80AEC BAE B ︒∠=∠+∠=∵AD 是BC 边上得高，∴90ADE ADC ︒∠=∠=∴90908010EAD AEC ︒︒︒︒∠=-∠=-=（1）∵AE 是ABC ∆的角平分线，∴40CAE BAE ︒∠=∠=∴401030CAD CAE EAD ︒︒︒∠=∠=-∠=-=∵90ADC ︒∠=∴22AC CD ==【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，掌握这两个知识点是解题的关键.22．已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ∥DB ，OC ＝OD ，E ，F 为AB 上两点，且AE ＝BF ，求证：CE ＝DF ．【答案】见解析【分析】先根据AAS 证明△AOC ≌△BOD ，得到AC=BD ，再根据SAS 证明△AEC ≌△BFD ，可证明CE=DF ．【详解】证明：∵AC ∥DB∴∠A ＝∠B在△AOC 和△BOD 中∵AOC BOD A B OC 0D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD(AAS)∴AC ＝BD在△AEC 和△BFD 中∵AC BD A B AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△BFD(SAS)∴CE ＝DF【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．23．先化简再求值：211211x x x x x ++÷-+-•11x x -+，其中x ＝﹣12．【答案】﹣11x +，-1 【分析】首先统一成乘法，然后再把分子分母分解因式，约分后相乘即可得到化简结果，再将值代入即可得出答案．【详解】解：原式＝211(1)1x x x x +-⨯-+11x x-⨯+，＝﹣11x +，当x ＝﹣12时，原式＝﹣1112-+＝﹣1，故答案为：﹣11x +；-1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，公式法因式分解，约分的性质应用，注意约分化成最简形式． 24．我市为创建省文明卫生城市，计划将城市道路两旁的人行道进行改造，经调查可知，若该工程由甲工程队单独来做恰好在规定时间内完成；若该工程由乙工程队单独完成，则需要的天数是规定时间的2倍，若甲、乙两工程队合作8天后，余下的工程由甲工程队单独来做还需3天完成．（1）问我市要求完成这项工程规定的时间是多少天？（2）已知甲工程队做一天需付给工资5万元，乙工程队做一天需付给工资2万元．两个工程队在完成这项工程后，共获得工程工资款总额65万元，请问该工程甲、乙两工程队各做了多少天？【答案】（1）15天；（2）甲工程队做了5天，乙工程队做了20天【分析】（1）设规定时间是x 天，那么甲单独完成的时间就是x 天，乙单独完成的时间为2x ，根据题意可列出方程；（2）设甲工程队做了m 天，乙工程队做了n 天，则可列出方程组得解．【详解】解：（1）设规定时间是x 天，根据题意得，113812x x x⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得x ＝15，经检验：x ＝15是原方程的解．答：我市要求完成这项工程规定的时间是15天；（2）由（1）知，由甲工程队单独做需15天，乙工程队单独做需30天，由题意得， 11115305265m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩．解得m 5n 20=⎧⎨=⎩．答：该工程甲工程队做了5天，乙工程队做了20天【点睛】本题主要考查了分式方程的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤．25．计算：⨯（1）（2）222-【答案】（1（2）2【分析】（1）首先将各项二次根式化到最简，然后进行加减计算即可；（2）首先去括号，然后进行加减计算即可.【详解】（1）原式==⨯-+（2）原式=(42=2-=2-【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，即可解题.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列四个命题中，真命题的是（）A ．同角的补角相等B ．相等的角是对顶角C ．三角形的一个外角大于任何一个内角D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】A【分析】根据补角的性质、对顶角的概念、三角形的外角的性质、平行线的性质判断即可．【详解】解：同角的补角相等，A 是真命题；相等的角不一定是对顶角，B 是假命题；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，C 是假命题；两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，D 是假命题；故选：A ．【点睛】本题主要考查补角的性质、对顶角的概念、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握与角有关的性质是解题的关键.2．设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（） A ．