2011-2012高一数学必修5综合练习

2011-2012高一数学必修5综合练习一、填空题：（每小题5分，共70分）1.若点(,3)P a 在23x y +<表示的区域内，则实数a 的取值范围是___________；2.在△ABC 中，若sinA ∶sinB ∶sinC = 7∶8∶9，则cosA=______；3.已知数列4, ，那么8是这个数列的第 项； 4.若不等式220x ax a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的范围为 ； 5.设数列{}n a 的通项公式为227n a n =-+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则当 n =_______时，n S 取得最大值；6.不等式212x x -+<1的解集为____________；7.在A B C ∆中，已知4,6,120,a b C ==∠= 则sinA 的值是_________；8.已知变量x y 、满足约束条件102020x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值是__ _；9.数列{}n a 中，11a =，1223n na a +-=，则通项n a = ；10.A B C ∆中，已知4,45a B =∠=︒，若解此三角形时有且只有唯一解，则b 的值应满 足_____ ___； 11.已知点(,)P x y 在经过两点(3,0),(1,1)A B 的直线上，那么24x y +的最小值是__； 12.已知数列{}n b 是首项为4-，公比为2的等比数列；又数列{}n a 满足160,a =1n n n a a b +-=，则数列{}n a 的通项公式n a =_______________；13.在4和．14.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个 等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形 ， 如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为2，则最小正方形的边长为 ；二、解答题（共90分）15.A B C ∆中，已知a 、b 、c 成等差数列，SinA 、SinB 、SinC 成等比数列，试判断△ABC 的形状.16.某村计划建造一个室内面积为72m 2的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？17.设数列{}n a 的前n 项和为22,{}n n S n b =为等比数列，且112211,()a b b a a b =-=． ⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． ⑵设n n na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()20f x x +>的解集为（1，3）． ⑴若方程()60f x a +=有两个相等实数根，求()f x 的解析式． ⑵若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．19.在A B C ∆中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2A C B +=，并且2s in s in c o s A C B ⋅=，三角形的面积ABC S ∆=，求三边,,a b c ．20．已知等差数列{}n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足14,454132=+=⋅a a a a ，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）通过cn S b n n+=构造一个新的数列{}n b ，是否存在一个非零常数c ，使{}n b 也为等差数列；（3）对于21-=c 求*)()2005()(1N n b n b n f n n∈⋅+=+的最大值．21.已知正数m ，n 满足5m +2n =20.（1）求lg m +lg n 的最大值，并求出取得最大值时的m ，n 的值； （2）求11mn +的最小值.1.0a <2.233.114. 01a <<5.136.(2,3)-7.198.59. 2log (31)n -10. b =b ≥4 11. 12.1264n +-+ 13. 6，4 14.13215.解：∵,,a b c 成等差数列，∴2a cb +=①又∵sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，∴2sin sin sin B A C =⋅，∴2b ac = ②将①代入②得：2()2a c ac +=，∴2()0a c -=，∴a c =代入①得b c =,从而a b c ==，∴△ABC 是正△16.解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则72ab =，蔬菜的种植面积(4)(2)428802(2)s a b ab b a a b =--=--+=-+≤28032()m -=当且仅当max 2,12,632a b a b ====即时，S17.解：⑴当1n =时，112a S ==；当n ≥2时，22122(1)42n n n a S S n n n -=-=--=-，故{}n a 的通项公式为42n a n =-，设{}n b 的通项公式为q ，则12b =，14q =，∴111124n n n b b q--==⨯，即124n n b -=⑵∵1142(21)424n n n nn a n c n b ---===-，∴12112[13454(21)4]n n n T c c c n -=+++=+⨯+⨯++-2214[143454(23)4(21)4]n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-两式相减得：1231312(4444)(21)4n nn T n -=--+++++-=1[(65)45]3nn -+∴1[(65)45]9nn T n =-+18.解：⑴由()20f x x +>解集为（1，3），∴()2(1)(3)f x x a x x +=--，且0a <，因而2()(24)3f x ax a x a =-++由方程()60f x a +=得2(24)90ax a x a -++=， 因为方程②有两个相等的实根，∴01a ∆=⇒=或15-，而0a <，∴15a =-∴2163()555f x x x =---⑵由2()2(12)3,f x ax a x a =-++得∴2max 41()a a f x a++=-∴20,2410a a a a a <⎧⎪⇒<--⎨++->⎪⎩或20a -+<<19.解：∵2A C B +=∴60B =︒，所以21sin sin cos 604A C =︒= ①又1sin 2A B C S ac B ∆==，得16ac = ② 22sin sin sin 1sin ()()64A CA C acac===，所以sin sin 18A C ac==由sin 8sin 8sin 60sin a B b B A===︒=2221cos 2a c bB ac+-==，222a cb +-=222,()3,()484896ac a c b ac a c +-=+=+=,a c +=, ③与②联立，得a c ==，或a c ==20.