函数y=sin(wx+ψ) 的图像性质及应用

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函数y=sin(wx+ψ) 的图像性质及应用

第15讲函数sin()y A wx ϕ=+的图像性质及应用第一部分知识梳理1.函数sin()y A wx ϕ=+（0x >）的物理概念，振幅A ：表示震动时离开平位置的大距离；频率w ：表示单位时间内往返震动的次数；初像：ϕ；相位：wx ϕ+2. 函数sin()(0)y w k ϕ=±>的图象和函数sin y x =图像的关系（平移）；函数sin (0)y wx w => 的图像和函数y = sinx 图像的关系（周期变换）；函数sin (0)y A x A =>的图像和函数sin y x =图像（振幅变换）3. 作函数sin()y A wx ϕ=+的图像（1）用“五点法”作图，用“五点法”作sin()y A wx ϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z wx ϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，同过列表，计算出五点坐标，描点后得出图像（2）由函数sin y x =的图像通过变换得到sin()y A wx ϕ=+的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”4. 函数x y sin =的图象得到sin()(0,0)y A wx w ϕϕ=+>>的图象主要有下列两种方法①x y sin =（相位变换）→_______(周期变换) →________(振幅变换)→_________ ②x y sin =(周期变换)→________（相位变换）→________(振幅变换)→_________5. 函数sin()y A wx ϕ=+的性质① 函数sin()y A wx ϕ=+的周期可利用2T wπ=② 判断函数sin()y A wx ϕ=+(0A ω≠)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为sin (0)y A wx Aw =≠或cos (0)y A wx Aw =≠的形式。

③ 求sin()(0,0)y A wx A w ϕ=+>≠的单调区间，一般将wx ϕ+看成一个整体，代入sin y x =相关的单调区间对应的不等式，解之即得。

考点13 y=sin(wx+φ)的图像与性质(解析版)

考点13 y=Asin(wx+ϕ)的图像与性质一、考纲要求1、了解三角函数的周期性，画出 y =sin x ， y =cos x ，y =tan x 的图像，并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ，2π ]，正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A ， ω ，φ 对函数图像变化的影响；能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图，能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 . 二、近五年江苏高考 1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点，对这部分内容的考查，高考中大多以中、低档题为主，主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题，要求学生熟练地掌握三角函数的图像，及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质，并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时，要重视化归思想的运用，即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理三、考点总结：1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A ， ω ，φ 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。

四、近五年江苏高考试题 1、（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A >0，ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间；由求减区间.2、（2017年江苏卷）已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1) 因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2) f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.易错警示从－3cos x ＝3sin x 推得tan x ＝－33，必须明确说明cos x ≠0.3、（2016年江苏卷）定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________．【答案】 7解法1 由题意得sin2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，从而cos x ＝0或sin x ＝12，因为x ∈[0，3π]，所以x ＝π6，π2，5π6，3π2，13π6，17π6，5π2，共7个不同的解，故y ＝sin2x 与y ＝cos x 在[0，3π]上共有7个不同的交点．解法2 如图，在同一个坐标系中，分别作出函数y ＝sin2x 与y ＝cos x 的图像，根据它们的图像可得它们在[0，3π]上共有7个不同的交点．五、三年模拟题型一三角函数的性质1、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2，－π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1. 2、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为．【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32c o s (±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！3、(2019苏州期初调查）已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】 π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.4、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．【答案】3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.5、(2017南通一调）函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的最小正周期为________．【答案】2π3【解析】由三角函数周期公式得T ＝2π3.6、(2018镇江期末）函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________．【答案】π2【解析】由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.7、(2018苏北四市期末）若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】.4【解析】由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.8、(2018苏锡常镇调研（二））已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ．【答案】2π【解析】根据题意可得1)2sin()2(=+=ϕπf ，则ππϕπk 222+=+，.Z k ∈可得ππϕk 223+-=，Z k ∈，又因为πϕ20<<，所以当且仅当1=k 时.2πϕ=9、(2017苏北四市期末）若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω＞0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________．【答案】－12【解析】因为函数f (x )的最小正周期为15，所以2πωπ＝15，ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin196π＝sin 7π6＝－12. 10、(2017无锡期末）设函数f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，π3 【解析】利用三角恒等变换公式将函数化为正弦型函数即可． f (x )＝1－cos2x 2＋3cos x sin x ＝12－12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 题型二三角函数图像的变换1、(2019无锡期末）已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________．【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.解后反思本题的关键是通过对直线与函数的图像分析，利用数形结合的思想将问题转化为函数图像的切线问题，然后利用导数的几何意义求解．2、(2018无锡期末）函数y ＝cos (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像重合，则φ＝________．【答案】π6【解析】函数y ＝cos (2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位长度后所得图像的函数是y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ＝cos (2x －π＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ，由题意可得－π2＋φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，故φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以当k ＝0时，φ＝π6.3、(2018苏州暑假测试）将函数y ＝sin (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f(x)的图像，若函数y ＝f(x)的图像过原点，则φ的值是________．【答案】34π【解析】由题意，f(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ，进而f(0)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，又因为0<φ<π，所以φ＝34π. 易错警示由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．4、（2018南通、泰州一调）在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度．若平移后得到的图像经过坐标原点，则φ的值为________．【答案】 π6解法1(代入特殊点) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ，因为函数图像过原点，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π3＝0，所以2φ－π3＝k π(k ∈Z )，则φ＝k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6. 解法2(函数的性质) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为函数图像过原点，则函数为奇函数，所以π3－2φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6.5、(2017南京、盐城二模）将函数f (x )＝sin x 的图像向右平移π3个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为________．【答案】 3【解析】化简，y ＝f (x )＋g (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π6＝3sin x －π6，故y ∈[－3，3]．6.(2017南京、盐城一模）将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【答案】5π12【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为y ＝3sin2(x －φ)＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为所得的函数为偶函数，所以π3－2φ＝k π＋π2，解得φ＝－k π2－π12(k ∈Z )，因为0＜φ＜π2，所以k ＝－1，得φ＝5π12. 7、（2017镇江期末）将函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数图像关于y 轴对称，则φ＝________.【答案】 π8【解析】向左平移φ个单位长度后所得函数解析式为y ＝5sin ⎣⎡⎦⎤x ＋φ＋π4.因为其图像关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π8＋k π2，k ∈Z .又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8.易错警示由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．题型三三角函数的解析式1、(2018南京学情调研）若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．【答案】－1【解析】由题意，A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f (－π)＝2sin(－23π－π6)＝－1.解后反思依图求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．2、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．【解析】 (1) 设f(x)的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π.又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x ＋φ)．(3分)因为点⎝⎛⎭⎫π12，2在函数图像上，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1. 因为－π2＜φ＜π2，即－π3<π6＋φ<2π3，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(7分) (2) 由f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35. 因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45.(10分) 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 sin π3＝－45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝－33＋410.(14分) 解后反思一般地，处理三角恒等变换中“知值求值”问题，需要树立用“已知角表示所求角”的意识．故本题需把所求角α拆成已知角α＋π3和特殊角π3的差，进而用两角差的余弦公式求解，并注意求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3时开方后正负号的取舍问题．3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解析】（1）由条件知：周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x 的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =，所以1A =，所以()π()sin 3f x x =+． …… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα+++-=， …… 8分即()()ππsin 133αα+-+=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分【易错警示】这由1sin 2α=，求角α的值，会忽略(0π)α∈，的限制条件，出现少解或多解的错误现象.。

