导学案——单位圆与周期性

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北师版数学高一-必修4学案 1.4.2 单位圆与周期性

4．2 单位圆与周期性[学习目标] 1.掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数都是周期函数.2.会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为0°～360°求值．[知识链接]设f (x )＝sin x ，请判断以下说法是否成立，并说明理由．(1)当x ＝π4时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )；(2)当x ＝π3时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )；(3)T ＝π2是函数f (x )＝sin x 的周期．答 (1)当x ＝π4时，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π2＝sin π4＝22成立． (2)不成立．当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2＝12；sin π3＝32， f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2≠f (x )． (3)T ＝π2不是函数f (x )＝sin x 的周期，周期函数的定义是对定义域中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )不能说T 是f (x )的周期． [预习导引]1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R . 2．正、余弦函数的周期性sin(α＋k ·2π)＝sin_α，k ∈Z ；cos(α＋k ·2π)＝cos_α，k ∈Z .由此我们可以得到如下结论：(1)正弦函数、余弦余数都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期．(2)终边相同的角的同一三角函数的值相等． 3．周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，任取定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就称为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)最小正周期2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．要点一单位圆及其应用例1 根据下列三角函数值，作出角α的终边，然后求角α的取值集合． (1)sin α＝12；(2)cos α＝12.解 (1)已知角α的正弦值，可知P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12.过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }．(2)因为角α的余弦值为12，所以在x 轴上取点⎝⎛⎭⎫12，0，过该点作x 轴的垂线，交单位圆于P 1、P 2两点，OP 1，OP 2是所求角α的终边，α的取值集合为{α|α＝2k π±π3，k ∈Z }．规律方法 (1)确定已知角的终边，对于以后研究三角函数很有用处．(2)利用单位圆，可以非常直观方便地求出形如sin x ≥m 或sin x ≤m 的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．跟踪演练1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z }．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z要点二利用周期求值例2 求下列角的三角函数值．(1)cos(－1 050°)；(2)cos 193π；(3)sin(－314π)．解 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°的角与30°的角终边相同， ∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝32； (2)∵193π＝3×2π＋π3，∴角193π与角π3的终边相同，∴cos 193π＝cos π3＝12；(3)∵－314π＝－4×2π＋π4，∴角－314π与角π4的终边相同，∴sin(－314π)＝sin π4＝22.规律方法利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．跟踪演练2 求下列各式的值． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－154π＋cos 253π＋cos(－103π)； (2)sin 810°＋cos 765°－sin 1 125°＋cos 180°＋sin(－2 010°)．解 (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋23π＝sin π4＋cos π3＋cos 23π ＝22＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＝22. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°)＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150° ＝1＋22－22＋(－1)＋12＝12. 要点三周期求法例3 求下列三角函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin 2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 ，x ∈R .解 (1)∵3cos(x ＋2π)＝3cos x ，∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋2π，函数y ＝3cos x ，x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π. (2)∵sin(2x ＋2π)＝sin 2(x ＋π)＝sin 2x ，∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋π，函数y ＝sin 2x ，x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y ＝sin 2x ，x ∈R 的周期是π. (3)∵2sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6＋2π ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋4π，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R 的值才能重复出现，所以，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π6，x ∈R 的周期是4π. 规律方法对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图像法来求解．跟踪演练3 求下列函数的周期：(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3；(3)y ＝|cos x |. 解 (1)T ＝2π2＝π； (2)T ＝2π⎪⎪⎪⎪－12＝4π；(3)T ＝2π×12＝π.1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin (－360°×4＋60°)＝sin 60° ＝32. 2．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos(－4x )答案 D解析函数y ＝cos(－4x )中T ＝2π|－4|＝π2.3．5sin 90°＋10cos 180°－3sin 270°＋4cos 420°＝________. 答案 0解析原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos 60°＝5－10＋3＋2＝0. 4．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. 答案－2解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，3就是它的一个周期，且f (－x )＝－f (x )．∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.1.正、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 2．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图像法，即作出y ＝f (x )的图像，观察图像可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.一、基础达标 1．sin 390°等于( ) A.32 B ．－32 C ．－12 D.12答案 D2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 答案 D3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 答案 B4．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |答案 D解析画出y ＝sin|x |的图像，易知．5．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________．答案 π 解析 T ＝2π2＝π.6．已知奇函数y ＝f (x )(x ∈R )且f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案－2解析 ∵y ＝f (x )为奇函数且在x ＝0有定义， ∴f (0)＝0.f (4)＝f (0)＝0， f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.∵f (2)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0. ∴f (2)＋f (3)＋f (4)＝0＋(－2)＋0＝－2.7．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.解由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，如图所示，由三角函数定义可得：∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )，2k π－π3<x <2k π＋π3 (k ∈Z ).此交集恰好为图形中的阴影重叠部分，即2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z .故不等式组的解集为{x |2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z }．二、能力提升8．下列函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2D ．y ＝|sin 2x |答案 C解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2. 9．函数y ＝sin(4x ＋32π)的周期是( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 C解析 T ＝2π4＝π2.10．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝________.答案 0解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]－f (2 016) ＝336⎝⎛⎭⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π －f (2 016)＝335×0－0＝0.11．求函数f (x )＝log (1－2cos x )(2sin x ＋1)的定义域．解依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ＋1>0，1－2cos x >01－2cos x ≠1，，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x >－12，cos x <12，cos x ≠0.如图利用单位圆，得函数的定义域是⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋π2∪⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋76π，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝log 2|sin x |. (1)求其定义域和值域；(2)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期；解 (1)∵|sin x |>0， ∴sin x ≠0， ∴x ≠k π，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }． ∵0<|sin x |≤1，∴log 2|sin x |≥0，∴函数的值域为{y |y ≥0}．(2)∵f (x ＋π)＝log 2|sin(x ＋π)|＝log 2|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π. 三、探究与创新13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数； (2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)解 ∵4是f (x )的一个周期．∴f (5)＝f (1)＝－5， ∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。

