离散数学练习题B
(完整版)《离散数学》同步练习答案
华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1)设：p：派小王去开会。
q：派小李去开会.则命题：“派小王或小李中的一人去开会" 可符号化为：（p q) (p q）。
（2）设A,B都是命题公式，A B，则A B的真值是T。
（3）设:p：刘平聪明。
q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p q .（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（5）设，p：径一事;q：长一智。
在命题逻辑中,命题:“不径一事，不长一智。
" 可符号化为： p q 。
（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德摩根律为（A B）Û A B）。
（7）设，p：选小王当班长;q：选小李当班长.则命题：“选小王或小李中的一人当班长。
”可符号化为: （p q）（p q） .（8）设，P：他聪明；Q：他用功。
在命题逻辑中，命题:“他既聪明又用功。
" 可符号化为：P Q .（9）对于命题公式A,B,当且仅当 A B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A B。
（10)设:P：我们划船.Q:我们跑步.在命题逻辑中，命题:“我们不能既划船又跑步.”可符号化为：（P Q) 。
（11）设P，Q是命题公式,德·摩根律为：（P Q）P Q) 。
（12）设P:你努力.Q：你失败。
在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。
”可符号化为：P Q .（13）设p：小王是100米赛跑冠军。
q:小王是400米赛跑冠军。
在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军.”可符号化为：p q。
（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A C为一重言式时,称C可由A逻辑地推出。
二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（）2.命题公式p q r是析取范式。
( √ )3.陈述句“x + y > 5”是命题。
离散数学B卷及答案
武汉理工大学离散数学考试试题B卷站点：姓名：专业：层次一、单项选择题本大题共15小题,每小题1分,共15分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1．令P：今天下雪了,Q：路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不．滑”可符号化为A．P→Q B．P∨QC．P∧Q D．P∧Q2．下列命题公式为重言式的是A．Q→P∧Q B．P→P∧QC．P∧Q→P D．P∨Q→Q3．下列4个推理定律中,不．正确的是A．A⇒A∧B B．A∨B∧A⇒BC．A→B∧A⇒B D．A→B∧B⇒A4．谓词公式∀xPx∨∃yRy→Qx中量词x∀的辖域是A．))P(∨∀B．Pxxx∃)((yyRC．Px∨∃yRy D．Px, Qx5．设个体域A={a,b},公式∀xPx∧∃xSx在A中消去量词后应为A．Px∧Sx B．Pa∧Pb∧Sa∨SbC．Pa∧Sb D．Pa∧Pb∧Sa∨Sb6．下列选项中错误．．的是A．⊆B．∈C．⊆{} D．∈{}, 7．设A={a,b,c,d},A上的等价关系R={<a, b>, <b, a>, <c, d>, <d, c>}∪IA 则对应于R的A的划分是A．{{a},{b, c},{d}} B．{{a, b},{c}, {d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a, b}, {c,d}}8．设R为实数集,函数f：R→R,fx=2x,则f是A．满射函数B．入射函数C．双射函数D．非入射非满射9．设R为实数集,R+={x|x∈R∧x>0},是数的乘法运算,<R+,>是一个群,则下列集合关于数的乘法运算构成该群的子群的是A．{R+中的有理数} B．{R+中的无理数}C．{R+中的自然数} D．{1,2,3}10．下列运算中关于整数集不．能构成半群的是A．a b=max{a, b} B．a b=bC．a b=2ab D．a b=|a-b|11．设Z是整数集,+, 分别是普通加法和乘法,则Z,+, 是A．域B．整环和域C．整环D．含零因子环12．