四川省绵阳市2016届高三三诊考试理科数学试题

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四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试理数试题含解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i +=,复数z 所对应的点在( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A考点：复数的代数表示及其几何意义. 2.已知{}{}2log ,2,1x U x y x M y y x ====≥,则UC M =( )A ． [)1,2B ．()0,+∞C ．[)2,+∞D ．(]0,1 【答案】A 【解析】试题分析：因为{}{}1log 2≥===x x x y x U ，{}{}21,2≥=≥==y y x y y M x ，所以[)2,1=M C U ，故选项为A 。

考点：集合的运算。

3。

执行如图所示程序框图,则输出的n 为（）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D考点：程序框图。

4。

“0x ∃>,使a x b +<” 是“a b <" 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：“0>∃x ，使b x a <+”⇔“b a <”,∴“0>∃x ，使b x a <+"是“b a <”成立的充要条件．故选:C ．考点：充要条件的判定。

5。

已知实数[][]1,1,0,2x y ∈-∈，则点(),P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，内的概率为（）A ．34B ．14C ．18D ．38【答案】D 【解析】试题分析：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为()231121221=+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯，则所求的概率为83，故选D 。

考点：(1)几何概型；（2）不等式组所表示的区域。

6。

甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1 名至第5名(没有重名次）。

四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试数学（理）试题（扫描版）

四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试数学（理）试题（扫描版）绵阳市高2013级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．AADCD CBBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．212．-54013．11.514．-52≤m ≤5215．①②三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（I ）第四组的人数为[1-(0.004+0.008+0.016+0.04)×10]×50=16，中位数为40+[0.5-(0.004+0.016)×10]÷0.04=47.5．………………………4分（II ）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，于是ξ=0，1，2，∴P (ξ=0)=513634=C C ，P (ξ=1)=53362412=C C C ，P (ξ=2)=51361422=C C C ，∴ξ的分布列为ξ012P 515351……………………………………………………………………10分∴Eξ=0×51+1×3+2×51=1．………………………………………………12分17．解：（I ）在△ABC 中，由正弦定理有，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入b =a cos C +c sin A 中，即得2R sin B =2R sin A cos C +2R sin C sin A ，∴sin B =sin A cos C +sin C sin A ．…………………………………………………3分∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )，∴sin(A +C )=sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C +sin C sin A ，整理得，cos A sin C =sin C sin A ，由sin C ≠0，可得cos A =sin A ，∴A =4π．………………………………………………………………………5分（II ）在△ABC 中，sin B =54cos 12=-B ，由A BC B AC sin sin =即22554=AC ，解得AC =24，………………………………7分又∵cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=-cos A cos B +sin A sin B =-5322?+5422?