直和分解定理新证

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基于l2(r2)直和分解的两个点收敛定理

基于l2(r2)直和分解的两个点收敛定理二次和分解的两个点收敛定理主要指的是对于拟牛顿方法（Newton’s method）在求解某类函数f(x)的最小值问题时，可以使用l2（r2）的思想来收敛的定理。

包括以下几点：一、定义：（1）l2(r2)直和分解：指将任意活动集中分解为一个正定矩阵和一组定义于它的向量所确定的损失函数。

（2）拟牛顿方法（Newton’s method）：指根据牛顿迭代公式使用奇异值分解来求解一个函数最小值的方法。

二、收敛定理：（1）拟牛顿方法（Newton's Method）在求解某类函数f(x)的最小值问题时可以使用l2（r2）的思想，那么f(x)的点收敛定理也可以给出条件。

（2）根据点收敛定理，在拟牛顿方法（Newton's Method）中，如果雅可比矩阵是一个正定矩阵，函数f(x)也是变分连续的，那么每一步迭代都是收敛的，而需要注意的是，给定的初始点和要最小化的函数f(x)是连续和可微的。

（3）使用l2（r2）直和分解，可以构造一个有约束条件的损失函数f(x)，并通过拟牛顿方法（Newton's Method）来收敛，则有如下两个点收敛定理：I. 如果给定的初始点有一个邻域可以使得损失函数f(x)在这个邻域内可微，那么拟牛顿方法（Newton's Method）会收敛到最优解。

II. 如果拟牛顿方法（Newton's Method）收敛到某一点x'，那么只有两种情况，其一是x'是最优点，而另一种情况是给定的步长太小，此时重新调整步长，该算法仍然可以继续运行，并最终收敛到最优点。

三、 l2(r2)直和分解的两个点收敛定理的优点：（1）可以通过对函数f(x)的约束条件的增加，让这类函数表达的准确性更加近于实际。

（2）实际求最优解时避免了很多不必要的中间步骤，节省了运算时间。

（3）实现的方法也很简单，运行速度快，能够高效的收敛到最优点。

有限Abel群的结构定理的一个新证明

我们约定本文里的群均指有限Ａｅ群，二元运算用加法 “＋” 示，ｂｌ其表其单位元用数字 “ ” ０表示．
引理１设是一个有限Ａｅ群，ｂｌｎ是的一个最大阶元，（）则ｎ是的一个直和项．这是有限Ａｅ群的一个基本结论，ｂｌ已有多种不同形式的证明．面我们用归纳法来重新证明，种下这处理方式似乎比文献［］容易被人接受．４更引理１的证明因ｎ是有限Ａｅ群的一个最大阶元，对的任意元素ｂｂ的阶ｌ整除口的ｂｌ故，ｌｂ阶ｌ．面对／ｎ１下ｎ（）的阶进行归纳．设Ａ０＝（）＜Ａｎ１＜Ａ２＜ … ≤ Ａ＝Ａ
ｌ０ｏ
湖北大学学报（自然科学版）
第２卷，４
＜）Ｂ．ｎ０由此归纳得到（）是Ａ的一个直和项．ａ引理２设Ａ是个有限Ａｅ群， ≤ Ａ．Ａ、ｂｌＢ设Ｂ分别有如下形式的循环子群的直和分解：
Ａ：ＡＡ … ０ … ０，其中ｌ＋ｌＢＢ，ｌｌｌ，
则 ≤ ｒ并且ＪＪ，，，ＪＪＪ对每个１Ｂ ≤Ｊ≤ ｓ．引理２的证明首先证明ｓｒ选择素数Ｐｌ， ≤ ．ｌｌＢ则从条件可知ＰＩＢｌｌ，对每个１．ｓ． ≤Ｊ ≤ 定义
核心部分是处理有限的Ａｅ群这种特殊情况．ｂｌ在本文里，我们从有限Ａｅ群的元的阶的性质出发，ｂｌ重新

有限维线性空间直和分解问题的新探索

Ｓ
ｃ
Ａ）＝Ｈ（ — ｉ，Ａｈ） ∑
…
ｒｎ，＝
（．）１２
则具有直和分解
＝ห้องสมุดไป่ตู้
∑ ＝ ① ①…ｏ＝（ — ）＝，∈ （＝，，ｓ，｛ＩＡｏ｝ｉ１２…，ＡＥ）
（．）１３
其中，Ａ，，Ｐ中互不相同的数，Ａ，：… Ａ是Ｅ是上的恒等变换。
对（．）２１情形的特征多项式＿Ａ）厂构造多项式（
（２２）．
（．）２３
证明
（）Ｉ（）（＝，，…，）Ａ＝＿，，１２３，ＩＡ
则有（）（） … （）ＡＡ，Ａ互素（）ｈ（）Ａ与Ａ互素，并且厂Ａ＝／Ａｈ（）（＝，，ｓ。记（）ｆ（）Ａ，１２ …，）｛＾（＝，Ｉ，）０ ∈Ｖ（＝１２３，）｝ｉ，，… ｓ，（．）２４
但是，当数域Ｐ不是复数域（例如实数域、有理数域等）线性变换的特征多项式未必总能分解为时，
（．）１２的形式，因而未必有（．）１３的直和分解。
本文利用哈密尔顿一凯莱定理给出ｎ维向量空间的一个适用范围更为广泛的直和分解定理和一些
项式，则
厂＝ＴＡ一＋… ＋（１ｅＥ（）Ａ一ｒＡ一）ｄｔＯＡ（．）１１线性空间直和分解问题是ＨｍｌｎＣｙｙ理的重要应用，许多文献讨论ＨｍｌｎＣｙｙ定理ａｉｏ－ａｌ定ｔｅ有ａｉｏ—ａｌｔｅ的推广及应用刮。线性空间直和分解问题在数学、学、力物理学及许多领域有着广泛的应用，献文