(14)函数y=sin(wx +ψ)图像与性质及三角函数模型的简单应用 Word版含答案

寒假作业（14）函数y=sin(wx +ψ)图像与性质及三角函数模型的简单应用1、将函数π2sin(2)6y x =+的图象向右平移14个最小正周期后,所得图象对应的函数为( )A.π2sin(2)4y x =+ B.π2sin(2)3y x =+C.π2sin(2)4y x =-D.π2sin(2)3y x =-2、设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是( )A.()f x 的图象关于直线3x π=对称 B.()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象 D.()f x 的最小正周期为，且在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数3、若函数()y f x =的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位,沿y 轴向下平移1个单位,得到函数1sin 2y x =的图象则()y f x =是( )A. 1πsin 2122y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B. 1πsin 2122y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C. 1πsin 2124y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D. 1πsin 2124y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4、将函数(2)y sin x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 ( )A.3π4B.π4 C.0 D.π4- 5、为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向右平移π6个单位长度6、若将函数2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A.ππ(k Z)26k x =-∈ B.ππ(k Z)26k x =+∈ C.ππ(k Z)212k x =-∈ D. ππ(k Z)212k x =+∈ 7、函数()cos()f x x =+ωϕ的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A. 13,,Z 44k k k π-π+∈⎛⎫⎪⎝⎭B. 132,2,Z 44k k k π-π+∈⎛⎫⎪⎝⎭C. 13,,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D. 132,2,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭8、将函数sin y x =的图象上所有的点向右平移π10个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) A. sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 1sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. 1sin 220y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9、函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示,则( )A.π2sin(2)6y x =- B.π2sin(2)3y x =- C.π2sin()6y x =+D.π2sin()3y x =+10、已知函数()sin (0)4f x x ωω⎛⎫ ⎪⎝⎭π=+>的最小正周期为π,则该函数的图象( )A.关于直线8x =π对称B.关于点,04⎛⎫⎪⎝⎭π对称 C.关于直线4x =π对称D.关于点,08⎛⎫⎪⎝⎭π对称11、如图所示的是函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕ=+>>-π<<π的图象，由图中条件写出该函数的解析式为y =__________________.12、若将函数sin y x =的图象上所有点________________,得到πsin()6y x =-的图象,再将πsin()6y x =-的图象上所有点____________________,可得到1πsin()26y x =-的图象. 13、将函数()sin()f x x ωϕ=+ππ0,22ωϕ⎛⎫>-≤< ⎪⎝⎭的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到sin y x =的图象,则π()6f =_________. 14、将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个绝对值最小的取值为________________.15、如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动需要__________s 往返一次16、如图,圆O 的半径为2,l 为圆O 外一条直线,圆心O 到直线l 的距离03,OA P =为圆周上一点,且06AOP π∠=,点P 从0P 处开始以2秒一周的速度绕点O 在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. ①1秒钟后,点P 的横坐标为__________;②t 秒钟后,点P 到直线l 的距离用t 可以表示为__________;17、某城市一年中12个月的平均气温与月份x 的关系可近似地用三角函数()()cos 61,2,3,,126y a A x x π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭L 来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28C ︒,12月份的月平均气温最低,为18C ︒,则10月份的平均气温值为__________.18、如图某地夏天从814:时用电量变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++(1)这一天的最大用电量为__________万度,最小用电量为__________万度; (2)这段曲线的函数解析式为__________.19、右图是一弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移.则这个振子振动的函数解析式是______________.20、下图是一个单摆的振动图象,根据图象回答下面问题:(1)单摆的振幅为__________; (2)振动频率为__________.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为,将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移14个最小正周期,即4π个单位长度后,所得图象对应的函数为2sin 22sin 2463y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选D.2答案及解析：答案：C 解析：当3x π=时，2,()sin 03x f x π+=π=π=，不合题意，A 错误；当4x π=时，5512,()sin3662x f x πππ+===，B 错误；把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数sin 2sin 2cos21232y x x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，C正确；当12x π=时，sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当6x π=时，2sin 163f ππ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()f x 不是增函数，D 错误.3答案及解析：答案：B解析：根据题意,将函数1sin 2y x =的图象向上平移一个单位1sin 12y x =+,同时在沿x 轴向右平移π2个单位,1πsin 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩短为到原来的12倍.4答案及解析：答案：B解析：解：令2y f x sin x ϕ==+（）（），则πππ()sin[2()]sin(2)884f x x x ϕϕ+=++=++，∵π()8f x +为偶函数，∴ππ+π42k ϕ=+， ∴ππ4k ϕ=+，k Z ∈，∴当0k =时，π4ϕ=．故φ的一个可能的值为π4．故选：B ．5答案及解析：答案：D解析：因为ππsin(2)sin[2()]36y x x =-=-,所以只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平移π6个单位长度即可.故选D.6答案及解析：答案:B解析: 将函数2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，得到2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，由2(Z)62x k k ππ+=π+∈得：(Z)26k x k ππ=+∈，即平移后的图象的对称轴方程为ππ(k Z)26k x =+∈，故选B ．7答案及解析：答案：D解析：由题中所给图像知22142π=ωπω+ϕ=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩则4=π⎧⎪⎨π=⎪⎩ωϕ 即()cos 4f x x π⎛⎫=π+ ⎪⎝⎭.所以由余弦函数图象和性质，知224k x k ππ<π+<π+π，即1322,Z 44k x k k -<<+∈. 所以()f x 的单调递减区间为132,2,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.8答案及解析：答案：C解析：将函数sin y x =的图象上所有的点向右平移π10个单位长度, 得πsin 10y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得1πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故选C. 考点:三角函数的平移变换.9答案及解析：答案：A解析：由图易知2A =,因为周期T 满足ππ()236T =--,所以2ππ,2T Tω===. 由π3x =时,2y =可知ππ22π(Z)32k k ϕ⨯+=+∈,所以π2π6k ϕ=-+(Z)k ∈,结合选项可知函数解析式为π2sin(2)6y x =-.10答案及解析：答案：A解析：依题意得2,2T ωωπ==π=.故()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 所以sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 2sin 044442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故该函数的图象关于直线8x π=对称，不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，也不关于直线4x π=对称.故选A.11答案及解析：答案：22sin 33x π⎛⎫+⎪⎝⎭解析：将函数22sin3y x =的图象沿x 轴向左平移2π个单位长度，就得到本题的图象，故所求函数为222sin 2sin 3233y x x ⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.12答案及解析：答案：向右平移π6个单位长度;纵坐标不变,坐标伸长到原来的2倍解析：将函数sin y x =的图象上所有点向右平移π6个单位长度,得到πsin()6y x =-的图象,再将其横坐标伸长到原来的2倍可得到1πsin()26y x =-的图象.13答案及解析：答案：2解析：把函数sin y x =的图象向左平移π6个单位长度得到πsin()6y x =+的图象, 再把πsin()6y x =+的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数1πsin()26y x =+的图象,所以π1πππ()sin sin 62664f ⎛⎫=⨯+==⎪⎝⎭14答案及解析：答案：π4解析：由题意得π()sin[2()]8g x x ϕ=++πsin 24x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数,所以πππ42k ϕ+=+,Z k ∈. 所以ππ(Z)4k k ϕ=+∈,要绝对值最小,则令0k =,得π4ϕ=.15答案及解析：答案：0.8 解析：由图象知周期0.800.8T =-=,则这个简谐运动需要0.8s 往返一次.16答案及解析：答案：①②()3206cos t t π⎛⎫-π+≥ ⎪⎝⎭解析：①1秒钟后,点P 从0P 处绕点O 在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周,此时点P 与0P 关于原点对称,从而点P 的横坐标为②由题意得,周期为2,则t 秒钟后,旋转角为π,t 则此时点P 的横坐标为26cos t π⎛⎫π+⎪⎝⎭,所以点P 到直线l 的距离为32,0.6cos t t π⎛⎫-π+≥ ⎪⎝⎭17答案及解析：答案：20.5C ︒解析：由题意,可求得函数解析式为()235cos 66y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,将10x =代入解析式,可得答案为20.5C ︒18答案及解析：答案： (1) 50,30 (2) []10sin 40,8,1466y x x ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭解析：(1)由图象得最大用电量为50万度,最小用电量为30万度. (2)观察图象可知,从814:时的图象是()sin y A x b ωϕ=++的半个周期的图象,∴()()11503010,503040,22A b =⨯-==⨯+= ∵12148,,26ωωππ⨯=-∴= ∴10406y sin ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.将8,30x y ==代入上式,解得,6ϕπ= ∴所求解析式为[]1040,8,1466y sin x x ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭19答案及解析：答案：5ππ2sin()(0)24y t t =+≥解析：设函数解析式为πsin()(0,0,0,||)2y A x A t ωϕωϕ=+>>≤<,由题图知,2A =,2(0.50.1)0.8T =⨯-=,所以2π2π5π0.82T ω===,又图象过点,所以2sin ϕ=解得π4ϕ=.所以所求函数解析式是5ππ2sin()(0)24y t t =+≥.20答案及解析：答案：(1)1cm(2)1.25Hz解析：(1)由题中图象,可知单摆的振幅是1cm. (2)单摆的周期0.8T =,频率11.25Hz f T==.。

y=Asin(wx+ψ)的图象与性质(学生版)

