动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量
大学物理实验报告实验35动态悬挂法测定杨氏模量
⼤学物理实验报告实验35动态悬挂法测定杨⽒模量⼤学物理实验教案实验名称：动态悬挂法测定杨⽒模量1 实验⽬的1）⽤动态悬挂法测定⾦属材料的杨⽒模量； 2）培养学⽣综合应⽤物理仪器的能⼒； 3）进⼀步熟悉⽰波器的使⽤。
2 实验仪器YM-2型动态杨⽒模量测试台1台、YM-2型信号发⽣器1台、⽰波器S16B 、天平1台、游标尺和螺旋测微计各⼀只、试样铜棒和不锈钢棒各⼀根。
3 实验原理3．1 实验原理杨⽒模量是⼯业材料的⼀个重要参数，它标志着材料抵抗弹性形变多的能⼒。
本实验将⼀根截⾯均匀的试样棒悬挂在两只传感器（⼀只振荡，⼀只拾振）下⾯，在两端⾃由的条件下，使做⾃由振动。
根据棒的振动⽅程42420y S yx EJ t ρ??+=??求解该⽅程，对圆棒得3241.6067l m E fd =（1）式中l 为棒的长度，d 为棒的直径，m 为棒的质量，f 为固有频率。
⽤悬挂法测量杨⽒模量时，共振频率和固有频率相⽐只偏低0.005%。
在本实验中测得的是共振频率，由于两者相差极⼩，故（1）式中的固有频率f 在数值上可以⽤试样的共振频率代替。
3．2 实验⽅法由（1）式，样品的尺⼨可以⽤卡尺和千分尺测量，质量的测量可以⽤天平。
固有频率f 的测量采⽤动态悬挂法进⾏。
由信号发⽣器输出的正弦波电压，加在传感器（激荡）上，通过传感器（激荡）把电信号转变成为机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫做振动，试样另⼀端的悬线把试样的振动传给传感器（拾荡），这时机械振动⼜转变成电信号。
该信号经放⼤器后送到⽰波器中显⽰。
当信号发⽣器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发⽣共振，⽰波器上⼏乎没有信号或信号波形或波形很⼩。
当信号发⽣器的频率等于试样的共振频率时，试样发⽣共振。
这时⽰波器上的波形突然增⼤，读出的频率就是试样在常温下的共振频率。
4 教学内容（1）实验装置熟悉及安装（2）实验数据测量1）分别⽤卡尺、千分尺、天平测定试样（铜棒、不锈钢棒）的长度l 、直径d 、质量m ，其中直径d 应在不同位置多次测量取其平均值。
动态法测量金属的杨氏模量
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杨氏模量的介绍：
杨氏模量是描述固体材料抵抗形变能力的物理量，仅取 决于材料本身的物理性质。一条长度为L、截面积为S的金 属丝在力F作用下伸长ΔL。F/S叫应力，其物理意义是金属 数单位截面积所受到的力；ΔL/L叫应变，其物理意义是金属 丝单位长度所对应的伸长量。应力与应变的比叫杨氏模量。
凹槽，悬线可以挂在这些小凹槽上以防止测试棒发生左右 移动 问题二：实验中发现测试棒放置时支撑点磨损导致测试棒 不水平 改进措施:设计实验装置时可将支撑点改装成可上下调动。 问题三：电子仪器在运行过程中会产生机械振动，会对共 振频率的测量产生影响 改进措施：将信号发生器与示波器放在另一张桌子上面
0
x 4 EJ t 2
用分离变量法解方程，于是上式的通解为：
y(x,t) (B1chKx B2shKx B3 cosKx B4 sin Kx)Acos(t )
式中：
1
K 4 EJ
S
2
上式称为频率公式。频率公式对任意形状的截面、不 同边界条件的试样都成立，我们只要用特定的边界条件定 出常数K，代入特定截面的惯量矩J，就可以得到具体条件 下的计算公式了。
l 4S
2
则杨氏模量为： E 1.9978 103 l 4S 2 7.8870 102 l 3m f 2
J
J
该公式适用于各种形状的金属棒（如横截面为圆形、
方形、三角形、多边形金属棒等）对于不同的金属棒,其惯
动态法测量金属杨氏模量
扬天文通/率大等物理价/实龄动态法测杨氏模量班级:姓名:姓名:动态法测杨氏模量一、实验目的1.学习用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
2.培养学生综合运用物理实验仪器的能力。
3.进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。
二、实验原理悬挂法是将试样（圆棒或矩形棒）用两根悬线悬挂起来并激发它作横振动。
在一定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。
如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率，就可以计算出试样在不同温度卜的杨氏模最。
根据杆的横振动方程式04yps02y——r+=0（1）永4EJ a-式中P为杆的密度，S为杆的截面积，J=[y2ds称为惯量矩（取决于截面的形状），E即为杨氏模量。
求解该方程，对圆形棒得（见附录）E=1.6067?-^f2d4式中：1为棒长；d为棒的直径；m为棒的质量；f为试样共振频率。
对于矩形棒得：E=0.94644^f2bh3式中：b和h分别为矩形棒的宽度和厚度：m为棒的质量：f为试样共振频率。
在国际单位制中杨氏模最E的单位为N•nr?。
本实验的基本问题是测量在一定温度下试样的固行频率f。