=102，∴AB =7，……………………………………………………………………10分于是由BA BD 1=可得BD =1，∴CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos B =1+25-2×1×5×53=20，∴CD =52．…………………………………………………………………12分18．解：（I ）当n =1时，a 1=S 1=4)1(21+a ，整理得(a 1-1)2=0，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n -1-n S =4)1(4)1(212+-+-n n a a ，整理得0)1()1(212=+---n n a a ，即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵a n >0，∴1-+n n a a >0，∴21=--n n a a ，∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n =1+2(n -1)=2n -1．………………………………………………………5分（II ）121121(21)12)(12(111+--=+-=+n n ，∴T n =211a a +321a a +…+11+n n a a =)]121121()5131(311[(21+--++-+-n n =1211(21+-n =12+n n ，…………………………………………………………………8分由题知12+n n ≤λ(2n +1)对?n ∈N *恒成立，即λ≥2n 对?n ∈N *恒成立，…………………………………………9分令b n =2)12(+n n ，则2 222212)12(1++++-=+-++=-+n n n b b n n ，∵对?n ∈N *，2n +1≥3，∴-(2n +1)2+2<0，即01<-+n n b b ，于是n n b b <+1，∴{b n }是单调递减数列， (11)分即数列{b n }的最大值为b 1=91，∴λ≥91，即λ的最小值为91．………………………………………………12分19．（I ）证明：由题意，AD //EF ，∵EF ?面BEF ，AD ?面BEF ，∴AD //面BEF ．………………………………………………………………2分又∵AD ?面ABCD ，面ABCD ∩面BEF =l ，∴AD //l ，………………………………………………………………………3分由主视图可知，AD ⊥CD ，由侧视图可知，DE ⊥AD ，∵CD ∩AD =D ，∴AD ⊥面CDE ．∴l ⊥面CDE ．……………………………………………6分（II ）如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1)，∴=(1，0，0)，=(0，-1，1)，……7分设面BEF 的一个法向量n =(x ，y ，z )，则由·n =0，·n =0可得=+-=，，00z y x 令y =1，则z =1，∴n =(0，1，1)，…………………………9分设M (0，0，m )，则=(0，2，-m )，∴cos=554222=+?-m m ，解得m =32或m =6（舍），即存在满足点M ，此时M 的位置在线段DE 的32处（靠近E 点）．……12分20．解：（I ）设焦点F (c ，0)，则22=c ，从而a 2=2c 2，由题意有11)(22=+b a c ，即11212=+b ，解得b 2=2，又由a 2=b 2+c 2，于是2c 2=2+c 2，解得c 2=2，a 2=4，∴椭圆E 的方程为12422=+y x ．………………………………………………4分（II ）依题意可知BC ⊥AC ，且∠BCO =∠ACO =45o，于是直线BC 的斜率为k BC =1，直线AC 的斜率为k AC =-1，………………6分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (0，y 0)，则1101-=-=x y y k AC ，1202=-=x y y k BC ，∴x 1=y 0-y 1=-k (x 1-1)+y 0，x 2=y 2-y 0=k (x 2+1)-y 0，相加得x 1+x 2=k (x 2-x 1)．………………8分A B C D E F x y z M xy C B A O联立?=++=，，42122y x kx y 消去y ，整理得(1+2k 2)x 2+4kx -2=0，∴x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2212k+-．………………………………………10分把x 1+x 2=k (x 2-x 1)两边同时平方，可得(x 1+x 2)2=k 2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]，代入可得(2214k k +-)2=k 2[(2214k k +-)2-4×(2212k +-)]，化简可得4k 2+1=2，或k 2=0，解得k =21±，或k =0，即存在满足条件的k 值，k =21±，或k =0．…………………………………13分21．解：（I ）xa x a x x a x x f ])1([))(1()1()(λλλλλλλλ-+--=--+='，∵a >0，1-λ>0，λ>0，x >0，∴当x >a 时，)(x f '>0；00可得0。

绵阳市2016届高三第一次(11月)诊断性考试数学理题目(WORD版)

