知识讲解复数基础
复数知识点归纳
复数知识点归纳
复数是英语语法中的一个重要概念，它用来指示多个数量的事物或概念。学习复数形式是学习英语语法的基础之一。在本篇文章中，我们将概览复数的基本规则和特殊情况，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
1. 名词的复数形式
大多数英语名词的复数形式是在词尾加上字母"s"或"es"。例如，"cat"的复数形式是"cats"，"dog"的复数形式是"dogs"。以下是一些常见名词的复数形式的例子：
- apple - apples
- book - books
- chair - chairs
- student - students
需要注意的是，还有一些例外情况，需根据单词的原始形态作出变化。例如，"man"的复数形式是"men"，"woman"的复数形式是"women"。
2. 以"y"结尾的名词
当一个名词以"y"结尾，并且它的前一个音素是辅音时，要将"y"变为"i"，再加上"es"。例如，"baby"的复数形式是"babies"，"city"的复数形式是"cities"。
3. 以"o"结尾的名词
大多数以"o"结尾的名词在复数形式中加上"es"。例如，"tomato"的复数形式是"tomatoes"，"potato"的复数形式是"potatoes"。
然而，也有一些例外情况。例如，一些以"o"结尾的名词在复数形式中只需要加上"s"，而不是"es"。例如，"piano"的复数形式是"pianos"，"photo"的复数形式是"photos"。
4. 不规则名词
还有一些名词的复数形式是不规则的，需要特殊记忆。例如，"child"
复数基础知识
一、虚数的由来
利用二次方程式解的公式，√b2−4ac<0时，出现负数，这是发现虚数单位的根源
二、虚数的定义
虚数用英文名表述为imaginary number,故取其英文名首字母i命名，i称为虚数单位（imaginary unit）并定义
i=√−1i2=−1
三、复数的定义
对于a+bi的形式表示称为复数（complex number）
若a不等于0，b等于0，则复数不存在，只有实数a;
若a等于0，b不等于0，则复数则为纯虚数;
若a不等于0，b等于0，则a+bi为一般复数
四、共轭复数
a+bi与a-bi 称为共轭复数
五、复数的运算
1、复数的加减
z1=a+biz2=c+di
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1−z2=(a−c)+(b−d)i
2、复数的乘法
z1∗z2=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i
3、复数的除法
z1 z2=a+bi
c+di
=(a+bi)(c−di)
(c+di)(c−di)
=ac−adi+bci−bdi2
c2−d2i2
=(ac+bd)+(bc−ad)i
c2+d2
=ac+bd
c2+d2
+bc−ad
c2+d2
i#利用共轭复数的算法4、复数的幂
z12=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2−b2+2abi
六、复数的极坐标表示
对于复数a+bi，|z|=√a2+b2,称为复数z的绝对值;
令|z|=r，∠zox=θ，则复数可转换为z=a+bi=r(a
r +b
r
i)的形式，根据三角函数定义a
r
=cosθ,b
r
=sinθ,
则复数的表示方式可以转换为：
复数的知识点总结
复数的知识点总结
一、基本概念
复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中
a 和
b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。
二、复数的表示法
复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。
1. 一般式：a + bi
其中 a 表示实部，b 表示虚部。
2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)
其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。
3. 指数式：re^(iθ)
其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示
复数的幅角。
三、基本运算
1. 加法
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
即实部相加，虚部相加。
2. 减法
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
即实部相减，虚部相减。
3. 乘法
(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。
4. 除法
(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)/(c² + d²)i
即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。
5. 共轭复数
(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，
共轭复数满足以下性质：
a. 它们的实部相等。
b. 它们的虚部相等，但符号相反。
c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。
d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
复数的知识点总结
复数的知识点总结
一、名词的复数规则