线性空间的直和分解与正交补

线性空间的直和分解与正交补线性空间的直和分解是线性代数中的一个重要概念，它能够将一个线性空间分解成两个互相独立的子空间的直和。

而直和的一个重要性质是，两个子空间的交集只包含零向量。

另外，线性空间的正交补也是一个关键概念，它表示与给定子空间正交的所有向量组成的子空间。

本文将详细探讨线性空间的直和分解与正交补的概念与性质。

一、线性空间的直和分解线性空间的直和分解可以看作是将一个线性空间分解为两个互相独立的子空间的和。

形式化地，设V是一个线性空间，U和W是V的两个子空间。

如果满足以下两个条件，那么V是U和W的直和：（1）V = U + W，即V中的任意向量都可以表示为U和W中向量的和；（2）U ∩ W = {0}，即U和W的交集只包含零向量。

对于给定的线性空间V，可以存在不同的直和分解。

直和分解的存在性要求线性空间中的向量可以通过U和W中的向量唯一地表示。

二、直和分解的性质直和分解具有一些重要的性质，下面将介绍其中的两个。

1. 直和的唯一性设V是一个线性空间，U和W是V的两个子空间，如果存在直和分解V = U + W，且U和W也有不同的直和分解U = U1 + U2，W =W1 + W2，那么U1和W2的交集必然包含非零向量。

这说明直和的分解是唯一的。

2. 求直和的基设V是一个线性空间，U和W是V的两个子空间，如果我们知道U和W的一组基，那么可以通过求和得到V的一组基。

具体地，如果U的一组基为{u1, u2, ..., um}，W的一组基为{w1, w2, ..., wn}，那么V 的一组基为{u1, u2, ..., um, w1, w2, ..., wn}。

三、线性空间的正交补线性空间的正交补定义为与给定子空间正交的所有向量组成的子空间。

形式化地，设V是一个线性空间，U是V的一个子空间，U^⊥表示V中与U正交的所有向量的集合，则U^⊥是一个子空间。

正交补的一个重要性质是，对于给定的子空间U，U和它的正交补U^⊥的交集只包含零向量。

线性变换不变子空间直和分解定理注

线性变换不变子空间直和分解定理注线性变换不变子空间直和分解定理是线性代数中一个重要的定理，它可以成功地把一个线性变换分解为合理的子空间和线性一致的变换。

它的实际应用非常广泛，从工程设计到算法设计，从数学建模到社会研究，都用到了这个定理。

该定理要求一个n维向量空间V中有一些不变子空间U1, U2, U3, ... Un，且Ui 之间彼此线性独立，满足UiV。

此外，定理要求存在一个n维到n维的线性变换A；映射A：V→V。

下面对该定理具体进行描述。

首先，该定理要求存在n个不变子空间U1, U2, U3, ... Un，且Ui 之间彼此线性独立，满足UiV。

其中，Ui表示一个不变的子空间，V表示一个n维的向量空间，即Ui+Uj = V。

其次，定理还要求存在一个n维到n维的线性变换A；映射A：V →V，即A(v) = Av，其中v∈V，A∈Rn×n。

最后，定理要求存在一组线性变换B1, B2, B3, ... Bn，其中Bi：Vi→Vi，使得对于任意的v∈V，都有A(v) = B1(v) + B2(v) + B3(v)+ ... + Bn(v) +v。

此外，定理还要求不变子空间U1, U2, U3, ... Un 之间要线性独立，即任意线性组合c1U1+c2U2 + c3U3 + ... cnUn = 0，则有ci= 0，i=1,2,3,...n。

最后，定理要求满足二者之后，线性变换A才能成功分解为线性一致的变换B1, B2, B3, ... Bn，即A(v) = B1(v) + B2(v) + B3(v)+ ...+Bn(v) +v，其中v∈V。

综上所述，线性变换不变子空间直和分解定理是一个十分重要且实用的定理，它可以将一个线性变换A：V→V成功分解为以n个不变子空间U1, U2, U3, ...Un线性一致的变换B1, B2, B3, ... Bn来描述，这种把线性变换分解为简单子问题的方法，可以将复杂的问题转换为易于解决的子问题，并大大加快了处理速度并减少了误差，因此，这个定理在工程设计、算法设计、数学建模、社会研究等领域的实际应用就变得十分重要。