市高中2016届高三第一次（11月）诊断性考试数学理试题满分150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．集合S={x ｜｜x-4｜<2，x ∈N ＊｝，T ＝｛4，7，8｝，则S U T ＝ (A){4} (B){3，5，7，8} (C) {3， 4, 5，7，8} (D) {3，4, 4, 5, 7, 8}2．命题“2000,23x N x x ∃∈+≥”的否定为(A) 2000,23x N x x ∃∈+≤ (B) 2,23x N x x ∀∈+≤(C) 2000,23x N x x ∃∈+< (D) 2,23x N x x ∀∈+<3．己知幂函数过点（2），则当x=8时的函数值是（A ）（B ）±（C ）2 （D ）644.若,,a b c ∈R,己知P ：,,a b c 成等比数列；P 是Q 的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 5.下列四个函数中，最小正周期为π，且关于直线x ＝一512π对称的函数是（A ）sin()23x y π=+（B ）sin()23x y π=- （C ）sin(2)3y x π=-（D ）sin(2)3y x π=+6．在等差数列｛n a ｝中，若a 4＋a 9＋a l4＝36，则101112a a -＝（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）247．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c，若22,sin c b A B ==，则cosC ＝（A）2 （B）4 （C）一2 （D）一48．若实数x ，y 满足不等式组024010x y x y x my +≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且x y +的最大值为3，则实数m=（A ）一1 （B ）12（C ）l （D ）2 9．设函数y ＝f （x ），x ∈R 满足f （x ＋l ）＝f （x 一l ），且当x ∈（－1，1］时，f （x ）＝1一x 2，函数g （x ）＝lg ||,01,0x x x ≠⎧⎨=⎩，则h （x ）＝f （x ）一g （x ）在区间［－6，9］的零点个数是（A ）15 （B ）14 （C ）13．（D ）12 10．直角△ABC 的三个顶点都在单位圆221x y +=上，点M （12，12），则｜MA MB MC ++｜的最大值是（A ＋l （B ＋2 （C ）2＋1 （D ）2＋2第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，11．·函数()f x 的定义域为12．式子0tan 20tan 4020tan 40++的值是．13．已知函数266,2(),2x x x x f x a a x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩其中a ＞0，1a ≠，若对任意的1212,,x x R x x ∈≠，恒有1212[()()]()f x f x x x --＞0，则实数a 的取值围．14．二次函数2()f x ax =+2bx+c 的导函数为'()f x ，已知'(0)0f >，且对任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为． 15．设集合M 是实数集R 的一个子集，如果点0x ∈R 满足：对任意ε＞0，都存在x ∈M ，使得0＜0||x x ε-<；，称x 0为集合M 的一个“聚点”．若有集合：①有理数集； ②cos |*1n N n π⎧⎫∈⎨⎬+⎩⎭③sin|*1n N n π⎧⎫∈⎨⎬+⎩⎭ ④|*1n N n π⎧⎫∈⎨⎬+⎩⎭其中以0为“聚点”的集合是．（写出所有符合题意的结论序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量(cos ,1sin ),(cos ,sin )()m n R ααααα=-=-∈ （1)若m n ⊥，求角α的值；（2）若||3m n -=，求cos2α的值．17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项a 1＝1，且a n+1＝2a n ＋(*,)n N R λλ∈∈（1)试问数列{na＋λ}是否为等比数列？若是，请求出数列{na}的通项公式；若不是，请说，明理由；(2)当λ＝1时，记1nnnba=+，求数列{nb}的前n项和Sn18．（本小题满分12分）某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐资奖学金共50万元妥该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的贫困大学生每年净增a人。

