(整理)认识多重共线性1
第五章 多重共线性的概念
σ2
恰为X1与X2的线性相关系数的平方r2 ∑x ∑x
2 1i 2 2i
(∑ x1i x 2i ) 2
由于 r2 ≤1，故 1/(1- r2 )≥1
完全不共线时, 当完全不共线 完全不共线
r2
=0
ˆ var( β 1 ) = σ 2 / ∑ x12i
1 σ2 ˆ ⋅ > var(β 1 ) = 2 2 x1i 1 − r x12i ∑ ∑
1.
检验多重共线性是否存在
(1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 (1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 对两个解释变量的模型 求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近1，则 说明两变量存在较强的多重共线性。 (2)对多个解释变量的模型，采用综合统计检验法 (2)对多个解释变量的模型， 对多个解释变量的模型 若在OLS法下：R2与F值较大，但t检验值较小，说明 各解释变量对Y的联合线性作用显著，但各解释变量间存 在共线性而使得它们对Y的独立作用不能分辨，故t检验不 显著。即R2较大但t值显著的不多。另外判断参数估计值 的符号，如果不符合经济理论或实际情况，可能存在多重 共线性。
ˆ Y = 7.29 + 27.58X2 −15161.5X3
SE =(121.50) t =（0.06） （ ） (28.79) （0.958） ） (21.41) （- 7.06） ）
R 2 = 0.946
我们发现： 值小。 我们发现：例1中X2、X3的 t 值小。且X3的系数符号 中 的系数符号 与经济意义不符和。原因？ 与经济意义不符和。原因？ 值大， 的系数符号与经济意义不符合。 例2中X3的 t 值大，但X3的系数符号与经济意义不符合。 原因？ 原因？
多重共线性
多重共线性多重共线性1．基本定义：多重共线性是指几条不同的直线在空间上并不相交，却具有相同的方向。
它通常用于表示两个变量之间相关性的强弱。
其大小反映了两个随机变量之间线性关系的密切程度。
如果相关系数很大，说明两个随机变量的关系非常密切。
如果某些变量相关性很小，而另一些变量相关性很大，则可能存在多重共线性问题。
多重共线性问题往往与自相关、偏相关等现象紧密相联。
因此，在实际工作中需要注意分析处理。
2．举例，认识应用2。
1。
行程公差与最大实体原则相似，不过没有共线的问题。
直线a， b在一条直线L上，当A沿着b移动，即垂直于C方向时，测量的A到C的距离最大。
多重共线性解决的一般思路是找出每条直线的最大特征长度，使这条直线尽可能靠近C，使其最大长度保持最小值，且满足最小比例等式，则多重共线性消失。
2。
2。
由某条直线与第一条直线的夹角（半角）、该条直线在第一条直线的方向（正方向），判断其是否满足“共线”条件。
3．引申举例，认识误区一旦问题里面出现共线情况，有时还会存在并列、相交、非全等关系。
而多重共线性和最大实体原则都只适用于平行线之间的相互关系。
所以我们在看问题时不仅要考虑空间上的问题，还要把问题进行细化。
注意挖掘隐藏在现象背后的事物之间的本质联系。
另外，最好能先确定两条直线所在平面内的最大特征长度。
当然，并非越小越好，太小也是无法辨别出来的。
4．小结多重共线性问题和最大实体原则一样，也是个常见的测量问题。
主要的应用范围包括如下几个方面：线形、管形、板形、电气图、发动机缸体测量等等。
5．拓展延伸现实中，经常遇到线形共线或线形重合的问题。
而从广义上来讲，测量就是将测得的一系列点之间的数据联系起来，找出各数据的规律。
即找出这些数据间的相互关系。
本次课程，就是让我们对多重共线性问题有了初步的认识，包括解决问题的一般思路和方法。
接下来，会专门安排实践部分去巩固本次所学的知识。
第四章多重共线性
2
x2j VIFj
注意：R2j 是多个解释变量辅助回归的多重可决系数，
而相关系数 r223只是说明两个变量的线性关系 。
（一元回归中可决系数的数值等于相关系数的平方）
17
方差扩大因子的作用
由
R2j 越大
VIFJ 1 (1 R2j ) 多重共线性越严重
VIFj越大
VIFj的大小可以反映解释变量之间存在多重共线性的严重
1 x22i (1
r223 )
2
x22i
1 (1 r223)
2
x22i
VIF2
当 r23 增大时，VIF2 增大， Var(ˆ2 ) 也会增大 ，
思考: 当 r23 0 时 Var(ˆ2) 2
x22i
(与一元回归比较)
当 r23 1 时 Var(ˆ2 )
（见前页结论） 8
三、当多重共线性严重时，甚至可能使估计
在总体中部分或全部解释变量可能没有线性关系，但是 在具体获得的样本中仍可能有共线性关系，因此多重共线 性问题本质上是一种样本现象。
正因为如此，我们无法对多重共线性问题进行统计假设 检验，只能设法评价解释变量之间多重共线性的严重程度。
5
第二节 多重共线性产生的后果
从参数估计看，在完全无多重共线性时，各解释变量都独
Kt
Kt
ln Qt ln A ln Lt ln Kt ln u