设A={a, b, c},R是A上的二元关系,R={<a, a>, <a, b>, <a, c>, <c, a>},那么R是A．反自反的B．反对称的C．可传递的D．不可传递的13．设D=<V, E>为有向图,V={a, b, c, d, e, f}, E={<a, b>, <b, c>, <a, d>, <d, e>, <f, e>}是A．强连通图B．单向连通图C．弱连通图D．不连通图14．在有n个结点的连通图中,其边数A．最多有n-1条B．至少有n-1条C．最多有n条D．至少有n条15．连通图G是一棵树,当且仅当G中A．有些边不是割边B．每条边都是割边C．无割边集D．每条边都不是割边二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.16．任意两个不同的小项的合取为________________式,全体小项的析取式必为________________式.17．公式∀xPx→Qx,y∨∃zRy, z→Sx中的自由变元为________________,约束变元为________________.18．设集合M={x|1≤x≤12,x被2整除,x∈Z},N={x|1≤x≤12,x被3整除,x∈Z},则 M∩N=________________,M∪N=________________.19．设X={1,2,3},f：X→X,g：X→X,f={<1, 2>,<2,3>,<3,1>},g={<1,2>,<2,3>,<3,3>},则f g=________________,g f=________________. 20．设A={a,b,c},R是A上的二元关系,且给定R={<a,b>,<b,c>,<c,a>},则R的自反闭包rR= ________________,对称闭包sR= ________________.21．设Q为有理数集,笛卡尔集S=Q×Q,是S上的二元运算,∀<a, b>,<x, y>∈S, <a, b><x, y>=<ax, y+b>, 则运算的幺元是________________.∀<a, b>∈S,若a≠0,则<a, b>的逆元是________________.22．设是集合S上的二元运算,若运算满足________________且存在________________,则称<S,>为独异点.23．令A={a, b, c},<A, >是循环群,a是单位元,则b2=________________,c的阶是________________.24．如下无向图割点是________________,割边是________________.25．无向图G具有生成树,当且仅当________________.G的所有生成树中________________的生成树称为最小生成树.三、计算题本大题共5小题,第26、27小题各5分,第28、29小题各6分,第30小题8分,共30分26．集合A={a, b, c, d, e}上的二元关系R为R={<a,a>, <a,b>, <a,c>, <a,d>, <a,e>, <b,b>, <b,c>, <b,e>, <c,c>,<c,d>, <c,e>, <d,d>, <d,e>, <e,e>}1写出R的关系矩阵；2判断R是不是偏序关系,为什么27．利用真值表判断公式P∨Q∧Q→R→P∧R是否为重言式.28．给定图G如下所示,1写出G的可达矩阵；2G中长度为4的路有几条29．求下列公式的主析取范式和主合取范式：P→Q∧Q→R30．设A为54的因子构成的集合,R⊆A×A,∀x,y∈A, xRy⇔x整除y.画出偏序集<A,R>的哈斯图,并求A中的最大元,最小元,极大元,极小元.五、证明题本大题共3小题,第31、32小题各6分,第33小题8分,共20分31．设R是A上的一个自反关系,证明：R是一个等价关系,当且仅当若<a,b>∈R,<a,c>∈R,则<b,c>∈R.32．设<G,>是一个群,x∈G,定义：a b=axb, a,b∈G.证明：<G, >也是一个群. 33．设图G是具有6个结点,12条边的无向简单图,证明图G是汉密尔顿图.五、应用题本大题共2小题,第34小题8分,第35小题7分,共15分34．构造下面推理的证明.如果今天是星期六,我们就要到颐和园或圆明园去玩.如果颐和园游人太多,我们就不去颐和园玩.今天是星期六,颐和园游人太多,所以我们去圆明园玩.35．n个城市用k条公路的网络连结.一条公路定义为两个城市间的一条不穿过任1n-1n-2,何中间城市的道路.任意两个城市之间至多修一条公路.证明如果k>2则人们总能通过连结的公路,在任何两个城市间旅行.武汉理工大学离散数学考试试题 B卷答案站点：姓名：专业：层次。
离散数学复习题
离散数学复习题一、单项选择题1.下列命题公式为重言式的是【 A 】。
