高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及初步应用2教案新人教A版选修1_2
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_17
1.2相关系数一．复习回顾相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。
二．新知讲授（一）相关关系给出两个变量，当一个变量一定时，另一个变量的取值具有一定的随机性 1、注意与函数关系的区别 2、回归分析 （二）散点图将样本中的所有数据点（xi , yi )，描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形（三）最小二乘估计下的线性回归方程：b 的意义是：x 每增加1个单位，y 相应地平均增加 b 个单位。
（四）回归分析的基本步骤: A.画散点图 B.求回归方程求线性回归方程的步骤： (1)计算平均数(2)计算 与 的积,求 (3)计算(4)将上述有关结果代入公式，求b 、a ，写出回归直线方程．不相关关线性相关 非线性相关2n 12n 1__2n 1__)n()x x x x x x y x x b i i i i i i i n i i i --=---=∑∑∑∑====yn y ()y )((1a x b y +=x b y a -=从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似描述，这种近似的过程称为曲线拟合。
在两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的。
此时，我们可以用一条直线来拟合，这条直线叫回归直线。
思考2：在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？思考3：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.这就像函数中的增函数和减函数。
即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。
高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课堂探究新人教A版选修1-2
高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课堂探究新人教A版选修1-2探究一求回归直线方程求回归直线方程的一般方法是：(1)作出散点图，将问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，这样表示出的具有相关关系的两个变量的一组数据的图形就是散点图．从散点图中我们可以看出样本点是否呈条状分布，从而判断两个量是否具有线性相关关系．(2)求回归系数，，其计算公式如下：＝＝；＝－ .其中＝，＝，(，)称为样本点的中心．(3)写出回归直线方程＝x＋，并用回归直线方程进行预测说明：当x取x0时，由线性回归方程可得的值，从而可进行相应的判断．【典型例题1】某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．思路分析：先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关，再利用公式求线性回归模型．解：(1)如图所示．(2)因为＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054，＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.所以＝＝≈0.625，＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y对x的回归直线方程是＝0.625x＋22.05.(3)x＝96，则＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.探究二残差分析1．利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差，，…，来判断模型拟合的效果．2．若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．【典型例题2】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？思路分析：求出参数与，然后求出回归直线方程，再检验模型拟合效果，计算出残差，得出结论．解：(1)散点图如下．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为＝x＋，＝30.36，＝43.5，i2＝5 101.56，i2＝9 511.43.＝1 320.66，＝921.729 6，iyi＝6 746.76.由＝≈0.29，＝－≈34.70，故所求的回归直线方程为＝34.70＋0.29x.当x＝56.7时，＝34.70＋0.29×56.7＝51.143.估计成熟期有效穗为51.143.(3)由于＝ xi＋，可以算得＝yi－分别为＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624，残差平方和：≈8.43.(4)可得：(yi－)2＝50.18，∴R2＝1－≈0.832.所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了83.2%，残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.探究三非线性回归分析在解决实际问题时，研究的两个变量不一定都呈线性相关关系．对于这类问题，常采用适当的变量代换，把问题转化为线性回归问题，求出线性回归模型后，再通过相应的变换，得到非线性回归方程．【典型例题3】某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x 的试验数据如下表所示：由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)有如下关系：y＝abxe0.其中a，b均为正数，求y关于x的回归方程．思路分析：解答此题可根据散点图选择恰当的拟合函数，而本题已经给出，只需将其转化为线性函数，利用最小二乘法求得回归直线方程，再将其还原为非线性回归方程即可．