2016上学期《概率论基础》作业
概率论基础练习
一. 填空1. 一袋中有白球2个，黑球4个，从中任取2个球，则取到两个黑球的概率为 ,取到两种球各1个的概率为 。
2.设()()0.5,0.3,P A P AB ==则()P B A = 0.4 .3.设A , B 相互独立，6.0)(,3.0)(==B P A P 。
则=-)(B A P ,=+)(B A P 。
4.设随机变量X则=a ,=≤}1{2X P _______________.5.设随机变量X 在区间(2,5)上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为 .6.设随机变量~(1,4)X N ，则1~2X - .7.已知=<=<}|{|,2.0}{),,0(~2a X P a X P N X 则且σ 。
8.设二维随机变量),(Y X 服从区域11,20:≤≤-≤≤y x D 上的均匀分布，则),(Y X 的联合密度函数=),(y x f ,X 的边缘概率密度函数=)(x f X 。
9.设二维随机向量(X ,Y )的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它则EX = .10.~(4)X P ，由切比雪夫不等式有(|4|6)P X -<≥__ ___.11.设2),(,4,9-===Y X Cov DY DX ,则=-+)32,1(Y X Cov ,=+-)12(Y X D ,X 与Y 的相关系数=XY ρ .12.设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自总体X ,2~(,)X N μσ,则~)(1122∑=-ni i X μσ , ~)(1112∑=--ni i X X n .13.设总体的样本，是来自X X X X N X n ,,,),,(~212 σμ为样本均值，X 2S 为样本方差.αμσ-12的，则若已知置信水平的置信区间为 ;αμσ-12的，则若未知置信水平的置信区间为 。
概率基础理论与计算综合练习
概率基础理论与计算综合练习概率是数学中一个重要的分支，它探讨了不确定事件的可能性。
通过运用概率理论，我们可以进行各种推断和分析，从而更好地理解和解释世界上许多问题。
本文将结合理论和计算，进行概率基础综合练习。
一、概率的基本概念概率是衡量事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的小数来表示。
其中，0代表不可能事件，1代表必然事件。
在计算概率时，需要明确事件的样本空间和事件的发生空间。
1. 样本空间样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚硬币，样本空间包括正面和反面两种可能结果。
2. 事件的发生空间事件的发生空间是指在样本空间中满足特定条件的一部分元素组成的子集。
例如，投掷一枚硬币，出现正面朝上可以定义为一个事件。
二、概率的计算方法概率的计算可以通过频率法和古典概型法来实现。
1. 频率法频率法是通过实验模拟来计算概率的方法。
它基于大量的试验结果，通过事件发生的相对频率来估计概率。
例如，反复投掷一枚硬币，计算出正面朝上的频率，可以估计出正面朝上的概率。
2. 古典概型法古典概型法是通过样本空间的元素个数和事件发生空间的元素个数来计算概率的方法。
对于等可能事件，概率可以计算为事件发生空间的元素个数占样本空间元素个数的比值。
三、概率的综合计算练习以下是一些常见的概率练习题，我们将通过综合应用概率理论和计算方法来解答。
1. 抛掷一枚骰子，计算出恰好出现3的概率。
解答：在样本空间中，骰子的可能结果为1、2、3、4、5、6。
而恰好出现3的事件发生空间只有一个元素，即出现3。
因此，恰好出现3的概率为1/6。
2. 从一副标准扑克牌中，随机抽取一张，计算出抽到红心的概率。
解答：在样本空间中，标准扑克牌共有52张牌。
红心牌共有13张，因此事件发生空间为13。
因此，抽到红心的概率为13/52，即1/4。
3. 一桶中有6个红球和4个蓝球，随机抽取两个球，计算出两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算出抽到两个红球的概率。
华中师大《概率论基础》练习题库及答案
华中师范大学职业与继续教育学院 《概率论基础》练习题库及答案填空题1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0;⎰∞∞-dx x p )(= ；Eξ= 。
考查第三章2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为： ；A,C 发生而B 不发生可表示 ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。
考查第一章3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ϕ，分布函数为)(0x Φ，则)0(0ϕ等于π21，)0(0Φ等于 。
考查第三章 4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=51 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= ，Dξ= 。
考查第五章5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 。
考查第五章6．设),(~2σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 考查第五章7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ ；∑∞=1i ip= ；Eξ= 。
考查第一章8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为： ；A 发生而B,C 不发生可表示为： ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。
9．)4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 。
考查第三章10．设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率为 。
考查第三章 较难11．若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数= 。
考查第三章12．若 θ服从[,]22ππ-的均匀分布， 2ϕθ=，则ϕ的密度函数 ()g y ＝ 。
考查第五章13．设4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P ；若A 与B 相互独立，则=)(B P 。
概率论第一章习题详解
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，∅表示不可能事件 1、()A B B A -= （ 否 ）解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ⊂⇒-=时2、ABC ABC = （ 否 ）解：ABC A B C =3、()AB AB =∅ （ 是 ） 解：()()()AB AB AA BB A ==∅=∅ 4、若,AC B C A B ==则 （ 否 ）显然,A C C B C A B ==≠但5、若,A B A AB ⊂=则 （ 是 ）6、若,,AB C A BC =∅⊂=∅则 （ 是 ）7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。
（ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =∅ 互逆事件：AB A B =∅=Ω且二、填空题1、一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为(){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为{}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .2、化简事件()()()A B A B A B =AB .解：()()()()()()()()()()()()()()()()() AB AB A B A B AB AA B B A B AABA AB BB A B BA AB AB BA AB A B BAA B A B B ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=∅∅=⎣⎦==()()()() A A B A B BA AB⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∅= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件：（1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ；（3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ；（5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 AB C ；（6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ；（7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABCABC ；（8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 ABAC BC ；（9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABCABC ABC .三、选择题1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ）A 、ABC A =B 、AB C A = C 、BC A ⊂ D 、A B C ⊂解：ABC A A BC =⇒⊂⇒ A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
概率论基础第三章答案
第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p −1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。
2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。
3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k N c k f L ==（2）,,2,1,!)(L ==k k c k f kλ 0>λ。
4、证明函数)(21)(||∞<<−∞=−x e x f x 是一个密度函数。
5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。
6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=<a P ξ；（2）01.0}|5{|=>−a P ξ。
7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=−∞F 1)(=+∞F 。
8、试证：若αξβξ−≥≥−≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+−≥≤≤x x P 。
9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y −有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服从[0，1]均匀分布。
10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使)}()()()(exp{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。
证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ；（2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。
概率论基础试题
第一章 概率论基础一、填空题1．设7.0)(,4.0)(==B A P A P Y ，若A ，B 互不相容，则=)(B P ， 若A ，B 相互独立，则=)(B P ．2．设31)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 至少出现一个的概率为 ；321,,A A A 恰好出现一个的概率为 ；321,,A A A 最多出现一个的概率为 ．3．一袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ．4．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ．现进行n 次独立试验，则事件A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 ．5．三个人独立破译密码，他们能单独译出的概率分别为41,31,51，则此密码被译 出的概率为 ． 二、选择题1．设A 、B 为两个事件，则))((B A B A ++表示 （ ）．（A ） 必然事件； (B) 不可能事件；（C ） A 与B 恰有一个发生； (D) A 与B 不同时发生．2．对事件A 、B ，下列命题正确的是 （ ）．（A ） 如果A 、B 互不相容，则A 、B 也互不相容；（B ） 如果A 、B 相容，则A 、B 也相容；（C ） 如果A 、B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则A 、B 相互独立；（D ）如果A 、B 相互独立，则A 、B 也相互独立．3．设C AB ⊂，则 （ ）．（A ） C AB ⊃ ； （B ） C A ⊂且C B ⊂；（C ） C B A ⊃Y ； （D ）C A ⊂或C B ⊂．4．设A 、B 是任意两个事件，则=-)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P -； （B ） )()()(AB P B P A P +-；（C ） )()(AB P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．5．设A 、B 是任意两个事件，则一定有=+)(B A P （ ）．（A ） )()(B P A P +； （B ） )()()()(B P A P B P A P -+；（C ） )()(1B P A P -； （D ） )()()(AB P B P A P -+．三、计算与证明题1．指明在下列各条件下，事件A ，B ，C 之间的包含关系：（1）若A 和B 同时发生，则C 必发生；（2）A 和B 有一个发生，则C 必发生；（3）若A 发生，则B 必不发生；（4）A 和B 同时发生的充分必要条件是C 不发生；（5）A 发生的充分必要条件是B 不发生．2．对任意的随机事件C B A ,,，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+．