数学竞赛问题04-10

100. 求出所有的实数 k ,使得关于 x 的方 程 x + ( k + 2002) x − k 2 = 0 的两个根皆为整 数. 101. 求出方程 x 2 + y 2 + 3xy + 4004( x + y ) + (2002) 2 = 0
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的所有整数解 ( x , y ) . 102. 设 a 是一个实参数 ,使得下列方程 sin x + cos y = 1, 组: cos x + sin y = a, 总有实数解 ( x , y ) ,试求出的 a 取值范围. 103. 设 a 是一个实参数,使得下列方程组: sin x + cos y = 1, 10 sin y = a, cos x − 8 总有实数解 ( x , y ) ,试求出 a 的取值范围. 104. 给定一个正整数 k ,求证 : 存在无限 多组正整数对 (a ,b ) (a ≤ b ) , 使得 ab 能整除 (a + b + k ) 2 . 105. 是否存在函数 f : N → N , 使得对 于每一个 n ∈ N ,都有 f ( n) ⋅ f ( f ( n) ) = ( n + 1) 2 并说明理由. 106. 给定一个正数 k , 在△ ABC 中 , 角 A, B, C 的对边长度分别是 a, b, c ,且 k ( c − a) 等于 AC 边上的高 h ,试求 C−A C+ A f = sin + cos 2 2 的取值范围. 107. 试求出所有的函数 f : R → R ,使得 对于任何的 x, y ∈ R ,都有 f ( x m + y + f ( n ) ( y)) = − y + 3 f ( y) + ( f ( x)) m ( m, n 是给定的正整数, f ( n) ( y) 表示 f ( y) 的 n 次迭代) 108. 给定一个常数 k ≠ 0 ,试求出所有的 函数 f : R → R , 使得对于任何的 x, y ∈ R , 都 有 f ( kf ( x) + xf ( y ) ) = f (kx) + xf ( y ) . 109. 设 I 是 ∆ABC 的内心,直线 CI 和 BI 分 别 交 对 边 AB 和 AC 于 点 P 和 Q , 求 证 : IP = IQ 的 充 分 必 要 条 件 是 ∠BAC = 600 或 AB = AC .
y5 + y6 + y7 = 10 ,有 C92 组正整数解.
3 此时①有满足条件的 C19 ⋅ C92 = 34884 组 正整数解. ⑶当 m = 7, n = 17 时,设 xi = 7 yi (i = 1,2,3,
4) , x j = 13 y j ( j = 5,6,7) .
3 y1 + y2 + y3 + y4 = 7 ,有 C6 组正整数解; 2 组正整数解; y5 + y6 + y7 = 17 ,有 C16 3 2 此时①有满足条件的 C6 ⋅ C16 = 2400 组 正整数解, 综上,①满足条件的正整数解的组数为 3 3 3 2 C32 + C19 ⋅ C92 + C6 ⋅ C16 = 4960 + 34884 + 2400 = 42244 . (本刊资料室)
4 −1 3 程 y1 + y2 + y3 + y4 = 33 , 有 C33 − 1 = C32 = 4960
− 3 + 1, 0 ,显然,满足题设条件,且 2a3 + 27c − 9ab 48 3 − 36 3 3 3 = = , λ3 8 2 2a3 + 27c − 9ab 3 3 的最大值为 所以 . 3 λ 2 三 、在世界杯足球赛前, F 国教练为了考 察 A1, A2, A3 , A4 , A5 , A6 , A7 这七名队员 ,准备让 他们在三场训练比赛 (每场 90 分钟 )都上场. 假设在比赛的任何时刻 ,这些队员中有且仅 有一人在场上 ,并且 A1 , A2 , A3 , A4 每人上场的 总时间(以分种为单位)均被 7 整除, A5 , A6 , A7 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 13 整 除 . 如果每场换人次数不限 ,那么按每名队员 上场的总时间计算,共有多少种不同的情况. 解 设第 i 名队员上场的时间为 xi 分钟 (i = 1, 2 , xi ⋅ ⋅ ⋅7) ,问题即为求不定方程 x1 + x2 + L + x7 = 270 , ①
