2016高考数学压轴解答题强化训练(一)
上海市2016届高考压轴考试数学试卷(解析版)
2016上海高考压轴卷数 学一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数)3sin()(πω+=x x f 的周期为π，则=ω .2.已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m = .3.已知复数z 满足：i i z 42)1(+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 .4.在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是 .5.如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在[)50,70 中的学生人数是 .6.如图，圆锥形容器的高为h ，圆锥内水面的高为1h ，且113h h =，若将圆锥倒置，水面高为2h ，则2h h等于 ． 7.已知函数3())f x x x =+，若()f x 的定义域中的a ，b 满足()()3()(f a f b f a f b -+--=++，则()()f a f b += .8.532)23(xx -的二项展开式中，常数项的值是 .9.已知直线01=++By Ax .若B A ,是从7,2,0,1,3--这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为 ．第5题第6题10.从抛物线x y 42=上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且5||=PF ，则MPF ∆的面积为 .11.满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥.4,0,0y x y x 的可行域中共有 个整数点.12. D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+=. 若关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是 .13.对于给定的正整数n ，若等差数列1a ，2a ，3a ，…满足2212110n a a ++≤，则2122234n n n n S a a a a ++++=++++ 的最大值为 . 14. 正整数a ，b 满足1a b <<，若关于x ，y 的方程组24033,|1|||||y x y x x a x b =-+⎧⎨=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为 ．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为单调函数”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.已知函数xx a x f 2)(+=，),0(),0(b x a ∈>，则下列判断正确的是（ ）.A.当a b >时，)(x f 的最小值为a 2B.当a b ≤<0 时，)(x f的最小值为C.当a b ≤<0 时，)(x f 的最小值为bb a 2+D.对任意的0>b ，)(x f 的最小值均为a 217.给出下列命题，期中正确的命题为（ ）A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面B.直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内所有的直线都不垂直C.直线a 与平面a 不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行D.异面直线,a b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直18. 已知函数322393)(a x a ax x x f +--=.若41>a ，且当[]a x 4,1∈时，a x f 12)('≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A.⎥⎦⎤⎝⎛54,41 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛1,41 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,31 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡54,0 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.（本题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC AC BC ===，90ACB ∠=︒. （1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图； （2）若P 是1AA 的中点，求四棱锥111B C A PC -的体积.20.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若()f x 为偶函数，求实数a 的值； (2)设2a >，求函数()f x 的最小值.ABC1A 1B 1C 第19题21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2015年“双十一”购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P 万件与促销费用x 万元满足123+-=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品P 万件还需投入成本(102P +)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为20(4)P+元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （1）求椭圆C 的方程;（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OMAEAD +的最小值.x23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项1a ，2a ，…，i a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项1i a +，2i a +，…，m a 中的最小项为i B ，i i i r A B =-（i =1，2，3，…，1m -）．（1）若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 是单调数列，且满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式； （3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由．答案与解析一、填空题1.2±2.13.104.2-5.256.7.3- 8. 1080 9. 51 10. 1011.15 12. 4-<λ或122--=λ 13.105n + 14.2016 解析： 1. 因为πωπ==2T ，所以2=ω，即2±=ω.10.由题意，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020,4y y P ，则5142=+==y PM PF ，所以40±=y ，即10210==∆y PM S MPF . 11. 借助图形可以直观些，但直观列举较快：)0,0(，)1,0(，)2,0(，)3,0(，)4,0(，)0,1(，)1,1(，)2,1(，)3,1(，)2,2(),1,2(),0,2(，)0,3(，)1,3(，)0,4(，共有1554321=++++个.12. 在ABC ∆边BC 延长线上，因此由)1(λλ-++=+=)1()1(λλ-+-=)1(λ-=,知11>-λ，故0<λ.由于π,0都不是原方程的解，故原方程在)2,(),0(πππ 上恰有两解，这等价于1sin 1sin 21sin 1sin 22-+=-+=xx x x λ在)2,(),0(πππ 上恰有两解，令x t sin =，即要求112-+=t t λ在)1,0()0,1( -上恰有两解，故当直线λ=y 与112)(-+=tt t f ，)1,0()0,1( -∈t 恰有一个交点时符合题意，因为当)1,0()0,1( -∈t 时x t sin =在)2,(),0(πππ ∈x 始终恰好有两个解21,x x .)1,0(∈t 时，0122)22()(>-=≥f t f ；又0<λ，故只需考虑)0,1(-∈t 时的情况，)(t f 在)22,1(--上递增，在)0,22(-上递减，122)22(--=-f ，4)1(=-f ，故当4-<λ或122--=λ直线λ=y 与)(t f 恰有一个交点，即原方程恰好2解.13. 因为数列{}n a 是等差数列，所以214122431=2n n n n n a a a a a +++++=+=…，所以31(21)n S n a +=+，又因为22221213131(3)()10n n n a a a n d a n d ++++=-+-≤，即213128n n a da ++-2210100n d +-≥，关于d 的二次方程2223111082100n n n d da a ++-+-≥有解，则222311=(8)40(210)0n n a n a ++∆--≥-，化简得22231(6480)400n n a n +-≥-，所以231n a+≤22240013210()25806428064n n n =+--≤，3155n a +-≤≤，所以5(21)S n +≤. 14. 令()24033y g x x ==-+，()|1|||||y f x x x a x b ==-+-+-31,1,1,1,=1,,33,x a b x x a b x a x a b a x b x a b x b-+++⎧⎪-++-<⎪⎨-+-<⎪⎪--->⎩≤≤≤在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示，要使得关于x y 、的方程组有且只有一组解，则只需两函数的图像有且只有一个交点，所以有1x =， 由(1)(1)f g =得224033a b +-=-+，4033a b +=， 又1a b <<，*a ∈N ，所以24033a <，2016a ≤，所以a 的最大值为2016，故答案为2016. 二、选择题15.B 16.A17.D解析：对于A ，若b 为异面直线,a c 的公垂线，则a 与b ，b 与c 都相交，但,a c 异面，故A 错误；对于B ，若直线a α⊂，则α内有无数条直线都与直线a 垂直，故B 错误；对于C ，若直线a α⊂，则α内有无数条直线都与直线a 平行，故C 错误；对于D ，假设存在平面α，使得a α⊂，b α⊥，则b α⊥，与条件矛盾，所以假设错误，故D 正确. 18.A解析：'22()369f x x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于a x =对称. 若'11,()4a f x <≤则在[1,4a]上是增函数， 从而'()f x 在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,f a a =--最大值是'2(4)15.f a a = 由'22|()|12,1236912,f x a a x ax a a ≤-≤--≤得于是有'2'2(1)36912,(4)1512.f a a a f a a a =--≥-=≤且由''14(1)121,(4)120.35f a a f a a a ≥--≤≤≤≤≤得由得 所以11414(,1][,1][0,],(,].43545a a ∈-∈ 即若1>a ,则'2'|()|1212.[1,4]|()|12f a a a x a f x a =>∈≤故当时不恒成立.所以使'|()|12([1,4])f x a x a ≤∈恒成立的a 的取值范围是14(,].45三、解答题 19. 解析：ABC1A 1B 1C P（2）解：如图所示. 由1111B C AC ⊥，111B C CC ⊥，则11B C ⊥面11ACC A .所以，四棱锥111B C A PC -的体积为()111111111121222332B C A PC C A PC V B C S -⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅+⋅=⎢⎥⎣⎦.20. 解析：(1)由已知()()f x f x -=，即22x a x a -=+，解得0a =.（2）2212,2()12,2x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， 当12x a ≥时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由12,,2a x a >≥得1x >，从而1x >-， 故()f x 在12x a ≥时单调递增，()f x 的最小值为2()24a a f =；当12x a <时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当12ax <<时，()f x 单调递增，当1x <时，()f x 单调递减， 则()f x 的最小值为(1)1f a =-；由22(2)(1)044a a a ---=>，知()f x 的最小值为1a -. 21.解析：（1）由题意知， )210()204(p x p py +--+=， 将231p x =-+代入化简得：x x y -+-=1416（0x a ≤≤）. （2）()()()()()()()222222143142311111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--==-=-++++.当1a ≥时,()0,1x ∈时0y '>， 所以函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增()1,a x ∈时0y '<，所以函数4161y x x =--+在()1,a 上单调递减 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大; 当1a <时,因为函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增 4161y x x =--+在[]0,a 上单调递增, 所以x a =时,函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 .综上,当1a ≥时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;当1a <时, 促销费用投入a 万元，厂家的利润最大（注：当1a ≥时，也可：13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ，当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号） 注意：厂家盈利是a 有应该最大值22. 解析：（1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =. 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. （2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=. 化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. 当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k ky k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠.直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k =-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =， 由2211612x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x = 由OM l ，得2D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -++=≥=即k =所以当k =时，AD AE OM+的最小值为 23. 解析：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i i A =，12i i B +=，所以1222i i i i r +=-=-，11i m ≤≤-．（2）若{}n a 单调递减，则11i A a ==，i m B a =，所以10i m r a a =->，不满足2i r =-，所以{}n a 单调递增．则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-．（3）构造1()2n n a n =-，其中n b n =，1()2n n c =-． 下证数列{}n a 满足题意： 因为1()2n n a n =-，所以数列{}n a 单调递增， 所以1()2i i i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， 所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-， 因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>， 所以数列{}i r 单调递增，满足题意．。
2016新课标Ⅱ高考压轴卷数学理 含答案解析
2016新课标Ⅱ高考压轴卷数学理本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i2.已知集合A={y|y=x2}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]3.已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥04.下列函数中是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2x B．y=﹣x2C．y=x3D．y=﹣3x5.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为( )（A ）2(1π++（B ）2(1π+（C ）4(1π++ （D ）2(2π++ 6.设实数x ，y 满足约束条件，则z=的取值范围是（ ）A ．[，1]B ．[，]C ．[，]D ．[，] 7.将函数cos(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向右平移6π个单位后，得到的图像关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为（ ▲ ） A.3π-B.6πC.3πD.56π8.执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a 值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．179.双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），M 、N 为双曲线上关于原点对称的两点，P 为双曲线上的点，且直线PM 、PN 斜率分别为k 1、k 2，若k 1•k 2=54，则双曲线离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．10.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足222(34)n n S n n S ---﹣2（3n 2﹣n ）=0，n ∈N *．则数列{a n }的通项公式是（ ）A ．a n =3n ﹣2B ．a n =4n ﹣3C ．a n =2n ﹣1D ．a n =2n+111.已知a，b∈R+，函数f（x）=alog2x+b的图象经过点（4，1），则12a b+的最小值为（）A．6-B．6 C．4+D．812.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程为必过点．14.已知的展开式中，常数项为14，则a=（用数字填写答案）．15.已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为．16.已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，给出下列四个命题：①f（﹣2）=0；②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数；④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为．三，解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，，且a＞b，试求角B和角C．18.为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数； （Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．19.已知在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，SD ⊥平面ABCD ，P 为SB 的中点，Q 为BD 上一动点．AD=2，SD=2，∠DAB=3π． （Ⅰ）求证：AC ⊥PQ ；（Ⅱ）当PQ ∥平面SAC 时，求四棱锥P ﹣AQCD 的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C l 的方程为2222143x y +=，椭圆C 2的短轴为C 1。
2016新课标Ⅰ高考数学压轴卷文带解析
2016新课标Ⅰ高考数学压轴卷（文带解析）2016新课标Ⅰ高考压轴卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设集合，则（）A．B．C．D．2.如果复数的实部和虚部相等，则等于（）（A）（B）（C）（D）3.下列有关命题的说法正确的是()．A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”B．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得2x2－10”的否定是“∀x∈R，均有2x2－10”D．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题4.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A、B、C、2D、35.以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为A.B.C.D.6.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为A．的值B．的值C．的值D．的值7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为A．1.2B．1.6C．1.8D．2.48.设是双曲线的焦点，P是双曲线上的一点，且3||=4||，△的面积等于A.B.C．24D.489．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象的相邻两对称中心的距离为π，且f（x ＋）＝f（－x），则函数y＝f（－x）是（）．A．奇函数且在x＝0处取得最小值B．偶函数且在x＝0处取得最小值C．奇函数且在x＝0处取得最大值D．偶函数且在x＝0处取得最大值10已知函数，则关于的不等式的解集为（）A、B、C、D、11.已知实数x，y满足2x－y＋6≥0，x＋y≥0，x≤2，若目标函数z＝－mx＋y的最大值为－2m＋10，最小值为－2m－2，则实数m的取值范围是()A．[－1，2]B．[－2，1]C．[2，3]D．[－1，3]12.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2016全国卷I高考数学理科试题压轴题参考答案
2016全国卷（I）高考数学理科试题压轴题参考答案20（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.（1）证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程。
（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围。
解：（1）圆方程222150x y x ++-=可化为()22116x y ++=∴圆心A(-1,0),半径r=4由AC//EB,所以∠EBD=∠ACD (1)又AC=AD,所以∠ADC=∠ACD (2)由(1),(2)式，得∠EBD=∠ADCBE DE=得所以4AE BE AE DE AD +=+==所以点E 的轨迹是以A,B 为焦点，长轴为4的椭圆。
E 的轨迹方程为22143x y +=（2）（i）当直线MN 的方程斜率存在时设直线MN 的方程为()1y k x =-则直线PQ 的方程为()11y x k=--联立()221431x y y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消得()22224384120k x k x k +-+-=()()()()()()2222222228434*********k 4k k 12k MN k k a k k -+-+∆=+=+=++直线PQ 方程()11y x k =--可化为10x ky +-=点A 到直线PQ 的距离为：22101211k d k k -+⋅-==++2222224432411k PQ k k ⎛⎫+=-= ⎪++⎝⎭()()222222222114431243143114343MPNQ 12k 1k 24k S MN PQ 2k k k k 112424+k 44k +++=⋅=⋅⋅=++++⎛⎫== ⎪++⎝⎭四边形83MPNQ 12S <<四边形（ii）当直线MN 的方程斜率不存在时容易算得：MPNQ S =12四边形所以83MPNQ 12S ≤<四边形21（本小题满分12分）已知函数2()()e (1)x f x x-2a x =+-有两个零点。
2016年高考数学押题精粹试题 理(全国卷)
2016年高考数学押题精粹试题 理（全国卷）本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。
选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。