6单位圆与周期1

6西乡一中2012---2013学年度第一学期数学导学案编号： 6 第周第课时编写人：白新邦审核人：审批人：组评：师评：几何是人的大脑的健美操，学好几何让自己变的更聪明些吧1 / 1 单位圆与周期性班级：姓名：学号：学习目标（1）利用单位圆来理解正弦函数、余弦函数的概念。

（2）理解一般意义上的周期函数的概念. 学习重点：函数周期的理解及简单的运用学习过程: 自主学习(预习课本，完成练习。

) 直角坐标系的单位圆中，画出ππαππαπα66,26,6+=-== 的终边所在位置，求出它们的正弦函数值，并说明它们之间的关系，能否得到一般性的结论？ =6sin π =-)26s i n (ππ =+)66s i n (ππ=+)2sin(παk =+)2c o s (παk 上述两个等式说明：对于任意一个角每增加π2的整数倍，其正余弦函数值均不变。

从而我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数。

称)0,(2≠∈k Z k k π为正余弦函数的周期。

其中π2是正余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期。

一般的对于函数，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有)()(x f T x f =+，我们就把)(x f 称为周期函数，T 称为这个函数的周期。

二、课堂检测（1）函数f(x)=x 2 满足f(-3+6)=f(-3),则它是以6为周期的周期函数吗？(2) 函数y=sin x 是周期函数，且f(4π+2π)=f(4π),2π是不是它的周期2已知函数f(x)满足对定义域内的任意x ，均存在非零常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)。

求f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)3 已知函数f(x)是R 上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)三课后作业1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y 是时间t 的函数吗？如果是，这个函数 y ＝f(t)是不是周期函数？2．1已知f(x)为奇函数，周期为4，求f(－2)的值．3已知(),,(2))y f x x R f x f x =∈+=-满足（都成立，证明：4是()f x 的周期四、学习小结与反思：学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与疑惑？。