（ln Lt 与 ln Kt 有多重共线性） ln Qt ln A ln Lt ln u
Kt
Kt 22
三、截面数据与时间序列数据的结合
有时在时间序列数据中多重共线性严重的变量，在截 面数据中不一定有严重的共线性
假定前提：截面数据估计出的参数在时间序列中变化不大
多重共线性
第四章 多重共线性第一节 什么是多重共线性一、多重共线性的含义所谓多重共线性，不仅包括解释变量之间完全（精确）的线性关系，还包括解释变量之间近似的线性关系。
对于解释变量23,,,k X X X ，如果存在不全为零的数123,,,,k λλλλ ，能使得12233i i k ki X X X λλλλ++++ =0 ，（i =1,2,,n ）——即解释变量的数据矩阵的列向量组线性相关。
则称解释变量23,,,k X X X 之间存在着完全的线性关系。
用数据表示，解释变量的数据矩阵为X =213112232223111k k nnkn X X X XX X X X X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦当()r X <k 时，也说明解释变量23,,,k X X X 之间存在着完全的线性关系。
当存在完全共线性时，至少有一个变量（列向量）可以用其余的变量（列向量）线性表出。
在实际问题中，完全的共线性并不多见。
常见的情形是解释变量23,,,k X X X 之间存在不完全的共线性，这是指存在不全为零是数123,,,,k λλλλ ，使得12233λλλλ+++++ i i k ki i X X X v =0（i =1,2,,n ）其中i v 是随机变量。
这表明此时解释变量之间只是一种近似的线性关系。
二、产生多重共线性的背景1.经济变量之间具有共同的变化趋势2.模型中包含滞后变量3.利用截面数据建立模型也可能出现共线性4. 样本数据自身的原因第二节 多重共线性产生的后果完全共线性时，矩阵X X '不可逆，参数估计式ˆβ=1()X X X Y -''不存在，OLS 无法应用。
不完全的共线性时，1()X X -'也存在，可以得到参数的估计值，但是对计量经济分析可能会产生一系列影响。
一、参数估计量的无偏性依然成立不完全共线性时ˆ()E β=1()E X X X Y -''⎡⎤⎣⎦=1()()E X X X X U β-''⎡⎤+⎣⎦=β+()1()X X X E U -''=β二、参数OLS 估计值方差扩大 如二元回归模型i Y =12233i i i X X u βββ+++中的2X 与3X 为不完全的共线性时，2X 与3X 之间的相关系数23r 可由下式给出223r=2232223()x x x x∑∑∑容易证明2ˆ()Var β=222223(1)i x r σ-∑3ˆ()Var β=222323(1)ixr σ-∑随着共线性的程度增加，23r 的绝对值趋于1，两个参数估计量的方差也增大。
什么是多重共线性如何进行多重共线性的检验
什么是多重共线性如何进行多重共线性的检验多重共线性是指在统计模型中，独立变量之间存在高度相关性或者线性依赖关系，从而给模型的解释和结果带来不确定性。
在回归分析中，多重共线性可能导致系数估计不准确、标准误差过大、模型的解释变得复杂等问题。
因此，对于多重共线性的检验和处理是非常重要的。
一、多重共线性的检验多重共线性的检验可以通过以下几种方式进行：1. 相关系数矩阵：可以通过计算独立变量之间的相关系数，判断它们之间的关系强度。
当相关系数超过0.8或-0.8时，可以视为存在高度相关性，即可能存在多重共线性问题。
2. 方差扩大因子（VIF）：VIF是用来检验自变量之间是否存在共线性的指标。
计算每一个自变量的VIF值，当VIF值大于10或者更高时，可以视为存在多重共线性。
3. 条件数（Condition index）：条件数也是一种用来检验多重共线性的指标。
它度量了回归矩阵的奇异性或者相对不稳定性。
当条件数超过30时，可以视为存在多重共线性。
4. 特征值（Eigenvalues）：通过计算特征值，可以判断回归矩阵的奇异性。
如果存在特征值接近于零的情况，可能存在多重共线性。
以上是常用的多重共线性检验方法，可以根据实际情况选择合适的方法进行检验。
二、多重共线性的处理在检测到存在多重共线性问题后，可以采取以下几种方式进行处理：1. 去除相关性强的变量：在存在高度相关变量的情况下，可以选择去除其中一个或多个相关性较强的变量。
2. 聚合相关变量：将相关性强的变量进行加权平均，得到一个新的变量来替代原来的变量。
3. 主成分分析（PCA）：主成分分析是一种降维技术，可以将相关性强的多个变量合并成为一个或多个无关的主成分。
4. 岭回归（Ridge Regression）：岭回归是一种缓解多重共线性的方法，通过加入一个正则化项，来使得共线性变量的系数估计更加稳定。
5. Lasso回归（Lasso Regression）：Lasso回归也是一种缓解多重共线性的方法，通过对系数进行稀疏化，来选择重要的变量。
多重共线性讲义
9
3.参数估计量经济含义不合理 如果模型中两个解释变量具有线性相关性，例如 X2= X1 ，这时，X1和
X2前的参数1、2并不反映各自与被解释变量之间的结构关系，而是反映它 们对被解释变量的共同影响。1、2已经失去了应有的经济含义，于是经常 表现出似乎反常的现象：例如1本来应该是正的，结果恰是负的。