解：对y＝abxe0两边取自然对数，得ln y＝ln ae0＋xln b，令z＝ln y，则z与x的数据如下表：由z＝ln ae0＋xln b及最小二乘法公式，得ln b≈0.047 7，ln ae0＝2.378，即＝2.378＋0.047 7x，所以＝10.8×1.05x.规律小结非线性回归方程的求法探究四易错辨析易错点求回归方程时忽略相关性检验致误【典型例题4】在一化学反应过程中，某化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了如下表所示的8组数据，试建立y与x之间的回归方程.错解：由表中数据可得＝25.5，＝95.125，i2＝5 580，iyi＝24 297，所以＝＝≈12.94，＝－≈95.125－12.94×25.5＝－234.845，所以y与x之间的回归方程为＝12.94x－234.845.错因分析：解题前没有审好题，原题求的是回归方程，并不是回归直线方程，故应先进行相关性检验，再求回归方程，不能盲目地求回归直线方程．正解：根据收集的数据作散点图，如图所示．根据样本点的分布情况，可选用指数型函数模型y＝c1 (c1，c2为待定的参数)，令z＝ln y，则z＝c2x＋ln c1，即变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，由y与x的数据表得z与x的数据表如下：作出z与x的散点图，如图所示，由图可以看出变换后的样本点分布在一条直线附近，所以可用线性回归方程来拟合．由表中数据可得≈0.181 2，≈－0.848 5，故＝0.181 2x－0.848 5，所以＝e0.181 2x－0.848 5，因此该化学物质的反应速度与催化剂的量的非线性回归方程为＝e0.181 2x－0.848 5.高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课堂探究新人教A版选修1-2探究一求回归直线方程求回归直线方程的一般方法是：(1)作出散点图，将问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，这样表示出的具有相关关系的两个变量的一组数据的图形就是散点图．从散点图中我们可以看出样本点是否呈条状分布，从而判断两个量是否具有线性相关关系．(2)求回归系数，，其计算公式如下：＝＝；＝－ .其中＝，＝，(，)称为样本点的中心．(3)写出回归直线方程＝x＋，并用回归直线方程进行预测说明：当x取x0时，由线性回归方程可得的值，从而可进行相应的判断．【典型例题1】某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．思路分析：先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关，再利用公式求线性回归模型．解：(1)如图所示．(2)因为＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054，＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.所以＝＝≈0.625，＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y对x的回归直线方程是＝0.625x＋22.05.(3)x＝96，则＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.探究二残差分析1．利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差，，…，来判断模型拟合的效果．2．若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．【典型例题2】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？思路分析：求出参数与，然后求出回归直线方程，再检验模型拟合效果，计算出残差，得出结论．解：(1)散点图如下．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为＝x＋，＝30.36，＝43.5，i2＝5 101.56，i2＝9 511.43.＝1 320.66，＝921.729 6，iyi＝6 746.76.由＝≈0.29，＝－≈34.70，故所求的回归直线方程为＝34.70＋0.29x.当x＝56.7时，＝34.70＋0.29×56.7＝51.143.估计成熟期有效穗为51.143.(3)由于＝ xi＋，可以算得＝yi－分别为＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624，残差平方和：≈8.43.(4)可得：(yi－)2＝50.18，∴R2＝1－≈0.832.所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了83.2%，残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.探究三非线性回归分析在解决实际问题时，研究的两个变量不一定都呈线性相关关系．对于这类问题，常采用适当的变量代换，把问题转化为线性回归问题，求出线性回归模型后，再通过相应的变换，得到非线性回归方程．【典型例题3】某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)有如下关系：y＝abxe0.其中a，b均为正数，求y关于x的回归方程．思路分析：解答此题可根据散点图选择恰当的拟合函数，而本题已经给出，只需将其转化为线性函数，利用最小二乘法求得回归直线方程，再将其还原为非线性回归方程即可．解：对y＝abxe0两边取自然对数，得ln y＝ln ae0＋xln b，令z＝ln y，则z与x的数据如下表：由z＝ln ae0＋xln b及最小二乘法公式，得ln b≈0.047 7，ln ae0＝2.378，即＝2.378＋0.047 7x，所以＝10.8×1.05x.规律小结非线性回归方程的求法探究四易错辨析易错点求回归方程时忽略相关性检验致误【典型例题4】在一化学反应过程中，某化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了如下表所示的8组数据，试建立y与x之间的回归方程.错解：由表中数据可得＝25.5，＝95.125，i2＝5 580，iyi＝24 297，所以＝＝≈12.94，＝－≈95.125－12.94×25.5＝－234.845，所以y与x之间的回归方程为＝12.94x－234.845.错因分析：解题前没有审好题，原题求的是回归方程，并不是回归直线方程，故应先进行相关性检验，再求回归方程，不能盲目地求回归直线方程．正解：根据收集的数据作散点图，如图所示．根据样本点的分布情况，可选用指数型函数模型y＝c1 (c1，c2为待定的参数)，令z＝ln y，则z＝c2x＋ln c1，即变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，由y与x的数据表得z与x的数据表如下：作出z与x的散点图，如图所示，由图可以看出变换后的样本点分布在一条直线附近，所以可用线性回归方程来拟合．由表中数据可得≈0.181 2，≈－0.848 5，故＝0.181 2x－0.848 5，所以＝e0.181 2x－0.848 5，因此该化学物质的反应速度与催化剂的量的非线性回归方程为＝e0.181 2x－0.848 5.。