北师版数学高一北师大版必修4学案 1.4.2 单位圆与周期性

4.2单位圆与周期性【明目标、知重点】 1.掌握正弦、余弦函数的定义域，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数.2.会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为求0°～360°的正弦、余弦值．1．三角函数的定义域正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R.2．正弦、余弦函数的周期性sin(α＋k·2π)＝sin α，k∈Z；cos(α＋k·2π)＝cos α，k∈Z.由此我们可以得到如下结论：终边相同的角的同一三角函数的值相等．3．周期函数的有关概念(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就称为周期函数，T称为这个函数的周期．(2)最小正周期2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．[情境导学]自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性．探究点一利用三角函数求函数定义域思考任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域．例如：(1)函数y＝sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}．(2)函数y＝lg cos x的定义域为{x|2kπ－π2<x<2kπ＋π2，k∈Z}．例1 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．解由题意得，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0.即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .反思与感悟求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪训练1 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域．解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32. 如图所示．∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )．探究点二正弦、余弦函数的周期性思考由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等．由此得到正弦函数和余弦函数的周期性．sin(k ·360°＋α)＝sin α，cos(k ·360°＋α)＝cos α，k ∈Z .或者：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，k ∈Z .这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值．例如：sin 420°＝32；sin(－2 070)°＝1； cos(－330°)＝32；cos 1 845°＝22. 例2 求下列角的三角函数值．(1)cos(－1 050°)；(2)cos 193π；(3)sin(－314π)．解 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°的角与30°的角终边相同， ∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝32； (2)∵193π＝3×2π＋π3，∴角193π与角π3的终边相同，∴cos 193π＝cos π3＝12；(3)∵－314π＝－4×2π＋π4，∴角－314π与角π4的终边相同，∴sin(－314π)＝sin π4＝22.反思与感悟利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．跟踪训练2 求下列各式的值． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－154π＋cos 253π＋cos ⎝⎛⎭⎫－103π； (2)sin 810°＋cos 765°－sin 1 125°＋cos 180°＋sin(－2 010°)．解 (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋ cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋23π＝sin π4＋cos π3＋cos 23π ＝22＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＝22.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°)＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150° ＝1＋22－22＋(－1)＋12＝12.1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32D.32答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝32. 2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域是．答案 {x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z }3．5sin 90°＋10cos 180°－3sin 270°＋4cos 420°＝ . 答案 0解析原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos 60° ＝5－10＋3＋2＝0. 4．如图所示．(1)点P 的坐标是，点F 的坐标是；(2)若点Q 的坐标是⎝⎛⎭⎫－12，32，那么∠xOQ ＝ (弧度)，点G 的坐标是．答案 ⎝⎛⎭⎫12，32 ⎝⎛⎭⎫－12，32 (2)23π ⎝⎛⎭⎫12，－32[呈重点、现规律]1．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 2．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图像法，即作出y ＝f (x )的图像，观察图像可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.一、基础过关 1．sin 390°等于( ) A.32 B ．－32C ．－12 D.12答案 D2．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3 D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 B3．比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 答案 C解析由于1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，画出单位圆即可判断，故sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2π D.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 答案 D5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝ . 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 6．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第象限．答案四解析 ∵α为第二象限角，sin α>0，cos α<0， ∴P 在第四象限．7．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z 解析如图所示．8．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.解由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，如图所示，由三角函数定义可得：∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )，2k π－π3<x <2k π＋π3 (k ∈Z ).此交集恰好为图形中的阴影重叠部分，即2k π≤x <2kπ＋π3，k ∈Z .故不等式组的解集为{x |2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z }．二、能力提升9．下列命题正确的是( )A ．α、β都是第二象限角，若sin α>sin β，则cos α<cos βB ．α、β都是第三象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βC ．α、β都是第四象限角，若sin α>sin β，则cos α>cos βD ．α、β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin β 答案 C解析根据单位圆有关知识分别判断即可． 10．已知点P (sin α－cos α，sin αcos α)在第一象限，则在[0,2π)内，α的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π解析由点P ⎝⎛⎭⎫sin α－cos α，sin αcos α在第一象限，可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，sin αcos α>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α>0，sin α>cos α，或⎩⎨⎧sin α<0，cos α<0，sin α>cos α.如图所示：∴π4<α<π2或π<α<54π. 11．求函数f (x )＝log (1－2cos x )(2sin x ＋1)的定义域．解依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ＋1>0，1－2cos x >0，1－2cos x ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x >－12，cos x <12，cos x ≠0.如图利用单位圆，得函数的定义域是 (2k π＋π3，2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋76π)，k ∈Z .12.已知f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．解 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期．三、探究与拓展13．设π2>α>β>0，求证：α－β>sin α－sin β.证明如图所示，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C ⊥P 1M 1于C ，连接P 1P 2，则sin α＝M 1P 1，sin β＝M 2P 2，α－β＝P 1P 2，∴α－β＝P 1P 2>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.。