实验中采用如图1所示装置。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在换能器（I）上。
通过换能器把电信号转变成机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样作横向振动。
试样另一端的悬纹，把机械振动传给换能器（II）,这时机械振动又转变成电信号。
该信号经放大后送到示波器中显示。
而数字频率计则用于测定信号发生器的信号频率。
当信号发生器的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器卜.几乎没有波形或波形很小。
当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，示波器的波形突然增大，这时频率计上读出的频率就是试样在该温度下的共振频率f。
将此f值代入（3）式或（4）式，即可计算出该温度卜.的杨氏模量。
不断改变加热炉的温度，即可测出在不同温度卜的杨氏模量。
频率计l—pR发生器f图1动态测最畅氏膜量装置图三、实验仪器悬挂式测定装置、变温装置、支掠式测定支架、功率函数信号发生器、示波器。
实验四 动态悬挂法测定工程材料的杨氏模量
• 由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传 感器Ⅰ上：通过传感器Ⅰ 把电信号转变成机械 振动，再由悬线把机械振动传给式样，使试样 受迫作横振动。试样的另一端的悬线把试样的 机械振动传给传感器Ⅱ，这是机械振动又转变 成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。 • 当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时， 式样发生共振。这时示波器上的波形突然增大， 读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。 根据（1）式，即可以计算出该温度下的杨氏 模量。不断改变加热炉的温度，可以测出在不 同温度时的杨氏模量。
如果在实验中测定了试样在不同温度时的固有频率f即可以计算出试样在不同温度时的杨氏模量e在国际单位制中杨氏模量的单位为牛顿米22
实验四 动态悬挂法测定工程 材料的杨氏模量
• 杨氏模量是工程材料的一个重要物理参 数。它标志着材料抵抗弹性变形的能力 按国标的测量方法是“动态悬挂法”。 其基本方法是将一根截面均匀的试样悬 挂在两只传感器下面，再来能割断自由 的条件下，使左自由振动。实验时监测 出试样振动时的固有基频，并根据试样 的几何尺寸，密度等参数，测得材料的 杨氏模量。
〈五〉讨论问题
• 1.试从分析误差，计论试样的长度l、直径d、质量 m、共振频率f分别应该采用什么规格的仪器测量？ 为什么？ 2.估算本实验的测量误差。可从以下几个方面考 虑：①仪器误差限。②悬挂点偏离节点引起的误 差。③炉温分布不均匀和温度测量不准确引起的 误差。④因操作者技术不熟练引起的误差。
•
〈六〉设计性扩展实验
• 1.试用李萨如较长形法判别试样的共振频率。 • 2.根据实验原理，要使试样自由振动就应把悬 线吊扎在试样的节点上（见附录一），但这样 做就不能激发和拾取试样的振动。因此实际的 吊扎位置都要偏离节点。请你用“内插法”准 确测定悬线吊扎在试样节点上时的共振频率， 并修正你的实验结果。
6动态悬挂法测量金属的杨氏模量
物理实验中心实验指导书动态悬挂法测量金属的杨氏模量动态悬挂法测量金属的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量。
其基本方法是：将一根截面均匀的试棒悬挂在两只传感器(一只激振，一只拾振)下面。
在两端自由的条件下，使之自由振动。
测出试件的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模量。
一、实验目的1．学习用动态法测量杨氏模量的原理和方法。
2．掌握固有频率和共振频率的概念，了解用示波器观察共振现象的基本方法。
3．了解外延测量法及其适用条件。
4．了解动态法测量杨氏模量的基本过程及其注意事项。
二、实验原理任何物体都有其固有的振动频率，这个固有振动频率取决于试样的振动模式、边界条件、弹性模量、密度以及试样的几何尺寸、形状。
只要从理论上建立了一定振动模式、边界条件和试样的固有频率及其他参量之间的关系，就可通过测量试样的固有频率、质量和几何尺寸来计算弹性模量。
1．杆振动的基本方程一细长杆做微小横(弯曲)振动时，取杆的一端为坐标原点，沿杆的长度方向为x 轴建立坐标系，利用牛顿力学和材料力学的基本理论可推出杆的振动方程：02244=∂∂⋅+∂∂tz EJ S x z ρ （1） 式中),(t x U 为杆上任一点x 在时刻t 的横向位移；E 为杨氏模量；J 为绕垂直于杆并通过横截面形心的轴的惯量矩；ρ为密度。
用分离变量法求解方程得到通解，进而得到杆的振动频率与杨氏模量的关系式，即214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S EJ k ρω。
2．杨氏模量的测量杆的振动基频满足条件π506.11=L k ，代入频率公式，同时考虑转动惯量，即可得到振动法测量杨氏模量的公式2436067.1f dmL E = (2) 式中m 为棒的质量，单位为g ，d 为棒的直径，单位为mm ，取L 的单位亦为mm ，f 为基频振动的固有频率，计算出的杨氏模量E 的单位为N/m 2。