线性变换不变子空间直和分解定理注

λ λ ｉｉｉ）第１７卷第４期２０１４年７月高等数学研究ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶｏｌ．１７，Ｎｏ．４Ｊｕｌ．，２０１４ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１４．０４．００８线性变换不变子空间直和分解定理注谭尚旺（中国石油大学（华东）理学院，山东青岛２６６５８０）摘要根据根子空间的定义，确定线性空间关于线性变换不变子空间直和分解定理中子空间和根子空间的关系，并且确定了子空间的维数．关键词不变子空间；维数；根子空间中图分类号Ｏ１５１．２４文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１４）０４－００２５－０２ＯｎＤｉｒｅｃｔＳｕｍＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎＴｈｅｏｒｅｍｆｏｒＩｎｖａｒｉａｎｔＳｕｂｓｐａｃｅｏｆＬｉｎｅａｒＴｒａｎｓｆｏｒｍＴＡＮＳｈａｎｇｗａｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍ（ＥａｓｔＣｈｉｎａ），Ｑｉｎｇｄａｏ２６６５８０，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｓｕｂｓｐａｃｅｓａｎｄｒｏｏｔ－ｓｕｂｓｐａｃｅｓｉｎｔｈｅｄｉｒｅｃｔｓｕｍｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍｏｆｉｎｖａｒｉａｎｔｓｕｂｓｐａｃｅｓｏｆａｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄｔｈｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｔｈｏｓｅｓｕｂｓｐａｃｅｓａｒｅａｌｓｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｖａｒｉａｎｔｓｕｂｓｐａｃｅ，ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ｒｏｏｔ－ｓｕｂｓｐａｃｅ线性空间、线性变换和矩阵在相似关系下的化Ｗ（ｍ）＝｛：Ｖ，（Ｅ）ｍ０｝．简问题是高等代数的重要内容，其中矩阵在相似关 λ!称Ｗ＝ξξ∈ Ｗ（ｍ） σ－λξ ＝系下的化简问题与线性空间关于线性变换不变子空 λ∪ｍ＝１λ 为线性变换σ 属于特征值λ的根子容易发现，Ｗλ 是的不变子空间．由定义知间的直和分解问题是等价的．空间． σ｛（ｍ）｝!定理１［１］设σ是复数域上ｎ维线性空间Ｖ的Ｗλ ｍ＝１是一个不降的子空间序列，即（１）（２）（３）线性变换，Ｅ是Ｖ上的恒等变换，σ的特征多项式Ｗλ Ｗλ Ｗλ … Ｖ，（２）［２］ｆ（λ）的标准分解式为且存在一个最小正整数ｋ ≤ｎ，使得（１）（ｋ－１）（ｋ）（ｋ＋１）ｆ（λ）＝（λ－λ１）ｒ１（λ－λ２）ｒ２ … （λ－λｓ）ｒｓ，（１）对ｉ＝１，２，…，ｓ，记Ｗλ … Ｗλ Ｗλ ＝Ｗλ＝ …．因此Ｗ＝Ｗ（ｋ）．［２］设是复数域上ｎ维线性空间Ｖ的Ｖｉ＝｛ξ：ξ ∈Ｖ，（σ－λｉＥ）ｒｉξ ＝０｝，则Ｖｉ是σ 的不变子空间并且Ｖ＝Ｖ１Ｖ２ … Ｖｓ．由定理１知，复数域上ｎ维线性空间Ｖ的线性变换在Ｖ的某个基下的矩阵为准对角形，即复矩阵一定相似准对角形．定理２ σ一个线性变换，σ 的特征多项式ｆ（λ）具有标准分解式（１），Ｗλ 是σ 属于特征值λｉ的根子空间．则有ｄｉｍ（Ｗλ ）＝ｒｉ，Ｖ＝Ｗλ１Ｗλ２ … Ｗλｓ．由定理１和定理２，自然会提出如下问题．问题１［１］定理１中子空间Ｖ的维数（即准对问题２对１≤ｉｓ，定理１的子空间Ｖ与定ｉ角形矩阵相应对角块的阶）是多少？理２的子空间Ｗλ ≤ｉ具有什么关系？设σ是复数域上ｎ维线性空间Ｖ的一个线性变对１≤ｉ≤ｓ，尽管文献［２］指出存在一个最小正换，λ 是σ的一个特征值．对ｍ＝１，２，３，…，记整数ｋｉ ≤ｎ，使ＷλＷ（ｋｉ，但仍存在以下问题．ｉ＝λｉ收稿日期：２０１２－０５－０９；修改日期：２０１３－１２－１２作者简介：谭尚旺（１９６４－），男，山东泰安，硕士，教授，从事图论研究．Ｅｍａｉｌ：ｔｓｗａｎｇ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ问题３对１≤ｉ≤ｓ，是否存在ｋｉ的一个更好的上界令Ｉｓ表示ｓ阶的单位矩阵，Ｊ（ａ，ｓ）表示对角元ｉｉ ξ λｉｉｉｉｉｊｊｊｉｉ（）ｉｒ ≤ ｉｉｉｉｉ２６高等数学研究２０１４年７月为ａ的ｓ阶下三角形Ｊｏｒｄａｎ块，并记ｓ－ｔｔＪ（０，ｒｉ）ｍ＝０，而当１≤ ｍ ≤ｒ－１时，有烇烉烋烇烉烋ｉＢｓ，ｔ＝（０，…，０，１，…，１）．