如果存在 c1X1i+c2X2i+…+ckXki+vi=0 i=1,2,…,n
其中ci不全为0，vi为随机误差项，则称为 不完全多重共线性或欠完 全多重共线性（approximate multicollinearity）。
4
7.2.产生多重共线性的原因
一般地，产生多重共线性的主要原因有以下四个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经济变量（收入、消费、 投资、价格）都趋于增长；衰退时期，又同时趋于下降。 横截面数据：生产函数中，资本投入与劳动力投入往往出现高度 相关情况，大企业二者都大，小企业都小。 （2）滞后变量的引入 在经济计量模型中，往往需要引入滞后经济变量来反映真实的经济 关系。 例如，消费=f(当期收入, 前期收入），显然，两期收入间有较强的 线性相关性。
14
15
2、辅助回归法
利用模型中每一个解释变量分别以其余解释变量为解释变量进行回归， 并计算相应的拟合优度。
如果某一种回归 X j c 1X1 2 X 2 ... j1X j1 j1X j1 ... k X k
的判定系数较大，说明Xj与其他X间存在共线性。 判别的标准是回归模型是否通过F检验。
多重共线性资料
直接观察回归结果
• 拟合优度R²很大(一般大于0.8），但模型全部或部 分参数估计值不显著(t值小)。
• 参数估计量的显著性与经济理论不符。 • 模型新增变量后，拟合优度增加，但原有参数估计
7.356574
1988
14.79707
29.50232
8.951532
1989
15.38405
30.6203
8.071457
1990
17.27538
34.60292
9.852538
• . reg Y x1 x2
• Source | SS df MS
Number of obs = 21
• -------------+------------------------------
97
24
120
129
30
150
152
样本向量X2与X3*的相关系数为0.9959
进口额yt
国内产值x1t
存货额x2t
国内消费x3t
15.9
149.3
4.2
16.4
19.0
┇
108.1
直接回归得：
Yˆt 10.1300.051X1t 0.587X2t 0.287X3t R2 0.992
国内产值与进口反 额关 有系 相，显然不济 符含 合义 经。
例如数据：1.00
11.00
100
2.00
19.00
80
3.00
28.00
4.00
42.00
60
5.00
计量经济第六章多重共线性
• 2、数据采集的范围有限，或采集 的样本量小于模型的自变量个数。
• 如在罕见疾病的研究过程中，由于病 情罕见、病因又相当复杂，而只能在 少数的患者身上采集大量的变量信息。
3、模型中采用滞后变量
在计量经济模型中，往往需要引入 滞后变量来反映真实的经济关系。 例如，消费=f(当期收入, 前期收入） 显然，两期收入间有较强的线性相 关性。
up
三、方差膨胀因子法
• 自变量间的共线性程度越大时,VIF值也随之 增大。所以也可利用方差膨胀因子来检验 多重共线性问题。 • 一般来说，当VIF >10时，表明 涉及的两个 变量存在高度线性相关，模型存在不完全 多重共线性。
P111 【经典实例】
• 计算得到的方差膨胀因子值分别为
VIF1 =10000,VIF2 =10000,VIF3 =9.6525,VIF4 =11.5875
2 2 2 1
同理易得
ˆ ) Var( 2
• EVIEWS遇到完全多重共线性时，会 显示 • Near singular matrix，无法进行估 计
2、不完全多重共线性下的后果
（1）估计量的方差增大 2 2 x 2 ˆ) 由于 Var ( 1 2 x12x2 (x1 x2 )2
• 可以看出，除了 VIF3 10 ，其余的方 差膨胀因子值均大于10,表明模型中 存在较严重的多重共线性问题。
up
第三节 多重共线性的修正 一、改变模型的形式 二、删除自变量 三、减少参数估计量的方差 四、其它方法 习题
up
• 一、改变模型的形式
• （一）变换模型的函数形式
• 例如将线性回归模型转化为对数模 型或者多项式模型。 • （二）改变模型的自变量的形式
多重共线性名词解释
多重共线性名词解释多重共线性多重共线性，是指同一条曲线在不同时期反映了同一经济行为。
从外部看来，这些具有相同特征或因素的影响在不同的经济行为中是互不相关的。
但是，这些事物之间却存在着内在联系：外在表象或因素之间存在的线性关系可以用一个概念进行解释，就是说，事物在不同时期的不同影响因素是有机整体。
从更广泛的意义上说，每一个影响因素都具有相同的行为，并且，与其他影响因素有机地结合起来，构成一个统一的模式，而该模式又反过来对另一类型的影响因素产生决定性的影响。
11、地方政府支出变动； 12、总统选举（赢者通吃）； 13、结构变迁，也叫结构演化； 14、创新系统； 15、全球化； 16、文化遗产。
2、现代主义的城市设计理念，将都市视为由“住宅区—商业区—工业区”三部分组成的体系。