实验二动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量
实验二 动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。
目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量,也是国家标准指定的一种测量方法。
其基本操作是：将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振，一只拾振）下面。
在两端自由的条件下，使之作自由振动。
测出试样的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模量。
一、实验目的1、用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
2、培养学生综合应用物理仪器的能力。
3、学习确定试样节点处共振频率的方法。
二、仪器与用具动态杨氏模量实验仪（包括试样、杨氏模量测试台、信号发生器），存贮示波器，电子天平，螺旋测微器，游标卡尺三、实验原理对于一根水平放置的细棒，以水平方向为x 轴，竖直方向为轴，由棒的横振动方程：044222=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂x yS EJ t y ρ （2.1）用分离变量法解以上方程对圆形棒得：。
2436067.1fd m l E = （2.2）上两式中，E 为杨氏模量，l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量，S 为棒的截面积，ρ为棒的密度。
如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量E 。
在国际单位制中杨氏模量的单位为（2-⋅m N ）。
本实验的基本问题是测量试样在不同温度时的共振频率。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器I （激振）上。
通过传感器I 把电信号转变成机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。
试样另一端的悬线把试样的振动传给传感器II （拾振），这时机械振动又转变成电信号。
该信号经放大后送到示波器中显示。
当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。
实验三十五 用动态法测定金属的杨氏模量
实验三十五 用动态法测定金属的杨氏模量杨氏模量是描述固体材料弹性形变的一个重要物理量。
用静态拉伸法可以测出杨氏模量，但此方法的缺点是负荷大，加载速度慢，存在弛豫过程，不能真实地反映材料内部结构的变化；在拉伸过程中，样品的横向和纵向都有形变，而此法忽略横向形变；另外，也不能用于测量脆性材料。
动态悬挂法可以克服这些缺点，是一种非常实用的测量方法。
【实验目的】1. 学会用动态悬挂法测量金属材料的杨氏模量。
2. 培养学生综合应用物理仪器的能力。
【实验仪器】DCY-3型动态杨氏模量测定仪，信号发生器，示波器，游标卡尺，千分尺，物理天平等。
【实验原理】若将一均匀棒悬挂起来，如图5-35-2所示，并使之发生横向振动，其振动方程为02244=∂∂⋅+∂∂t yEJ S x y ρ 式中, y 为振动位移, x 为纵向变量, t 为时间, ρ为棒的密度, S 为棒的截面面积, E 为棒的 杨氏弹性模量, J 称为惯性矩。
振动方程为偏微分方程。
用分离变量法 求解方程(求解过程见附录)，得:圆形棒图5-35-2（5-35-1）图5-35-1 DCY-3型动态杨氏模量测定仪 信号发生器 支撑支架2436067.1f dm l E =式中，l 为棒长，d 为棒的截面直径，m 为棒的质量，f 为棒的固有频率。
矩形棒2339464.0f bhm l E =式中，b ，h 分别为棒的宽和厚。
在国际单位制中，杨氏模量的单位为牛顿/米2（N ·m -2）。
实验原理图如5-35-3所示。
由信号发生器输出的正弦信号，加到激发换能器Ⅰ上，通过激发换能器Ⅰ把信号转变成机械振动，再由悬丝把机械振动传给待测试样，使试样受迫做横向振动，试样另一端的悬丝将振动传给接受换能器Ⅱ，这时机械振动又转变成电信号。
该信号送到示波器中显示。
当信号发生器的频率不等于待测试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上没有电信号，或波形幅度很小。
当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，这时示波器上电信号波形幅度最大，此时信号发生器输出的信号频率，就是试样在该温度下的共振频率，代入公式（5-35-2），即可求出该温度下圆形棒试样的杨氏模量。
动态悬挂法测杨氏模量