2019年5月四川省绵阳市高2019届高2016级高三下学期第三次诊断性考试理科数学试题解析

四川省绵阳市高2016级高三下学期第三次诊断性考试理科数学试题解析一、选择题（本大题共12小题,共60.0分）1.已知集合M={x |1≤x ＜3},N={1,2},则M ∩N=（） A.{}1B.{}1,2C.ϕD.[]1,2【参考答案】B 【试题解析】根据集合交集的定义可得所求结果．【详细解答】∵{}{}13,1,2M x x N =≤<=,∴{}2,1=N M ．故选B ．2.i 为虚数单位,复数z 满足z （1+i ）=i ,则|z|=（）A.12C.1【参考答案】B 【试题解析】试题分析：由(1)z i i +=得1z i i=+,所以12i z i ===+,故答案为B ． 3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图,下列结论中不正确的是（）A.2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B.这两年的最大仓储指数都出现在4月份C.2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D.2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数差异明显【参考答案】D【试题解析】根据折线图逐一验证各选项.【详细解答】通过图象可看出,2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大, 这两年的最大仓储指数都出现在4月份, 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年,所以选项A,B,C的结论都正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%,∴选项D的结论错误．故选：D．4.已知变量x,y满足x0y1x y20≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩,则x2+y2的最大值为（）A.10B.5C.4D.2【参考答案】A【试题解析】先作可行域,再根据目标函数表示可行域内的点到原点距离的平方,结合图象确定最大值取法,计算即得结果.【详细解答】作出变量x,y满足120xyx y≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩,所对应的可行域（如图阴影部分）,由201x yy+-=⎧⎨=-⎩解得A（3,-1）而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,数形结合可得最大距离为=z=x2+y2的最大值为：10．故选：A．5.将函数()πf x sin 2x 6⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位,得到函数g （x ）的图象,则g （x ）的解析式为（） A.()g x cos2x = B.()g x cos2x =-C.()g x sin2x =D.()πg x sin 2x 3⎛⎫=+⎪⎝⎭【参考答案】A 【试题解析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式．【详细解答】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后所得图象对应的解析式为sin[2()]sin(2)cos 2662y x x x πππ=++=+=．故选A ．6.已知{a n }是正项等比数列,且a 1a 8=4a 5,a 4与2a 6的等差中项为18,则a 5=（） A.2B.4C.8D.16【参考答案】C 【试题解析】分析】根据条件列关于首项与公比的方程组,解得首项与公比,再根据等比数列通项公式得结果. 【详细解答】设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0,∵a 1a 8=4a 5,a 4与2a 6的等差中项为18,∴a 12q 7=4a 1q 4,a 4+2a 6=36即a 1（q 3+2q 5）=36,解得a 1=12,q =2,则a 5= a 1q 4=8．故选：C ．7.函数f （x ）=xln|x|的大致图象是（）A. B. C. D.【参考答案】A 【试题解析】∵函数ln f x x x =（） ,可得()()f x f x -=- , ()f x 是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D ；当0x >时,()'ln 1f x x =+ ,令()'0f x > 得：1x e >,得出函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数,排除B,故选A. 8.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球,若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6,8,12,则铁球的直径最大只能为（）B.2D.4【参考答案】B 【试题解析】根据题意求出长方体的三条棱的长度,最长棱的一半即为球的直径的最大值．【详细解答】设长方体三条棱的长分别为,,a b c ,由题意得6812ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩,解得324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．再结合题意可得,铁球的直径最大只能为2．故选B ．9.