1. 在名词后加-s
大多数名词的复数形式是在单数形式的基础上加上-s，例如：book-books, pen-pens, cat-cats。
2. 在以-s, -ss, -sh, -ch, -x, -z结尾的名词后加-es
当名词以-s, -ss, -sh, -ch, -x, -z结尾时，其复数形式要在单数形式的基础上加上-es，例如：bus-buses, class-classes, box-boxes。
3. 在以辅音字母+y结尾的名词变y为i再加-es
当名词以辅音字母+y结尾时，要先将y变为i再加-es，例如：city-cities, baby-babies。
4. 以-f或-fe结尾的名词变-f或-fe为-v再加-es
当名词以-f或-fe结尾时，要先将f或fe变为v再加-es，例如：knife-knives, leaf-leaves。
5. 不规则名词的复数形式
有一些名词的复数形式是由单数形式完全不同的单词构成的，这些名词的复数形式通常需要进行记忆和学习，例如：man-men, woman-women, child-children。
二、名词的复数用法
1. 表示复数数量
复数形式的名词用来表示多个物体、人或概念，例如：These apples are delicious.（这些苹果很好吃。）
2. 表示复数单位
一些计量单位在表示多个时使用复数形式的名词，例如：five liters（五升）、ten dollars （十美元）。
3. 表示某一类人或事物
复数形式的名词还可以用来表示某一类人或事物，例如：Cats are cute animals.（猫是可爱的动物。）
复数的知识点总结
复数的知识点总结
复数是英语中一个非常基础和重要的语法概念，它在日常交流和书写中被广泛应用。学好复数形式的规则和用法对于掌握英语语法和表达非常有帮助。本文将总结一些关于复数的基本知识点，并且通过实例进行说明。
1. 可数名词和不可数名词
复数形式适用于可数名词，而不可数名词没有复数形式。可数名词指的是可以用数字进行计数的物体或概念，如"book"、"cat"等。不可数名词指的是无法用数字直接计数的物体或概念，如"water"、"information"等。
2. 一般情况下的复数形式
在一般情况下，将可数名词单数形式末尾的辅音字母+y改为-i，再加上es。例如：city→cities, baby→babies。当可数名词单数形式末尾是元音字母+y时，直接在末尾加上s，如：boy→boys。
3. 以s、ss、sh、ch、x、o等结尾的名词
以s、ss、sh、ch、x、o等结尾的名词，复数形式通常直接在末尾加上-es。例如：bus→buses, class→classes, box→boxes。
4. 不变形复数名词
有一些名词的单数和复数形式是相同的，称之为不变形复数名词。例如：fish→fish, sheep→sheep, deer→deer。
5. 人称代词的复数形式
人称代词的复数形式也是非常重要的，它们在口语和书面语中被广
泛使用。例如：I→we, he→they, you→you, she→they, it→they。
6. 名词丰富、缩写和外来词的复数形式
一些名词经过丰富，将辅音字母重复一次，并在末尾加上es。例如：knife→knives, wife→wives。缩写名词的复数形式通常是在末尾加上s，如：CD→CDs, DVD→DVDs。而一些外来词则保留其原始形式，如：
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结
复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念
1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足
i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则
z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式
r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则
1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，
实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共
轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角
函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，
(完整版)复数基础知识点
1、复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，形如a +bi (a 、b ∈R )的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.
a 为实部，
b 为虚部2．复数集
⎧⎧⎧整数
⎪⎪
有理数⎨实数(b =0)⎨⎪⎩分数⎪⎪
复数a +bi (a ,b ∈R )⎨小数)
⎩无理数(无限不循环⎪
虚数(a ≠0)
⎪虚数(b ≠0)⎧纯⎨⎪
虚数(a =0)⎩非纯⎩
3.复数的几何意义
对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).
z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
复平面内的点Z （a,b ）
复数
z =a +bi
平面向量
OZ
4.两个复数相等的定义：a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地，a +bi =0⇔a =b =0.
