2019届河北省中考系统复习：第23讲圆的基本性质(8年真题训练)

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2021年春人教版河北省数学九年级中考《圆的基本性质》专题复习

圆的基本性质1．(2020·河北中考)有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值2．(2019·河北中考)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5.下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧6.如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（）A.52°B．57°C．66°D．78°7.(2020·邢台临西县模拟)如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB 垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为（）A.10B．8C．6D．48.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（）A.25°B．30°C．35°D．40°9.(2020·邯郸市模拟)已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠C＝80°，则∠D的度数是（）A．80° B．100°C．80°或100° D．不能确定10.如图，⊙O的直径CD＝12 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE∶OC＝1∶3，则AB的长为（）A.22 cmB．42 cmC．62 cmD．82 cm11．(2020·河北模拟)如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB 于点D，连接BE，若AB＝27，CD＝1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．812．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于点E，EM＝8，则圆的半径为（）A．4 B．3 C．174D．15413．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝．14.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A.20°B．35°C．40°D．55°15．(2020·石家庄长安区模拟)如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于（）A．30° B．40°C．35° D．45°16．(2020·石家庄桥西区模拟)如图，在⊙O中，∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，则∠ADO的度数为（）A．43° B．44°C．45° D．46°17．(2020·临沂中考)如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°，点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是（）A.10°B．20°C．30°D．40°18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC 的大小为（）A.45°B．50°C．60°D．75°19.(2020·唐山路北区一模)如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠B＝122°，则∠D等于（）A.58°B．116°C．122°D．128°20．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．21.(2020·石家庄市一模)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF 折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是（）A.△ABC的内心B．△ABC的外心C．△ABF的内心D．△ABF的外心22．(2020·邢台市模拟)已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠BAD＝22°，则∠C的度数为（）A．52° B．58° C．62° D．68°,23．如图，O，I分别是△ABC的外心和内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC，则下列说法中错误的是（）A．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与弦DC重合B．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．△ADC沿直线AD折叠，则弦DC一定能与弦DB重合D．若BC经过外心O，沿直线BI折叠△ABI，则点A落在弦BC上圆的基本性质1．(2020·河北中考)有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值2．(2019·河北中考)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是(C)3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5.下列说法错误的是(B)A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧6.如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是(B)A.52°B．57°C．66°D．78°7.(2020·邢台临西县模拟)如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB 垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为(B)A.10B．8C．6D．48.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(C)A.25°B．30°C．35°D．40°9.(2020·邯郸市模拟)已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠C＝80°，则∠D的度数是(C)A．80° B．100°C．80°或100° D．不能确定10.如图，⊙O的直径CD＝12 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE∶OC＝1∶3，则AB的长为(D)A.22 cmB．42 cmC．62 cmD．82 cm11．(2020·河北模拟)如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB 于点D，连接BE，若AB＝27，CD＝1，则BE的长是(B)A．5 B．6 C．7 D．812．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM ＝DM＝2，直线MO交圆于点E，EM＝8，则圆的半径为(C)A．4 B．3 C．174D．15413．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝10－23．14.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是(B)A.20°B．35°C．40°D．55°15．(2020·石家庄长安区模拟)如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于(B)A．30° B．40°C．35° D．45°16．(2020·石家庄桥西区模拟)如图，在⊙O中，∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，则∠ADO的度数为(D)A．43° B．44°C．45° D．46°17．(2020·临沂中考)如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°，点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是(C)A.10°B．20°C．30°D．40°18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC 的大小为(C)A.45°B．50°C．60°D．75°19.(2020·唐山路北区一模)如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠B＝122°，则∠D等于(B)A.58°B．116°C．122°D．128°20．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠CPB.∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴AC＝BC，且∠ACB＝60°.∴△ABC是等边三角形；(2)解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝23.∵∠PAC＝90°，∴∠D＝30°.∴DC＝2AC＝43.∴BD＝DC－BC＝23.∵四边形APBC是圆内接四边形，∴∠PBD＝∠PAC＝90°.在Rt△PBD中，PD＝BDcos 30°＝2332＝4.21.(2020·石家庄市一模)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF 折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是(B)A.△ABC的内心B．△ABC的外心C．△ABF的内心D．△ABF的外心22．(2020·邢台市模拟)已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠BAD＝22°，则∠C的度数为(D)A．52° B．58° C．62° D．68°,23．如图，O，I分别是△ABC的外心和内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC，则下列说法中错误的是(C)A．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与弦DC重合B．弦DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．△ADC沿直线AD折叠，则弦DC一定能与弦DB重合D．若BC经过外心O，沿直线BI折叠△ABI，则点A落在弦BC上。