解：（1）∵等差数列{}n a 中，公差0>d ，∴34495144514453232324132-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=⋅⇒⎩⎨⎧=+=⋅n a d a a a a a a a a a a n ． （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=2122341n n n n S n ，cn S b n n +=cn n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212，令21-=c ，即得n b n 2=，数列{}n b 为等差数列，∴存在一个非零常数21-=c ，使{}n b 也为等差数列．（3）()()200620052120062005112005)2005()(1+<++=++=⋅+=+nn n n nb n b n f n n，∵11200520052005110(44)(45)44454445f f -=--=->⨯，即11(44)(45)f f >>，(45)(44)f f ∴>，∴45=n 时，()n f 有最大值18860946205045=⨯．21.（1）因为m ，n 都是正数，所以2052m n =+=≥，………3分当且仅当5m =2n =10，即m =2，n =5时取“=”号. 于是10m n ≤， ………………6分 从而lg m +lg n =lg mn 1≤.所以当m =2，n =5时，lg m +lg n 取得最大值1. ……………8分 （2）11202052521120202020410410m n m nn m mnmnmnmn+++=+=+=+++1174100++=+=≥， …………………12分当且仅当104n m mn=，即m n ==时取“=”号.所以11mn+Y XX ' Y ' O · A· B 60° 1.如图，有两条相交成60°的直路XX'YY'，，交点是O . 甲、乙两人分别在OX ，OY 上，起初甲在离O 点3km 的A 处，乙在离O 点1km 的B 处. 后来甲沿X X '的方向，乙沿Y'Y 的方向，同时以4km/h 的速度步行.（1）起初两人的距离是多少？ （2）t h 后两人的距离是多少？ （3）何时两人的距离最短？2. (本题满分16分)（1）设集合{}2*2A x x nx n x =-∈∈N Z ≤0，，，其元素个数记为a n .①求a n ，并且证明{a n }是等差数列； ②设S n 为{a n }的前n 项和，m 、k 、p ∈N *，且满足m +p =2k ，求证：2m p k S S S +≥； （2）对于（1）②中的命题，对各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．3. (本题满分16分)已知函数2()1f x ax bx =+-.（1）若不等式()0f x >的解集是{}34x x <<，求a ，b 的值；（2）当b =2时，若不等式()0f x <对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）当a =1时，设()()2g x f x b =-，若存在[]1201t t ∈，，，使得12()()0g t g t <成立，求b 的取值范围.1.【解】（1）连结AB .在△ABO 中，由余弦定理，得AB ==（km ）. ………………4分（2）设t h 后，甲由A 运动到C ，乙由B 运动到D ，易知OD =1+4t ，连结CD . 当304t <≤时，C 在射线OX 上，OC =3－4t ，CD ==；…………8分当34t >时，在△CDO 中，OC =4t －3，∠DOC =120°，由余弦定理，得CD ==所以t h km. ……12分（3）因为C D ==t >0），所以当14t =时，甲、乙两人的距离最短，最短距离为2km. ……16分 2.【解】（1）①{}{}2*202A x x nx n x x n =-∈=N ≤0，≤≤，易知集合A 中共有2n +1个元素，所以a n =2n +1. ……3分因为12(1)1(21)2n n a a n n +-=++-+=，所以数列{a n }是等差数列. …………5分 ②2(321)22n n n S n n ++==+. ……………7分因为m +p =2k ，所以()2222222222(2)222m p k m p m p S S S m p k m p k m p -+⎛⎫+=+-++-=+-= ⎪⎝⎭-≥0， 故2m p k S S S +≥. …………10分（2）（i ）若各项均为正数的等差数列为有穷数列，且公差是负数，则（1）②中的命题不成立.反例：等差数列7,5,3,1中，S 2=12，S 3=15，S 4=16，但S 2+ S 4=28<2×15=2S 3.（ii ）若各项均为正数的等差数列的公差是非负数，则（1）②中的命题仍然成立.命题：设公差非负的正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，m 、k 、p ∈N *，且满足m +p =2k ，则2m p k S S S +≥.证明：设等差数列{a n }的公差为d （0d ≥），则()211(1)222n n n d d S na d n a n -=+=+-，因为m +p =2k ，所以()()222122(2)22m p k d d S S S m p k a m p k +=+-+-+--()22222224d m p m p d m p ⎡⎤-+⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥0， 故2m p k S S S +≥. ………16分 3.【解】（1）因为22134(3)(4)07120ax bx x x x x x +-⇔<<⇔--<⇔-+< 22177120101212x x x x ⇔-+->⇔-+->，所以17.1212a b =-=， …………5分（2）当b =2时，不等式2()0210f x ax x <⇔+-<.若a =0，则不等式2x －1<0不恒成立. ………7分 则由题意可得2024(1)0a a <⎧⎨-⋅-<⎩，，解得 1.a <-即a 的取值范围是()1.-∞-， ………10分 （3）（方法1）()222()()2212124bbg x f x b x bx b x b =-=+--=+---. 因为存在[]1201t t ∈，，，使得12()()0g t g t <成立，所以函数g (x )在区间[0,1]内的值有正有负.所以必须有22104b b ++>，解得4b <-或 4.b > ①………12分若(1)0g >，即0b ->，亦即0b <，则02b ->，于是必须满足12b -<，所以20b -<<.②若(1)0g <，即0b -<，则02b -<，必有(0)0g <，不满足条件.若(1)0g =，即0b =，则2()1g x x =-，不满足条件. ………15分由①②解得b 的取值范围是()40-，. ………16分 （方法2）因为存在[]1201t t ∈，，，使得12()()0g t g t <成立，所以关于x 的方程g (x )=0有两个不等实根，且至少有一根在(0，1)内.由22104b b ++>，解得4b <-或 4.b > ① ………12分当(01)x ∈，时，2(12)x -∈，，由2210x bx b +--=得)213(2)44022x b x x x-⎡==-+-∈⎣--，. ③由①③得b 的取值范围是()40，. ………………16分。