动态悬挂法测杨氏模量课 次班号: 日期: 实验室名称: 试验人: 指导老师:实验目的（1） 用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量;（2） 培养学生综合应用物理仪器的能力;（3） 通过设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神.主要仪器杨氏模量仪、示波器实验原理杨氏模量 F L E SL ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭的计算式:3241.6067l m E f d = 其中d 为圆棒直径，l 为棒长，m 为棒的质量，f 为棒的固有频率.因此只需实验测得棒的固有频率，代入上式即可求出该材料的杨氏模量.（严格地说，用以下方法测得的“f ”并非所需的固有频率，实际应是f ，这里近视认为二者相等.）压电陶瓷在加上电压时，会发生形变；在有形变时也会产生电压.利用这种压电效应，在棒的一端通过压电陶瓷给棒施以一定频率范围内的正弦驱动力，同时检测与棒的另一端相连的压电陶瓷上的电势差变化以确定其受迫震动情况.当所加驱动力的频率接近棒的固有频率时，棒的振幅将显著增大.继续调节驱动力的频率，当示波器显示正弦电压变化达到最大振幅时，产生共振，此时驱动信号的频率等于棒的固有频率.由于在棒上距两端约为总长的0.22倍处有两个节点（如图所示A 、B 两点），理论上此处的振动为零，实际上也极其微弱，很不容易测量；但我们也正是要测当棒悬挂在此两处的振动频率.解决此矛盾的方法是，使用外延法：多次分别测量当悬点距棒端x 时棒的固有频率f （当然，当0.22x l =时的f 是无法测量的），然后近似作出f x -图象，由于物理量都是连续函数，可以推测当0.22x l =时f 的值.实验内容本次我组测量钢的杨氏模量1、 测量钢棒的长度l 和直径d .应多次测量取平均值.测得:l 159.8mm, d 6.05mm.2、 测量钢棒的质量m .此次质量已被事先测得:m 35.65g.3、 将钢棒悬于测量仪器上，调整两悬点到棒两端距离一致，记下此距离.第一次x 16.5mm.4、 将两根悬线上的压电陶瓷分别接到杨氏模量仪和示波器上,调节示波器,至出现稳定波形;然后调节杨氏模量仪的输出频率.首先使用粗调,当观察到波形振幅显著增大时,改用微调,直至振幅达到最大.记下此时的输出频率.第一次测得f 1045Hz.5、 改变x ,重复步骤3、4,测出多组结果.结果如下表所示:6、 作出f x -图像：7、 在图上找出当x 0.22l 35.2mm 时对应的f 的值. f 1040Hz.8、 将m 、d 、l 、f 各量代入3241.6067l m E f d=中，得出此钢材料的杨氏模量 11=188699101734Pa 1.8910Pa E ≈⨯9、 整理仪器.注意事项1、 应选用较细的棉线作为悬绳,以减少对棒的振动的影响.2、 悬绳应与棒的两端等距．3、 调节频率时,应先粗调,调到目标频率附近时再细调.有经验的话,可直接调到目标值,如本次试验的钢棒的固有频率约为1040Hz.4、 开始时不应将示波器中的波形的振幅调到过大,共振时振幅往往会增大数倍. 试验建议1、本实验用的杨氏模量仪的输出频率最多只有四位有效数字,如果能提高输出精度,将能有效地减小误差.2、钢棒中央贴的标签对棒的固有频率有影响，方便的话，应将它取下再测量.=======≈。
实验四动态悬挂法测定工程材料的杨氏模量
在达到预定拉伸力后，逐渐减少砝码的质量，使材料逐渐恢 复到原始状态。在卸载过程中，同样需要记录拉伸力的大小 和材料的变形情况。
数据记录与处理
数据记录
在实验过程中，需要实时记录拉伸力的大小、材料的变形情况以及环境温度、湿度等参数。这些数据对于后续的 数据处理和分析至关重要。
数据处理
根据实验记录的数据，可以绘制出拉伸力与材料变形之间的曲线图。通过曲线图可以直观地观察材料的力学性能， 如弹性阶段、屈服点、强化阶段等。同时，可以根据曲线图计算出工程材料的杨氏模量，即材料在弹性阶段的应 力与应变之比。
将工程材料试样安装在 悬挂装置上，调整激振 器位置使其能够激发试 样振动，并确保测量仪 器能够准确测量共振频 率和振幅等参数。
开启激振器，使试样产 生振动，同时记录共振 频率和振幅等实验数据 。为确保实验结果的准 确性，可进行多次实验 并取平均值。
将实验数据输入计算机 ，利用相关软件进行数 据处理和分析，计算得 到工程材料的杨氏模量 。
对未来实验的展望
01 02
拓展应用领域
动态悬挂法作为一种有效的测量杨氏模量的方法，未来可以应用于更多 类型的工程材料测量中，为材料力学性能的研究提供更加准确的数据支 持。
引入新技术和新方法
随着科技的不断进步，未来可以引入新技术和新方法来改进动态悬挂法 的测量精度和效率，如采用激光干涉测量技术、数字化信号处理技术等。
动态悬挂法通过测量振动频率和 振幅等动态参数，能够快速准确 地测定杨氏模量，提高实验效率。
适用性广
该方法适用于各种形状和尺寸的 试样，对于复杂结构和非常规材 料的杨氏模量测定具有优势。
无损检测
动态悬挂法属于无损检测方法， 不会对试样造成破坏，有利于保 护珍贵材料和降低成本。
动态法测定金属杨氏模量
量时,Q值的最小值约为50,所以共振频率和固有频率相比
0.776L 由于节点处的振动幅度几乎为零，很难激振和检测，所
可以计算出试样在此温度时的杨氏模量。系。
②长对到于 待脆求性值➢材范由料围不，于能在用延节拉长伸线点法部测分处量求出的所要振的值动。 幅度几乎为零，很难激振和检测，所
直径d(mm)
d7 .93 0 .5 00 m5 m
? f 共
本次实验的重点， 用外推法找出节点的共振频率
外推法的引入 外推法：所需数据在测量范围之外，为了求得这个数值，
其中K0 L = 0的根对应于静止状态， K1 L= 4.