5.复数的四则运算设z 1
=a 1
+b 1
i ，z 2
=a 2
+b 2
i
（1）加法：z 1
+z 2
=(a 1
+a 2
)+(b 1
+b 2
)i 即实部与实部相加，虚部与虚部相加；
，
（2）减法：z 1
-z 2
=(a 1
-a 2
)+(b 1
-b 2
复数知识点总结归纳
复数知识点总结归纳
复数是英语中的一个重要语法概念，指的是表示两个以上的数量或者多个个体的名词形式。在英语中，复数形式的构成方式多种多样，需要根据名词的词尾变化来确定。掌握复数形
式的规则是学习英语的重要内容之一，本文将总结复数知识点，并归纳出常见的复数形式
的构成规则。
一、基本概念
1.名词的单数形式一般表示一个人、物或植物等，而名词的复数形式则表示多个人、物或
植物等，例如：dog（狗）→dogs（狗们），book（书）→books（书籍）。
2.复数形式一般是在名词的基础上加上特定的词尾或者进行变化，但是也有一些不规则的
复数形式需要特别记忆。
二、一般规则
1.在大多数情况下，名词的复数形式是在单数形式的基础上加上-s结尾，例如：dog（狗）→dogs（狗们），book（书）→books（书籍）。
2.对于以-s, -x, -sh, -ch结尾的单词，其复数形式直接加上-es，例如：bus（公共汽车）
→buses（公共汽车），box（盒子）→boxes（盒子），brush（刷子）→brushes（刷子）。
3.以辅音+y结尾的名词，其复数形式是将y改为i然后加上-es，例如：baby（宝宝）
→babies（宝宝们），city（城市）→cities（城市们）。
4.以-o结尾的名词，其复数形式一般是加上-es，但也有一些特殊情况需要单独记忆，例如：tomato（西红柿）→tomatoes（西红柿），potato（土豆）→potatoes（土豆）。
三、不规则变化
1.有一些名词的复数形式是不规则的，需要特别记忆，例如：man（男人）→men（男人们），woman（女人）→women（女人们），child（小孩）→children（小孩们），foot （脚）→feet（脚）等。
高二数学复数知识点
高二数学复数知识点
一、复数的概念与定义
复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1的条件。在复数中，
当b不等于零时，我们称b为复数的虚部，而a则是实部。如果b等
于零，则复数退化为实数。复数的引入，极大地丰富了数学的内涵，
使得许多在实数范围内无法解决的问题得以解决。
二、复数的几何意义
复数不仅仅是一种代数结构，它还具有丰富的几何意义。在复平面上，每一个复数z=a+bi可以对应一个点(a,b)，其中a是该点在实轴上的
位置，b是该点在虚轴上的位置。这样，复数与平面上的点建立了一一对应的关系。复数的这种几何解释，使得我们可以用图形的方式直观
地理解和处理复数问题。
三、复数的运算规则
复数的运算是复数理论中的重要内容。两个复数的加法、减法、乘法
和除法都有明确的规则。例如，两个复数相加时，只需将对应的实部
和虚部分别相加即可；相乘时，则需要使用分配律，即将一个复数的
实部与另一个复数的实部和虚部分别相乘，然后再将结果相加。复数
的除法则稍微复杂，需要引入共轭复数的概念，通过乘以分母的共轭
来消除虚部，从而简化计算。
四、复数的模与辐角
复数的模（或绝对值）是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，
用符号|z|表示，计算公式为√(a²+b²)。复数的辐角（或称为相位角）则是复数向量与实轴正方向的夹角，用符号arg(z)表示。辐角的
计算需要使用反三角函数，并且在计算时需要注意角度的范围。模和
辐角是复数的两个重要属性，它们在解决复数问题时具有重要的应用
复数的特殊知识点总结
复数的特殊知识点总结
一、复数的一般形式
1.在名词后面加-s或-es
大部分的英语名词，在单数形式的基础上，加上-s或-es就可以构成复数。如：book —books, cat — cats, bus — buses, box — boxes等。
在词尾是s, x, es, ch, sh结尾的词后加-es，如：glass — glasses, bus — buses, box — boxes 等。
特殊情况1：在辅音字母+y结尾的单词，变复数时，把y变为i, 再加-es. 如：baby —babies, lady — ladies。但是，在元音字母+y结尾的单词，变复数时直接加-s。如：boy —boys, day — days。
特殊情况2：有些名词的复数形式并不是在词尾加s或es，而是改变词根的拼写。如：man — men, woman — women。
2.某些名词有单复数同形。如：deer, sheep, fish等。
3.某些名词的复数形式是不规则的。如：child — children, foot — feet, tooth — teeth, mouse — mice, person — people等。
二、复数的形式变化受限定词和修饰语的影响
1.表示一些或若干的限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是不定式。如：a few books, some books。
2.表示一个的限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是定式。如：an apple, a dozen apples。
3.表示具体的某个限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是定式。如：this book, these books。
复数有关知识点总结
复数有关知识点总结
一、复数的基本概念
复数是指表示多个人、事物或概念的一种形式。在英语中，名词的复数形式通常是在单数形式的基础上加上-s或-es后缀来表示的。复数形式不仅用于表示数量上的复数，还可以用于表示概念上的复数，比如表示一类人或物体的情况。
二、复数的形成规则
1. 一般情况下，名词的复数形式是在单数名词的末尾加上-s后缀。比如：cat—cats，dog—dogs，book—books等。
2. 当单数名词以s, sh, ch, x, o结尾时，复数形式一般是在单数名词的末尾加上-es后缀。比如：bus—buses，brush—brushes，box—boxes，tomato—tomatoes等。
3. 当单数名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y改为i，并加上-es后缀。比如：city—cities，party—parties等。
4. 以f或fe结尾的单数名词变复数时，通常将f或fe改为v，再加上-es后缀。比如：leaf—leaves，knife—knives等。
5. 以o结尾的单数名词变复数时，有些名词只需加上-s后缀，比如：photo—photos，radio—radios等；有些名词加上-es后缀，比如：potato—potatoes，tomato—tomatoes 等。
6. 有些名词的复数形式是不规则的，需要记忆。比如：child—children，man—men，woman—women等。
以上是复数形式的一般规则，但是也有例外情况。需要通过大量的阅读和实际练习来熟练掌握各种名词的复数形式。
知识讲解_复数(基础)
高考总复习：复数
【考纲要求】
1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；
2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。
3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、复数的有关概念
1.虚数单位i :
（1）它的平方等于1-，即2
1i =-；
（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）i 的周期性：41n i
=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）.