对以上３个问题可得如下确切答案．Ｊ（０，ｒｉ）ｍ＝烄００烌．定理３设σ是复数域上ｎ维线性空间Ｖ的一个线性变换，σ 的特征多项式ｆ（λ）具有标准分解烆Ｉｒｉ－ｍ０烎取定正整数２≤ ｍ ≤ｒｉ，令＝（ε１，ε２，…，εｒ）Ｂｒ，ｍ ∈ Ｗλ ，式（１），并且Ｖｉ和Ｗλ 是定理１和定理２中分别定 ξ则有ｉｉｉ义的记号，则有结论（ⅰ）对每个１≤ｉ≤ｓ，都有Ｖｉ＝Ｗλ ，并且（σ－λｉＥ）ｍ＝（σ Ｗλｉ－λｉＥ）ｍξ ＝ｄｉｍ（Ｖｉ）＝ｒｉ．（σ Ｗ－λｉＥ）ｍ（ε１，ε２，…，εｒ）Ｂｒｍ＝，ｉ（ⅱ）对每个１≤ｉ≤ｓ，都有ｋｉ ≤ｒｉ，且ｋｉ＝ｒｉ（ε１，ε２，…，εｒ）Ｊ（０，ｒｉ）ｍＢｒ，ｍ＝０，当且仅当 σ Ｗ在Ｗλ 的某个基下的矩阵是一个（σ－λｉＥ） ξ ＝（σ Ｗｉ－λｉＥ） ξ＝ λｉｉｍ－１ｍ－１λｉＪｏｒｄａｎ块．（ε１，ε２，…，εｒ）Ｊ（０，ｒｉ）ｍ－１Ｂｒ，ｍ＝εｒ．ｉ（ｍ）ｉ（ｍ－１）ｉ（１）证明（ⅰ）由Ｖｉ和Ｗλ 的定义知于是ξ ∈Ｗλｉ且ξ Ｗλｉ．这表明子空间Ｗλ，（２）（ｒ）ＶｉＷλｉ（ｉ＝１，２，…，ｓ）．（３）Ｗλ ，…，Ｗλｉ两两不同，故由ｋｉ ≤ｒｉ及ｋｉ的定义可假设存在一个１≤ｊ≤ｓ，使Ｖｊ ≠Ｗλ ，则存在一个向ｉ知ｋｉ＝ｒｉ．量α ∈Ｗλ且α Ｖｊ．由定理１知Ｖ＝Ｖ１Ｖ２ … Ｖｓ．当ｋｉ＝ｒｉ时，文［２］已证σ Ｗ λｉ（λ－λｉ）ｒｉ，故存在根子空间Ｗ的特征多项式为 ε１，ε２，…，于是存在向量αｌ ∈Ｖｌ（ｌ＝１，２，…，ｓ），使得εｒ，使得σ Ｗλｉ的一个基在该基下的矩阵是Ｊｏｒｄａｎ标准型α ＝α１＋ … ＋αｊ－１＋αｊ＋αｊ＋１＋ … ＋αｓ，ｉλｉＱ＝ｄｉａｇ（Ｊ（λ ｓＪλ ｓＪλ ｓ也即其中ｒｓｉ，１），（ｉ，２），…，（ｉ，ｌ）），ｓｓ．于是（σ－λＥ）ｓ１在该基 α１＋… ＋αｊ－１＋（αｊ－α）＋αｊ＋１＋… ＋αｓ＝０．ｉ ≥ １ ≥ ２ ≥ … ≥ ｌｉ下的矩阵是由式（３），α ∈ Ｗλ 和αｌ ∈Ｖｌ（ｌ＝１，２，…，ｓ）知（Ｑ－λｉＩｒ）ｓ１＝ αｊ－α ∈ Ｗλｊ，ｄｉａｇ（Ｊ（０，ｓＪ０ｓ＝０．４１）ｓ１，…，（，ｌ）ｓ１）（） αｌ ∈ Ｗｌ，ｌ∈ ｛１，２，…，ｓ｝－｛ｊ｝．设σ 在基ε ε ε ε ε Ｊｏｒｄａｎ１，２，…，ｒ，ｒ，…，ｎ下的标准从而由定理２的结论可得ｉｉ＋１αｊ－α ＝０．型为（Ｑ０），其中λ 不是Ｇ的特征值对于正整数于是α＝αｊ ∈Ｖｊ，这与假设α Ｖｊ矛盾．因此，对每个１≤ｉ≤ｓ，总有Ｖｉ＝Ｗλ ，进而从定理２知◇ Ｇｍ ≥ｓ１，任取ξ ∈Ｘｉ．Ｗ（ｍ＋１）λｉ，记ξ 在该基下的坐标为ｄｉｍ（Ｖｉ）＝ｄｉｍ（Ｗλ ）＝ｒｉ．（Ｙ）． σ－λｉ ξ ＝０ｉ（ⅱ）对每个ｉ＝１，２，…，ｓ，由Ｗλ 和Ｖｉ的定义由（（Ｑ－λＩＥ）ｍ＋１知ｍ＋１ｉ以及的结论（ⅰ）知!烄ｉｒｉ）（Ｇ－λｉＩｎ－ｒ） ' Ｘ＝０，Ｗ（ｒ）（ｍ）烆ｍ＋１ｉ烎 λｉ＝Ｖｉ＝Ｗλｉ＝ ∪ Ｗλｉ．知Ｙ＝０ｍ＝１从而（Ｇ－λＩ）ｍ＋１Ｙ０．再由Ｇ λｉＩｎｒ，（ｒ）（ｊ）ｉｎ－ｒｉ＝－－ｉ故对任意正整数ｊ≥ｒｉ，有ＷλｉＷλｉ．另由式（２）故由式（４）得（σ－λｉＥ）ｍξ ＝０，即ξ ∈ Ｗ（ｍ）这表明知Ｗ（ｒ）（ｊ）．因此Ｗ（ｒ）（ｊ）．这表明（ｍｍ λｉ，ｍｍ λｉＷλ λｉ＝ＷλＷ＋１）（）（）（＋１）ｉＷ（１）ｉ（２）ｉｉ（）（ｒｉ＋１） …．λｉＷλｉ，于是结合式（２）得Ｗλｉ＝Ｗλｉ．因 λｉＷλｉ … Ｗλｉ＝Ｗλｉ＝此，由ｋｉ的定义知ｒｉ＝ｋｉ ≤ｓｉ，于是ｓ１＝ｒｉ，从而有因此，由ｋｉ的定义知ｋｉｒｉ．假设σ Ｗ λｉ在Ｗλ 的某ｌ＝１，即σ Ｗ λｉ在某个基下的矩阵是Ｊｏｒｄａｎ块．个基ε１，ε２，…，εｒ下的矩阵是Ｊｏｒｄａｎ块Ｊ（λｉ，ｒｉ），即 σ Ｗλ （ε１，ε２，…，εｒｉ）＝（ε１，ε２，…，εｒｉ）Ｊ（λｉ，ｒｉ）．则对任意的正整数ｍ，有参考文献［１］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数（σ Ｗ λｉ－λｉＥ）ｍ（ε１，ε２，…，εｒ）＝［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社出版，２００３：（ε１，ε２，…，εｒ）（Ｊ（λｉ，ｒｉ）－λｉＩｒ）ｍ＝３０９－３１１．ｉｉｉｉＹｉ（ε１，ε２，…，εｒ）Ｊ（０，ｒｉ）ｍ，其中当ｍ≥ｒｉ时，有［２］李炯生，查建国．线性代数［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，１９８９：３４６－３５１．。

