12.5.2因式分解

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八年级数学上册第12章整式的乘除 12.5 因式分解 2 公式法课件

(2)原式=（2a）²－ 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2.
第十六页，共二十页。
3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì)，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.计算： 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
第十八页，共二十页。
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。（3）-x2-y2。三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）。3.中间有两底数之积的±2倍.。（5）x2+x+0.25.。（4）因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平方式，。（2）-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）。分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分解因式。1002－2×100×99+99²。二套：公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
第六页，共二十页。
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2

八年级数学上册第12章整式的乘除 12.5 因式分解第2课时因式分解教案 (新版)华东师大版

第2课时因式分解(2)1．能熟练运用公式将多项式进行因式分解．2．能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底．3．提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力．重点掌握公式法进行因式分解．难点找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底．一、创设情境1．乘法公式有哪些？(1)两数和乘以这两数的差的公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)两数和或差的完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.2．试计算：(1)(a＋3)(a－3)；(2)(a－3b)2；(3)(a＋2b)2.二、探究新知1．根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？(1)a2－6ab＋9b2＝( )( )；(2)a2－9＝( )( )；(3)a2＋4ab＋4b2＝( )( )．2．观察复习与回顾的练习，你能发现它们之间的联系与区别吗？学生反复仔细观察、对比，找出其中的联系与区别．议一议：由a(a＋1)(a－1)得到a3－a是什么运算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与它有什么不同？3．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.4．说一说：利用a2－b2＝(a＋b)(a－b)和a2±2ab＋b2＝(a±b)2乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法就称为公式法．其中，a，b可以表示单项式，也可以表示多项式．判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？(1)x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)；(2)2x(x－3y)＝2x2－6xy；(3)(5a－1)2＝25a2－10a＋1；(4)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(5)(a＋3)(a－3)＝a2－9；(6)m2－4＝(m＋2)(m－2)．三、练习巩固1．把下列各式分解因式：(1)－492＋x2；(2)4(x＋m)2－(x－m)2.2．把下列各式分解因式：(1)x2－12xy＋36y2；(2)a2－14ab＋49b2；(3)16a4＋24a2b2＋9b4；(4)49a2－112ab＋64b2.3．把下列各式分解因式：(1)a3－14a2＋49a；(2)3a3－27ab2；(3)2am＋an＋2bm＋bn；(4)－20xy＋25x2＋4y2.四、小结与作业小结1．在这节课中你学到了什么？2．因式分解和整式乘法有何区别？3．分解因式要注意几个问题？4．常用的因式分解有几种方法？作业教材第45页习题12.5第1题(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)，第3题．本节课中公式法与提公因式法常综合使用，注意通过适当地训练与归纳使之熟练化，对于复杂变形后的因式分解，课标不做要求，不必加重学生负担．。

华东师大版数学八年级上册12.5.2 因式分解-运用两数和的平方进行因式分解课件

两数和(或差)的平方，等于首平方，尾平方，积的2倍放中央。
复习
1、下列是完全平方式的是( D )
A x2 2xy y 2 B 4a2 4ab 2b2 C mn2 2mn 1 D a2b2 10ab 25
导入
2.填空：
(1)m2 ( ±4mn ) 4n2 ( m±2n )2
(3) 4a2b 24ab 36b
(2)x2 y 2 y2 x y3
(4)5x(4 y 5x) 4 y2
公式法分解因式：
两数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两数的和(或差)的平方。
因式分解两数和(差)的平方公式：
a2±2ab+b2=(a±b)2
例1 因式分解：
(1) x2 6x 9
(2)4a2 12ab 9b2
(3)a2 a 1 4
(5) m2 8m 16
(4)m2 2mn n2
x2+2x+1+y2-6y+9=0
(x+1)2+(y-3)2=0
∴x+1=0 y-3=0
x
y
1 3
x 1 1
y3 3
练习:已知x y 2, xy 2，求x2 y2 6xy的值。
小结
因式分解的步骤：一提
二套
(两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式)
三化简
作业
(1)2x2 4x 2
(6)(a b)2 10(a b) 25
先将原式改写为两个平方项和一个2倍项的形式，确定首项和尾项
巩固练习
1.下列因式分解中，正确的是( D )
A m2 2mn n2 (m n)2 B m2 mn n2 (m n)2