3．将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率：（1）A 是任意3个盒子中各有1个球；（2）B 是任意1个盒子中有3个球；（3）C 是任意1个盒子中有2个球,其它任意1个盒子中有1个球．4．把一个表面涂着颜色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中任意取出一个，求它有k面涂着颜色的概率（k = 0, 1, 2, 3）．5．设OA是Ox轴上长为1的线段，B为OA的中点，C为OA上任一点，求线段OC，CA，OB三线段能构成一个三角形的概率．6．已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的,试求：（1）从1000个灯泡中任意取出的100个灯泡都是好灯泡的概率；（2）如果任意取出的100个灯泡都是好的，则1000个灯泡都是好灯泡的概率．7．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“—”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”．求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）收报台收到信号“—”的概率；（3）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率；（4）当收报台收到信号“—”时，发报台确系发出信号“—”的概率．8．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时, 乙船的停泊时间是两小时, 求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率．。
概率论基础答案李贤平
第一章 事件与概率1、解：(1) P ｛只订购A 的｝=P{A(B ∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P ｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C ｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P ｛只订购A 的｝=0.30,P ｛只订购B 的｝=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P ｛只订购C 的｝=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P ｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4) P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5) P ｛至少订购一种报纸的｝= P ｛只订一种的｝+ P ｛恰订两种的｝+ P ｛恰订三种的｝ =0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P ｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.A C AB A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(2、解：（1）ABC ，若A 发生，则B 与C 必同时发生。
（2），B 发生或C 发生，均导致A 发生。
A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且AB AC B A C B A ∪∪∪（3）与B 同时发生必导致C 发生。
A C AB ⇒⊂C B A BC A ∪⊂⇒⊂，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。
（4）n A A A ∪ ∪∪21)()(11121−−−−++−+=n n A A A A A A 3、解：121121−+++n n A A A A A A A ． (或)＝C AB 4、解：（1）={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；C B A ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案
概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题一、选择题1、下列关系正确的是( )。
A、0∈∅B、{0}∅=∅⊂D、{0}∅∈C、{0}答案：C2、设{}{}2222=+==+=，则( )。
P x y x y Q x y x y(,)1,(,)4A、P Q⊂B、P Q<C、P Q⊂与P Q⊃都不对D、4P Q=答案：C二、填空1、6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________种排法。
答案：6!720=2、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。
答案：723、编号为1，2，3，4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中，概率论的基础知识第 1 页（共 19 页）每一个盒至多可放一球，则不同的放法有_________种。
答案：()65432720⨯⨯⨯⨯=4、设由十个数字0，1，2，3， ，9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。
答案：710个5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有_______________种不同的排法。
答案：77!5040P==6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。
答案：1207、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法？答案：5!120=8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个概率论的基础知识第 2 页（共 19 页）不同单位，每单位1人。
则分配方法有______种。
答案：(6543)360⨯⨯⨯=9、平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_____________条不同的直线。
答案：6610、编号为1，2，3，4，5的5个小球，任意地放到编号为A，B，C，D，E，F，的六个小箱子中，每个箱子中可放0至5个球，则不同的放法有___________种。
概率论第一章习题习题课
1 0 Bi B j , i, j 1,2,, n;
20 B1 B2 Bn S, 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
B2
B1
B3
Bn1 Bn
全概率公式
定理 设试验E的样本空间为S, A为 E 的事件,
B1 , B2 ,, Bn为S的一个划分,且P(Bi ) 0(i 1, 2,, n),则
P(B) 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
(2) 条件概率的性质
10非负性 : P(B A) 0;
20 规范性 : P(S B) 1, P( B) 0;
30 P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B); 40 P( A B) 1 P( A B);
j 1
称此为贝叶斯公式.