3、城市设计必须考虑城市空间的问题，即研究如何使人们的生活活动与各种建筑要素、城市的生态环境之间保持协调和融洽，从而达到舒适、安全、健康、卫生和高效率的目的。
4、城市形象是城市的面子。
5、美国城市设计师查尔斯·罗奇(Charles Lorich)最早提出这个概念，认为当代城市不仅需要考虑功能、技术和经济的问题，而且还应考虑空间和社会层面的问题。
6、区域化导致市场分割。
7、超大城市化正在发展。
8、现代主义强调标准化、简约化和功能性，注重形式逻辑、数字技术和系统分析，因此在城市设计领域颇受推崇。
9、我国正处于城镇化快速发展阶段。
10、“城乡规划是一门为公众利益服务的艺术。
”6、区域化导致市场分割，尤其在资本积累时期。
城市边缘化现象严重。
7、目前的城市空间扩张伴随着高成本、高风险和高消耗。
8、现代主义空间追求便捷、开放和轻松。
9、城市结构理论的发展与新城市主义思潮的兴起。
10、美国城市设计师查尔斯·罗奇(Charles Lorich)最早提出这个概念，认为当代城市不仅需要考虑功能、技术和经济的问题，而且还应考虑空间和社会层面的问题。
多重共线性
2.采用综合统计检验法
R2与F值较大，但t检验值较小，说明各解释变量对Y的联合线 性作用显著，但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y的独 立作用不能分辨，故t检验不显著。
3.3 多重共线性
3、辅助回归模型检验 通过每个解释变量对其它解释变量的辅助回归模型
xi a0 a1 x1 ai 1 xi 1 ai 1 xi 1 ak xk
3.3多重共线性
• • • • 多重共线性及其产生原因 多重共线性的后果 多重共线性的检验 多重共线性的方法
一、多重共线性及其产生原因
1.多重共线性的概念---解释变量间相关
对于多元线性回归模型 yi=b0+b1x1i+b2x2i+…+bkxki+εi 存在一组不全为零的常数λ1，λ2，…λk，使得 λ1x1i + λ2x2i +…+ λkxki +νi=0 其中νi是一个随机误差项，则称模型存在着多重共线性。 “共线性”：变量间线性相关 “多重”：多种组合 “完全多重共线性”： νi=0
3.3 多重共线性
例5．服装需求函数。根据理论和经验分析，影响居民服 装需求的主要因素有：可支配收入X、流动资产拥有量 K、服装类价格指数P1和总物价指数P0 。教材P124的表 3-4给出了有关统计资料。 设服装需求函数为 ：Y=a+b1x+b2P1+b3P0+b4K+ε (1)相关系数检验 键入：COR Y X K P1 P0 输出的相关系数矩阵为：
3.3 多重共线性
2、间接剔除重要的解释变量 ⑴利用附加信息
例如，著名的Cobb-Dauglas 生产函数中
附加信息： α +β =1 则
一、多重共线性的概念二、产生多重共线性的原因三、多重共
注意：
完全多重共线性的情况在经济学中并不多见，一般出现的是在一
定程度上的共线性，即不完全的多重共线性。
二、不完全多重共线性
如果存在 c1X1i+c2X2i+…+ckXki+vi=0 i=1,2,…,n 其中ci不全为0，vi为随机误差项，则称为 不完全多重共线性或欠完 全多重共线性（approximate multicollinearity）。
显著拒绝原假设)，这种情况可初步判断存在严重的多重共线性。
《计量经济学》，高教出版社，王 少平、杨继生和欧阳志刚等编著
21
在例7.1中，利用Eviews6.0对模型进行估计，估计的结果如下：
上式的第一行是对应参数估计值的t统计量，第二行是对应的t检验的p值。从回归结果来看，当显著性水平为5%时，所有参数OLS估计量的p 值都大于0.05，说明t检验的结论是都不能拒绝原假设。而从模型的F检 验来看，F统计量的p值是0，说明模型是显著成立的，同时R2很高 (=0.97)。综上所述，如果按照t检验的结果，所有的解释变量对被解释 变量的影响是不显著的，而按照F检验的结果，模型又具有总体显著性。 也就是说，t检验的结果和F检验的结果相互矛盾，这种矛盾的根源在于 多元线性回归模型存在严重的多重共线性现象。
《计量经济学》，高教出版社，王 少平、杨继生和欧阳志刚等编著
11
5. OLS估计量及其标准误对样本数据微小变化较敏感 以两个解释变量的回归模型为例，OLS估计量的方差和标准误都与
2 解释变量之间的相关系数有关，而相关系数 r12 的微小变化，都导 2 ) 的变化非常明显，从而使标准误会发生显著变化。 致 1/ (1 r12 2 如：当 r12 由0.9增加到0.95时， 1/ (1 r12 ) 的值由10增加到20。 2
经济计量学第七讲多重共线性PPT资料(正式版)
第四节 多重共线性的侦察（2）
二、侦察多重共线性的规则
（一）R2值高而显著的t比率少
（二）回归元之间有高度的两两相关 Ø它只是充分条件而不是必要条件
（三）检查偏相关 Ø偏相关系数不能保证对多重共线性提供 一 个准确的指南。
第四节 多重共线性的侦察（3）
二、侦察多重共线性的规则 （四）辅助回归 做每个解释变量对其他剩余变量 的回归并计算相应的R2值。其中的每 一个回归都被称为是从属或者辅助回 归。
2
j
j
第五节 多重共线性的补救措施
如果存在不完全的多重共线性,
TOj L(1R2 j)1/VIjF