12.5.2因式分解2

12.5因式分解第二课时公式法分解因式【学习目标】1. 了解因式分解的意义，能正确区分因式分解与与整式乘法运算。

2. 理解公因式的概念，会用提公因式法进行因式分解【重点难点】重点：了解因式分解的意义，能正确区分因式分解与与整式乘法运算。

难点：理解公因式的概念，会用提公因式法进行因式分解。

、【学法指导】自主预习，小组合作、归纳【知识链接】1、因式分解定义：2、两数和与这两数差的积，等于这两个数的3.用字母表示两数和（差）的平方公式为：【自学指导、合作探究】一、自学指导独立思考，相信聪明的你一定能出色完成下列任务！自学1、运用前面所学的知识填空：（1） m （a ＋b ＋c ）＝；（2）（a ＋b ）（a －b ）＝；（3）（a ＋b ）2＝．自学2、试一试填空：（1） ma ＋mb ＋mc ＝（）（）；（2） a 2－b 2＝（）（）；（3） a 2＋2ab ＋b 2＝（）2．自学3、思考；（1）公式法因式分解定义是什么？（2）常用的公式有几种？是什么？二、合作探究针对上述思考内容小组讨论归纳：公式法因式分解定义：常用的两种公式：平方差公式（1）平方差公式：；(2)完全平方公式：考考你：(1)多项式22y x +，22y x -，22y x +-，22y x --中能用平方差公式因式分解的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个（2）下列各式中能用完全平方公式因式分解的有（）A. 222y xy x -+B. 2241y xy x +- C. 222y xy x ++- D. 22y xy x ++例题讲解：例1把下列多项式分解因式：（1） 25x 2－16y 2；（2） x 2＋4xy ＋4y 2．例2：把下列各式分解因式(1) 2251b - (2) 110252++x x (3) 3a x 2+6axy+3ay 2归纳：把一个多项式因式分解，一般可按下列步骤进行：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

12.5.2运用公式法因式分解

(2) (x y)2 (x y) 1 4
用完全平方公式因式分解
(1)m2 2nm n2；（2）1 a a2 4
(3) 4x2 4xy y2；（4）1 9a2 6a (5)(a b)2 4ab；（6） 25y2 20xy 4x2
(7)(a b)2 2(a b) 1
复习：一、因式分解的定义：
1、 3xy3z 6x2 y2
2、把 2a(b-c) -3(b-c)分解因式.
二、提公因式的方法：①看系数，找系数的最大公约数 ②看字母，找所有项的相同字母 ③看指数，找相同字母的最小指数
三、整式的乘法与因式分解有什么关系？
平方差公式与完全平方公式 1、平方差公式： (a b)(a b) a2 b2
号提出来，或者交换加数的位置。（2）有公因式要先提公因式。（3看看可不可以运用平方差公式法（4）观察结果，看还可不可以分解。
14x2 64
2 1 b2 9a2
9
325a3 49a 4(2a 3b)2 (3a 2b)2 5a4 81 63x4 y(a b) 27x2 y3(a b)
本节课开始的速算题你现在会做吗？
（1） 20082 4016 2007 20072
解：原式 2008 2 2 2008 2007 2007 2
1 （2008 2007）2
（2） 20082 20072
解：原式（2008 2007）(2008 2007)
a2-b2=(a+b)(a-b) 四、因式分解的步骤：①首项有“-”，把“-” 提出来 ②有公因式先提，③使用平方差公式因式分解④检查最后结果是否分解完全。

12.5.2提公因式法

②a（x－y）＋b（y－x）
例5、已知ab＝7，a＋b＝6，求多项式a2b＋ab2的值.
巩固练习 1.分解因式：
（1）3x2－6xy+x （2）－6ab2+18a2b2－12a3b2c （3）－5a2b+15ab－10a （4）6(x－3)2+x(3－x)
（5）－x(a－x)(x－b)－m(a－x)(b－x)
∵ma＋mb＋mc＝m·a＋m·b＋m·c，这个多项式中每项都含有一个相同的因式 m ， ∴我们把 m 叫ma＋mb＋mc的公因式.
结论：一般地把多项式中各项都含有的相同的因式，叫做多项式的公因式 .
确定公因式
例1：请把下列多项式中的公因式填写在括号内：
①4kx－8ky（ 4k ）
②5y4＋20y2（ 5y2 ） ③a4＋2a3b－3a2（ a2 ） ④2x3y＋4x2y－6xy3（ 2xy ） ⑤－ab＋ab2＋a2b2（ ab ） ⑥（x－2）3－（x－2）2（ (x-2)2 ）
2.已知：a－b=3,ab=4, 求3a2b－3ab2的值.
实践P23例2及变式训练
规律与方法：如何确定公因式？系数：找各项系数的最大公约数 . 字母：找相同字母，并且取相同字母的最低次.
提公因式法的概念
如果一个多项式的各项都含有公因式，
那么就可以把这个公因式提出来，从而将
多项式化成几个整式的积的形式，这种因
式分解的方法叫提公因式法. 依据是：
ma＋mb＋mc＝m（a+b+c）
用提公因式法进行因式分解：例2：因式分解：7x2－21x
练习：①3x2＋6x－3 ②2x3＋4x2y－6xy3 ③a2＋2ab－3a
例3：因式分解：8a3b2－12ab3c－4ab