51-子空间直和的判定与证明

子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1V1，α2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αiVi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。

必要性：显然成立；充分性：设αV1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）那么α1=-α2 V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），αV1，—αV2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。

必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。

矩阵的秩的一类新的证明方法

矩阵的秩的一类新的证明方法唐睿;董晓亮;薛淑悦;朱乾宏【摘要】基于齐次线性方程组解的理论,利用集合的包含关系,给出了若干个关于矩阵的秩的不等式的新的证明方法.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】3页(P80-81,87)【关键词】矩阵的秩;齐次线性方程组;包含关系;直和【作者】唐睿;董晓亮;薛淑悦;朱乾宏【作者单位】北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021;北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O221.2董晓亮，(1981-)，男，甘肃静宁人，讲师，博士，硕士生导师.研究方向:最优化理论及方法.矩阵的秩作为高等代数中基本而重要的概念，体现了矩阵在初等变换下的不变量，刻画矩阵在运算前后的秩之间的变化关系.矩阵的秩的关系式内容丰富，其证明方法多样且有一定难度，一直是教学的重点和难点[1，2].教科书中对于矩阵中关于秩的关系式的证明多是考虑其列(或行)极大线性无关组，通过向量组的秩建立相应的关系式.本文中，尝试通过构造齐次线性方程组，利用直和分解和方程组的解空间等理论去证明秩的关系式.1 预备知识定义1[1] 设A∈Rs×n，矩阵的行秩和矩阵的列秩统称为矩阵A的秩；一个矩阵A 的秩为r的充分必要条件是矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式都为零.定义1分别从向量组的秩和矩阵中的行列式的关系刻画了矩阵的秩.对于一个实际问题而言，通常采取用初等变换法、子式法和求矩阵的列向量组或行向量组的极大无关组去求解矩阵的秩.定理1[1] 给定向量组η1,η2,…,ηt，其生成子空间L=L{η1,η2,…,ηt}.则子空间的维数和向量组的秩二者相等，即dim(L)=R{η1,η2,…,ηt}.对一个矩阵A而言，与A相关的有三个重要的线性空间，分别是A的行向量组和列向量组分别生成的子空间，以及将A看作是一个线性变换，该线性变换的核子空间.下面给出它们的定义.定义2[1] 设A∈Rs×n，由矩阵A的行向量组生成的子空间称为A的行空间；由矩阵A的列向量组生成的子空间称为A的列空间；以矩阵A为系数矩阵对应的齐次线性方程组的解集形成的子空间称方程组Ax=0的解空间(矩阵A的的零空间)，记为ΩA={x|Ax=0}.定理2[1] 设V1,V2是有限维线性空间W的子空间，令W=V1+V2，则直和W=V1⊕V2成立与如下几个命题等价：①dim(W)=dim(V1)+dim(V2)；②V1∩V2={0}；③零元素的分解是唯一的，即0=01+02,0i∈Vi(i=1,2).定理3[1] 在齐次线性方程组AX=0有非零解的情况下，它的基础解系所含解的个数等于n-r，这里n是变量的个数，r=r(A).注1 设A∈Rs×n，以及η1,η2,…,ηs是A的s个行向量，齐次线性方程组AX=0对应了即A构成的行空间正交于解空间.换言之，A的行空间和方程组Ax=0的解空间构成直和Rn，即ΩA⊕A行空间=Rn，则由定理2知矩阵的秩+解空间的维数=n.这一点实际是定理3在空间分解上的关于维数公式的生动诠释.2 若干结论本节考虑基于齐次线性方程组解的理论，利用集合的包含关系，给出了若干个关于矩阵的秩的关系式的新的证明方法.命题1 R(AB)≤min{R(A),R(B)}.证明构造线性方程组BX=0和ABX=0，其中系数矩阵A∈Rm×s,B∈Rs×n.不妨设相应的解集为ΩB和ΩAB.容易知道，BX=0的任一解为ABX=0的解，从而ΩB⊆ΩAB，以及dim(ΩAB)≥dim(ΩB).另一方面，由注1可得如下关系式(1)则有R(AB)≤R(B).基于对称的思想，利用“转置运算不改变矩阵的秩”这一事实，可类似地构造方程组ATY=0，BTATY=0，并仿上证得R(BTAT)=R(AB)≤R(A).综上所述，R(AB)≤min{R(A),R(B)}.注2 系数矩阵的行空间与对应的齐次线性方程组的解空间形成了直和，从而“两个空间的和的维数等于各自维数的和”.既然ΩB⊆ΩAB，从而结论可以看作是“此增彼减”的反映.而矩阵中三秩合一，两个行空间的秩的大小关系就反映到矩阵的秩的大小变化关系.命题2 R(A)=R(AT)=R(AAT)=R(ATA).证明观察得到：构造线性方程组AX=0，两边左乘AT得ATAX=0，说明二者对应的解集存在ΩA⊆ΩATA.反之，如果ATAX=0，在ATAX=0两边左乘XT从而XTATAX=(AX)T(AX)=||AX||2=0，即AX=0，故ΩATA⊆ΩA.综上所述，两个方程组同解，结合注1知R(ATA)=R(A)，类似地，可得到R(A)=R(AT)=R(ATA)=R(AAT).命题3 若AB=0，其中A∈Rm×s,B∈Rs×n则有R(A)+R(B)≤n.证明记则有设β1，β2，…，βn是方程组AX=0的解，而β1，β2，…，βn的生成子空间L{β1，β2，…，βn}⊆ΩA.由定理2可得:dim(ΩA)=n-R(A)，R(B)≤dim(ΩA)=n-R(A).从而命题获证.命题4 若A∈Rm×n,B∈Rm×n，则有R(A+B)≤R([AT,BT]).证明构造线性方程组其中x∈Rn两边同时左乘[Im,Im]，得到另一个齐次线性方程组则有Ω[AT,BT]≤ΩA+B.根据注1，则命题结论成立.3 结束语本文通过构造齐次线性方程组，利用解集的包含关系讨论了几类基本的秩的关系式.从中可以看出，通过矩阵A的行空间和方程组Ax=0解空间形成直和的实质可以更方便的得到矩阵的秩的变化关系，可以进一步理解和掌握其中矩阵的秩的相关结论的证明.参考文献:【相关文献】[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京: 北京大学出版社,2000:126-154.[2] 孟道骥．高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社，1998:215-221.。

