关于椭圆向量点乘类题型

合集下载

高中数学椭圆大题之向量综合

高中数学椭圆大题之向量综合题型一：单一共线型例1、已知B A 、是椭圆1222=+y x 上的两点，并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,51λ时，求直线AB 斜率的取值范围.例2、已知定点)0,2(M ，若过M 的直线l （斜率不为零）与椭圆1322=+y x 交于不同的两点F E 、（E 在点F M 、之间），记OMFOMES S ∆∆=λ，求λ的取值范围.练1、椭圆1232222=+cy c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B A 、两点，且B F A F 21//，B F A F 212=，求直线AB 的斜率.练2、设)0,(1c F -，)0,(2c F 分别为椭圆1322=+y x 的左右焦点，B A 、在椭圆上，若B F A F 215=，求点A 的坐标.题型二、点在曲线上例1、已知椭圆22233b y x =+，斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，M 为椭圆上任一点，且OB OA OM μλ+=，证明22μλ+为定值.练1、椭圆C:12322=+y x ,过右焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点，C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在，说明理由.练2、设动点P 满足ON OM OP 2+=，其中M,N 是椭圆C:12422=+y x 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为21-，求P 的轨迹.。

椭圆问题中最值得关注的几类基本题型

第33练椭圆问题中最值得关注的几类基本题型题型一利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·PA →的最大值和最小值．破题切入点本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出PF →·PA →，根据椭圆的性质确定变量的取值范围．解设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.当x 0＝2时，PF →·PA →取得最小值0，当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4. 题型二直线与椭圆相交问题例2 已知直线l 过椭圆8x 2＋9y 2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点，求弦|MN |的长．破题切入点根据条件写出直线l 的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出．解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，8x 2＋9y 2＝72，得11x 2－18x －9＝0.由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝1811，x M ·x N ＝－911.由弦长公式|MN |＝1＋k 2|x M －x N |＝5·(1811)2＋4×911＝ 3 600112＝6011. 题型三点差法解题，设而不求思想例3 已知椭圆x 22＋y 2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．破题切入点设出弦的两端点，利用点差法求解．解设弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为R (x ，y )，则x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，两式相减并整理可得，y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x2y，① 将y 1－y 2x 1－x 2＝2代入式①，得所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0(－2<x <2)．题型四轨迹问题例4 △ABC 的一边的顶点是B (0,6)和C (0，－6)，另两边斜率的乘积是－49，求顶点A 的轨迹方程．破题切入点直接设出A 点坐标，根据条件求出轨迹，注意挖点．解设A (x ，y )，由题设得y －6x ·y ＋6x ＝－49(x ≠0)．化简得x 281＋y 236＝1(x ≠0)．即顶点A 的轨迹方程为x 281＋y 236＝1(x ≠0)．总结提高 (1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值．(2)直线和椭圆相交问题：①常用分析一元二次方程解的情况，仅有“Δ”还不够，还要用数形结合思想．②弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“Δ”．(3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解．(4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等，根据条件选择恰当的方法．1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM | ＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．3．已知椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 A解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12.又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.4．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A 解析由e ＝33，得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1. 5．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( ) A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2 答案 D解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.6．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62 答案 D解析设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，则有m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，因此12＋2mn ＝16，所以mn ＝2，而(m －n )2＝(2a )2＝(m ＋n )2－4mn ＝16－8＝8，因此双曲线的a ＝2，c ＝3，则有e ＝32＝62. 7．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左，右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．答案55解析由椭圆的性质可知：|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得c a ＝55. 8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________. 答案 12解析椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|， |AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.9．(2014·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案22解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b2＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴ca ＝22. 10．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.11．(2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M (c ，b 2a)，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.12．(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C.(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (c2－a 2)a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (a2－c 2)a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－b c，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.。