河北省中考数学一轮复习考点突破课件：圆的有关概念及基本性质

内__对__角___（和它相邻的内角的对角），如图 5，∠ADE=
㉝_∠__A_B_C_.
第一节圆的有关概念及基本性质
满分备考连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形，如图 5，△ADF∽㉞__△__B_C_F_，△ABF∽㉟__△__D_C_F_.
第一节圆的有关概念及基本性质
重
素养指导
难
题
型
第一节圆的有关概念及基本性质
突
破
1 ［2023·河北］如图，点 P1～P8 是⊙O 的八等分点．若△P1P3P7、四边形
重难
P3P4P6P7 的周长分别为 a，b，则下列正确的是（
A）
题
A． a＜b
型 B． a=b
C． a＞b
D． a，b 大小无法比较
第一节圆的有关概念及基本性质
圆的有关概念及基本性质
对接版本人教九上第二十四章 P79～91. 冀教九上第二十八章 P145～166. 北师九下第三章 P65～88，P97～99.
第一节圆的有关概念及基本性质
■考点一圆的有关概念
平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中
定义定点称为①___圆__心___，②__定__长____称为半径，以点 O 为圆心的圆
第一节圆的有关概念及基本性质
失分警示已知圆心到两条平行弦的距离，求两条平行弦的距离时需分两条弦位于圆心同侧和两条弦位于圆心异侧两种情况画图分类讨论并求解.
第一节圆的是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 E，连接 OC，OD.
（1）若∠AOC=120°，则∠COD=__1_2_0_°，∠ODC=__3_0__°；
第一节圆的有关概念及基本性质

2019年数学中考真题知识点汇编30 圆的基本性质(含解析).docx

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】一、选择题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． A．3 B．3 C．2 D．3【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，ODEBA所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC=．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为A.B.. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP，∴PF AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5．（2019·青岛）如圈，结段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D.若AC = BD = 4,∠A =45°，则圆弧CD 的长度为A .πB . 2πC . D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO =∠DBO =90°, 所以∠AOC =∠A =45°, 所以CO =AC =4，因为AC =BD ,CO =DO ,所以△ACO ≌△BDO ,所以∠DOB =∠AOC =45°，所以∠DOC =180°-∠DOB -∠AOC =180°-45°-45°=90°，»CD=904180π⨯=2π，故选B . 9．（2019·益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB.∠BPD ＝∠APDC.AB ⊥PDD.AB 平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，∴PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，故A 、B 正确；∵PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，∴PD ⊥AB ，PD 平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故C 正确，D 错误.7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（»AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是»AB 的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10m .则这段弯路所在圆的半径为（） A.25mB.24mC.30mD.60m【答案】A【解析】连接OD ，由垂径定理可知O ，C ，D 在同一条直线上，OC ⊥AB ，设半径为r ，则OC ＝OA ＝r ，AD ＝20，OD ＝OA －CD ＝r －10，在Rt △ADO ，由勾股定理知：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25.9．（2019·陇南）如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】C【解析】作AB 的垂直平分线，交圆与点C ，D ，设圆心为O ，CD 与AB 交于点E ，∵OA ，∴AE=2，∴2sin 2OE AOE OA OA ∠===,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°， ∴∠ASB=45°，故选：C ．1.（2019·滨州）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（）A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【解析】如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A 和∠BCD 都是弧BD 所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B ．2. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是»BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．4. （2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A. 5.（2019·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为A．B．．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴OC＝，∴CD=2CE= D.6.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2019·泰安) 如图,△ABC是e O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.8.9.10.11.二、填空题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，ODEBA所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC的长为601803π⨯⨯=．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为B.B.. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP，∴PF AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5．（2019·青岛）如圈，结段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D .若AC = BD = 4,∠A =45°，则圆弧CD 的长度为A .πB . 2πC . D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO=∠DBO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，»CD=904180π⨯=2π，故选B.16．（2019·娄底）如图（9），C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD，∵由AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵在⊙O中有∠ACD＝30°,∴∠B＝∠ACD＝30°，∴112122AD AB==⨯=．17．（2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．【答案】63【解析】如图，作OD⊥BC于D，∵OB＝6，∠OBD＝30，∴BD＝12BC＝33，∴BC＝63，故答案为63．13．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为 .【答案】2【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=22BC=2，故答案为2．16．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO ，因为CO ⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC ＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO 中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。

人教版九年级下册数学中考综合复习：第23讲《圆的基本性质》

第23讲《圆的基本性质》要点梳理知识点1：主要概念1.圆:平面上到____的距离等于____的所有点组成的图形叫做圆.____叫做圆心,____叫做半径,以O为圆心的圆记作⊙O.2.弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做___,连接圆上任意两点的线段叫做___,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的___.3.圆心角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆心角.4.圆周角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆周角.5.等弧:在__________中，能够完全____的弧叫做等弧．知识点2：圆的有关性质1.圆的对称性：①圆是______图形，其对称轴是________________．②圆是________图形，对称中心是_____．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．知识点3：垂径定理及推论1.垂径定理：垂直于弦的直径_______，并且____________________．2.垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径_________，并且_____________________；②弦的垂直平分线_______，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．知识点4：弦、弧、圆心角的关系定理及推论①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦______．②推论：在同圆或等圆中，如果两个______、______、_______、__________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点5：圆周角定理及推论1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________．2.圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧______．②半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____．知识点6：点和圆的位置关系①点P在圆上⇔_______；②点P在圆内⇔______；③点P在圆外⇔_______．知识点7：过三点的圆①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边___________的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．知识点8：圆内接四边形圆内接四边形的对角________常见的辅助线(1)有关弦的问题，如图1，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；(2)有关直径的问题，如图2，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．(3)有等弧或证弧相等时，如图3，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心)角．图1 图2 图3命题点1：垂径定理1.(泸州)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E。