005%,故实验中都是用 f共 代替 f固。
静态法：光杠杆放大原理，把及其微小
动态法测定金属杨氏模量
一、课题引入
？杨氏模量是工程材料的重要参数，它是描述材料刚性特
征的物理量，它反应材料形变(应变)与内应力之间的关系。
杨氏模量的测量方法：静态法(丝状)和动态法(棒状)。
➢ 静态法简单原理：F E L SL
缺点：①不能很真实地反映材料内部结构的变化 ②对于脆性材料不能用拉伸法测量 ③不能测量材料在不同温度下的杨氏模量
➢ 动态法优点：①能准确反映材料在微小形变时的物理性能 ②测得值精确稳定 ③对软脆性材料都能测定 ④温度范围极广（−196 ℃ ~ +2600℃）
二、实验简介
“动态法”通常采用悬挂法(或支撑法),将金属试样用 两 根悬线悬挂起来(或用两个支持点支撑起来),并激发它做弯 曲振在动一。定条件下,试样振动的固有频率取决于它的几何形 状、尺寸、质量以及它的杨氏模量,如果我们在实验中测出 一定温度下试样的固有频率、几何形状、尺寸、质量等,就 可以计算出试样在此温度时的杨氏模量。
动态法测定金属材料的杨氏模量
动态法测定金属材料的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
测量材料杨氏模量的方法很多，诸如拉伸法、压入法、弯曲法和碰撞法等。
拉伸法是最常用的方法之一。
但该方法使用的载荷较大，加载速度慢，且会产生驰豫现象，影响测量结果的精确度。
另外，此法还不适用于脆性材料的测量。
本实验动态杨氏模量测量仪用振动法测量材料的杨氏模量。
【实验目的】1、了解测量材料杨氏模量的原理；2、学会用作图外推求值法测量振动体基频共振频率；3、学会用动态法测定金属材料的杨氏模量。
【实验器材】YJ-DYZ-I动态杨氏模量综合实验仪及其专用信号源、示波器、钢卷尺、游标卡尺、电子天平。
【实验原理】在外力的作用下，当物体的长度变化不超过某一限度时，撤去外力之后，物体又能完全恢复原状。
在该限度内，物体的长度变化程度与物体内部恢复力之间存在正比关系。
杨氏模量是反映材料应变(即单位长度变化量)与物体内部应力(即单位面积所受到的力的大小)之间关系的物理量。
或者说是反映材料的抗拉或抗压能力。
应变为单位长度的变化量:L L∆；应力为单位面积受到的力:F S；所以有：杨氏模量F SEL L=∆进一步得：F S ESE F L F kxL L L=⇒=∆⇒=∆ESkL=。
所谓“动态法”就是使测试棒（如铝棒、不锈钢棒、铜棒）产生弯曲振动，并使其达到共振，通过共振测量出该种材料的杨氏模量值。
在一定条件下（l d）,试样在某温度下圆棒的杨氏模量为：3241.6067l mE fd=。
其中E为金属棒的杨氏模量，l为金属棒的长度，d为金属棒的直径，m为金属棒的质量。
在实验中测定了试样（金属棒）在某一温度时的固有频率（基频谐振频率）f ，即可计算出试样在该温度时的杨氏模量E 。
国际单位制中，杨氏模量的单位为-2•牛顿米。
现实情况不太可能达到ld 的条件，故对原理公式需要作些适当的修正，即原理公式基础上再乘以一个修正量。
3241.6067l m E f T d= 本实验统一近似取 =1.008T 。
实验报告 用动态法测定金属的杨氏模量
=
解得该振动方程的通解为
y（x，t）=（B1chKx+B2shKx+B3cosKx+B4sinKx）Acos（ωt+φ）
式中
ω=
称为频率公式。频率公式对任意形状的截面、不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K，带入特定截面的惯量矩J，就可以得到具体条件下的计算公式。如果悬线悬挂在试样的节点（处在共振状态的棒中，位移恒为零的位置）附近，则棒的两端均处于自由状态。此时其边界条件为自由端横向作用力F和弯矩M均为零，即
所以Cu的共振频率为f1=751Hz
实验报告用动态法测定金属的杨氏模量
物理科学与技术学院13级弘毅班吴雨桥2013301020142
【实验原理】
对于长度L≫直径d、两段自由地做微小横振动的均匀细棒，其振动满足方程
+ =0
式中，ρ为棒的密度，S为棒的截面积，J= dS称为惯量矩（取决于截面的形状），E为杨氏模量，y为棒振动的位移，x为位置坐标，t为时间变量。
6
平均值
长度l/cm
17.95
17.94
17.92
17.91
17.93
17.92
17.93
直径d/cm
0.800
0.794
0.796
0.792
0.796
0.796
0.796
质量m/g
75.297
75.299
75.301
75.297
75.295
75.297
75.298
d/l=0.044R=1.008
共振频率测量Cu
【实验仪器】
动态共振法测金属材料的杨氏模量
动态共振法测金属材料的杨氏模量摘要：动态共振法是一种常用的非破坏性测试方法，可以用于测量金属材料的杨氏模量。
本文将介绍动态共振法的原理和应用，以及在测量金属材料杨氏模量中的具体步骤和注意事项。
1. 引言杨氏模量是衡量金属材料刚度和弹性的重要指标，对于工程设计和材料选择具有重要意义。
传统的测量方法包括静态拉伸试验和压缩试验，但这些方法需要破坏样品，不适用于已加工的零件和复杂结构。
动态共振法作为一种非破坏性测试方法，逐渐被广泛应用于金属材料的杨氏模量测量。
2. 动态共振法原理动态共振法基于材料的固有振动频率与杨氏模量之间的关系，通过测量材料在不同频率下的共振振动来计算杨氏模量。
当材料受到外力激励时，会产生共振，即材料的振动幅度达到最大值。
通过测量共振频率和振动幅度，可以计算出杨氏模量的数值。