(完整版)椭圆大题中的向量问题—基础篇

椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四边形问题．1．向量的数量积问题记点(),0P t 是x 轴上的一点，()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+（l 不经过椭圆的顶点）和椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个交点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 计算过程可分为以下三步：I ．写出向量的坐标（末-初），并将PA PB ⋅u u u r u u u r表示成()1212,f x x x x +的形式 ()()()()11221122,,,,PA PB x t y x t y x t kx m x t kx m ⋅=-⋅-=-+⋅-+u u u r u u u r()()()()22212121k x x km t x x m t =++-+++······① II ．联立直线l 和椭圆，得出()121,x x f k m =，()122,x x f k m +=；联立222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，得()()2222222220a k b x kma x a m b +++-=，则2122222kma x x a k b +=-+，()22212222a m b x x a k b -=+，III ．将12x x +，12x x 代入①式中，得到(),PA PB g k m ⋅=u u u r u u u r ，将PA PB ⋅u u u r u u u r转化为含,k m 的式子∴PA PB ⋅u u u r u u u r ()()()()222222222222221a m b kma k km t m t a k b a k b-=+--⋅++++其中I 、II 两步可以互换顺序基础练习：请按照以下条件作答1．已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0与椭圆2212x y +=交于A B 、两点，（1）若点O 为原点，请写出OA OB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；（2）已知点()2,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；2．若斜率为k 的直线l 经过点()0,2与椭圆22132x y +=交于A B 、两点（注意0∆>），（1）若点O 为原点，请写出OA OB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；（2）若点()1,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；（3）若点()2,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；1.1 求向量数量积的问题（给出点P 的坐标）例1：已知椭圆C ：22143x y +=，直线l 经过C 的右焦点F 与椭圆交于A B 、两点，点()3,0P ．（1）写出PA PB ⋅u u u r u u u r 关于直线l 的斜率k 的关系式；（2271543k PA PB k +⋅=+u u u r u u u r ）（2）若227PA PB ⋅=u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（1y x =±-）（3）若2OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，求PA PB ⋅u u u r u u u r 的值；（22k =，2911PA PB ⋅=u u u r u u u r ）（4）求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围；（7,54PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r ）（5）若247AP PB +u u u r u u u r ≤，求PA PB ⋅u u u r u u u r 的取值范围；（21k ≥，522,47PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r ）（6）记D E 、分别为椭圆C 的左右顶点，①．若907AD EB AE DB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（1y x =±-）②．求AD EB AE DB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的取值范围．（21,162AD EB AE DB ⎡⎤⋅+⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r ）练习1.11．已知椭圆2214x y +=的离心率e =，若直线l ：y kx =+点A B 、且2OA OB ⋅>u u u r u u u r，求k 的取值范围．2．已知椭圆22132x y +=的左焦点为F ，设A B 、分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C D 、两点.，若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r，求k 的值．1.2 动点分析问题（直线l 过椭圆顶点的问题）以l 经过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点(),0A a -为例．设l ：()y k x a =+且l 过点A 与椭圆交于点()22,B x y ，联立()222222y k x a b x a y a b ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得()222224422220a k b x k a x a k a b +++-=， ∴4222122222a k a b x x ax a k b -=-=+，得2322222ab a k x a k b -=+，222222ab k y a k b =+，即点23222222222,ab a k ab k B a k b a k b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．动点分析问题的过程如下： I ．分析问题中涉及的动点；II ．按难易程度，通过联立的方法用直线斜率k 表示出问题中所涉及的动点坐标； III ．按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率k 表示出来； IV ．将向量的数量积运用含k 的式子表示出来．例2：如图，椭圆E ：2214x y +=，记A B 、为椭圆的左右顶点，点C 为椭圆的上顶点，直线l 经过点C 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 相交于点Q ．当点P 异于点B 时．（1）记k 为直线l 的斜率，用k 表示点P D 、的坐标；（2221814,0,4141k k P D k k k ⎛⎫-⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭、）（2）用k 表示出BD l 的斜率；（2142BD k k k +=--）（3）用k 表示出点Q 的坐标；（()4,21Q k k -+）（4）用k 表示出OP u u u r、OQ u u u r 的坐标，并求OP OQ ⋅u u u r u u u r ．（1,0OP k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()4,21OQ k k =-+u u u r ，4OP OQ ⋅=u u u r u u u r）练习1.2：1．已知椭圆C :2212x y +=，若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线l 与椭圆另一个交点为A ，且满足=2BA BF ⋅u u u r u u u r（1）用直线l 的斜率k 表示点A 的坐标；（2）用含k 的式子表示BA u u u r 的坐标，同时表示出BF u u u r的坐标；（3）用含k 的式子表示BA BF ⋅u u u r u u u r，构建方程()2f k =；（4）解出k 的值，写出直线l 的方程.2．已知椭圆2212x y +=若C D 、分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM 交椭圆于点P ，证明：OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值．（1）记直线CM l 的斜率为k ，用含k 的式子表示出点M 的坐标；（2）用含k 的式子表示出点P 的坐标；（3）用含k 的式子分别表示出OP u u u r 、OM u u u u r的坐标；（4）证明OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值．3．已知椭圆2214x y +=，点()2,0A -，设直线l 过点A 与椭圆交于另一点B ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=u u u r u u u r ，求0y 的值．（1）设直线l 的斜率为k ，用含k 的式子表示点B 的坐标；（2）用含k 的式子表示出AB 的中点坐标，并写出AB 的中垂线方程；（3）用含k 的式子表示出点Q 的坐标；（4）用含k 的式子分别表示出QA u u u r，QB u u u r ；（5）运用()4QA QB f k ⋅==u u u r u u u r，求直线l 的方程，并求出点Q 的坐标．2．数量积问题的延伸——垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题．记点(),0P t 是x 轴上的一点，()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+和椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个交点，由之前的讨论可知， ()()2222222222222212a b m a b k kmta PA PB t a k b a k b +-+⋅=++++u u u r u u u r ，若PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r．例3：如图，记A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点，12F F 、为椭圆的两焦点，12B B 、分别为12OF OF 、的中点，12AB B △是面积为4的直角三角形．（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）过点1B 作直线l 与椭圆相交于P Q 、两点，若22PB QB ⊥，求直线l 的方程．练习2.11．已知椭圆C ：2212x y +=，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，若过点2F 的直线l 与椭圆C相交于 P Q 、两点，且11F P F Q ⊥u u u r u u u r，求直线l 的方程．2．已知椭圆G ：2212x y +=，短轴上、下顶点分别为A B 、，若C D 、是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．3．如图，已知椭圆22142x y +=，设点P Q 、分别是椭圆和圆O 上位于y 轴两侧的动点，若直线PQ 与x 轴平行，直线AP BP、与y 轴的交点记为M N 、，试证明MQN ∠为直角.2.2 角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系①．若90APB ∠<o ，则cos 0APB ∠>，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠>u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆外②．若90APB ∠=o，则cos 0APB ∠=，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆上③．若90APB ∠>o，则cos 0APB ∠<，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠<u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆内2.2.1 角度判断例4：记12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于同的两点A B 、，且AOB ∠为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．练习2.2.11．已知点F 是椭圆22143x y +=的右焦点，O 为坐标原点，设过点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于A B 、两点，若222OA OB AB +<，求k 的取值范围．2．设A B 、分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：M BP △为钝角三角形．2.2.2 点与圆的位置关系问题例5：已知椭圆E ：22142x y +=，设直线()1,x my m R =-?交椭圆E 于A B 、两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．练习2.2.21．已知椭圆22132x y +=，直线l 经过椭圆右焦点F 与椭圆相交于A B 、两点，试判断点(2,0)M 与以AB 为直径的圆的位置关系．2．已知椭圆C ：2214x y +=，A B 、为C 的左右顶点，直线l 经过点B且l x ⊥轴，点P 是C 上异于A B 、的任意一点，直线AP 交直线l 于点Q ．（1）记12k k 、分别为直线OQ BP 、的斜率，证明12k k ⋅为定值；（2）当点P 运动时，判断点Q 与以BP 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．3．向量线性运算问题向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型——椭圆内的平行四边形问题．记点()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+与椭圆()222210x y a b a b +=>>的两交点，点()33,P x y 在椭圆上，且四边形OAPB 为平行四边形，如下图．联立22221y kx mb x a y =+⎧⎨+=⎩，得()()2222222221a k b x kma x a m b +++-=， ∴2122222kma x x a k b +=-+，()2122222222b my y k x x m a k b+=++=+，再由平行四边形的性质可得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，∴312x x x =+，312y y y =+，则点2222222222,kma b mP a k b a k b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 将点P 代入椭圆中可得()()22442222222222214141k m a b m a b a k b a k b ⋅+⋅=++，即222241m a k b=+，得22224=+m a k b ．在椭圆方程已知的情况下（1）当直线l 过定点，或直线斜率确定，我们可以求出直线的方程；（2）若直线l 不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到,k m 的关系，结合0∆>，我们可以求出OP 、AB 、点O 到直线l 的距离d ，AOB △或平行四边形OAPB 的面积等几何量的取值范围．（3）若点P 在以OA OB 、为邻边的平行四边形的对角线上，则OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r，可以得出()3121x x x λ=+，()3121y y y λ=+，进而得到222224=+m a k b λ，这也是一个很有用的结论．例6：已知椭圆C ：22132x y +=，直线l 经过点()0,1P 交椭圆于A B 、两点，以OB OA 、为邻边做平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，O 为坐标原点．（1）验证当直线l 斜率k 不存在时，是否存在这样的点P ；（2）记直线l 的斜率为k ，用含k 的式子表示12x x +，12y y +；（3）由OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，将点P 的坐标用含k 的式子表示；（4）将点P 代入椭圆方程，得到方程()1f k =；（5）解方程，求出直线方程．练习3：1．已知椭圆C ：22132x y +=，点F 为椭圆的右焦点，则椭圆上是否存在点P ，使得当l 绕点F 转动到某一位置时，四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标和直线方程；反之，请说明理由．2．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 过点()2,0M 与椭圆相交于A B 、两点，P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r，当PA PB -<u u u r u u u r t 的取值范围．3．如图，已知椭圆E ：2214x y +=，斜率为k 的直线l 经过椭圆的左焦点F 与椭圆交于A B、两点，直线'l ：40x ky +=与椭圆E 交于C D 、两点，点M 是线段AB 的中点．（1）证明：点M 在直线'l 上；（运用点差法即可证明）（2）已知3BDM ACM S S ∆∆=；（i ）证明：3DM CM =；（ii ）证明四边形OACB 是平行四边形；（iii ）求直线l 的方程．。