sin()y A x ωϕ=+的图象与性质【知识要点】1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2 π 3π22π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3.三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．【课前小练】1.为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图象, 只需把函数2sin ,y x x R =∈的图象上所有的点（）A ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变) B ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)2.函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A ．2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π3.（2015高考陕西理3）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）A ．5B ．6C ．8D ．104.函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移 8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ 的一个可能的值为（）3.4A π .4B π C.0 .4D π-【例题解析】考点一五点法作y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 图像例1：（2015高考湖北理17）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+ 055-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.变式1：（2014—2015武汉重点中学期末联考）设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是8x π=（Ⅰ）求函数()y f x =的单调增区间；（Ⅱ）画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象.考点二：函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，特殊点带入.例2：（2015高考新课标1 理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈变式2：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则)0(f 的值是________．变式3：已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（）D.C.B.A.2π2π2π2πππππ2221111OOO O y y y y xxxx变式4：函数()ϕω+=x y sin 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（） A. 2πω=，4πϕ=B. 3πω=，6πϕ=C. 4πω=，4πϕ=D. 4πω=，45πϕ=考点三：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像变换例3：（2015高考山东理3）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（）A ．向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位变式5：要得到cos(3)4y x π=-的图象，则需要把将sin(3)4y x π=-的图象向左平移的距离最短的单位为_______变式6：要得到函数2cos y x =的图象，只需将函数2sin(2)4y x π=+的图象上所有的点的 A 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度 C 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度 D 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度考点四：)sin(ϕω+=x A y 型函数的图象与性质的综合应用例4：函数 )62sin(3)(π+=x x f 的部分图象如图所示.（1）写出)(x f 的最小正周期及图中00,y x 的值；（2）求)(x f 在区间]12,2[ππ--上的最大值和最小值.变式7：已知函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图像上一个最低点为)2,32(-πM .（1）求)(x f 的解析式；（2）当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求)(x f 的值域.考点五：)sin(ϕω+=x A y 型函数的应用举例例5：为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？变式8：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。

y=sin(wx+ψ)图像与性质

1 sin x 2
0
0
2
1 2
0
0
2
1 2
0
0
y 2 1 o π 6 -1 -2
2
y=2sinx
y＝sinx
y＝ 1 sinx 2

3 2
2
x
上述变换可简记为:
y＝sinx的图象
各点的纵坐标伸长到原来的2倍
(横坐标不变)
y＝2sinx的图象
各点的纵坐标缩短到原来的1/2倍 1 y＝sinx的图象 y＝ sinx的图象 2 (横坐标不变)
练习：下列函数可由y=sin x如何
平移得到？
1 y 2sin x 6 3
1 y sin 3x 2 4
•
作业：P57-58 1、2
1. 如何由y sin x的图象得到函数 y A sin(x )图象 ?
1 y 2sin x 4 8 1 y sin 4 x 2 6
函数y A sin( x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示简谐运动的物理量时： A：做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”. T： T
2
称为“周期” .

往复振动一次所需的时间，
函数y A sin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
Y=sin(2x+π ) 图象与 Y=sin(x+ π ) 的图象的关系。 3 3
探究三： A对y A sin( x ) 的图象的影响
例3.作y=2sinx, y＝
x sin x
1 sinx 的简图，并与y＝sinx的图象进行比较 2

6.3 y=Asin(wx+ψ)的性质综合

sin()y A x ωϕ=+的性质综合（讲案）【教学目标】一、三角函数的图像变换【知识点】平移与伸缩变换：一般的，由函数sin y x =的图象得到函数()sin y A x ωϕ=+（其中0,0A ω>>）的图象，可以有下面两种方法：（1）路径一（先平移后伸缩）：先将函数sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位长度，得到函数()sin +y x ϕ=的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数()sin +y x ωϕ=的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，就得到了函数()sin y A x ωϕ=+的图象；（2）路径二（先伸缩后平移）：先将函数sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y x ω=的图象；然后向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕω个单位长度，得到函数()sin +y x ωϕ=的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，就得到了函数()sin y A x ωϕ=+的图象；注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角x ωϕ+”变化多少.例如：从函数sin y x =的图象变换到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以有下面两种方法：①先向左平移π3个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12，最后纵坐标扩大为原来的3倍； ②横坐标缩短为原来的12，然后向左平移π6个单位长度，最后纵坐标扩大为原来的3倍；【例题讲解】★☆☆例题1．要得到函数sin2y x =的图象，只需将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度【答案】D所以要得到函数sin2y x =的图象，故选：D ．★☆☆练习1. 将函数()sin 2f x x =的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，则()g x 的解析式为（） A ．g()sin 6x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．g()sin +6x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2g()sin 43x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．g()sin 46x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】C故选：C.★☆☆例题2．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数y=cos2x 的图象（）A ．向左平移512π个单位B ．向右平移512π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位【答案】B故选：B★☆☆练习1.已知曲线1:sin C y x =,215:cos 26C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭则下列说法正确的是（） A. 把 1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2CD ．把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C【答案】B故选：B.★☆☆例题3．（20.日照一模7）已知函数()f x x ω=和()(0)g x x ωω=>图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点，为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移2π个单位【答案】A任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点；B ∴到AC 的距离等于AC 的一半；故选：A ．【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律以及三角函数的有关知识，是对知识的综合考查，属于中档题目．★☆☆练习1.已知函数())2sin cos 0f x x x x ωωωω=>的相邻两个零点差的绝对值为4π，则函数()f x 的图象（）A ．可由函数()cos4g x x =的图象向左平移524π个单位而得B ．可由函数()cos4g x x =的图象向右平移524π个单位而得C ．可由函数()cos4g x x =的图象向右平移724π个单位而得D ．可由函数()cos4g x x =的图象向右平移56π个单位而得【答案】B1cos232x ω+12=224ππω，故把函数g 故选：B ．★☆☆练习2.将周期为π的函数()()cos 066f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移3π个单位后，所得的函数解析式为（） A ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin2y x =D ．22cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A故选：A ．★★☆例题3．设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.（2017山东理）故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.★☆☆练习1.已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.求函数()f x 的解析式，并求其图像的对称轴方程.(2015高考福建理) )2sin x ，(k Z).2k；【解析】将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y2cos x 的图y2cos x 的图像向右平移2个单位长度后得到y 2cos()2x的图像，故)2sin x ，从而)2sin x 图像的对称轴方程为(k Z).2xk★☆☆练习2.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.求函数()f x 与()g x 的解析式. （2013福建数学理）【答案】()cos 2f x x =，()sin g x x =由函数()f x 的周期为π,0ω>,得ω)故()4f π=2πϕ=,所以(f 标伸长到原来的2倍cos x 的图象,再将得到函数()sin g x x =.★★☆练习3.已知()()πωω+=x x m cos 3,cos,()x x n ωωcos ,sin =其中0>ω，()n m x f⋅=,且()x f 相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若⎪⎭⎫⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛2,0,432πααf ,求αcos 的值；（2）将函数()x f y =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移6π个单位，得到函数()x g y =的图象，求函数()x g y =的单调递增区间. （1）138-32,23k +πππ()()x m x f πωcos cos +•= 2333sin -⎪⎭⎫--πωωx x sin 2 ⎝⎛=⎪⎭⎫αα3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πα异名三角函数图象变换问题，本质上就是图象的平移，可利用诱导公式，将其化为同名公式，化同名时，建议将cos x 化为sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)sin()y A x ωϕ=+的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z x ωϕ=+计算五点坐标．(2)由sin y A x ω=到sin()y A x ωϕ=+的变换：向左平移0,0ϕωϕω>>（）个单位长度而非ϕ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．