九年级数学探索规律型2

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中考数学二轮专题复习规律探索型

3 通过观察，用你所发现的规律(guīlǜ)确定2012 的个位数字是D
() A．3 B ．9 C．7 D ．1
153．若 a1＝1－m1 ，a2＝1－a11，a3＝1－a12，…；则 a2012
?1 的值为_______m_________．(用含 m 代数式表示)(biǎoshì)
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黄店镇中学(zhōngx2u0é1)5王.4志海
第二十页，共20页。
现在(xiànzài)的生活，可以
也可以(kěyǐ)是苦的，但不能是没的。你可以昂首挺胸(áng shǒu
也可以默默大干几天，但你不
能放弃，屈服 . —— 班主任寄
语
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探索(tàn suǒ)规律也型是问归题纳(guīnà)猜想型问题，其特点(是tè：d给iǎ出n)一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，
或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推
理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出
一般性的结论．类型有：“数列规律”、“计算规律”、
“图形规律”与“动态规律”等题型，近年来
关于数列与图形排列规律的题目越来越多．
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题型一 :关于代数规律问题
例1、有一组数： 1，2，5，10，17，26，……，请观察(guānchá)这
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4、已知：2 ? 2 ? 22 ? 2 ，3 ? 3 ? 32 ? 3 ,4 ? 4 ? 42 ? 4 ，5 ? 5 ? 52 ? 5 ? ，
3
38
8 15
15 24
24
若10 ? b ? 102 ? b , 符合前面式子(shì zi)的则规a律?，b ? ____1_0__9___ 。

中考数学探究规律题型总结2.等差数字型

答案：2；8048
解析：（1）先把代入原方程得，
求得方程的两个根分别为3,1，
再根据，即，
可得，
所以 .
（2）由求根公式得：
据，
得，
当时，，
当时，，
当时，，
以此类推，
当时，，
当时，，
∴根由小到大排列为，共4026项.
∵每两项的差恒为的值，即为2
则 .
8.观察下列等式：① ；② ；③ ；④ …；则根据此规律第6个等式为________，第个等式为_______．
故第6个式子为．
21.观察下列有序数对： …，根据你发现的规律，第100个有序数对的形式是______
解析：观察发现：
第1个有序数对可以表示为，
第2个有序数对可以表示为，
第3个有序数对可以表示为，
以此类推，
第个有序数对可表示为，
∴第100个有序数对是．
22.观察下列数表：
1 2 3 4…第一行
∴第行最后一个数字是；
再令，解得．
因此第行最后一个数字是，第行最后一个数是．
15.已知，我们又定义，，…，，则通过计算 ……，则b5是多少，bn是多少？
解析：根据题意按规律求解：
，
，
所以
则
16.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 .请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数，当数到12时，对应的字母是______（请填大写字母）；当字母第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C第次出现时（为正整数），恰好数到的数是______（用含的代数式表示）.
以此类推，
则第个式子是．

九年级数学探索规律题的分类及解法探讨素材

“探索规律题”的解法探讨第一类：文字型题例1：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。

问：这时盒子里共有多少只球？分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数；③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。

这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律：操作次数 1 2 3 (10)取出球数 1 2 3 (10)盒中剩球数 0 2 7 … A放回的球数 4 8 12 … B盒中增加球数 3 6 9 … C总球数 4 10 19 … D在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。

从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。

因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31……1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。