事件的相互独立性
(1)两事件相互独立 设 A, B 是两事件 , 如果满足等式
P( AB) P( A) P(B) 则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
说明 事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 的概率与事 件 B 是否出现无关.
(2)三事件两两相互独立
50 可加可列性: 设 B1 , B2 ,是两两不相容的事件,
则有
P Bi A P(Bi A).
i1
i1
乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A). 设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
P( ABC ) P(C AB)P(B A)P( A). 推广 设 A1, A2 ,, An 为 n 个事件,n 2,
P( A) SA S
(其中 S 是样本空间的度量, S A 是构成事件A的子 区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理规 定的概率称为几何概率.
概率论习题(DOC)
六、计算（每题10分）（20道）1、设有一个信源，它产生0，1序列的信息。
它在任意时刻且不论以前发生过什么符号，均按P （0）=0.4，P(1)=0.6的概率发出符号。
试计算：（1）H （X 2） （2）H （X 3/X 1X 2） （3）)(lim X H N ∞→解：根据题意，此信源在任何时刻发出的符号概率都是相同的，即概率分布与时间平移无关，且信源发出的序列之间也是彼此无依赖的，所以这个信源是平稳信源，且是离散无记忆信源。
（１）Ｈ（Ｘ）＝-0.4LOG 20.4-0.6LOG 20.6≈0.971 比特／符号Ｈ（Ｘ2）＝2Ｈ（Ｘ）≈1.942 比特／二符号（２）Ｈ（Ｘ3|Ｘ1Ｘ2）＝Ｈ（Ｘ3）＝Ｈ（Ｘ）≈0.971 比特／符号 （３） )(lim X H N ∞→=lim1/N ×H(X 1X 2…X Ｎ)＝lim1/N × N Ｈ（Ｘ）＝Ｈ（Ｘ）≈0.971 比特／符号２、已知信源X 和条件概率P （Y/X ）如下：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2/12/1)(21x x X P X ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4/34/14/14/3////)/(/22211211x y x y x y x y X Y P X Y 试计算：H （X ）、H （Y ）、H （XY ）、H （X/Y ）、H （Y/X ）、Ｉ(X ；Y)解：根据题意，(1)由p(x i y j )=p(x i )p(y j /x i )，求出各联合概率：p(x １y １)=p(x １)p(y １|x １)＝1/2×3/4＝0.375p(x １y ２)=p(x １)p(y ２|x １)＝1/2×1/4＝0.125p(x ２y １)=p(x ２)p(y １|x ２)＝1/2×1/4＝0.125p(x ２y ２)=p(x ２)p(y ２|x ２)＝1/2×3/4＝0.375(2)由p(y j )=∑i=1n p(x i y j )，得到Ｙ集合消息概率：p(y １)=∑i=1２p(x i y １)＝p(x １y １)+ p(x ２y １)=0.375+0.125=0.5p(y ２)=∑i=1２p(x i y ２)＝1- p(y １)=1-0.5=0.5(3)由p(x i |y j )=p(x i y j )/p(y i )，求出X 的各后验概率：p(x １|y １)=p(x １y １)/p(y １)＝0.375/0.5=0.75p(x 2|y １)=p(x 2y １)/p(y １)＝0.125/0.5=0.25p(x １|y 2)=p(x １y 2)/p(y 2)＝0.125/0.5=0.25p(x 2|y 2)=p(x 2y 2)/p(y 2)＝0.375/0.5=0.75(4)Ｈ（Ｘ）＝∑i=1２p(x i )ＬＯＧ２P(x i )＝-0.5LOG 20.5-0.5LOG 20.5=1比特/符号 Ｈ（Y ）＝∑i=1２p(y i )ＬＯＧ２P(y i )＝-0.5LOG 20.5-0.5LOG 20.5=1比特/符号 Ｈ（ＸY ）＝∑i=1２∑j=1２p(x i y j )ＬＯＧ２P(x i y j )＝-2×0.375LOG 20.375-2×0.125LOG 20.125=1比特/符号(5)平均互信息：I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)=1+1-1=1比特/符号(6)疑义度：H(X|Y)= ∑i=1２∑j=1２p(x i y j )ＬＯＧ２P(x i |y j )＝-2×0.375LOG 20.75-2×0.125LOG 20.25=2-3/4log3=2-0.93875=1.0615 比特/符号(7)噪声熵：H(Y|X)= ∑i=1２∑j=1２p(x i y j )ＬＯＧ２P(y j |x i )＝-2×0.375LOG 20.75-2×0.125LOG 20.25=2-3/4log3=2-0.93875=1.0615 比特/符号3、同时扔两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都是1/6，求：(1)“３和５同时出现”这事件的自信息量；(2)“两个１同时出现” 这事件的自信息量；(3)两个点数的各种组合（无序对）的熵或平均自信息量；(4)两个点数之和（即２、３、…１２构成的子集）的熵；(5)两个点数中至少有一个是１的自信息。