第五节 多重共线性的补救措施
一、先验信息 二、横截面与时间序列数据并用 三、剔除变量与设定偏误 四、变量代换 五、补充新数据 六、在多项式回归中降低共线性 七、拯救多重共线性的其他方法
谢谢观看
（一）完全多重共线性情形
Y = ^1 + ^2X2 + ^3X3 + ^u
^2
(yx2)(x32) - (yx3)(x2x3)
= (x22)(x32) - (x2x3)2
如果 x3 = x2,
^2
=
(yx2)(2x22) - (yx2)(x2x2) (x22)(2 x22) - 2(x2x2)2
=
0 0
经济计量学第七讲多重 共线性
第七讲 多重共线性
第一节 多重共线性的性质 第二节 出现多重共线性时的估计问题 第三节 多重共线性的后果 第四节 多重共线性的侦察 第五节 多重共线性的补救措施
第一节 多重共线性的性质
一、多重共线性的概念 二、多重共线性的来源
一、多重共线性的概念
Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i k X k i u i
多重共线性(统计累赘)的概念、特征及其测量方式和处理方式
试述多重共线性（统计累赘）的概念、特征及其测量方式和处理方式。
1、概念多重共线性是指自变量之间存在线性相关关。
倘若其中两个自变项的关系特别强，则在相互控制后就会使每者的效果减弱，而其他的变相的效果就会因此而增大。
2、特征3、产生原因产生多重相关性的原因主要包括四方面。
一是没有足够多的样本数据; 二是选取的自变量之间客观上就有共线性的关系; 还可能由其它因素导致, 如数据采集所用的方法, 模型设定, 一个过度决定的模型等。
但多数研究者认为共线性本质上是由于样本数据不足引起的。
4、测量方式（1）经验式的诊断方法通过观察,得到一些多重相关性严重存在的迹象。
①在自变量的简单相关系数矩阵中,有某些自变量的相关系数值较大。
②回归系数的代数符号与专业知识或一般经验相反;或者该自变量与因变量的简单相关系数符号相反。
③对重要自变量的回归系数进行t 检验,其结果不显著。
特别是当F 检验能在高精度下通过,测定系数R 2的值也很大,但自变量的t 检验却全都不显著,这时多重相关性的可能将会很大。
④如果增加或删除一个变量,或者增加或删除一个观测值,回归系数发生了明显的变化。
⑤重要自变量的回归系数置信区别明显过大。
⑥在自变量中,某一个自变量是另一部分自变量的完全或近似完全的线性组合。
⑦对于一般的观测数据,如果样本点的个数过少,比如接近于变量的个数或者少于变量的个数,样本数据中的多重相关性就会经常存在。
（2）统计检验方法共线性的诊断方法是基于对自变量的观测数据构成的矩阵X ’X 进行分析,使用各种反映自变量间相关性的指标。
共线性诊断常用的统计量有方差膨胀因子VIF 或容限TOL 、条件指数和方差比例等。
方差膨胀因子VIF 是指回归系数的估计量由于自变量的共线性使其方差增加的一个相对度量。
对于第i 个回归系数,它的方差膨胀因子定义为：VIF=1/1-R 2=1/TOL i 其中R2i 是自变量Xi 对模型中其余自变量线性回归模型的R 平方。
多重共线性问题的定义和影响多重共线性问题的检验和解决方法
多重共线性问题的定义和影响多重共线性问题的检验和解决方法多重共线性问题的定义和影响，多重共线性问题的检验和解决方法多重共线性问题是指在统计分析中，使用多个解释变量来预测一个响应变量时，这些解释变量之间存在高度相关性的情况。
共线性是指两个或多个自变量之间存在线性相关性，而多重共线性则是指两个或多个自变量之间存在高度的线性相关性。
多重共线性问题会给数据分析带来一系列影响。
首先，多重共线性会导致统计分析不准确。
在回归分析中，多重共线性会降低解释变量的显著性和稳定性，使得回归系数估计的标准误差变大，从而降低模型的准确性。
其次，多重共线性会使得解释变量的效果被混淆。
如果多个解释变量之间存在高度的线性相关性，那么无法确定每个解释变量对响应变量的独立贡献，从而使得解释变量之间的效果被混淆。
此外，多重共线性还会导致解释变量的解释力度下降。
当解释变量之间存在高度的线性相关性时，其中一个解释变量的变化可以通过其他相关的解释变量来解释，从而降低了该解释变量对响应变量的独立解释力度。
为了检验和解决多重共线性问题，有几种方法可以采用。
首先，可以通过方差膨胀因子（VIF）来判断解释变量之间的相关性。
VIF是用来度量解释变量之间线性相关性强度的指标，其计算公式为：VIFi = 1 / (1 - R2i)其中，VIFi代表第i个解释变量的方差膨胀因子，R2i代表模型中除去第i个解释变量后，其他解释变量对第i个解释变量的线性回归拟合优度。
根据VIF的大小，可以判断解释变量之间是否存在多重共线性。
通常来说，如果某个解释变量的VIF大于10或15，那么可以认为该解释变量与其他解释变量存在显著的多重共线性问题。
其次，可以通过主成分分析（PCA）来降低多重共线性的影响。
PCA是一种降维技术，可以将高维的解释变量压缩成低维的主成分，从而减少解释变量之间的相关性。
通过PCA，可以得到一组新的解释变量，这些新的解释变量之间无相关性，并且能够保留原始解释变量的主要信息。
多重共线性的含义多重共线性产生的原因多重共...