向量与椭圆结合题型的解法_章礼抗

设 A (x1 , y1 ), B (x2 , y 2 ), 则由韦达定理知
17
高中数学教与学 2006 年
1 令 m =2 k2 + 2 , 则 k m ≥ 4, S = 8 +2m 2 =2 . 5+ m 5+ m 16 16 ,故 ≤S <2. 9 9
2 1 4(1 +k ) 1 + 2 k = 2 1 (2 +k ) 2 + 2 k
(2)求点 T 的轨迹 C 的方程 ; (3)试问 : 在点 T 的轨迹 C 上 , 是否存在点M , 使 F 1MF 2 的面积 S =b . 若存在 , 求出
2
∠F 1M F 2 的正切值 ; 若不存在 , 说明理由. 分析 (1)取 P (x , y ), 则椭圆的左准线 a 方程为 x + =0. c 由椭圆的第二定义知 , | F 1P | a x+ c
2 2
1 2 k = . 1 5 +2 k2 + 2 k 8 +4 k2 +
=
c , a
18
第 10 期高中数学教与学
c | F 1P |= a + x . a c 由 x ≥- a , 知 a + x ≥ - c +a >0. a c ∴| F 1P | =a + x . a (2)设 T (x , y ) . 当 | PT | =0时 , 点 (a, 0)和 (- a, 0)点在轨迹上 ; 当 | PT | ≠ 0且 TF 2 ≠ 0时 , 由 PT TF 2 = 0 知 PT ⊥ TF 2. 又因 | PQ |= | PF 2 | , 所以 T 为线段 F 2Q 的中点. 设 Q 的坐标为 (x′ , y′ ), 则有 x′ +c x = , 2 y = y′ ; 2 求得 x ′=2x - c, y ′=2y. + | BF | 为定长 , 并求出点 E 、F 的坐标及点 B 的轨迹方程. (2)设 P 为点 B 轨迹上任意一点 , 点 M 、N 分别在射线 PA 、PC 上 , 动点 Q 满足 PQ = λ PM PN (λ > 0), 经过点 A 且以 | PM | | PN |

椭圆乘以椭圆练习题

椭圆乘以椭圆练习题问题一计算以下两个椭圆的乘积：1. 椭圆1：中心点坐标为(3, 5)，长轴长度为6，短轴长度为4；2. 椭圆2：中心点坐标为(1, 2)，长轴长度为8，短轴长度为3。

解答首先，我们需要找到椭圆的标准方程，以便计算乘积。

椭圆的标准方程为：其中，(x₀, y₀)是椭圆的中心坐标，a是长轴的长度的一半，b是短轴的长度的一半。

对于椭圆1，标准方程为：对于椭圆2，标准方程为：下面我们将乘积进行计算：首先，将标准方程中的(x - x₀)提取出，得到：然后，代入椭圆2的标准方程，得到椭圆1与椭圆2的乘积方程：接下来，将乘积方程整理为标准方程形式，得到：我们可以看到，椭圆1与椭圆2的乘积为一个新的椭圆，中心坐标为(3, 2)，长轴长度为a的乘积，短轴长度为b的乘积。

注意，这里的 a 和 b 分别为椭圆1和椭圆2的长轴长度和短轴长度的一半。

根据椭圆1和椭圆2的参数，我们可以计算出乘积的长轴长度和短轴长度：长轴长度 = 2 * 6 = 12短轴长度 = 2 * 3 = 6因此，椭圆1乘以椭圆2的乘积为一个椭圆，中心点坐标为(3, 2)，长轴长度为12，短轴长度为6。

问题二请计算以下两个椭圆的乘积：1. 椭圆1：中心点坐标为(0, 0)，长轴长度为10，短轴长度为8；2. 椭圆2：中心点坐标为(2, 2)，长轴长度为5，短轴长度为3。

解答按照上述方法，我们可以计算椭圆1与椭圆2的乘积如下：椭圆1的标准方程为：椭圆2的标准方程为：将椭圆1的标准方程中的x²提取出，得到：代入椭圆2的标准方程，得到乘积方程：整理乘积方程为标准方程形式，得到：根据椭圆1和椭圆2的参数，我们可以计算乘积的长轴长度和短轴长度：长轴长度 = 2 * 10 = 20短轴长度 = 2 * 3 = 6因此，椭圆1乘以椭圆2的乘积为一个椭圆，中心点坐标为(0, 0)，长轴长度为20，短轴长度为6。

(完整版)关于椭圆向量点乘类题型

向量点乘类1、在直角坐标系中，点尸到两点的距离之和等于4,设点尸的轨迹为a 直线j ■二丘+1与C 交于，『两点.（i ）写出c 的方程；⑵ 山而，求k 的值.【解析】（i ）设网抽回，由椭圆定义可知，点尸的轨迹c 是以@ 为焦点,长半轴为2的椭圆，它的短半轴b =音-郃丫 =1 ,故曲线C|的方程为x z+ -- - 1 .■ A j 4（2师明:设义工“i）冏孙丁：），其坐标满足" = 消去J 并整理，得+比一 3=。

故…=-£$"=-/.山—丽即必=0,而江二囱LD -做+1）=-0毛+狂巧-工＞1 ,于3 3 后 2M.eXj JC 、十 11： IX — — z = : 二- 1 - 1 =。

是一”… 1+4 V+A ，解得考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系2、已知椭圆二十L的方程；（2）若过点C （-1, 0）且斜率为图的直线，与椭圆相交于不同的两点工上,试问在工轴上是否存在点U ,使正工，通 —是与f 无关的常数？若存3V + 1在，求出点n 的坐标；若不存在，请说明理由1g … 0）的离心率为也.，且过点（0Q . （1）求椭圆帮 £=在t 【解析】(1) :椭圆离心率为3 ,3 ,/ 5.1分又.・椭圆2 . 1 .；/.5 b :--过点(虎，1),代入椭圆方程，得了一亍一二所以1 "：用.4分」•椭圆方程为延十—— 设在x 轴上存在点M (m,0),使 3k一一 1是与k 无关的常数，;直线L 过丁+3厂=5, r . Y点C (-1, 0)且斜率为K, 方程为¥ =如叫，由b'Xc”得8MMM -5=0.设9CO ,则-6k 2 犷-5苛十五,二 ---- 1v _x 、= ------ ——丁许+-的+1 CIA 口区...XIA - MB --；——=〔工 1 , - m] - ViV. — ———“一十1 一 , - -- jk+1仿一吨L f 升高「二3之一£ Z T 3 % —G 本 r …1 十** ———+ [k- -w - -- h 疗T 十化"十3^+1 3K+1(2)在x 轴上存在点是与K 无关的常数.证明：假凳+1-M -\-6mk"+ 3/K + m2设常数为t,则-k* - 15mli * + 3m "k' - m整理得《讪” - 5m -1 - 3 t;k= -m ” - t =。

椭圆综合题型分类总结大全(定点定值问题、圆锥曲线与向量、圆锥曲线弦长与面积等)

椭圆综合题型分类总结大全一、直线与椭圆位置关系的常规解题方法:1.设直线的方程（注意：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标（注意:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组，得到新的一元二次方程4.求出韦达定理（注意：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化，常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（注意：需讨论K 是否存在，OA ⊥OB ） ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔12120x x y y +>③“等角、角平分、角互补问题”即斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题”即坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想1、“常规求值”问题：找等式关系，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：应当假设存在去求，若求出答案则假设成立，若不存在则计算时会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变量用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明（此方法用得少）4、处理定点问题的方法：⑴常把方程参数分离，使参数乘以的因式为0，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；、题型一、椭圆与向量（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A、B与PQ的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

高中数学椭圆知识题型总结,高二升高三的你们复习必备

高中数学椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备
高中数学：椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备！-
或许，这就是数学的魅力吧，只需一二定理，三四公式，就可以制出成百上千道不同的题目。