单位圆与周期性(共10张PPT)

(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数；
一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期
它们的正弦函数值有什么关系?
例如：－4π，－2π，2π，4π等都是它们的周期. 事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的周期.
(5)部分函数虽然是周期函数，但是没有最小正周期，例如f(x)=c,(c为常数，x∈R).
称 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．
(同5)部学分函们数虽回然忆是周目期函前数，你但学是没过有最那小正些周类期，型例如的f(x)函=c,(数c为常？数)，x∈2Rk). π
(k∈Z,k≠0)为正弦函
数、余弦函数的周期。 sin(2kπ+x)＝sinx (k∈Z)
事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的周期.
单位圆与周期性
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角 4 和角的4 终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?
y
相等
O
r=1
它们的正弦函数值有什么关系?
x 相等
一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期 (4)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，一般我们所说的周期都是指最小正周期。
2 8 (6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x ∈[0,10π]
角和角呢? 我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期。
3 3 我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期。 5 (6)定义域的变化会对函数的周期性长生一定的影响，例如f(x)=sinx,x ∈[0,10π]

单位圆与周期性

单位圆与周期性
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最新课件
角
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和角
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的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?
y
O
r=1
x
相等
它们的正弦函数值有什么关系? 相等
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角
2和角
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8 呢?
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角和角
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呢?
角
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和角
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3 呢?
3
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由上述问题的讨论，不难得出：终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin(2kπ+x)＝sinx (k∈Z) 同理，对于余弦函数也有同样的结论：终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)
（2）sinα= 1/3，则
sin(4π +α)=( )
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例2已知函数f(x)是周期为4 的奇函数，且当0≤x≤2时， f(x)=x2,求f(-2015)的值。
10
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正弦函数、余弦函数的一个重要性质是
终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等。它是化简三角函数的一个重要公式。
周期性也是三角函数的一个重要性质，最小正周期是它的主要特征。
4
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上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变．所以正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。生活中有许多周期性变
化的现象，例如，钟摆的摆心到铅垂线的距离随时间的变化呈
周期性变化。从而我们把自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数。正弦函数、余弦函数是周期函数，(备注：同学们回忆目前你学过那些类型的函数？)称2kπ (k∈Z,k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期。

数学北师大版必修4教学教案-1.4.2-单位圆与周期性-(1)-含答案

1.4.2 单位圆与周期性【教材分析】一、地位与作用：本节课内容是普通高中课程标准实验教科书北师大《数学（必修四）》第一章第4.2节主要讲述三角函数的周期性。

本节知识上承三角函数定义，下启诱导公式及三角函数图像与性质。

同时，三角函数是描述周期现象的数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。

二、内容分析：本节教材对内容的安排主线是：现实背景（的感知与认识）—建构数学（形成周期函数概念）—具体化研究（三角函数的周期性）—数学应用（会求简单函数的周期）；此外，通过对例题的安排，介绍了得出函数周期的三种方法。

即例1→图像法、例2→定义法、例2的推广与引申→公式法。

充分体现了由“感性认识→理性认识”的认知升华。

【三维目标】一、知识与技能：1、了解周期函数的概念。

2、会判断一些简单的、常见的函数的周期性；3、能写出一些简单三角函数的周期。

二、过程与方法：1、结合现实模型，通过对三角函数值变化规律的观察与认识建构周期函数概念；2、通过对周期函数概念的了解与认识，学会判断简单的、常见的函数周期性；3、通过对三角函数周期公式的探索与发现，能写出简单的三角函数的周期。

三、情感价值观：1、通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、形成周期函数的概念的过程，让学生体会数学知识的发生、发展再现过程，激发学生的学习兴趣和求知欲。