高中数学《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》教案2 新人教A版选修1-2
11.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑. （2）学习要领：①注意i y 、 i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数 22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论. （答案：52211521()155110.8451000()i i i ii y y R y y ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()iii ii y y y y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.第三课时。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_7
1.1回归分析的基本思想及其初步应用教学设计一．教学目标设计： (1).知识与技能：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (2).过程与方法：通过本课程德尔学习，使学生了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (3).情感,态度与价值观：充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题 二．教学重点设计：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 三，教学难点设计：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 四．教学过程设计： （一）、复习探究：设计例1，既复习了以前的知识，又做好了前后知识的衔接，承上启下。
再通过三个思考设问，引出新课。
（二）、讲授新课：1. 通过散点图，让学生直观感受线性回归模型与一次函数的不同。
2. 通过散点图，让学生体会预报身高与实际身高的关系，进而得到线性回归模型y bx a e =++，引出残差变量e 。
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报身高为172cm的女大学生的体重。
例1. 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重如下：3. 作残差分析。
（1）介绍残差的概念和计算方法。
（2）作残差图，使学生了解，通过残差图可以直观的观测出两变量相关性的强弱。
同时感受残差图的优势和不足。
顺势引出相关系数2R4. 相关系数2R（1）介绍相关系数2R的计算公式（2）解释相关系数2R的意义及与r的关系。
5. 例题的设计通过例题的讲述，是学生掌握：（1）样本数据的中心点与回归直线的位置关系（2）回顾模型的建立方法。
（3）回归分析的思想和方法，用残差图与相关系数判断拟合效果的方法和步骤。
6. 归纳出回顾模型的建立方法（三）、课堂小结设计：由学生归纳出本节课的知识点和思想方法。
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教材解读素材 新人教A版选修1-2
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回归分析的基本思想及其初步应用教材解读错误!通过实际操作进一步理解建立两相关变量的线性回归模型的思想，求线性回归方程，判断回归模型拟合的好坏．错误!残差变量的解释与分析及指标R2的理解．错误!(四)思维总结（1)求回归直线方程的一般方法．①作出散点图，将问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，这样表示出的具有相关关系的两个变量的一组数据的图形就是散点图，从散点图中我们可以看出样本点是否呈条状分布，从而判断两个变量是否线性相关．②求回归系数a，^，错误!,其中称为残差平方和，残差平方和在一定程度上反映了所选回归模型的拟合效果．残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好;残差平方和越大，说明拟合效果越差．③通过残差分析判断模型拟合效果：先计算出残差错误!i＝y i－错误!i＝y i－错误!x i－错误!,i ＝1，2，…,n，然后横坐标选取为样本编号、解释变量或预报变量，纵坐标为残差，作出残差图．通过图形分析，如果样本点的残差较大，就要分析样本数据的采集是否有错误；另一方面，可以通过残差点分布的水平带状区域的宽窄说明模型拟合效果，反映回归方程的预报精度．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．(3）相关指数R2.①相关指数的计算公式是R2＝其中为残差平方和．相关指数用来刻画回归模型拟合的效果，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好；R2的值越小，说明拟合效果越差．②如果某组样本数据可以采取几种不同的回归模型进行回归分析,则可以通过比较R2的值来作出选择,即选择R2值大的模型作为这组数据的回归模型．③在线性回归模型中R2是刻画回归效果的量，即表示回归模型的拟合效果，也表示解释变量和预报变量的线性相关关系．R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率．。
高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课件2新人教A版选修12083033
如果不是,你能解释一下原因吗?