已知双曲线E ：2222x y 1a b-=（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1,F 2,以原点O 为圆心,OF 1为半径作圆,与双曲线E 相交,若顺次连接这些交点和F 1,F 2恰好构成一个正六边形,则双曲线E 的离心率为（）B.21D.3【参考答案】C【试题解析】设双曲线和圆在第一象限的交点为P ,根据正六边形可得点P 的坐标,然后再根据点P 在双曲线上得到,,a b c 间的关系式,于是可得离心率．【详细解答】由题意得,以原点O 为圆心的圆的半径为1||OF c =．设双曲线和圆在第一象限的交点为),(y x P ,由正六边形的几何性质可得,22c x y ==,∴点P 的坐标为(2c．又点P 在双曲线22221x y a b-=上,∴22223144c c a b-=, 整理得4224840c a c a -+=,∴42840e e -+=,解得3242+=e 或24e =- 又1e >, ∴3242+=e , ∴13+=e ．故选C ．10.在521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中,2x 项的系数为（） A.50- B.30-C.30D.50【参考答案】B 【试题解析】根据多项式展开式确定含2x 的项组成情况,再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.【详细解答】521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式21x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的乘积,在这5个因式中, 有2个因式都选x -,其余的3个因式都选1,相乘可得含2x 的项；或者有3个因式选x -,有1个因式选1x,1个因式选1,相乘可得含2x 的项, 故2x 项的系数为()231552230C C C +-⋅⋅=-, 故选：B ．11.若x ,y ,z ∈R +,且3x =4y =12z ,x yz+∈（n ,n+1）,n ∈N ,则n 的值是（） A.2B.3C.4D.5【参考答案】C 【试题解析】设3412x y z t ===,用t 表示出,,x y z ,然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得zyx +所在的范围,进而得到答案．【详细解答】设32)4(11x y zt t =>==,则3412log ,log ,log x t y t z t ===,∴34343434121212log log log log log 12log 122log 4log 3log log log t t t tx y z t t t++==+=+=++． ∵341log 42,0log 31<<<<, ∴341log 4log 33<+<；又34log 4log 32+>=, ∴344log 4log 35<+<,即(4,5)x yz+∈． ∴4n =．故选C ．12.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ,过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ,在直线l ：x+y+a=0上存在一点Q ,使得∠MQN=90°,则实数a 的取值范围为（） A.[]13,3-B.[]3,1-C.[]3.13-D.[]13.13-【参考答案】A 【试题解析】【分析】先联立直线与抛物线,根据抛物线定义以及韦达定理得线段AB 中点以及弦长,即得圆方程,再根据直线l 与圆位置关系列不等式,解得结果.【详细解答】过点F （1,0）且斜率为1的直线方程为：1y x =-．联立2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ ∴AB 的中点坐标为（3,2）,|AB |=x 1+x 2+p=8,所以以线段AB 为直径的圆圆D ：22(3)(2)16x y -+-=,圆心D 为：（3,2）,半径为r=4, ∵在圆C 上存在两点M ,N ,在直线l 上存在一点Q ,使得∠MQN =90°, ∴在直线l 上存在一点Q ,使得Q 到C （3,2=,∴只需C （3,2）到直线l 的距离小于或等于,133a ≤⇒-≤≤ 故选：A ．二、填空题（本大题共4小题,共20.0分）13.函数21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩,则(9)f = ______．【参考答案】1 【试题解析】根据自变量范围代入对应解析式,即得结果. 【详细解答】根据题意,21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩,则(9)(5)(1)2111f f f ===⨯-=；故答案为：1．14.已知向量a =（sin2α,1）,b =（cos α,1）,若a ∥b , π02α<<,则=α______．【参考答案】6π 【试题解析】先根据向量平行坐标关系得sin2α-cosα=0,再根据二倍角正弦公式化简得sinα=12,解得结果. 【详细解答】向量a =（sin2α,1）,b =（cosα,1）, 若a ∥b ,则sin2α-cosα=0, 即2sinαcosα=cosα；又π02α<<,∴cosα≠0,∴sinα=12,∴6πα=．故答案为：6π． 15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体,其三视图如图所示,财该五面体的体积为______．【参考答案】24. 【试题解析】由三视图得到五面体的直观图,然后根据几何体的结构特征,利用分割的方法求得其体积．【详细解答】由三视图可得,该几何体为如下图所示的五面体ABCEFD ,其中,底面ABC 为直角三角形,且90,4,3BAC AB AC ∠=︒==,侧棱,,DB EC FA 与底面垂直,且2,5DB EC FA ===．过点D 作,DH BC DG BA ∥∥,交,EC FA 分别于,H G ,则棱柱ABC DHG -为直棱柱,四棱锥D EFGH -的底面为矩形EFGH ,高为BA ．