二、由三角函数的图像求解析式【知识点】1．函数sin()y A x ωϕ=+的有关概念2.参数,,A ωϕ确定的基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．（1）A ：一般可由图象上的最大值、最小值来确定A ．（2）ω：因为2T πω=，所以往往通过周期T 来确定ω．（3ϕ：从寻找五点作图法中的第一个零点（也叫初始点，即离原点最近的、图象处于上升状态的零点）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置；当然也可在五点中找两个特殊点列方程组解出ϕ．【例题讲解】★☆☆例题1．函数()()sin 0,0,0y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A. 22sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 2sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据函数()()sin 0,0,0y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象，可得125=212ππω-，再根据当12x =-故选：A★☆☆练习1.已知函数()()sin 0,02f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为____________________．【解析】由图知，1A =；T π∴=， =2ω∴；()f x A =+3πωϕ∴π★☆☆例题2．设函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()0f =（）A B ．32C D ．1【答案】D【解析】由函数()f x 的图象知，2A =，又0ω>，2ω∴=，故选：D ．★☆☆练习1.函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图，1324f π⎛⎫- ⎪⎝⎭=（） A ．6-B ．3-C ．2- D ．1-【答案】D故选：D ．★☆☆例题3．已知函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则()3f 的值为（）【答案】C【解析】由函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，又24T FG ==，且EFG ∆是边长为2的等边三角形，故选：C★☆☆练习1．函数()()()cos 0f x x πϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x轴的交点，则tan PAB ∠等于（）【答案】B【解析】由函数()()()cos 0f x x πϕϕ=+>的图象可得，故选：B ．知识点要点总结：对于知图求解析式的题目，我们的求解步骤是：（1）先根据振幅求出A ，（2）在根据周期求出ω，（3）根据五点作图，将已知点代入求出ϕ.三、图像与性质的综合应用【知识点】1．周期与对称性之间的关系(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期；(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是12周期．2．对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设()()()sin ,(x)cos ,oy f x A x g A x x x ωϕωϕ===+=+=是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0. 【例题讲解】★★☆例题1．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2<<πϕϕ个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x -=π，则=ϕ（）(2015高考湖南理)A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D.【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.★★☆练习1．函数()()sin f x x ωϕ=+（x R ∈）（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，如果1x ，2,63x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A.12B.2 D.1 【答案】C故选C.★★☆例题2．（多选）（20.威海二模10）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，将()y f x =的图象上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图象．若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则( )A ．()y f x =图象关于(12π-，0)对称B ．()f x 在5(0,)12π单调递增C ．()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有2个解D ．()g x 在(12π，5)4π有仅有3个极大值点【答案】AC【解析】函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()g x 的最小正周期为()sin(4g x ∴=故选：AC ．★★☆练习1．(多选)（20.潍坊二模11）在单位圆22:1O x y +=上任取一点(,)P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是( )A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B ．()x f θ=在[,]22ππ-为增函数，()y g θ=在[,]22ππ-为减函数C ．()()1f g θθ+对于[0,]2πθ∈恒成立D ．函数2()(2)t f g θθ=+【答案】AC【解析】由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确；误；，∴确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0θ∈，2]π，则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，故选：AC ．★★★例题3．(多选)(20.青岛五月11）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()cos ||sin |f x x x =+则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是周期函数C ．()f x 在区间[0，]2π上单调递增D ．()f x 最大值为2【答案】ABD2222222322sin(),223322x k x k x k x k k x k x k x k x k πππππππππππππππππππππ++<++<+=+<+-++<+<+3223222k x k ππππππ⎨⎪+⎪⎪+<+()k Z ∈；()f x ∴是偶函数；A ∴正确．()f xπ+∴函数()f x 为周期函数；B ∴正确．③()f x 的最大值为2；D 正确．★★☆练习1．（多选）（20.德州一模11）已知函数()sin |cos |f x x x =+，下列命题正确的为( ) A ．该函数为偶函数 B ．该函数最小正周期为2πC ．该函数图象关于2x π=对称 D ．该函数值域为[1-【答案】BCD【解析】选项A ，定义域为R ，()sin()|cos()|sin |cos |()f x x x x x f x -=-+-=-+≠，故A 错误；所以函数的最小正周期是2π，故B 正确；，故选：BCD ．知识点要点总结：巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键．【课后练习】【巩固练习】★☆☆1．函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（）A ．6π B ．3πC ．4π D ．23π【答案】B图象关于原点对称，故答案为：B★☆☆2．要得到函数12y x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位长度B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度【答案】A故答案为：A★☆☆3．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】C故答案为：C★☆☆4．将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭=（）A B C D 【答案】D故选：D ．★☆☆5．函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（） A.2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D .4,3π【答案】A由五点法画图知，故选：A★☆☆6．.（20.济宁五月11）已知函数()cos(2)2sin()cos()()344f x x x x x R πππ=--++∈，现给出下列四个命题，其中正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的最大值为1C ．函数()f x 在[,]44ππ-上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到的函数解析式为()sin 2g x x =【答案】BD所以函数()f x 的最小正周期为π，最大值为1，A 不正确，B 正确；故选：BD ．★☆☆7．已知函数()Acos y x ωϕ=+的图象如图所示，2f π⎛⎫⎪⎝⎭=23-，则()0f = ___________________.★☆☆8．函数()sin 0,0,2y A x k A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则该函数表达式为________________________.321342πω=-2+=2ϕϕ，★★☆9．已知函数()Asin A 02y x πϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ=90°，则A 的值为（）A ．2B ．1C D【答案】C【解析】过Q ，P 分别作x 轴的垂线于B ，C ，如图所示；2,1MN CN ∴==，90PMQ ∠=又242,PQ MN PN ===，即故选：C.★★☆10．设偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，90,1KML KL ∠==，则16f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．B ．14-C ．12- D 【答案】D【解析】因为()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，90,1KML KL ∠==，故选：D ．★☆☆11．将函数()22sin cos f x x x x =-()0t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（） A ．23π B ．3πC ．2πD ．6π【答案】D故选：D ．★★☆12．.设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.（2017山东理）故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.【拔高练习】★★☆1．（20.潍坊一模15）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<是偶函数，将()y f x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()y g x =．已知()y g x =的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω= ；若()y g x =的图象在其某对称轴处对应的函数值为2-，则()g x 在[0，]π上的最大值为．()y g x =，2故答案为1．（2）()y g x =的图象在其某对称轴处对应的函数值为2-，则2A =， 0x π，∴126263x πππ+， ()g x ∴在[0，]上的最大值为当12x 故答案为3．★★☆2．（20.德州二模15）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，已知函数()2cos(2)()f x x ϕπϕπ=+-的图象向右平移3π个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图象重合，则ϕ= ，若函数()f x 在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是． )πϕπ的图象向右平移πϕπ，所以当时，与函数2sin y =)2cos(2x x =22(6x k k ππππ++∈51212x k ππ+由于函数()f x 在[a -，]a 是减函数， 51212a x a k ππππ--+1212a π，所以12π★★★3．（20.德州一模16）若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在5(0,)18π存在唯一极值点，且在(2π，)π上单调，则ω的取值范围为．32ππ，解得245ω；62362ππππ，解得2433ω； ★★★4．（20.德州二模15）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，已知函数()2cos(2)()f x x ϕπϕπ=+-的图象向右平移3π个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图象重合，则ϕ= ，若函数()f x 在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是． )πϕπ的图象向右平移πϕπ，所以当时，与函数2sin y =)2cos(2x x =22(6x k k ππππ++∈51212x k ππ+由于函数()f x 在[a -，]a 是减函数， 51212a x a k ππππ--+1212a π，所以12π★★★5.（20.潍坊一模15）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<是偶函数，将()y f x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()y g x =．已知()y g x =的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω= ；若()y g x =的图象在其某对称轴处对应的函数值为2-，则()g x 在[0，]π上的最大值为．()y g x =，2故答案为1．（2）()y g x =的图象在其某对称轴处对应的函数值为2-，则2A =， 0x π，∴126263x πππ+， ()g x ∴在[0，]上的最大值为当12x 故答案为3．★★★6.函数()sin()(00,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式，并写出其图象的对称中心； (2)若方程()+2cos(4)3f x x a π+=有实数解，求a 的取值范围．。