今天来说说高中数学重要章节——圆锥曲线椭圆相关知识点。

椭圆题在高中数学中占据比较重要的位置，占的分数也比较多。

分析历年高考题可知，选择题、填空题、大题中都有椭圆相关的题型。

所以一定要系统的掌握知识，对各类题型和基本解题方法有一定的了解。

关于椭圆的复习指导：
1、熟悉椭圆的定义及其几何性质，能求出椭圆的标准方程。

2、掌握常见的几种数学思想方法—函数与方程、数形结合、转化与回归等。

体会解析几何的本质问题（用代数的方法解决几何问题）
为了帮助同学们更好地复习，边肖为大家整理了高中数学椭圆中的几种题型汇总。

高二高三的孩子就趁这个假期好好复习。

相信对你的数学会有帮助。

想要完整版打印出来学习的同学可以点击头像后私信学姐【数学椭圆题型】，即可免费领取！还有免费提分的试听课程等着你~。

高中数学椭圆题型归类(全)

高中数学椭圆题型归类目录曲线与方程题型1：曲线的方程的判断题型2：直接法求曲线的方程题型3：定义法求曲线的方程题型4：相关点法求曲线的方程题型5：参数法求曲线的方程题型6：交轨法求曲线的方程椭圆题型1：求轨迹(椭圆)方程题型1.1：定义法求轨迹(椭圆)方程题型1.2：直接法求轨迹(椭圆)方程题型1.3：相关点法求轨迹(椭圆)方程题型1.4：参数法求轨迹(椭圆)方程题型2：求椭圆标准方程题型2.1：已知椭圆上一点及焦点，定义法求椭圆标准方程题型2.2：已知椭圆上两点，待定系数法求椭圆标准方程题型2.3：已知a,b,c关系，方程组法求椭圆标准方程题型3：椭圆的定义题型4：椭圆的对称性题型5：椭圆的离心率题型5.1：求椭圆的离心率题型5.2：求椭圆的离心率取值范围题型6：椭圆的弦中点题型7：椭圆的焦点三角形题型8：椭圆的弦长题型9：椭圆中的三角形面积题型10：直线与椭圆的位置关系题型10.1：直线与椭圆的位置关系题型10.2：椭圆的切线方程题型11：椭圆的求值问题题型12：椭圆中求取值范围问题题型13：椭圆中最值问题题型14：椭圆的定值问题方法是先猜后证。

猜法：取特殊情况或极端情况，此不赘述。

题型14.1：和差相消为定值题型14.2：乘除相约为定值题型14.3：消参数为定值题型15：椭圆的定点问题方法是先猜后证。

猜法：取两种特殊情况或极端情况的交点，或利用对称性判断定点在某直线上，此不赘述。

题型15.1：直线恒过定点题型15.2：曲线恒过定点题型16：证明、探究问题题型1：曲线的方程的判断1.已知曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则“f 1(x 0,y 0)=f 2(x 0,y 0)”是“点M(x 0,y 0)是曲线C 1与C 2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.方程|y|-1=表示的曲线是()A.两个半圆B.两个圆C.抛物线D.一个圆 3.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()A.B.C.D.题型2：直接法求曲线的方程1.到（0,2）和（4，-2）距离相等的点的轨迹方程___________2.设动点P 到点F(-1,0)的距离是到直线y=1的距离相等，求点P 的轨迹方程，并判定此轨迹是什么图形.3.动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？题型3：定义法求曲线的方程1.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为．2.过点（-2,0）的直线与圆221x y +=相交于A，B，求弦AB 中点M 的轨迹方程。

高中数学椭圆中的向量问题专练试题

高中数学椭圆中的向量问题专练一、选择题1 ．椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|2PF |等于 ( )A ．23 B ．3 C ．27D ．42 ．已知P 是椭圆22143x y +=上的一点,F 1、F 2是该椭圆的两个焦点,若△PF 1F 2的内切圆半径为12,则21PF PF ⋅的值为（） A ．32B ．94C ．94-D ．03 ．设A 、B 两点的坐标分别为(1,0),(0,1)-，条件甲：0AC BC ∙>；条件乙：点C 的坐标是方程221(0)43x y y +=≠的解，则甲是乙的 .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不是充分条件也不是必要条件4 ．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是（）A ．2B ．2 C ．13D ．125 ．已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = （）A B ．2C D ．36 ．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2D ．[27 ．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若12PF PF ⋅=0，21tan F PF ∠=2，则椭圆的离心率为（）A ．21B ．32 C ．31D ．35 8 ．椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在点P ，021=⋅PF PF ,则椭圆离心率的取值范围是（）A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122， B ．⎥⎦⎤⎝⎛220，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡121， D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛210，9 ．椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2],其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是. []32B ．[2C ．[3D ．[2210．若椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线22y bx =的焦点为F ．若123F F FF =，则此椭圆的离心率为（）A ．12B ．2C ．13D 11．已知点A, F 分别是椭圆12222=+by a x （a >b >0）的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若⋅=0，则椭圆的离心率e 为（）A ．21（5－1）B ．21（3－1） C ．25D ．2212．经过椭圆2212x y +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于A 、B 两点. 设O 为坐标原点，则OA OB 等于（）A ．3-B ．13-C ．13-或3-D ．13±13．设动点A , B （不重合）在椭圆14416922=+y x 上，椭圆的中心为O ，且0=⋅，则O到弦AB 的距离OH 等于（）A ．320 B ．415 C ．512 D ．154 14．设F 1、F 2为椭圆13422=+y x 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，21PF PF ⋅的值等于（）A ．0B ．1C ．2D ．415．设P 是椭圆221259x y +=上的一点，F 是椭圆的左焦点，且()12OM OP OF =+，4OM =，则点P 到该椭圆左准线的距离为（）A ．52B ．3C ．4D ．6二、填空题16．已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C (a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且21PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =____________.17．点P 为圆229x y +=上任意一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且2PM MQ =，则点M 的轨迹方程为_______________.18．21,A A 分别为椭圆C 的两个长轴顶点,当以A 1 为坐标原点,以21A A 的方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系时,求得椭圆C的方程为()11625522=+-y x ,则以A 1 为坐标原点,以21A A 的方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系时,椭圆C 的方程为 ________ ．19．P 是椭圆12222=+by ax 上任意一点，F 1、F 2是它的两焦点，O 为坐标原点，21PF +=，则动点Q 的轨迹方程是 .20．给出下列四个命题：①方程y =kx +2可表示经过点（0,2）的所有直线；②经过点P (x 0,y 0)且与直线l ：)0(0≠⋅=++B A C Bx Ax 垂直的直线方程一定能写成B (x －x 0)－A (y －y 0)=0的形式；③对任意实数α，直线01cos sin =++ααy x 总与某一定圆相切；④过定圆M 上的定点A 作圆的动弦AB ，若+=2，则动点P 的轨迹为椭圆，其中所有真命题的序号为21．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ,C 为椭圆短轴上的端点,向量FC 绕F 点顺时针。

