第四章 空间啮合的相对滑动及诱导法曲率

二、主曲率与主方向
主曲率：过曲面上的M点可作无数条曲线，不同曲线方向的法曲率
也不同，必有一个最大值和一个最小值，称为曲面在M点 的主曲率。分别表示为K1、K2
主方向：主曲率对应的两个方向称为曲面在M点的主方向。主方向
的单位矢量分别表示为 e1、 e2 ，其相互垂直。 确定主方向的条件： dn Kdr （罗德里克方程式）
r r

M

r
O
dn n lim ds s0 s 因 n 为单位矢量，其导数必其与垂直， dn
n
n n
三个矢量共面（切平面） 、 即 ds 、
dn 则 可用其在 及 两个方向的分量 ds
来表示，令
第四章 空间啮合的相对滑动及 诱导法曲率
第一节 法曲率的基本知识
一、曲面的法曲率及短程挠率
n
dr 。 为曲面在M点 n ds 的单位法线矢量，作矢量 。则 、 、 为三个互相垂 n n 直的单位矢量， 、 在 M 点的切平面内， 、 在M点的法截面内。
设两曲面、 在M点相切， 的
e2
e2 e 2
e

主曲率为K 1、K 2 ，其主方向为 e1、 e2
e1
Gb1 ( K 2 K1 ) sin( ) cos( ) ( K a 2 K a1 ) sin cos Ga1 (cos2 sin2 )
Gb 2 Gb1
第二节 相切曲面的诱导法曲率及诱导短程挠率
一、点接触曲面的诱导法曲率 及诱导短程挠率
G0
在主方向上：
设曲面在M点的主曲率为K1、K2 ， 为任意一个方向的 其主方向为 、 ， e1 e2 e 单位矢量，其与 的夹角为 。
n
e1 则 e 方向的法曲率为：
e2
M

K K1 cos2 K2 sin2 —欧拉公式
或： 1 1 K ( K1 K 2 ) ( K1 K 2 ) cos 2 H R cos 2 2 2 1 式中： H 1 ( K K ) R ( K1 K 2 ) 1 2 2 2 e 方向的短程挠率为：
M
r
r r

M

dn K G ds
r
O
K—曲面在M点沿曲线方向的法曲率，它的几何意义是当曲线
ds G—曲面在M点沿曲线方向的短程挠率，它的几何意义是当曲线 dn ）面内的分量。 运动时，对应的法线矢量 n 的变化率 ds 在（ n ， dn n 运动时，对应的法线矢量 的变化率 在法截面内的分量。
e e1
e 方向的法曲率与短程挠率的关系为：
1 dK G 2 d
1 G ( K 2 K1 ) sin cos ( K 2 K1 ) sin 2 R sin 2 2
三、曲面上各方向之间K与G的关系 设曲面在M点的主曲率为 K1、K2 ，其 主方向为 e1、 e2 。从 e1起有向角为 的 a1 方
为曲线在M点的单位切线矢量，则
设曲面上有一点M，过M点作任一条曲线，r 为M点的径矢，
n
n n
M点沿曲线移动一小段距离s 到达M点，此点的径矢为 ， 单位法线矢量为 ，则： r r
n n dn n lim ds s0 s
M
r
K a1 K1 cos K 2 sin
2 2
b2
a2
e2

b1

向及其垂直的 a2 方向上的法曲率和短程挠率， 为Ka1、Ka2、 Ga1 、Ga2，则有：
a1
M
e1
K a 2 K1 cos2 (90 ) K 2 sin2 (90 ) K1 sin2 K 2 cos2 1 Ga1 ( K 2 K1 ) sin cos ( K 2 K1 ) sin2 2 1 Ga 2 ( K 2 K1 ) sin( 90 ) cos(90 ) ( K 2 K1 ) sin2 Ga1 2

K a 2 K a1 ( K 2 K1 )(cos2 sin2 ) ( K 2 K1 ) cos 2

tg 2
2Ga1 K a 2 K a1
b2 e1起有向角为 +的 b1 设曲面在M点从 方向及其垂直的 b 2 方向上的法曲率和短程挠 率为Kb1、Kb2、 Gb1 、Gb2，则有：
K b1 K1 cos ( ) K 2 sin ( )
2 2
a2
e2

M
b1

a1
K a1 cos2 2Ga1 sin cos K a 2 sin2 K b 2 K1 sin2 ( ) K 2 cos2 ( ) K a1 sin2 2Ga1 sin cos K a 2 cos2
dn K G ds dr d r 由于： n n ds ds 所以： dn K G ds dn dn dr dn dr K ds ds ds (ds)2 G ( n ) ds ds ds