2010年数学建模A题 储油罐的变位识别与罐容表标定论文

3
b− m
∫
b
( y − b + m) 1 −
y2 dy b2
Z
X
h2 λ
Y
V2 = 2a * cot α 化简可得：
b −λ
∫
b
( y − b + λ) 1 −

y2 dy b2
πb b − λ b 2 (b − λ ) 2 2 (b − λ ) 2 b 2 b − λ + − − − − b V2 = 2a * cot α 1 − ( λ ) 1 arcsin 2 b 2 b 2 b 4 3 （3）当 h2 ≤ h ≤ h3 时，此时燃油完全浸没储油罐，则此时罐容表标定值表达
油位 探针 注油口 出油管 油浮子 1.2m 油 a=0.6m
α
水平线 0.4m 2.05m
b=0.89m
(a) 小椭圆油罐 正面示意图 17cm 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
(b) 小椭圆油罐截面示意图
5.2.1 无变位 当罐体无变位时，则此时罐容表标定值表达式为：
y2 V = (l0 + s0 ) ∫ 2a 1− 2 d y b −b
三、符号约定
Vi ——问题一纵向变位第 i (i=1,2,3)种情况下相应某一高度时的油的体积； V1' ——问题二中球冠体的体积； V 2' ——问题二中整个油罐体的体积；
α ——油罐纵向倾斜角度；
β ——油罐横向偏转角度；
h ——储油罐任一位置平行于水平线方向实际油位高度； h1 ——第一问中 接触储油罐的右下端点位置且平行于水平线方向实际油位高
Z
Y h1
m
X V1 = 2a * cot α 化简可得： πb b − m b 2 (b − m) 2 2 (b − m) 2 b 2 b − m V1 = 2a * cot α 1 − ( m b ) 1 arcsin + − − − − 2 b 2 2 b b 3 4 （2）当 h1 ≤ h ≤ h2 时，此时燃油浸没储油罐的两端，如图所示，则此时罐容 表标定值表达式为：
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料 ） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
a ——椭圆短半轴长； b ——椭圆长半轴长； m ——油面与下椭圆面的短半轴的交点到底端的距离；
D ——油面与上椭圆面的短半轴的交点到顶端的距离；
λ ——底边延长线与油面交点到右端点的距离；
x ——问题一中建立空间直角坐标系后 X 轴方向上油料宽度的一半； y ——建立空间直角坐标系后 Y 轴方向上的油料长度； z ——建立空间直角坐标系后 Z 轴方向上的变量；
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 武汉工业学院 周龙 何泽 秦卫华 (打印并签名)： 数模组 0000
A
日期： 2012 年 8 月 26 日
3
式为： Z
D
h3 X Y
V3 = πab(l 0 + s 0 ) − 2a * cot α 化简可得：
b −lR
∫
b
( y − b + D) 1 −
y2 dy b2
3
b 2 (b − D) 2 2 V3 = πab(l 0 + s 0 ) − 2a * cot α 1 − b 3 πb b − D (b − lR) 2 b 2 b − D + (lR − b) − 1− − arcsin 2 2 2 b b 4 5.2.3 计算理论油量与实际油量之间的误差与油高 h 之间的关系
五、模型的建立与求解
5.1 模型的分析与建立 由于油罐变位后， 我们计算的油量结果与未变位时存在误差，为了标定出合 理的结果，我们建立如下模型： 标定值=计算值+理论误差
5.2 根据α、h 计算理论油量 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响， 利用如图小椭圆型储油罐， 由分析有， 要求罐容表标定值，我们将储油罐分为三个部分来求解。
四、问题分析
4.1 问题一的分析 针对问题一，附表一给出了无变位时的进油量、出油量与油位高度的一些实 测数据，同时还有油罐纵向倾斜 α = 4.10 角度时的进油量、出油量与油位高度的