所以211(43)2342423ABC DHG D EFGH ABCEFD V V V --=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=五面体．故答案为：24．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1a =1,2a =3,且1122,(2)nn n n S S S n +-+=+≥,若()7(2)n n n S a λλλ-++≥-对任意*N n ∈都成立,则实数λ的最小值为______．【参考答案】52- 【试题解析】先根据和项与通项关系得12nn n a a +-=,再利用叠加法得n a ,利用分组求和法得n S , 【详细解答】数列{}n a 的前n 项和为n S ,1a =1,2a =3,且1122,(2)nn n n S S S n +-+=+≥, 所以：112n n n n n S S S S +--=+-,故：12(2)nn n a a n +-=≥,因为1212a a -=,所以12(1)n n n a a n +-=≥所以：112n n n a a ---=, 2112212,,2n n n a a a a ----=⋯-= ,则：1211222n n a a --=++⋯+,故：11211222121n n n n a --=++⋯+==--, 所以：1232222nn S n =+++⋯-+=()22121n n ---122n n +=--,所以：21nn n S a n -=--,因为()7(2)n n n S a λλλ-++≥-对任意*N n ∈都成立,所以max 27()2nn λ-≥ 设272n n n c -=则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-= 当4n ≤时n n c c >+1,当5n ≥时1n n c c +<,因此1234567c c c c c c c <<<<><>即5332c λ≥=故λ的最小值为323．故答案：323 三、解答题（本大题共7小题,共82.0分）17.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对边分别为a 、b 、c ,且2a cosC=2b-c ．（1）求角A 的大小；（2）若AB=3,AC 边上的中线SD 的长为13,求△ABC 的面积．【参考答案】（1）A=π3；（2）【试题解析】（1）先根据正弦定理化边为角,再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=12,即得结果,（2）根据余弦定理求AD ,再根据三角形面积公式得结果.【详细解答】（1）∵2a cosC=2b-c ,由正弦定理可得：sinAcosC+12sinC=sinB , ∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ．∴12sinC=cosAsinC ,∵sinC≠0,∴cosA=12, ∴由A ∈（0,π）,可得角A=π3；（2）在△ABD 中,AB=3,BD=13,cosA=12,由余弦定理可得：13=9+AD 2-3AD ,解得：AD=4（负值舍去）,∵BD 为AC 边上的中线,∴D 为AC 的中点,∴AC=2AD=8,∴S △ABC =12AB•AC•sinA=1382⨯⨯=63． 18.甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转,由于业务量扩大,现向社会招聘货车司机,其日工资方案如下：甲公司,底薪80元,司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪,中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元,超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同,现从这两家公司各随机选取一名货车司机,并分别记录其50天的中转车数,得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数,求这3天中转车数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率,回答下列两个问题：①记乙公司货车司机日工资为X （单位：元）,求X 的分布列和数学期望E （X ）；②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由．【参考答案】（1）23196；（2）①见解析,②若从日工资的角度考虑,小王应该选择乙公司【试题解析】（1）根据古典概型概率公式以及组合数求结果,（2）①先确定随机变量,再分别求对应概率,最后根据数学期望公式得期望,②先求甲公司日工资数学期望,再与①期望比较大小即得结果【详细解答】（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A ,则P （A ）=325350C C =23196．（2）①设乙公司货车司机中转货车数为t ,则X=6t,t 407t 40,t 40≤⎧⎨->⎩,则X 的所有取值分别为228,234,240,247,254,其分布列为：∴E （X ）=228×101+234×15+240×15+247×25+254×101=241.8．②设甲公司货车司机日工资为Y ,日中转车数为μ,则Y=4μ+80, 则Y 的所有可能取值为232,236,240,244,248,则分布列为：E （Y ）=131123223624024451055⨯+⨯+⨯+⨯+248×101=238.8．由E （X ）＞E （Y ）,知：若从日工资的角度考虑,小王应该选择乙公司．19.