河北省2019中考数学复习全套试题第六单元圆第23讲圆的基本性质

第六单元圆第23讲圆的基本性质1．(2016·黄石)如图所示、⊙O 的半径为13、弦AB 的长度是24、ON ⊥AB 、垂足为N 、则ON ＝( A ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．112．(2016·兰州)如图、在⊙O 中、若点C 是AB ︵的中点、∠A ＝50°、则∠BOC ＝( A ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60°3．(2016·自贡)如图、⊙O 中、弦AB 与CD 交于点M 、∠A ＝45°、∠AMD ＝75°、则∠B 的度数是( C ) A ．15° B ．25° C ．30° D ．75°4．(2016·聊城)如图、四边形ABCD 内接于⊙O 、F 是CD ︵上一点、且DF ︵＝CB ︵、连接CF 并延长交AD 的延长线于点E 、连接AC.若∠ABC ＝105°、∠BAC ＝25°、则∠E 的度数为( B )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°5．(2016·南京)如图、扇形OAB 的圆心角为122°、C 是AB ︵上一点、则∠ACB ＝119°．6．(2016·贵阳)如图、已知⊙O 的半径为6 cm 、弦AB 的长为8 cm 、P 是AB 延长线上一点、BP ＝2 cm 、则tan ∠OPA37．(2016·宁夏)如图、已知△ABC 、以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于点D 、交BC 于点E 、连接ED 、若ED ＝EC. (1)求证：AB ＝AC ；(2)若AB ＝4、BC ＝23、求CD 的长．解：(1)证明：∵ED ＝EC 、 ∴∠EDC ＝∠C.∵∠B ＋∠ADE ＝180°、 ∠ADE ＋∠EDC ＝180°、 ∴∠EDC ＝∠B.∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC. (2)连接AE.∵AB 为直径、∴AE ⊥BC.由(1)知AB ＝AC 、∴BE ＝CE ＝12BC ＝ 3.又由(1)知∠EDC ＝∠B 、且∠C ＝∠C 、 ∴△EDC ∽△ABC. ∴EC AC ＝DC BC 、即34＝DC 23.∴DC ＝32.8．(2016·株洲)已知AB 是半径为1的⊙O 直径、C 是圆上一点、D 是BC 延长线上一点、过点D 的直线交AC 于E 点、且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF 、求证：CF ⊥AB.解：(1)证明：∵AB 是⊙O 直径、 ∴∠ACB ＝90°.∵△AEF 为等边三角形、 ∴∠CAB ＝∠EFA ＝60°. ∴∠B ＝30°.∵∠EFA ＝∠B ＋∠FDB 、 ∴∠B ＝∠FDB ＝30°. ∴△DFB 是等腰三角形．(2)过点A 作AM ⊥DF 于点M 、设AF ＝2a.∵△AEF 是等边三角形、∴FM ＝EM ＝a 、AM ＝3a. 在Rt △DAM 中、AD ＝7A F ＝27a 、AM ＝3a 、 ∴DM ＝5a.∴DF ＝BF ＝6a.∴AB ＝AF ＋BF ＝8a.在Rt △ABC 中、∠B ＝30°、∠ACB ＝90°、∴AC ＝4a. ∴AE ＝EF ＝AF ＝CE ＝2a.∴∠ECF ＝∠EFC.∵∠AEF ＝∠ECF ＋∠EFC ＝60°、∴∠CFE ＝30°. ∴∠AFC ＝∠AFE ＋∠EFC ＝60°＋30°＝90°、即CF ⊥AB.9．(2016·石家庄四十二中学模拟)如图、将半径为8的⊙O 沿AB 折叠、AB ︵恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D 、则折痕AB 的长为( D )A ．215B ．10C ．8D ．41510．(2016·邯郸模拟)如图、点P 是等边△ABC 外接圆⊙O 上一点、在以下判断中：①PB 平分∠APC ；②当弦PB 最长时、△APC 是等腰三角形；③若△APC 是直角三角形时、则PA ⊥AC ；④当∠ACP ＝30°时、△BPC 是直角三角形．其中正确的有( D )A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④11．如图、以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC 、BC 的交点分别为D 、E 、且DE ︵＝BE ︵. (1)试判断△ABC 的形状、并说明理由；(2)已知半圆的半径为5、BC ＝12、求sin ∠AB D 的值．解：(1)△ABC 为等腰三角形．理由如下：连接AE. ∵AB 为直径、∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°、∠C ＋∠DBC ＝90°、∠CDE ＋∠EDB ＝90°. 又∵DE ︵＝BE ︵、∴∠EDB ＝∠DBC. ∴∠C ＝∠CDE.∴CE ＝DE. ∵DE ︵＝BE ︵、∴DE ＝BE 、CE ＝BE.∴AE 垂直平分BC. ∴AC ＝AB 、即△ABC 为等腰三角形．(2)∵∠ADE ＋∠ABE ＝180°、∠CDE ＋∠ADE ＝180°、∴∠CDE ＝∠CBA. 又∵∠C ＝∠C 、∴△CDE ∽△CBA.∴CD CB ＝CECA.∵BC ＝12、半径为5、由(1)得AC ＝AB ＝10、CE ＝6、 ∴CD 12＝610、即CD ＝7.2. ∴ AD ＝AC －CD ＝2.8、sin ∠ABD ＝AD AB ＝2.810＝725.12．(2016·安徽模拟)在⊙O 中、直径AB ＝6、BC 是弦、∠ABC ＝30°、点P 在BC 上、点Q 在⊙O 上、且OP ⊥PQ. (1)如图1、当PQ ∥AB 时、求PQ 的长度；(2)如图2、当点P 在BC 上移动时、求PQ 长的最大值．图1 图2 解：(1)连接OQ.∵PQ ∥AB 、OP ⊥PQ 、∴OP ⊥AB.∵在Rt △OBP 中、tanB ＝OPOB 、∴OP ＝3tan30°＝ 3.∵在Rt △OPQ 中、OP ＝3、OQ ＝3、∴PQ ＝ 6. (2)连接OQ.在Rt △OPQ 中、PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2、当OP 的长最小时、PQ 的长最大、此时OP ⊥BC 、则OP ＝12OB ＝32、∴PQ 长的最大值为9－（32）2＝323.。