∠A+∠B=90°B ．b 2=a 2-c 2C ．∠A ：∠B ：∠C=3：4：5D ．a ：b ：c=5：12：13 【答案】C【分析】根据题意运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形，从而分别判定即可．【详解】解：A. ∵∠A+∠B=90°，∴C ∠=90°，△ABC 是直角三角形；B. ∵b 2=a 2-c 2∴△ABC 是直角三角形；C. ∵∠A ：∠B ：∠C=3：4：5， ∴3418045,18060,75,345345A B C οοοοο∠=⨯=∠=⨯=∠=++++△ABC 不是直角三角形； D. ∵ a ：b ：c=5：12：13∴222+=a b c ，△ABC 是直角三角形.故选：C ．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、直角三角形的判定方法，灵活的应用此定理是解决问题的关键． 3．不等式组x<3{x 1≥的解集在数轴上表示为A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】不等式组31x x <⎧⎨≥⎩的解集为：1≤x ＜3，表示在数轴上：，故选C.【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.4．下列等式从左到右的变形，错误的是（）A ．423222x x x x x =-- B ．221x y x y x y -=-+ C ．0.030.23200.080.5850x y x y x y x y --=-- D ．22233222352532x x x x x x x x -+-+-=----+ 【答案】D【分析】利用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．逐一计算分析即可．【详解】解：A ．423222x x x x x =--，此选项正确； B ．221x y x y x y-=-+，此选项正确； C ．0.030.23200.080.5850x y x y x y x y --=--，此选项正确； D ．22233222352532x x x x x x x x -+-+-=---+，故此选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，注意符号的变化．5．小明的数学平时成绩为94分，期中成绩为92分，期末成绩为96分，若按3：3：4的比例计算总评成绩，则小明的数学总评成绩为（）A ．93B ．94C ．94.2D ．95 【答案】C【分析】利用加权平均数的计算方法计算加权平均数即可得出总评成绩．【详解】解：1×3334+++92×3334+++96×4334++＝1．2分，故选：C ．【点睛】本题考查了加权平均数的计算，加权平均数：1122......n n x x w x w x w =+++（其中w 1、w 2、……、w n 分别为x 1、x 2、……、x n 的权）．数据的权能反映数据的相对“重要程度”，对于同样的一组数据，若权重不同，则加权平均数很可能是不同的．6．已知02(1)2x x x +---有意义，则x 的取值范围是（） A ．2x ≠B ．2x ≠±C ．1x ≠D ．2x ≠且1x ≠ 【答案】D【分析】根据分式成立的条件和零指数幂成立的条件列不等式求解【详解】解：由题意可知：20x -≠且10x -≠解得：2x ≠且1x ≠故选：D ．【点睛】本题考查分式和零指数幂成立的条件，掌握分母不能为零，零指数幂的底数不能为零是解题关键． 7．如图，直角坐标系中四边形的面积是（）A ．4B ．5.5C ．4.5D ．5【答案】C 【解析】过A 点作x 轴的垂线，垂足为E ，将不规则四边形分割为两个直角三角形和一个直角梯形求其面积即可．【详解】解：过A 点作x 轴的垂线，垂足为E ，直角坐标系中四边形的面积为：1×1÷2+1×2÷2+（1+2）×2÷2=0.1+1+3=4.1．故选：C ．【点睛】本题主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．割补法是求面积问题的常用方法． 8．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE= 5cm ，△ABD 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为（）A ．21cmB ．26cmC ．28cmD ．31cm【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得到AD CD =，将ABC 的周长表示成ABD △的周长加上AC 长求解．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD CD =，5AE CE ==，∴10AC =，∵ABD △的周长是16，∴16AB BD AD ++=， ABC 的周长161026AB BD CD AC AB BD AD AC =+++=+++=+=．故选：B ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．9．