概率论第一章习题
解：分析方法同(1), 可得
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第1章 概率论的基本概念
8. 在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件. (1)求恰有90件次品的概率. (2)求至少有2件次品的概率。
解(1)这属于经典概型的组合问题
恰有90件次品的概率
(2) 令Ai=“取出的200件产品中有i件次品”，则所求概率为
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概率论与数理统计
作业习题解答
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第1章 概率论的基本概念
习题3(1)
3 (1) 设A,B,C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8, 求A,B,C至少有一个发生的概率。
解：利用三个事件的加法公式
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) － P(AB)－ P(AC)－P(BC) +P(ABC)
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第1章 概率论的基本概念
5. 10片药片中有5片是安慰剂. (1)从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前三次都取到安慰剂的概率.
习题5
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样本空间的基本事件总数目为
第1章 概率论的基本概念
习题6(1)
6. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码.
解：
由已知条件可得
于是
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第1章 概率论的基本概念
21. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者. 问此人是男性的概率是多少?
习题21
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第1章 概率论的基本概念
概率论与数理统计第一章习题
第一章 概率论的基本概念一、 随机试验概率论中将满足下列三个特点的实验称为随机试验，通常用E 或E1，E2…来表示，这三个特点是：1. 试验可在相同的条件下重复进行；2. 每次试验的可能结果不止一个，但所有的结果是明确可知的；3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、 样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记做S 。
样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点。
三、 随机事件1. 试验E 的样本空间S 的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为E 的随机事件。
在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生。
2. 由一个样本点组成的单点集称为基本事件，由多于一个样本点组成的集合称复合事件。
3. E 和空集∅都是E 的子集，它们分别称为必然事件和不可能事件。
四、 事件间的关系1. 若B A ⊂，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必导致事件B 发生。
若B A ⊂且A B ⊂，即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。
2. 事件B A ={x | x ∈A 或x ∈B}称为事件A 与事件B 的和事件。
当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A 发生。