椭圆曲线常用的三次结论专题练习

椭圆曲线常用的三次结论专题练习椭圆曲线是密码学中常用的数学工具，它具有许多有趣的性质和结论。

本文将介绍椭圆曲线常用的三次结论，并提供相关的练题。

1. 结论一：三次点倍乘法三次点倍乘法是椭圆曲线中的基本操作，用于计算两个点之间的乘积。

其算法如下：输入：椭圆曲线上的点P和一个整数k。

输出：点Q，满足Q = kP。

算法步骤：1. 初始化点Q为O（标识元素）。

2. 将点P复制为R。

3. 将整数k转换为二进制形式，从高位到低位依次遍历。

4. 若遍历位为1，则执行点加法：Q = Q + R。

5. 执行点加法：R = R + R。

6. 若遍历位为0，则继续遍历下一位。

7. 若仍有未遍历的位，则返回步骤4。

8. 返回点Q。

2. 结论二：三次点的加法椭圆曲线上的点加法是指将两个点相加得到另一个点的操作。

其算法如下：输入：椭圆曲线上的两个点P和Q。

输出：点R，满足R = P + Q。

算法步骤：1. 若P = O，则返回Q；若Q = O，则返回P。

2. 计算斜率s：- 若P = Q，则计算斜率s = (3 * P.x^2 + a) / (2 * P.y)。

- 若P ≠ Q，则计算斜率s = (Q.y - P.y) / (Q.x - P.x)。

3. 计算点R的x坐标：R.x = s^2 - P.x - Q.x。

4. 计算点R的y坐标：R.y = s * (P.x - R.x) - P.y。

5. 返回点R。

3. 结论三：三次点的减法椭圆曲线上的点减法是指将两个点相减得到另一个点的操作。

其算法如下：输入：椭圆曲线上的两个点P和Q。

输出：点R，满足R = P - Q。

算法步骤：1. 若Q = O，则返回P。

2. 计算点Q的相反数：Q.negate()。

3. 执行点加法操作：R = P + (-Q)。

练题：1. 给定椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 和点P(x1, y1)，计算2P，3P，4P的坐标。

2. 给定椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 和点P(x1, y1)，计算P + Q 的坐标，其中Q为另一个任意点。