在直角坐标系中,函数y kx =与12y x k =-的图像大数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据四个选项图像可以判断y kx = 过原点且k ＜0，12y x k =- ，-k ＞0 即可判断. 【详解】解：A .y kx = 与12y x k =-图像增减相反，得到k ＜0，所以12y x k =- 与y 轴交点大于0 故错误；B .y kx = 与12y x k =-图像增减相反，得到k ＜0，所以12y x k =- 与y 轴交点大于0 故正确； C .y kx = 与12y x k =-图像增减相反，12y x k =-为递增一次函数且不过原点，故错误； D .y kx =过原点，而图中两条直线都不过原点，故错误.故选 B【点睛】此题主要考查了一次函数图像的性质，熟记k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小；常数项为0，函数过原点.10．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A ．2cm 、2cm 、4cmB ．2cm 、6cm 、3cmC ．8cm 、6cm 、3cmD ．11cm 、4cm 、6cm【答案】C【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【详解】A. ∵2+2=4，∴ 2cm 、2cm 、4cm 不能组成三角形，故不符合题意；B. ∵2+3<6，∴2cm 、6cm 、3cm 不能组成三角形，故不符合题意；C. ∵3+6>8，∴8cm 、6cm 、3cm 能组成三角形，故符合题意；D. ∵4+6<11，∴11cm 、4cm 、6cm 不能组成三角形，故不符合题意；故选C.【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.二、填空题11．点（3，2-）关于x 轴的对称点的坐标是__________．【答案】（3,2）【解析】利用关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P'的坐标是（x ，﹣y ），进而求出即可．【详解】点（3，﹣2）关于x 轴的对称点坐标是（3，2）．故答案为（3，2）．【点睛】本题考查了关于x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键．12．已知一次函数()12y k x =-+，若y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___．【答案】k ＜1．【分析】一次函数y=kx+b ，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．据此列不等式解答即可．【详解】解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y 随x 的增大而减小，∴k-1＜0，解得k ＜1，故答案是：k ＜1．【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性．一次函数y=kx+b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．13．因式分解：3a a -=_________．【答案】()()11a a a +-【分析】3a a -提取公因式a 得()21a a -，利用平方差公式分解因式得()()11a a a +-．【详解】解：3a a -=()21a a -=()()11a a a +-，故答案为：()()11a a a +-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．14．若分式方程11x -＝122x -无解，则增根是_________ 【答案】1x =【分析】根据分式方程的解以及增根的定义进行求解即可．【详解】解：∵分式方程11212x x =--无解 ∴分式方程有增根∴()210x -=∴增根是1x =．故答案是：1x =【点睛】本题考查了分式方程的解、增根定义，明确什么情况下分式方程无解以及什么是分式方程的增根是解题的关键．15=__________．【答案】【解析】根据二次根式的性质化简即可．==故答案为：【点睛】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．16．在平面直角坐标系中，点(2,5)P -关于x 轴的对称点是__________．【答案】(2,5)--【分析】利用关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x ，-y ），进而得出答案．【详解】解：∵点()2,5P -，∴与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(2,5)--，故答案为：(2,5)--.【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．17．如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是___________．【答案】0或1．【解析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，由此即可解决问题．