即D为166。

说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。

例2：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。

3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。

则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人握7次手；……A9与A10握1次手。

中考数学探索规律题分类及解析

中考数学探索规律题分类及解析中考数学探索规律题是指通过观察一组数或一组图形，发现其中存在的规律或者推导出下一个数字或图形的解题方法。

这类题目不是通过直接计算或者运用公式来得到答案，而是通过观察和推理来寻找规律并进行推导。

这类题目在中考数学中比较常见，考察学生的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。

中考数学探索规律题可以分为数列规律、形状规律和操作规律等几个分类。

数列规律题是指给出一组数字，要求学生根据已知数字的特点推导出下一个数字或者补全数列。

这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找数字之间的关系。

学生可以通过计算差值、比值等方式来找到规律。

比如，给出一个数列1，3，5，7，要求学生推导出下一个数字。

学生可以发现，每两个数字之间差值都是2，所以下一个数字应该是9。

形状规律题是指给出一组图形，要求学生根据已知图形的特点推导出下一个图形或者补全图形。

这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找图形之间的关系。

学生可以通过观察图形边长、角度、对称性等特点找到规律。

比如，给出一个图形如下：1 2 34 5 67 8 ?要求学生填空。

学生可以发现，每一行的数字是依次递增的，所以下一个数字应该是9。

操作规律题是指通过一系列操作或者变换，让学生来探索操作之间的关系从而推导出答案。

这类题目常常通过给出一系列数字或者图形的变化过程，让学生去寻找变化之间的规律。

比如，给出一系列数字1，4，9，16，要求学生推导下一个数字。

学生可以发现，每一个数字都是前一个数字的平方，所以下一个数字应该是25。

总之，中考数学探索规律题要求学生通过观察和推理来寻找规律，需要学生具备较强的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。

在解题过程中，学生可以采用数列差值、比值等方式来寻找数列规律；可以通过观察图形的边长、角度、对称性等特点来寻找形状规律；可以通过寻找操作之间的关系来寻找操作规律。

通过不断的练习和思考，可以提高解决这类问题的能力。

人教版九年级数学下册《规律探究型问题》PPT

（2011·大连）在△ABC 中，∠A＝90°，点 D 在线段 BC 上，∠EDB ＝12∠C，BE⊥DE，垂足为 E，DE 与 AB 相交于点 F.
(1)当 AB＝AC 时(如图所示)， ①∠EBF＝________°； ②探索线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明． (2)当 AB＝kAC 时(如图所示)，求BFED的值(用含 k 的式子表示)．
【答案】A
练习．2 ．(2012中考变式题)如图为手的示意图，在各个手指间标记
字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向(即 A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数 1,2,3,4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n＋1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________．(用含n的代数式表示)
数，且后面的数比对应前面的数大2.如：0,2,4,6；其他位置的数是 4,6,8,10；2,4,6,8.如图
规律二：一条对角线位置的数字之和等于另一条对角线位置的数字之
积．如4＋44＝6×8，则6＋m＝8×10，故m＝74.
【答案】D
例3．在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j规定如下：当i≥j时，ai，j＝1；当 i<j时，ai，j＝0.例如：当i＝2，j＝1时，ai，j＝a2,1＝1.按此规定，a1,3＝ ________；表中的25个数中，共有________个1；计算a1,1·ai,1＋ a1,2·ai,2＋a1,3·ai,3＋a1,4·ai,4＋a1,5·ai,5的值为________.
【解析】当数到12时，对应的字母是B.根据已知条件将字母进行排列，发现字母C出现的次数是奇数时，此时数到的数恰好是这个奇数的3 倍．∵201,2n＋1都是奇数，∴数到的数分别是3×201＝603,3(2n＋1)＝ 6n＋3.