3. 事件B A ={x | x ∈A 且x ∈B}称为事件A 与事件B 的积事件。
当且仅当A ，B 同时发生时，事件B A 发生。
B A 也记作AB 。
4. 事件A —B=={x | x ∈A 且x ∉B}称为事件A 与事件B 的差事件。
当且仅当A 发生，B 不发生时事件A —B 发生。
5. 若B A =∅，则称事件A 与事件B 是互不相容的，或互斥的。
这指的是事件A 与事件B 不能同时发生。
基本事件是两两互不相容的。
6. 若B A =S 且B A =∅ ，则称事件A 与事件B 互为逆事件。
又称事件A 与事件B 互为对立事件。
这指的是对每次试验而言，事件A 、B 中必有一个发生，且仅有一个发生。
2016年02197概率论与数理统计作业及参考答案
02197概率论与数理统计一、单项选择题（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
） 1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为 【 B 】A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）}B ．{ (反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）}C ．{一次正面，两次正面，没有正面}D ．{先得正面，先得反面}2. 设A 与B 互不相容，且()0P A >，()0P B >则有 【 D 】A. ()1()P A P B =-B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P AB =D. ()()()P AB P A P B =+3. 若φ≠AB ，则下列各式中错误的是 【 C 】A ．0)(≥AB PB.1)(≤AB PC. P(A+B)=P(A)+P(B)D. P(A-B)≤P(A)4. 若A B ⊂，则下面答案错误的是 【 A 】A. B 未发生A 可能发生B. ()B-A 0P ≥C. ()B P A P ≤)(D. B 发生A 可能不发生5. 袋中有a 个白球,d 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是 【 C 】A.21B. 1a d +C. a a d +D. da d + (c5)6. 设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对事件中,不独立的是【 C 】 A.C AUB 与 B. B A -与C(B5)C. C AC 与D. C AB 与 7. 设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则 【 D 】A. A 与B 不相容B. A 与B 相容C. A 与B 不独立D. A 与B 独立8. 四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译的概率为【 D 】A. 1B. 21(B8\c8)C. 52D. 329. 已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为 【 B 】A.81B. 83C. 85D.87 10. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为【 B 】A.2-e B.251e -C.241e-D.221e-. 11. 设),4,(~μN X 则 【 C 】A.)1,0(~4N X μ-B.21}0{=≤X PC.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ12. 设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为 。
数学概率与统计基础练习题及答案
数学概率与统计基础练习题及答案1. 概率基础在一个标准的52张扑克牌中，有4种花色（红桃、黑桃、方片和梅花），每个花色有13张牌（A、2至10、J、Q、K）。
现从牌中随机抽取一张牌，计算以下概率：a) 抽到红桃的概率是多少？b) 抽到一个大于10的牌的概率是多少？c) 抽到一个心牌且是红色的概率是多少？答案：a) 红桃有13张，总共有52张牌，所以抽到红桃的概率是13/52，即1/4。
b) 大于10的牌有J、Q和K共12张，总共有52张牌，所以抽到一个大于10的牌的概率是12/52，即3/13。
c) 心牌共有13张，其中红桃为红色，总共有52张牌，所以抽到一个心牌且是红色的概率是13/52，即1/4。
2. 组合与排列a) 有5个人排成一排，请问一共有多少种不同的排列方式？b) 从8个人中选出3个人，请问一共有多少种不同的选法？答案：a) 5个人排成一排有5！= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120种不同的排列方式。
