边坡稳定分析极限平衡方法的讨论(续)

边坡稳定分析极限平衡方法的讨论（续）
邵龙潭
大连理工大学工程力学系，辽宁大连（116024）
摘 要：对《边坡稳定分析极限平衡方法的讨论》一文做进一步的讨论说明。

关键词：边坡稳定分析；安全系数；极限平衡法，强度折减
在《边坡稳定分析极限平衡方法的讨论》一文中，作者曾讨论极限平衡边坡稳定分析中安全系数的定义，指出“可以用沿任意形状滑面阻滑力和滑动力的代数和之比定义安全系数，它具有明确的物理意义”。

即边坡稳定安全系数定义为：
d K d =∫∫f
l l
l l ττ (1) K 的物理意义是“使土体沿滑面l （可以是非圆弧）整体达到极限平衡时强度折减系数（函数）的平均值。

式(1)是在整体平均（中值定理）意义上土体沿滑面l 达到极限平衡的充分必要条件。

”
就平面应变问题而言，设l 为通过土体区域的任意形状连续曲面（线），土体沿l 整体达到极限平衡是指：在曲面每一点的微元长度上沿曲面切线方向土体的滑动力与阻滑力平衡；在整个曲面上滑动力的合力与阻滑力的合力平衡；对曲面外任意一点，滑动力矩与阻滑力矩平衡。

实际上，若曲面每一点微元长度上土体的滑动力与阻滑力平衡，那么整个曲面上土体滑动力（矩）和阻滑力（矩）的合力（矩）也平衡，如图1所示。

图1 曲面上一点力和力矩的平衡
即若： 0
fi i T T −=u r u r (2) 则 110
n n i fi i i T T ==−=∑∑u r u r (3)
和对任意一点
110i fi n
n T T i i M M ==−=∑∑u r u r uu r uu r (4) 上两式中fi fi i T l =⋅∆r r τ，i i i T l τ=⋅∆r r 分别是曲面上一点土体微元长度上的滑动力和阻
滑力，i τ和fi τ是土体剪应力和抗剪强度，n 代表整个曲面上土体微元的数量。

下面将证明，曲面上每一点土体微元长度上的滑动力和阻滑力平衡的充分必要条件是：
f l l dl dl ττ=∫∫ (5)
即沿曲面l 土体剪切力和抗剪力的代数和相等。

在平面问题条件下，若沿曲面每一点土体微元长度上的滑动力和阻滑力平衡，即式(2)成立，亦即式(3)、式(4)成立，那么
0=∆⋅−∆⋅i fi i i l l r r ττ (6) 即 0=∆⋅−∆⋅i i fi i i l l l r ）（ττ (7) 式中i l ∆为所考虑的点沿滑动方向的微元长度，i l r 为该点沿滑动方向的单位方向向量。

而若要式(7)成立，必需
i i fi i l l ττ⋅∆−⋅∆= (8)
则必然 ∑∑===∆⋅−∆⋅n i n i i fi i i l l 110ττ (9)
进一步可以写成式(5)。

反过来，如果式(5)成立，则有
0)(1=∆⋅∑=i n i fi i
l ττ－ (10)
因为对于稳定或者处于极限平衡状态的土体每一点都必有：
fi i ττ≤ (11)
且0i l ∆>，则要式(10)成立，必需
0=∆⋅−∆⋅i fi i i l l ττ (12) 即得到式(2)，于是有式(3)和式(4)，亦即沿曲面每一点土体微元长度上的滑动力和阻滑
力平衡。

说明若土体沿曲面l 整体达到极限平衡，则式(5)成立；反之，若式(5)成立，则土体沿曲面l 整体达到极限平衡。

即土体沿其区域内任意形状连续曲面（线）整体达到极限平衡的充分必要条件是
1f l l
dl dl ττ=∫∫ (13)
这一结论对澄清安全系数定义的物理概念，扩展有限元边坡稳定分析的应用具有重要意义。

最早用沿整个滑面的抗剪强度与实际产生的剪应力之比定义土坡稳定安全系数的是毕肖普
(A. W. Bishop)。

他并且将K 作为平均的强度折减系数对每一土条沿滑面的抗剪力（抗剪强度）进行折减，建立包含K 的土条内力平衡方程，再根据土体整体力矩平衡条件得到求解K 的表达式[1]。

毕肖普的定义使得安全系数具有强度折减系数或者称为强度储备系数的物理意义，对于条分法的推广和发展具有重要意义。

但是他并没有说明K的定义就是在平均强度折减意义上土体沿滑面整体达到极限平衡的充分必要条件，因而也没有说明K的定义并不要求圆弧滑面的假设。

长期以来，有学者一直认为，“在非圆弧平面曲线上，内力（应力）是矢量（二阶张量），不能用代数和（因为方向不一致）之比定义安全系数”。

因为力是矢量，所以对于非圆弧和非直线滑面，不能用沿滑面的阻滑力和滑动力的代数和之比定义安全系数，这在学术界被广泛认可。

据此，有学者提出采用“力矢量向主要滑出面投影” [2]，或者“力矢量向坐标轴投影”，再代数加和计算安全系数的方法。

《边坡稳定分析极限平衡方法的讨论》表明上述观点是不正确的：公式（1）是基于土坡的实际应力分布，在平均强度折减意义下，土体沿滑面整体达到极限平衡状态的充分必要条件。