1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()RA B 等于（）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x < 【答案】B 【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2RA x x =<，{}()|22.R A B x x =-<<2. 已知复数()4i1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】C 【解析】试题分析：41bi zi ＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b-=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限. 3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（）A.212- B.21- C.1 D.212+ 【答案】A 【解析】由()1i 1i i z-=-+=2i + ,得2i (2i)(1i)1i (1i)(1i)z +++==--+=2121i 22-++,所以z 的实部为212-,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（）A ．3y x = B. sin y x =-C ．21y x =+ D ．cos y x =【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x =在R 上都是增函数，只有选项B 符合.5.若()(),,,A a b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( ) A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd【答案】C 【解析】因为()(),,,Aa b B c d 在()ln f x x =图象上,所以ln b a = ,ln ,d c =所以ln ln ln b d a c ac +=+=,因此(),ac b d +在()ln f x x =图象上,故选C ．6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（） A.12B.22C.33D.32【答案】A 【解析】1,2,a c ==∴C 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1.27.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（）A.92 B.97 C.61 D.56【答案】D 【解析】由题意知1111x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足12-≥x y 的区域即为图中阴影部分，面积为()1231111102112()|33x dx x x --⨯+-=+-=⎰，所以所求概率为105346P ==，故选D ．8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（）A ．2B ．－12C ．－3D ．13【答案】A由程序框图知：2,1s i ==；123,212s i +==-=-；131,3132s i -==-=+;11()12,4131()2s i +-===--; 1132,511)3s i +===-……，可知S 出现周期为4， 当201745041i ==⨯+时，结束循环输出S ，即输出的2s =.9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2016，则输出的i 值为( )A.3B.4C.5D.6 【答案】A.3,2016;20162015,3,20162015;20151,2,20151;1,2016=====-==-===i b a i b a i b i a 结束，输出【解析】：运转程序， 10.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60︒，a 在+a b 上的投影等于 ( )A.2 B.2 C.3D.4＋2 3【答案】：C【解析】：a 在+a b 上的投影为2222() 3.||23()2⋅+====+++⋅+a a b a b a b a a b b11.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题：p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( )A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 3 【答案】D【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p 2，p 3 正确，故答案为D.i12.“牟合方盖”是我国古代数学家X徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（）【答案】B【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（）A.2333cmB.2233cmC.4763cmD.73cm【答案】A【解析】该几何体是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-截去一个三棱锥11C B EF-后所得的多面体，其体积为1123222112.323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=14.若数列{na}满足11na－－1=nda（dNn,*∈为常数），则称数列{na}为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于（） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【答案】B 【解析】∵数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴111111n n n nx x d x x ++--＝＝，∴{}n x 是等差数列. 又∵1220200x x x ++⋯+==12020()2x x +，∴12020x x +=.又120516516,20x x x x x x +=+∴+=.15.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《X 丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．21 B.158 C.3116 D.2916【答案】D【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知3029305390,2d ⨯⨯+=解得16.29d =16.在某次联考测试中，学生数学成绩X()()21000N σσ>,，若,8.0)12080(=<<X P 则)800(<<X P 等于（）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B【解析】由题意知(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P X P X <<=-⨯<<=，故选B ．17．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（）A.2544B.1332C.2532D.1320 【答案】A【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为()()221231*********A ++⨯⨯++=，(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为()()1212310011212A ++⨯⨯+=，那么可得符合条件的这些三位数之和为133212122544+=.18.已知()2cos 2,21x xf x ax x =+++若π()3f =2,则π()3f -等于（） A.2- B.1- C.0 D. 1 【答案】A【解析】因为()2cos 221xxf x ax x =+++,所以()()222cos 22121x x x x f x f x x --+-=++++212cos 212cos 22112x x xx x =++=+++,所以π()3f +π()3f -=1+2π2cos 3=0,所以ππ()() 2.33f f -=-=-19.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数【答案】C【解析】由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，所以2a b πϕ+=-，则()f a b +＝()122sin(2)2sin 3f x x πϕϕϕ-+==+=，即3sin 2ϕ=，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，在5(,)1212ππ-上，2(,)322x πππ+∈-，所以()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数，故选C ．20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（）A.2-B.3- C ．125 D.131- 【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c=交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（） A.3 B.3 C.2 D.2 【答案】D【解析】显然PF PA >,PF AF >,所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A (0)a ，,P 2()a abc c， ,所以2222()()()a ab a c a c c -+=-, 222222()()()()()a aa c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a+⇒+⨯=-22111 1.1e e e e +⇒+⨯=- 解得2e =.故选D.22.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（）A.22 B.2 C.322D.22 【答案】C【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及BF m =，∵3AF =，∴点A 到准线:1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1cos 3θ=，则22sin 3θ=．∵2cos()m m πθ=+-，∴23.1cos 2m θ==+∴AOB ∆的面积为1132232sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 23.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的X围是（）A ．1[,1)2B ．1(0]2，C ．2[,1)2D ．2(0]，【答案】B【解析】由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．24.已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π6【答案】A 【解析】DE BF ⋅=22115115()()224224CB CD CD CB CB CD CD CB --=⋅--=-.由2CD AB ==,1BC AD ==,可得1cos 2CB CD 〈〉=，,所以π3CB CD 〈〉=，,从而π3AB AD 〈〉=，.故选A.25.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3 【答案】D【解析】由题设条件对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0<a .由()()b f a f 32=有39322+=+a ，解之得26-=a ，故326+-=+b a ，选D. 26.函数2ln xy x=的图象大致为（）【解析】当01x <<时，ln 0x <，所以0y <，排除B 、C ；当1x >时，由于函数2y x =比ln y x =随x 的增长速度快，所以随x 的增大，2ln xy x=的变化也逐渐增大，排除A ，故选D ．27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（）A.3()2()43f f ππ>B.2()()64f f ππ>C.3()()63f f ππ<D.()12()sin16f f π<⋅【答案】C【解析】因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，则由()()tan f x f x x '<得sin ()()cos xf x f x x'<，即cos ()sin ()0xf x xf x '-<．令sin ()=()x F x f x ，则2sin cos ()sin ()()=()0()[()]x f x xf x F x f x f x '-''=<，所以()F x 在(0,)2π上递减，所以()()63F F ππ>，即sinsin63()()63f f ππππ>，即3()()63f f ππ<，故选C ． 28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值X 围是( ) A.(),e -∞ B.()e,+∞ C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,+∞ 【答案】B【解析】设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t -'= ,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e ,结合()g t 图象,可得110e ea a <<⇒> ,故选B. 29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,()1,3AC =,()3,1BD =-,则AB CD ⋅的最A.2B.4C.2-D.4- 【答案】C【解析】取(0,0)A ,则(1,3)C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则21213,1.x x y y ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩ 所以()()1122,3,1AB x y x y ==+- ,()221,3CD x y =--, 求得22223131()()2222AB CD x y -+⋅=++--≥-, 当1131,231,2x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩且2231,2312x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时,AB CD ⋅取到最小值2-,此时四边形ABCD 的对角线恰好相交于一点,故选C. 30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值X 围是（） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角 为30，则球O 的表面积为________．【答案】16π【解析】设正ABC ∆的外接圆圆心为1O ， 易知13AO =，在1Rt OO A ∆中，12cos30O AOA ==，故球O 的表面积为24216ππ⨯=.32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为1zy x m m=-+，因为1m >，所以110m -<-<，将函数1y x m =-的图象平移经过可行域时，在G 点12(,)33处y 取最大值，此时2z =，所以有12233m =+，解得52m =. 33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．【答案】2520- 【解析】由题意可知,11p =,22p =,34p =,48p =,51p =,62p =,74p =,88p =,91p =,102p =,114p =,128p =,131p =,……,又∵{}n p 是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,11q =-,21q =-,31q =,41q =-,51q =-,61q =,71q =-,81q =-,91q =,101q =-,111q =-,121q =,131q =-,……,又∵{}n q 是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{}n n p q ⋅,每12项的和循环一次,易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-,因此2016S 中有168组循环结构,故2016151682520S =-⨯=-．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-=.【答案】2015413-【解析】由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2n g n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++-，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++-＝113(21)n ++++-＋1(2)(4)(22)n g g g ++++-＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+，即(1)f n +－()4n f n =，分别取n 为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n nf n f +-=+++=-．又(1)(1)f g =＝1，所以4(1)(41)13nf n +=-+，所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++-＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-=． 35.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+. (1)求A ；(2)若a =ABC ∆的面积b c +.【答案】：（1）23π，（2）6b c +=. 【解析】：（1）由()2cos 14sin sin B C B C -=+，得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=. ∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=.（2）由（1）得23A π=.由S =12sin 823bc bc π=∴=.①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(22222cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②，得()2828b c +-=，∴6b c +=.36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .（1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.【答案】（1）45；（2）37． 【解析】（1）因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C 所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠5422102221027=⋅+⋅. （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD 解得5=BD . 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB 37.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n n b a =，求适合方程1223145 (32)n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值. 【答案】（1）31n a n =-；（2）10.【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d =或0d =（舍），故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=- (2)由（1）知331n b n =-，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n +==--+-+ 12231111111119...3(++)3(),2558313223264n n nb b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++依题有945,6432n n =+解得10.n =38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1(2)n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．【解析】(1)由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，由125,,a a a 成等比数列得2+)2(1a =1a (1a +8)，解得1a =1， ∴*21()n a n n N =-∈.（2）由(1)可得2(21)(2)(21)2nn n b n n =-⋅=-，∴1231...,n n n T b b b b b -=+++++即123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①，23121232...(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②，①-②可得23122(22...2)(21)2,n n n T n +-=++++-- ∴1(23)26n n T n +=-+.39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）①X0 1 2 3 4 5P53()5 14523()()55C 223523()()55C 332523()()55C 441523()()55C 52()5②()2,E X =6().5D X =【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 7010 80 合计1505020022200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.X 的分布列为：X12345P53()5 14523()()55C 223523()()55C 332523()()55C 441523()()55C 52()5②由于~(5,)5X B ,则()52,5E X =⨯=()5(1).555D X =⨯⨯-=40.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．【答案】（1） 1.5,A B x x ==21.5,A S =21.8;B S =（2）()0.02P C =.【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好.(2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”， 2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”， 1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”， 则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A PC P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1()A P C 6=60，2()=A P C 360，19()=60B P C ，26()60B P C =，故9663()=+0.0260606060P C ⨯⨯=．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25，理由见解析． 【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2EM -．易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =， 因为1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=，所以EM n ⊥， 又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ， 所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点， 所以OM ∥PB ，且12OM PB =． 又因为AE ∥PB ，且12AE PB =，所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． 所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅222222255(2)(22)()5984λλλλλ===⋅+-+⋅-+． 所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25． 42.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//； （2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．【答案】：（1）证明见解析；（2）4.3【解析】：（1）由题意：以点D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A B C E M ， ∴()2,0,1BM =-，平面ADEF 的一个法向量()0,4,0DC =，0BM DC ⋅=，∴BM DC ⊥，即//BM ADEF 平面．（2）设()()0,4,20,4,2EM tEC t t t ==-=-，故点()()0,4,2201M t t t -<<， 设平面BDM 的一个法向量()z y x n ,,1=，则()11220,4220DB n x y DM n ty t z ⋅=+=⋅=+-=．令1y =-，则121,1,1t n t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，易知平面ABF 的一个法向量()21,0,0n =， ∵121212cos ,62n n n n n n ⋅<>===⋅，解得12t =， ∴()1,2,0M 为BC 的中点，221==∆∆CDM DBM S S ，B 到面DEM 的距离2=h ， ∴14.33M BDE DEM V S h -∆=⋅⋅= 43.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）ax y 42=；（2）FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．【解析】（1） 椭圆)0(11222>=++a y a x 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=-．(,)MN m n =-，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ．设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． 由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --，同理得224(,)a T a y --．214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．(法二)①当AB x ⊥时，(,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =，:2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--．由2,y x x a=-⎧⎨=-⎩得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=．②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y ayA 、),4(222y a y B ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． 44.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 【解析】（1）依题意，得222,c ab a b c a ===+又解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. （2）A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)P x y ，则由题意，可得220013x y +=（1）， 且00(,)Q x y --，00()AP x y =，()AM m =-. 因为,,A P M 三点共线，所以APAM，故有00(x m =，解得m =；同理，可得n =.假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅=. 因为(,)RM t m =-，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即2000033033y y t x x --+⨯=-+，整理得2202033y t x =--，又由（1），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-.故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二： （1）同方法一；（2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2233(,)3131k P k k ++，2233(,)3131k Q k k --++. 设(0,)M m ，(0,)N n 又直线AP 的斜率12131k k =-+，直线AM 的斜率23k =-， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得23311k m k =+-同理，可得23311k n k =++，假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， 直线RM 的斜率3m k t =-，直线RN 的斜率4n k t=-， 所以341k k =-，故有2t mn =-，即22233311311k k t k k =+-++，整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，某某数a 的取值X 围（e 为自然常数）；（3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．