注意： 完全共线性的情况并不多见，一般出现 的是在一定程度上的共线性，即近似共线 性。
二、多重共线性产生的原因
一般地，产生多重共线性的主要原因有以下四 个方面：
（1）经济变量相关的共同趋势
时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经济 变量（收入、消费、投资、价格）都趋于增长； 衰退时期，又同时趋于下降。 横截面数据：生产函数中，资本投入与劳动 力投入往往出现高度相关情况，大企业二者都大， 小企业都小。
六、案例一——中国粮食生产函数
根据理论和经验分析，影响粮食生产（Y）的 主要因素有： 农业化肥施用量（X1）；粮食播种面积(X2) 成灾面积(X3); 农业机械总动力(X4); 农业劳动力(X5) 已知中国粮食生产的相关数据，建立中国粮食 生产函数： Y=0+1 X1 +2 X2 +3 X3 +4 X4 +4 X5 +
Y
1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 (万吨) 38728 40731 37911 39151 40208 39408 40755 44624 43529 44264 45649 44510 46662 50454 49417 51230 50839 46218
（4）样本资料的限制，数据收集范围 过窄，有时会造成变量间存在多重共线性 问题
由于完全符合理论模型所要求的样本数据较难 收集，特定样本可能存在某种程度的多重共线性。 一般经验：
时间序列数据样本：简单线性模型，往往存在 多重共线性。
截面数据样本：问题不那么严重，但多重共线 性仍然是存在的。
多重共线性(Multi-Collinearity)
i 0 1 1i 2 2i
k ki i
（i=1,2,…,n）
其基本假设之一是解释变量
X,
1
X2,,
X
k
互相独立 。
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性， 则称为多重共线性。
如果存在
c1X1i+c2X2i+…+ckXki=0
i=1,2,…,n
其中: ci不全为0，即某一个解释变量可以用其它解释 变量的线性组合表示，则称为解释变量间存在完全
2
1
x12i 1 r 2
2
x12i
所以，多重共线性使参数估计量的方差增大。
方差扩大因子(Variance Inflation Factor)为1/(1-r2)， 其增大趋势见下表：
相关系 0 0.5 0.8 0.9 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 0.999 数平方 方差扩 1 2 5 10 20 25 33 50 100 1000 大因子
多重共线性(Multi-Collinearity)
§2.8 多重共线性
Multi-Collinearity
一、多重共线性的概念 二、多重共线性的后果 三、多重共线性的检验 四、克服多重共线性的方法 五、案例
一、多重共线性的概念
1、多重共线性
• 对于模型
Y X X X
以二元回归模型中的参数估计量ˆ 为例，ˆ 的方差为
1
1
Var(ˆ )
1
ˆ 2
(X X
)1
22
(
ˆ
2
(
x2
2i
)
x2 )( x2 ) ( x
多重共线性问题课件
多重共线性的表现形式
相关性矩阵
通过计算自变量之间的相关性矩阵，可以发现高度相关的自变量 。
特征值
在多重共线性情况下，某些特征值的绝对值会接近于0，这表明自 变量之间存在高度相关。
方差膨胀因子
数据收集阶段预防
总结词
在数据收集阶段，预防多重共线性的关键是保证 数据的准确性和完整性，以及合理的数据样本量 。
总结词
在数据收集阶段，可以通过增加样本量来降低多 重共线性的影响。
详细描述
数据的质量直接关系到模型的准确性和可靠性， 因此需要确保数据的准确性和完整性。此外，合 理的数据样本量可以降低随机误差的影响，提高 模型的稳定性和可靠性。
多重共线性问题的
03
诊断
特征值诊断法
总结词
通过计算模型中自变量的特征值来判断是否存在多重共线性问题。
详细描述
特征值诊断法是通过计算自变量的特征值来判断自变量之间的相关性。如果自变量的特征值接近于零 ，说明该自变量与其他自变量高度相关，存在多重共线性问题。
条件指数法
总结词
通过计算自变量之间的条件指数来判断 是否存在多重共线性问题。
VS
详细描述
条件指数是一种衡量自变量之间相关性的 指标，如果条件指数大于一定阈值，说明 自变量之间存在多重共线性问题。
方差膨胀因子法
总结词
通过计算自变量的方差膨胀因子来判 断是否存在多重共线性问题。
详细描述
方差膨胀因子是衡量自变量对因变量 影响的放大程度，如果方差膨胀因子 大于一定阈值，说明自变量之间存在 多重共线性问题。