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注:本题是对第 35 届(1994)IMO 的第 5 题的改进和推广. 119. 试求出所有的正整数 a 和 b (a ≤ b ) , 使得 (a + 1)(b + 1) 能整除 a 2 + b 2 + 1 . 120. 确定所有的正整数对 (a ,b ) ,使得 a 整除 b 2 + 1 ,且 b 整除 a 2 + 2 . 121. 试求出所有的函数 f : R → R ,使得 对于任何的 x, y ∈ R ,都有 f ( x 2 + y 2 ) = xf ( x) + yf ( y ) . 122. 给定两个正数 S 和 a1 ,定义 an +1 =
组正整数解, 3 此时①有满足条件的 C32 = 4960 组正整 数解. ⑵当 m = 20, n = 10 时 ,设 xi = 7 yi (i = 1,2, 3,4) , x j = 13 y j ( j = 5,6,7)
3 y1 + y2 + y3 + y4 = 20 ,有 C19 组正整数解;
在条件 7| xi (i = 1,2,3,4) 且 13| x j ( j = 5,6,7) 下 的正整数解的组数, 若 ( x1 ,x2 ,L ,x7 ) 是满足条件①的一组正 整数解,则应有 x1 + x2 + x3 + x4 = 7 m , x5 + x6 + x7 = 13n , m, n ∈ N . 于是 m, n 即是不等方程 7m + 13n = 270 ② 在条件 m ≥ 4, n ≥ 3 ,下的一组正整数解. 由②得 270 − 13n 4 − 6n m= = 38 − n + . 7 7 易观察到 m = 33, n = 3 是不定方程②在条件 m ≥ 4, n ≥ 3 下的一组正整数解. 进而 m = 20, n = 10 ; m = 7, n = 17 也是② 满足条件的正整数解,并且仅有上述三组解, ⑴ 当 m = 33, n = 3 时 , 显 然 x5 = x6 = x7 =
1 + an (n = 1,2,3,⋅⋅⋅) ,试求极限 lim an . x→+∞ 1 + (an )s
114. 试求出所有的函数 f : R → R ,使得 对于任何的 x, y ∈ R ,都有 f ( x 2 + y + 2 f ( y)) = 2 y + f ( y) + ( f ( x)) 2 . 115、试求出所有的函数 f : R → R ,使得 对于任何的 x, y ∈ R ,都有 f ( x 2 + y + f ( y) ) = xf ( x) − f ( y) 116. 试求出所有的函数 f : R → R ,使得 对于任何的 x, y ∈ R ,都有 f ( f ( x) + xf ( y) ) = x + f ( xy) . 117. 试求出所有的函数 f : R → R ,使得 对于任何的 x, y ∈ R ,都有 f ( xf ( y) ) = (1 − y ) f ( xy ) + x 2 y2 f ( y) 118. 试 求 出 所 有 的 严 格 单 调 函 数 f : R → R ,使得对于任何的 x, y ∈ R ,都有 f ( x + f ( y ) + xf ( y)) = y + f ( x) + yf ( x).
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数学竞赛问题(5)
广州大学理学院数学系 吴伟朝
89. 设 a1 = 1 , an +1 = 2 an + 3n (n + 6) ( n = 1, 2,3,L) . ⑴ 求通项公式 an ; ⑵ 求出所有的 n ,使得 an 能被 110 整除; ⑶ 问:此数列中是否有无限多个项 an ,能 被 2002 整除？如果有 ,请找出无限多个 n ,使 之满足要求,即 2002 整除 an . 90. 设 n 和 m 为正整数,求和: S = ∑ 2i (m − i ) 2 .
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3 110. 已知 0 < x < π ,求证: 4 π x −1 sin( x + ) > . 4 2 111. 试 求 出 所 有 的 整 数 n , 使 得 2 n + 2002 能整除 n5 + 2002 . 112. 试求出所有的函数 f : R → R ,使得 对于任何的 x, y ∈ R ,都有 1 f ( f ( x) + xf ( y )) = 1 − ( f ( x) + xf ( y)) 2 . 2 113. 试求出所有的函数 f : R →3; 3 f ( y ) ) = f ( y ) + 2 y + ( f ( x) ) .
于是 2a 3 + 27c − 9ab ≤ 取 则
3 3 . 2 a = 2 3, b = 2, c = 0, λ = 2 , f ( x) = x3 + 2 3 x2 + 2 x , 有实根 − 3 − 1,
13 ,仅有一种可能. 又设 xi = 7 yi (i = 1,2,3,4) ,于是由不定方
i =1 n
(答案写成关于 n 和 m 的最简式子)