第十一页，共43页。
显然身高为172cm的女大学生的体重不一定 是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右.图1.1- 2中的样本点和回归直线的相互位置 说明了这一点.
·
第十二页，共43页。
第二十六页，共43页。
产卵(chǎn luǎn)数/个
350
300
250
200
150
100
50
0 20 22 24 26 28 30 32 34 36
图1.1 5
温度/℃
在图1.1 5中,样本点并没有分布在某个带状区域
内,因此两个变量不呈线 性 相关关系, 不能直接利用线
性回归方程来建立两个变量之间的关系.
1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体.例如, 不能用女大学生的身高和体重之间的回归方程,描述 女运动员的身高和体重之间的关系.同样,不能用生长 在南方多雨地区的树木的高与直径之间的回归方程, 描述北方干旱地区的树木的高与直径之间的关系.
第二十一页，共43页。
2.我们所建立的回归方程一般都有时间性.例如, 不 能用20世纪80年代的身高、体重数据所建立的回归 方程, 描述现在的身高和体重之间的关系.
实际上 ,一个人的体重值除了受身高的影响外, 还受许多其他因素的影响 .例如,饮食习惯、是否喜 欢运动、度量误差等.另外 ,我们选用的线性模型往 往只是一种近似的模型 .所有这些因素都会导致随 机误差项e的产生.
线性回归模型（1）与我们熟悉的一次函数模型 的不同之处是增加了随机误差项e，因变量y的值由 自变量x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释 部分y的变化.在统计中，我们也把自变量x称为解释 变量，因变量y称为预报变量.
高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用课件新人教A版选修1-2
[知识提炼·梳理]
1．回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变 量的散点图，求回归方程，并用回归方程进行预报．
2．线性回归模型
(2)线性回归模型 y＝bx＋a＋e，其中 e 称为随机误差， 自变量 x 称为解释变量，因变量 y 称为预报变量．
[变式训练] 某个服装店经营某种服装，在某周内获 纯利 y(元)与该周每天销售这种服装件数 x 之间的一组数 据关系见表：
x3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91
类型 2 线性回归分析(互动探究) [典例 2] 为研究重量 x(单位：克)对弹簧长度 y(单位： 厘米)的影响，对不同重量的 6 个物体进行测量，数据如 下表所示：
试建立 y 与 x 之间的回归方程．
解：作出变量 y 与 x 之间的散点图如图所示．
由图可知变量 y 与 x 近似地呈反比例函数关系． 设 y＝kx，令 t＝1x，则 y＝kt.由 y 与 x 的数据表可得 y 与 t 的数据表：
t 4 2 1 0.5 0.25
y 16 12 5 2
1
作出 y 与 t 的散点图如图所示．
B．y＝a＋bln x
h D．y＝a·ex
1．对线性回归方程的理解： (1)从参数计算公式^a＝－y －^b－x 中，我们可以看出， 回归直线方程^y＝^bx＋^a一定经过点(－x ，－y )．我们把(－x ， －y )称为样本点的中心．
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入 y
2.9
3.3
3.6
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_28
3.1回归分析的基本思想及其初步应用的教学设计（1）
一、教学任务分析
通过例1的教学，使学生进一步了解与线性回归模型有关的一些统计思想，1、引入残差变量的必要性，2、残差分析和相关指数R2的作用，3、对于模型预报结果的正确认识。
二、教学重点与难点
重点：1、了解回归模型与函数模型的区别2、了解任何模型只能近似描述实际问题
3、模型拟合效果的分析工具：残差分析和指标R2.