【答案】：（1）当0>a 时，增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；（2）212e e a --≤；（3）见解析．【解析】：（1）)0()1()(>-='x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为]1,0(，单调减区间为),1[+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),1[+∞，单调减区间为]1,0(． （2）令()ln 34ln 1,F x a x ax ax x e a x x e =--+++-=++-.0)(=+='xax x F 若e a ≤-，e a -≥，)(x F []上在2,e e 是增函数，21,012)()(222max e e a e e a e F x F --≤≤+-+==无解． 若2e a e ≤-<，e a e -<≤-2，)(x F 在],[a e -上是减函数；在],[2e a -上是增函数，.1,01)(-≤≤+=a a e F ,21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+=.2122e e a e --≤≤-∴若2e a >-，2e a -<，)(x F 在],[2e e 上是减函数，1,01)()(max -≤≤+==a a e F x F ，.2e a -<∴综上所述.212e e a --≤（3）令1a =-（或1a =），此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， ∵2,N*n n ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈，只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234n n N n *++++++++<≥∈ 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()1 1.234223341n n n n++++++++<-+-+-+-=-<-所以原不等式成立 46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()xf x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）.（1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<. 【解答】：依题意，()[(1)()(1)()](),x x xf x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅- 令()()x h x a x e a =⋅-，则()(1)xh x a x e '=+⋅.（1）①当0x <时，0xx e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点；②当0x ≥时，由()(1)0xh x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点.又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>，所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点. 综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. （2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <）， 所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <.令()(1)0xh x a x e '=+⋅=得1x =-； 令()(1)0xh x a x e '=+⋅>得1x <-； 令()(1)0xh x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<.令()()0tf t a t e a '=⋅-=，解得ta t e =⋅，此时22232()(1)()(1)()(1)(2)t t t t t t f t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+.因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点， 所以12321111()(2)x f x ex x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)t e t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)t g t e t t t =--+，则22()(1)(21)t g t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0tt t e ->-<>，所以'()0g t >，则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e=<-=， 又因为122111()(1)0x f x ex x =-->，所以1240()f x e <<. 当10t -<<时，因为2210,210,0tt t e -<-<>，所以'()0g t <，则()g t 在(1,0)-单调递减，TAB CD MNTA B CDMN因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e =<=<-=. 综上知，1240()f x e<<且2240()f x e <<． 47.（本小题满分10分） 从下列三题中选做一题 (1).选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, 同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠, 所以//AB CD .（2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠， 又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠.在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠, 因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TD MC TC=,由//AB CD 知TD BDTC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅. (2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14AB =,求直线l 的倾斜角α的值．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=. （2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=, 化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩ ∴()2212121244cos 1214AB t t t t t t α=-=+-=+= ∴24cos 2α=,2cos α=,4πα=或34π． (3)选修4-5：不等式选讲 设函数()121f x x x =--+的最大值为m .（1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值. 【答案】（1）2m =；（2）1．【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤；当11x -<<时，()132f x x =--<；当1x ≥时，()34f x x =--≤-，故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，当且仅当22a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1. 48.（本小题满分12分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．（1）求证：PC PD =AC BD； （2）若AC=3，求AP •AD 的值．【解析】（1）∵∠CPD=∠ABC ，∠D=∠D ，∴△DPC ～△DBA ，∴PC PD =AB BD ，又∵AB=AC ，∴PC PD =AC BD. （2）∵∠ACD=∠APC ，∠CAP=∠CAP ，∴△APC ∽△ACD.∴AP AC =AC AD，∴.92=⋅=AD AP AC (2)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C .(1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值X 围.【解答】（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , 即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈.(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数）， 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . (3)选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆．（1）某某数m 的取值X 围B ；（2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c++=, 求证：9232a b c ++≥. 【解析】：（1）因为()|2|,f x m x =--所以(2)1f x +≥等价于1x m ≤-,由[]1,1A -⊆知A 是非空集合,所以11m x m -≤≤-,结合[]1,1A -⊆可得112m m -≥⇒≥,即实数m 的取值X 围是[)2,.B =+∞（2）由（1）知02m =,所以1112,23a b c ++=()11112323223a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭219232223a b c a b c ≥=.。
2016年天津市高考数学压轴卷(理科)(解析版)
2016年天津市高考数学压轴卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．03．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法4．已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等5．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③6．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．7．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．608．设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．10．若，则常数T的值为．11．设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．12．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为．13．已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．14．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．16．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．17．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．18．已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．20．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．2016年天津市高考数学压轴卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．2．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B．3．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【考点】分层抽样方法．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．4．已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．【解答】解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D．5．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①由球的体积公式V=可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：①由球的体积公式V=可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故①正确；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d==半径r，故直线x+y+1=0与圆相切，③正确．故选C．6．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i 的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．7．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．8．设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．【考点】复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．10．若，则常数T的值为3．【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解：==9，解得T=3，故答案为：3．11．设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．【解答】解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．12．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为8．【考点】与圆有关的比例线段；直角三角形的射影定理．【分析】设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，进而得到的值．【解答】解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，∵AB=3AD，∴AD=2x，BD=4x，OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D，在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，故==8故答案为：813．已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．【考点】等比数列的前n项和．【分析】通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．14．设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x 的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．16．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC．（II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．【解答】解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l．而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．由，作DQ∥CP，且．连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，从而．（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有．于是，∴=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面BEF的一个法向量为，所以由可得取=（0，c，b），于是，从而．故，即sinθ=sinαsinβ．17．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==18．已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得解得故．（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，从而故．综上，对任何正整数m，总有．故不存在正整数m，使得成立．19．设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．20．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．【解答】（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．2016年7月12日。
2016年高考数学选填压轴题真题(含标准答案)
201６年高考数学选填压轴题真题(含答案)一.选择题(共２3小题)１．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交Ｃ的准线于D、Ｅ两点.已知|AＢ|＝4,|DE｜＝２,则C的焦点到准线的距离为（)A.2B.4ﻩC．6 D．８２.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是( )A．1７πﻩB.18πﻩC.20π D.28π3.平面α过正方体ABCＤ﹣A１B1Ｃ1D1的顶点Ａ，α∥平面CB１D１，α∩平面ABCD ＝m,α∩平面AＢB1Ａ1=n，则m、n所成角的正弦值为( ）A．ﻩB.ﻩC．D．4.已知函数ｆ(x)=sin（ωx+φ）（ω＞0,|φ|≤），x=﹣为f（x)的零点,x=为y ＝f(x）图象的对称轴，且f（x)在（，)上单调，则ω的最大值为( ）A．1１B．9ﻩC.7 D.55．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为（)A．20πＢ．２４πﻩC．28π D.32π6．已知F1，F2是双曲线Ｅ：﹣＝1的左，右焦点,点M在E上,ＭF1与x轴垂直,sin∠MＦ2F1=，则Ｅ的离心率为( ）A.Ｂ．ﻩC．ﻩＤ．２７.已知函数f（x)（x∈Ｒ）满足f（﹣ｘ)=2﹣f(x)，若函数y＝与ｙ=ｆ(x)图象的交点为(ｘ1，ｙ1),（x２，y2),…,（x m,y m),则（x i＋y i)=（)A.0B.mﻩC．2ｍﻩD．4m8．若函数f(x）＝x﹣sin2x＋ａsiｎx在(﹣∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( ）A.[﹣1，1］ﻩB.［﹣1，］ﻩC．[﹣,]ﻩD.[﹣1，﹣]｝如下：{a n｝共有2m项,其中m项为０,ｍ项为1，且９.定义“规范01数列”{aｎ对任意k≤2ｍ,a1，a2，…,aｋ中0的个数不少于1的个数,若m=4，则不同的“规范01数列”共有( ）A.18个ﻩＢ．16个Ｃ.１４个Ｄ.1２个１0．已知O为坐标原点，F是椭圆C:+=1(a＞b＞0)的左焦点,A，B分别为C的左，右顶点.Ｐ为C上一点，且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（)A.ﻩB.ﻩC.ﻩD.11.在封闭的直三棱柱ＡBC﹣Ａ1Ｂ１C1内有一个体积为V的球，若ＡB⊥BＣ,AB＝6，BC=8,AA1=３，则V的最大值是()Ａ．4πB． C.６π D.12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ）。
2016新课标Ⅰ高考理科数学压轴卷包含答案
新课标Ⅰ高考理科数学压轴卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1已知集合M ＝{1，2，3，4}，则集合P ＝{x|x ∈M ，且2x ∉M}的子集的个数为( ) A ．8 B ．4 C ．3 D ．22. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=A. 13iB. 13i -C. 1312i +D. 1213i +3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法( )A.10B.16C.20D.244.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A.2-B.3-C.2D.35.过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率 为( ) A ．B ．C ．D ．6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年 商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图 所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4 7. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =， 则输出的b =( ) A. 45B. 47C. 49D. 518.函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线 x a =对称，则a 可能是( )A.24πB.12π C. 8π D.1124π9已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A 、1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B 、1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C 、()0,+∞D 、(),0-∞10 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0，x ＋y≥0，x≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－1，3]C ．[－1，2]D ．[2，3]11. .过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C 22(4)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ,则22||||PM PN -的最小值为( )A. 10B. 13C. 16D. 1912. 已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l ( )（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13.已知sin 0a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．14. F 1，F 2分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且11()2OB OA OF =+， 21()2OC OA OF =+则||||OB OC +＝ .15过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度____________.16.设数列{a n }是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b ∈[0，1），f n （x ）=b 总有两个不同的根，则{a n }的通项公式为 _________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2016高考数学压轴解答题强化训练(一)
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
压轴解答题强化训练(一)解析几何(建议用时：45分钟)1.(2014·烟台模拟)已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点.(1)如图所示，若=，求直线l的方程.(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值.【解析】由题知抛物线方程为y2=4x，设直线方程为x=my+4，并设A(，y1)，B(，y2).(1)因为=，所以y1=-y2.联立可得y2-4my-16=0，有解得：y1=-2，y2=8，m=，所以直线方程为2x-3y-8=0.(2)可求得对称点P(，)，代入抛物线中可得：m=〒1，直线l方程为x=〒y+4，考虑到对称性不妨取x=y+4，椭圆设为+=1(λ>1).联立直线和椭圆并消元整理得(2λ-1)y2+8(λ-1)y-λ2+17λ-16=0，因为椭圆与直线有交点，所以Δ≥0，即64(λ-1)2+4(λ-1)(λ-16)(2λ-1)≥0，解得λ≥(λ≤0舍去)，即a2≥，解得：a≥，所以长轴长的最小值为.2.(2014·珠海模拟)已知抛物线C：x2=y，直线l与抛物线C交于A，B不同两点，且+=(p，6).(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)设直线m为线段AB的中垂线，请判断直线m是否恒过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.(3)记点A，B在x轴上的射影分别为A1，B1，记曲线E是以A1B1为直径的圆，当直线l与曲线E相离时，求p的取值范围.【解析】(1)抛物线的焦点坐标为(0，)，准线方程为：y=-.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，因为A，B是不同的两点，所以x A≠x B且l不与x 轴垂直，因为+=(p，2).所以x A+x B=p，+=6，所以AB中点的坐标为，3，所以k1=k AB==x A+x B=p，当p≠0时，直线m的斜率k m=-=-，所以直线m的方程为：y-3=-x-，即y=-x+，令x=0得：y=，即直线m过定点0，；当p=0时，直线m的方程为x=0，也过定点0，.(3)由(2)可设直线AB的方程为：y-3=p x-，即y=px+3-，联立消去y得：x2-px+-3=0，所以即所以|A1B1|=|x1-x2|===，所以以A1B1为直径的圆的方程为(x-)2+y2=，当直线l与曲线E相离时，圆心到直线l的距离d>r，即>.所以>，即6>·，即36>(12-p2)(p2+1)，所以p4-11p2+24>0，即(p2-3)·(p2-8)>0，所以p2>8或p2<3，又p2<12，且p2≥0，所以0≤p2<3或8<p2<12，即-<p≤0，或0≤p<，或-2<p<-2，或2<p<2，p∈(-，)∪(-2，-2)∪(2，2)，所以当直线l与曲线E相离时.p的范围为(-，)∪(-2，-2)∪(2，2).3.(2014·长沙模拟)设直线l：y=k(x+1)(k≠0)与椭圆3x2+y2=a2(a>0)相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.(1)证明：a2>.(2)若=2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.【解析】(1)由y=k(x+1)得x=y-1，将x=y-1代入3x2+y2=a2消去x得(+1)y2-y+3-a2=0. ①由直线l与椭圆相交于两个不同的点得Δ=-4(+1)(3-a2)>0，整理得+1a2>3，即a2>.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①，得y1+y2=，因为=2，而点C(-1，0)，所以(-1-x1，-y1)=2(x2+1，y2)，得y1=-2y2，代入上式，得y2=.于是，△OAB的面积S=|OC||y1-y2|=|y2|=≤=.其中，上式取等号的条件是k2=3，即k=〒.由y2=，可得y2=〒.将k=，y2=-及k=-，y2=这两组值分别代入①，均可解出a2=15.所以△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15.4.(2014·宁波模拟)如图，设椭圆+=1(a>b>0)长轴的右端点为A，短轴端点分别为B，C，另有抛物线y=x2+b.(1)若抛物线上存在点D，使四边形ABCD为菱形，求椭圆的方程.(2)若a=2，过点B作抛物线的切线，切点为P，直线PB与椭圆相交于另一点Q，求的取值范围.【解析】(1)由四边形ABCD是菱形，得D(a，a2+b)，且解得a=，b=，所以椭圆方程为3x2+9y2=1.(2)不妨设P(t，t2+b)(t≠0)，因为y′|x=t=2t，所以PQ的方程为y=2t(x-t)+t2+b，即y=2tx-t2+b.又因为直线PQ过点B，所以-t2+b=-b，即b=.所以PQ的方程为y=2tx-.联立方程组消去y，得(t2+64)x2-32tx=0.所以点Q的横坐标为x Q=，所以==+1.又t2=2b∈(0，4)，所以的取值范围为(1，).关闭Word文档返回原板块。