第06讲函数y=Asin(wx ψ)的图象及其应用 (精讲+精练)(教师版)

第06讲函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换高频考点二：根据图象确定函数sin()y A x ωϕ=+的解析式高频考点三：五点法作图高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用角度1：图象与性质的综合应用角度2：函数的零点（方程的根）的问题角度3：三角函数模型第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用（精练）1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数sin y x =,[0,2]x π∈的图象上,五个关键点是:(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移1．（2022·全国·模拟预测）将函数()()4sin 023f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度后得到的函数图像关于原点对称，则函数()f x 图像的一条对称轴的方程是（） A ．2x π=B ．x π=C ．52x π=D ．134x π=【答案】D 【详解】将函数()4sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度后得到4sin 32y x ππωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像，则由题知32k ππωπ-=，k ∈Z ，解得223k ω=-，k ∈Z ．又02ω<<，故23ω=，所以()24sin 33πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．令()112332x k k πππ+=+∈Z ，解得()11324x k k ππ=+∈Z ，当10k =时，解得4x π=，当11k =时，解得74x π=，当12k =时，解得134x π=，A 、B 、C 错误，D 正确. 故选：D ．2．（2022·北京通州·模拟预测）将函数cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度后，所得图象对应的函数为（） A ．sin 2y x = B ．sin 2y x =-C ．cos 2y x =D ．cos2x y =-【答案】A 【详解】将函数cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度后，所得图象对应的函数为cos 2cos 2sin 2222y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在[]0,π上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【详解】()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位可得()ππsin 2sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]0,πx ∈，则ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，正弦函数y =sin t 在π7π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故g (x )在[]0,π上有2个零点．故选：B ．4．（2022·北京师大附中高一期中）要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2sin 2y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位 B ．向右移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】D 【详解】由题设2sin 22sin 2()36y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以只需把函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位. 故选：D5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））若函数()()πcos 20,02f x A x A ϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()πf =（）A ．0B ．12CD【答案】D因为π,08⎛⎫⎪⎝⎭为五点作图法的第2点，所以ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．因为π02ϕ<<，所以π4ϕ=，又函数图象过点(，所以cos 4A π=2A =．所以()π2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()ππ2cos 4f == 故选：D .高频考点一：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换例题1．（2022·河南·模拟预测（文））由函数sin 2y x =的图象经过图象变换得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则这个变换过程为（）A ．向左平移π8个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变） B ．向左平移π4个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）C ．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π4个单位长度D ．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π8个单位长度【答案】A 【详解】sin 2y x =的图象经过图象变换得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,可先平移后伸缩：将函数图象向左平移π8个单位长度得ππsin 2()sin(2)84y x x =+=+，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；先伸缩后平移：把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin 2sin 2y x x =⨯=，再将图象左移π4个单位，得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选：A例题2．（2022·河南许昌·三模（文））要得到函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2cos2y x =的图像上所有的点（） A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度【答案】B 【详解】把函数2cos2y x =上所有的点向左平移12π个单位长度可得：2cos 22cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.例题3．（2022·陕西·二模（理））要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度D ．向右平移512π个单位长度【答案】B 【详解】因为函数sin 2cos 2cos 224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5cos 2cos 2cos 236412y x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度.故选：B.例题4．（2022·江西上饶·二模（理））为得到函数()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（） A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向右平移2π个单位【答案】D 【详解】对于A ，()f x 向左平移4π个单位得：2sin 22cos 24266f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，()f x 向左平移2π个单位得：2sin 226f x x πππ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 22cos 22cos 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，()f x 向右平移4π个单位得：2sin 22cos 24266f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；对于D ，()f x 向右平移2π个单位得：2sin 226f x x πππ⎛⎫⎛⎫-=--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 22cos 22cos 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.题型归类练1．（2022·安徽·高一期中）要得到πsin 23x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2x y =的图象（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度 D ．向右平移2π3个单位长度【答案】D解：将sin 2x y =向右平移2π3个单位长度得到12ππsin sin 2323x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：D ．2．（2022·北京八中高一期中）要得到cos 2y x =的图象，只要将sin 2y x =的图象（） A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位【答案】C 【详解】解：因为sin 2cos 2cos 224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到cos 2y x =的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，故选：C.3．（2022·湖北·高一期中）要得到函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数y x =的图象上所有的点的（）A ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度【答案】B 【详解】由y x =可得2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把曲线2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的上的点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，则可得到22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将该图象向右平移8π个单位，则可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故B 正确.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）要得到()sin 3y x =-的图象，需将)cos3sin 3y x x =-的图象（） A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位【答案】D 【详解】)πππcos3sin3sin cos3cos sin3sin 3444y x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭πsin 312x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由πsin 312y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向左平移π12得到()sin 3y x =-.故选：D高频考点二：根据图象确定函数sin()y A x ωϕ=+的解析式例题1．（2022·河南洛阳·一模（理））已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在[],ππ-上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A ．2sin 33x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．32sin 43x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．32sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．82sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【详解】根据变换可得209g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对A ，22sin 3sin 0093ππ⎡⎤⎛⎫⨯-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 符合；对B ，322sin sin 04932πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故B 不符合；对C ，322sin sin 02933πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 不符合；对D ，8222sin sin 039327πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 不符合. 故只有A 正确；故选：A.例题2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象大致如图所示．将函数()2236g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，所得函数为偶函数，则θ=（）A ．6πB ．3π C ．8π D ．12π 【答案】C 【详解】由图可知，1A =，22436πππω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得1ω=，又由五点画图法有106πϕ⨯+=，可得 6πϕ=-，可得()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()cos 2cos 2sin 2cos 2236664g x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()g x 向左平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，所得函数为()()22244h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由奇偶性及02πθ<<，可得242θππ+=，可得8θπ=．故选：C例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且()()12f x f x =，则()12f x x +=________．【详解】由题意知，函数()=2sin()f x x ωϕ+中，周期2[()]36T πππ=--=，所以22T πω==，又函数图象过点(0)6π-，，即2()26k k Z πϕπ⨯-+=∈，，得23k k Z πϕπ=+∈，，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以()=2sin(2)3f x x π+；由2sin(2)23x π+=，得图象的最高点坐标为(2)12π，，因为12()63x x ππ∈-、，且12()()f x f x =，所以12=2126x x ππ+⨯=，故12)=2sin(263f x x ππ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭题型归类练1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，π2ϕ<的部分图象如图所示；将函数()f x 图象的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移π4个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在（）上单调递减．A ．[]6π,5π--B ．[]2π,4πC ．[]4π,6πD ．[]4π,3π--【答案】D 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象，可得2A =，311ππ3π41264T =-=，则2ππT ω==，则2ω=，故()()2cos 2f x x ϕ=+；由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()π2π3k k Z ϕ+=∈，解得()π2π3k k Z ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，可得π3ϕ=-，所以()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象的横坐标伸长到原来的6倍后，得到1π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π4个单位后，得到()1π2cos 34g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1π2ππ2π,34k x k k Z ≤-≤+∈，解得3π15π6π6π,44k x k k Z +≤≤+∈，令1ππ2π2π,34k x k k Z -+≤-≤∈，解得9π3π6π6π,44k x k k Z -+≤≤+∈，所以函数()g x 单调递增区间为9π3π[6π,6π],44k k k Z -++∈，单调递减区间为3π15π[6π,6π],44k k k Z ++∈，所以函数()g x 在[]6π,5π--上先增后减，在[]2π,4π上先减后增，在[]4π,6π上单调递增，在[]4π,3π--上单调递减. 故选：D ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移6π个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为D ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】D 【详解】由图象知1(0)sin 2f ϕ==，又02πϕ<<，故6π=ϕ；再由图象知213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭且2433T ππ<<，故23362πωππ+=，解得2ω=，即()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ：由13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭知A 选项错误；又()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的函数为sin 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为122f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误.由sin 2cos 262f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故D 选项正确.故选：D3．（2022·天津·二模）如图所示的曲线为函数()()cos f x A x ωϕ=-（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象，将()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32，再将所得曲线向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A ．函数()g x 在513,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ上单调递减B ．点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 图象的一个对称中心C ．直线2x π=为()g x 图象的一条对称轴D ．函数()g x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D 【详解】由图象知2A =，又2563212πππ+=，所以()f x 的一个最低点为5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()f x 的最小正周期为22033T ππ=-=，所以23Tπω== 又2cos 35512122f ππϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝= ⎪⎭⎛⎫⎝⎭，则2os 315c 1ϕπ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以()524k k Z ϕπππ-=+∈,即()24k k Z πϕπ=-∈，又2πϕ<，所以4πϕ=，所以()2cos 34⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π，将函数()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32得2cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得曲线向右平移8π个单位长度得2cos 22sin 22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y x x π，即2sin 2g x x .由()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈得()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()g x 在,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增，在3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减，当513,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可知()g x 在5,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，所以A 错误；因为3332sin 22sin 884g πππ⎛⎫=⨯==⎪⎝⎭所以3,08π⎛⎫⎪⎝⎭不是()g x 图象的一个对称中心，故B 错误；因为2sin 2s 0222in g πππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，所以直线2x π=不是()g x 图象的一条对称轴，故C 错误；因为()g x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()g x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确；故选：D .4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若方程()2f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数1,m ⎛∈- ⎝⎦ D ．将函数()f x 的图象向左平移6π个单位可得到一个偶函数【答案】C 【详解】根据函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得2A =，124312πππω⋅=-，∴2ω=. 再根据五点法作图，可得23πϕπ⋅+=，∴3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.排除A ；排除B ；在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，方程()2f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数1,m ⎛∈- ⎝⎦，故C 正确；将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，可得22sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭的图象，故所得函数为奇函数，故D 错误；故选C.5．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（文））已知函数()2sin()(0,)g x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，将函数()g x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则3512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】1 【详解】由题图可知，周期T π=，22Tπω==，所以()2sin(2)()g x x ϕϕπ=+<，因为5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()g x 的图象上，所以52sin 26πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以532,62k k Z ππϕπ+=+∈，得22,3k k Z πϕπ=+∈，因为ϕπ<，所以23ϕπ=，所以2g()2sin 23x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以2()2sin 22sin 26633f x g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故35352sin 22sin 611212363f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1高频考点三：五点法作图例题1．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数()()()sin 0,0f x A x ωϕωϕπ=+><<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式；(2)将()f x 的图象向右平行移动()0θθ>个单位，得到()g x 的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为()3,0，求θ的最小值.【答案】(1)22sin()63y x ππ=+(2)1 (1)由题意可得：2sin()63y x =+;(2)由题意得：2()2sin[()]63g x x ππθ=-+，则由()y g x =图象的一个对称中心为()3,0得：2(3),Z 63k k ππθπ-+=∈，即=76,Z k k θ-∈，则当1k =时θ 的最小值为1.例题2．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知函数()3sin()326x f x π=++，()x R ∈．(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)说明此函数图象可由sin y x =的图象经怎样的变换得到. 【答案】(1)图像见解析；(2)284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)见解析. (1)列表如下图所示：(2)由正弦函数的单调性得：322,2262x k k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2844,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故单减区间为：284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (3)把sin y x =的图像向左移动6π个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把各点的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变；再把图像向上平移3个单位即可.题型归类练1．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数()f x 的解析式； (2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间[],ππ-上有解，求实数m 的取值范围？ (3)将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()y g x ω=在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上恰有．．10条对称轴，求ω的取值范围？【答案】(1)表和图像见解析，()123f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)m ⎡∈⎢⎣(3)3842ω≤< (1)解：由表得：1022433T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，则12ω=，A =则()12f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将点3π⎛ ⎝6πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以3πϕ=，所以()123f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)解：当[],x ππ∈-时，15,2366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则11sin ,1232x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x ⎡∈⎢⎣，因为关于x 的方程()0f x m -=在区间[],ππ-上有解，所以m ⎡∈⎢⎣；(3)解：将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，得到函数12y x =，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x x =，则()g x x ωω，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0,4x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为函数()y g x ω=在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上恰有．．10条对称轴，所以1921242πππω≤<，解得3842ω≤<.2．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：(2)写出函数()f x 的解析式，将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求()g x 的解析式． (3)在（2）的条件下，若()()()21F x g x g x =⋅-在(0,2021)x π∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．【答案】(1)答案见解析(2)()23x fx π⎛⎫=+⎪⎝⎭；()g x x(3)2a =-，()F x 在()0,2021π共有3031个不同的零点 (1)根据表中的数据可得20332πωϕππωϕ⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩ ，解得123ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2312313232x x ππππ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，所以234373x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又A =()21y =-=所以完善表如下：()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数图像如图：(2)由（1）知：()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，所得图像的解析式为：2332x x y ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，故()g x x =.(3)()23sin sin 1F x x a x =+⋅-，()F x 的周期为2T π=，当(]0,2x π∈时，令sin t x =，考虑方程2310t at +-=的根情况，因为2120a ∆=+>，故2310t at +-=在R 必有两个不同的实数根1212,,t t t t t t ==<，因为()F x 在()0,2021π有奇数个零点，故[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-.若1211t t -<<<，则方程1sin t x =、2sin t x =在(]0,2π共有4个不同的实数根，在()0,π有0个实数根或2个实数根，故()0F x =在()0,2021π有20211440402-⨯=个根或202114240422-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去.若()[]121,1,1,1t t ∈-∉-，则1sin t x =在(]0,2π共有2个不同的实数根，在()0,π有0个实数根或2个实数根，故()0F x =在()0,2021π有20211220202-⨯=个根或20211222020220222-⨯+=+=，与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去.同理[]()121,1,1,1t t ∉-∈-也不成立，所以11t =-或21t =，若11t =-，则2a =，此时2310t at +-=的根为211,13t t ==-，方程1sin 3x =、1sin x -=在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x =有两个不同的根，1sin x -=无解，所以()0F x =在()0,2021π有202113230322-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去；若21t =，则2a =-，方程2310t at +-=的根121,13t t =-=，方程1sin 3x -=、1sin x =在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x -=无解，1sin x =有一个根，所以故()0F x =在()0,2021π有202113130312-⨯+=个根，符合题意. 综上，2a =-，()F x 在()0,2021π共有3031个不同的零点.3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）已知函数()2sin 26x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)其振幅为______，最小正周期为______，初相为_____； (2)列表并作出函数f (x )在长度为一个周期闭区间上的简图；(3)说明这个函数图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到. 【答案】(1)振幅为2；最小正周期为4π；初相为6π(2)见解析；(3)先向左平移6π个单位；再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到.(1)由()2sin 26x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可知，振幅为2；最小正周期为2412ππ=；初相为6π；(2)列表如下：(3)可以由y ＝sin x 的图像向左平移6π个单位；再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到.高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用角度1：图象与性质的综合应用例题1．（2022·四川遂宁·模拟预测（理））已知函数()sin()(0,0,π)f x A x A ϕωϕω=+>>< 的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．()g x 的最小正周期为π3B ．()g x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 的图象关于直线x ＝4π9对称 D ．()g x 的图象关于点π(,0)9中心对称【答案】C由函数图象知，5πππ2,()212122T A ==--=，所以2ππ,2T Tω===，所以()2sin(2)f x x ϕ=+ ，因为函数图象过点5π(,2)12-，所以5π2sin(2)212ϕ⨯+=-，则5π3π2π,62k k Z ϕ+=+∈，解得2π2π,3k k Z ϕ=+∈，又π<ϕ，所以2π3ϕ=，所以2π()2sin(2)3f x x =+，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，得到2π()2sin(3)3f x x =+，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到π()2sin(3)6g x x =+，()g x 的最小正周期2π3T =，故A 错误；当ππ[,]93x ∈时，ππ7π3[,]626x +∈，此时()g x 单调递减，故B 错误；令ππ3π,62x k k Z +=+∈，则ππ,39k x k Z =+∈，当1k =时，4π9x =，故C 正确；因为ππ2sin(3)296⨯+=，故D 错误．故选：C.例题2．（多选）（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期中）函数()sin()f x A x ωϕ=+，π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，下列说法不正确是（）A ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称B ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移π2个单位得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【答案】BD从图象可以看出，2A =，ππ13124T -=，因为0>ω，所以2ππω=，解得：2ω=，将π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式，π2sin()26ϕ+=，其中π||2ϕ<，解得： π3ϕ=，所以π()2sin(2)3f x x =+，当2π3x =时，5π()2sin3f x == 故2π3x =不是π()2sin(2)3f x x =+的对称轴，A 错误；从图象可以看出()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 正确；π2cos 22sin 26y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位后得到π5π2sin 2π2sin 266y x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，π()2sin(2)3f x x =+值域为⎡-⎣，且在π5π,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5π,012⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，画出函数y =2sin x 对应图象如下：显然方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-，D 正确；故选：B角度1题型归类练1．（2022·安徽淮南·二模（理））函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,0,||2A ωϕ>><）的图象如图所示，下列4个命题中错误．．的是（）A ．向左平移7π12个单位长度后图象关于y 轴对称 B ．向右平移6π个单位长度后的图象关于坐标原点对称 C ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭是它的一个对称中心D ．单调递减区间是π7π2π,2π(Z)1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】D根据图象可知1A =，()ππ0sin ,23f ϕϕϕ==<=， ()π7π7ππsin ,sin 1312123f x x f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 7ππ3π242π,2,Z,012327k k k ωωω⋅+=+=+∈>，根据()f x 的图象可知37π7π2π7π18,,,412997T T ωω>>><，所以2ω=，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A 选项，根据()f x 图象可知，()f x 关于直线7π12x =对称，所以()f x 向左平移7π12个单位长度后图象关于y 轴对称，A 选项命题正确. B 选项，()f x 向右平移6π个单位长度后得ππsin 2sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象关于原点对称，B 选项命题正确.C 选项，π2ππsin 0333f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项命题正确.D 选项，ππ3ππ7π2π22π,ππ2321212k x k k x k +≤+≤++≤≤+，所以()f x 的减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，D 选项命题错误.故选：D2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______．（填序号）①方程()()3π0,2f x g x x ⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为7π12；②不等式()()g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称．【答案】③由图象可知：2A =，111212T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2ω∴=；又2sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点法可知：06πϕ-+=，解得：6π=ϕ；()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()2sin 22sin 24463g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于①，()()ππ2sin 22sin 263y f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2cos 22sin 223312x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由π212x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为30π2x <<，所以ππ35π2121212x -<-<，所以5π24x =或3π8x =或29π24x =或11π8x =，所以在给定范围内方程根的和为19π6，故①错误；对于②，()()ππ2sin 2sin 2π33tan 2ππ32sin 2cos 263x x g x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-≥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ2π332k x k +≤-<+，k ∈Z ，解得ππ5ππ,32122k k x ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，故②错误；对于③，因为()7π7ππ4ππ2sin 22sin 22sin 2126633f x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =与()y g x =图象关于7π24x =对称，故③正确．故答案为：③3．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥解的集合.【答案】(1)()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)[,],6k k k Z πππ+∈(1)解：由函数()f x 图象，可得2A =，3734632T πππ=+=，所以2T π=，因为0>ω，可得21Tπω==，所以()()2sin f x x ϕ=+，又因为()f x 图象过点7,26π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得72sin()26πϕ+=-，即7sin()16πϕ+=-，所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，又由02πϕ<<，所以3πϕ=，所以函数()f x 的解折式为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)解：将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()g x sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2222333k x k πππππ+≤+≤+，所以,6k x k k Z πππ≤≤+∈，即不等式()g x [,],6k k k Z πππ+∈. 角度2：函数的零点（方程的根）的问题例题1．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间； (2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值. 【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++=(1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=，结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=；即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=. 例题2．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图象向右移6π个单位，所得函数()g x 为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有三个解，求a 的取值范围．【答案】(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)304a <(1)解：因为图象相邻两对称轴之间的距离是2π，所以函数的最小正周期2T ππω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，因为()ππsin 2φsin 2φ63g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，所以3πφk π-+=，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)解：因为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]0,1f x ∈，当2332x πππ≤+≤时，解得012x π≤≤，223x πππ≤+≤时，解得123x ππ≤≤，即()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()0sin 3f π==sin 1122fππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象如下所示：因为关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有三个解，令()t f x =，即20t t a --=，[]0,1t ∈，若21t =为方程20t t a --=的根，此时0a =，则10t =，不符合题意；依题意方程20t t a --=在[]0,1有两不相等实数根1t 、2t ，不妨令12t t <，且2t ⎫∈⎪⎪⎣⎭，1t ⎡∈⎢⎣⎭；若2t =为方程20t t a --=的根，此时34a =，则11t =，此时符合题意；若2t ≠时，令()2g t t t a =--则()()00100Δ0g g g ⎧>⎪>⎪⎪⎨<⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，即00304Δ140a a a a ->⎧⎪->⎪⎪⎨<⎪⎪=+>⎪⎩，解得304a <<，综上可得304a ≤<；例题3．（2022·河南焦作·高一期中）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间． (2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2 (1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=．所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的简图如下：所以实数m 的取值范围为[)1,2．角度2题型归类练1．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值；【答案】(1)(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 或(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z (2)139π (1)∵()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T πω=，又∵()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，∴()f x 的最小正周期是π，故22T ππω==，解得1ω=±，当1ω=时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()()26122k x k k x k ππππ+=∈⇒=-+∈Z Z ， ()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；当1ω=-时，()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由()()26122k x k k x k ππππ-+=∈⇒=-∈Z Z ， ()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ；综上所述，()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 或(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . (2)∵函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，∴()2sin 2163g x x ππωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.又∵3x π=是()g x 的一个零点，22sin 103363g ππππωω⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 362ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴72366k πππωπ+=+或112366k πππωπ+=+，k ∈Z ，解得()36k k ω=+∈Z 或()56k k ω=+∈Z ，由05ω<<可得3ω= ∴()52sin 616g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最小正周期3T π=.令()0g x =，则51sin 662x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即156266x k πππ-=-+或2556266x k πππ-=-+，k ∈Z ，解得139k x ππ=+或23k x π=，12,k k ∈Z ；若函数()g x 在[],m n （,m n m n ∈<R 且）上恰好有10个零点，故46T n m T <-< 要使n m -最小，须m ､n 恰好为()g x 的零点，故()min 134399n m πππ-=⨯+=. 2．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．【答案】(1)1()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)53,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭(1)由图示得：3111122,12222A B -⎛⎫===--= ⎪⎝⎭，又71212122T πππ=-=，所以T π=，所以22T πω==，所以1()sin(2)12f x x ϕ=++，又因为()f x 过点3,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31sin 212212πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即πsin φ16⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，又||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以1()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(2)由已知得1()sin 126g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当70,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令5,662t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 1sin 1262x t π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令1()sin 12h t t =+，则函数()h t 的图象如下图所示，且15sin 16264h ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3131sin 12222h ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，5153sin 12222h ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，53,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭由图象得()0h t m -=有三个不同的实数根()123123,,t t t t t t <<，则12312,22t t t t πππ+=⨯==+，所以12324t t t π++=，即12324666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1231023x x x π++=，所以()123102tan 2tan tan 433x x x πππ⎛⎫++==-= ⎪⎝⎭故()123tan 2x x x ++3．（2022·上海市七宝中学高一期中）已知函数()sin()(0 0)f x x ωϕωϕπ=+><<,的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =，令函数()()()F x f x g x λ=+. (1)求函数()y g x =的函数解析式；(2)求函数()y F x =的最大值及相对应的x 的值；(3)若函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，其中常数R λ∈，,1n N n ∈≥，求常数λ与n 的值. 【答案】(1)()sin y g x x ==；(2)答案见解析；(3)1,1347n λ=-=. (1)因为函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，所以有22ππωω=⇒=，即()sin(2)f x x ϕ=+，又因为直线2x π=-是()sin(2)f x x ϕ=+图象的一条对称轴，所以有32()(Z)(Z)222k k k k πππϕπϕπ⨯-+=+∈⇒=+∈，因为0ϕπ<<，所以令1k =-，则2ϕπ=，即()sin(2)cos 22f x x x π=+=，因为函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =，所以()sin y g x x ==；(2)2()()()cos 2sin 12sin sin F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-+ 22()2(sin )148F x x λλ⇒=--++，。