2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)专题05 椭圆中的向量问题含解析

2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）专题05椭圆中的向量问题一、单选题1．过椭圆22143x y +=的左焦点作倾斜角为45 的直线l 交椭圆于A B ，两点，设O 为坐标原点，则OA OB ⋅ 等于（）A ．1-B ．2-C ．177-D ．247-2．已知12,F F 分别为双曲线22(0)x y m m -=>的左､右焦点，12(0,2),P F PF 为直角三角形，线段2PF 交双曲线于点Q ，若2PQ PF λ=，则λ=（）A ．34B ．14C ．13D ．233．椭圆2214x y +=的焦点为1F ，2F ，点M 在椭圆上，且120MF MF ⋅= ，则M 到y 轴的距离为（）A ．3B ．C D 4．P 为椭圆2211615x y +=上任意一点，EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围是A ．[]0,15B ．[]5,15C ．[]5,21D ．()5,215．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交与A ，B 两点，若222AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）A B ．13C ．34D ．456．在对角线16AC =的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4，则1PC PC ⋅的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[0,1]C ．[1,1]-D ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知焦点在x 轴上且离心率为2的椭圆E ，其对称中心是原点，过点()0,1M 的直线与E 交于A ，B 两点，且2AM MB =，则点B 的纵坐标的取值范围是（）A ．(]1,3B ．(]1,4C ．(]2,4D ．(]2,68．已知椭圆2212220),1(,x y a b F F a b+=>>为椭圆的左．右焦点，M 是椭圆上任一点，若12MF MF ⋅ 的取值范围为[3,3]-，则椭圆方程为（）A ．22193x y +=B ．22163x y +=C ．221124x y +=D ．2214x y +=二、多选题9．已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左､右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，12PF F △外接圆的圆心为H ，12PF F △内切圆的圆心为I ，直线PI 交x 轴于点,M O 为坐标原点.则（）A ．PH PO 的最小值为22a B ．PH PO 的最小值为24a C ．椭圆C 的离心率等于PI IMD ．椭圆C 的离心率等于IM PI10．（多选）椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则（）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF 的周长为4B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为311．已知椭圆C ∶22221x y a b+=(a >b >0)的左，右两焦点分别是F 1，F 2，其中F 1F 2=2c .直线l ∶y =k (x +c )(k ∈R )与椭圆交于A ，B 两点则下列说法中正确的有（）A ．△ABF 2的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C ．若2123AF AF c ⋅= ，则椭圆的离心率的取值范围是51,52⎤⎥⎣⎦D ．若AB 的最小值为3c ，则椭圆的离心率13e =12．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率1e =-B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅<D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅<三、填空题13．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅ 的最大值为_____.14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，且过点22P ⎛ ⎝⎭，动直线:l y kx m =+交椭圆C 于不同的两点A 、B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点），则2232m k -=______．15．在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12120AF AF BF BF ⋅+⋅=，则12||AB F F 的值为________．16．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =uuu r uu r ，则椭圆的离心率e =_________四、解答题17．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，右准线与x 轴交于E点，若椭圆的离心率2e =，且||1EF =．（1）求椭圆的解析式；（2）过F 的直线l 交椭圆于AB 、两点，且OA OB +与(4,m =共线，求角,OA OB <> 的大小．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，焦距为2，右准线l 的方程为3x =.过2F 的直线交E 于A ，B 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若222AF F B =，求直线AB 的方程.19．已知焦点在x 轴的椭圆C 的方程为：22216125x ya +=，A ､B 分别为椭圆C 的左右顶点，G 为C 的上顶点，37516AG GB ⋅= .（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O到直线l .（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN =，求直线n 的斜率.21．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设A 为椭圆的下顶点，B 为椭圆的上顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点.若10AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.22．已知椭圆2222:1(1)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点(0,2)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由专题05椭圆中的向量问题一、单选题1．过椭圆22143x y +=的左焦点作倾斜角为45 的直线l 交椭圆于A B ，两点，设O 为坐标原点，则OA OB ⋅ 等于（）A ．1-B ．2-C ．177-D ．247-【解析】由22143x y +=可得24a =，23b =可得222431c a b =-=-=，即1c =，所以左焦点()1,0-，且直线l 斜率为tan 451k == ，所以直线l 的方程为1y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得27880x x +-=，可得1287x x +=-，1287x x =-，()11,OA x y = ，()22,OB x y =，所以()()1212121212121121OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+++=+++ 881721777⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C.2．已知12,F F 分别为双曲线22(0)x y m m -=>的左､右焦点，12(0,2),P F PF 为直角三角形，线段2PF 交双曲线于点Q ，若2PQ PF λ=，则λ=（）A ．34B ．14C ．13D ．23【解析】双曲线为221x y m m-=，由于12F PF △是直角三角形，可知12122OP F F ==，所以4m m +=，得2m =，即()22,0F ，所以直线2PF 的方程为2y x =-+，将直线2PF 的方程与双曲线方程联立，2222y x x y =-+⎧⎨-=⎩，得32x =，即31,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2PQ PF λ= ，所以34λ=.故选：A.3．椭圆2214x y +=的焦点为1F ，2F ，点M 在椭圆上，且120MF MF ⋅= ，则M 到y 轴的距离为（）A ．3B ．CD 【解析】设()00,M x y ，点M 在椭圆2214x y +=上，所以22001,4x y +=①椭圆2214x y +=的焦点为1F ，2F ，则()1F ，)2F ，所以()001,x y M F =- ，)200,x y M F =--，由120MF MF ⋅= ，可得())0000,,0x y x y -⋅-=，化简可得22003,x y +=②联立①②可解得03x =±，故M 到y ，故选：C.4．P 为椭圆2211615x y +=上任意一点，EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围是A ．[]0,15B ．[]5,15C ．[]5,21D ．()5,21【解析】()()()()PE PF PN NE PN NF PN NE PN NE⋅=+⋅+=+⋅-2PN= 2NE-24PN =- .因为a c PN a c -≤≤+ ，即35PN ≤≤ ，所以PE PF ⋅的范围是[]5,21.故选C.5．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交与A ，B 两点，若222AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）AB ．13C ．34D ．45【解析】设()()1122,,,A x y B x y ,过点2F的直线方程为x c =+,由22221x c x y a b⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,得()2222430a b y cy b ++-=,由韦达定理得:12y y +=412223b y y a b ⋅=-+,因为222AF F B = ，所以122y y =-，则()221241222123y y b y y a b ⎛ +⎝⎭==-⋅-+，即222324a b c +=，解得2427e =，因为0e >，所以239e =A 6．在对角线16AC =的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4，则1PC PC ⋅的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[0,1]C ．[1,1]-D ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】设(),P x y ，因为点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4，所以点P 到点1C 和点C 的距离之和为4，由椭圆的定义可知：点P 的轨迹是椭圆的一部分，以1CC 所在的直线为x 轴，线段1CC 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为正方体的体对角线16AC =，所以正方体的棱长为则()C，)1C，所以c =2a =，1b =，可得点P 的轨迹为椭圆2214x y +=，所以)1,PC x y =-，(),PC x y =- ，则)()22213PC PC x x y x y ⋅=--+=+- 222313244x x x =+--=-，因为22x -≤≤，所以204x ≤≤，所以232214x -≤-≤，由此可得121PC PC -≤⋅≤ ，故选：A.7．已知焦点在x 轴上且离心率为32的椭圆E ，其对称中心是原点，过点()0,1M 的直线与E 交于A ，B 两点，且2AM MB =，则点B 的纵坐标的取值范围是（）A ．(]1,3B ．(]1,4C ．(]2,4D ．(]2,6【解析】设()00,B x y ，(,)A x y ，则由2AM MB =，可得()00(,1)2,1x y x y --=-，解得02x x =-，032y y =-，即()002,32A x y --.2，所以可设椭圆E 的标准方程为221(1)4y x m m m+=>，所以()()220022001423214x y m mx y mm ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，消去0x ，0y 的平方项，得01(3)4y m =+，由2y m ≤，即2(3)16m m +≤，解得19m ≤≤，又1m >，所以19m <≤，所以(]01(3)1,34y m =+∈，故选：A.8．已知椭圆2212220),1(,x y a b F F a b+=>>为椭圆的左．右焦点，M 是椭圆上任一点，若12MF MF ⋅ 的取值范围为[3,3]-，则椭圆方程为（）A ．22193x y +=B ．22163x y +=C ．221124x y +=D ．2214x y +=【解析】设(),M m n ，()1,0F c -，()2,0F c ，则()1,MF c m n =--- ，()2,MF c m n =--，所以()()222212MF MF c m c m n m n c ⋅=--⋅-+=+- ，又22222,MO m n b a ⎡⎤=+∈⎣⎦，所以222212,MF MF b c a c ⎡⎤⋅∈--⎣⎦ ，又因为12MF MF ⋅的取值范围为[3,3]-，故223b c -=-，223a c -=，222b c a +=，所以223,9b a ==，得方程为22193x y +=，故选：A二、多选题9．已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，12PF F △外接圆的圆心为H ，12PF F △内切圆的圆心为I ，直线PI 交x 轴于点,M O 为坐标原点.则（）A ．PH PO 的最小值为22a B ．PH PO 的最小值为24a C ．椭圆C 的离心率等于PI IMD ．椭圆C 的离心率等于IM PI【解析】由题意得外心H 满足21HF HF =，所以H 必在y 轴上，设()0,H x ，()P m n ,，()1,0F c -，则由1HP HF =得()2222m n x x c +-=+，即2222m n nx c +-=，所以2222m n c x n +-=，所以2220,2m n c H n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以222,2m n c PH m n ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ，(),PO m n =--，所以222222222m n c m n c PH PO m --++⋅=-=，因为P 在椭圆上，设cos ,sin m a n b θθ==，所以()()()22222222cos sin cos 1cos m n a b a b θθθθ+=+=+-()2222222cos cos a b b c b θθ=-+=+，当cos 0θ=时，有()222minm nb +=，所以PH PO ⋅ 的最小值为22222bc a +=，故A 正确，B 错误；连接12,IF IF ，则12,IF IF 分别为1221,PF F PF F ∠∠的角平分线，由角平分线定理可知，1212IM F M F M PIPF PF ==，则121222IM F M F M ce PIPF PF a+===+，故D 正确，C 错误.故选：AD.10．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则（）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF 的周长为4B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3【解析】对于选项A ，由椭圆定义，可得121224AF AF BF BF a +=+==，因此1ABF 的周长为12112248AF AF AB AF BF AF BF a ++=+++==，故A 错误．对于选项B ，设()P m n ,，则2214m n +=，且22m -≤≤．又()1F，)2F ，所以()1,PF m n =-，)2,PF m n =-，因此()2223123312044m m PF PF m m n m ⋅=-+=-+-=-=，解得[]2,2m =∈-，故B 正确．对于选项C ，因为24a =，21b =，所以=2413=-=c，即c =32c e a ==C 错误．对于选项D ，设()11,P x y ，则点P 到圆221x y +=的圆心的距离为PO =因为111y -≤≤，所以max max 113PQ PO =+==，故D 正确．故选：BD ．11．已知椭圆C ∶22221x y a b+=(a >b >0)的左，右两焦点分别是F 1，F 2，其中F 1F 2=2c .直线l ∶y =k (x +c )(k ∈R )与椭圆交于A ，B 两点则下列说法中正确的有（）A ．△ABF 2的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C ．若2123AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是12⎤⎥⎣⎦D ．若AB 的最小值为3c ，则椭圆的离心率13e =【解析】由直线l ∶y =k (x +c )过点(),0c -，即弦AB 过椭圆的左焦点1F .22211224ABF l AB AF BF AF BF AF BF a ∆=++=+++=，所以A 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则M 1212(,)22x x y y ++有1212OMy y k x x +=+，1212y y k x x -=-，所以1212121221222122OM y y y y x x x y y k k x x x +-⋅⨯+--==-由2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得∶22221212220x x y y a b --+=，所以2221222212y y b x x a -=--则有2221222212OM y y b k k x x a-==--，所以B 错误；()111,AF x c y =+ ，()112,AF x c y =-所以2222222222212111222,c AF AF x c y x a c a c a c a⎡⎤⋅=-+=+-∈--⎣⎦ ，则有2222223a c c a c -≤≤-，可得12c e a ⎤=∈⎥⎣⎦，所以C 正确；由过焦点的弦中通经最短，则AB 的最小值为通径22b a ，则有223b c a=，即222320a ac c --=，解得a =2c ，所以12c e a ==，D 错误.故选：AC12．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（）A．椭圆的离心率1e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅<D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅<【解析】如图，设122F F c =，则由正六边形性质可得点22c I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由点I 在椭圆上可得22223144c c a b +=，结合222a c b -=可得223b a=，∴椭圆离心率11e ===，∴())2222222410a c a ⎡⎤-=-<⎢⎥⎣⎦∴当点A 为椭圆上顶点时，12cos 0F AF ∠<，此时120AF AF ⋅<；点2c I ⎛ ⎝⎭在双曲线22221x y N m n -=：的渐近线上可得322n c c m ⋅=即=n m ∴双曲线的离心率为22e ===,当点B 为双曲线的顶点时，易知120BF BF ⋅< .故选：ABD.三、填空题13．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅ 的最大值为_____.【解析】因为圆22(1)1x y -+=，圆心()1,0C 半径为1，设(),A x y ，33x -≤≤.因为AM AC CM =+ ，AN AC CN AC CM =+=-，所以()()2221AM AN AC CM AC CM AC CM AC ⋅=+⋅-=-=- ()2211x y =-+-.因为(),A x y 在22195x y +=上，所以22559y x =-，所以()222541512599AM AN x x x x ⋅=-+--=-+ ，33x -≤≤.函数24259y x x =-+，对称轴为94x =，当3x =-时，AM AN ⋅ 取得最大值为15.14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，且过点22P ⎛ ⎝⎭，动直线:l y kx m =+交椭圆C 于不同的两点A 、B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点），则2232m k -=______．【解析】∵椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，∴c a =222a b =①，又椭圆过点22P ⎛ ⎝⎭，2213124a b ∴+=②，联立①②解得，22a =，21b =∴椭圆C 的方程为2212x y +=．将直线:l y kx m =+代入椭圆方程化简得()222214220k x kmx m +++-=．由题意知，()228210k m ∆=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(*)0OA OB ⋅= ，12121212212212()()(1)0()kx m kx m k km x x y y x x x x x x m ∴+=+++=++++=，将*式代入得22222121222222(1)(22)43220212121m k m m k x x y y k m k k k --+=++--∴+==+++，则22322m k -=.故答案为：2.15．在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12120AF AF BF BF ⋅+⋅=，则12||AB F F 的值为________．【解析】不妨设Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0),(0,)A a B b ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中c =由条件知()222221212()()20AF AF BF BF c a c a c b a b c ⋅+⋅=---+-+=+-= ．所以12||22222AB F F c c ===．16．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =uuu r uu r ，则椭圆的离心率e =_________【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=，所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b-+==++，又3AF FB =uuu r uu r ，所以123y y =-，所以222222b y a b -=+，222222(1)3b a y a b --=+，所以22222222(1)3b b a a b a b ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222240a a b a b +-+=，又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ，所以()1,0F -，所以2221a b c -==，所以22a =或21a =（舍去），所以a =22c e a ==.四、解答题17．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，右准线与x 轴交于E点，若椭圆的离心率e =，且||1EF =．（1）求椭圆的解析式；（2）过F 的直线l 交椭圆于AB 、两点，且OA OB +与(4,m =共线，求角,OA OB <> 的大小．【解析】（1）由题意知21ca c a c=-=，解得a =，1c =，又222c a b =-从而1b =．所以椭圆方程为2212x y +=（2）由（1）知(1,0)F ，显然直线不垂直于x 轴，可设直线:(1)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=，则221212121222242(1)2,,(1)(1)121212k k kx x x x y y k x k x k k k --+==+=-+-=+++，于是22242,1212k k OA OB k k ⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭ ，依题意：2224212124k k k k -+，故k 0k =，当k =212122(1)(1)12k y y k x k x k =--=-+，故12120OA OB x x y y ⋅=+= ，所以OA 与OB的夹角为90︒．当0k =时，AB 是x 轴，所以OA 与OB的夹角为180︒．即角,OA OB <> 的大小为90︒或180︒；18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，焦距为2，右准线l 的方程为3x =.过2F 的直线交E 于A ，B 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若222AF F B =，求直线AB 的方程.【解析】（1）设椭圆方程为22221()x y a b a b +=>，其中2223c a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：23a =，2212b a ∴=-=，故所求椭圆方程为22132x y +=.（2）设AB 方程为1x my =+，代入椭圆22236x y +=中得：222(1)36my y ++=，即()2223440m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，由222AF F B = 得122y y -=，解得m =则直线AB的方程为1)y x =-.19．已知焦点在x 轴的椭圆C 的方程为：22216125x ya +=，A ､B 分别为椭圆C 的左右顶点，G 为C 的上顶点，37516AG GB ⋅= .（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积.【解析】（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，50,4G ⎛⎫⎪⎝⎭，则5,4AG a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，5,4GB a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，由37516AG GB ⋅= 得：2253751616a -=，即225a =，所以C 的方程为：221612525x y +=.（2）设(,)p p P x y ，(6,)Q Q y ，根据对称性只需考虑0Q y >情形，此时，55p x -<<，504P y <≤，由已知得：()5,0B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y ==||BQ =因为BP BQ =，所以1p y =，将1p y =代入C 的方程，解得：3p x =或3p x =-.由直线BP 的方程得：2Q y =或8Q y =，所以点P ，Q 的坐标分别为()13,1P ，()16,2Q 或()23,1P-，()26,8Q .1当11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点()5,0A -到直线11PQ11APQ的面积为111522APQ S =；②当22||P Q =22P Q 的方程为71093y x =+，点()5,0A -到直线22P Q 的距离为26，22AP Q△的面积为22152262AP O S == ；综上所述，APQ 的面积为52.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O到直线l 的距离为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足MN =，求直线n 的斜率.【解析】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ，所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C 的离心率为22，原点O 到直线0bx cy bc +-=的距离为22，所以,22c a bc a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c ==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++.因为MN =，所以()()2121,44P x x y y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-，即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =，故直线n 的斜率为±1.21．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设A 为椭圆的下顶点，B 为椭圆的上顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点.若10AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.【解析】（1）由题意可得，(c,0)F ，当x c =时，2222222221(1)c y c b y b y a b a a+=⇒=-⇒=±，所以得：22221223c e a b a a b c⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）由（1）可知，()1,0F -，(0,A，(B ，过点F 且斜率为k 的直线方程为()1y k x =+，联立方程()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，故()()()222121212122911143k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+，又(11,AC x y =，()22DB x y =-，(22,AD x y =，()11CB x y =-，所以AC DB AD CB ⋅+⋅()()12121221x x y y x x y y =-+-+1212622x x y y =--22224129622104343k k k k ⎛⎫-=-⨯-⨯-= ⎪++⎝⎭，整理可得22512243k k +=+，解得k =22．已知椭圆2222:1(1)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点(0,2)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得：22222b a c a b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=（2）当直线l的斜率不存在时，M，(0,N 3OM ON ⋅=-，不符合题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y 由221432x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 整理得：()22341640k x kx +++=()22Δ(16)16340k k =-+>，解得12k <-或12k >1221634k x x k +=-+，122434x x k =+∴()()212121212124OM ON x x y y k x x k x x ⋅=+=++++ ()222222413216124343434k k k k k k +-=-+=+++∵2OM ON ⋅= ，∴221612234k k -=+，解得2k =±，满足0∆>所以存在符合题意的直线，其方程为222y x=±+..。