b) 从8个人中选出3个人有8个人中选3个的组合数，即C(8, 3) =8! / (3! × (8-3)!) = 56种不同的选法。
3. 条件概率某班级中有40%的学生会打篮球，15%的学生会弹吉他。
已知会打篮球的学生中有70%也会弹吉他，计算：a) 一个随机选中的学生会打篮球且会弹吉他的概率是多少？b) 一个随机选中的学生会打篮球或会弹吉他的概率是多少？答案：a) 会打篮球的学生中会弹吉他的概率是70%，所以一个随机选中的学生会打篮球且会弹吉他的概率是40% × 70% = 28%。
b) 一个随机选中的学生会打篮球或会弹吉他的概率是会打篮球的概率加上会弹吉他的概率减去同时会打篮球且会弹吉他的概率，即40%+ 15% - 28% = 27%。
4. 正态分布某城市的成年男性身高服从正态分布，均值为175厘米，标准差为6厘米。
第六章 概率论基础习题参考答案
第六章 概率论基础习题参考答案一、名词解释随机事件：样本空间的子集。
样本空间：全体样本点组成的集合。
概率：随机事件A 发生可能性大小的度量。
频率：在重复试验中事件发生的次数与试验次数的比值。
条件概率：如果A ，B 是两个随机事件，且()0P B >，在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率()P A B 定义为： ()()()P AB P A B P B =。
离散型随机变量：在样本空间上，取值于R ，且只取有限个或可列个值的变量()ξξω=称为一维(实值)离散型随机变量。
简称离散型随机变量。
连续型随机变量：若()ξω是随机变量，()F x 是它的分布函数，如果对任意的x ，函数()F x 有()()xF x f x dx-∞=⎰，则称()ξω为连续型随机变量。
大数定律：对某个随机变量X 进行大量的重复观测，所得到的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性，由于这类稳定性都是在对随机现象进行大量重复试验的条件下呈现出来的，因而反映这方面规律的定理我们就统称为大数定律。
中心极限定理：研究在适当的条件下独立随机变量的部分和∑=nk kX1的分布收敛于正态分布的问题。
二、计算题1、解：（1）令A 表示其中恰有2只坏的，则32735105()12C C P A C == （2）令B 表示至少有一只坏的，则5751011()112C P B C =-=2、解：设A=“甲命中”，B=“乙命中”，C=“目标命中”，则至少有一人击中目标的概率为:()()()()()()0.60.50.60.50.8P C P A B P A P B P A P B =⋃=+-⋅=+-⨯=3、解：（1）由分布函数的性质可知，()1F +∞=，从而A=1；又(00)1(0)0F B F +=+==，可得B=-1。
分布函数为：10()(0)0xe x F x x λλ-⎧->=>⎨≤⎩ （2）概率密度0()()0xe xf x F x x λλ-⎧>'==⎨≤⎩ 4、解： 方程210t Xt ++=有实根，则240X -≥，即2X ≥或2X ≤- 由已知条件，~[1,6]X U ，则方程210t Xt ++=有实根的概率为：6214(2)55P X dx ≥==⎰5、解：（1）当0x <时，()0F x =；当01x ≤<时，340()4xF x x dx x ==⎰；当1x ≥时，130()41F x x dx ==⎰；从而400()0111x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（2）要使 {}{}P X a P X a >=<，则330044aax dx x dx =⎰⎰，即441a a -=，解得a =6、解：（1）由密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰，可得4113A Adx x +∞==⎰，即A=3。
概率论作业题
概率论作业题(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除《概率论》作业题一、填空题。
1．集合{}1,2A =，{}3,4B =，分别在A 和B 中任取一个数记为x 和y ，组成点(,)x y 。
写出基本事件空间 .2.一超市在正常营业的情况下，某一天内接待顾客的人数。
则此随机试验的样本空间为 .3.同时投掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
此随机试验的样本空间为 .4.记录电话交换台1分钟内接到的呼唤次数。