第31讲函数y=Asin(wx φ)的图像(解析版)

过(−
π
6
, 0)，所以sin
(−
π
3
+
φ)
=
0；而∣φ∣<
π
2
，所以φ
=
π
3
；所以f (x)
=
sin(2x
+
π
3
)；因为x1,
，且，所以 x2
∈
(−
π
6
,
π
3
)
f(x1) = f(x2)
.选 . f
(x1
+
x2 )
=
f
(−
π
6
+
π
3
)
=
f
(
π
6
)
=
sin
(
π
3
+
π
3
)
=
3 2
C
一般已测：4865次正确率：72.8%
(
5π
3
−
3
− 2x
+
π
3
)
=
2sin(4π
−
π
3
−
2x)
=
−2sin(2x
+
π
3
)
= −f(x)
∴
f (x)
=
−f
(
5π
3
−
x)．⑤对．
综上可得：③④⑤对．
故选：C．
一般已测：651次正确率：75.2%
3. 已知函数f(x) = (sin x + cos x) cos x,则下列说法正确的为() A. 函数f(x)的最小正周期为2π

函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质版

考点一、
已知函数y=2sin 2 x 3 (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象．
y A sin( x )
的图象
1.设函数 f ( x) sin x 3 cos x( 0) （1）求它的振幅、周期；（2）用五点法作出它在一个周期内的图象。
1.已知函数
f ( x) sin x a cos x 的图象的一条 5 对称轴是x 则函数 g ( x) a sin x cos x
的最大值是（）
3
2 2 A. 3
2 3 B. 3
4 C. 3
2 6 D. 3
的对称轴的距离是（）
2 2 2. f ( x) sin( 3 x 2 ) sin( 3 ) 的图象的相邻的两条
如图所示， (1)求f(x)的最小正周期及解析式； (2)设 g ( x) f ( x) cos 2 x, 求函数
在区间 0, 2 上的最大值与最小值。
g ( x)
将函数y=sin x的图象经过下列哪种变换可以得到函数y=cos 2x的图象( ) A.先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到 1 原来的 (纵坐标不变)
3
)
的图象(
单位长度；单位长度；单位长度；
D.向右平移
2
4. 将函数y=sin 2x的图象向左平移 4 个单位，
再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(
A. y=2cos2x B. y=2sin2x
)
C. y=1+sin 2 x
5.函数y=sin
4 5x 2
2 A. 3

函数y=sin(wx+φ)的图象

而得到的.
函数 y sin( 的x 图)象，可以看作是把函数
的图象上y 所si有n(点x 的横) 坐标____（当＞1
k时Z ）或_缩__短__（当
伸长
0＜＜1时）到原来的
变）而得到的.
1倍（纵坐标不
上述变换称为周期变换
例1 画出函数 y sin(2x ) 的简图
4
2x
4
0
2
3
2
2
移动____个单位长度而得到.
上述变换称为平移变换
探究二：（＞0）对 y sin( x )的图象的影响
学生活动二：函数 y sin( 2x ) 周期是____ 3 用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象
1.列表
2x 0
3
2
x
6 12
3
y01 0
2.描点、连线
3 2
2
7
5
12
x
1 2
,
x
0,
2
, 则x
_6____
2)若sin( x
3
)
1 2
,
x
2
,0 , 则x
___6__
3.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的三角函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡位置的位移y 与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等
都是形如 y Asin(x )的函数.我们需要了解它
（做书上）
y
y sin( x )
1
3
7 5
5
3
12 6
3
o π
2π x
6 12 3 2
y
-1
sin( 2 x
)A(
x0 2

说课课件函数y=Asin(wx+φ)的图象

3
)
函数 y A sin(x )的图象（3）
教学过程
创设情境探究发现初步运用归纳总结作业布置 • 问题1：怎样由函数 y = s i n x 的图象变换得到 y A sin( x ) 的图象？ • 问题2：本节讨论问题的数学思想方法是什么？
函数 y A sin(x )的图象（3）
函数 y A sin(x )的图象（3）
教材分析学情分析教学目标教法学法教学过程教后反思
1.本节课的亮点
本节课通过创设情境，提出问题探究发现，解决问题初步运用，深化理解总结归纳，掌握规律等环节探索了函数 y A sin ( x )的图象。以物理问题引入，体现了学科间的联系，激发学生的学习兴趣，增强数学应用意识。以问题为线索，层层深入，注重数学思想方法的领悟和数学思维能力的培养。在整个教学过程中教师引导学生探究、合作学习，充分发挥了教师的主导作用，体现了学生的主体地位。在重难点的处理上借助几何画板辅助教学，提高了教学效果。
(1).探索对 y sin ( x ) 图象的影响
) 让学生用五点法在一个坐标系内作出函数 3 图象和正弦曲线，观察两图象上y值相同的相应两点 x值之间的关系，引导学生从函数对应角度理解，从点的对应再到图象的变换，发现两图象的联系，获取对函数y sin ( x ) 图象影响的具体认识。教师再用几何画板动态演示取不同值函数 y sin ( x ) 的图象的变换，引导学生概括如何从正弦曲线出发， y sin ( x 的图象。 ) 经过怎样的图像变换得到函数 y s in ( x
教学过程
创设情境探究发现知识运用归纳总结作业布置
1.思考作业：我们知道函数 y = s i n x 的图象变换得到