A．p→(p∨q) B．(p∨┐p)→qC．q∧┐q D．p→┐q2．下列语句中不是．．命题的是【 A 】。
A．这个语句是假的。
B．1+1=1.0C．飞碟来自地球外的星球。
D．凡石头都可练成金。
3．设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}，则A上包含关系“⊆”的哈斯图为【 C 】4．在公式)QyzPyxP∧∀→x∃y∃中变元y是【 B 】。
(z()))y,(()())((,A．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元5．设A={1，2，3}，A上二元关系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，则S是【 D 】。
A．自反关系B．反自反关系C．对称关系D．传递关系6．图中从v1到v3长度为3 的通路有【 D 】条。
离散数学试卷（B）第1页（共6页）离散数学试卷（B ）第2页（共6页）A ．0；B ．1；C ．2；D ．3。
7．在下列代数系统中，不是环的只有【 C 】。
A ．<Z ，+，*)，其中Z 为整数集，+，*分别为整数加法和乘法。
B ．(Q ，+，*)，其中Q 为有理数集，+，*分别为有理数加法和乘法。
C ．<R ，+，*>，其中R 为实数集，+为实数加法，a*b=a+2b 。
D ．<M n (R)，+，*>，其中M n (R)为实数集n×n 阶矩阵结合，+，*是矩阵加法和乘法。
8．下列整数集对于整除关系都构成偏序集，而能构成格的是【 B 】。
A ．{l ，2，3，4，5} B ．{1，2，3，6，12} C ．{2，3，7}D ．{l ，2，3，7}9．结点数为奇数且所有结点的度数也为奇数的连通图必定是【 D 】。
A ．欧拉图 B ．汉密尔顿图 C ．非平面图D ．不存在的10．无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且【 C 】。
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系 12．设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)=2x ，则f 是（ B ） A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
离散数学(B)答案
杭州师范大学钱江学院2013 —2014 学年第二学期期末试卷_ 班_《 离散数学 》(B)卷命题教师_田正平_一、判断题（对的打∨，错的打⨯；每空2分，共20分）1、 “如果地球比太阳大，那么月球就比地球大。
”是假命题。
（ ⨯ ）2、 “‘请勿吸烟!’,不是命题。
”是命题。
（ ∨ ）3、 命题)(p q p →⌝→是重言式。
（ ∨ ）4、 设集合},,{c b a X =上的关系R 的关系矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100111R M ，则关系R 是传递关系。
（ ∨ ）5、 在复数集合C 上关系}0),{(<++=ac di c bi a R 是等价关系。
（ ⨯ ）6、 有限偏序集),(≤X 必定存最大元。
（ ⨯ ）7、 集合},{b a A =到集合}3,2,1{=B 共有6个不同的关系。
（ ⨯ ） 8、 完全图n K 的色数n K n =)(χ。
（ ∨ ）9、 若图有欧拉通路，则图的所有顶点的度数都是偶数。
（ ⨯ ） 10、连通偶图一定是哈密顿图。
（ ⨯ ）二、填空题（每空4分，共20分）1、哈密顿图),(E V G =。
解： 包含),(E V G =的每一个顶点的基本回路称为G 的哈密顿回路。
具有哈密顿回 路的图称为哈密顿图。
2、将命题：“我今天出差，除非我病倒。
”符号化。
解：设命题P ：我今天出差，命题Q ：我生病。
则命题：“我今天出差，除非我病倒。
”可以符号化为：Q P ⌝↔。
3、全序集),(≤X 。
解：设),(≤X 是偏序集，且对X 中任意两个元素y x ,，关系x y y x ≤≤,总有一个成立，则称),(≤X 是全序集。
4、轮图n W 的色数4)(5=W χ。