向量空间的同构与直和分解

向量空间的同构与直和分解向量空间是线性代数的重要概念之一，它是由一组向量所张成的集合。

这组向量的线性组合可以表示该空间中的任意向量。

对于一个向量空间，我们可以通过同构和直和分解两种方式来进一步研究其结构。

一、向量空间的同构同构是指两个向量空间在结构上完全一致。

具体地说，如果存在一个双射线性变换将一个向量空间映射成另一个向量空间，并且这个映射保持原来向量空间的所有结构，那么这两个向量空间就是同构的。

同构可以帮助我们揭示向量空间之间的一些重要性质，例如维数、基等等。

对于同构的向量空间来说，它们的维数相等，因为同构意味着它们具有完全相同的结构。

同时，同构的向量空间也具有相同的基。

因此，我们可以使用同构来方便地研究向量空间。

二、向量空间的直和分解直和分解是指将一个向量空间分解成若干个子空间的直和。

具体地说，如果一个向量空间V可以写成两个子空间W和U的直和，即V=W⊕U，那么我们称V是由W和U直和分解而来的。

直和分解可以帮助我们更好地理解向量空间中的子空间之间的关系。

对于直和分解的向量空间来说，它们可以通过组合子空间中的向量来表示其它任意向量。

同时，直和分解使我们得以对子空间进行独立地研究，从而更深入地理解向量空间中的结构。

三、同构与直和分解的联系同构和直和分解在研究向量空间时经常使用。

它们之间的联系在于，同构的向量空间可以用相应的基进行直和分解。

具体地说，如果V和U是同构的向量空间，那么它们的基可以一一对应。

我们可以使用这些基将V和U分别表示成它们的子空间的直和，然后通过同构将它们重新映射成同一个向量空间。

同构与直和分解的联系有助于我们更加深入地理解向量空间结构之间的联系。

它们相互依存，可以互相印证，帮助我们更全面地研究向量空间的性质。

结语向量空间的同构与直和分解是线性代数中重要的概念。

同构可以帮助我们揭示向量空间的性质，直和分解可以帮助我们理解向量空间中的子空间之间的关系。

它们之间有着密切的联系，相互印证，共同构成了向量空间的完整结构。

线性代数的RMI模型理论——向量空间直和分解理论的RMI模型理论

学专业线性代数向量空间直和分解理Ｂ８＝．－ｐ＝．ｐｐ， ’ｐ一ｔ０ｐＯ即：－Ｂ＝，一．论的教学思路。
关键词：性代数向量空间线和分解理论ＲＩ模型Ｍ直ＲＩ方法ＭＲＩＭ方法的框图表示如下：
】兰州商学院学报，９０２：１９（）证明设ｗ，ｗ的任意一个余子学思路 Ⅱ．是
６－７６０．
空间，那么ｗ也是ｗ。的一个余子空空间。取ｗ的一个基｛【ｌ… ，和０，：｝．，０
Ｗ。一个基｛Ｂ，，ｓ．为Ｖ＝的Ｂ，： … Ｂ１因
可以唯一地表成
．４存在Ｖ中ｎｒ的形式，里０ＥＷ．＝，，，且，４ — 这【；，ｌ… ｎ并ｉ的Ｒ模型理论，并且应用关系映射的一个基。由定理６．，ＭＩ
反演思想方法论述非数学专业线性代个向量｛，， … ０ｌ【使得｛一，【０当Ｖ是有限维向量空间时，０，【，
关１分系解
Ｖ＝ｗ①Ｗｌ
］
关于直和的概念可以推广到多于两个子空间的情形。Ｗ。，Ｗ设， …，是向量空间ｖ的子空间。如果
（）Ｗ１Ｗ２＋… ＋；ｉＶ＝＋，Ｗ
教学思路向量空间直和分解理论是线性代
学术纵横
线牲代数的ＭＩＲ模型理论
— —
向量空间直和分解理论的Ｒ模型理论ＭＩ
口窦永平

模的直和分解课程

模的直和分解课程模的直和分解是线性代数中的重要概念之一。

在这篇文章中，我们将探讨什么是模的直和分解，为什么它对理解向量空间中的子空间很重要，并介绍一些与模的直和分解相关的概念和定理。

模的直和分解是指将一个向量空间拆分成它的几个子空间的直和的形式。

直和是指两个子空间的交集只包含零向量。

模的直和分解可以帮助我们更好地理解向量空间的结构和性质。

让我们回顾一下向量空间的定义。

一个向量空间是一个满足特定条件的集合，其中包含了零向量、闭加法和数乘运算。

向量空间中的子空间是指满足向量空间定义的子集，也可以视为一个向量空间。

在模的直和分解中，我们将向量空间V分解成其子空间U和W的直和，记作V = U⊕W。

其中，⊕表示直和运算符。

直和的定义要求U 和W的交集只包含零向量，并且U和W的所有元素的和可以唯一地表示为U和W中元素的和。

为了更好地理解模的直和分解，我们可以考虑一个简单的示例。

假设V是一个平面上的向量空间，U是其中的一条直线，W是与U垂直的另一条直线。

那么V = U⊕W，因为U和W的交集只包含零向量，并且V中的每个向量都可以唯一地表示为U和W中向量的和。

模的直和分解在线性代数中有广泛的应用。

它可以帮助我们理解向量空间的维度和基的选择。

对于有限维向量空间，我们可以通过模的直和分解得到基的直和分解，从而得到向量空间的维度。

这对于计算机科学、物理学等领域中的问题求解非常有用。

在模的直和分解中，有几个重要的定理和概念。

首先，我们需要了解子空间的和与直和的区别。

子空间的和是指两个子空间的所有元素的组合，而直和要求子空间的交集只包含零向量。

其次，如果一个向量空间V可以被分解为U和W的直和，那么U和W就是V的补空间。

补空间是指与某个子空间直和为整个向量空间的子空间。

最后，我们还需要了解模的直和分解的唯一性。

如果一个向量空间V 存在多个直和分解，那么这些直和分解的子空间是相互等价的。

总结起来，模的直和分解是线性代数中的重要概念，它帮助我们理解向量空间的结构和性质。

高等代数中子空间直和的证明方法及应用

高等代数中子空间直和的证明方法及应用高等代数中子空间直和的证明方法及应用是一个重要的概念，也称为微分空间直和原理。

它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性，甚至可以用来证明不同类型的空间布局的等价性。

子空间直和定理指出，一个空间可以转化为其子空间的“直和”；也就是说，可以将原空间分解为若干子空间，并使用这些子空间重新构建原空间。

通常情况下，证明子空间直和会主要做以下几步：
（1）首先证明原空间本身是由它的一系列子空间组成的；（2）接着将上面的子空间称之为有界空间；
（3）然后，可以使用微分空间的直和原理将有界空间的子空间结合起来，并且令其它的子空间等价的表示出来。