难点： 1.残差变量的解释与分析，2、相关指数R2的理解
三、教学基本流程
四、教学情境设计。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_12
教学设计一、教学目标【知识与技能】了解线性回归模型与函数模型的区别；正确理解回归方程的预报结果；能从残差分析和相关指数2R的角度分析回归模型的拟合效果。
【过程与方法】在对典型案例探究过程中，学会借助计算机中的Excel软件处理数据及作图，充分经历“做数学”的过程。
【情感、态度与价值观】通过对典型案例的探究，进一步体会回归分析的基本思想，了解回归分析的实际应用，感受数学“源于生活，用于生活”，提高学习兴趣。
经历数据处理的全过程，培养对数据的直观感觉，养成科学严谨、认真仔细的学习态度，同时也不断增强应用现代化技术手段处理数据的能力。
二、教学重、难点【重点】了解回归模型和函数模型的区别；了解模型拟合效果的分析工具——残差分析和相关指数2R。
【难点】解释、分析残差变量；理解2R的含义.三、教学过程（一）知识链接1、两个变量间的关系分为：__________、__________、_________.2、如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的_________，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系.3、回归分析的步骤：①_______________②_______________③______________4、求回归直线方程：____________________(其中ˆˆ,ab 是待定参数) 由最小二乘法公式得：5、回归直线方程恒过点__________________.【设计意图】课前通过智慧课堂平台给学生分享一个微视频，并要求结合微视频完成学案上的知识链接。
课上，学生对照课件自主订正。
目的是通过有效的复习回顾，为本节课的学习打下坚实的基础。
（二） 情境引入1、观看一段新闻报道——广东省紫金县多人感染丙肝事件.2、从高二9、10班的所有女生中随机选取8名，其身高和体重数据如下表：160cm 的女生的体重.1122211()()ˆ,()ˆ_________________________n ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx a ====⎧---⎪==⎪⎨--⎪⎪=⎩∑∑∑∑【设计意图】短视频的链接是为了引入课题，同时也能有效的激发学生的好奇心和求知欲，调动学生的学习热情。
高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用预习导航新人教A版选修1-2
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
预习导航 新人教A 版选修1-2
1．线性回归模型 (1)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为随机误差．自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量． (2)在线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^ ＝，a ^＝y －b ^x ，其中x ＝，y ＝，(x ，y )称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心．
思考1 线性回归模型与一次函数模型的区别在哪里？
提示：线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e ，在线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 中，因变量y 的值由自变量x 和随机误差e 共同确定，即自变量x 只能解释部分y 的变化．在实际问题中，线性回归模型适用的范围要比一次函数模型适用的范围大得多，当随机变量e 恒等于0时，线性回归模型就变成了一次函数模型，因此一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式．
思考2 回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？ 提示：不一定是真实值，利用线性回归方程求出的值，只是个预报值，例如人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高影响外，还受其他因素影响，如饮食等．
2．刻画回归效果的方式
提示：R2的值越大，说明回归模型拟合的效果越好，残差平方和越小，反之，亦成立．思考4 怎样理解散点图和R2的关系？
提示：散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但不能精确地说明两个变量之间关系的密切程度，因此需要计算R2来描述两个变量之间的密切程度．。
高中数学人教A版选修1-2教案1.1回归分析的基本思想及其初步应用(共4课时)
第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学目标：(1).知识与技能：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (2).过程与方法：了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (3).情感,态度与价值观：充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学方法:讲解法,引导法 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm165165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右.③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型.因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 三,课堂练习1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与视力 C.人的身高与体重D.匀速直线运动中的位移与时间2. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ） A. 预报变量在x 轴上，解释变量在 y 轴上 B. 解释变量在x 轴上，预报变量在 y 轴上 C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D. 可选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上3. 回归直线y bx a =+必过（ ）A. (0,0)B. (,0)xC. (0,)yD. (,)x y 4.r 越接近于1，两个变量的线性相关关系 .5. 已知回归直线方程0.50.81y x =-,则25x =时,y 的估计值为 四,总结求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.五:作业:一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）画散点图；（2）求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？板书设计1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）例1第一步：作散点图 , 第二步：求回归方程 , 第三步：代值计算解释线性回归模型与一次函数的不同课堂练习:总结:作业:课后反思:1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学目标：(1).知识与技能：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型(2).