人教版2020八年级数学上册第12章整式的乘除 12.5 因式分解 12.5.2 因式分解教案

因式分解教学目标知识与技能使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。

过程与方法通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.情感态度与价值观通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系. 教学重点理解因式分解的意义，识别分解因式与整式乘法的关系。

教学难点通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 教学内容与过程教法学法设计一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题： 1.什么是因式分解？2.单项式 yx 22- ，yx 224 ，xy 2的公因式是什么？3. 多项式 ()n m +4 ，()n m +26的公因式是什么？4.把下列多项式分解因式： ()nm n m 2221051+ ； ()y xy x2422+ ；5.计算： ()()b a b a -+二. 导入课题，研究知识：今天这节课我们就来研究ba 22-类型的多项式的分解方法------------平方差的运用。

面向全体学生提出相关的问题。

明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。

.留给学生一定的思考和回顾知识的时间。

为学生创设表现才华的平台。

三.归纳知识，培养能力：1.利用平方差分解的法则：两数的平方差可分解为这两个数的和与这两个数的积的形式。

2.平方差公式：)b a )(b a (b a 22-+=-四.运用知识，分析解题：问题1 把下列多项式分解因式： ()yx 221-， ()9222-n m ，()nm 22943-， ()16942--y.问题2.把下列各式分解因式（1）22516x -= ；（2）22194a b -= ；问题3.下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解因式的是（）A ．22x z -+ B ．216x - C ．20.369a -- D ．2249n m -+五.课堂练习：请见教材六.课后小结：利用平方差公式分解因式。

12.5.2因式分解- 公式法

若a、b、c为△ABC的三边，且满足a ＋b ＋c ＝ ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状。
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
你的收获是什么？
第12章
整式的乘除
12.5.2
因式分解
--公式法
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,
叫做多项式的因式分解，也叫分解因式。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
将多项式分解因式：
运用前面所学的知识填空：
（1） (a － b)2 = ( a2 –2ab+b2 ) （2）(5a＋b)(5a－b）= ( 25a2–b2 ) （3）(a＋b)2 = ( a2+2ab+b2 )
将下列多项式分解因式： (1) 3am² -3an² (2) 3x³ +6x² y+3xy² (3) m4-1 (4) 16a4－40a2＋25 注意： 1、因式分解可能会分几步才能完成;
2、一定要分解到不能再分解为止。
因式分解的一般步骤：
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公
因式；
(a＋b)2
因式分解的公式
=
将乘法公式反过来用于进行因式分解，这种因式分解的方法称为公式法。平方差公式：适用于平方差形式的多项式. 完全平方公式：仅适用于完全平方式。
例：用公式法将下列多项式分解因式：
(1) x² +2xy+y² (2) 9x2-y4 (3) 4x2+4xy+y² (4) -a2b2+12ab-36 (5) (x+y)² -10(x+y)+25

人教版2020八年级数学上册第12章整式的乘除 12.5 因式分解 12.5.2 用公式法分解因式教案

12.5因式分解第2课时用公式法分解因式一、教学目标知识技能目标1、了解运用公式法的含义.2、理解逆用两数和乘以这两数的差公式的意义，弄清公式的形式和特点.3、初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式.过程方法目标运用对比的方法弄清“两数和乘以这两数的差的公式”与“逆用两数和乘以这两数的差的公式”的区别与联系.情感目标通过学习进一步理解数学知识间的密切联系，培养认真仔细学习的严谨态度.二、重点、难点与关键重点：初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式.难点：正确逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式.关键：弄清逆用两数和乘以这两数的差的公式的形式和特点.三、教学过程（一）复习1．填空：(1)(a+b)(a-b)=＿＿＿＿＿＿＿.(2)(a+b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿.(3)(a-b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2．说出1—20的平方的结果.（二）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式.于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做公式法.（三）逆用两数和乘以这两数的差的公式（平方差公式）1．平方差公式（1）公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)（2）请同学们先想一想应该怎样叙述这个公式？（可提示两数和乘以这两数的差的公式是怎样叙述的？）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，这个公式就是平方差公式.①注意与整式乘法中的语言叙述的区别，并以此来帮助同学们弄清两种公式的区别. ②多项式−−−−←−−−→−整式乘法因式分解（整式）⨯（整式）⨯……⨯（整式） 22a b -−−−−←−−−→−整式乘法因式分解()()a b a b +- 在整式乘法中平方差是计算的结果，而因式分解中的平方差则是待分解的多项式.在整式乘法中两数和乘以这两数的差是计算的条件，而因式分解中的两数和乘以这两数的差则是分解的结果.（3）形式和特点：运用条件：两个数平方差的形式（即公式的左边）；运用结果：这两个数的和与这两个数的差的积（即公式的右边，是两个二项式的乘积）.（4）例子：把x 2-16和9m 2-4n 2分解因式.很显然，这两题都不能用提公因式法来分解因式.而16=42，9m 2=(3m)2,4n 2=(2n)2,所以有 x 2-16=x 2-42=(x+4)(x-4)，9m 2-4n 2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n)。