2. 概念
形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。
说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数z a bi =+（,a b R ∈），
当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；
当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；
当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；
当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.
所以复数的分类如下:
《复数基础知识》课件
THANKS
感谢观看
复数的加法、减法可以通过实 部和虚部分别相加、相减来进 行。
复数的乘法可以通过乘以实数 并相应地调整虚部来进行。
复数的除法可以通过乘以复共 轭数并相应地调整虚部来进行 。
复数与实数的几何关系
复平面上的每一个点都对应一个 复数，实数轴上的点对应实数。
复数的模表示点与原点的距离， 即该复数的大小。
复数的辐角表示该点与实数轴的 夹角，即该复数的角度。
在数学物理方程中的应用
总结词
利用复数求解一些数学物理方程，简化求解过程。
详细描述
在数学物理方程中，一些方程如波动方程、热传导方程等可以通过复数进行求解。利用复数表示时间 和空间变量，可以将实数和虚数部分分离，简化求解过程。通过复数运算，可以快速得到方程的解， 提高求解效率。
04
复数的历史与发展
复数的发展历程
要点二
详细描述
复数的加法运算通过将对应实部和虚部分别相加来进行； 减法运算则是对应实部和虚部分别相减；乘法运算需要将 一个复数的实部和虚部分别与另一个复数的实部和虚部分 别相乘，再将得到的两个结果相加；除法运算则较为复杂 ，需要用到共轭复数和分母实化的方法。这些运算是复数 分析的基础，有助于深入理解复数的性质和应用。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
数学教案 复数的基础知识与应用
数学教案复数的基础知识与应用数学教案
复数的基础知识与应用
一、引言
数学是一门抽象而精确的学科，而复数是其中一个重要的概念。复
数在数学和物理等领域中有广泛的应用，掌握复数的基础知识对于学
生的数学学习和科学研究至关重要。本教案将介绍复数的定义、基本
性质和应用方面的内容。
二、复数的定义和表示
1.定义：复数是由实数和虚数构成的数。实数部分为实部，虚数部
分为虚部，用 a+bi 的形式表示，其中a和b分别是实数。
2.虚数单位：虚数单位 i 定义为 i^2 = -1。
3.纯虚数：当 a = 0 时，复数 bi 称为纯虚数。
4.实数：当 b = 0 时，复数 a 称为实数。
三、复数的基本性质
1.加法和减法：复数的加法和减法满足交换律和结合律，即 (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2.乘法：复数的乘法满足结合律，即 (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3.除法：两个复数相除时，可以通过乘以分母的共轭复数，将除法
转化为乘法。
四、复数的应用
1.复数的图形表示：复数可以用平面直角坐标系表示，实部对应横
坐标，虚部对应纵坐标。利用平面直角坐标系，可以表示复数的和、差、乘积和除法等运算。
2.复数在电路分析中的应用：复数在电路分析中有广泛的应用。例如，交流电路的电压和电流可以用复数表示，从而方便计算电路参数
如阻抗和相位差等。
3.复数在物理中的应用：复数在波动和振动领域的物理问题中也有
着重要的应用。例如，振动的幅度和相位可以用复数表示，从而方便
分析和计算振动的性质。
复数知识点精心总结
复数知识点精心总结
复数是英语语法中一个重要的概念，它指的是表示多个物品、人、或事物的形式。在英语中，复数形式通常是在单数形式的基础上加上-s或-es，并且有一些不规则变化。在这篇
文章中，我们将总结复数的知识点，包括复数形式的构成、不规则复数、以及如何正确使
用复数形式。
1. 复数形式的构成
在英语中，大多数名词的复数形式是在单数形式的基础上加上-s或-es。具体规则如下：
a) 单数名词如果以辅音字母+y结尾，变为复数时将y变为i再加-es。例如：city-cities, baby-babies。
b) 单数名词如果以辅音字母+o结尾，变为复数时通常加上-es。例如：potato-potatoes, hero-heroes。
c) 单数名词如果以辅音字母+o结尾，变为复数时加-s。例如：photo-photos, piano-pianos。
d) 单数名词如果以辅音字母+fe或f结尾，变为复数时通常将fe变为v再加-es。例如：wife-wives, leaf-leaves。
e) 单数名词如果以“-us”结尾，变为复数时通常改为“-i”。例如：focus-foci, cactus-cacti。
2. 不规则复数
除了按照上述规则形成复数外，一些名词的复数形式并不按照规律变化，被称为不规则复数。这些不规则复数需要单独记忆和掌握。例如：
a) 单数名词以“-s”，“-ch”，“-sh”，或“-x”结尾，复数形式直接在单数形式上加“-es”。例如：bus-buses, bench-benches, brush-brushes, box-boxes。
数学复数知识点总结
数学复数知识点总结
数学复数是在实数的基础上构造的一种数，它包含了实数无法涵盖的一类数。复数在数学中拥有广泛的应用，尤其在电路分析、信号处理、量子力学等领域发挥着重要的作用。本文将对数学复数的相关概念、性质和运算法则进行总结，帮助读者更好地理解和应用复数。
一、复数的定义和基本概念
复数由实部和虚部组成，一般表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.1 复数的实部和虚部:
实部和虚部是复数的两个独立部分。实部表示复数在实数轴上的投影，常用Re(z)表示；虚部表示复数在虚数轴上的投影，常用Im(z)表示。
1.2 复数的共轭:
设z=a+bi为一个复数，其共轭复数为z*=a-bi。共轭复数的实部与原复数相同，而虚部符号相反。
1.3 复数的模和辐角:
复数的模表示复数到原点的距离，用|z|表示。模的计算公式为
|z|=√(a²+b²)。复数的辐角表示复数与正实轴的夹角，用arg(z)表示。
二、复数的运算法则