高等代数中子空间直和的应用十分广泛，它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性。

例如，如果旋转某一几何图形，某一点会绕着某一点旋转，其他点会随之旋转，从而引出旋转群的概念，并被用于更具体的应用，比如识别特征。

另外，如果将空间分割为平面和三维空间，我们可以使用子空间直和原理来证明任意空间的几何结构的等价性，而不管它处于何种空间内。

此外，子空间直和在研究几何重整学中也非常有用，它可以用来证明形状重整的可能性，例如将正六边形重整为正三角形，可以用它来研究多维空间中的曲线和曲面，以及连通性等相关问题。

总之，高等代数中子空间直和的证明方法及应用十分广泛，可以帮助我们更好地理解几何图形、多维空间及其他几何结构的等价性，从而应用到实际中。

线性空间直和分解定理的两个证明

其中
Ｖ一Ｋｅｒｆｉ（Ａ）ｉ一１，２， …，５
为了方便使用数学归纳法，首先给出一个引理：引理１设是数域上的有限维线性空间，Ａ是Ｖ上的线性变换，－厂（ｚ），ｇ（）是数域上互素的多
２０ｌ５年４月
Ａｐｒ．２０１５
线性空间直和分解定理的两个证明①
喻厚义，王ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正攀
西南大学数学与统计学院，重庆４００７１５
摘要：线性空间直和分解定理是高等代数中关于线性变换的一个经典结果，分别利用数学归纳法和一个习题的推
第４Ｏ卷
因此，对于每个 ∈ ，都有
ａ一（Ａ）－厂（Ａ）ａ十（Ａ）ｇ（Ａ）ｄ∈ Ｋｅｒｇ（Ａ）４－Ｋｅｒ厂（Ａ）
故ＶＫｅｒ厂（Ａ）＋Ｋｅｒｇ（Ａ），从而Ｖ＝＝＝Ｋｅｒ＿厂（Ａ）＋Ｋｅｒｇ（Ａ）．令 ∈ Ｋｅｒ＿厂（Ａ）ｎＫｅｒｇ（Ａ），则由（１）式知卢一 “ （Ａ）ｆ（Ａ）ｐ＋ｖ（Ａ）ｇ（Ａ）卢一０
因此Ｖ — Ｋｅｒｆ（Ａ）ｏＫｅｒｇ（Ａ）成立．
定理１的证明（方法１）由于ｆ（Ａ）是线性变换Ａ的多项式（一１，２， …，ｓ），因此Ｖ是Ａ一子空间．下面对Ｓ进行归纳，证明

正交分解定理

正交分解定理正交分解定理（Orthogonal Decomposition Theorem）是线性代数中的一个重要定理，其描述了一个向量空间可以表示为两个正交子空间直和的形式。

正交分解定理被广泛应用于信号处理、图像压缩和最小二乘解等领域。

在线性代数中，一个向量空间V的两个子空间U和W被称为正交的，如果对于U中的任意向量u和W中的任意向量w，它们的内积为零，即<u,w>=0。

正交的子空间意味着其中的向量在空间中是互相垂直的。

根据正交分解定理，对于任意一个向量空间V，它可以表示为两个正交子空间U和W的直和形式，即V=U⊕W。

其中，U是一个U空间的基的生成子空间，W是一个W空间的基的生成子空间。

直和符号⊕表示V中的任意向量可以唯一地表示为空间U和空间W中的向量的和。

正交分解定理的一个重要应用是最小二乘解（Least Square Solutions）。

最小二乘解是一种对于超定方程组的解的近似方法。

当一个方程组存在无解或者解不唯一的情况时，最小二乘解可以找到一个向量使得方程组的残差最小。

最小二乘解可以通过正交分解定理来推导。

设A为m×n的矩阵，其中m>n，对于任意向量b∈ℝ^m，我们希望找到一个解x∈ℝ^n，使得Ax≈b。

根据正交分解定理，我们将A分解为两个正交子空间的直和形式，即A=[U|W]，其中U∈ℝ^m×n，W∈ℝ^m×(m-n)。

则最小二乘解可以表示为x=(U^TU)^-1U^Tb。

在信号处理领域，正交分解定理被广泛应用于信号压缩和噪声去除等问题上。

对于一个信号，可以将其正交分解为不同频率的分量信号。

利用这种分解，可以将信号的主要信息保留下来，而滤除掉无关的噪声或者干扰。

例如，将一个音频信号进行正交分解，可以得到频谱图。

频谱图展示了信号在不同频率上的能量分布情况，可以帮助我们分析和理解信号的特性。

在图像压缩方面，也可以利用正交分解定理将图像分解为不同类别的子图像，然后根据子图像的重要性进行压缩，从而实现对图像的高效压缩和传输。

直和与直和分解的概念与性质

直和与直和分解的概念与性质直和和直和分解是线性代数中的基础概念，它们在向量空间和代数结构中有重要的应用。

本文将介绍直和和直和分解的概念及其性质。

一、直和的概念直和是指将两个或多个子空间直接相加所得到的新的子空间。

设V是一个向量空间，U和W是V的两个子空间，如果对于V中的任意一个向量x，都可以唯一地写成x=u+w的形式，其中u∈U，w∈W，那么我们称V是U和W的直和，记作V=U⊕W。

二、直和的性质1. 直和的存在唯一性：如果向量空间V可以分解为两个子空间U和W的直和，那么这个直和分解是唯一的。

2. 直和与子空间的交：设V是一个向量空间，U和W是V的两个子空间，如果U∩W={0}，那么V的子空间U和W的直和等于U+W。

3. 直和与维数：设V是一个有限维向量空间，U和W是V的两个子空间，那么V是U和W的直和的充分必要条件是dimV=dimU+dimW。

换句话说，如果一个向量空间可以分解为两个子空间的直和，那么向量空间的维数等于两个子空间的维数之和。

4. 直和与基与坐标：设V是一个向量空间，U和W是V的两个子空间，如果B1是U的一组基，B2是W的一组基，那么B1∪B2是V的一组基，且V关于B1∪B2的坐标就是U和W的坐标的联合。

