第9节 函数模型及其应用

ห้องสมุดไป่ตู้由于
40000 40000 +16x≥2 16 x =1 600, x x
2.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于
y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. 3.总会存在一个x0,使得当x>x0时,有logax<xn<ax.
数学
夯基自测
1.下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( A (A)v=
1 x ·e 100
6 x 2 384 x 40,0 x 40, 所以,W= 40000 16 x 7360, x 40. x
数学
(2)当年产量为多少万部时,苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获 得的利润最大?并求出最大利润.
解:(2)①当 0<x≤40 时, W=-6(x-32)2+6 104, 所以 Wmax=W(32)=6 104; ②当 x>40 时,W=40000 -16x+7 360, x
解:(2)设总利润为 y 万元,投入 B 品牌为 x 万元, 则投入 A 品牌为(5-x)万元, 则 y= 则 y= 当 t=
1 3 (5-x)+ x (0<x<5),t= x (0<t< 5 ), 4 4 1 1 3 2 29 2 (-t +3t+5)=- (t- ) + , 4 4 2 16 3 9 9 11 29 ,即 x= 时,5- = ,ymax= , 2 4 4 4 16 11 9 万元,B 品牌 万元时,经销该种商品获得利润最大,最大利润为 4 4
400 6 x,0 x 40, 7400 40000 , x 40. 2 x x
(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式;
解:(1)当 0<x≤40 时, 2 W=xR(x)-(16x+40)=-6x +384x-40, 当 x>40 时,W=xR(x)-(16x+40)=40000 -16x+7 360. x
B 品牌的销售利润 y2 与投入资金 x 的算术平方根成正比, 设 y2=k2 x (x>0), 又过点(4,1.5),所以 k2= 所以 y2=
3 x (x>0). 4
3 , 4
数学
(2)该商场计划投入5万元经销该种商品,并全部投入A,B两个品牌,问: 怎样分配这5万元资金,才能使经销该种商品获得最大利润,其最大利润 为多少万元?
数学
4.某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻t(单位:分钟)与细胞数n(单 位:个)的部分数据如下: t n 0 1 20 2 60 8 140 128 分钟.
t 20
根据表中数据,推测繁殖到1 000个细胞时的时刻t最接近于
解析:由表格中所给数据可知,n 与 t 的函数关系式为 n= 2 , 令 n=1 000,得 2 =1 000, 又 29=512,210=1 024, 所以
数学
第9节 函数模型及其应用
数学
最新考纲 1.了解指数函数、对数函数、 幂函数的增长特征,结合具体实 例体会直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长 的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、 对数函数、幂函数、分段函数 等在社会生活中普遍使用的函 数模型)的广泛应用.
数学
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
n
数学
(2)三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) y=logax(a>1) 单调递增 函数 慢 越来越____ y=xn(n>0) 单调 递增函数 相对平稳
在(0,+∞) 上的单调性
增长速度
单调 递增函数 快 越来越____
数学
2.解答函数应用题的一般步骤 (1)审题 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型.
t 最接近于 10, 20
t 20
即时刻 t 最接近于 200 分钟.
答案:200
数学
考点专项突破
考点一 二次函数模型
在讲练中理解知识
【例1】 (2015菏泽质检)某商场欲经销某种商品,考虑到不同顾客的 喜好,决定同时销售A,B两个品牌,根据生产厂家营销策略,结合本地区 以往经销该商品的数据统计分析,A品牌的销售利润y1与投入资金x成 正比,其关系如图1所示,B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方
数学
考点二
指数函数与对数函数模型
【例 2】 (2015 泰兴模拟)我国加入 WTO 后,根据达成的协议,若干年内某产品 的关税与市场供应量 P 的关系允许近似的满足:y=P(x)= 2(1 kt )( x b ) (其中 t 为 关税的税率,且 t∈[0, 量曲线如图. (1)根据图象求 b,k 的值;
数学
知识链条完善
把散落的知识连起来
【教材导读】 1.函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大吗? 提示:不一定,当x∈(0,2)和(4,+≦)时,2x>x2,当x∈(2,4)时,x2>2x. 2.对于指数型函数y=a· bx+c形容增长速度越来越快时,对参数a,b,c有 什么要求? 提示:要使得指数型函数y=abx+c增长速度越来越快,须a>0,b>1,对于c 为常数没有要求.
答:投入 A 品牌
29 万元. 16
数学
反思归纳
实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等),
可根据已知条件确定二次函数模型,结合二次函数的图像、单调性、零
点解决,解题中一定要注意函数的定义域.
数学
【即时训练】 如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀, 其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取 一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.
解析:由运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线 斜率应该逐渐增大,故选B.
数学
3.(2015泉州模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关 系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元, 则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( C ) (A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台 解析:设利润为f(x)(万元), 则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3 000≥0, 所以x≥150.
(2)建模
将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知 识,建立相应的函数模型.
(3)求模
求解函数模型,得出数学结论. (4)还原 将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
数学
【重要结论】 1.在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都 是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.
2
x 2 = 1 · 22 x = 1 ·[ 17 - 1 ], 化简得 1-6t= ( x 5)2 2 ( x 5)2 x 5 ( x 5)2 2
令 m=
1 1 (x≥9),所以 m∈(0, ], x5 4
2
设 f(m)=17m -m,m∈(0, 所以 f(x)max=f(
1 1 ],对称轴为 m= , 4 34
1 13 1 )= ,所以,当 m= 时, 4 16 4 1 13 1 13 × ,即 1-6t≤ × , 2 16 2 16
1-6t 取得最大值为 解得 t≥
19 19 ,即税率的最小值为 . 192 192
数学
反思归纳
应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中 有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来 解决. (2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断,先设定模型,再将 已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
数学
知识梳理
1.函数模型及其性质的比较 (1)几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 f(x)= 函数解析式
ax+b
f(x)=
(a,b 为常数,a≠0)
k x
(k≠0)
二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数模型
f(x)=
x
ax2+bx+c
(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=ba +c(a,b,c 为常数, a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=ax +b (a,b,n 为常数,a≠0,n≠0)
数学
【即时训练】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,
两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v=5log2 氧量. (1)试计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
Q ,单位是 m/s,其中 Q 表示燕子的耗 10
解:(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度为 0,代入题目所给公式可得 0=5log2 解得 Q=10, 即燕子静止时的耗氧量为 10 个单位.
数学
(2)若市场需求量为 Q,它近似满足 Q(x)= 2
解:(2)当 P=Q 时, 2(1 6t )( x 5) = 2
11
2
11
x 2
.当 P=Q 时的市场价格称为市场平衡