2016江苏高考数学压轴题含答案
2016江苏高考数学压轴题（含答案）2016江苏高考压轴卷数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）1.若集合，，则．2.若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数．3.若原点和点在直线的异侧，则的取值范围是．4.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为.5.右图是一个算法流程图，则输出的的值为．6.从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是.7.若且是第二象限角，则.8.正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为.9.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为.10.不等式组所表示的区域的面积为.11.已知外接圆的半径为2，圆心为，且，，则的值等于．12.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记（1，2，…，10），则．13.在等差数列中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则．二、解答题15.（本小题满分14分）（本大题满分14分）如图，在△中，点在边上，，，，．（1）求的长；（2）求△的面积．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E 为侧棱PA的中点．（1）求证：PC//平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．17.（本大题满分14分）如图，，是海岸线，上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线，的距离分别为，．测得，．以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以小时的平均速度在水上旅游线航行（将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过）．（1）问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？（2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点的坐标．18.（本大题满分16分）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，（，不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，，证明：为定值；（3）若，是椭圆上不同的两点，轴，圆过，，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆．试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．19.已知函数．（1）当时，求的单调减区间；（2）若存在m0，方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值．20.（本大题满分16分）已知数列的通项公式为，其中，，．（1）试写出一组，的值，使得数列中的各项均为正数；（2）若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值；（3）若，数列满足，其前项和为，且使(，，)的和有且仅有4组，，，…，中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求，的最小值．数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC 于点D，过D作DEBC，垂足为E，连接AE交⊙O 于点F．求证：BECE＝EFEA．B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数)，求直线被曲线所截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设均为正数，且，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．23.（本小题满分10分）若存在个不同的正整数，对任意，都有，则称这个不同的正整数为“个好数”．（1）请分别对，构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数，均存在“个好数”．答案与提示一、填空题1.2.3.4.0.0325.6.457.8.49.510.161.1212.18013.2001 4.9解析：11.如图，取BC中点D，联结AD，则，又因为，所以O为BC的中点，因为，所以是等边三角形，，因为ABC外接圆的半径为2，所以，，所以，故答案为12.12.延长，，则，又，所以，即，则，则，故答案为180.13.等差数列中的连续10项为，遗漏的项为且则，化简得，所以，，则连续10项的和为，故答案为200.14.令，在同一坐标系下作出两函数的图像：①如图(1)，当的在轴上方时，，，但对却不恒成立；②如图(2)，，令得，令得，要使得不等式在上恒成立，只需，，.综上，，故答案为9．二、解答题15.解：（1）在△中，因为，设，则．在△中，因为，，，所以．在△中，因为，，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为5.（2）由（Ⅰ）求得，．所以，从而．所以．16.证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．因为PC/平面BDE，OE平面BDE，所以PC//平面BDE．（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE平面BDE，DE平面BDE，OE∩DE ＝E，所以PA⊥平面BDE．因为PA平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．17.解：（1）由已知得，直线的方程为，设，由及图得，，直线的方程为，即，由得即，，即水上旅游线的长为．游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间．（2）解法一：点到直线的垂直距离最近，则垂足为.由（1）知直线的方程为，，则直线的方程为，所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）．解法2：设游轮在线段上的点处，则，，．，，，当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为(1，5).18.解：（1）由题意得，，所以又点在椭圆上，所以解得所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，设点则直线的方程为①直线的方程为②把点的坐标代入①②得所以直线的方程为令得令得所以又点在椭圆上，所以即为定值．（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，设点则圆的方程为由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是设点是椭圆上任意一点，则当时，最小，所以①假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则②又点在椭圆上，所以③由①②③得或当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意. 综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是19.解：（1）当时，当时，，由，解得，所以的单调减区间为，当时，，由，解得或，所以的单调减区间为，综上：的单调减区间为，．（2）当时，，则，令，得或，x+0－0+↗极大值↘极小值↗所以有极大值，极小值，当时，同（1）的讨论可得，在上增，在上减，在上增，在上减，在上增，且函数有两个极大值点，，，且当时，，所以若方程恰好有正根，则（否则至少有二个正根）．又方程恰好有一个负根，则．令，则，所以在时单调减，即，等号当且仅当时取到．所以，等号当且仅当时取到．且此时，即，所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为．20.解：（1）、（答案不唯一）．（2）由题设，．当，时，均单调递增，不合题意，因此，．当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增．由题设，有，．于是由及，可解得．因此，的值为7，8，9，10，11．（4）因为，且，所以因为（，，），所以、．于是由，可得，进一步得，此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．又，，…，中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设，于是有，因为当时，，所以，因此，，即的最小值为．21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD．因为AB为直径，所以BD⊥AC．因为AB＝BC，所以AD＝DC．因为DEBC，ABBC，所以DE∥AB，所以CE＝EB．因为AB是直径，ABBC，所以BC是圆O的切线，所以BE2＝EFEA，即BECE＝EFEA．B．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵的特征多项式为，由，解得，．当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量.当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量．C．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C的直角坐标方程为，圆心为，半径为，直线的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离为，所以弦长．D．选修4—5：不等式选讲因为x＞0，y＞0，x－y＞0，，=，所以．22．（本小题满分10分）解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P＝C1323(13)2(12)3＋C23(23)2(13)C13(12)3＋C33(23)3C23(12)3＝1136．（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以ξ的概率分布列为ξ0123P7241124524124所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．分23.（本小题满分10分）解：（1）当时，取数，，因为，当时，取数，，，则，，，即，，可构成三个好数．（2）证：①由（1）知当时均存在，②假设命题当时，存在个不同的正整数，其中，使得对任意，都有成立，则当时，构造个数，，（*）其中，若在（*）中取到的是和，则，所以成立，若取到的是和，且，则，由归纳假设得，又，所以是A的一个因子，即，所以，所以当时也成立．所以对任意正整数，均存在“个好数”.。
2016年江苏高考压轴卷数学含解析
(图1)2015江苏高考压轴卷数 学一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .3.右图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂=则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥； ③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .图28.已知命题()()2:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数2()(,,)1bx cf x a b c R x ax +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a .10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足 ()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是图3二、 解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()(1sin,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+，且.n m ⊥ （1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB∥DC，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？ABCMPD图4 公 路HG F E DC B A 图518. 如图6，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．P（第21 - A 题）（第22题）21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．2015江苏高考压轴卷数学答案一、填空题 1.5 2..{}0,1- 3.2 4.),2()2,1(+∞ 5.7.2 6. ①③ 7. 8.149.4 10. ),1(4481,+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞- 11. []0,π 12.)1,31()21,1( -- 13.2047 14. []1,0-提示：1.i z +-=2，则i z --=2，则5)1()2(22=-+-=z .2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又{}3,,0,1-=A ，所以{}0,1-=B A .3. 当4-=x 时，34>-，则7=x ；当7=x 时，37>，4=x ；当4=x 时，34>，1=x ；当1=x 时，31>不成立，则输出221==y .4.要使原式有意义，则⎩⎨⎧≠->-1101x x ，即1>x 且2≠x .5.2出现44.010=⨯次，5出现22.010=⨯次，8出现44.010=⨯次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。
2016江苏高考数学压轴题含答案
2016江苏高考数学压轴题（含答案）2016江苏高考压轴卷数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）1.若集合，，则．2.若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数．3.若原点和点在直线的异侧，则的取值范围是．4.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为.5.右图是一个算法流程图，则输出的的值为．6.从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是.7.若且是第二象限角，则.8.正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为.9.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为.10.不等式组所表示的区域的面积为.11.已知外接圆的半径为2，圆心为，且，，则的值等于．12.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记（1，2，…，10），则．13.在等差数列中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则．二、解答题15.（本小题满分14分）（本大题满分14分）如图，在△中，点在边上，，，，．（1）求的长；（2）求△的面积．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E 为侧棱PA的中点．（1）求证：PC//平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．17.（本大题满分14分）如图，，是海岸线，上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线，的距离分别为，．测得，．以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以小时的平均速度在水上旅游线航行（将航线看作直线，码头在第一象限，航线经过）．（1）问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟？（2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点的坐标．18.（本大题满分16分）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，（，不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，，证明：为定值；（3）若，是椭圆上不同的两点，轴，圆过，，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆．试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．19.已知函数．（1）当时，求的单调减区间；（2）若存在m0，方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值．20.（本大题满分16分）已知数列的通项公式为，其中，，．（1）试写出一组，的值，使得数列中的各项均为正数；（2）若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值；（3）若，数列满足，其前项和为，且使(，，)的和有且仅有4组，，，…，中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求，的最小值．数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC 于点D，过D作DEBC，垂足为E，连接AE交⊙O 于点F．求证：BECE＝EFEA．B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数)，求直线被曲线所截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设均为正数，且，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．23.（本小题满分10分）若存在个不同的正整数，对任意，都有，则称这个不同的正整数为“个好数”．（1）请分别对，构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数，均存在“个好数”．答案与提示一、填空题1.2.3.4.0.0325.6.457.8.49.510.161.1212.18013.2001 4.9解析：11.如图，取BC中点D，联结AD，则，又因为，所以O为BC的中点，因为，所以是等边三角形，，因为ABC外接圆的半径为2，所以，，所以，故答案为12.12.延长，，则，又，所以，即，则，则，故答案为180.13.等差数列中的连续10项为，遗漏的项为且则，化简得，所以，，则连续10项的和为，故答案为200.14.令，在同一坐标系下作出两函数的图像：①如图(1)，当的在轴上方时，，，但对却不恒成立；②如图(2)，，令得，令得，要使得不等式在上恒成立，只需，，.综上，，故答案为9．二、解答题15.解：（1）在△中，因为，设，则．在△中，因为，，，所以．在△中，因为，，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为5.（2）由（Ⅰ）求得，．所以，从而．所以．16.证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．因为PC/平面BDE，OE平面BDE，所以PC//平面BDE．（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE平面BDE，DE平面BDE，OE∩DE ＝E，所以PA⊥平面BDE．因为PA平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．17.解：（1）由已知得，直线的方程为，设，由及图得，，直线的方程为，即，由得即，，即水上旅游线的长为．游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间．（2）解法一：点到直线的垂直距离最近，则垂足为.由（1）知直线的方程为，，则直线的方程为，所以解直线和直线的方程组，得点的坐标为（1，5）．解法2：设游轮在线段上的点处，则，，．，，，当时，离景点最近，代入得离景点最近的点的坐标为(1，5).18.解：（1）由题意得，，所以又点在椭圆上，所以解得所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，设点则直线的方程为①直线的方程为②把点的坐标代入①②得所以直线的方程为令得令得所以又点在椭圆上，所以即为定值．（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，设点则圆的方程为由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是设点是椭圆上任意一点，则当时，最小，所以①假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则②又点在椭圆上，所以③由①②③得或当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意. 综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是19.解：（1）当时，当时，，由，解得，所以的单调减区间为，当时，，由，解得或，所以的单调减区间为，综上：的单调减区间为，．（2）当时，，则，令，得或，x+0－0+↗极大值↘极小值↗所以有极大值，极小值，当时，同（1）的讨论可得，在上增，在上减，在上增，在上减，在上增，且函数有两个极大值点，，，且当时，，所以若方程恰好有正根，则（否则至少有二个正根）．又方程恰好有一个负根，则．令，则，所以在时单调减，即，等号当且仅当时取到．所以，等号当且仅当时取到．且此时，即，所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为．20.解：（1）、（答案不唯一）．（2）由题设，．当，时，均单调递增，不合题意，因此，．当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增．由题设，有，．于是由及，可解得．因此，的值为7，8，9，10，11．（4）因为，且，所以因为（，，），所以、．于是由，可得，进一步得，此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．又，，…，中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设，于是有，因为当时，，所以，因此，，即的最小值为．21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD．因为AB为直径，所以BD⊥AC．因为AB＝BC，所以AD＝DC．因为DEBC，ABBC，所以DE∥AB，所以CE＝EB．因为AB是直径，ABBC，所以BC是圆O的切线，所以BE2＝EFEA，即BECE＝EFEA．B．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵的特征多项式为，由，解得，．当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量.当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量．C．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C的直角坐标方程为，圆心为，半径为，直线的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离为，所以弦长．D．选修4—5：不等式选讲因为x＞0，y＞0，x－y＞0，，=，所以．22．（本小题满分10分）解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P＝C1323(13)2(12)3＋C23(23)2(13)C13(12)3＋C33(23)3C23(12)3＝1136．（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以ξ的概率分布列为ξ0123P7241124524124所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．分23.（本小题满分10分）解：（1）当时，取数，，因为，当时，取数，，，则，，，即，，可构成三个好数．（2）证：①由（1）知当时均存在，②假设命题当时，存在个不同的正整数，其中，使得对任意，都有成立，则当时，构造个数，，（*）其中，若在（*）中取到的是和，则，所以成立，若取到的是和，且，则，由归纳假设得，又，所以是A的一个因子，即，所以，所以当时也成立．所以对任意正整数，均存在“个好数”.。
二次函数压轴题(带详细答案)