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。

椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。

这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。

该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。

椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。

长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。

椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。

当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。

椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。

二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。

1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。

完整版)椭圆大题题型汇总例题+练习

完整版)椭圆大题题型汇总例题+练习解决直线和圆锥曲线的位置关系的步骤如下：1.判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率。

2.联立直线和曲线的方程组。

3.讨论一元二次方程的情况。

4.计算一元二次方程的判别式。

5.运用韦达定理、同类坐标变换等技巧。

6.计算弦长、中点、垂直、角度、向量、面积、范围等。

在解题过程中需要掌握中点坐标公式和弦长公式，同时还需要了解两条直线垂直的判定方法和XXX定理的应用。

常见的题型包括数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系以及弦的垂直平分线问题。

对于后者，需要掌握垂直和平分的相关知识。

举例来说，对于题型一，可以给定一个点T和一条直线l，要求找到与曲线N相交的点A、B，并判断是否存在一点E使得三角形ABE是等边三角形。

对于题型二，可以给定一个椭圆和一些已知点，要求求出过这些点且与给定直线相切的圆的方程。

在解题过程中，需要注意排除格式错误和明显有问题的段落，同时对每段话进行小幅度的改写，使其更加通顺和易懂。

练1：Ⅰ）椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

Ⅱ）设直线 $l:y=kx+m(k\neq0)$ 与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN的垂直平分线过定点G$(x_G,y_G)$。