3. 动态共振法的应用动态共振法广泛应用于金属材料的杨氏模量测量。
例如，在航空航天领域中，需要对飞机结构和发动机零件进行杨氏模量测试，以保证其安全性和可靠性。
此外，在汽车制造、建筑工程和电子设备等领域，也需要进行金属材料的杨氏模量测量。
4. 动态共振法测量金属材料杨氏模量的步骤（1）选择适当的实验设备：动态共振法需要使用共振测试设备，包括振动台、加速度传感器和频谱分析仪等。
（2）准备样品：根据实际需求，选择合适的金属材料样品，并进行表面处理，以保证测试结果的准确性。
（3）固定样品：将样品固定在振动台上，并通过调整夹具和压紧螺栓等方式确保样品的固定稳定。
（4）施加外力：通过振动台施加外力激励样品，使其产生共振振动。
（5）测量共振频率：使用加速度传感器测量样品在不同频率下的共振振动，并记录共振频率。
（6）计算杨氏模量：根据共振频率和杨氏模量之间的关系，使用合适的公式计算杨氏模量的数值。
5. 动态共振法的注意事项（1）样品的表面处理要充分，以保证测试结果的准确性。
（2）样品的固定要牢固，以防止振动干扰和误差。
（3）在进行测试时要避免外界干扰，如风力、温度变化等。
实验报告用动态法测定金属的杨氏模量
实验报告 用动态法测定金属的杨氏模量物理科学与技术学院 13级弘毅班 吴雨桥【实验原理】对于长度L ≫直径d 、两段自由地做微小横振动的均匀细棒，其振动满足方程ð4y ðx 4+ρS EJ ð2y ðt 2=0式中，ρ为棒的密度，S 为棒的截面积，J=∫y 2sdS 称为惯量矩〔取决于截面的形状〕，E 为杨氏模量，y 为棒振动的位移，x 为位置坐标，t 为时间变量。
用别离变量法解方程，令y 〔x ，t 〕=X(t)T(t)代入方程，有1X d 4X dx 4=ρS EJ 1T d 2T dt 2解得该振动方程的通解为y 〔x ，t 〕=〔B 1chKx+B 2shKx+B 3cosKx+B 4sinKx 〕Acos 〔ωt+φ〕 式中ω =(K 4EJ ρS)12称为频率公式。
频率公式对任意形状的截面、不同边界条件的试样都是成立的。
我们只要用特定的边界条件定出常数K ，带入特定截面的惯量矩J ，就可以得到详细条件下的计算公式。
假设悬线悬挂在试样的节点〔处在共振状态的棒中，位移恒为零的位置〕附近，那么棒的两端均处于自由状态。
此时其边界条件为自由端横向作用力F 和弯矩M 均为零，即F=- ðMðx =- EJð3yðx3=0弯矩M=EJð2yðx2=0故有d4X dx4|x=0=0 d3Xdx3|x=l=0 d2Xdx2|x=0=0 d2Xdx2|x=l=0将通解代入边界条件，可以得到cosKl*chKl=1，可用数值解法求得本征值K和棒长l应满足Kl=0，4.730，7.853，10.996，14.137，。
一般将K1l=4.730所对应的频率称为基频频率。
试样在做基频振动时，存在两个节点，它们的位置间隔端面为0.224l和0.776l处。
将第一本征值K1=4.730l代入频率表达式，得到自由振动的固有圆频率〔基频〕ω = (4.7304EJρl4S ) 1 2解出杨氏模量E=7.8870*10−2l3mJf2对于直径为d的圆形棒，惯量矩J=∫y2s dS=S(d4)2=πd464代入上式可得E=1.6067l3md4f2式中，l为棒长，d为棒的直径，m为棒的质量，f为试样共振频率。
动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量实验报告
实验名称 动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量一.目的与要求1.用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
2.培养综合应用物理仪器的能力。
3.学习用图示法表达实验结果。
二.原理根据棒的横振动方程：02244=∂∂+∂∂tyYJ S x y ρ （1） 式中J Y S 、、、ρ分别表示材料的密度、样品（棒）的截面积、材料的杨氏模量、特定截面的惯量矩。
求解方程，得圆形棒的杨氏模量为2436067.1f dm l Y = （2）式中 为棒长，d 为棒的界面直径，m 为棒的质量。
若是矩形棒，则为3339464.0f bhm l Y = （3）式中 为棒长，h b 、分别为棒的宽、厚，m 为棒的质量。
在实验中测出样品棒的固有频率f ，即可由（2）、（3）式计算出样品的杨氏模量Y 。
在国际单位制中扬氏模量的单位为牛顿·米-2。
本实验装置如图1所示。
图1 动态悬挂法测量扬氏模量实验装置图将信号发生器输出的等幅正弦波信号，经过放大器加在激振器上，把电信号转变成机械 振动，在由悬线把机械振动传给样棒，使得样棒受迫横振动。
样棒另一端的悬线把样棒的振动传给拾振器，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大后送到示波器上显示。
当信号发生器的频率不等于样棒的固有频率时，样棒不发生共振，示波器显示屏上的信号的幅度不大。
当信号发生器的信号频率等于样棒的固有频率时，样棒发生共振，示波器上波形幅度突然增大，读出此时的频率为共振频率。
由于样棒的固有频率与共振频率相差甚小，可作为样棒的固有频率。
三.仪器悬挂法杨氏模量测量仪，示波器，低频信号发生器，电子秤，游标卡尺，铜棒和不锈钢圆棒样品。
四.实验内容与步骤1.测定样棒的长度、直径和质量；2.在室温下不锈钢和铜的杨氏模量分别约为11102⨯牛顿·米-2和111021⨯.牛顿·米-2，先估算出共振频率，以便寻找共振点。
3.分别测出不锈钢棒和铜棒的固有频率。