中考数学复习练测课件素养综合练测23 圆的基本性质

为菱形，则∠BAD 的度数为( B )
A．45°
B．60°
C．72°
D．36°
5．(2021·营口)如图，⊙O 中，点 C 为弦 AB 中点，连接 OC，OB，∠COB
＝56°，点 D 是A︵B上任意一点，则∠ADB 度数为( B )
A．112°
B．124°
C．122°
D．134°
6．(2021·黄冈)如图，⊙O 是 Rt△ ABC 的外接圆，OE⊥AB 交⊙O 于点 E，
∵∠AHM＝∠FOM＝90°，∠AMH＝∠FMO， ∴△ AHM∽△FOM.∴HAMH＝OFMO＝2. ∵AD＝4，∴OF＝OA＝2.∴OM＝1. ∴AM＝OA－OM＝1. 设 HM＝x，则 AH＝2x. 在 Rt△ AHM 中，AH2＋HM2＝AM2，即(2x)2＋x2＝1，解得 x1＝ 55，x2＝－ 55(舍去)．
15．(2021·包头)如图，在锐角三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，以 AD 为直径的⊙O 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过点 F 作 FG⊥AB，垂足为 H，交A︵E于点 G，交 AD 于点 M，连接 AG，DE，DF. (1)求证：∠GAD＋∠EDF＝180°；
证明：由题可知∠AGF＝∠ADF. ∵GF⊥AB，AD 为圆的直径， ∴∠AGF＋∠GAE＝90°，∠AGAE＋∠DAE＝∠FAD＋∠DAE，即∠GAD＝∠EAF. ∵四边形 AEDF 是圆的内接四边形， ∴∠EAF＋∠EDF＝180°. ∴∠GAD＋∠EDF＝180°.
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3．(2021·牡丹江)如图，点 A，B，C 为⊙O 上的三点，∠AOB＝13∠BOC，
∠BAC＝30°，则∠AOC 的度数为( C )

中考数学专题复习圆

第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

2019中考数学真题分类汇编知识点30 圆的基本性质2019

知识点30 圆的基本性质一、选择题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ． 12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，ODEBA所以90BCE ACD ∠+∠=︒，所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC=．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为A.B. C. .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5．（2019·青岛）如圈，结段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D.若AC = BD = 4,∠A =45°，则圆弧CD 的长度为A .πB . 2πC . π D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO =∠DBO =90°, 所以∠AOC =∠A =45°, 所以CO =AC =4，因为AC =BD ,CO =DO ,所以△ACO ≌△BDO ,所以∠DOB =∠AOC =45°，所以∠DOC =180°-∠DOB -∠AOC =180°-45°-45°=90°，»CD=904180π⨯=2π，故选B . 9．（2019·益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB.∠BPD ＝∠APDC.AB ⊥PDD.AB 平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，∴PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，故A 、B 正确；∵PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，∴PD ⊥AB ，PD 平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故C 正确，D 错误.7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（»AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是»AB 的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10m .则这段弯路所在圆的半径为（） A.25mB.24mC.30mD.60m【答案】A【解析】连接OD ，由垂径定理可知O ，C ，D 在同一条直线上，OC ⊥AB ，设半径为r ，则OC ＝OA ＝r ，AD ＝20，OD ＝OA －CD ＝r －10，在Rt △ADO ，由勾股定理知：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25.9．（2019·陇南）如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】C【解析】作AB 的垂直平分线，交圆与点C ，D ，设圆心为O ，CD 与AB 交于点E ，∵OA ，∴AE=2OA，∴2sin 2OE AOE OA OA ∠===,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°， ∴∠ASB=45°，故选：C ．1.（2019·滨州）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（）A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．2. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是»BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．4. （2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A. 5.（2019·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为A．B．．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴OC＝CD=2CE= D.6.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2019·泰安) 如图,△ABC是e O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.8. 9. 10. 11.二、填空题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ． 12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，ODEBA所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC的长为601803π⨯⨯=．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为B.B. C. .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5．（2019·青岛）如圈，结段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D.若AC = BD = 4,∠A =45°，则圆弧CD 的长度为A .πB . 2πC . π D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO=∠DBO=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4，因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°，所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°，»CD=904180π⨯=2π，故选B.16．（2019·娄底）如图（9），C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD，∵由AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵在⊙O中有∠ACD＝30°,∴∠B＝∠ACD＝30°，∴112122AD AB==⨯=．17．（2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．【答案】63【解析】如图，作OD⊥BC于D，∵OB＝6，∠OBD＝30，∴BD＝12BC＝33，∴BC＝63，故答案为63．D CBOA13．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为 .【答案】2【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=22BC=2，故答案为2．16．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO ，因为CO ⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC ＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO 中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。