二次函数压轴题强化训练（带详细答案）一．解答题（共30小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y 轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B （4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小并求出最小值及此时PQ的长．6．（2013•天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NO B的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．7．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2013•德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．9．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y 轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．10．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形若存在，请求出点P的坐标及此时△PED 与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．12．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．13．（2014•广元）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A （3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．14．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少15．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．16．（2013•防城港）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．17．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．18．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．19．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．20．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB 沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．23．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．24．（2013•武汉）如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y=﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．25．（2013•遂宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l 与x的函数关系式，并求出l的最大值．26．（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形27．（2006•重庆）已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．28．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．29．（2014•白银）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．30．（2014•宿迁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．二次函数压轴题强化答案一．解答题（共30小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y 轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x由勾股定理得：x=3∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA﹣QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA﹣QO|取得最小值0．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+分）设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．（5分）∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B （4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）因为直线y=x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，∴4=3+m．∴m=1．设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，∴4=a（3﹣1）2，∴a=1．∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．即y=x2﹣2x+1．（2）设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE=h=y P﹣y E=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）=﹣x2+3x．即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．∵点D在直线y=x+1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x=2．即x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE的函数关系式为y=x+b．∵直线CE经过点C（1，0），∴0=1+b，∴b=﹣1．∴直线CE的函数关系式为y=x﹣1．∴得x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算．4．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m，﹣m+4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，情况：①P点在F上，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②P点在F下，PF=4﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣m 若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（m2﹣m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=（不合题意舍去）．∵∠CFP=90°，∴∠CPM=∠CFP+FCM＞90°，∴△CPM为钝角三角形；③若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x 轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小并求出最小值及此时PQ的长．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；（2）易得D的坐标，过D作DN⊥OB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3）根据（2）的结论，易得△OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长．【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），∴0=9a+3，∴a=﹣（1分）∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+；（3分）（2）①∵D为抛物线的顶点，∴D（1，3），过D作DN⊥OB于N，则DN=3，AN=3，∴AD==6，∴∠DAO=60°．（4分）∵OM∥AD，①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，∴OP=6，∴t=6（s）．（5分）②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）∴OP=DH=5，t=5（s）（6分）③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：△AOH≌△DPP′，∴AH=CP，∴OP=AD﹣2AH=6﹣2=4，∴t=4（s）综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7分）（3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，∴OQ=6﹣2t（0＜t＜3）过P作PE⊥OQ于E，则PE=t（8分）∴S BCPQ=×6×3×（6﹣2t）×t=（t﹣）2+（9分）当t=时，四边形BCPQ的面积最小值为．（10分）∴此时OQ=3，OP=，OE=；∴QE=3﹣=，PE=，∴PQ=．（11分）【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．。
2016年华中名校高考数学押题卷(理科) 含解析
2016年华中名校高考数学押题卷（理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1．已知集合M=｛x｜﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a｝,若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2,+∞) C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]2．已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i)=7+ni，则（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于( )A． B． C．1 D．4．已知数列｛a n}的通项为a n=n2﹣2λn，则“λ＜0”是“∀n∈N*，a n+1＞a n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图给出的是计算的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8 B．i＞9 C．i＞10 D．i＞116．设等差数列｛a n}满足a2=7，a4=3,S n是数列{a n｝的前n项和,则使得S n＞0最大的自然数n是（）A．9 B．10 C．11 D．127．过点(）引直线l与曲线y=相交于A，B 两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B． C． D．8．如图，函数f（x)=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0)，为线段QR的中点，则A的值为（)A．B．C．D．9．已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y=e x的图象上，那么实数a的取值范围为（）A．［e，4）B．［e，+∞）C．［1，3）D．［2，+∞）10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，||=｜｜=||=1，，A（1，1）,则的取值范围( ）A．［﹣1﹣，﹣1] B．［﹣﹣，﹣+］C．［﹣，+] D．[1﹣，1+]11．已知双曲线﹣=1的离心率为e=2，右焦点F到其渐进线的距离为，抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点F重合．过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点,正三角形ABC的顶点C在直线x=﹣1上，则△ABC的边长是（）A．8 B．10 C．12 D．14。
2016新课标1高考压轴卷 数学(理1) 含答案解析
2016新课标Ⅰ高考压轴卷数学理本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}{}1,ln(2)A x x B x y x =≥-==-则R AC B =A ．[一1，2）B ．[2，+∞）C ．[一l ，2]D ．[一1，+∞） 2.在复平面内，复数错误！未找到引用源。
所对应的点位于( ) （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3.已知函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是( )A ．f （x ）=﹣x 3B ．f （x ）=+x 3C ．f （x ）=﹣x 3D ．f （x ）=﹣﹣x 34.已知双曲线c ：=1（a ＞b ＞0），以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN|=2a ，则双曲线C 的离心率是( ) A ．B ．C ．2D ．5.如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )A．B．C．D．6.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A．B．C．D．7.函数y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值为（）A．B． C． D．8.若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是( )A． B．0 C．D．9.已知a，b都是负实数，则的最小值是( )A．B．2（﹣1）C．2﹣1 D．2（+1）10.如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是( )A．48 B．24C．16 D．811.设P（x，y）是函数y=f（x）的图象上一点，向量=（1，（x﹣2）5），=（1，y﹣2x），且满足∥，数列{a n }是公差不为0的等差数列，若f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 9）=36，则a 1+a 2+…+a 9=( ) A ．0B ．9C ．18D ．3612.已知函数f （x ），当x ∈（0，1]时满足如下性质：f （x ）=2lnx 且1()2()f x f x =，若在区间1[,3]3内，函数g （x ）=f （x ）﹣ax ，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.设a=dx ，则二项式展开式中的常数项为 ．14.已知向量=（1，2n ），=（m+n ，m ）（m ＞0，n ＞0），若，则m+n 的最小值为 ．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C=π，sinA=，c ﹣a=5﹣，则b= ．16.已知点)0,4(M ，点P 在曲线x y 82=上运动，点Q 在曲线1)2(22=+-y x 上运动，则PQPM 2的最小值是 .三，解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且满足a 1+a 2+a 3=9，b 1b 2b 3=27． （1）若a 4=b 3，b 4﹣b 3=m ．①当m=18时，求数列{a n }和{b n }的通项公式； ②若数列{b n }是唯一的，求m 的值；（2）若a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n }的公差d 的最大值．18.某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B 、C 、D 三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B 、C 、D 测试合格的概率分别为，，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是． （Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；（Ⅱ）假设小李选择测试点B 、C 进行测试，小王选择测试点B 、D 进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ． 19.如图：是直径为2的半圆，O 为圆心，C 是上一点，且．DF ⊥CD ，且DF=2，BF=2，E 为FD 的中点，Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点，且FR=3RC ． （Ⅰ）求证：QR ∥平面BCD ；（Ⅱ）求平面BCF 与平面BDF 所成二面角的余弦值．20.已知椭圆C ：1x 2222=+by a （a ＞b ＞0）经过点（1，23），离心率为23．（1）求椭圆C 的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P （0，31），若cos ∠APB=﹣31，求直线l 的方程． 21.已知函数f （x ）=+ax ，x ＞1．（Ⅰ）若f （x ）在（1，+∞）上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若a=2，求函数f （x ）的极小值； （Ⅲ）若存在实数a 使f （x ）在区间（）（n ∈N *，且n ＞1）上有两个不同的极值点，求n 的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知△ABC 中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B=60°，F 在AC 上， 且AE=AF ．（1）证明：B ，D ，H ，E 四点共圆； （2）证明：CE 平分∠DEF．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线错误！未找到引用源。
2016年高考数学压轴解答题强化训练(二)
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
压轴解答题强化训练(二)函数与导数(建议用时：60分钟)1.(2014·日照模拟)已知函数f(x)=e x+ax(a∈R)，g(x)=e x lnx(e为自然对数的底数).(1)设曲线y=f(x)在x=1处的切线为l，若l与点(1，0)的距离为，求a的值.(2)若对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立，试确定a的取值范围.(3)当a=-1时，函数M(x)=g(x)-f(x)在[1，e]上是否存在极值?若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)f′(x)=e x+a，f(1)=e+a.y=f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=e+a，所以切线l的方程为y-(e+a)=(e+a)(x-1)，即(e+a)x-y=0.又切线l与点(1，0)距离为，所以=，解之得，a=-e+1或a=-e-1.(2)因为对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立，所以若x=0，则a为任意实数时，f(x)=1>0恒成立；若x>0，f(x)=e x+ax>0恒成立，即a>-在x>0上恒成立，设Q(x)=-，则Q′(x)=-=，当x∈(0，1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，+≦)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，+≦)上单调递减；所以当x=1时，Q(x)取得最大值，Q(x)max=Q(1)=-e，所以a的取值范围为(-e，+≦).综上，对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立的实数a的取值范围为(-e，+≦).(3)依题意，M(x)=e x lnx-e x+x，所以M′(x)=+e x lnx-e x+1=·e x+1，设h(x)=+lnx-1，则h′(x)=-+=，当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，故h(x)在[1，e]上是单调增函数，因此h(x)在[1，e]上的最小值为h(1)=0，即h(x)=+lnx-1≥h(1)=0，又e x>0，所以在[1，e]上，M′(x)=·e x+1>0，即M(x)=g(x)-f(x)在[1，e]上不存在极值.【加固训练】(2014·佛山模拟)已知函数f=x-lnx.(1)若a=1，求f在点处的切线方程.(2)求函数f的极值点.(3)若f>0恒成立，求a的取值范围.【解析】f的定义域为.(1)若a=1，则f=x-lnx，此时f=2.因为f′=2x+1-，所以f′=，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-2=，即5x-2y-1=0.(2)由于f=x-lnx，x∈.①当a≥0时，f=x2+ax-lnx，f′=2x+a-=，令f′=0，得x1=>0，x2=<0(舍去)，且当x∈时，f′<0；当x∈时，f′>0，所以f在上单调递减，在上单调递增，f的极小值点为x=.②当a<0时，f=(ⅰ)当x≥-a时，f′=，令f′=0，得x1=，x2=<-a(舍去).若≤-a，即a≤-，则f′≥0，所以f在上单调递增；若>-a，即-<a<0，则当x∈时，f′<0；当x∈时，f′>0，所以f在区间上单调递减，在上单调递增.此时f(x)的极小值点为x=.(ⅱ)当0<x<-a时，f′=-2x-a-=.令f′=0，得-4x2-2ax-1=0，记Δ=4a2-16，若Δ≤0，即-2≤a<0时，f′≤0，所以f在上单调递减；若Δ>0，即a<-2时，则由f′=0得x3=，x4=且0<x3<x4<-a，当x∈时，f′<0；当x∈时，f′>0；当x∈时，f′<0，所以f在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当a<-2时，f的极小值点为x=，极大值点为x=；当-2≤a≤-时，f的极小值点为x=-a；当a>-时，f的极小值点为x=.(3)函数f的定义域为x∈.由f>0，可得>(*)①当x∈时，<0，≥0，不等式(*)恒成立；②当x=1时，=0，即>0，所以a≠-1；③当x>1时，不等式(*)恒成立等价于a<-x-恒成立或a>-x+恒成立.令g=-x-，则g′=.令φ=-2x2-1+lnx，则φ′=-4x+=<0，而φ=-2-1+ln1=-3<0，所以φ=-2x2-1+lnx<0，即g′=<0，因此g=-x-在上是减函数，所以g在x∈上无最小值，所以a<-x-不可能恒成立.令h=-x+，则h′=-1+=<0，因此h在上是减函数，所以h<h=-1，所以a≥-1.又因为a≠-1，所以a>-1.综上所述，满足条件的a的取值范围是.2.(2014·济南模拟)已知函数f(x)=e x-x-1，g(x)=x2e ax.(1)求f(x)的最小值.(2)求g(x)的单调区间.(3)当a=1时，对于在(0，1)中的任一个常数m，是否存在正数x0使得f(x0)>g(x0)成立?如果存在，求出符合条件的一个x0；否则说明理由.【解析】(1)f(x)的定义域是R.f′(x)=e x-1，且在(-≦，0)上f′(x)<0，在(0，+≦)上f′(x)>0，所以f(x)min=f(0)=0.(2)函数g(x)的导数g′(x)=2xe ax+ax2e ax=(2x+ax2)e ax，①当a=0时，若x<0，则g′(x)<0，若x>0，则g′(x)>0.所以当a=0时，函数g(x)在区间(-≦，0)内为减函数，在区间(0，+≦)内为增函数.②当a>0时，由2x+ax2>0，解得x<-或x>0.由2x+ax2<0，解得-<x<0.所以，当a>0时，函数g(x)在区间内为增函数，在区间内为减函数，在区间(0，+≦)内为增函数.③当a<0时，由2x+ax2>0，解得0<x<-.由2x+ax2<0，解得x<0或x>-.所以，当a<0时，函数g(x)在区间(-≦，0)内为减函数，在区间内为增函数，在区间(-，+≦)内为减函数.(3)假设存在这样的x0满足题意，则f(x0)>g(x0)⇔-x0-1>⇔+-1<0 (*)要找一个x0>0，使(*)式成立，只需找到当x>0时，函数h(x)=x2+-1的最小值h(x)min，满足h(x)min<0即可.h′(x)=x，令h′(x)=0得e x=，则x=-lnm，取x0=-lnm，当0<x<x0时，h′(x)<0，当x>x0时，h′(x)>0，所以h(x)min=h(x0)=h(-lnm)=(lnm)2-mlnm+m-1.下面只需证明：当0<m<1时，(lnm)2-mlnm+m-1<0成立即可，又令p(m)=(lnm)2-mlnm+m-1，则p′(m)=(lnm)2≥0，从而p(m)在m∈(0，1)上为增函数.则当m∈(0，1)时，p(m)<p(1)=0.从而(lnm)2-mlnm+m-1<0得证.于是h(x)的最小值h(-lnm)<0.因此可找到一个正数x0=-lnm(0<m<1)，使得(*)式成立.【加固训练】(2014·西安模拟)设函数f(x)=lnx，g(x)=ax+1，a∈R，记F(x)=f(x)-g(x).(1)求曲线y=f(x)在x=e处的切线方程.(2)求函数F(x)的单调区间.(3)当a>0时，若函数F(x)没有零点，求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=，则函数f(x)在x=e处的切线的斜率为k=.又f(e)=1，所以函数f(x)在x=e处的切线方程为y-1=(x-e)，即y=x.(2)F(x)=lnx-ax-1，F′(x)=-a=(x>0).①当a≤0时，F′(x)>0，F(x)在区间(0，+≦)上单调递增；②当a>0时，令F′(x)<0，解得x>；令F′(x)>0，解得0<x<.综上所述，当a≤0时，函数F(x)的增区间是(0，+≦)；当a>0时，函数F(x)的增区间是，减区间是.(3)依题意，函数F(x)没有零点，即F(x)=lnx-ax-1=0无解.由(2)知，当a>0时，函数F(x)在区间上为增函数，在区间上为减函数，由于F(1)=-a-1<0，只需F=ln-a·-1=-lna-2<0，解得a>e-2.所以实数a的取值范围为.3.(2014·新余模拟)已知函数f1(x)=x2，f2(x)=alnx(其中a>0).(1)求函数f(x)=f1(x)·f2(x)的极值.(2)若函数g(x)=f1(x)-f2(x)+(a-1)x在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围.(3)求证：当x>0时，lnx+->0.(说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…)【解析】(1)f(x)=f1(x)·f2(x)=ax2·lnx，所以f′(x)=axlnx+ax=ax(2lnx+1)(x>0，a>0)，由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，得0<x<，故函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，+≦)上单调递增，所以函数f(x)的极小值为f()=-，无极大值.(2)函数g(x)=x2-alnx+(a-1)x，则g′(x)=x-+(a-1)==.令g′(x)=0，因为a>0，解得x=1或x=-a(舍去)，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，+≦)上单调递增.函数g(x)在区间内有两个零点，只需即所以故实数a的取值范围是.(3)问题等价于x2lnx>-.由(1)知f(x)=x2lnx的最小值为-.设h(x)=-，h′(x)=-，则h(x)在(0，2)上单调递增，在(2，+≦)上单调递减.所以h(x)max=h(2)=-，因为--=--==>0，所以f(x)min>h(x)max，所以x2lnx>-，故当x>0时，lnx+->0.【加固训练】(2014·揭阳模拟)已知函数f(x)=alnx+1(a>0).(1)当a=1且x>1时，证明：f(x)>3-.(2)若对∀x∈(1，e)，f(x)>x恒成立，求实数a的取值范围.(3)当a=时，证明：>2(n+1-).【解析】(1)要证f(x)>3-，即证lnx+-2>0，令m(x)=lnx+-2，则m′(x)=-=>0.所以m(x)在(1，+≦)上单调递增，所以m(x)>m(1)=0，所以lnx+-2>0，即f(x)>3-成立.(2)方法一：由f(x)>x且x∈(1，e)可得a>，令h(x)=，h′(x)=，由(1)知lnx-1+>1+-=>0，所以h′(x)>0，函数h(x)在(1，e)上单调递增，当x∈(1，e)时，h(x)<h(e)=e-1，所以a≥e-1.方法二：令h(x)=alnx+1-x，则h′(x)=-1=，当a>e时，h′(x)>0，函数h(x)在(1，e)上是增函数，有h(x)>h(1)=0；当1<a≤e时，因为函数h(x)在(1，a)上递增，在(a，e)上递减，对∀x∈(1，e)，f(x)>x恒成立，只需h(e)≥0，即a≥e-1；当a≤1时，函数h(x)在(1，e)上递减，对∀x∈(1，e)，f(x)>x恒成立，只需h(e)≥0，而h(e)=a+1-e<0，不合题意.综上得对∀x∈(1，e)，f(x)>x恒成立，a≥e-1.方法三：由f(x)>x且x∈(1，e)可得<，由于表示两点A(x，lnx)，B(1，0)连线的斜率，由图象可知y=在(1，e)上单调递减，故当x∈(1，e)时，>=，所以0<≤即a≥e-1.(3)当a=时，f(x)=lnx+1.则f(i)=ln(n+1)!+n，要证f(i)>2(n+1-)，即证lni>2n+4-4，由(1)可知ln(n+1)>2-，又n+2=(n+1)+1>2>+，所以<，所以ln(n+1)>2-=2-4(-)，所以ln2+ln3+…+ln(n+1)>2n-4[(-1)+(-)+…+(-)]=2n+4-4，故f(i)>2(n+1-)得证.4.(2014·菏泽模拟)设函数f(x)=ae x(x+1)(其中e=2.71828…)，g(x)=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x)，g(x)的解析式.(2)求函数f(x)在[t，t+1](t>-3)上的最小值.(3)若对∀x≥-2，kf(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)f′(x)=ae x(x+2)，g′(x)=2x+b.