2、通过数学运用，让学生在尝试问题解决中，获得成功的体验，在数学学习中享受生活，享受快乐。

【重点与难点】一、教学重点周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性。

二、教学难点周期函数的概念【学生分析】1、知识基础：学生认识了周期现象，并在此基础上学习了三角函数的定义，有了一定的知识基础；2、生活基础：日出日落、四季更替……始终伴随着我们的生活，容易激发学生的兴趣与求知欲；3、基本能力：在建构主义教学理论指导下的数学学习，使学生已经具备了一定的观察、分析、思考的能力，为本节课的展开提供了可能。

【教法与学法】一、学法设计：学法设计主要有：观察、思考、小组讨论、合作探究。

单位圆与周期性

高中数学必修4导学案2014-2015学年第一学期高二年级班姓名：编写者：使用时间2018-9-2课题：§1.4.2单位圆与周期性 1 课时学习目标：1、知识与技能（1）理解正弦函数、余弦函数的几何意义；（2）会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 2、过程与方法通过研究正弦函数、余弦函数的几何意义，利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性. 3、情感态度与价值观通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力.学习重点：周期性及一般函数周期性的定义. 学习难点：会求简单函数的周期性. 基础达标：1、终边相同的角的正、余弦值间的关系（1）sin(2) ,()x k k Z π+=∈；（2）cos(2) ,()x k k Z π+=∈． 2、周期函数的定义（1）一般地，对于函数()f x ，如果存在，对定义域内的值，都有，则称()f x 为周期函数，称为这个函数的周期．（2）特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称是正弦函数、余弦函数的周期．其中是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为．合作交流：1、求值：（1）sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750cos 495-︒︒+-︒︒+︒（2）2317cos()34ππ-+2、若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，求(3)(4)f f -的值．思考探究：1、由于sin()sin 424πππ+=，所以2π是()sin f x x =的一个周期，对吗？2、所有的周期函数都有最小正周期吗？达标检测：1、下列说法不正确的是（） A.只有个别的x 值或只差个别的x 满足()()f x T f x +=或不满足都不能说T 是()y f x =的周期B.所有周期函数都存在最小正周期C.周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则kT()k N +∈一定也是周期D.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界2、25sin 6π=（）A.12-B.32C.12 D.32-3．下列说法中正确的是( ) A ．当2x π=时，sin()sin 6x x π+≠，所以6π不是()sin f x x =的周期 B ．当512x π=时，sin()sin 6x x π+=，所以6π是()sin f x x =的一个周期 C ．－2π不是y ＝sin x 的周期 D ．π是y ＝cos x 的一个周期4、角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（） A. 3 B. -3 C. 3± D. 5 5、下列函数是周期函数的是（） ①()f x x =；②()2x f x =；③()1f x =；④1,()0为有理数，为无理数x f x x ⎧=⎨⎩.A.①②B.③C.③④D.①②③④6、角α的终边上有一点()(,),0且P a a a R a ∈≠，则cos α的值是（）A.22 B.22- C.22± D.1 7、sin390 ︒=，cos390 ︒=，390°终边与单位圆交点P 的坐标为________．8、若偶函数()y f x =是以4为周期的函数，且在区间[]6,4--上是减函数，则在上[]0,2的单调性是学习小结：学后反思：。

1.4.2单位圆与周期性

4、2 单位圆与周期性(导学案)使用说明：1．先精读教材，勾画出本节内容的基本概念，找出问题并进行标注，然后再精读教材完成本学案；2.要求独立完成预习案.【学习目标】⒈理解周期性概念的形成。

⒉周期函数概念的加深理解。

⒊正弦、余弦函数的周期性。

【学习重点和难点】重点：正弦、余弦函数的周期性。

难点：求函数的最小正周期。

【预习案】复习知识当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限αsinαcos教材助读1.终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，即_________________________，_________________________。

2.课前自主学习⑴一般地，对于函数()x f，如果存在非零实数T，对定义域内的_______________一个x值都有_________________________，我们就把()x f称为周期函数，____________称为这个函数的周期。