复数的运算法则与实数的运算法则有很多相似之处，但也存在一些特殊的规则。
2.1 加法和减法:
复数的加法和减法运算只需将实部和虚部进行相应的计算。即
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
2.2 乘法:
复数的乘法是通过将两个复数的实部和虚部进行展开计算得到。即(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
2.3 除法:
复数的除法需要借助共轭复数进行计算。即
(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/(c²+d²)。
三、复数的指数和对数运算
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高考总复习：复数
【考纲要求】
1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；
2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。
3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、复数的有关概念
1.虚数单位i :
（1）它的平方等于1-，即2
1i =-；
（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）i 的周期性：41n i
=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）.
2. 概念
形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。
说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数集
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C
4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：
对于复数z a bi =+（,a b R ∈），
当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；
当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；
当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；
当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.
所以复数的分类如下:
z a bi =+（,a b R ∈）⇒(0)(0)00b b a b =⎧⎨
≠⇒=≠⎩实数；虚数当且时为纯虚数
5.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：
如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+⇔==且.
特别地: 00a bi a b +=⇔==.
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
6.共轭复数：
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-（,a b R ∈）互为共轭复数。
考点二：复数的代数表示法及其四则运算
1.复数的代数形式:
复数通常用字母z 表示，即a bi +（,a b R ∈），把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算
()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；
()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；
复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：
2222
()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d c d ++-+-===+++-++。
考点三：复数的几何意义
1. 复平面、实轴、虚轴：
点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是000z i =+=表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数z a bi =+←−−−
→一一对应
复平面内的点(,)Z a b
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）；
（2）向量表示:以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.
向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即||||0z OZ ==≥u u u r .
要点诠释:
（1）向量OZ 与点(,)Z a b 以及复数z a bi =+有一一对应；
（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
3.复数加法的几何意义：
如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP u u u r 、2OP u u u r ，那么以
1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS u u u r 就是12z z +的和所对应的向量。
4.复数减法的几何意义：
两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
要点诠释:
1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；
2.求解计算时，要充分利用i 的性质计算问题
3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用
4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。