2019年河北中考数学专题训练集锦圆的基本性质

第29讲圆的基本性质1. (2012，河北)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)第1题图A. AE >BEB. 弧AD ＝弧BCC. ∠D ＝12∠AEC D. △ADE ∽△CBE 【解析】 ∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，∴AE ＝BE ，弧AC＝弧BC .∴A ，B 两选项错误．∵∠AEC 不是圆心角，∴∠D ≠12∠AE C. ∴C 选项错误．∵∠AED ＝∠CEB ＝90°，∠DAE ＝∠BCE ，∴△ADE ∽△CBE .∴D 选项正确．2. (2015，河北)如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 相交于点F .下列三角形中，外心不是点O 的是(B)第2题图A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE【解析】只有△ACF的三个顶点不都在⊙O上，故外心不是点O的是△ACF.3. (2016，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)第3题图A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心【解析】由网格图，知点O是边AC，BC的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O是△ABC的外心．圆的有关概念例1 下列语句正确的是(D)A. 长度相等的两条弧是等弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【解析】能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确.针对训练1 如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C.若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为(A)训练1题图A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】如答图，连接OD，则∠DOC＝70°－45°＝25°，∠AOD＝160°－70°＝90°.∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠A＝45°.∵∠ADO＝∠B＋∠DOB，∴∠B＝45°－25°＝20°.训练1答图针对训练2 如图，点P在线段AB上，P A＝PB＝PC＝PD.当∠BPC＝60°时，∠BDC的度数为(B)训练2题图A. 15°B. 30°C. 25°D. 60°【解析】 ∵P A ＝PB ＝PC ＝PD ，∴点A ，B ，C ，D 在以点P 为圆心，PB 的长为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BPC ＝12×60°＝30°.确定圆的条件例2 (2010，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)例2题图A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M【解析】如答图，连接BC ，作AB 和BC 的垂直平分线，它们相交于点Q ，则点Q 即为圆心．例2答图针对训练3 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(－1，0)，点B 的坐标是(3，0)，在y 轴的正半轴上取一点C ，使A ，B ，C 三点确定一个圆，且使AB 为圆的直径，则点C 的坐标是(A)A. (0，3)B. (3，0)C. (0，2)D. (2，0)【解析】如答图，连接AC ，CB .根据题意可证得△AOC ∽△COB ，∴OC OA ＝OB OC，即OC 2＝OA ·OB .∴OC 2＝1×3＝3.解得OC ＝ 3.故点C 的坐标为(0，3).训练3答图针对训练4 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C，D，E三点，且此圆分别与AD，BC相交于P，Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：甲：连接DE，EC，作∠DEC的平分线EM，作DE的垂直平分线，交EM于点O，则点O即为所求．乙：连接PC，QD，两线段交于一点O，则点O即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)训练4题图A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【解析】对于甲，易知ED＝EC，∴△DEC为等腰三角形．进而易知EM为CD的垂直平分线．∴点O为两垂直平分线的交点，即点O为△CDE的外心．∴点O为此圆的圆心．对于乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，∴PC，QD为此圆的直径．∴PC与QD的交点O为此圆的圆心．因此甲、乙两人皆正确.圆的基本性质例3 (2018，石家庄裕华区模拟)如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，C 是优弧AB 上一点(不与点A ，B 重合)，则cos C 的值为(D)例3题图A. 43B. 34C. 35D. 45【解析】如答图，作直径AD ，连接BD .∵AD 为直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝10，AB ＝6，∴BD ＝102－62＝8.∴cos D ＝BD AD ＝810＝45.∵∠C ＝∠D ，∴cos C ＝45.例3答图针对训练5 (2018，石家庄模拟)如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长是(A)训练5题图A. 8B. 10C. 11D. 12【解析】如答图，作直径CF，连接BF，则∠FBC＝90°.∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAC ＋∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF.∴弧DE＝弧BF.∴BF＝DE＝6.∴BC＝CF2－BF2＝8.训练5答图针对训练6 (2018，通辽)已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数为(D)A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°【解析】如答图．在Rt △OAD 中，∵OA ＝10，OD ＝5，∴cos ∠AOD ＝OD AO ＝12.∴∠AOD ＝60°.同理可得∠BOD ＝60°.∴∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝60°＋60°＝120°.∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°.训练6答图垂径定理例4 (2018，安顺，导学号5892921)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为(C)A. 2 5 cmB. 4 5 cmC. 2 5 cm或4 5 cmD. 2 3 cm或4 3 cm【解析】如答图，连接AC，AO.