5、设顶点v 是图),(E V G 的割点，则)()(G v G ωω>-三、选择题（每题4分，共20分）1、下面命题公式中，重言式是（ AB D ）（A ）)(Q P P ∨→ (B ) P P P ⌝→⌝→)((C) )()(R Q Q P P ∧⌝∧→⌝∨ (D) )()(Q P Q P ⌝↔⌝→↔2、设集合}10,6,4,3,2{=X 上的关系R 是整除关系，则关系R （ D ） （A ）有最大元，有最小元 (B)有最大元，无最小元(C) 无最大元，有最小元 (D) 无最大元，无最小元3、下图（ A ）（A ）有欧拉通路，有哈密顿回路 (B)有欧拉回路，无哈密顿通路(C) 无欧拉通路，无哈密顿回路 (D) 无欧拉回路，有哈密顿通路4、)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀↔∨∀是（ C ）（A ）永真式 (B) 矛盾式 (C) 可满足式 (D) 以上都不是5、 集合A={1,2,3}上的五个关系（1）)}3,3(),3,1(),2,1(),1,1{(1=R （2）)}3,3(),2,2(),1,2(),2,1(),1,1{(2=R （3）)}3,2(),3,1(),2,1(),1,1{(3=R （4）∅=4R （5）A A R ⨯=5中同时是对称关系和传递关系的是（ B ）（A ）431,,R R R (B) 542,,R R R(C ) 532,,R R R (D) 321,,R R R四、计算题（每题4分，共20分）1、 设集合}6,4,3,2{=X 上的关系R 是整除关系, 写出关系R 的关系矩阵。
2008级离散数学试题B
天津师范大学考试试卷2009 —2010学年第一 学期期末考试试卷（B 卷）科目： 离散数学学院： 管理学院专业：08信管、物流一、 单项选择题:在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代（每小题 分，本大题共 分）1.谓词公式(∀x)(P(x) ( ∃y)R(y)) → Q(x)中量词(∀x)的辖域是（ ）。
A. (∀x) (P(x) ( ∃y)R(y))B. P(x)C. P(x) ( ∃y)R(y)D. P(x),Q(x)2. 下列公式中哪些公式不是前束范式（ ）。
A. x ∀∃y(P(x) q(y))B. ∀x ∀y(P(x) Q(y) ( ∃z)S(z))C.Q(a,b)D. P3. 给定解释N 如下：个体域为自然数D N ；D N 上特定元素a = 0；D N 上特定函数f(x,y) = x+y , g(x,y) = x ∙y ； D N 上特定谓词E(x,y)为x=y ,下列公式为真的是（ ）。
A. ∀xE(g(x,a),x) B. ∀x ∀y ∀zE(f(x,y),z) C. ∀x ∀yE(f(x,y),g(x,y)) D. ∃x ∃yE(f(x,y),g(x,y))4. 设集合X≠∅，则空关系∅不具备的性质是（）。
xA.反自反性B.自反性C.对称性D.传递性5. 下列各式中，哪个不成立（）。
A.(∀x) (P(x) Q(x))⇔(∀x) (P(x) (∀x)Q(x))B.(∃x)(P(x) Q(x))⇔(∃x) (P(x) (∃x)Q(x)C.(∀x) (P(x) Q(x))⇔(∀x) (P(x) (∀x)Q(x)D.(∀x) (P(x) Q)⇔(∀x) (P(x) Q)6. 设个体域A={a,b},则∃x(F(x) G(x))消去量词为（）。
A. F(a) G(a)B. F(b) G(b)C. ( F(a) G(a) (F(b) G(b)))D. F(a) G(b)7. 给定A={1,2,3,4}，A上的关系R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}满足的性质是（）。
(完整版)离散数学试题及答案,推荐文档
11 设 A,B,R 是三个集合，其中 R 是实数集，A = {x | -1≤x≤1, xR}, B = {x | 0≤x < 2, xR},则
A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , . 13. 设集合 A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是 A 上的整除，则 R 以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式 G = xP(x)xQ(x)，则 G 的前束范式是__________________________
二、选择题
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
第 5 页 共 18 页
13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. x(P(x)∨Q(x)). 15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