此随机试验的基本事件空间为 .5．设A ,B ，C 是三个事件，用A ，B ，C 的运算关系将A ，B ，C 恰有一个发生可表示为 .A ，B ，C 至多发生两个可表示为 . A ，B ，C 至少发生两个可表示为 .6. 设()0.4P A =，()0.7P A B +=,那么（1）若, A B 互斥，则()P B = .(2) 若, A B 相互独立，则()P B = .7．设A ,B 是两个事件，其中()0.5P A =，()0.6P B =，()0.8P B A =，则()P A B += .8.设()0.4P A =，()0.3P B =，()0.6P A B +=，那么，()P AB = . 9.一射击运动员对一个目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为 . 10. 设随机变量2~(32)X N ，,(1)0.8413Φ=,则{15}P X <<= . 11. 设随机变量2~(,)X N μσ,(3)0.0013Φ-=,则{33}P X μσμσ-<<+= .12．设随机变量X 的概率分布为：()1,(1,2,,)3k P X k k ===，则(12)P X -<≤= . (3)P X >= .13．设随机变量~(1,6)K U ,则方程210x Kx ++=有实根的概率为 . 设随机变量~[24]K U -，,则方程22230x Kx K +++=无实根的概率为 .14. 设随机变量X 的密度函数为(0,2)()0ax x f x ∈⎧=⎨⎩其它，则常数a = ，{24}P X <<= 。
概率论基础题
概率论基础习题1. 考虑一个掷钱币事件，出现正面的概率为p ，反面为p q -=1。
● 求解在N 次独立实验中正面正好出现i 次的概率。
● 求解i 的均值和方差。
解： (1)iN i i Ni P P C P --=)1( (2)E(i)Σi *i P =Σi * iN i i N P P C --)1( (N i ≤≤0)D(i)E()- [E( i)]^22. 均值和方差分别为μ和2σ的高斯（也叫正态）概率密度函数是∞<<∞-=--x x p x ,exp21)(222)(σμσπ求解高斯变量的m 次中心矩。
解：由中心距公式知：⎰+∞∞--=dx x p u x u m m )()(()dx u x u x m)2)(exp(2122⎰∞+∞----=σσπ 3. 假设Y 为正态随机变量，其均值和方差分别为μ和2σ。
如果X Y ln =，而且Y是高斯变量，则称随机变量X 按对数正态分布。
● 求解对数正态分布的均值和方差。
● 求解对数正态分布的一阶矩和二阶矩。
解：（1）对数正态分布的概率密度函数为： ƒ（x ）=')(ln *)][(ln x xf exp(-)E(x)D(x)(2) 对数正态分布的一阶距、二阶距为： 一阶中心距：exp(-)dxexp(-)dx 一阶原点距：exp(-)dx二阶中心距：exp(-)dxexp(-)dx 二阶原点距：exp(-)dx4. 导出两连续变量之积如)0,(>≥=εy x XY Z 的密度函数表达式。
(1)、当X 、Y 相互独立时 ： f(Z) = f(X)*f(Y)(2)、当X 、Y 不独立时，由于y>0 ： F(Z)=P{Z z ≤}=⎰⎰≤ZXY dxdy y x f ),(=⎰⎰∞+∞-0]),([y z dy dx y x f令y u x =，则 du ydx 1=，带入上式，得 F(Z)=dy du y y y u f z]1),([0⎰⎰+∞∞-=du dy yy y u f z ]1),([0⎰⎰+∞∞-所以 f(z)=)]'([z F =dy yy y z f 1),(0⎰+∞同理 f(z)= dx x zx f x ),(||1⎰+∞∞-5. 对于连续随机变量W 、X 和Y ，证明()()()()()⎰=dww p w x p w p w x p x w p |||，这是以概率密度函数表示的贝叶斯定理()()()y x w p y x p y x w p |,|,|= （1）、 由于W 、X 、Y 是随机变量，则)()()|()|(x p w p w x p x w p =，⎰=dw w p w x p x p )()|()(所以，⎰=dww p w x p w p w x p x w p )()|()()|()|(（2）、6、蒲丰试验（Buffon Experiment ）：法国科学家蒲丰曾做过如下的试验，在平面上画一相隔距离为α的平行线，向此平面随意地投一根长度为l ()α<l 的针，求此针与任一平行线相交的概率 解 :以X 表示针投到平面上时针的中点M 到最近一条平行直线的距离，γ表示针与该平行线的夹角，那么针落在平面的位置可由（X,ϕ）确定 ，如图投针实验的所有结果为矩形区域 }π0,20),{(≤≤≤≤=ϕϕax x S中的所有点对应，由投掷的任意性可知这是一个几何概型问题，所关心的问题A={针与某一平行直线相交发生的充分必要为S 中的点满足.π0,sin 20≤≤≤≤ϕϕbx的面积的面积S G S G A P ==)(μ)(μ)(π2d sin 2π⨯=⎰αϕϕl.π2π2ααl l =⨯= 7、贝特朗奇论（Bertrand paradox ）在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过圆内接等边三角形边长的概率为多少？这个问题有许多不同的解，至少求出其中的两个解。