4.利用（2）式分别计算出不锈钢棒和铜棒的扬氏模量。
实验29动态悬挂法测定杨氏模量
实验29 动态悬挂法测定杨氏模量数据记录表及数据处理（供参考）铜棒不锈钢棒表3 样品的共振频率及电压峰-峰值的测量数据次序 铜棒 不锈钢棒测d 修d '测d'修d表2 样品的直径测量实验数据=0d 单位：mm铜棒不锈钢棒表1 样品的长度及质量的实验数据数据处理1、铜棒的杨氏模量不确定度的评定 1）多次测量量d 不确定度的评定对多次测量量测d 进行检验有无坏值（根据肖维涅准则）=-=0d d d 测修==测d A S u==∆=3004.03dm B u==∆=3004.030dm d u ，=+=+=2222)3004.0(20测测修d d d d S u u u2）单次测量量不确定度的评定==∆=302.03m l u ==∆=305.03m m u ==∆=35.03m f u ， 3）杨氏模量的最佳值==2436067.1f d m l E 修4）杨氏模量的相对不确定度=+++=2222)2()4()()3(f u d u m u l u E f d m l E 修修5）杨氏模量的不确定度 =⨯=E E E E u2、不锈钢棒的杨氏模量不确定度的评定同上 实验结果1、铜棒的杨氏模量测量结果=±=E u E E （=P）2、不锈钢棒的杨氏模量测量结果…………………….注意：数据处理中要求代入实验数据进行数据处理。
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实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量
157实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。
本实验用“动态悬挂法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。
一 实 验 目 的（1）悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
（2）培养学生综合应用物理仪器的能力。
（3）设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神*。
二 实 验 原 理棒的振动方程为（如图1）： 02244=∂∂+∂∂t y EJ ps x y (1)解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）。
用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y = 代入方程（7-1）得 2244d d 1d d 1t T T EJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，该常数设为4K ，得：0d d 444=-X K xX 0d d 422=+T s EJ K t T ρ 这两个线形常微分方程得通解分别为Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++=)cos()(ϕω+=t A t T于是解振动方程式得通解为)cos()sin cos (),(4321ϕω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y 其中 214⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s EJ K ρω (2） 称为频率公式。
对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。
我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。
如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：033=∂∂-=∂∂-=xy EJ x M F 弯距 022=∂∂=xy EJ M 即 0d d 033==x x X ， 0d d 33==l x x X ， 0d d 022==x x X ， 0d d 22==l x x X 将通解代入边界条件，得到1cos =⋅chKl Kl用数值解法求得本征值K 和棒长l 应满足 Kl =0，4.730，7.853，10.966… 。
动态法测定 金属材料的杨氏模量
2
x =0.224l
t
2
EJ S
2
y
4
x
3
4
0
E 1 . 6067
l m d
4
f
2
0.224l
0.5l
0.776l
棒两端 自由
f 外延法
两端自由杆基频弯曲振动波形：对称振动
节点频率能够直接测量得 到吗？如何测量？ f节 节点
x
几何尺寸和质量测量
l l
1 .2 0 0
E
f /s l / l
长变
•材料的种类 Fe: ～
1 2.0×1011.1 0 0 -2, N.m
E /× 1 0 N .m
铜棒 Cu: ～ 1.0×1011N.m-2
Al: ～ 7.0 ×1010N.m-2, Au:7.9 ×1010N.m-2 合金棒 0 .9 0 0 • 加工制造方法，结构 合金？纯金属？杂质？
动态法测定 金属材料的杨氏模量
教材P 311
华东理工大学物理实验中心
主要内容和要求
•动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量
•了解长棒横振动的物理模型