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目录一、摘要 (1)二、引言 (1)三、认识多重共线性 (1)（一）多重共线性的定义 (1)（二）多重共线性产生的危害 (2)（三）多重共线性产生的原因 (2)（四）多重共线性产生的诊断的方法 (3)（五）多重共线性的处理的方法 (3)四、实际的应用 (7)（一）普通最小二乘法 (7)（二）岭回归 (8)（三）主成分回归 (10)（四）简单的比较 (11)（五）结论和建议 (11)五、结论 (12)六、参考书目 (13)七、附录 (14)浅谈多重共线性摘 要 各解释变量之间存在多重共线性是现实中很普遍的现象。
本文对线性估计多重共线性问题进行了简单的介绍,对一些常用的解决多重共线性的方法进行了概括,并运用主成分和岭回归的方法对实际的问题进行了分析.关键字 岭回归 主成分 多重共线性Abstact The interpretation of variables between multicollinearity isin reality very common phenomenon. In this paper, linear estimated multicollinearity issue a simple, commonly used to solve a number of multi-linear way of a summary and use of the main components and ridge on the actual return to the way the issue was analyzed.Keywords Ridge Regression The main component regression collinearity一.引言回归分析是一种比较成熟的预测模型,也是在预测过程中使用较多的模型,在自然科学管理科学和社会经济中有着非常广泛的应用，但是经典的最小二乘估计，必需满足一些假设条件，多重共线性就是其中的一种。
实际上，解释变量间完全不相关的情形是非常少见的，大多数变量都在某种程度上存在着一定的共线性，而存在着共线性会给模型带来许多不确定性的结果。
二．认识多重共线性（一）．多重共线性的定义设回归模型+⋯+++=p p 22110 x ββββy x x ε如果矩阵X 的列向量存在一组不全为零的数0..22110210=⋯+++⋯p i p i i p x k x k x k k k k k k 使, I =1,2,…n ,则称其存在完全共线性,如果022110≈⋯+++p i p i i x k x k x k k , I =1,2,…n ,则称其存在近似的多重共线性（二）．多重共线性的危害1.如果矩阵存在完全共线性矩阵的秩rank(X)<p+1,此时|X X '|=0正规方程组的解（X X '）β=Xy 的解不为一且 1')(-X X 不存在,回归参数的最小二乘估计表达式不成立,最小二乘的系数将得不到估计2.经济问题中出现最多的是近似共线性的情况,此时矩阵的秩rank(x)=p+1虽然成立，但是|X X '|≈0,1')(-X X 对角线上的元素很大,估计参数β的方差阵1')(-X X 的对角线元素很大,而对角线上的元素正式各个参数的方差,这样各个参数的估计的精度就会很低。
这时虽然能够得到参数的最小二乘无偏估计，但是回归系数的估计值对样本数据的微小变化将变的非常敏感，回归系数的估计值的稳定性将变得很差。
3当存在严重的多重共线性时，会给回归系数的统计检验造成一定的困难，可能造成F 检验获得通过，T 检验却不能够通过。
4．在自变量高度相关的情况下，估计系数的含义有可能与常识相反. 5.在进行预测时，因为回归模型的建立是基于样本数据的，多重共线性也是指抽样的数据。
如果把建立的回归模型用于预测，而多重共线性问题在预测区间仍然存在，则共线性问题对预测结果不会产生特别严重的影响，但是如果样本数据中的多重共线性发生 了变化则预测的结果就不能完全的确定了（三）．多重共线性产生的原因1.模型参数的选用不当，在我们建立模型时如果变量之间存在着高度的 相关性，我们又没有进行处理建立的模型就有可能存在着共线性。
2.由于研究的经济变量随时间往往有共同的变化趋势,他们之间存在着共线性。
例如当经济繁荣时，反映经济情况的指标有可能按着某种比例关系增长3滞后变量。
滞后变量的引入也会产生多重共线行，例如本期的消费水平除了受本期的收入影响之外，还有可能受前期的收入影响，建立模型时，本期的收入水平就有可能和前期的收入水平存在着共线性。
（四）．多重共线性的诊断 1.直观的判断方法（1）在自变量 的相关系数矩阵中，有某些自变量的相关系数值比较大。
（2）回归系数的符号与专业知识或一般经验相反（3）对重要的自变量的回归系数进行t 检验，其结果不显著，但是F 检验确得到了显著 的通过（4）如果增加一个变量或删除一个变量，回归系数的估计值发生了很大的变化（5）重要变量的回归系数置信区间明显过大2.方差扩大因子法(VIF)，定义j VIF =12)1(--j R 其中2j R 是以j X 为因变量时对其他自变量的复测定系数。
一般认为如果最大的j VIF 超过10，常常表示存在多重共线性。
事实上j VIF =12)1(--j R >10这说明21j R -<0.1即2j R >0.9。