如果在周期函数()x f的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做()x f的最小正周期。

⑵若周期函数()x f的一个周期是T（T≠0），则___________________也为()x f的周期。

⑶正弦函数、余弦函数的周期为_____________________，最小正周期为________________。

预习自测1.函数()2xxf=满足()()3f63f-=+-，这个函数是不是以6为周期的周期函数，为什么？2.函数sinxy=是周期函数，且⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+4f24fπππ，为什么2π不是它的周期？【探究案】基础知识探究1.已知函数)(xf)(Rx∈是周期为3的奇函数，且f(-1)＝a,则f(7)＝_________2.已知函数)(xf是R上的奇函数，且f(1)＝2,f(x+3)＝f(x) ,求f(8).3.已知角α为第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。

北师大版必修4 1.4.1-4.2 单位圆与周期性学案

4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性1．任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin__α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos__α．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin α＋＋－－cos α＋－－＋[注意]按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．3．终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x＋2kπ)＝sin__x，k∈Z；cos(x＋2kπ)＝cos__x，k∈Z.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．4．周期函数(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (4)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) 解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y 轴的正半轴上． (2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°. (3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y ＝sin x 的一个周期． (4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎫22，－22，则sin α的值为( ) A.22B ．－22C.12D ．－12解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点⎝⎛⎭⎫22，－22到原点的距离为1，则sin α＝－221＝－22，故选B. 3．对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________．解析：由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一)4．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴负方向相同，则sin α＝________．解析：由正弦线的概念知sin α＝－12.答案：－121．对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，实际上给出了两个对应关系，即实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标v ――→对应正弦实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u ――→对应余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，如下图，那么，比值y r 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ；比值xr 叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr.3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称终边位置正弦函数余弦函数x 轴正半轴 0 1 x 轴负半轴 0 －1 y 轴正半轴1y轴负半轴－104.对周期函数的概念的理解(1)定义域：在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0＋T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期．(3)周期函数的周期有无限多个．若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(x＋kT)＝f(x＋(k －1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立，即f(x＋kT)＝f(x)，所以kT(k∈Z，k≠0)也是周期．(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(x＋T)＝f(x)成立，则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同．利用正、余弦函数的定义求值已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．【解】法一：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0＝2x0，x20＋y20＝1，x0≥0，解得⎩⎨⎧x0＝55，y0＝255，即P⎝⎛⎭⎫55，255，所以sin α＝y0＝255，cos α＝x0＝55.法二：设点P(a，2a)是角α终边上任意一点，其中a>0.因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“角α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α的终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ，2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0) （O 为坐标原点），所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(P 与原点O 不重合)；第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2(r >0)；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝xr求值．1.(1)设角α的终边上有一点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )A ．－25 B.25 C ．－25或25D ．1(2)已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，则cos α＝________．解析：(1)由三角函数的定义可知sin α＝－342＋（－3）2＝－35，cos α＝442＋（－3）2＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25，故选A. (2)因为r ＝4＋y 2，所以sin α＝yr ＝yy 2＋4＝－55.所以y <0，所以y ＝－1，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－25＝－255.答案：(1)A (2)－255单位圆中的角在直角坐标系的单位圆中，已知α＝83π.(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值．【解】 (1)因为α＝83π＝2π＋23π，所以角α的终边与23π的终边相同．以原点为角的顶点，以x 轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转83π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示． (2)因为α＝83π，所以点P 在第二象限，由(1)知∠AOP ＝2π3，过点P 作PM ⊥x 轴于点M .则在Rt △OMP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π3，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝12，MP ＝32，所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.(3)根据正弦函数的定义有sin8π3＝32.(1)先将角α表示为α＝β＋2k π(－π<β≤π，k ∈Z )的形式，则角β的终边即为角α的终边，k 为x 轴的非负半轴逆(k >0)或顺(k <0)旋转的周数．(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正弦、余弦值．2.(1)已知角α的终边和单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α＝________，cos α＝________．(2)在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－136π.①画出角α；②求出角α的终边与单位圆的交点坐标； ③求出角α的正弦、余弦值．解：(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知，sin α＝－45，cos α＝35.故填－45和35.(2)①因为α＝－136π＝－2π－π6，所以角α的终边与－π6的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x 轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转136π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示．②因为α＝－136π，所以点P 在第四象限．由①知，∠AOP ＝π6，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △MOP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π6，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝32，MP ＝12，所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12.③根据正弦、余弦函数的定义，得 sin ⎝⎛⎭⎫－136π＝－12，cos ⎝⎛⎭⎫－136π＝32. 判断三角函数值的符号及角所在象限(1)判断sin 340°cos 265°的符号；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限．【解】 (1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角，所以sin 340°<0，cos 265°<0. 