•掌握共振信号的判定及其共振频率的测定
•学习根据误差分析选择测量仪器 •学习外延法测定试样节点处共振频率
杨氏模量
评价某种材料抵抗弹性形变能力大小的参量
l f f
4 3
f
2
u
t
p(n1)
Sx
0 . 683
2 仪
2
• l±ul， m±um , f±uf， d±ud； • E ±UE，与理论值进行比较，求出 百分误差； • 图解法，作 f～x曲线，用外延法求 出 f节=？（注意作图的规范性）； • 总结共振频率的几种判断方法和优 缺点。
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d仪＝ 0.004mm ； l仪 0.02mm； m仪 0.2g ;
材料
Fe Cu
1 5.957 5.883
2 5.953 5.878
直径 d/mm
3
4
5
5.961 5.956 5.960
5.882 5.876 5.869
6 5.951 5.875
当信号发生器的频率不等于样棒的固有频率时，样棒不发生共振，示波器显示屏上的信
号的幅度不大。当信号发生器的信号频率等于样棒的固有频率时，样棒发生共振，示波器上 波形幅度突然增大，读出此时的频率为共振频率。由于样棒的固有频率与共振频率相差甚小， 可作为样棒的固有频率。
三.仪器 悬挂法杨氏模量测量仪，示波器，低频信号发生器，电子秤，游标卡尺，铜棒和不锈钢 圆棒样品。
面的惯量矩。求解方程，得圆形棒的杨氏模量为
Y 1.6067 l 3m f 2 d4
（2）
式中 为棒长， d 为棒的界面直径， m 为棒的质量。若是矩形棒，则为
Y 0.9464 l 3m f 3 bh3
（3）
式中 为棒长， b、h 分别为棒的宽、厚， m 为棒的质量。
在实验中测出样品棒的固有频率 f ，即可由（2）、（3）式计算出样品的杨氏模量 Y 。
实验名称 动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量
一.目的与要求 1.用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。 2.培养综合应用物理仪器的能力。 3.学习用图示法表达实验结果。
二.原理 根据棒的横振动方程：
4 y S 2 y 0 4 x YJ t 2
（1）
式中 、S、Y、J 分别表示材料的密度、样品（棒）的截面积、材料的杨氏模量、特定截
1022.32
1.9441011 N / m2
u f 1.11 0.82 0.683 0.22 0.9Hz ,ud=0.001,ul=0.01cm,um=0.1g
uE E
9 ul l
2
um m
2
4
uf f
2
16 ud d
2
9 0.0014 2
0.14 2
4
0.9
2
16 0.003 2
16.076 35.2 1022.1
5.961
0.004 UE 0.004 1.944 1011 0.0081011N / m2,
l
如图可知，节点处的共振频率为 1030.3Hz。
【注意事项】 1、 实验中实测的为样品的共振频率，其与样品的固有频率是不同的概念，应注意区别； 2、 悬挂金属棒时要轻拿轻放，注意不要用力拉扯起振器和拾振器的挂钩； 3、 实验前可先通过估算出铜棒和钢棒的共振频率便于找到两者的共振频率。
平均 1008.5 724.4
钢棒： d 5.956mm ； d仪＝ 0.004mm ；d仪 0.004 3 0.002mm
E
1.6067
l 3m d4
f2
1.6067
16.076 102 3 35.2 103 5.961 103 4
EF e 1.944 0.0081011N / m2
同理，可以得到铜棒的杨氏模量：
铜棒： d 5.877mm ； d仪＝ 0.004mm ；d仪 0.004 3 0.002mm
所以， E 1.091 0.0081011 N / m2 Cu
外延法测量节点的共振频率
x/mm 15 20 25 30 40 45 50
x l
0.093 0.124 0.156 0.187 0.249 0.280 0.311
f/Hz 1035.5 1033.3 1031.7 1030.6 1030.7 1031.2 1032.1
对表 III 的 f- x 作图，外延法求铁棒节点处的共振频率，如图所示。
在国际单位制中扬氏模量的单位为牛顿·米-2。 本实验装置如图 1 所示。
图 1 动态悬挂法测量扬氏模量实验装置图
将信号发生器输出的等幅正弦波信号，经过放大器加在激振器上，把电信号转变成机械 振动，在由悬线把机械振动传给样棒，使得样棒受迫横振动。样棒另一端的悬线把样棒的振 动传给拾振器，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大后送到示波器上显示。
四.实验内容与步骤 1.测定样棒的长度、直径和质量；
2.在室温下不锈钢和铜的杨氏模量分别约为 2 1011 牛顿·米-2 和1.2 1011 牛顿·米-2，先
估算出共振频率，以便寻找共振点。 3.分别测出不锈钢棒和铜棒的固有频率。 4.利用（2）式分别计算出不锈钢棒和铜棒的扬氏模量。 5.利用外延法，测量样品节点处的共振频率。
平均 5.956 5.877
长度 l/cm
16.054 16.042
质量 m/g
35.3 37.4
2.两种材料的共振频率 测量次数 1
Fe 1008.0
Cu
722.4
2 1009.2 724.2
3 1008.8 725.9
4 1007.5 724.7
5 1009.0 723.4
6 1008.4 725.8