∵⊙O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm，∴AM＝12AB＝12×8＝4(cm)，OD＝OC＝5 cm.当点C的位置如答图①所示时，∵OA＝5 cm，AM＝4 cm，CD⊥AB，∴OM＝OA2－AM2＝52－42＝3(cm)．∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)．∴AC＝AM2＋CM2＝42＋82＝45(cm)．当点C的位置如答图②所示时，同理可得OM＝3 cm.∵OC＝5 cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．∴在Rt△AMC中，AC＝AM2＋MC2＝42＋22＝25(cm)．综上所述，AC的长为2 5 cm或4 5 cm.例4答图针对训练7 (2018，张家界)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD ＝8 cm，则AE的长为(A)训练7题图A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm.在Rt △OCE 中，OC ＝5 cm ，CE ＝4 cm ，∴OE ＝OC 2－CE 2＝3 cm.∴AE ＝AO ＋OE ＝5＋3＝8(cm)．一、选择题1. (2018，聊城)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC. 若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(D)第1题图A. 25°B. 27.5°C. 30°D. 35°【解析】∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°.∴∠AOC＝2∠B＝50°.∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.2. (2018，威海)如图，⊙O的半径为5，AB为弦，C为弧AB的中点．若∠ABC＝30°，则弦AB的长为(D)第2题图A. 12 B. 5 C.532 D. 53【解析】如答图，连接OA，OC，OC与AB相交于点E.∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.由AB为弦，C为弧AB的中点，易知OC⊥AB，AE＝BE.在Rt△OAE中，AE＝OA·sin∠AOC＝5×32＝532，∴AB＝2AE＝5 3.第2题答图3. (2018，白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)第3题图A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】如答图，连接DC.∵C(3，0)，D(0，1)，∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝ 3.∴∠DCO＝30°.∴∠OBD＝∠DCO＝30°.第3题答图4. (2018，南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)第4题图A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°【解析】 ∵OA ＝OC ，∴∠C ＝∠OAC ＝32°.∵BC 是直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠B ＝ 90°－32°＝58°.5. (2018，贵港)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上．若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是(A)第5题图A. 24°B. 28°C. 33°D. 48°【解析】 ∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°.∵CO ＝BO ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝12×(180°－132°)＝24°.6. (2018，盐城)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为(C)第6题图A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【解析】由圆周角定理，得∠ABC ＝∠ADC ＝35°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝ 90°.∴∠CAB ＝90°－∠ABC ＝55°.7. (2018，苏州)如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是弧AC 上的点．若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为(B)第7题图A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【解析】 ∵∠BOC ＝40°，∴∠AOC ＝180°－40°＝140°.∴∠D ＝12×(360°－140°)＝110°.8. (2018，青岛)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，B 是弧AC 的中点，则∠D 的度数是(D)第8题图A. 70°B. 55°C. 35.5°D. 35°【解析】如答图，连接OB .∵B 是弧AC 的中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝70°.由圆周角定理，得∠D ＝12∠AOB ＝35°.第8题答图9. (2018，滨州)已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC ＝25°，则劣弧AC 的长为(C)A. 25π36B. 125π36C. 25π18D. 5π36【解析】如答图，连接AO ，CO .∵∠ABC ＝25°，∴∠AOC ＝50°.∴劣弧AC 的长为50π·5180＝25π18.第9题答图10. (2018，衢州)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC 于点F.若BD＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长是(D)第10题图A. 3 cmB. 6 cmC. 2.5 cmD. 5 cm【解析】如答图，连接OB.∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，BD＝8，∴BE＝DE＝4.∵AE ＝2，∴在Rt△OEB中，OE2＋BE2＝OB2，即OE2＋42＝(OE＋2)2.解得OE＝3.∴OB＝3＋2＝5.∴EC＝5＋3＝8.在Rt△EBC中，BC＝BE2＋EC2＝42＋82＝4 5.∵OF⊥BC，∴∠OFC＝∠CEB＝90°.∵∠C＝∠C，∴△OFC∽△BEC.∴OFBE＝OCBC，即OF4＝545.解得OF＝ 5.所以OF的长是 5 cm.第10题答图二、填空题11. (2018，广东)在同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.