过程与方法：了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果.(3).情感,态度与价值观：充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学方法:讲解法,引导法 教学过程： 一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑.（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()nnni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.2. 教学例题：例2 关于x 与Y 有如下数据： x 2 4 5 6 8 y3040605070为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.（答案：52211521()155110.8451000()i iiiiy yRy y==-=-=-=-∑∑，221R=-521521()18010.821000()i iiiiy yy y==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）三,课堂练习2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反 D. a与r的符号相反3. 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：四,总结分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.五:作业:1.下列有关线性回归的说法，不正确的是()A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图C．线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x，y之间的关系D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程2. 在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合最好的模型是（）A.模型1的相关指数为0.98B.模型2的相关指数为0.80C.模型3的相关指数为0.50D.模型4的相关指数为0.25板书设计1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）(1）总偏差平方和：回归平方和：残差平方和：例2关于x与Y有如下数据课堂练习:总结:作业:课后反思:1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）教学目标：(1).知识与技能：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。
高中数学 第一章 统计案例 1.1.1 回归分析的基本思想及其初步应用导学案新人教A版选修1-2
回归分析的基本思想及其初步应用
—相关指数和残差分析．
．当一个变量取值改变时，另一个变量的取值随之改变，
这样的两个变量之间的关系叫做相关关系．
知识点2：线性回归分析
．回归分析是处理两个变量之间__________常用的一种统计方法．若两个变
的绝对值越接近
线性相关关系．通常当
__________
．在研究两
数据中是否存在可疑数据，这方面的分析
往
x
负相关
的观测数据的平均值都是
，则回归直线方程是
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系
有如下的统计：。
高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用检测新人教A版选修1-2(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用检测新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用检测新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用检测新人教A版选修1-2的全部内容。
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用A级基础巩固一、选择题1．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（)A．①②B．①③C．②③D．③④解析：图①，③中的点大致在一条直线附近，适合用线性回归模型拟合．答案：B2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且错误!＝2。
347x－6.423;②y与x负相关且错误!＝－3。
476x－5.648;③y与x正相关且错误!＝5.437x＋8。
493;④y与x正相关且错误!＝－4.326x－4.578。
其中一定不正确的结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①中y与x负相关而斜率为正，不正确;④中y与x正相关而斜率为负,不正确．答案：D3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如表:甲乙丙丁A．甲B．乙C．丙D．丁解析:相关指数R2越大,表示回归模型的效果越好．答案:A4．已知x与y之间的一组数据如下表：已求得y关于x错误!m的值为（)A．1 B．0.85C．0.7 D．0。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_18
§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
【学情分析】：
学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。
在教学中，要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义，注重让学生参与实践。
【教学目标】：
（1）知识与技能：回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模
型的步骤，了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分
析。
（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出
相应的回归直线方程并进行残差分析。
（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，从而激发学生
的好奇心和求知欲。
【教学重点】：
1.了解线性回归模型与函数模型的差异；
2.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；
【教学难点】：
1.了解建立回归模型的步骤；
2.会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果
3.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；
已知回归直线的斜率的估计值为
归直线方程为（
Ａ．
．。
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及初步应用(2)练习(含解析)新人教A版选修1
高中数学第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及初步应用（2）练习（含解析）新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及初步应用（2）练习（含解析）新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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回归分析的基本思想及其初步应用（二）班级： 姓名:_____________1． 在判断两个变量y 与x 是否相关时，选择了4个不同的模型,它们的相关指数R 2分别为：模型1的相关指数R 2为0.98，模型2的相关指数R 2为0.80，模型3的相关指数R 2为0.50,模型4的相关指数R 2为0。