【详解】∵1的算术平方根为1，0的算术平方根0，所以算术平方根等于他本身的数是0或1．故答案为：0或1．【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义和性质，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．弄清概念是解决本题的关键．三、解答题18．王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（,90AC BC ACB =∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：ADC CEB ∆≅∆；（2）求两堵木墙之间的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）两堵木墙之间的距离为20cm ．【分析】（1）根据同角的余角相等可证BCE DAC ∠=∠，然后利用AAS 即可证出ADC CEB ∆≅∆；（2）根据题意即可求出AD 和BE 的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC 和CE ，从而求出DE 的长．【详解】（1）证明：由题意得：AC BC =，90,,ACB AD DE BE DE ∠=︒⊥⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∴90,90ACD BCE ACD DAC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴BCE DAC ∠=∠在ADC ∆和CEB ∆中ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADC CEB AAS ∆≅∆；（2）解：由题意得：236,7214AD cm BE cm =⨯==⨯=，∵ADC CEB ∆≅∆，∴6,14EC AD cm DC BE cm ====，∴()20DE DC CE cm =+=，答：两堵木墙之间的距离为20cm ．【点睛】此题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．19．如图，点O 是△ABC 边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（Ⅰ）求证：OE=OF ；（Ⅱ）若CE=8，CF=6，求OC 的长；【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF 的长，即可得出CO 的长．试题解析：（1）证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2=∠5，4=∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1=∠5，3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO ，FO=CO ，∴OE=OF ；（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=8，CF=6，∴EF=228610+=∴OC=EF=5；20．如图，锐角ABC ∆的两条高BD 、CE 相交于点O ，且BD CE =．（1）证明：CD BE =．（2）判断点O 是否在BAC ∠的角平分线上，并说明理由．（3）连接DE ，DE 与BC 是否平行？为什么？【答案】（1）见解析（2）点O 在∠BAC 的角平分线上，理由见解析（3）平行，理由见解析【分析】（1）根据题意证明△BCE ≌△CBD 即可求解；（2）由（1）得到△ABC 为等腰三角形，连接AO 并延长交BC 于F ，通过证△AOE ≌△AOD ，得到∠BAF ＝∠CAF ，即点O 在∠BAC 的角平分线上．（3）连接DE ，根据等腰三角形三线合一即可求解．【详解】（1）∵锐角ABC ∆的两条高BD 、CE 相交于点O ，且BD CE =BC=CB ，∴△BCE ≌△CBD （HL ）∴CD BE =（2）解：点O 在∠BAC 的角平分线上．理由：∵△BCE ≌△CBD∴∠EBC ＝∠DCB,BE=CD∴△ABC 为等腰三角形，∴AB=AC,则AB-BE=AC-CD∴AE=AD连接AO 并延长交BC 于F ，在Rt △AOE 和Rt △AOD 中，AE AD AO AO ⎧⎨=⎩＝ ∴Rt △AOE ≌Rt △AOD ．∴∠BAF ＝∠CAF ，∴点O 在∠BAC 的角平分线上．（3）平行，理由如下：如图，连接DE ，交AF 于G 点，∵AE=AD∴△ADE 为等腰三角形，由（2）得到AF 为∠BAC 的角平分线∴AG ⊥DE ，又AF ⊥BC ，∴DE ∥BC.【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．21．按要求计算：（120112|231|(23)2π-⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭ （2）因式分解：①22425a b - ②32234363x y x y xy -+-（3）解方程：13222x x x -+=--。