中考数学复习指导：探索规律型问题归类解析

探索规律型问题归类解析探索规律型问题是历年中考数学试题中的重要题型之一，其特点是给出一组变化了的数字、式子、表格、图形等，要求学生通过观察、归纳、猜想、验证、类比，探求其内在规律．1.通用的解题策略解答规律型问题一般要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．这种“特殊——一般——特殊”的解题模式，体现了总结归纳的数学思想，也正是人们认识新事物的一般过程．具体来说，就是先写出开头几个数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，写出符合要求的结果．例1 如图1，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色“L”形由3个正方形组成，第2个黑色“L”形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色“L”形的正方形个数是( )(A)22 (B)23 (C)24 (D)25解析从特例入手：如图1．纵比正方形的个数3，7，11，15中，后一个数比前一个大4（即相邻两数的差为4），猜想与4有关．横比3与1，7与2，11与3，15与4之间有何关系？联想到与4有关，故改写为：3＝4×1－1，7＝4×2－1．11＝4×3－1，15＝4×4－1．猜想组成第6个黑色L形的正方形个数是4 ×6－1＝23个．故选B．点评考察相邻两数的差（或商）是探究数字规律的常用手段．常见的类型有：相邻两数的差（或商）相等或成倍数关系，相邻两数的差相等与商相等交替出现等．2.关注特殊数列(1)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其规律为：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）；(2)平方数数列：1，4，9，16，25，36…（其规律为：n2，即每一项都等于项数的平方）．例2 有一组数：1，2，5，10，17，26…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_______．解析规律为：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．点评此类题要注意n2，n2＋1，n2－1等(3)三角形数列：1，3，6，10，15，21，…（其规律为1＋2＋3＋…＋n）例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图2所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是：( )（A）（B）（C）（D）解析从第3行起，从左边数第3位置上的数分别为，，，，…它们的分母可分别改写为：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形数，故答案为：．选B．(4)杨辉三角形，杨辉三角形斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，如图3．(5)与等差等比数列有关的数列．如例1中3，7，11，15…就是一个等差数列．例4 数字解密：第一个数是3＝2＋1，第二个数是5＝3＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8，……观察并猜想第六个数应是_______．解析第二个加数1，2，4，8…规律为2n（为一等比数列，也要关注这一数列），第一个加数2，3，5，9…比第二个加数大1．所以第六个数为(25＋1)＋25＝65．例5 一组按规律排列的数：…请你推断第9个数是________．解析这列数的分母为2，3，4，5，6…的平方数，分子形成二阶等差数列，依次相差2，4，6，8…故第9个数分子为1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母为100，故答案为．(6)与循环有关的问题例6 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a3；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32＋1得a3；……依此类推，则a2008＝_______．解析根据题意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…发现每3个数就出现一次循环．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．点评一列数由某m个数循环出现组成，可依据同余等值(由n＝p·m＋r得a n＝a r)实施转换．(7)分奇数项偶数项的问题例7 一组按规律排列的式子：，…(a b≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是_(n为正整数)．解析6的指数2，5，8，11…，相邻两数差为3，是等差数列，其规律为3n－1；再注意到奇数项为负，偶数项为正，则第n个式子为第七个式子为3.特殊数列的迁移例8 把数字按如图4所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1.5.13.25.…，则第10个数为_______．解析1 中间框出的一列数的规律为：第n个数为1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．所以第10个数为1＋4＋8＋12＋…＋36＝．解析2 用虚线圈出的一列数1，5，13，25可改写为：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10个数为92＋102＝181．点评此列数可看成是平方数数列的迁移．例9 图5中是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒．a，b，c，d是相邻两行的前四个数，那么当a＝8时，c＝_______，d＝_______．解析除两边外，中间的每个数等于肩上两数的和．答案：9；32．点评此列数可看成是杨辉三角形的迁移．4.关注中考新题型例10 观察图6所示表格，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有_______次．解析从特例入手，通过扩充表格可得：数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出现次数分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出现的次数恰为给定数的所有因数的个数，而2008的因数为1，2，4，8，251，502，1004，2008等8个．故答案为8．点评本例中新产生的数为自然数的倍数，因此，其出现的次数与其因数的多少有关，仔细观察便会发现，其出现次数就是给定数所有因数的个数，本题规律的隐蔽性较强，因而有一定的难度．。