【解析】由圆周角定理，得弧AB 所对的圆周角为50°.12. (2018，大连模拟)如图，截面为圆形的油槽内放入一些油．若圆的直径为150 cm ，油的深度DC 为30 cm ，则油面宽度AB 是120 cm.第12题图【解析】 ∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB .∵OC ＝OB ＝12×150＝75(cm)，∴OD ＝OC －CD ＝75－30＝45(cm)．在Rt △OBD 中，BD ＝OB 2－OD 2＝752－452＝60(cm)，∴AB ＝2BD ＝120 cm.13. (2018，烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为 (－1，－2) ．第13题图【解析】如答图，连接AB，CB，作AB，CB的垂直平分线，相交于点D.所以点D是过A，B，C三点的圆的圆心．所以点D的坐标为(－1，－2)．第13题答图14. (2018，嘉兴)如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10 cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为（533）cm.第14题图【解析】如答图，连接OC ，OD ，OC 与AD 相交于点E .∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD .∵AD ＝10，∠DOB ＝60°，∴∠DAO ＝30°.∴OE ＝533，OA ＝1033.∴CE ＝OC－OE ＝OA －OE ＝533.即该直尺的宽度是533cm.第14题答图三、解答题15. (2018，枣庄)如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .(1)求线段AD 的长；(2)E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．第15题图【思路分析】 (1)由勾股定理易求得AB 的长．可连接CD ，知CD ⊥AB ，易知Rt △ADC ∽Rt △ACB ，可得关于AC ，AD ，AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．(2)当ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知EC ＝ED ，则∠ECD ＝∠EDC .连接OD ，证OD ⊥DE 即可．解：(1)如答图，连接CD . 在Rt △ACB 中，∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5 cm. ∵BC 为直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴Rt △ADC ∽Rt △ACB .∴AC AB ＝AD AC. ∴AD ＝AC 2AB ＝325＝95(cm)．(2)当E 是AC 的中点时，直线ED 与⊙O 相切．理由：如答图，连接OD . ∵DE 是Rt △ADC 的中线， ∴ED ＝EC .∴∠EDC ＝∠ECD . ∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD .∴∠EDO ＝∠EDC ＋∠ODC ＝∠ECD ＋∠OCD ＝∠ACB ＝90°. ∴ED ⊥OD .∴直线ED 与⊙O 相切．第15题答图16. (2018，宜昌，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．第16题图【思路分析】(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形ABFC是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．(2)连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题．(1)证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形．∵AC＝AB，∴四边形ABFC 是菱形． (2)解：如答图，连接BD . ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°. ∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2.∴(7＋CD )2－72＝(2＋2)2－CD 2. 解得CD ＝1.∴AB ＝AC ＝AD ＋CD ＝7＋1＝8. ∴BD ＝82－72＝15.∴S 半圆形＝12π·42＝8π，S 菱形ABFC ＝AC ·BD ＝815.第16题答图1. (2018，襄阳)如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝ 30°，则弦BC 的长为(D)第1题图A. 4B. 2 2C. 3D. 23【解析】如答图．∵OA⊥BC，∴CH＝BH，弧AB＝弧AC.∴∠AOB＝2∠CDA＝60°.∴BH＝OB·sin∠AOB＝ 3.∴BC＝2BH＝2 3.第1题答图2. (2018，杭州)如图，AB是⊙O的直径，C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O 于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DF A＝30°.第2题图【解析】 ∵C 是半径OA 的中点，∴OC ＝12OD .∵DE ⊥AB ，∴∠CDO ＝30°.∴∠DOA＝60°.∴∠DF A ＝30°.3. (2018，温州，导学号5892921)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在弧BD 上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．第3题图【思路分析】 (1)由折叠得出∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC ，结合∠ABD ＝∠AED 知∠ABD ＝∠ACD ，从而得出AB ＝AC ，据此得证．(2)过点A 作AH ⊥BE 于点H ，由AB ＝AE 且BE ＝2知BH ＝EH ＝1.根据∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB 知cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝BH AB ＝13，据此得AC ＝AB ＝3，利用勾股定理可得答案．(1)证明：由折叠的性质，知△ADE ≌△ADC . ∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC .∵∠ABD ＝∠AED ， ∴∠ABD ＝∠ACD . ∴AB ＝AC . ∴AE ＝AB .(2)解：如答图，过点A 作AH ⊥BE 于点H . ∵AB ＝AE ，BE ＝2， ∴BH ＝EH ＝1.∵∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB ， ∴cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝13.∴BH AB ＝13. ∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ＝3， ∴BC ＝3 2.第3题答图。