由题意，两函数在x=0处有相同的切线.所以f′(0)=2a，g′(0)=b，所以2a=b，f(0)=a=g(0)=2，所以a=2，b=4，所以f(x)=2e x(x+1)，g(x)=x2+4x+2.(2)f′(x)=2e x(x+2)，由f′(x)>0得x>-2，由f′(x)<0得x<-2，所以f(x)在(-2，+≦)上单调递增，在(-≦，-2)上单调递减. 因为t>-3，所以t+1>-2.当-3<t<-2时，f(x)在[t，-2]上单调递减，在[-2，t+1]上单调递增，所以f(x)min=f(-2)=-2e-2.当t≥-2时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，所以f(x)min=f(t)=2e t(t+1)；所以f(x)min=(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2，由题意知当x≥-2时，F(x)min≥0.因为对∀x≥-2，kf(x)≥g(x)恒成立，所以F(0)=2k-2≥0，所以k≥1.F′(x)=2ke x(x+1)+2ke x-2x-4=2(x+2)(ke x-1)，因为x≥-2，由F′(x)>0得e x>，所以x>ln；由F′(x)<0得x<ln，所以F(x)在上单调递减，在上单调递增.①当ln<-2，即k>e2时，F(x)在[-2，+≦)上单调递增，F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=(e2-k)<0，不满足F(x)min≥0.②当ln=-2，即k=e2时，由①知，F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0，满足F(x)min≥0.③当ln>-2，即1≤k<e2时，F(x)在-2，ln上单调递减，在上单调递增，F(x)min=F=lnk(2-lnk)>0，满足F(x)min≥0.综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2].【讲评建议】讲解本题时，请提醒学生注意以下几点：1.注意分类讨论第(2)小题应根据极值是否在区间内讨论.2.注意能成立与恒成立的区别“f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立”等价于“I是f(x)>g(x)的解集的子集”；而“f(x)>g(x)对x∈I能成立”等价于“I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集”，两者意义不同.3.能够准确转化第(3)小题将恒成立问题转化为当x≥-2时，F(x)min≥0.4.不要忽略解题后的总结第(2)小题和第(3)小题求解完毕后，要进行总结，否则会导致步骤不完整而失分.5.(2014·漳州模拟)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx.(1)当a=1时，求函数f(x)的极值.(2)设定义在D上的函数y=g(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：y=h(x).当x ≠x0时，若>0在D内恒成立，则称P为函数y=g(x)的“转点”.当a=8时，问函数y=f(x)是否存在“转点”?若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)当a=1时，f′(x)=2x-3+=.当f′(x)>0时，0<x<或x>1，当f′(x)<0时，<x<1，所以函数f(x)在和(1，+≦)上单调递增，在上单调递减，所以当x=时，函数f(x)取到极大值为-+ln，当x=1时，函数f(x)取到极小值为-2.(2)当a=8时，由函数y=f(x)在其图象上一点P(x0，f(x0))处的切线方程，得h(x)=(x-x0)+-10x0+8lnx0.设F(x)=f(x)-h(x)，则F(x0)=0，且F′(x)=f′(x)-h′(x)=-=(x-x0).当0<x0<2时，F(x)在上单调递减，所以当x∈时，F(x)<F(x0)=0，此时<0；当x0>2时，F(x)在上单调递减，所以当x∈时，F(x)>F(x0)=0，此时<0；所以y=f(x)在(0，2)，(2，+≦)上不存在“转点”.当x0=2时，F′(x)=(x-2)2，即F(x)在(0，+≦)上是增函数.当x>x0时，F(x)>F(x0)=0，当x<x0时，F(x)<F(x0)=0，即点P(x0，f(x0))为“转点”.故函数y=f(x)存在“转点”，且2是“转点”的横坐标.关闭Word文档返回原板块。
【4份】2016高考数学(四川专用理科)压轴大题突破练及答案
【4份】2016高考数学（四川专用理科）压轴大题突破练及答案目录压轴大题突破练1 直线与圆锥曲线(一) ............................................................................. 1 压轴大题突破练2 直线与圆锥曲线(二) ............................................................................. 5 压轴大题突破练3 函数与导数(一) ..................................................................................... 9 压轴大题突破练4函数与导数(二) (13)压轴大题突破练1 直线与圆锥曲线(一)1．已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16及点F 2(1,0)，在圆F 1任取一点M ，连接MF 2并延长交圆F 1于点N ，连接F 1N ，过F 2作F 2P ∥MF 1交NF 1于P ，如图所示．(1)求点P 的轨迹方程；(2)从F 2点引一条直线l 交轨迹P 于A ，B 两点，变化直线l ，试探究1|F 2A |＋1|F 2B |是否为定值． 解 (1)∵F 2P ∥MF 1，∴PF 2MF 1＝PN F 1N ⇒PF 24＝4－PF 14⇒PF 1＋PF 2＝4>F 1F 2＝2， ∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，长轴长2a ＝4的椭圆，其轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若l AB 的斜率存在时，设l AB 为：y ＝k (x －1)， 联立x 24＋y 23＝1，可得：(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) (x 2<1<x 1)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，∴1|F 2A |＋1|F 2B |＝11＋k 2|x 1－1|＋11＋k 2|x 2－1| ＝11＋k 2⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋11－x 2＝11＋k 2⎣⎡⎦⎤1－x 2＋x 1－1(x 1－1)(1－x 2)＝11＋k2⎣⎡⎦⎤x 1－x 2(x 1＋x 2)－x 1·x 2－1＝11＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2(x 1＋x 2)－x 1·x 2－1 ＝11＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 28k 23＋4k 2－4k 2－123＋4k 2－1 ＝11＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫121＋k 23＋4k 293＋4k 2＝129＝43. ②若l AB 的斜率不存在时，此时l AB ：x ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫1，32， B ⎝⎛⎭⎫1，－32，此时1|F 2A |＋1|F 2B |＝23＋23＝43. 综上可知，变化直线l ，则1|F 2A |＋1|F 2B |为定值43. 2．已知以C 为圆心的动圆过定点A (－3,0)，且与圆B ：(x －3)2＋y 2＝64(B 为圆心)相切，点C 轨迹为曲线T .设Q 为曲线T 上(不在x 轴上)的动点，过点A 作OQ (O 为坐标原点)的平行线交曲线T 于M ，N 两个点． (1)求曲线T 的方程；(2)是否存在常数λ，使AM →·AN →＝λOQ →2总成立？若存在，求λ；若不存在，说明理由． 解 (1)∵A (－3,0)在圆B 的内部，∴两圆相内切， ∴|BC |＝8－|AC |，即|BC |＋|AC |＝8>|AB |.∴C 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且长轴长2a ＝8，a ＝4，c ＝3. ∴b 2＝16－9＝7，∴曲线T 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)当直线MN 斜率不存在时，|AN →|＝|AM →|＝74，OQ →2＝7.∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|·cos π＝7λ，则λ＝－716；当直线MN 斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN ：y ＝k (x ＋3)，则OQ ：y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧7x 2＋16y 2＝112，y ＝k (x ＋3)， 得(7＋16k 2)x 2＋96k 2x ＋144k 2－112＝0， 则x 1＋x 2＝－96k 27＋16k 2，x 1·x 2＝144k 2－1127＋16k 2，∴y 1y 2＝k 2[(x 1＋3)(x 2＋3)]＝k 2[x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋9]＝－49k 27＋16k 2.AM →·AN →＝(x 1＋3)(x 2＋3)＋y 1y 2＝－49(k 2＋1)7＋16k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧7x 2＋16y 2＝112，y ＝kx ，得7x 2＋16k 2x 2＝112， 则x 2＝1127＋16k 2，∴OQ →2＝x 2＋y 2＝(1＋k 2)x 2＝112(1＋k 2)7＋16k 2，由AM →·AN →＝λOQ →2，可解得λ＝－716.综上，存在常数λ＝－716，使AM →·AN →＝λOQ →2总成立．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为F (7，0)，A ，B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：当点P (x 0，y 0)在椭圆C 上运动时，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围． 解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．由已知可得(S △ADB )max ＝12·2a ·b ＝ab ＝12.①∴F (7，0)为椭圆右焦点，∴a 2＝b 2＋7.②由①②可得a ＝4，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 29＝1.(2)∵P (x 0，y 0)是椭圆上的动点， ∴x 2016＋y 209＝1，∴y 20＝9－9x 2016. ∴圆心O 到直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2的距离 d ＝2x 20＋y 2＝2x 20＋9－916x 20＝2716x 2＋9<1 (0≤x 20≤16)．∴直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点． L ＝2r 2－d 2＝21－4716x 2＋9∵0≤x 20≤16，∴9≤716x 2＋9≤16， ∴253≤L ≤ 3.4．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，点A ，B 在抛物线C 上．(1)若直线AB 过点(2p,0)，且|AB |＝4p ，求过A ，B ，O (O 为坐标原点)三点的圆的方程； (2)设直线OA ，OB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π4，问直线AB 是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标；若不是，请说明理由．解 (1)易知直线x ＝2p 与抛物线y 2＝2px 的两个交点的坐标分别是M (2p,2p )，N (2p ，－2p )，弦长|MN |＝4p (p >0)．又|AB |＝4p ，且直线AB 过点(2p,0)，所以△AOB 是直角三角形，所以过A ，B ，O 三点的圆的方程是(x －2p )2＋y 2＝4p 2.(2)设点A ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2，直线AB 的方程为x ＝my ＋b ， 设直线与抛物线相交．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2mpy －2pb ＝0， 所以y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－2pb . 故tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝y 1x 1＋y 2x 21－y 1y 2x 1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2x 1x 2－y 1y 2＝2p (y 1＋y 2)y 1y 2－4p 2，即1＝2p ·2mp －2pb －4p 2＝－2mpb ＋2p， 所以b ＝－2p －2mp ，所以直线AB 的方程为x ＝my －2p －2mp ，即x ＋2p ＝m (y －2p )，所以直线AB 过定点(－2p,2p )．压轴大题突破练2 直线与圆锥曲线(二)1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值． (1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b ＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2. 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB . 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. 2．若直线l ：y ＝3x 3－233过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.(1)求双曲线的方程；(2)若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 在y 轴上的截距的取值范围． 解 (1)由题意，可得c ＝2，b a ＝33，所以a 2＝3b 2，且a 2＋b 2＝c 2＝4， 解得a ＝3，b ＝1.故双曲线的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知B (0,1)，依题意可设过点B 的直线方程为y ＝kx ＋1 (k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6kx －6＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 1－3k 2，Δ＝36k 2＋24(1－3k 2)＝12(2－3k 2)>0⇒0<k 2<23，且1－3k 2≠0⇒k 2≠13.设MN 的中点为Q (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝3k 1－3k 2，y 0＝kx 0＋1＝11－3k 2， 故直线m 的方程为y －11－3k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －3k 1－3k 2，即y ＝－1k x ＋41－3k 2.所以直线m 在y 轴上的截距为41－3k 2， 由0<k 2<23，且k 2≠13，得1－3k 2∈(－1,0)∪(0,1)， 所以41－3k 2∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 故直线m 在y 轴上的截距的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．3．已知平面上的动点R (x ，y )及两定点A (－2,0)，B (2,0)，直线RA ，RB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－34，设动点R 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)四边形MNPQ 的四个顶点均在曲线C 上，且MQ ∥NP ，MQ ⊥x 轴，若直线MN 和直线QP 交于点S (4,0)．问：四边形MNPQ 两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)由题意知x ≠±2，且k 1＝y x ＋2，k 2＝yx －2， 则y x ＋2·y x －2＝－34，整理得，曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1 (y ≠0)．(2)设MP 与x 轴交于D (t,0)，则直线MP 的方程为x ＝my ＋t (m ≠0)， 记M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，由对称性知Q (x 1，－y 1)，N (x 2，－y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，x ＝my ＋t 消去x 得： (3m 2＋4)y 2＋6mty ＋3t 2－12＝0， 由根与系数的关系得：y 1＋y 2＝－6mt3m 2＋4，y 1·y 2＝3t 2－123m 2＋4，由M ，N ，S 三点共线知k MS ＝k NS ，即y 1x 1－4＝－y 2x 2－4，所以y 1(my 2＋t －4)＋y 2(my 1＋t －4)＝0，整理得2my 1y 2＋(t －4)(y 1＋y 2)＝0， 所以2m (3t 2－12)－6mt (t －4)3m 2＋4＝0，即24m (t －1)＝0，t ＝1，所以直线MP 过定点D (1,0)，同理可得直线NQ 也过定点D (1,0)，即四边形MNPQ 两条对角线的交点是定点，且定点坐标为(1,0)．4.已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝32. (1)分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；(2)经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，切线l 1与l 2相交于点M .证明：AB ⊥MF ； (3)椭圆E 上是否存在一点M ′，经过点M ′作抛物线C 的两条切线M ′A ′，M ′B ′(A ′，B ′为切点)，使得直线A ′B ′过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线M ′A ′，M ′B ′所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．(1)解 由已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)可得抛物线C 的方程为x 2＝4y ， 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，半焦距为c .由已知可得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) (x 1≠x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 并整理得x 2－4kx －4＝0， ∴x 1x 2＝－4.∵抛物线C 的方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是 y －y 1＝12x 1(x －x 1)，y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 1x －14x 21，y ＝12x 2x －14x 22， 解得两条切线l 1，l 2的交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24，即M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－1，FM →·AB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－2·(x 2－x 1，y 2－y 1) ＝12(x 22－x 21)－2⎝⎛⎭⎫14x 22－14x 21＝0， ∴AB ⊥MF .(3)解 假设存在点M ′满足题意，由(2)知点M ′必在直线y ＝－1上，又直线y ＝－1与椭圆E有唯一交点，故M ′的坐标为M ′(0，－1)，设过点M ′且与抛物线C 相切的切线方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，其中点(x 0，y 0)为切点． 令x ＝0，y ＝－1，得－1－14x 20＝12x 0(0－x 0)，解得x 0＝2或x 0＝－2，故不妨取A ′(－2,1)，B ′(2,1)，即直线A ′B ′过点F .综上所述，椭圆E 上存在一点M ′(0，－1)，经过点M ′作抛物线C 的两条切线M ′A ′、M ′B ′(A ′、B ′为切点)，能使直线A ′B ′过点F . 此时，两切线的方程分别为y ＝－x －1和y ＝x －1. 抛物线C 与切线M ′A ′、M ′B ′所围成图形的面积为 S ＝2ʃ20[14x 2－(x －1)]d x ＝2⎝⎛⎭⎫112x 3－12x 2＋x |20＝43.压轴大题突破练3 函数与导数(一)1.已知函数f (x )＝(x －a )e x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程； (2)求f (x )在区间[1,2]上的最小值． 解 (1)设切线的斜率为k .因为a ＝2，所以f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x (x －1)． 所以f (0)＝－2，k ＝f ′(0)＝e 0(0－1)＝－1. 所以所求的切线方程为y ＝－x －2， 即x ＋y ＋2＝0.(2)由题意得f ′(x )＝e x (x －a ＋1)， 令f ′(x )＝0，可得x ＝a －1. ①若a －1≤1，则a ≤2，当x ∈[1,2]时，f ′(x )≥0，则f (x )在[1,2]上单调递增． 所以f (x )min ＝f (1)＝(1－a )e. ②若a －1≥2，则a ≥3，当x ∈[1,2]时，f ′(x )≤0，则f (x )在[1,2]上单调递减． 所以f (x )min ＝f (2)＝(2－a )e 2. ③若1<a －1<2，则2<a <3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f(x)所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(a－1)＝－e a－1. 综上所述：当a≤2时，f(x)min＝f(1)＝(1－a)e；当a≥3时，f(x)min＝f(2)＝(2－a)e2；当2<a<3时，f(x)min＝f(a－1)＝－e a－1.2．已知a∈R，函数f(x)＝ln x－a(x－1)．(1)若a＝1e－1，求函数y＝|f(x)|的极值点；(2)若不等式f(x)≤－ax2e2＋(1＋2a－e a)xe恒成立，求a的取值范围．(e为自然对数的底数)解(1)若a＝1e－1，则f(x)＝ln x－x－1e－1，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1e－1.当x∈(0，e－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e－1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．又因为f(1)＝0，f(e)＝0，所以当x∈(0,1)时，f(x)<0；当x∈(1，e－1)时，f(x)>0；当x∈(e－1，e)时，f(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，f(x)<0.故y＝|f(x)|的极小值点为1和e，极大值点为e－1.(2)不等式f(x)≤－ax2e2＋(1＋2a－e a)xe，整理为ln x＋ax2e2－(1＋2a)xe＋a≤0.设g(x)＝ln x＋ax2e2－(1＋2a)xe＋a，则g′(x)＝1x＋2axe2－1＋2ae＝2ax2－(1＋2a)e x＋e2e2x＝(x－e)(2ax－e)e2x.①当a≤0时，2ax－e<0，又x>0，所以当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)递增；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)递减．从而g(x)max＝g(e)＝0.故g(x)≤0恒成立．②当a>0时，g ′(x )＝(x －e )(2ax －e )e 2x ＝2a (x －e )⎝⎛⎭⎫x －e 2a e 2x. 当a ＝12时，g ′(x )＝(x －e )2e 2x≥0， 则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，显然不成立．当a >12时，e 2a<e ， 在⎝⎛⎭⎫0，e 2a ，(e ，＋∞)上g ′(x )>0，函数g (x )单调递增． 在⎝⎛⎭⎫e 2a ，e 上g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．又g (e)＝0，因此存在x 0>e 使g (x 0)>0，故不满足题意．当0<a <12时，e a >e 2a>e ， 而g ⎝⎛⎭⎫e a ＝ln e a ＋a e 2⎝⎛⎭⎫e a 2－1＋2a e ·e a＋a ＝－ln a －1＋a ＝ln e aa e. 而a ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h (a )＝e a －a e ， h ′(a )＝e a －e<0，h ⎝⎛⎭⎫12＝e 12－12e>0，故ln e aa e>0，即g ⎝⎛⎭⎫e a >0，故不满足条件． 综上所述，a ≤0.3．已知函数f (x )＝x e －x . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当0<x <1时，f (x )>f ⎝⎛⎭⎫k x ，求实数k 的取值范围．解 (1)由题意知f ′(x )＝(1－x )e －x (x ∈R )． 当f ′(x )>0时，x <1；当f ′(x )<0时，x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．又f ′(x )＝0时，x ＝1，所以函数f (x )的极大值为f (1)＝1e，无极小值． (2)当k ≤0时，因为0<x <1，所以k x≤0<x <1， 由(1)知函数f (x )在区间(－∞，1)上单调递增，所以f (x )>f ⎝⎛⎭⎫k x ，符合题意．当0<k <1时，取x ＝k ，可得f (k )>f (1)，这与函数f (x )在区间(－∞，1)上单调递增矛盾，不符合题意．当k ≥1时，因为0<x <1，所以k x ≥1x>1， 由(1)知函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，所以f ⎝⎛⎭⎫k x ≤f ⎝⎛⎭⎫1x ，要使f ⎝⎛⎭⎫k x <f (x )， 只需令f (x )>f ⎝⎛⎭⎫1x ，即x e －x >1x e －1x， 即ln x －x >－ln x －1x ，即2ln x －x ＋1x>0. 令h (x )＝2ln x －x ＋1x(0<x <1)， 则h ′(x )＝－x 2＋2x －1x 2＝－(x －1)2x 2<0， 所以h (x )在区间(0,1)上为减函数，所以h (x )>h (1)＝0，所以f (x )>f ⎝⎛⎭⎫k x ，符合题意．综上可知k ∈(－∞，0]∪[1，＋∞)．4．已知函数f (x )＝(1＋x )e－2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x ．当x ∈[0,1]时， (1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )e －x ≥(1－x )e x . 记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ， 则h ′(x )＝x (e x －e －x )． 