中考探索规律题型总结

3.字母规律：考察字母序列中的规律。学生需要观察字母的顺序、间隔、组合等规律，找出规律并推测下一个或缺失的字母。
4.单词规律：考察单词序列中的规律。学生需要观察单词的拼写、词义、词性等规律，找出规律并推测下一个或缺失的单词。
5.颜色规律：考察颜色序列中的规律。学生需要观察颜色的变化、组合、重复等规律，找出规律并推测下一个或缺失的颜色。
解决"探索规律"Байду номын сангаас型的关键是仔细观察，寻找数字、图形、字母、单词或颜色之间的规律，并通过逻辑推理来得出答案。学生可以运用归纳、类比、比较等思维方法，训练自己的观察力和推理能力。
为了提高解决这类题型的能力，建议学生多做相关的练习题，积累经验，并注意总结不同类型的规律模式。此外，学生还可以培养自己的思维灵活性和逻辑推理能力，通过阅读、思考和讨论来提升对事物规律的敏感度。
在中考中，"探索规律"是一种常见的题型，主要考察学生观察、归纳和推理的能力。下面是对"探索规律"题型的总结：
1.数字规律：考察数字序列中的规律。学生需要观察数字之间的关系，找出规律并推测下一个或缺失的数字。
2.图形规律：考察图形序列中的规律。学生需要观察图形的形状、方向、大小、排列等特征，找出规律并推测下一个或缺失的图形。

【精品】2020年中考数学典例精做专题06 探索规律(2) (教师版)

五、等比数列型1．如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到1条折痕(图中虚线)，对折二次得到3条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2018次后可以得到________条折痕．【答案】(22018－1)2．如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_______.【答案】【解析】本题我们首先求出前面几个正方形的面积，从而得出一般性的规律，然后得出答案.根据题意可得：=4，=2，=1，=，=，则=，根据规律得出答案.点睛：本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质以及规律的发现与整理.在解决这个问题的时候我们首先求出第一个正方形的面积，然后根据等腰直角三角形的性质得出第二个正方形的边长，从而得出第二个正方形的面积，利用同样的方法求出第三个、第四个和第五个正方形的面积，然后找出一般性的规律，从而得出答案.3．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求的值．【答案】4．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）.观察规律解答以下各题：……（1）填写下表:图形序号挖去三角形的个数图1 1图2 1+3图3 1+3+9图4（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数f n(用含n的代数式表示)；（3）若图n+1中挖去三角形的个数为f n+1，求f n+1-f n【答案】（1）40；（2）f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1;（3）3n（2）由（1）知，图n中挖去三角形的个数f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1；（3）∵f n+1=3n+3n-1+…+32+3+1，f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1∴f n+1−f n=3n．点睛：考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．六、正整数平方型1．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a2015+a2016=________ ．【答案】201622．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第105个图形中所有点的个数为（）A．1016个B．11025个C．11236个D．22249个【答案】C【解析】观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的和，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解．解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．当n=105时，（105+1）2=11236，故选：C．七、正整数求和型1．观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（）A．171 B．190 C．210 D．380【答案】B2．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．【答案】（1）6条线段；（2）；（3）990次.【解析】（1）从左向右依次固定一个端点A、C、D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴x=m（m﹣1）；（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行×45×（45﹣1）=990次握手．3．细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.12+1=2,S1=,()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;….(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律;(2)推算出OA10的长;(3)求出+…+的长.【答案】（1）O=n;S n=.（2）OA10=.（3）4．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n.(1)请写出29后面的第一个数；(2)通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3，…由此推算a100－a99的值；(3)根据你发现的规律求a100的值．【答案】(1) 37；(2) a100－a99＝100；(3)5 051.八、平面直角坐标系1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为A．B．C．D．【答案】D【解析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，依此类推横坐标为n的有n个点题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为；偶数列的坐标为，由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．代入上式得，即．故选D．2．如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是A．B．C．D．【答案】C3．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（）A．（0，9）B．（9，0）C．（0，8）D．（8，0）【答案】C∵当n=8时，n2+n=82+8=72，∴当质点运动到第72秒时到达（8，8），∴质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，∴此时质点的横坐标为8-8=0，∴此时质点的坐标为（0，8），∴第80秒后质点所在位置的坐标是（0，8），故选C.4．如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为_____．【答案】（21010﹣2，21009）由题意O1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点在直线y=x+1上，∵点O2018的纵坐标为21009，∴21009=x+1，∴x=21010﹣2，∴点O2018的坐标为（21010﹣2，21009），故答案为：（21010﹣2，21009）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，双曲线，在l上取一点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，，这样依次得到l上的点，，，，，记点的横坐标为，若，则______；若要将上述操作无限次地进行下去，则不可能取的值是______．【答案】0、-1即当时，，，，，，，，，，，；点不能在y轴上此时找不到，即，点不能在x轴上此时，在y轴上，找不到，即，解得：；综上可得不可取0、．故答案为：；0、．九、其它型1．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是________________________（用含n的代数式表示）．【答案】n（n+2）2．观察下列方程的特征及其解的特点．①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2；②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3；③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4.解答下列问题：(1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；(2)根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________；(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解．【答案】x＋＝－9 x1＝－4，x2＝－5 x＋＝－(2n＋1) x1＝－n，x2＝－n－1【解析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，等号右边的规律为：-3=-(2×1+1)，-5=-(2×2+1)，-7=-(2×3+1)…，解的规律：x1=方程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解（2）根据（1）中的到的规律完成（2）；（3）等号左右两边都加3，可得x+3＋＝=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可.3．对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数13、12、23，有112323<<，所以12为13和23的一个中间分数，在表中还可以找到13和23的中间分数25，37，47，35．把这个表一直写下去，可以找到13和23更多的中间分数．（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：①上表中括号内应填的数为；②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的35和23的中间分数是；（2）写出分数ab和cd（a、b、c、d均为正整数，a cb d<，c d<）的一个．．中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；（3）若sm与tn（m、n、s、t均为正整数）都是917和815的中间分数，则mn的最小值为．【答案】（1）①27；②58（2）证明见解析（3）1504（2）本题结论不唯一，证法不唯一，如：结论： a c b d++． ∵a 、b 、c 、d 均为正整数，a cb d <，cd <， ∴()()()201c a b a c a b d a c a bc ad d b b b d b b b d b bd d-+-++--===>++++， ()()()201a c d a c c b d a c c ad bc b d d b d d d b d bd d b-+-++--===<++++． ∴a a c c b b d d+<<+．（3）根据排列可知917和815的中间分数有1732， 3566， 2649， 2547等，由此可得mn 的最小值为1504，故答案为：1504.。