3.特征根判定法根据矩阵行列式的性质，矩阵行列式的值等于其特征根的连乘积。
因此，当行列式|X X '|≈0时，至少有一个特征根为零，反过来，可以证明矩阵至少有一个特征根近似为零时，X 的列向量必存在多重共线性，同样也可证明X X '有多少个特征根近似为零矩阵X 就有多少个多重共线性。
根据条件数, 其中m λ为最大的特征根 i λ为其他的特征根，通常认为0<k<10,没有多重共线性，k.>10存在着多重共线性。
（五）多重共线性的处理方法一般有如下的几种1 增加样本容量，当线性重合是由于测量误差引起的以及他仅是偶然存在于原始样本，而不存在于总体时，通过增加样本容量可以减少或是避免线性重合，但是在现实的生活中，由于受到各种条件的限制增加样本容量有时又是不现实的iK m i λλ=2剔除一些不重要的解释变量，主要有向前法和后退法，逐步回归法。
前进法的主要思想是变量由少到多的，每次增加一个，直至没有可引入的变量为止。
具体做法是首先对一个因变量y和m个自变量分别建立回归方程，并分别计算这m个回归方程的F值，选其最大者，记为Fj,，给定显著性水平F，如果Fj>F,则变量引入该方程，再分别对(Xj,X1),(Xj,X2)…(Xj,Xm)做回归方程，并对他们进行F检验，选择最大的Fi值，如果Fi.>F,则该变量引入方程，重复上述步骤，直到没有变量引入为止。
后退法，是先用m个因变量建立回归方程，然后在这m个变量中选择一个最不显著的变量将它从方程中剔除，对m个回归系数进行F检验，记所求得的最小的一个记为Fj,给定一个显著性的水平，如果Fj<F则将Xj 从方程中删除，重复上述步骤直到所有不显著的变量被剔除为止。
逐步回归法，前进法存在着这样的缺点当一个变量被引入方程时，这个变量就被保留在这个方程中了，当引入的变量导致其不显著时，它也不会被删除掉，后退法同样存在着这样的缺点，当一个变量被剔除时就永远的被排斥在方程以外了，而逐步回归法克除了两者的缺点。
逐步回归的思想是有进有出。
将变量一个一个的引入，每引入一个变量对后面的变量进行逐个检验，当变量由于后面变量的引入而不变的不显著时将其剔除，进行每一步都要进行显著性的检验，以保证每一个变量都是显著的。
理论上上面的三种方法都是针对不相关的的数据而言的，在多重共线性很严重的情况下，结论的可靠性受到影响，在一些经济模型中，要求一些很重要变量必须包含在里面，这时如果贸然的删除就不符合现实的经济意义。
3．不相关的系数法。
当变量之间存在着多重共线性最直接的表现就是各个解释变量之间的决定系数很大。
考虑到两个变量之间的决定系数众所周知, 在多元线性回归模型中, 当各个解释变量( 如Xi 与Xj, i≠j) 之间存在着多重共线性时, 其最直接的表现就是各个解释变量之间的决定系数(ri2,j)很大。
ri2,j 很大, 则意味着重要变量Xi( 在本文中, 为研究方便, 我们始终假定Xi 相对于Xj 而言, 是一重要变量, i ≠j) 的变化能够说明Xj 的变化。
如两者之间的r2,j=90%, 则我们以说, Xi 的变化说明了Xj 变化的90%，而剩余的( 1- ri2,j) 部分,则是由Xj 自身的变化说明的。
由此决定, 在反映被解释变量(Y)与解释变量Xi 、Xj 之间的关系时, 对于解释变量Xj 来说, 并不需要用全部的信息来解释被解释变量的问题, 而只需要用剩余的( 1- ri2,j) 部分的信息来解释就足够了,因为有ri2,j 部分的信息是与Xi 相重复的, 已由Xi 解释了。
由此出发, 如果我们能够在保留重要变量(Xi) 全部信息的同时, 以重要变量(Xi) 为基础, 对其他的解释变量进行一定的线形变换, 使之转换为一个新变量, 如将Xj 转换为Xjj , 并且使得Xi 与新变量Xjj 之间的决定系数( ri2,jj) 降低到最小程度———如( 1- ri2,j) , 则就可以消除多重共线性。
而这也正是不相关法基本思想的具体体现。
该方法的一个显著的缺陷是我们无法知道哪一个变量是重要的。
4主成分法。
当自变量间有较强的线性相关性时，利用P 个变量的主成分，所具有的性质，如果他们是互不相关的，可由前 m 个主成12,,m Z Z Z 来建立回归模型。
由原始变量的观测数据计算前m 个主成分的的得分值，将其作为主成分的观测值，建立Y 与主成分的回归模型即得回归方程。
这时P 元降为 m 元,这样既简化了回归方程的结构，且消除了变量间相关性带来的影响5．PLS(偏最小二乘法).H.Wold 在1975年提出的 偏最小二乘法近年来引起广泛的关注，在解决多重共线性方面，它与主成分回归法，岭回归法一样都能很好的达到目的，但偏最小二乘又与前者又有较大的区别，偏最小二乘法集中了 最小二乘法，主成分分析法，和典型相关分析的的优点克服了两种方法的缺点。
偏最小二乘法吸取了主成分回归提取主成分的思想，但不同的 是主成分回归只是从自变量中去寻找主成分与因变量无关，因而主成分与因变量在算法上关系不密切，从而导致最后主成分在实际应用中无法更好的进一步拟合因变量，偏最小二乘法则是从因变量出发，选择与因变量相关性较强而又能方便运算算的 自变量的 线性组合。