__________________________，_____________________________,
__________________________.
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
东华大学《离散数学》2021-2022学年第一学期期末试卷B卷(B)
东 华 大 学 试 卷2021-2022学年第 1 学期 课号课程名称 离散数学 （期末; 闭卷） 适用班级（或年级、专业）1、对任意两个集合B A 和，证明 ()()A B A B A =⋂⋃-2、构造下面命题推理的证明如果我学习，那么我数学不会不及格；如果我不热衷于玩游戏机，那么我将学习；但我数学不及格，因此我热衷与玩游戏机。
二 、计算（本大题共4小题，第1小题5分，第2、3、4小题各10分，总计35分） 1、画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。
2、设()(){}212,，，个体域为为，整除为<x x Q y x y x P ，求公式： ()()()()()x Q y x P y x →∃∀,的真值。
3、一棵树有2n 个结点度数为2 ，3n 个结点度数为3，… ，k n 个结点度数为k ，问它有几个度数为1的结点。
4、设集合{}A d c b a A ,,,,=上的关系 {}d c c b a b b a R ,,,,,,,=，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。
三、设{}15,9,5,3=A 上的整除关系{}212121,,,a a A a a a a R 整除∈=，R 是否为A 上的偏序关系？若是，则：1、画出R 的哈斯图；2、求A 的极大值和A 的极小值。
（本大题10分）四、用推导法求公式()()R Q P →→的主析取范式和主合取范式。
（本大题10分） 五、设自然数集N 上的关系R 定义为：{}I m n n N n n n n R m ∈=∈=,2/,,,212121，证明：R 是N 上的等价关系。
（本大题10分）六、设+R R 和分别是实数集和正实数集，＋和×分别是普通加法和乘法，定义函数+→R R f :为r r f 10)(=，证明 ),(),(⨯++R R f 到是从的同构映射。
（本大题10分）七、设I 是整数集合，＋是普通加法，试证明>+<,I 是一个群。
大连东软信息学院09～10学年第一学期期末试题 离散数学(B卷)答案
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r: 我们到圆明园玩
s: 颐和园游人太多
前提:
,
,,
结论:
证明:○1
前提引入
○2
前提引入
○3
○1 ○2 假言推理
○4
前提引入
○5
前提引入
○6
○4 ○5 假言推理
○7
○3 ○6 析取三段论
…………（5 分） …………（10 分） …………（5 分） …………（10 分） …………（5 分）
…………（10 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
B
D
A
B
C
三、判断题，正确的打“√”，错误的打“×”(共 5 小题，每小题 2 分，本题满分 10 分)
1. √
2. √ 3.× 4. × 5. √
四、解答题(共 3 小题，每小题 10 分，本题满分 30 分)
1. 解：(1) (2)
(3) 2. (1)
………（4 分） …………（8 分） …………（10 分） …………（4 分）
大连东软信息学院 09～10 学年第一学期期末试题
离散数学（B 卷）标准答案及评分标准
学生层次：计算机系 09 级 计算机科学与技术\软件工程\网络工程 本科
一、填空题 (共 8 小题，每小题 2 分，本题满分 16 分)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
或
二、选择题 (共 8 小题，每小题 3 分，本题满分 24 分)
(2) 的关系矩阵为
的关系图如下:
2021离散数学II1试卷B答案
2021离散数学II1试卷B答案第1页共6页-DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD《离散数学》试卷b答案课程编号：03401519试卷类型：考试表：闭书考试日期：2022年6月26日（15:30—1730）NAN1-103题123456分总评分：1题答案写在试卷上，下一页是草稿纸，可撕开；2.不要携带任何书籍、材料、纸张等。
一(40分)选择填空（1）下面哪个陈述是正确的（）（a）“3x+5Y=0”是一个命题(b)命题公式(p∧(p→q))→q是矛盾式。
(c)命题函数是一个命题(d)n元谓词就是有n 个客体变元的命题函数，当:n=o时，它本身就这是一个提议。
(2)设p:天正在下雪；q:我将进城；r:我有空。
将下列句子：（a）只要我有空而且不下雪，我就进城去。
(b)虽然天正在下雪，但我将进城去。
（c）只要我有空，就会下雪。
（d）不下雪，我也没空。
符号化为：（a）q→（r）∧┑p） )；（b）p∧q（c）（q）→r）∧（r）→q） )；（d）┑（r）∨p）。
其中，哪一个是错的()答复：[（1）](3)下列判断中哪个结论是对的()（a）谓词公式（？X）P（X）∧（？Y）∧P（Y）是不可满足的。
离散数学考试试题(A、B卷及答案)
离散数学考试试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔ (A∧(P↔Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)⇔(⌝P∨⌝Q∨⌝A∨C)∧(⌝A∨P∨Q∨C)⇔((⌝P∨⌝Q∨⌝A)∧(⌝A∨P∨Q))∨C反用分配律⇔⌝((P∧Q∧A)∨(A∧⌝P∧⌝Q))∨C⇔⌝( A∧((P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)))∨C再反用分配律⇔⌝( A∧(P↔Q))∨C⇔(A∧(P↔Q))→C2) ⌝(P↑Q)⇔⌝P↓⌝Q。