北师大版七年级下册数学教学设计：第四章《三角形回顾与思考》

北师大版七年级下册数学教学设计：第四章《三角形回顾与思考》一. 教材分析北师大版七年级下册数学第四章《三角形回顾与思考》主要包括三角形的性质、分类及应用。

本章内容是学生在学习了三角形基本概念和性质后的进一步拓展，旨在让学生掌握三角形的相关知识，培养其运用所学知识解决实际问题的能力。

教材通过复习巩固旧知识，引出新知识，激发学生的学习兴趣，同时注重培养学生的探究能力和合作意识。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了三角形的基本概念、性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但部分学生在理解和运用方面还存在困难，如对三角形分类的判断、三角形内角和定理的应用等。

因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行有针对性的教学，提高他们的数学素养。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的分类、性质、内角和定理等基本知识，提高运用所学知识解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的探究能力和合作意识。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受数学在生活中的应用，培养学生的自信心和克服困难的勇气。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形的分类、性质、内角和定理等基本知识。

2.教学难点：三角形分类的判断、内角和定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例、数学故事等激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。

2.探究教学法：学生进行观察、猜想、验证等探究活动，培养学生的动手能力和思维能力。

3.小组合作教学法：引导学生分组讨论、合作解决问题，提高学生的沟通能力和团队协作能力。

4.反馈教学法：及时了解学生的学习情况，针对性地进行教学调整，提高教学效果。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学，提高学生的学习兴趣。

2.教学素材：准备相关的生活实例、数学故事等，用于引导学生的学习。

3.练习题：根据教学目标和学生实际情况，设计有梯度的练习题，巩固所学知识。

《三角形的证明回顾与思考》教学设计

《三角形的证明回顾与思考》教学设计教学目标：1.知识与技能目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，总结对有关定理的探索和证明的思路和方法.2.过程与方法目标：进一步加强探索证明的思路与方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3.情感与价值目标：让学生在推理证明过程中，体验某些数学方法在实际问题中的应用. 教学重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点，教学难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

课前准备：1．教师准备：课件2．学生准备：复习本章主要的定理的相关知识。

课时安排：一课时教学过程：一、创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台通过提问方式复习本章所学习的相关基本知识，如定理、逆定理等。

问题：你能说说作为证明基础的几条公理吗？教师通过学生回答并整理出六条公理如下：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.二、建立本章的知识框架图本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理．(一)与等腰三角形、等边三角形有关的结论：1、性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．2、判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．三条边都相等的三角形是等边三角形．两个角等于60º的三角形是等边三角形．(二)与直角三角形有关的结论：1.性质：直角三角形的两个锐角互余.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；2.判定：有两个角互余的三角形是____三角形.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)切记!!!两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.(SSA)3.与一般三角形有关的结论：在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．(三)与线段的垂直平分线有关的结论1.性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.2.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段垂直平分线上．(四)与角平分线有关的结论1.性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.2.判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．注意：角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件．注意：角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件．(五)用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不成立，从而肯定命题的结论正确．(六)命题的逆命题及其真假：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．三、例题讲解考点一、等腰三角形的性质和判定例1、已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；分析：连接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，可得∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而即可得到∠B=∠DAF，再有BE=AF，AD=BD，即可证得△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即可证得结论；考点二、线段垂直平分线的性质的应用例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2.求AB与BC的长.分析：由已知AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的长，利用方程的思想，需找另一个AB与BC的关系．考点三、角平分线性质的应用例3、如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,点E在BC上，求证: BE=CE .分析：过E点作EF⊥AD,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,可用角平分线性质定理.考点四、等边三角形的性质和判定例4、如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN，CM交于点E，CN，BM交于点F。

新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明回顾与思考》教案_10

第一章三角形的证明回顾与思考一、学生知识状况分析学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上，继续深入学习证明的方法和格式的；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.重点与难点1）.等腰三角形、等边三角形的性质和判定；2）.线段垂直平分线的做法，角平分线的做法；3）.利用直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质灵活解题（本节课以第2、3两点为主）三、教学过程（一）出示复习目标：等腰三角形、等边三角形的性质和判定；线段垂直平分线的做法，角平分线的做法；利用直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质灵活解题。