12.5.2因式分解--平方差公式导学案 2022-2023学年华东师大版八年级数学上册

12.5.2 因式分解–平方差公式1. 学习目标•掌握平方差公式的定义和公式表达式；•能根据平方差公式将算式进行因式分解；•能够应用平方差公式解决实际问题。

2. 学前探究在了解平方差公式之前，我们需要先了解两个平方公式：•(a+b)2=a2+2ab+b2•(a−b)2=a2−2ab+b2根据这两个平方公式，可以将它们合并得到平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b23. 学习重点因式分解的方法和应用。

4. 学习难点如何应用平方差公式解决实际问题。

5. 学习方法通过解决实际问题，搭建起基础的数学知识模型，并结合所学的平方差公式进行拓展。

6. 学习内容对于以下两个式子：(a+b)2−4b2−4x2+(2y−1)2我们可以利用平方差公式进行因式分解。

对于第一个式子，我们可以分解得到：(a+b)2−4b2=[(a+b)+2b][(a+b)−2b]=a2+2ab+b2−4b2=a2+2ab−b2对于第二个式子，我们可以将其拆分为两个式子分别进行处理：−4x2+(2y−1)2=−(2x)2+(2y−1)2−(2y−1)2=−[(2x+2y−1)(2x−2y+1)]通过上述的因式分解，可以看出平方差公式在因式分解中的重要性。

应用平方差公式可以简化计算，提高效率，让我们更轻松地解决问题。

7. 学习总结在实际问题中，运用基础的数学知识，利用平方差公式进行因式分解，能大大提高我们的计算效率，让我们更快速地解决问题。

平方差公式是一个重要的数学工具，在以后的学习中还将继续运用到。

因此在今后的学习中，我们需要深入理解这个公式的含义，熟练掌握它的运用技巧，才能更好地应用到实际问题中。

《因式分解公式法教案 (公开课获奖)2022华师大版1 (新版)华东师大版

因式分解公式法128 (2+有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。

2、通过实例，探究出有理数除法法则。

会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化归思想。

重点：有理数除法法则的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0不能作除数以及0没有倒数的理解。

教学过程：一、创设情景，导入新课1、有理数乘法法则两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

有一个因数是0，积就为0.2、有理数乘法运算律：a×b = b×a (a×b)×c = a×(b×c). a×(b+c)=a×b + a×c3、计算（分组练习，然后交流）（见ppt）二、合作交流，解读探究1、（1）6个同样大小的苹果平均分给3个小孩，每个小孩分到几个苹果？（2）怎样计算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3）（－6）÷（－3）学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。

教师：引导学生回顾小学知识，根据除法是乘法的逆运算完成上例，要求6÷3即要求3×？＝6，由3×2＝6可知6÷3＝2。

同理（－6）÷3＝－2，6÷（－3）＝－2，（－6）÷（－3）＝2。

根据以上运算，你能发现什么规律？对于两个有理数a,b，其中b≠0，如果有一个有理数c 使得c×b=a，那么我们规定a÷b=c，称c叫做a除以b的商。

2、从有理数的除法是通过乘法来规定，引导学生对比乘法法则，自己总结有理数除法法则，经讨论后，板书有理数除法法则。

同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除。

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》(第2课时)教学设计

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第2课时）教学设计一. 教材分析《因式分解》（第2课时）是华师大版数学八年级上册12.5章的重要内容。

这部分内容主要包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法。

学生在学习这部分内容时，需要掌握因式分解的基本概念和方法，能够运用这些方法解决实际问题。

教材通过例题和练习题，帮助学生巩固因式分解的技巧，提高解题能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的乘法，具备一定的代数基础。

但是，对于因式分解的概念和方法，部分学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。

同时，由于因式分解的方法较多，学生可能难以区分和选择合适的方法，教师需要引导学生理解各种方法的适用场景，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解的基本方法，能够运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过例题和练习题，培养学生运用因式分解方法解题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探讨的学习态度，使学生感受到数学的实用性。

四. 教学重难点1.重点：掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法。

2.难点：如何选择合适的因式分解方法，以及如何灵活运用各种方法解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解因式分解的概念和方法。

2.示例法：教师通过讲解典型例题，展示因式分解的过程，引导学生模仿和理解。

3.练习法：学生通过大量练习，巩固因式分解的方法，提高解题能力。

4.讨论法：学生分组讨论，合作解决问题，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材：华师大版数学八年级上册。

2.教案：详细的教学设计。

3.课件：用于辅助教学的PPT或其他多媒体材料。

4.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。