证明：⌝(P↑Q)⇔⌝(⌝(P∧Q))⇔⌝(⌝P∨⌝Q))⇔⌝P↓⌝Q。
二、分别用真值表法和公式法求(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。
主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
证明：公式法：因为(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨(Q∧R)∨(⌝Q∧⌝R))⇔(⌝P∨Q∨R)∧(((⌝P∨Q)∧(⌝P∨R))∨(⌝Q∧⌝R))分配律⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝Q)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨R∨⌝Q)∧(⌝P ∨R∨⌝R)⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)⇔4M∧5M使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制M∧6为4⇔0m∨1m∨2m∨3m∨7m所以，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q R Q↔R P→(Q∨R)⌝P∨(Q↔R) (P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))0 0 0 0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1111111111111111111111由真值表可知，公式(P→(Q∨R))∧(⌝P∨(Q↔R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
华东师范大学06-07学年离散数学试卷B答案
m为奇数 m 2 或 ，有 Euler Path。 n为奇数 n 2
十二、 Proof： 假设每个连通分支含有 ri 个区域， ei 条边和 vi 个顶点 (i 1, 2,..., k ) ，那么，根据 Euler 定 理，有 ri ei vi 2 ，
ri ei vi 2k
i 1 k i 1 i 1
k
k
k
(r 1) 1 k 1 e v 2k ，
i 1 i
即 r k 1 e v 2k ， 那么： r e v k 1
C (100,
八、
100 k ) 2
n2
（a） an an 1 an 2 2 （b） a0 0, a1 0
(n 1)
九、 Solution： a) 相应的齐次递推关系的特征方程为 r 2 ， 所以相应的齐次递推关系的通解为： an
( p)
1n ，又 1 不是相应的齐次 1 2n ，而 2n 2 2n 2
[ a ] [b] . It follows that [ a ] [b] since [ a ] is nonempty.
Next, we will show that (3) implies (1). Suppose that [ a ] [b] . Then there is an element c with c [ a ] and c [b] . In other words, aRc and bRc . By the symmetric property, cRb . Then by transitivity, since aRc and cRb , we have
计算机学院2009—2010年离散数学(上)B卷和参考答案及评分标准
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（B 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单选题（每小题2分，共20分）1. 若P ：他聪明；Q ：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P ∨QB.P ∧┐QC.P →┐QD.P ∨┐Q2. 设个体域为{,}D a b =,(,)(,)0F a a F a b ==,(,)(,)1F b a F b b ==,则下列公式为真的是( ）A. (,)x yF x y ∃∀；B. (,)x yF x y ∀∃；C.(,)x yF x y ∀∀；D.(,)x yF x y ∃∃¬。
3. 设B 是不含变元x 的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B 4. 对任意集合C B A ,,，下列各式中一定成立的是（ ）A.)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃=⊕⋃；B. )()()(C A B A C B A ⋃⋂⊕=⋂⊕；C. )()()(C A B A C B A ⋃⊗⋃=⊗⋃；D. )()(C B A C B A ⨯⨯=⨯⨯。
5. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( )A.R ∪I AB.RC.R ∪{〈c,a 〉}D.R ∩I A6. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系，R 应取( )A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉}C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉}D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 7. 下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅ 8. 以下命题公式中，为永假式的是( )A.p →(p ∨q ∨r)B.(p →┐p)→┐pC.┐(q →q)∧pD.┐(q ∨┐p)→(p ∧┐p) 9. 设1π和2π是非空集合A 的划分，则下列集合一定是A 的划分的是（ ）A.12ππB.12ππC.12ππ-D.1211()ππππ-10. 设N 和R 分别为自然数和实数集合，则下列集合中与其他集合的基数不同的集合是（ ）A.RB.N NC.()N ρD.n N （n N ∈）二、判断题（每小题2分，共10分。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。