三角函数正弦函数的图像与性质正弦函数的图像课件ppt

波形
正弦函数的图像呈现出典型的波形，即一个连续的、重复的曲线。
图像的周期性与振幅
周期性
正弦函数的周期性意味着我们可以使用一个常数（通常称为相位偏移量）来移动函数的图像，而不改变其形状或特性。这个常数被称为相位偏移量，通常用希腊字母表示。
振幅
正弦函数的振幅是指函数值可以变化的范围。振幅的大小可以用数学公式表示，也可以在图像上直观地看到。
要点二
控制系统
正弦函数经常用于分析和设计控制系统，如反馈控制系统和自动控制系统。在控制工程中，正弦函数被用于描述和建模系统的动态行为。
在数学与其他领域中的应用
微积分
正弦函数是微积分中重要的函数之一。它在求解微分方程、最优控制和最优化问题等数学问题中具有广泛的应用。
统计学
正弦函数在统计学中也有应用，如在描述正态分布的尾部概率密度函数时。此外，正弦函数还被用于信号处理和图像处理等领域。
图像的极值与零点
极值
正弦函数在某些点上达到最大或最小值。这些点称为极值点。在图像上，极值点通常表现为曲线向上或向下突然转折的点。
零点
正弦函数在某些点上为零。这些点称为零点。在图像上，零点通常表现为水平线段，即函数值为零的点。
03
正弦函数的性质
函数的单调性
递增区间
正弦函数在$\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\frac{\pi}{2} + 2k\pi\rbrack(k \in \mathbf{Z})$上单调递增。
正弦函数与反正弦函数的关系
反正弦函数（asin）是正弦函数的反函数。它的定义域和值域与正弦函数相反。
反正弦函数和正弦函数在图像上呈现对称性，且具有相同的频率但相位不同。

函数y=asin(wx+φ)的图象

结论:
Y=sinx 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍
Y=2sinx
Y=sinx 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的1/2倍
Y=1/2sinx
y=2sinx,x∈R的值域是: [ -2, 2 ] y=1/2sinx,x∈R的值域是:[-1/2,1/2]
结论:
一般地,函数y=Asinx(A>0且A≠1) 的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时）到原来的A倍(横坐标不变)而得到. 即
y=sinx 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短 y=sinωx
(W>1)或伸长(0<w<1)到原来的1/w 倍
三. y sin(x ) ( 0)的图形
作例3函数y=sin(x+π/3)及y=sin(x-π/4)的简图
y
作图
x
图象上所有的点向左
y sin x
平行移动 π/3个单位图象上所有的点向右
y sin x 平行移动π/4个单位
y sin(x )
3
y sin(x )
4
结论:
一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当 φ<0时)平行移动| φ|个单位而得到的. 即：
图象上所有的点向左(φ>0)或
学习目标：
1、掌握函数图象的平移、对称和伸缩变换的规律
2、掌握正弦函数图象的相位、周期和振幅变换的规律
一.Y=Asinx（A>0且A 1 ）的图象
例1 作函数y=2sinx及y=1/2sinx的简图

y=sin(wx+ψ)图像与性质

)的图象的影响探究二：（
3.函数y=sin3x的周期是多少?它的图象是由y=sinx 的图象作什么变换而得到?
解: T=2π/ω=2π/3 Y=sinx 各点的横坐标缩短到原来的1/3倍 (纵坐标不变) 4.把正弦曲线y=sinx图象上所有点的横坐标伸长到原来的 1x Y=sin _ 5 5倍(纵坐标不变),就得到函数______________ 的图象. y=sin3x的图象
o -1

3 2
2
3π
4
x
上述变换可简记为:
各点的横坐标缩短到原来的1/2倍 Y=sinx的图象 y=sin2x的图象 (纵坐标不变) 各点的横坐标伸长到原来的2倍 Y=sinx的图象 y=sin 1 x的图象 2 (纵坐标不变)
结论2:函数y=sinωx (其中ω>0) 的图象,可看作把y=sinx图象上所有点的横坐标伸长 (当 0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω 倍(纵坐标不变)而得到.
练习：下列函数可由y=sin x如何
平移得到？
1 y 2sin x 6 3
1 y sin 3x 2 4
总结：这节课你学习到了什么？
函数y=Asin（ωx+φ）
的图象
天门市实验高级中学
吴东
y sin( x ) 的图象的影响探究一：对
π Y=sin(x+ ) 和 Y=sin(x- π ) 的图象与y=sin x的关系例1.观察 3 4 Y=sinx的图象向左平移π/3个单位长度 Y=sin(x+π ) 的图象 3 Y=sin(x- π ) 的图象 Y=sinx的图象向右平移π/4个单位长度 4 y Y=sin(x+π ) Y=sinx y sin( x ) 3 4 1

6.3 函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质

(C) 纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变(D) 纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变
13.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（）
A. 1B.2C.1/2D. 1/3
14.把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的
归纳2：函数y = Asin(wx+)，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(>0)或向右(>1)平移||个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(0<w<1)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍，(横坐标不变)。即：平移变换→周期变换→振幅变换。
例1：作函数y = 3sin(2x+ )的简图。
例2.函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
归纳1：先把函数y = sinx的图像上的所有点向左平行移动个单位，得到y=sin(x+ )的图像，再把y = sin(x + )的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y= sin(2x + )的图像，再把y = sin(2x + )的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，从而得到y = 3sin(2x + )图像。
9.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图
(1) (2) ;
(3) (4)
10.为了得到函数的图象,只需把余弦曲线上所有的点( )

正弦型函数的图像与性质

3
)
2
x
y 3sin(2 x

3
)
③
探究
问题 : 怎样由y sin x的图象得到y A sin( x )
(其中A 0, 0)的图象 ?
答 : (1)先画出函数y sin x的图象;
(2)再把正弦曲线向左( >0)或向右（ 0)平移个单位
长度, 得到函数y sin( x )的图象;
向右平移 a(a 0) 个单位长度
y f ( x a)
)
你能得到 y sin( x与
y sin x
的图象之间的联系吗？
探究
结论一:
函数y=sin(x+φ)图象
函数y=sin(x+φ)
的图象可以看作是把 y=sinx 的
图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)
1. 列表：

x
0
2x
0

2
0
1
sin 2 x
4
3
4

2

0

3
2
2
1
0
探究
2. 描点：
连线:
2
1
y
y=sinx
2
O

1
2
y=sin2x
3
x
探究
y
1
2
O
周期为4
y=sin x
3

1
x
y=sinx
y=sin2x
周期为
4
周期为2
探究
y=sin
y
1
x

函数y=asin(wx+φ)的性质及简单应用

函数y=asin(wx+φ)的性质及简单应用
函数y=asin(wx+φ)是一个常见的三角函数，它的参数包括w，x和φ，它是一个周期函数，函数值在-π/2到π/2之间周期
变化。

其中，w，x和φ分别代表的是角频率、时间和初相。

角
频率是一个值，它指定了函数y的一个周期，它有助于确定函数y在某一时刻的值。

时间x指的是函数的变化的时间，它是函数y的自变量，而初相φ则指定了函数y在x=0时的值，它决定了函数y在不同时刻的分布情况。

因此，函数y=asin(wx+φ)是一个周期函数，它具有规律的变化特性，可以用来描述某些事物的变化规律。

例如，它可以用来描述摆的运动，由于摆的运动是一种周期性的运动，因此可以用函数y=asin(wx+φ)来描述它的运动规律，它的参数w、
x和φ分别可以用来表示摆的运动的角频率、运动时间和初相，从而可以用它来描述摆的运动规律。

此外，函数y=asin(wx+φ)还可以用来描述正弦波的变化，它可以用来表示正弦波的波形，正弦波在工程中有着广泛的应用，例如在电子技术中，它常用来表示电压、电流和功率的变化，它还可以用来描述水波的运动规律，它的参数w、x和φ
分别可以用来表示水波的频率、运动时间和初相，从而可以用它来描述水波的运动规律。

总之，函数y=asin(wx+φ)是一个常见的三角函数，它的参数w、x和φ分别可以用来描述物体的周期性变化，可以用来描述摆的运动和正弦波的变化，也可以用来描述水波的运动规律，因此它是一个重要的数学函数，广泛应用于工程中。

函数y=sin(wx+ψ) 的图像性质及应用