中考数学第23讲《圆基本性质》考点集训.doc

2019-2020 年中考数学：（第 23 讲）《圆的基本性质》考点集训一、选择题1．已知 A， B，C 是平面内的三点，AB＝ 3，BC＝ 3， AC＝ 6，下列说法正确的是( B ) A．可以画一个圆，使A，B， C都在圆上B．可以画一个圆，使A，B 在圆上， C在圆外C．可以画一个圆，使A，C在圆上， B 在圆外D．可以画一个圆，使B，C在圆上， A 在圆内2． ( 2014·台州 ) 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( B )3．( 2014·珠海 ) 如图，线段AB是⊙O 的直径，弦CD丄 AB，∠ CAB＝20°，则∠ AOD等于( C )A． 160°B．150°C．140°D．120°, 第3题图), 第4题图) 4．( 2014·舟山 ) 如图，⊙ O的直径 CD垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2， DE＝ 8，则 AB的长为( D )A． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 85． ( 2014·呼和浩特 ) 已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( C )3 3A． 3 3 B ． 3 6 C. 2 3 D. 2 66． ( 2014·泸州 ) 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3 ，a)(a ＞ 3) ，半径为 3，函数 y＝ x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为 4 2，则 a 的值是 ( B ) A． 4 B ． 3＋ 2 C ． 3 2 D ．3＋ 3, 第6题图), 第7题图)二、填空题7．( 2014·巴中 ) 如图，已知 A，B，C 三点在⊙O 上，AC⊥ BO于 D，∠ B＝ 55°，则∠BOC 的度数是 __70° __．8． ( 2014·潍坊 ) 如图，平行四边形 ABCD的顶点 A， B， D 在⊙O上，顶点 C 在⊙O直径BE上，连结 AE，∠ E＝ 36°，则∠ ADC 的度数是 __54° __．, 第8题图), 第9题图)9． ( 2014·内江 ) 如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ AOB＝ 60°， AB＝ AC＝ 2，则弦BC的长为 __2 3__．10． ( 2014·南京 ) 如图，在⊙O 中， CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连结 BC，若 AB ＝2 2 cm，∠ BCD＝ 22° 30′，则⊙O的半径为 __2__cm., 第10题图), 第11题图)︵︵︵11．( 2014·东营 ) 在⊙O中， AB 是⊙O的直径， AB＝ 8 cm，AC＝ CD＝ BD，M是 AB上一动点， CM＋ DM的最小值是 __8__cm.412．( 2014·乐山 ) 在△ ABC中， AB＝ AC＝ 5，sin B＝，⊙ O过点 B，C 两点，且⊙O 半径5r ＝10，则 OA的长为 __3 或 5__．三、解答题13．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，F，E分别为BD，AD延长线上的点，如果DE平分∠ FDC，求证： AB＝ AC.易证∠1＝∠ADB＝∠ACB，∠ 2＝∠ABC，∵∠ 1＝∠2，∴∠ ABC＝∠ACB，∴ AB＝AC 14．如图，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A， B， C.(1)︵用尺规作图法找出 BAC所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2) 设△ ABC是等腰三角形，底边 BC＝8 cm，腰 AB＝5 cm.求圆片的半径R.( 1) 如图，分别作 AB， AC的垂直平分线，设交点为O，则 O为所求圆的圆心1 2 2( 2) 连结 AO交 BC于 E，∵ AB＝ AC，∴ AE⊥BC，BE＝ BC＝ 4. 在 Rt △ ABE中，AE＝AB －BE2＝2 2 2 2 2 2 2＋ ( R－ 3)2 2 5 － 4 ＝ 3. 设⊙O的半径为 R，在 Rt △BEO中， OB＝BE＋ OE，即 R ＝ 4 ，∴ R225 25＝16＋ R － 6R＋9，∴ R＝6，所以所求圆片半径为6 cm4 15． ( 2014·上海 ) 如图，在平行四边形ABCD中， AB＝ 5， BC＝ 8，cos B＝5，点 P 是边BC上的动点，以 CP为半径的圆 C 与边 AD交于点 E，F( 点 F 在点 E 的右侧 ) ，射线 CE与射线BA交于点 G.(1)当圆 C 经过点 A 时，求 CP的长；(2)连结 AP，当 AP∥CG时，求弦 EF 的长．( 1) 如图 1，设⊙O的半径为 r ，当点 A 在⊙C上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AH⊥BC于 H，∴ BH＝ AB· cosB＝ 4，∴ AH＝ 3，CH＝ 4，∴ AC＝2 2( 2) AH＋ CH＝5，∴此时 CP＝ r ＝ 5如图 2，若 AP∥CE，则四边形APCE为平行四边形，∵CE＝ CP，∴四边形 APCE是菱形，连CM＝结 AC，EP，则 AC⊥EP，∴ AM＝CM，由 ( 1) 知 AB＝AC，则∠ACB＝∠B，∴CP＝ CE＝cos ∠ACB 25 25 2 2 78，∴ EF＝ 2 （8）－ 3 ＝416． ( 2014·天津 ) 已知⊙O的直径为 10，点 A，B， C 在⊙O 上，∠ CAB的平分线交⊙O于点 D.(1)如图①，若 BC为⊙O的直径， AB＝ 6，求 AC， BD， CD的长；(2)如图②，若∠ CAB＝ 60°，求 BD的长．( 1) ∵BC 是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90° . ∵在直角△CAB 中， BC＝ 10，AB＝ 6，∴由勾股定理得AC＝22 22︵︵BC－ AB ＝10 － 6 ＝ 8. ∵AD平分∠CAB，∴CD＝ BD，∴ CD＝BD.在直2 2 2 ( 2) 连结 OB，OD.∵ AD平分角△BDC中，BC＝10，CD＋BD ＝ BC，∴易求 BD＝ CD＝ 5 2∠CAB，1且∠CAB＝ 60°，∴∠ DAB＝2∠CAB＝ 30°，∴∠ DOB＝ 2∠DAB＝60° . 又∵ OB＝ OD，∴△OBD 是等边三角形，∴ BD＝OB＝ OD.∵⊙O的直径为 10，则 OB＝ 5，∴ BD＝ 5。

2019年中考数学冲刺总复习第一轮横向基础复习第六单元圆第23课圆的证明课件

考点二
切线的性质与判定
例2 （2018·青海）如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°， CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.
（1）求证：PA是⊙O的切线；证明：如图，连接OA，
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°， ∴OA⊥PA，∴ PA是⊙O的切线．
26
度．
4.（2018·益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则 ∠C=
45
度．
5. （ 2018 ·巴中）如图，在矩形 ABCD 中，以 AD 为直径的半圆与边BC相切于点E，若AD=4，则图中的阴影部分的面积为
（2）若PD= 5 ，求⊙O的直径．
解：在Rt△OAP中，∠P=30°， ∴ PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴ OA=PD， ∵PD= 5 ，∴ 2OA=2PD=2 5 ． ∴⊙O的直径为2 5 .
【点拨】本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本
题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理
2.（2018·清远期末）如图所示，P为⊙O外一点，PA、
PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB
于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（
D ）
A. 15
C. 20
B. 12
D. 30
3.（2018·台州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D. 若 ∠A=32°，则∠D=
45°
．
3.（2018·台州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D. 若 ∠A=32°，则∠D=