所以sin 340°cos 265°>0. (2)因为sin 2α>0，所以2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )，所以k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．所以α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． (2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3.判断下列各式的符号．(1)α是第四象限角，sin α·cos α； (2)sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－23π4. 解：(1)因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0. (2)因为π2<3<π，π<4<3π2，所以sin 3>0，cos 4<0. 因为－23π4＝－6π＋π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫－23π4>0. 所以sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－234π<0. 周期性及其应用已知函数f (x )在定义域R 上恒有： ①f (x )＝f (－x )，②f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝－x 2＋4x . (1)求f (8)；(2)求f (x )在[0，2 016]内零点的个数．【解】 (1)由已知：f (8)＝f (2＋6)＝f (2－6)＝f (－4)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2－2)＝f (0)＝0. (2)因为f (x )在定义域R 上恒有f (2＋x )＝f (2－x )，所以f (x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立．又f (x )＝f (－x )对x ∈R 恒成立．故有f (－x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立．即4是f (x )的一个周期．因为x ∈[0，4)时，f (x )＝0的根为x ＝0，所以f (x )＝0在R 上的根为x ＝4k ，k ∈Z . 由0≤4k ≤2 016(k ∈Z )得0≤k ≤504(k ∈Z )．所以f (x )在[0，2 016]内的零点共有505个．(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如本题出现由f (x )＝f (4－x )得4是f (x )的一个周期是错误的．4.(1)设f (x )是以4为一个周期的函数，且当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫72的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－3(2)已知函数f (x )满足f (1)＝2，且f (x ＋1)＝－1f （x ）(f (x )≠0)对任意x ∈R 恒成立，则f (5)＝________．(3)已知f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．解：(1)选B.f (x )是以4为一个周期的函数，所以4k (k ∈Z ，k ≠0)也是f (x )的周期．所以f (x －4)＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4，从而f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，所以f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0. (2)因为f (x ＋1)＝－1f （x ），所以f (x ＋2)＝－1f （x ＋1），所以f (x ＋2)＝－1－1f （x ）＝f (x )，所以f (x )的周期为2，所以f (5)＝f (1)＝2.故填2.(3)因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．思想方法分类讨论思想确定三角函数值符号函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是________．[解析] 当x 为第一象限的角时，sin x ＞0，cos x ＞0，所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1＋1＝2；当x 为第二象限的角时，sin x ＞0，cos x ＜0，所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1－1＝0；当x 为第三象限的角时，sin x ＜0，cos x ＜0，所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＝－1－1＝－2；当x 为第四象限的角时，sin x ＜0，cos x ＞0，所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝－1＋1＝0.所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是{－2，0，2}．[答案] {－2，0，2}求函数的值域实质是对函数式进行化简，在求解中对sin x 、cos x 的符号进行讨论，即对x 所在象限进行分类讨论．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解析：选D.r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D. 2．若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由－π2＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是________．解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.答案：24．已知函数f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝________．解析：f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1. 答案：1, [A 基础达标]1．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－32B.32C.12D ．－12解析：选D.－163π的终边与23π的终边重合，故cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 2π3＝－12. 2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.因为sin 30°＝12，cos 30°＝32，所以α的终边过点(1，－3)，所以r ＝1＋（－3）2＝2，所以sin α＝y r ＝－32，故选C.3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是( )A ．－1B ．2C ．1D ．0解析：选B.因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.4．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z解析：选B.由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .5．有下列命题：①存在函数f (x )定义域中的某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数；②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.①由周期函数的定义，可知f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝f (x ＋T )＝f (x )，所以2T 也是周期，故不正确． 6．已知角α为第二象限角，则（sin α－cos α）2化简的结果为________．解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此（sin α－cos α）2＝|sin α－cosα|＝sin α－cos α. 答案：sin α－cos α7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)________0. 解析：因为α是第三象限角，所以－1<cos α<0，－1<sin α<0.所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0，所以sin(cos α)·cos(sin α)<0. 答案：<8．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：359．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)．由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. 因为点M 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22. 所以cos α＝22或cos α＝－22. 10．已知函数f (x )的定义域是R ，对任意实数x ，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求证：函数f (x )是周期函数； (2)求f (－7)．解：(1)证明：对任意实数x ，有f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )．所以函数f (x )是周期函数． (2)由(1)知，函数f (x )的周期为4，所以f (－7)＝f (－7＋2×4)＝f (1)．因为当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (－7)＝f (1)＝3.[B 能力提升]11．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3解析：选C.依题意，可知sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16.又sin α·cos α＝34，所以－4a a 2＋16＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0，解得a ＝－43或－433，故选C.13．已知角α的终边过点(3m －9，m ＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m 的取值范围．解：因为cos α<0，所以α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上．又因为sin α>0，所以α的终边在第一或第二象限，或y 轴的非负半轴上．所以α是第二象限角，即点(3m －9，m ＋2)在第二象限．所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －9<0，m ＋2>0，解得－2<m <3，即m 的取值范围是(－2，3)．14．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角．综上可知角α是第四象限角． (2)因为点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝－45.。