当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0，所以f (x )≥1－x ，x ∈[0,1]．要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≤11＋x， 只需证明e x ≥x ＋1.记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0.所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]． 综上，1－x ≤f (x )≤11＋x，x ∈[0,1]．(2)解 f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －(ax ＋x 32＋1＋2x cos x )≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x ＝－x (a ＋1＋x 22＋2cos x )．(由(1)知) 故G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x . 记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x )<0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数．从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )<G ′(0)＝0.故G (x )在[0,1]上是减函数．于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3.所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立．下面证明，当a >－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x－1－ax －x 32－2x cos x ＝－x 1＋x－ax －x 32－2x cos x ＝－x (11＋x＋a ＋x 22＋2cos x )．(由(1)知) 记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x＋a ＋G (x )， 则I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )， 当x ∈(0,1)时，I ′(x )<0，故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a >－3时，a ＋3>0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)>0，此时f (x 0)<g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．压轴大题突破练4 函数与导数(二)1．已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)在x ＝ln 2处的切线的斜率为1.(其中e ＝2.718 28…)(1)求a 的值及f (x )的最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥mx 2恒成立，求m 的取值范围；(3)求证：∑ni ＝2 ln i i 4<12e(i ，n ∈N *)．(参考数据：ln 2≈0.693 1) (1)解 f ′(x )＝e x －a ，由已知得f ′(ln 2)＝2－a ＝1，∴a ＝1，此时f (x )＝e x －x －1，f ′(x )＝e x －1，∴当0<e x <1，即x <0时，f ′(x )<0，当e x >1，即x >0时，f ′(x )>0，∴当x ＝0时，f (x )取得极小值即为最小值，∴f (x )min ＝f (0)＝0.(2)解 记g (x )＝e x －x －1－mx 2，g ′(x )＝e x －1－2mx ，设h (x )＝g ′(x )＝e x －1－2mx ，则h ′(x )＝e x －2m .①当m ≤12时，h ′(x )≥0(x ≥0)，∴h (x )≥h (0)＝0， ∴g ′(x )≥0，∴g (x )≥g (0)＝0，∴m ≤12时满足题意． ②当m >12时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln 2m >0， 当x ∈[0，ln 2m )时，h ′(x )<0，h (x )在此区间上是减函数，g ′(x )＝h (x )≤h (0)＝0，∴g (x )在此区间上是减函数，∴g (ln 2m )≤g (0)＝0不合题意．综上得m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12. (3)证明 记k (x )＝ln x x 2，则k ′(x )＝1－2ln x x 3， 令k ′(x )＝0，得x ＝ e.不难知当x ＝e 时，k (x )有最大值，且最大值为12e. ∴ln x x 2≤12e ，∴ln n n 4≤12e ·1n 2 (n ≥2)， ∴∑ni ＝2 ln i i 4≤12e ⎝⎛⎭⎫122＋132＋142＋…＋1n 2， 又122＋132＋142＋…＋1n 2<11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n<1， ∴∑ni ＝2ln i i 4<12e ⎝⎛⎭⎫122＋132＋142＋…＋1n 2<12e ，即∑ni ＝2ln i i 4<12e . 2．已知函数f (x )＝ln x －x 2＋x .(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式f (x )≤⎝⎛⎭⎫a 2－1x 2＋ax －1恒成立，求整数a 的最小值；(3)若正实数x 1，x 2满足f (x 1)＋f (x 2)＋2(x 21＋x 22)＋x 1x 2＝0，证明：x 1＋x 2>5－12. (1)解 f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x(x >0), 由f ′(x )<0，得2x 2－x －1>0，又x >0，所以x >1.所以f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)．(2)解 令g (x )＝f (x )－[(a 2－1)x 2＋ax －1] ＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1， 所以g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x. 当a ≤0时，因为x >0，所以g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)上是递增函数，又因为g (1)＝ln 1－12a ×12＋(1－a )＋1＝－32a ＋2>0， 所以关于x 的不等式f (x )≤⎝⎛⎭⎫a 2－1x 2＋ax －1不能恒成立．当a >0时，g ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x＝－a (x －1a )(x ＋1)x， 令g ′(x )＝0，得x ＝1a. 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )<0，因此函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞是减函数． 故函数g (x )的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －12a ×⎝⎛⎭⎫1a 2＋(1－a )×1a ＋1＝12a－ln a . 令h (a )＝12a－ln a ， 因为h (1)＝12>0，h (2)＝14－ln 2<0，因为h (a )在a ∈(0，＋∞)是减函数．所以当a ≥2时，h (a )<0.所以整数a 的最小值为2.(3)证明 由f (x 1)＋f (x 2)＋2(x 21＋x 22)＋x 1x 2＝0，即ln x 1＋x 21＋x 1＋ln x 2＋x 22＋x 2＋x 1x 2＝0，从而(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)＝x 1·x 2－ln(x 1·x 2)，令t ＝x 1·x 2，则由φ(t )＝t －ln t 得，φ′(t )＝t －1t， 可知，φ(t )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．所以φ(t )≥φ(1)＝1，所以(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)≥1，又x 1＋x 2>0，因此x 1＋x 2≥5－12成立． 3．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立． (1)解 由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e. 当x ∈(0，1e)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1e，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e时， f (x )min ＝f (1e )＝－1e； ②当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t . 所以f (x )min ＝⎩⎨⎧ －1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e .(2)解 2x ln x ≥－x 2＋ax －3 (x >0)，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)， 则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， ①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)证明 问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))． 由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e， 当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e， 当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立． 4．已知函数f (x )＝ln(x ＋a )＋2x，g (x )＝ln x . (1)已知f (x )在[e ，＋∞)上是单调函数，求a 的取值范围；(2)已知m ，n ，ξ满足n >ξ>m >0，且g ′(ξ)＝g (n )－g (m )n －m，试比较ξ与mn 的大小； (3)已知a ＝2，是否存在正数k ，使得关于x 的方程f (x )＝kg (x )在[e ，＋∞)上有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )＝ln(x ＋a )＋2x， ∴f ′(x )＝1x ＋a －2x 2＝x 2－2x －2a x 2(x ＋a ). ∵f (x )在[e ，＋∞)上单调，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a >0，x 2－2x －2a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a >0，x 2－2x －2a ≤0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >－e ，a ≤12x 2－x 或⎩⎪⎨⎪⎧a >－e ，a ≥12x 2－x . ∵当x ≥e 时，12x 2－x ≥12e 2－e ， ∴－e<a ≤12e 2－e. (2)∵g ′(ξ)＝g (n )－g (m )n －m ，∴1ξ＝ln n －ln m n －m . 设h (x )＝2ln x －x ＋1x(x >1)， 则h ′(x )＝2x －1－1x 2＝－(x －1)2x 2<0，∴h (x )<h (1)＝0，∴当x >1时，2ln x <x －1x，令x ＝n m， 得2ln n m <n m －m n ， ∴ln n －ln m <n －m mn ⇒ln n －ln m n －m <1mn. ∴1ξ<1mn，即ξ>mn . (3)假设方程f (x )＝kg (x )存在满足条件的两个实数根x 1，x 2，且x 2>x 1≥e ，则 ⎩⎨⎧ ln (x 1＋2)＋2x 1＝k ln x 1，ln (x 2＋2)＋2x 2＝k ln x 2⇒ln (x 1＋2)＋2x 1ln (x 2＋2)＋2x 2＝ln x 1ln x 2， 即ln (x 1＋2)＋2x 1ln x 1＝ln (x 2＋2)＋2x 2ln x 2， ln (x 1＋2)＋2x 1－ln x 1ln x 1＝ln (x 2＋2)＋2x 2－ln x 2ln x 2. ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋2x 1ln x 1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 2＋2x 2ln x 2⇒ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋2x 1ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 2＋2x 2＝ln x 1ln x 2. ∵x 2>x 1≥e ，∴2x 1>2x 2⇒ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋2x 1ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 2＋2x 2>1， 而ln x 1ln x 2<1，∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋2x 1ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 2＋2x 2>ln x 1ln x 2， ∴方程不存在满足条件的两根．。
【4份】新课标2016年高考数学(理)二轮复习：压轴解答题专项练
【4份】新课标2016年高考数学（理）二轮复习：压轴解答题专项练目录压轴解答题专项练(一) 函数与导数(一) .............................................................................. 1 压轴解答题专项练(二) 函数与导数(二) .............................................................................. 5 压轴解答题专项练(三) 解析几何(一) .................................................................................. 9 压轴解答题专项练(四)解析几何(二) (13)压轴解答题专项练(一) 函数与导数(一)1．(2015·东城模拟)已知x ＝1是f (x )＝2x ＋bx ＋ln x 的一个极值点．(1)求b 的值；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)设g (x )＝f (x )－3x ，试问过点(2，5)可作多少条直线与曲线y ＝g (x )相切？请说明理由．2．(2015·海口模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝k （x －1）x .(1)当k ＝e 时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间和极值； (2) 若f (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的值．3．(2015·包头模拟)已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a ＞0.(1)当a ＝2，b ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )，若存在x ＞1，使得g (x )＋g ′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．4．已知f (x )＝x 2＋ax －ln x ．a ∈R .(1)若a ＝0，求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．答案1．解：(1)∵x ＝1是f (x )＝2x ＋bx ＋ln x 的一个极值点，f ′(x )＝2－b x 2＋1x，∴f ′(1)＝0，即2－b ＋1＝0， ∴b ＝3，经检验，适合题意， ∴b ＝3.(2)由f ′(x )＝2－3x 2＋1x ＜0，得2x 2＋x －3x 2<0，∴－32<x <1， 又∵x ＞0(定义域)，∴函数的单调递减区间为(0，1)． (3)g (x )＝f (x )－3x＝2x ＋ln x ，设过点(2，5)的曲线g (x )的切线的切点坐标为(x 0，y 0)， ∴y 0－5x 0－2＝g ′(x 0)， 即2x 0＋ln x 0－5＝⎝⎛⎭⎫2＋1x 0(x 0－2)， ∴ln x 0＋2x 0－5＝2x 0－3－2x 0，∴ln x 0＋2x 0－2＝0，令h (x )＝ln x ＋2x －2，h ′(x )＝1x －2x2＝0，∴x ＝2.∴h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∵h ⎝⎛⎭⎫12＝2－ln 2＞0，h (2)＝ln 2－1＜0，h (e 2)＝2e 2＞0， ∴h (x )与x 轴有两个交点，∴过点(2，5)可作2条直线与曲线y ＝g (x )相切． 2．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， h (x )＝ln x －k （x －1）x (x >0)，当k ＝e 时，h ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2，若0＜x ＜e ，则h ′(x )＜0；若x ＞e ，则h ′(x )＞0. ∴h (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 故h (x )min ＝h (e)＝2－e ，故函数h (x )的单调递减区间为(0，e)，单调递增区间为(e ，＋∞)，极小值为2－e ，无极大值．(2)由(1)知h ′(x )＝1x －k x 2＝x －kx 2，当k ≤0时，h ′(x )＞0对x ＞0恒成立， ∴h (x )是(0，＋∞)上的增函数，注意到h (1)＝0，∴0＜x ＜1时，h (x )＜0不合题意． 当k ＞0时，若0＜x ＜k ，h ′(x )＜0； 若x ＞k ，h ′(x )＞0.∴h (x )是(0，k )上的减函数，是(k ，＋∞)上的增函数， 故只需h (x )min ＝h (k )＝ln k －k ＋1≥0. 令u (x )＝ln x －x ＋1(x ＞0)， u ′(x )＝1x －1＝1－x x，当0＜x ＜1时，u ′(x )＞0; 当x ＞1时，u ′(x )＜0. ∴u (x )是(0，1)上的增函数，是(1，＋∞)上的减函数． 故u (x )≤u (1)＝0当且仅当x ＝1时等号成立． ∴当且仅当k ＝1时，h (x )≥0成立， 即k ＝1为所求．3．解：(1)当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫2＋1x e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝（x ＋1）（2x －1）x 2e x.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表由表知f (x )的极大值是f (－1)＝1e ，f (x )的极小值是f ⎝⎛⎭⎫12＝4 e. (2)因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫ax －b x －2a e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx －a )e x . 由g (x )＋g ′(x )＝0，得⎝⎛⎭⎫ax －b x －2a e x ＋(b x 2＋ax －bx －a )e x ＝0， 整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0.存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立等价于存在x ＞1，使2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立．因为a ＞0，所以b a ＝2x 3－3x22x －1.设u (x )＝2x 3－3x 22x －1(x >1)，则u ′(x )＝8x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －342＋316（2x －1）2.因为x ＞1时，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在(1，＋∞)是增函数， 所以u (x )＞u (1)＝－1， 所以ba>－1，即ba的取值范围为(－1，＋∞)． 4．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2－ln x ，f ′(x )＝2x －1x ，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝1，∴函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x －y ＝0. (2)∵函数f (x )在[1，2]上是减函数，∴f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1，2]上恒成立．令h (x )＝2x 2＋ax －1，由⎩⎪⎨⎪⎧h （1）≤0，h （2）≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－72，∴a ≤－72，即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－72. (3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x 在(0，e]上的最小值是3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，①当a ≤0时，g ′(x )<0，∴g (x )在(0，e]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)．②当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，g ′(x )<0在(0，e]上恒成立，∴g (x )在(0，e]上单调递减，∴g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)．③当0<1a <e ，即a >1e时，令g ′(x )<0，得0<x <1a ，令g ′(x )>0，得x >1a ，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增， ∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件．综上所述，存在实数a ＝e 2，使g (x )＝f (x )－x 2在(0，e]上的最小值是3.压轴解答题专项练(二) 函数与导数(二)1．(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝1－a x ＋ln 1x (a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线方程；(2)设函数h (a )＝3λa －2a 2(其中λ为常数)，若函数f (x )在区间(0，2)上不存在极值，且存在a 满足h (a )≥λ＋18，求λ的取值范围；2．(2015·郑州模拟)已知函数f (x )＝ax2＋ln x .(1)若y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为12，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )＝0在[e －2，e 2]上恰有两个实根，且a －a ＞m 2－3m ＋2e 2e 4恒成立，求实数m的取值范围．3．(2015·濮阳模拟)已知函数f (x )＝12x 2，g (x )＝eln x .(1)设函数F (x )＝f (x )－g (x )，求F (x )的单调区间；(2)若存在常数k ，m ，使得f (x )≥kx ＋m ，对x ∈R 恒成立，且g (x )≤kx ＋m ，对x ∈(0， ＋∞)恒成立，则称直线y ＝kx ＋m 为函数f (x )与g (x )的“分界线”，试问：f (x )与g (x )是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．4．(2015·沈阳模拟)已知函数f (x )＝e x －m e －x ，e 为自然对数的底数．(1)若f (x )在x ＝ln 2处的切线的斜率为1，求实数m 的值；(2)当m ＝1时，若正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)＜a (－x 30＋3x 0)成立．试比较a e－1与e a－1的大小，并说明埋由．答案1．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝1－1x ＋ln 1x ，f ′(x )＝1x 2－1x ，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝4－2＝2，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－2＋ln 2＝ln 2－1， ∴函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线方程为：y －(ln 2－1)＝2⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x －y ＋ln2－2＝0.(2)f ′(x )＝a x 2－1x ＝a －xx2，由f ′(x )＝0⇒x ＝a ，由于函数f (x )在区间(0，2)上不存在极值，所以a ≤0或a ≥2， 由于存在a 满足h (a )≥λ＋18，所以h (a )max ≥λ＋18，对于函数h (a )＝3λa －2a 2，对称轴a ＝34λ，①当3λ4≤0或3λ4≥2，即λ≤0或λ≥83时，h (a )max ＝h ⎝⎛⎭⎫34λ＝98λ2， 由h (a )max ≥λ＋18⇒98λ2≥λ＋18，结合λ≤0或λ≥83可得：λ≤－19或λ≥83；②当0<3λ4≤1，即0<λ≤43时，h (a )max ＝h (0)＝0，由h (a )max ≥λ＋18⇒0≥λ＋18，结合0<λ≤43可知：λ不存在；③当1<3λ4<2，即43<λ<83时，h (a )max ＝h (2)＝6λ－8；由h (a )max ≥λ＋18⇒6λ－8≥λ＋18，结合43<λ<83可知：138≤λ<83.综上可知：λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－19∪⎣⎡⎭⎫138，＋∞. 2．解：(1)由f (x )＝a x 2＋ln x 得f ′(x )＝－2a x 3＋1x ，若y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为12，∴f ′(1)＝－2a ＋1＝12，解得a ＝14，即f ′(x )＝－12x 3＋1x ＝2x 2－12x 3，(x ＞0)，由f ′(x )＞0得x ＞22，由f ′(x )＜0得0＜x ＜22， 即函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞. (2)由f (x )＝0得a x 2＋ln x ＝0，得a ＝－x 2ln x ，在[e －2，e 2]上成立，设g (x )＝－x 2ln x ，则g ′(x )＝－2x ln x －x ＝－x (2ln x ＋1)，由g ′(x )＝0得2ln x ＋1＝0， 解得x ＝e －12，当x ∈[e －2，e －12)时，g ′(x )＞0，当x ∈(e －12，e 2]，g ′(x )＜0，故g (x )在∈[e －2，e －12)上单调递增，在(e －12，e 2]上单调递减，故g (x )在[e －2，e 2]上的极大值为g (e －12)＝12e ，而g (e －2)＝2e 4，g (e 2)＝－2e 4，显然g (e －2)＞g (e 2)，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2e 4，12e ，令h (a )＝a －a ，a ∈⎣⎡⎭⎫2e 4，12e ，则h ′(a )＝12a －1， 令h ′(a )＝0，解得a ＝14＞12e ，则a ∈⎣⎡⎭⎫2e 4，12e 时，h ′(a )＞0， 故h (a )在⎣⎡⎭⎫2e 4，12e 上单调递增， 故h (a )的最小值为h ⎝⎛⎭⎫2e 4＝2e 2－2e 4， 故只需要m 2－3m ＋2e 2e 4<2e 2－2e 4，即m 2－3m ＋2＜0，解得1＜m ＜2， 即实数m 的取值范围是(1，2)．