答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。
答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。
答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。
答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。
答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。
2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。
例如，小于关系就是一个二元关系。
3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。
答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。
例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。
四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。
2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。
答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。
东北大学离散数学考试试卷( B 卷)
东北大学考试试卷（B卷）2011—2012 学年第 1 学期课程名称： 离散数学总分 一 二 三 四 五 六 七 八一．将下面命题符号化(8分)1．如果天气好，我将去游乐场，否则我将呆在家中。
(P→Q)∧(¬P→R)2．只有计算机专业的学生和非大一学生才可以访问校园网。
R→(P∨Q)3．并非所有学习好的大学生都想成为科学家。
¬∀x((A(x) ∧B(x)) →C(x))4．尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
∃x(A(x) ∧B(x)) ∧¬∀x((A(x) →B(x))二．(10分) 填空(每空1分)1.（3分）A与B是全集E的子集,给定集合X={P,Q,R,S,T,U,V,W,Y,Z},其中的元素都表示命题，如下所示：P: A－B=A Q:A∩B=B R:A⊆B S: A⊆∼B T: B⊆AU: ∼B⊆∼A V:A∩B=Φ W:A∪B=B Y: ∼A⊆∼B Z: B⊆∼A又令R是X上的命题等价关系,则商集X/R=({{P,S,V,Z},{R,U,W},{Q,T,Y}} )2.(每空1分)令R和S都是人类上的关系，且R={<x,y>|x是y的父亲} S={<x,y>|x是y的母亲} 则S o R表示( 祖母和孙子 )关系； R o S C表示( 夫妻 )关系。
3.(每空1分) 设f是从A到B的函数，g是从B到A的函数，如果f go是双射的，则f是__满___射的，g是__入___射的。
4.(每空1分)A,B是有限集合, P(A)表示A的幂集,已知|A|=3,|P(B)|=64,|P(A∪B)|=256, 则|B|=( 6 ), |A-B|=( 2 ), |A⊕B|=( 7 )。
三．(8分)写出命题公式P→((R→Q)∧(¬R→¬Q)) 的主析取范式。
解：P→((R→Q)∧(¬R→¬Q))⇔¬P∨((¬R∨Q)∧(R∨¬Q))⇔(¬P∨¬R∨Q) ∧(¬P∨ R∨¬Q)即命题公式的主合取范式中的大项为M6和M2所以其主析取范式中的小项有m0,m3,m4,m5,m6,m7即主析取范式为：(P∧R∧Q)∨( P∧¬R∧¬Q) ∨(¬P∧R∧Q) ∨(¬P∧R∧¬Q) ∨(¬P∧¬R∧Q) ∨(¬P∧¬R∧¬Q) 四．(15分)已知R1、R2是集合Ａ上的等价关系，问R1∪R2、R1∩R2、R1-R2、r((A×A)-R1)中哪些是A上的等价关系？如果不是说明理由，或举反例。
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离散数学练习题B
一、简要回答下列问题：
1．什么是消去环？请举一例。
2．请给出公式R→P的真值表。
3．什么是恒真公式？举一例。
4.什么是子句？什么是短语？
5．请给出命题∃xG(x)的真值规定
6．什么是最优树？
7．什么是群？举一例。
8．给出环的定义。
举一例。
9．什么是整区？举一例。
10．什么是半序格？请举一例。
二、对任意集合A，B，证明：
(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；
(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；
(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)
三、证明：映射的乘法满足结合律，举例说明：映射的乘法不满足交换律。
四、判断下列公式是恒真？恒假？可满足？
a) (P→(Q∧R))∧(⌝P→(⌝Q∧⌝R))；
b) P→(P∧(Q→P))；
c) (Q→P)∧(⌝P∧Q)；
d) (⌝P∨⌝Q)→(P↔⌝Q)。
五、证明：连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。