（二）内容框图展示：等腰三角形（三）知识归纳一：1．等腰三角形的性质性质(1)：等腰三角形的两个底角. 性质(2)：等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的高互相重合．2．等腰三角形的判定(1)定义：有两条边的三角形是等腰三角形．(2)等角对等边：有两个角的三角形是等腰三角形．3．用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．4．等边三角形的判定(1)有一个角等于60°的三角形是等边三角形；(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；(3)三个角相等的三角形是等边三角形；(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形．5．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的.6．勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是三角形．（四）板块练兵：比比看谁反应快1、已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为()直角三角形线段的垂直平分线角平分线三角形的证明A．100° B．40° C．100°或 40° D．60°2、等腰三角形的两条边长分别为 5 cm和6 cm，则它的周长是___________3、边长为 6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________4、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )A．3，4，5 B．6，8， 10C. 2，3, 4 D．5，12，13（五）知识归纳二：7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．[点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合．8．三线共点：三角形三条边的垂直平分线相交于，并且这一点到三角形三个顶点的距离.9．角平分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离.判定定理：在一个角的内部，且到角的两边相等的点，在这个角的平分线上．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.∵MN⊥AB, CA=CB(已知)∴PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）10.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.∵AB=AC(已知)∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）11.尺规作图用尺规作线段的垂直平分线. 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线.作法:1）.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.2）.作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．∵OP平分∠AOBPD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．）12.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.∴OP平分∠AOB (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.)13.角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线用尺规作角的平分线的方法作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件．10．三角形三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离.（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴ = ，( )（2）∵如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（六）巩固提高1．如图1－2，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC( ) A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是________．3、若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的( )A．三条高的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三条中垂线的交点4．在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有( )A．只有一个 B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有5、如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________.6、如图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE=20°，则∠C= _________．7．如图S1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝________.8.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．9.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且AB=8,AC=BC,DE⊥AB,求△BDE的周长？10．小明家有一块△ABC的土地，如图S1－12所示，其三边长AB＝70米，BC＝90米，AC＝50米，现要把△ABC分成面积比为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方案．解：如图S1－13所示，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相交于点D，连接AD，则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC＝5∶7∶9.9.某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（写出必要的作图依据，保留作图痕迹）结束寄语数学是在混沌中发现有序。

新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明回顾与思考》教案_14

第1章三角形的证明回顾与思考一、学生分析八年级学生已经具有了判定三角形全等的经验，也具备了探索命题是否成立的经验，也明白了证明的必要性，也有了一定的合作交流能力。

这一章将继续深入学习证明的方法和书写格式。

二、教材分析教学目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.重点与难点：重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点，难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

三、教学过程分析学生课前准备：一副三角尺；教师课前准备：制作好课件.第一环节：问题串烧，回顾知识.教师：今天我们一起复习一下第一章三角形的证明，我们先来回顾和思考一下本章的知识点，请同学们先看大屏幕，回答四个问题。

等腰三角形的性质和判定是什么？学生1：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

教师：等边三角形的性质及判定又是什么呢？学生2：性质：等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。

教师：直角三角形的性质及判定是什么？学生3：性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

教师：判定两个直角三角形全等的条件是什么？学生4：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)教师：什么是互逆命题？学生5：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．教师：什么是互逆定理？学生6：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．教师：线段垂直平分线的性质定理和判定定理呢？学生6:性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

三角形回顾与思考优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件

＿．
第6页
3、在△ABC中，∠B=24°，∠C=104°，则∠A平分线和BC边上高夹角等于＿＿＿．
4、如图，△ABC中BC边上高为＿＿＿＿．
A D
C
E
B
F
第7页
（四）回顾“全等三角形性质及判定”
1．如图1所表示,在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由
“SSS”能够判定是（）
A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE
第3页
2、已知一个三角形两边长分别是2cm和4cm，则
第三边长x取值范围是
;
若x是奇数，则x值是
;
此三角形周长p取值范围是＿＿＿＿＿＿.
3、一个等腰三角形一边是2cm，另一边是9cm ,
则这个三角形周长是
cm
4、一个等腰三角形一边是5cm，另一边是7cm ,
则这个三角形周长是
cm
第4页
（二）回顾“三角形内角和”
（
）可说明△ABC与△ADE全等.
A. SAS B. AAS
C. SSA
D. HL
第9页
4、如图所表示：要说明△ABC≌△BAD，
（1）已知∠1=∠2，若要以SAS为依据，
则可添加一个条件是
；
（2）已知∠1=∠2，若要以AAS为依据，
则可添加一个条件是
；
（3）已知∠C=∠D=90°，若要以HL为依据，
则可添加一个条件是
；
第10页
5 如图，点C，F在BE上，∠A= ∠D,AC//DE, BF=EC,
试判断AB与ED有什么关系？并说明理由。
第11页
课堂小结
交流本节课收获，说说存在迷惑
第12页
布置作业