初中毕业生学业考试复习初中数学专题二规律探索型问题优选版

20XX年初中毕业生学业考试复习初中数学专题二规律探索型问题考点知识梳理探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”、“计算规律”、“图形规律”与“动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多．1．数列规律数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．2．计算规律计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，然后通过适当的计算(主要以等差数列的计算为主)回答问题．3．图形规律图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．动态规律例1 (1)(2020 ·沈阳)有一组多项式：a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为____________．(2)(2020 ·广东)观察下列等式：第1个等式：a1＝11×3＝12×(1－13)；第2个等式：a2＝13×5＝12×(13－15)；第3个等式：a3＝15×7＝12×(15－17)；……请解答下列问题：①按以上规律列出第5个等式：a5＝__________________＝__________________；②用含n的代数式表示第n个等式：a n＝____________＝____________(n为正整数)；③求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．A．50 B．64 C．68 D．72例3 (2020 ·潍坊)如图所示，图中每一个小方格的面积均为1，则可根据面积计算得到如下算式：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝____________(用n表示，n是正整数)．例4(2020 ·广州)如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以AB＝1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC＝2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD＝4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE＝8为直径画半圆，记为第4个半圆，……，按此规律，继续画半圆．则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的____________倍，第n个半圆的面积为____________(结果保留π)．1．(2020 ·丽水)小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图①中棋子围成三角形，其颗数3,6,9,12，…称为三角形数，类似地，图②中的4,8,12,16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 0162．探索以下规律，则根据规律，从2 010到2 012，箭头的方向依次是() A．向上再向右B．向右再向上C．向下再向右D．向右再向下3．观察图中正方形四个顶点所标的数的规律，可知2 012应标在()A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的左下角4．观察下列算式：31＝3,32＝9,33＝27,34＝81,35＝243，36＝729,37＝2 187,38＝6 561，……，通过观察，用你所发现的规律确定32 012的个位数字是()A．3 B．9 C．7 D．15．(2020 ·盐城)已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝－|a1＋1|，a3＝－|a2＋2|，a4＝－|a3＋3|，……，依次类推，则a2 012的值为()A．－1 005 B．－1 006 C．－1 007 D．－2 0126．(2020 ·荆门)已知；顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③，如此反复操作下去，则第2 012个图形中直角三角形的个数是()A．8 048 B．4 024 C．2 012 D．1 0667．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，……，则边长为8的正方形内部的整点的个数为()A．65 B．49 C．36 D．25A ．52 012－1B ．52 013－1 C.52 013－14 D.52 012－14二、填空题(每小题5分，共25分)9．(2020 ·云南)观察如图所示图形的排列规律(其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星)．若第一个图形是三角形，则第18个图形是 (填图形名称)．10．(2020 ·肇庆)观察下列一组数：23，45，67，89，1011，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 .11．(2020 ·株洲)一组数据为：x ，－2x 2,4x 3，－8x 4，…，观察其规律，推断第n 个数据应为 .12．(2020 ·莱芜)将正方形ABCD 的各边按如图所示延长，从射线AB 开始，分别在各射线上标记点A 1，A 2，A 3，……，按此规律，则点A 2 012在射线上．13．(2020 ·毕节)在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形．三、解答题(共35分)14．(10分)(2020 ·珠海)观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×________＝________×25；②________×396＝693×________.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a ＋b ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a 、b )，并证明．15．(10分)(2020 ·益阳)观察图形，解答问题：(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.。