一些实测数据。通过分析，我们发现可以用微积分的方法计算出在 α = 4.10 时任 一油高对应的油量，然后将求得的理论油量与 α = 4.10 时相同油高的实测油量进 行对比，记录这个对比后的理论误差。作出油量理论误差与油高的关系图，我们 发现这个图为二次关系图，再用 Matlab 对油高与误差的关系进行回归分析得出 油量理论误差与油高的关系式。则得到标定后的油量，即在 α = 4.10 时任一油高 对应的油量的标定值为用微积分算出在 α = 4.10 时的油高对应的油量加上对应高 度的理论误差。从而我们可以得出 罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标 定值。 4.2 问题二的分析 针对问题二，附表二给出了罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据。在 已知纵向倾斜角度 α 和横向偏转角度 β 以及油高的前提下， 可以通过微积分计算 出此时对应的油量， 然而， 在纵向倾斜角度 α 和横向偏转角度 β 都未知的情况下， 我们只有油高与油量的一些实测数据。 所以我们在纵向倾斜角度 0 0 ≤ α ≤ 180 0 和 横向偏转角度 0 0 ≤ β ≤ 90 0 范围内逐个寻找 α 与 β 计算附表二所给油高对应的油 量， 根据找出的 α 与 β 计算出的油量值与附表二内相同油高对应的油量值的差的 平方和最小， 此时对应的 α 与 β 即为所求。我们通过求得的纵向倾斜角度 α 和横 向偏转角度 β 与油高进行微积分求得理论油量， 然后求得计算的理论油量与实验 油量之间的理论误差。 作出油量理论误差与油高的关系图，我们发现这个图为二 次关系图，再通过 Matlab 进行回归分析，求得理论误差与油高的关系式。则我 们要求的标定值为通过微积分求得的任一油高的油量加上这一高度的理论误差。 从而我们就可以得到罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。
二、模型假设
(1) 油位探测装置是正常工作的; (2) 罐体纵向倾斜角度α和横向偏转角度β能够保持不变； (3) 忽略油罐内部的各种管道如油位探针，注油管，出油管等所占用的体积； (4) 当油浮子到达最高位时便停止加油； (5) 不计油浮子的厚度、大小等，认为实验中测得的高度即为油罐底部沿探针到 到油面的距离。
摘要
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实 时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。这就 需要我们对罐容表进行重新标定。 对于问题一，我们对附表一所给的数据进行分析，可以通过微积分[1]计算出 在 α = 4.10 时任一油高对应的油量，然后将求得的油量与实际测得的的油量进行 对比，记录这个对比后的误差。作出油量误差与油高的关系图，我们发现这是一 个二次关系图， 再用Matlab对误差与油高的关系进行回归分析得出油高与误差的 关系式。并建立模型：标定值=计算值+误差。从而可以得出罐体变位后油位高 度间隔为1cm的罐容表标定值。 对于问题二，由于没有确定纵向倾斜角度α和横向偏转角度β，所以我们在纵 向倾斜角度 0 0 ≤ α ≤ 180 0 和横向偏转角度 0 0 ≤ β ≤ 90 0 范围内计算附表二所给油 高对应的油量。 逐个代入 α 与 β 使求得的油量值与附表二内相同油高对应的油量 值的差的平方和最小。 在精度要求较高的前提下， 寻找 α 与 β 的计算量十分庞大， 为此，我们采用人工鱼群算法，在VC++环境中可以找出这些油量值与附表二内 相同油高对应的油量值的差的平方和最小所对应的 α 与 β ， 简化寻找 α 与 β 的计 算量。我们再通过求得的纵向倾斜角度α和横向偏转角度β与油高进行微积分处 理求得油量， 然后求得计算的油量与实验油量之间的误差。作出油量误差与油高 的关系图，我们发现这是一个二次关系图，再通过Matlab进行回归分析，求得误 差与油高的关系式。并建立模型：标定值=计算值+误差。从而我们就可以得到 罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。然后再将标定值与实验值进 行对比验证，发现我们求得的标定值是合理的。
5.2.2 变位
h0
(此时 − b ≤ h0 ≤ b)
以椭圆罐底中心为原点， X 轴，Z 轴平行于罐底，Y 轴平行于油罐侧壁方向 建立空间直 角坐 标系，，不妨令 l 0 = 0.4m, s 0 = 2.05m, a = 0.89m, b = 0.6m ，则可 求出球罐体的体积： （1）当 h ≤ h1 时，此时燃油只浸没储油罐的一端，如图所示，则此时罐容表 标定值表达式为：
关键词：微积分
Matlab
VC++
人工鱼群算法
回归分析
一、问题重述