25。
其中拟合效果最好的模型是（ )．A ．模型1B ．模型2C ．模型3D ．模型4解析 相关指数R 2能够刻画用回归模型拟合数据的效果,相关指数R 2的值越接近于1，说明回归模型拟合数据的效果越好． 答案 A2．若一组观测值（x 1，y 1）,(x 2，y 2)，…，（x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i （i ＝1，2，…，n ）,且e i 恒为0，则R 2为________． 解析 由e i 恒为0，知y i ＝错误!i ，即y i －错误!i ＝0， 故R 2＝1－错误!＝1－0＝1. 答案 13． 已知回归方程35.0log 21.1ˆ2-=x y，则样本点P (4，2．71)的残差为________________。
人教A版高中数学选修1-2《一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案_22
§1.1 回归分析的基本思想及其初步（第一课时）教学目标1、让学生明确用统计方法解决实际应用问题的思路；2、了解线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤；3、了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。
理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义；4、了解随机误差e的认识5、通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确解决回归模型的基本步骤，体会回归分析在生产实际和日常生活中的广泛应用．教学重点1、了解线性回归模型与函数模型的差异；2、了解任何模型只能近似描述实际问题；3、通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析。
教学难点1、了解线性回归模型与一次函数模型的差异；2、了解随机误差e的认识教学准备课件教学过程1、问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，个子较高的人体重比较大，你认为这种说法一定正确吗？学生思考、讨论，教师引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相关关系）问题二：什么是回归分析？用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行研究的基本步骤是怎样的？（学生回忆、交流，教师点评）回归分析的基本过程：⑴画出两个变量的散点图；⑵判断是否线性相关⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）⑷并用回归直线方程进行预报2、例题讲解：例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重。
审题：提问引导学生理解题意①数据体重与身高之间是一种不确定性的关系，它们是否具有线性相关关系？如何判断？②数据体重与身高谁是自变量，谁是因变量？你能求出求出用身高预报体重的回归方程吗？学生根据以前所学的知识，自主解答后，讨论、交流展示。
解：①画出散点图，以身高为自变量x ，体重为因变量y 画出散点图。
从散点图中可以看出样本点呈条状分布，身高与体重之间具有较好的线性相关关系，可以用回归直线来近似刻画它们之间的关系。
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课件 新人教A版选修1-2
【解题策略】
残差分析的思路
(1)要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可以用线性回归模型来
拟合数据.
(2)通过残差
eˆ
,
1
,e…ˆ 2 ,
来判eˆ 断n 模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可
疑数据,这种分析工作称为残差分析,可以借助残差图来进行观察.
【跟踪训练】 假设关于某设备的使用年限x(单位:年)和支出的维修费用y(单位:万元),有如表的 统计资料:
5
(yi- )2yˆ =i 0.651.
i 1
5
(4)R2=1- i 1 ( y i yˆ=i ) 12 5 (yi y)2 i1
≈0 0. 6 .591 58 7,模型的拟合效果较好,使用年限解
1 5 .7 8
释了95.87%的维修费用支出.
类型三 非线性回归分析(数据分析、数学运算) 【典例】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位: 千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和 年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
,aybx,
i1
i1
其中 xn 1i n1xi,yn 1i n1yi（ , x,y） 称为变量样本点的中心,回归直线过样本点的中
心.
(2)线性回归模型y=bx+a+e,其中e称为随机误差,自变量x称为解释变量,因变量
y称为预报变量.
【思考】 (1)预报值y与真实值y之间误差大了好还是小了好? 提示:越小越好. (2)随机误差产生的原因是什么? 提示:主要有:所用的拟合函数不恰当;忽略了某些因素的影响;存在观测误差等.
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回归分析的基本思想及其初步（二）
【学情分析】：
学生已掌握建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。
在教学中，要结合实例让学生了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和。
初步了解可以通过求回归模型的相关指数或利用残差分析不同的回归模型的拟合精确度。
在起点低的班级中注重让学生参与实践，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而进一步体会回归分析中的数理计算，初步形成运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
让学生直观的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和；了解偏差平方和分解的思想；了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型。
（2）过程与方法：
本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，进而学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果。
（3）情感态度与价值观：
从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。
【教学重点】：
1、了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；
2、通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。
【教学难点】：
1、解释残差变量的含义；
2、了解偏差平方和分解的思想。
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】：
列表计算出各个量
编号 1 2 3 4 5 6 7 温度
21 23 25 27 29 32 35
/°C
产卵数y/
7 11 21 24 66 115 325
个。