三、直和分解的概念直和分解是指将一个向量空间分解为多个子空间的直和的过程。

设V是一个向量空间，U1，U2，…，Un是V的n个子空间，如果V是U1，U2，…，Un的直和，那么我们称V是U1，U2，…，Un的直和分解。

四、直和分解的性质1. 直和分解的存在性：对于给定的向量空间V和它的子空间U1，U2，…，Un，如果存在一组基B1，B2，…，Bn，其中Bi是Ui的一组基，那么V是U1，U2，…，Un的直和分解。

2. 直和分解与维数：设V是一个有限维向量空间，U1，U2，…，Un是V的n个子空间，那么V是U1，U2，…，Un的直和分解的充分必要条件是dimV=dimU1+dimU2+…+dimUn。

子空间直和的判定与证明

子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1∊V1，α2∊V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。

必要性：显然成立；充分性：设α∊V1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βi∊Vi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βi∊Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）那么α1=-α2∊ V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量α∊V1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），α∊V1，—α∊V2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。

直和定义

∴ ki1 = = kiri = 0, α = 0
(3) ⇒ (1) α = α1 + + αi + + αs , αi ∈Vi , i = 1, 2, , s
α = β1 + + βi + + β s , βi ∈Vi , i = 1, 2, , s
∑ ∑ 于是得 αi − βi ∈Vi , (α j − β j ) ∈ Vj
j≠i
j≠i
于是 α = α1 + + αi−1 + αi+1 + + α s , α j ∈Vj , j ≠ i
即有 α1 + + αi−1 + α + αi+1 + + α s = 0,
因此
α = 0,
故
∑ Vi ∩ Vj = {0}, i = 1, 2, , s.
Hale Waihona Puke j≠i第六章线性空间
(3) ⇒ (4) 设 αi1, ,αiri 是 Vi 的一个基，i = 1, 2, , s
分解式 α = α1 + α2 是唯一的，指的是：
若
α = α1 + α2 = β1 + β2 , α1 , β1 ∈V1 , α2 , β2 ∈V2
则
α1 = β1, α2 = β2
第六章线性空间
二、直和的判定
下面的定理给出子空间的和是直和的几个等价条件。
定理6.7.1：设 V1,V2是线性空间V的子空间，记 V = V1 + V2 , 下面四个命题彼此等价。
若还有
α = β1 + β2 , βi ∈Vi

51-子空间直和的判定与证明

51-⼦空间直和的判定与证明⼦空间直和的判定与证明⼀、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的⼦空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1?V1，α2?V2，是惟⼀的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.⼆、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成⽴.证明：要证明零向量的分解式是唯⼀的即可。

必要性：显然成⽴；充分性：设α?V1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βi?Vi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βi?Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯⼀的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2）那么α1=-α2? V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量α?V1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），α?V1，—α?V2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的⼦空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。

必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的⼀个⼦空间，那么⼀定存在⼀个⼦空间W，使V=U⊕W.证明：取U得⼀组基α1，……，αm，把它扩充为V的⼀组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满⾜条件。

线性空间直和分解一个定理的证明的教学建议_梁庆光

线性空间直和分解一个定理的证明的教学建议梁庆光(赣南师范学院数学与计算机系,赣州,341000)文献[1]给出了线性空间按线性变换的特征值分解成不变子空间的直和的一个定理,叙述于下:定理　设数域P 上线性空间V 的线性变换A 的特征多项式为f (λ),它可分解因式为:f (λ)=(λ-λ1)r 1(λ-λ2)r 2…(λ-λs )r s ,其中λ1,λ2,…,λS 互不相等,r 1,r 2,…,r s 都是正整数,则V 可分解成A 的不变子空间的直和:V =V 1 V 2 … V s ,其中V i ={ξ (A -λi E )r i ξ=0,ξ∈V },i =1,2,…,S ,E 是单位变换。

他们给出了证明,笔者认为可分为三段,简述如下:①令f i (λ)=f (λ)(λ-λi )r i =(λ-λ1)r 1…(λ-λi -1)r i -1(λ-λi +1)r i +1…(λ-λS )r s ,i =1,2,…,S 用符号V i 表示线性变换f i (A )的值域(下面称为f i (A )的象),即V i =f i (A )V ,i =1,2,…,S由等式A ·f i (A )=f i (A )·A ,知V i 是A 的不变子空间(i =1,2…,S ),再由等式:(A -λi E )ri V i =f (A )V =0,知V i =f i (A )V {ξ|(A -λi E )r i ξ=0,ξ∈V },i =1,2,…,S (1)即线性变换f i (A )的象空间包含于线性变换(A -λi E )r i 的核空间(i =1,2,…,S )②分两点证明:V =V 1 V 2 … V S ,其中V i (i =1,2,…,S )是f i (A )的象。

证明　V =V 1+V 2+…+V S ,其中V i 是f i (A )的象,(i =1,2,…,S )再证明　V =V 1+V 2+…+V S =V 1 V 2 … V S ,其中V i 是f i (A )的象(i =1,2,…,S )证明和V 中零向量关于(A -λi E )r i 的核(i =1,2,…,S )中向量的分解式唯一,即设有　β1+β2+…+βS =0,其中βi ∈(A -λi E )r i 的核,(i =1,2,…,S )推出　βi =0,i =1,2,…,S利用(1)式和第一步的结论来证明和V 中零向量关于f i (A )的象(i =1,2…,S )中向量的分解式唯一,即设　α1+α2+…+αS =0,其中αi ∈f i (A )的象(i =1,2,…,S ),由(1)式,得αi∈f i (A )的象 (A -λi E )r i 的核,i =1,2,…,S 。

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