3．解：(1)由于函数f (x )＝12x 2，g (x )＝eln x ，因此，F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－eln x ，则F ′(x )＝x －e x ＝x 2－e x ＝（x －e ）（x ＋e ）x，x ∈(0，＋∞)，当0＜x ＜e 时，F ′(x )＜0，∴F (x )在(0，e)上是减函数； 当x ＞e 时，F ′(x )＞0，∴F (x )在(e ，＋∞)上是增函数；因此，函数F (x )的单调递减区间是(0，e)，单调递增区间是(e ，＋∞)． (2)由(1)可知，当x ＝e 时，F (x )取得最小值F (e)＝0， 则f (x )与g (x )的图象在x ＝e 处有公共点⎝⎛⎭⎫e ，e2. 假设f (x )与g (x )存在“分界线”，则其必过点⎝⎛⎭⎫e ，e 2. 故设其方程为：y －e 2＝k (x －e)，即y ＝kx ＋e2－k e ，由f (x )≥kx ＋e2－k e 对x ∈R 恒成立，则x 2－2kx －e ＋2k e ≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝4k 2－4(2k e －e)＝4k 2－8k e ＋4e ＝4(k －e)2≤0成立， 因此k ＝e ，“分界线”的方程为：y ＝e x －e2.下面证明g (x )≤e x －e2对x ∈(0，＋∞)恒成立，设G (x )＝eln x －x e ＋e 2，则G ′(x )＝ex －e ＝e （e －x ）x ，∴当0＜x ＜e 时，G ′(x )＞0，当x ＞e 时，G ′(x )＜0，当x ＝e 时，G (x )取得最大值0，则g (x )≤e x －e2对x ∈(0，＋∞)恒成立，故所求“分界线”的方程为：y ＝e x －e2.4．解：(1)f ′(x )＝e x ＋m e －x ，由题意得，f ′(ln 2)＝2＋m 2＝1，则m ＝－2.(2)当m ＝1时，f ′(x )＝e x ＋e －x ，设h (x )＝f (x )＋ax 3－3ax ，则h ′(x )＝f ′(x )＋3ax 2－3a ， 当x ≥1时f ′(x )＞0，且3ax 2－3a ≥0，∴h ′(x )＞0， 即h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∵存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)， ∴即存在x 0∈[1，＋∞)，使得h (x 0)＜0， ∴h (1)＝e －1e －2a <0，即a >12⎝⎛⎭⎫e －1e . ∵ln a e －1ea －1＝ln a e －1－ln e a －1＝(e －1)ln a －a ＋1，设m (a )＝(e －1)ln a －a ＋1，则m ′(a )＝e －1a －1＝e －1－a a ，a >12⎝⎛⎭⎫e －1e ， 当12⎝⎛⎭⎫e －1e <a <e －1时，m ′(a )＞0，m (a )单调递增， 当a ＞e －1时，m ′(a )＜0，m (a )单调递减，因此m (a )在a >12⎝⎛⎭⎫e －1e 时至多有两个零点，而m (1)＝m (e)＝0，且12⎝⎛⎭⎫e －1e >1， ∴当12⎝⎛⎭⎫e －1e <a <e 时，m (a )＞0，a e －1＞e a －1； 当a ＝e 时，m (a )＝0，a e －1＝e a －1；当a ＞e 时，m (a )＜0，a e －1＜e a －1.压轴解答题专项练(三) 解析几何(一)1．(2015·兰州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，过椭圆右焦点且斜率为1的直线与圆(x －2)2＋(y －2)2＝12相切．(1)求椭圆的方程；(2)设过椭圆右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且AB 中点与FC 的中点重合，求△AOB (O 为坐标原点)的面积．2．(2015·鹰潭模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求|OR |＋|OS |的最小值．3. (2015·石景山模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，短轴长为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论．4．(2015·郑州模拟)已知F 1(0，1)，F 2(0，－1)分别为椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的上、下焦点，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F 1，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|＝53.(1)求抛物线C 2及椭圆C 1的方程；(2)与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切的直线l ：y ＝k (x ＋t )，kt ≠0交椭圆C 1于A ，B 两点，若椭圆C 1上存在点P 满足＋＝λ，求实数λ的取值范围．答案1．解：(1)∵c a ＝22，可得a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝c 2，∴椭圆的方程可化为：x 22c 2＋y 2c2＝1.过椭圆右焦点且斜率为1的直线方程为：y ＝x －c ， ∵此直线与圆(x －2)2＋(y －2)2＝12相切，∴|2－2－c |2＝22，解得c ＝1，∴椭圆的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，C (0，－k )， 设FC 的中点为M (x 0，y 0)，可得M ⎝⎛⎭⎫12，－k 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2，化为(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.∴x 1＋x 22＝2k 22k 2＋1＝12，解得k 2＝12.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－12.则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋12⎣⎡⎦⎤1－4×⎝⎛⎭⎫－12＝322. 点O 到直线l 的距离d ＝|－k |1＋k 2＝ 221＋12＝33. ∴S △AOB ＝12|AB |d ＝12×322×33＝64.2．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1； 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21，(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得： x R x S ＝4（1－y 21）y 20－4（1－y 20）y 21y 20－y 21＝4（y 20－y 21）y 20－y 21＝4， 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4， |OR |＋|OS |≥2|OR |·|OS |＝4， 当且仅当|OR |＝|OS |＝2，取得等号． 则|OR |＋|OS |的最小值为4.3. 解：(1)由短轴长为22，得b ＝2， 由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，得a 2＝4，b 2＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)结论：以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．证明如下：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，且x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4， ∵A (－2，0)，∴直线P A 方程为：y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，∴M ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0＋2，直线QA 方程为：y ＝y 0x 0－2(x ＋2)，∴N ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0－2，以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋⎝⎛⎭⎫y －2y 0x 0＋2·⎝⎛⎭⎫y －2y 0x 0－2＝0， 即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 20x 20－4＝0，∵x 20－4＝－2y 20，∴x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0，令y ＝0，则x 2－2＝0，解得x ＝±2. ∴以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．4．解：(1)由于抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F 1(0，1)， 设抛物线C 2的方程为x 2＝2py ，即p2＝1，即有p ＝2，则抛物线方程为x 2＝4y ； 由题意得a 2－b 2＝1，又由抛物线定义可知|MF 2|＝y M ＋1＝53，得y M ＝23，所以M ⎝⎛⎭⎫－263，23，从而|MF 1|＝⎝⎛⎭⎫2632＋⎝⎛⎭⎫23＋12＝73， 由椭圆定义知2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝4，得a ＝2，故b 2＝a 2－1＝3，从而椭圆的方程为y 24＋x 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 则由＋＝λ知，x 1＋x 2＝λx 0，y 1＋y 2＝λy 0，且y 204＋x 23＝1，①又直线l ：y ＝k (x ＋t )，kt ≠0与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，则有|kt ＋1|1＋k 2＝1，由k ≠0，可得k ＝2t1－t 2(t ≠±1，t ≠0)，②又联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋t ），4x 2＋3y 2＝12， 消去y 得(4＋3k 2)x 2＋6k 2tx ＋3k 2t 2－12＝0，且Δ＝36k 4t 2－4(4＋3k 2)(3k 2t 2－12)＞0恒成立，且x 1＋x 2＝－6k 2t 4＋3k 2，x 1x 2＝3k 2t 2－124＋3k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2kt ＝8kt 4＋3k 2，所以得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2t λ（4＋3k 2），8kt λ（4＋3k 2）， 代入①式得12k 4t 2（4＋3k 2）2λ2＋16k 2t 2λ2（4＋3k 2）2＝1，所以λ2＝4k 2t 24＋3k 2，又将②式代入得，λ2＝4⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t2＋1，t ≠0，t ≠±1，易知⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1＞1且⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1≠3， 所以λ2∈⎝⎛⎭⎫0，43∪⎝⎛⎭⎫43，4， 所以λ的取值范围为{λ|－2＜λ＜2，且λ≠0，且λ≠±233}．压轴解答题专项练(四) 解析几何(二)1．(2015·南昌模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，当直线l 的倾斜角是45°时，AB 的中垂线交y 轴于点Q (0，5)．(1)求p 的值；(2)以AB 为直径的圆交x 轴于点M ，N ，记劣弧MN ︵的长度为S ，当直线l 绕F 旋转时，求S|AB |的最大值． 2．(2015·濮阳模拟)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成的矩形的两个顶点．(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若＝m＋n，求证：动点Q (m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由．3．(2015·开封模拟)已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的中垂线m 分别与PF 1、PF 2交于M 、N 两点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l 经过F 2，与抛物线y 2＝4x 交于A 1，A 2两点，与C 交于B 1，B 2两点．当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|.4．(2015·开封模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (2，4)作圆的两条切线，切点分别为A 1、A 2，直线A 1A 2恰好经过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点．(1)求直线A 1A 2的方程及椭圆C 1的方程；(2)椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，求椭圆C 2的方程； (3)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，＝2，求直线AB 的方程．答案1． 解：(1)抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2， 当l 的倾斜角为45°时，l 的方程为y ＝x ＋p2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2px －p 2＝0， x 1＋x 2＝2p ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋p ＝3p ，得AB 中点为D ⎝⎛⎭⎫p ，32p ， AB 中垂线为y －32p ＝－(x －p )，把x ＝0代入得y ＝52p ＝5.∴p ＝2.(2)设l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0， |AB |＝y 1＋y 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4， AB 中点为D (2k ，2k 2＋1)，令∠MDN ＝2α，S ＝2α·12|AB |＝α·|AB |，∴S|AB |＝α， D 到x 轴的距离|DE |＝2k 2＋1，cos α＝|DE |12|AB |＝2k 2＋12k 2＋2，当k 2＝0时cos α取最小值12，α取得最大值为π3.故S |AB |的最大值为π3. 2．解：(1)证明：易求A (2，1)，B (－2，1)．设P (x 0，y 0)，则x 24＋y 20＝1.由＝m ＋n，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2（m －n ），y 0＝m ＋n ，所以4（m －n ）24＋(m ＋n )2＝1，故点Q (m ，n )在定圆x 2＋y 2＝12上．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝－14.平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.因为直线MN 的方程为(x 2－x 1)y －(y 2－y 1)x ＋x 1y 2－x 2y 1＝0，所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2，所以△OMN 的面积S ＝12|MN |·d ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2 ＝12x 21⎝⎛⎭⎫1－x 224＋x 22⎝⎛⎭⎫1－x 214＋12x 21x 22＝12x 21＋x 22＝1.故△OMN 的面积为定值1.3．解：(1)由题意得，F 1(－1，0)，F 2(1，0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |， 从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4＞|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其中长轴2a ＝4，得到a ＝2，焦距2c ＝2， 则短半轴b ＝3， 椭圆方程为：x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时，B 1⎝⎛⎭⎫1，32，B 2⎝⎛⎭⎫1，－32， 又F 1(－1，0)， 此时·≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件．当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以·＝0，又F 1(－1，0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0， 所以解得k 2＝97，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1）得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k ≠0， 设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋p ＝2＋4k 2＋2＝649.4．解：(1)观察知，x ＝2是圆的一条切线，切点为A 1(2，0)， 设O 为圆心，根据圆的切线性质，MO ⊥A 1A 2， 所以kA 1A 2＝－1k MO ＝－12，所以直线A 1A 2的方程为y ＝－12(x －2)，直线A 1A 2与y 轴相交于(0，1)，依题意a ＝2，b ＝1， 所求椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1，(a ＞2)，∵e ＝32，∴ 1－4a 2＝32，解得a 2＝16， ∴椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵＝2，∴O ，A ，B 三点共线且不在y 轴上，∴设直线AB 的方程为y ＝kx ，并分别代入x 24＋y 2＝1和y 216＋x 24＝1，得：x 21＝41＋4k 2，x 22＝164＋k 2， ∵＝2，∴x 22＝4x 21，∴164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，∴直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。
2016四川高考压轴卷 数学(理) 含解析
四川省高考压轴卷数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
满分150分。
考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1}2．已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i3.执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A ．2B ．C ．D ．35．已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）A ．6B ．0C ．2D ．26．487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（ ）A ．4320B ．﹣4320C ．20D ．﹣207．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8.已知2->a ，若圆1O ：1582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.A ．),3[]1,2(+∞--B ．),3()1,35(+∞-- C ．),3[]1,35[+∞-- D ．),3()1,2(+∞-- 9．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．30010. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）. A. ]210,1( B. ]537,1( C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）11．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．12. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若564318a a a a --=+，则=8S . 13．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=，则sin （α+）= ．14．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 15．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则的最大值为；④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且•=5，则△ABC 的形状是直角三角形．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且 )3(s i n ))(sin (sin c b C a b B A -=-+. (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ) 若2a =，ABC ∆c b ,.17. (本题满分12分) 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．18．(本题满分12分)如图1在直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D ，E 分别是AC ，BC 边上的中点，M 为CD 的中点，现将△CDE 沿DE 折起，使点A 在平面CDE 内的射影恰好为M ． （I ）求AM 的长；（Ⅱ）求面DCE 与面BCE 夹角的余弦值．19．（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
压轴解答题强化训练(一)
解析几何
(建议用时：45分钟)
1.(2014·烟台模拟)已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点.
(1)如图所示，若=，求直线l的方程.
(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值.
【解析】由题知抛物线方程为y2=4x，设直线方程为x=my+4，并设A(，y1)，B(，y2).
(1)因为=，所以y1=-y2.
联立可得y2-4my-16=0，
有
解得：y1=-2，y2=8，m=，
所以直线方程为2x-3y-8=0.
(2)可求得对称点P(，)，
代入抛物线中可得：m=〒1，直线l方程为x=〒y+4，
考虑到对称性不妨取x=y+4，椭圆设为+=1(λ>1).联立直线和椭圆并消元整理得(2λ-1)y2+8(λ-1)y-λ2+17λ-16=0，因为椭圆与直线有交点，所以Δ≥0，即64(λ-1)2+4(λ-1)(λ-16)(2λ-1)≥0，解得λ≥(λ≤0舍去)，即a2
≥，
解得：a≥，
所以长轴长的最小值为.
2.(2014·珠海模拟)已知抛物线C：x2=y，直线l与抛物线C交于A，B不同两点，
且+=(p，6).
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程.
(2)设直线m为线段AB的中垂线，请判断直线m是否恒过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.
(3)记点A，B在x轴上的射影分别为A1，B1，记曲线E是以A1B1为直径的圆，当直线l与曲线E相离时，求p的取值范围.
【解析】(1)抛物线的焦点坐标为(0，)，准线方程为：
y=-.
(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，因为A，B是不同的两点，所以x A≠x B且l不与x 轴垂直，
因为+=(p，2).
所以x A+x B=p，+=6，
所以AB中点的坐标为，3，
所以k1=k AB==x A+x B=p，
当p≠0时，直线m的斜率k m=-=-，所以直线m的方程为：y-3=-x-，即
y=-x+，令x=0得：y=，即直线m过定点0，；
当p=0时，直线m的方程为x=0，也过定点0，.
(3)由(2)可设直线AB的方程为：y-3=p x-，即y=px+3-，联立
消去y得：x2-px+-3=0，
所以
即
所以|A1B1|=|x1-x2|===，
所以以A1B1为直径的圆的方程为(x-)2+y2=，
当直线l与曲线E相离时，圆心到直线l的距离d>r，即>.
所以>，
即6>·，
即36>(12-p2)(p2+1)，
所以p4-11p2+24>0，
即(p2-3)·(p2-8)>0，
所以p2>8或p2<3，
又p2<12，且p2≥0，
所以0≤p2<3或8<p2<12，
即-<p≤0，或0≤p<，或-2<p<-2，
或2<p<2，
p∈(-，)∪(-2，-2)∪(2，2)，
所以当直线l与曲线E相离时.
p的范围为(-，)∪(-2，-2)∪(2，2).
3.(2014·长沙模拟)设直线l：y=k(x+1)(k≠0)与椭圆3x2+y2=a2(a>0)相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.
(1)证明：a2>.
(2)若=2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
【解析】(1)由y=k(x+1)得x=y-1，
将x=y-1代入3x2+y2=a2消去x得(+1)y2-y+3-a2=0. ①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点得
Δ=-4(+1)(3-a2)>0，
整理得+1a2>3，即a2>.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①，得y1+y2=，
因为=2，而点C(-1，0)，
所以(-1-x1，-y1)=2(x2+1，y2)，
得y1=-2y2，代入上式，得y2=.
于是，△OAB的面积S=|OC||y1-y2|
=|y2|
=≤
=.
其中，上式取等号的条件是k2=3，即k=〒.
由y2=，可得y2=〒.
将k=，y2=-及k=-，y2=这两组值分别代入①，均可解出a2=15.
所以△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15.
4.(2014·宁波模拟)如图，设椭圆+=1(a>b>0)长轴的右端点为A，短轴端点分别为B，C，另有抛物线y=x2+b.
(1)若抛物线上存在点D，使四边形ABCD为菱形，求椭圆的方程.
(2)若a=2，过点B作抛物线的切线，切点为P，直线PB与椭圆相交于另一点Q，
求的取值范围.
【解析】(1)由四边形ABCD是菱形，得D(a，a2+b)，
且解得a=，b=，
所以椭圆方程为3x2+9y2=1.
(2)不妨设P(t，t2+b)(t≠0)，
因为y′|x=t=2t，
所以PQ的方程为y=2t(x-t)+t2+b，
即y=2tx-t2+b.
又因为直线PQ过点B，
所以-t2+b=-b，即b=.
所以PQ的方程为y=2tx-.
联立方程组
消去y，得(t2+64)x2-32tx=0.
所以点Q的横坐标为x Q=，
所以==+1.又t2=2b∈(0，4)，
所以的取值范围为(1，).
关闭Word文档返回原板块。