不仅可以用式（1）定义安全系数，而且它具有明确的物理意义，也适用于非圆弧或非直线滑面。

同时，因为式（1）定义的安全系数是沿滑面强度折减系数的（中值）平均值，所以不再需要各点（土条）等K（常数）的假定。

采用有限元应力应变分析得到边坡的应力分布，非常有效地解决了稳定分析内力计算的问题。

但是要基于有限元应力分析结果评价边坡的稳定性，也会遇到如何定义安全系数的问题。

有作者专门讨论各种常用的安全系数定义[3]，从局部强度安全系数，到毕肖普的定义，再到公式（1）。

认为用公式（1）定义的安全系数只在圆弧滑面条件下具有物理意义，在非直线和非圆弧滑面条件下，“其物理意义受到一些学者的质疑”，当剪应力的方向沿滑面发生改变时，其“意义更加模糊”。

《边坡稳定分析极限平衡方法的讨论》的意义在于：明确了公式（1）定义的安全系数不仅适用于圆弧滑面而且适用于任意形状的（凸曲线）滑面；将建立在刚性土条（块）假定下的边坡稳定极限分析和基于有限元应力分析的边坡稳定分析统一起来，即两者的安全系数定义都是沿滑面平均的强度折减系数，差别仅仅是内力计算方法不同，而显然有限元法得到的是比较准确的内力分布。

在《边坡稳定分析极限平衡方法的讨论》中，作者是从讨论土体沿滑面整体达到极限平衡的充分必要条件出发，得到稳定安全系数的定义。

有学者认为“沿滑面土体的极限平衡是一种虚拟的状态，实际上并不存在。

对一种虚拟的状态讨论其充分必要条件是没有意义的。

”（引自《边坡稳定分析极限平衡方法的讨论》一文的审稿意见）。

诚然，我们这里所讨论的土体的极限平衡状态实际上可能并不会出现，但是基于强度储备的概念定义安全系数必须要求设想沿滑面土体处于极限平衡状态，它是建立边坡稳定分析极限平衡方法的基础。

没有这样的假定就没有传统的条分法，也不会发展出极限平衡分析方法。

而既然在极限平衡法中我们已经设定了极限平衡状态，讨论其充分必要条件则是理所当然。

更何况，从“边坡稳定分析的极大极小值原理”来说，边坡失稳的极限平衡状态应该是客观存在的，只是达到极限平衡的条件远比前面讨论的假定复杂。

基于上面的讨论，有必要重复以下结论：
1、公式（1）定义的安全系数具有明确的物理意义，它和传统的极限平衡方法所定义的安全系数是一样的；它不仅可以适用于圆弧滑面，而且适于任意形状滑面。

传统的瑞典圆弧法和毕肖普法也适用于非圆弧滑面。

2、采用“力矢量向主要滑出面投影的计算方法”，或者“力矢量向坐标轴投影”的方法导出安全系数的定义完全没有必要。

3、有限元极限平衡分析方法和传统的极限平衡分析方法是一致的，差别只是内力计算
方法不同。

用有限元法计算内力时已经应用力的平衡条件，这和沿滑面的极限平衡条件不同。

沿滑面的极限平衡条件是指在实际应力分布条件下，折减土体抗剪强度使其达到整体滑动或者接近滑动的平衡状态。

因此它是对土体强度储备的一个估计。

本质上，采用公式（1）的安全系数定义进行边坡稳定分析和有限元强度折减法是一致的。

然而前者只需求解一次边坡应力就可以得到安全系数的估计值，比有限元强度折减法要节省很多计算工作量。

参考文献
[1] Bishop AW. The use of the slip circle in thr stability analysis of slopes[J]. Geotechnique, 1955, 5(1): 7-17
[2] 丰定祥，吴家秀，葛修润. 边坡稳定分析中几个问题的探讨[J]. 岩土工程学报，1990，12（3）:1-9.
[3] 郑宏，田斌，刘德富，等，关于有限元边坡稳定分析中安全系数的定义问题[J].岩石力学与工程学报，2005，24(13)：2225－2230.
Discussion on limit equilibrium method for slope stability
analysis
Shao Longtan
Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Liaoning, Dalian (116024)
Abstract
Further explanation on the paper of 'Discussion on limit equilibrium method for slope stability analysis. Keywords: slope stability analysis, safety factor, limit equilibrium method, strength reduction。