根据对称性可知，$G$ 在$x$轴上，即$y_G=0$。

由于线段MN的垂直平分线过点$G$，所以$G$ 是线段MN的中点。

又因为MN是直线$l$的斜率为$k$的两点之间的线段，所以MN的中点的横坐标为$-\frac{m}{k}$。

因此，$x_G=-\frac{m}{k}$。

又因为$M$、$N$ 在椭圆上，所以它们满足椭圆的方程，代入直线方程可得关于$k$的二次方程。

由于线段MN不垂直于$x$轴，所以$k\neq0$。

根据二次方程的判别式，当判别式大于等于$0$时，线段MN存在，$k$的取值范围为$\left(-\infty,-\frac{a}{b}\right)\cup\left(\frac{a}{b},+\infty\right)$。

(完整版)椭圆相乘法练习题

(完整版)椭圆相乘法练习题椭圆曲线加密算法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种基于椭圆曲线数学问题的公钥加密算法。

椭圆相乘法是ECC中最主要的操作之一，用于计算椭圆曲线上的点的倍乘运算。

以下是一些椭圆相乘法的练题，帮助您巩固对该算法的理解。

题目一：已知椭圆曲线的参数为：椭圆曲线方程：y^2 = x^3 + ax + b有限域参数：p = 17基点G的坐标：G = (5, 1)私钥dA = 6请计算公钥QA。

题目二：已知椭圆曲线的参数为：椭圆曲线方程：y^2 = x^3 + ax + b有限域参数：p = 17基点G的坐标：G = (5, 1)私钥dB = 8请计算公钥QB。

题目三：已知椭圆曲线的参数为：椭圆曲线方程：y^2 = x^3 + ax + b有限域参数：p = 17基点G的坐标：G = (5, 1)私钥dA = 6私钥dB = 8请计算共享密钥K。

题目四：已知椭圆曲线的参数为：椭圆曲线方程：y^2 = x^3 + ax + b有限域参数：p = 17基点G的坐标：G = (5, 1)私钥dA = 6公钥QA的坐标：QA = (12, 12)请验证QA是否为私钥dA对应的公钥。

题目五：已知椭圆曲线的参数为：椭圆曲线方程：y^2 = x^3 + ax + b有限域参数：p = 17基点G的坐标：G = (5, 1)私钥dB = 8公钥QB的坐标：QB = (16, 13)请验证QB是否为私钥dB对应的公钥。

以上是椭圆相乘法的练习题，希望能对您的学习有所帮助。

若需要详细的计算步骤和答案，请参考相关的椭圆曲线加密教材或资料。

椭圆焦点向量乘积问题

椭圆焦点向量乘积问题
首先，让我们回顾一下椭圆的定义。

椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合。

这个常数称为椭圆的半长轴。

椭圆的性质在数学和物理学中都有广泛的应用。

现在，让我们考虑一个椭圆和其两个焦点的向量表示。

设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆上的任意一点P的位置向量为r，那么根据椭圆的定义，有|PF1| + |PF2| = 2a，其中a为椭圆的半长轴。

我们可以用向量表示来描述这个性质。

设F1和F2的位置向量分别为a和-b，那么对于任意点P的位置向量r，我们有|r + a| + |r b| = 2a。

这就是椭圆的向量表示。

现在，我们来考虑椭圆焦点向量乘积的问题。

具体来说，我们要研究向量|PF1|和|PF2|的乘积的性质。

这个问题在数学竞赛和数学建模中经常出现，具有一定的挑战性和深度。

通过向量运算的性质和椭圆的定义，我们可以推导出椭圆焦点
向量乘积的一些有趣结论。

这些结论不仅可以帮助我们更深入地理解椭圆的几何性质，还可以拓展我们对向量运算的认识。

总之，椭圆焦点向量乘积问题是一个有趣而深奥的数学问题，它涉及椭圆的几何性质和向量运算的结合。

通过研究这个问题，我们可以深入理解椭圆的性质，并丰富我们对向量运算的认识。

【高中数学】秒杀秘诀MS07椭圆双曲线向量乘积问题与中垂线问题1

椭圆与双曲线向量乘积与中垂线问题1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为3（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）.求k 的取值范围.2.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(3,0),右顶点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线2:+=kx y l 与椭圆C 恒有两个不同的交点A 和B,且2>∙OB OA (其中O 为原点),求k 的取值范围.3.已知椭圆2222:1x y a b C +=(0)a b >>的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点(1,0)Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求OM ON ⋅的取值范围.秒杀秘籍：过原点的向量乘积问题椭圆与双曲线与直线y kx m =+相交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，O 为坐标原点，求OA OB⋅解：设()()1122,,,A x y B x y 将y kx m =+代入22221x y a b+=得：将y kx m =+代入22221x y a b=－得：()22222222220b k a x a km x a m a b +++-=()22222222220b k a x a km x a m a b ----=()()()21222222212222212a kmx x b k a a m b x x b k a ⎧-+=⎪+⎪⎨-⎪⋅=⎪+⎩()()()21222222212222212a kmx x b k a a m b x x b k a ⎧+=⎪-⎪⎨--⎪⋅=⎪-⎩()()()()()2212121212121213OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++将（1）（2）分别代入（3）得：()()2222222221b a m b a k b k aOA OB +-++⋅= 椭圆()()2222222221b a m b a k b k aOA OB --+-⋅= 双曲线例1：经过椭圆1222=+y x 的一个焦点作倾斜角为︒45的直线，交椭圆于B A ,两点.设O 为坐标原点，则OB OA ⋅等于解：⎪⎩⎪⎨⎧-==+11222x y y x ()()()()222222222112112111123b a m b a k OA OB b k a +-++⨯-⨯+⇒⋅===-++4.设动点A ,B （不重合）在椭圆14416922=+y x ，且0=⋅OB OA 离OH 等于()A ．320B ．415C ．512D ．1545.椭圆中心在原点O ，短轴长为22，右焦点()0,c F 到短轴一个端点的距离为6，若过点)0,3(A 得直线与椭圆交于Q P ,两点。

椭圆基本题型总结(基础题、压轴小题分类总结七大题型)

椭圆基本题型总结（小题压轴题、基础题分类）题型一、椭圆定义的运用1、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，AB 是经过焦点1F 的弦且8AB =，若椭圆长轴长是10，求21F A F B +的值；2、已知Ａ、Ｂ是两个定点，4AB =，若点Ｐ的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆，则PA PB +的值可能为（）Ａ２Ｂ３Ｃ４Ｄ５3、椭圆221259x y +=的两个焦点为1F 、2F ，Ｐ为椭圆上一点，若01290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积。

4、设Ｐ是椭圆221499x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，，若12PF =，则2PF =5、椭圆221259x y +=上一点Ｍ到焦点1F 的距离为２，Ｎ是1MF 中点，则ON =（）Ａ２Ｂ 6 Ｃ４Ｄ 326、在椭圆2219y x +=上有一点P ，1F 、2F 分别是椭圆的上下焦点，若122PF PF =，则2PF = ；7、已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB = ；8、设1F 、2F 为椭圆221496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12=43PF PF ：：，求12F PF ∆的面积。

9、0m n >>是方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的条件；10、若方程22125x y k k+=−−表示椭圆，则的取值范围为；11、已知ABC ∆的顶点在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是；题型二、椭圆的标准方程1. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.2.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.题型三、离心率1、1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为；242、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，且01260F PF ∠=，求椭圆的离心率的取值范围；3、设1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是；4、在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2C ，以点O 为圆心，a 为半径作圆Ｍ，若过点2(,0)a P c所作圆Ｍ的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为；5、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b −为椭圆的两个顶点，若F 到AB，则椭圆的离心率为； 6、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，且122F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ⋅=，212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率为；7、已知1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为；8、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A 。