02周初三探索规律 (培优)

个性化教学辅导教案学科：数学年级：九年级任课教师：授课时间： 2018 年春季班第2周教学课题探索规律教学目标 1、通过这类问题培养学生数感，培养学生分析问题,探求问题的能力. 2、全面考查学生的创新意识、实践能力和规律探究能力。

3、归纳解决此类问题的常用方法。

教学重难点重点：掌握解决这类问题的通法。

难点：由于缺乏数感，图感，不能准确的归纳题目中规律。

教学过程一、数列的规律例1、观察以下数列，写出下一项与第n 项。

.（1） 1，3，5，7，，…，。

（2） 2，4，6，8，，…，。

（3）1，4，7，10，，…，。

（4） 2，8，32，128，，…，。

（5）1，4，9，16，，…，。

（6）2，5，10，17，，…，。

（7）2，4，8，16，，…，。

（8）1，3，7，15，，…，。

（9）2，6，12，20，，…，。

（10）1，3，6，10，，…，。

（11）1，1，2，3，5，8，13，。

（12） 1, 8, 27, 64 ，…，。

例2、瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据95，1612，2521，3632，……中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数．例3、已知：23233556326,54360,5432120,6543360A A A A =⨯==⨯⨯==⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=,…,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算27A = （直接写出结果），并比较59A 310A （填“>”或“<”或“=”）二、数阵（表）的规律例1、下面是一个某种规律排列的数阵:1 错误！未找到引用源。

第1行错误！未找到引用源。

2 错误！未找到引用源。

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人教版初三数学下册专题二规律探索型问题

课后练习题：
1．(8分)观察下列关于自然数的等式：
(1)32－4×12＝5①(2)52－4×22＝9②(3)72－4×32＝13③
…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×(______)2＝(______)；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．
2．(12分)(2015·自贡)观察下表：
我们把某格中字母和所得的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y，回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为__________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为__________(n为正整数)
(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，
①求x，y的值；
②在此条件下，第n格的“特征多项式”是否有最小值．若有，求出最小值和相应的n值；若没有，说明理由．。

九年级数学中考规律探究题(附答案)

专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+数列的变化规律③ 1、3、7、15……2n -1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 数列的和⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×12=1-12n=12×23=2-23n=23×34=3-34n=34×45=4-45n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n ×1n n +=n-1n n +例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么 32009的个位数字是。