新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明回顾与思考》教案_12

A
学生黑板板书，教师提示。
FEBiblioteka CDB四、学习体会
五、学习体会：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
教师提出问题，学生交流讨论，教师参与讨论，作适当指导。关注学生能否通过独立思考或通过交流讨论，能否正确评价自己的学习，能否理解垂线、点到直线的距离及性质概念解决问题，培养反思的能力。最后一起归纳总结，得出结论。
求证 :EB=FC
A
通过此练
习，进一步强化
角平分线性质
的理解。
E
F
教师布置课堂练习，先
让学生独立完成。教师最后
B
D
C 给出答案，学生根据情况讨
论、订正。
2、已知 : 在△ ABC中, ∠C=90°,AD 是∠ BAC的平分线 ,DE⊥AB于 E,F 在 AC上,BD=DF；求证 :CF=EB
B
C
由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼他们的口表能力。
体会角平分线性质在实际问题中的应用。
注意证明书写格式，教师及时更正，培养良好的书写习惯。
三、当堂训练
1、已知 : 如图 , 在△ ABC中 ,AD 是它的角平分线 , 且 BD=CD,D⊥E AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F.
通过对知识的归纳，促使学生在反思能力的培养。
(3)__________________________________ 思考：（1）如何用尺规作平角∠ AOB的角平分线？（2）将平角∠ AOB的角平分线 OC反向延长得到直线 CD，直线 CD与直线 AB是什么关系？
2、学生通过小组交流，阅读课本知识，学会画图方法。学生代表在黑板上演示作图方法。

新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明回顾与思考》教案_8

第一章三角形的证明回顾与思考一、基本信息学生：辽阳市第九中学八年9班，23人教材：中学数学（北师大版）八年级下册课时：1课时二、学生知识状况分析学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上，继续深入学习证明的方法和格式的；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.三、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固是重点，难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

四、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台；第二环节：建立本章的知识框架图；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结；第五环节：布置作业。

学生课前准备：一副三角尺；教师课前准备：制作好课件.第一环节：创设问题情境，搭建“回顾与思考”的平台活动内容：通过提问方式复习本章所学习的相关基本知识，如定理、逆定理等。

活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的。

活动过程：问题1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？教师通过学生回答并整理出六条公理如下：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ）5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.问题2：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；②反证法．（教师可关注基础较差的学生，给于关注和指导）问题3：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？问题4：任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分．已知：如图，∠AOB求作：(1)射线OC ，使∠AOC=∠BOC ；(2)射线OD 、OE ，使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOBE DAＣB N M作法: (1) 1、在OA 和OB 上分别分别截取OM 、ON ，使OM=ON ．2．分别以M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C ．3．作射线OC∴OC 就是∠AOB 的平分线．(2) 同上，分别在AOC 和BOC 内部作射线OD 、OE ．活动效果及注意事项：在整理基本定理及相关知识时，可以先通过学生讨论，或在课前提前布置总结的任务，这样学生准备的更充足一些，课堂复习的效果估计会更好一些！第二环节：建立本章的知识框架图本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理．1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）与直角三角形有关的结论：勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)（3）与一般三角形有关的结论：在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．2．命题的逆命题及其真假：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．3．尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．第三环节：例题讲解例1、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF.求证：△ABC是等腰三角形.分析：要证△ABC是等腰三角形，可证∠B=∠C.例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2. 求AB与BC的长.分析：由已知AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的长，利用方程的思想，需找另一个AB与BC的关系．第四环节：课时小结本章的内容总结如下：E DCAB第五环节：布置作业课内：A 组题中的第3、4、5、6、7、8题；课外：A 组题中的9题，B 组题第1、2、3题.五、教学反思本节容量较大，教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理，然后再侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上，思路上可以更灵活一些，要让学生的积极性调动起来，做到以学生为本。