陕西省柞水中学高一数学必修四第一章学案单位圆与周期性

单位圆与周期性【导学案】班级姓名组号主备人：党显武审核人：王松涛【学习目标】1.理解周期函数的概念，会利用单位圆研究正、余弦函数的周期性；2.通过自主学习，合作探究，学会初步应用周期函数定义和性质分析和解决与周期有关的一些简单问题【学习重点】周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期；【学习难点】周期函数定义及运用定义求函数的周期。

【学习过程】一、自主学习认真阅读课本，练习课本及学案上相应习题。

然后据此总结归纳：1、终边相同的角的正弦函数值相等，即------------------------------------；余弦函数值相等，即，。

2、函数的周期性（1）定义: 对于函数，如果存在非零实数T ，对定义域内的________一个x 恒有)(x f ______________，那么函数是周期函数，___________称为这个函数的周期。

如果在周期函)(x f 数的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做的正周期。

)(x f )(x f （2）性质：若函数f(x)是周期函数，周期为T ，则kT(k 是整数)也是函数f(x)的周期，即：---------------------------------------------------------3、正弦函数y=sinx 、余弦函数y=cosx 都是--------，他们的周期为___________________，最小正周期为_____________。

4、自主检测（1）函数满足，这个函数是不是以6为周期的周期函数?2)(x x f =)3()63(-=+-f f (2) 函数是周期函数，且，为什么不是它的周期？x y sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4f 24f πππ2π二、合作探究1、求下列三角函数值：（1）cos(-10500) ; (2)sin(-)π4312、（1）.已知函数()()f x x R ∈是周期为3的奇函数，且f(-1)=a,求f(7)。

高二数学教案：单位圆与周期性

高二数学教案：单位圆与周期性
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本文题目：高二数学教案：单位圆与周期性
泗县三中教案、学案：单位圆与周期性
年级高一学科数学课题单位圆与周期性
授课时间撰写人刘报时间
学习重点单位圆与正弦线、余弦线、正切线
学习难点正弦线、余弦线、正切线的应用
学习目标
1.理解正弦线、余弦线、正切线的概念;
2.掌握作已知角α的正弦线、余弦线和正切线;
3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及求解简单的三角不
等式.
教学过程
一自主学习
1.当角的终边上一点的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、
(1)sin≥ ; (2) tan .
变式：利用单位圆写出符合下列条件的角的范围.
(1) ; (2) .
三巩固练习
1.下列大小关系正确的是( ).
A. B.
C. D.以上都不正确
2.利用余弦线，比较的大小关系为得满足条件，且在0到360的角为( ).
线、正切线，统称为三角函数线.
2.①正弦值对于第、象限为正( )，对于第、象限为负( );
②余弦值对于第、象限为正( )，对于第、象限为负( );
③正切值对于第、象限为正(同号)，对于第、象限为负(异号).
3.周期函数与周期
二师生互动
例1已知，比较的大小.
变式：，结果又如何?

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