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底而ABCD 是菱形,且PA=AD=2,∠PAD=∠BAD=120°,E ,F 分别为PD ,BD 的中点,且EF =．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求锐二面角E-AC-D的余弦值．【参考答案】（1）见解析；（2【试题解析】（1）先过P作PO⊥AD,再通过平几知识计算得PO⊥BO,利用线面垂直判定定理得PO⊥平面ABCD,再根据面面垂直判定定理得结果,（2）先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得平面ACE 的一个法向量,根据向量数量积得向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详细解答】（1）过P作PO⊥AD,垂足为O,连结AO,BO,由∠PAD=120°,得∠PAO=60°,∴在Rt△PAO中,PO=PAsin∠PAO=2sin60°3,∵∠BAO=120°,∴∠BAO=60°,AO=AO,∴△PAO≌△BAO,∴BO=PO=3,∵E,F分别是PA,BD的中点,,∴EF是△PBD的中位线,∴=,∴PB2=PO2+BO2,∴PO⊥BO,∵AD∩BO=O,∴PO⊥平面ABCD,又PO⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）以O为原点,OB为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系, A（0,1,0）,P（0,0,3）,B（3,0,0）,D（0,3,0）,∴E（0,32,F32，）,AE=（0,12,AF=12,0）,易得平面ABCD的一个法向量m=（0,0,1）,设平面ACE的法向量=（x,y,z）,则1AE y0231AF y022nn⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩,取x=1,得n=（1,-3,1）,设锐二面角的平面角的大小为θ,则cosθ=|cos ＜,m n ＞|=m n m n⋅⋅=∴锐二面角E-AC-D的余弦值为520.已知A 为焦距为E ：2222x y 1ba +=（a ＞b ＞0）的右顶点,点P （0,,直线PA 交椭圆E于点B ,PB BA =．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点P 且斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点（M 在P 、N 之间）,若四边形MNAB 的面积是△PMB 面积的5倍．求直线l 的斜率k ．【参考答案】（1）2x 9+2y 4=1；（2）k=±3【试题解析】（1）先根据条件得B 点坐标,代入椭圆方程,再与焦距联立方程组解得,,a b （2）根据面积关系得PN 3PM =,联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理建立等量关系解得斜率. 【详细解答】（1）由题意,得焦距∴∵PB BA =,所以点B 为线段AP 的中点, 因为点P （0,23）,A （a ,0）, ∴B （2a,3）, 因为点B （2a ,3）在椭圆E 上,∴224a a +23b=1,即b 2=4,a 2=b 2+c 2=9,∴椭圆E 的方程为2x 9+2y 4=1．（2）由题可得S △PAN =6S △PBM ,即12|PA |•|PN|•sin ∠APN=6×12|PB|•|PM|•sin ∠BPM , ∴|PN|=3||,∴PN 3PM =,设M （x 1,y 1）,N （x 2,y 2）, 于是PM =（x 1,y 1-23）,PN =（x 2,y 2-23）, ∴3（x 1,y 1-23）=（x 2,y 2-23）,∴x 2=3 x 1,即21x x =3,于是21x x +21x x =103,即21212(x x )x x +=316,①,联立22y kx x y 194⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,整理得（9k 2+4）x 2+363kx+72=0,由△=（363k ）2-4×（9k 2+4）×72＞0,解得k 2＞89, ∴x 1+x 2,x 1x 2=2729k 4+, 代入①可解得k 2=329,满足k 2＞89,∴,即直线l 的斜率．21.已知函数()()21f x x axlnx ax 2a R 2=-++∈有两个不同的极值点x 1,x 2,且x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：x 1x 2＜a 2．【参考答案】（1）（e ,+∞）；（2）见解析【试题解析】（1）先求导数,再根据导函数有两个不同的零点,确定实数a 所需满足的条件,解得结果,（2）先根据极值点解得a ,再代入化简不等式x 1x 2＜a 2,设21x x t =,构造一元函数,利用导数研究函数单调性,最后构造单调性证明不等式.【详细解答】（1）∵函数()()21f x x xlnx x 2R 2a a a =-++∈,∴x ＞0,f′（x ）=x-a lnx , ∵函数()()21f x x xlnx x 2R 2a a a =-++∈有两个不同的极值点x 1,x 2,且x 1＜x 2． ∴f′（x ）=x-a lnx=0有两个不等根, 令g （x ）=x-a lnx ,则()g'x 1x a =-=x xa -,（x ＞0）, ①当a ≤0时,得g′（x ）＞0,则g （x ）在（0,+∞）上单调递增, ∴g （x ）在（0,+∞）上不可能有两个零点．②当a ＞0时,由g′（x ）＞0,解得x ＞a ,由g′（x ）＜0,解得0＜x ＜a , 则g （x ）（0,a ）上单调递减,在（a ,+∞）上单调递增,要使函数g （x ）有两个零点,则g （a ）=a -a ln a ＜0, 解得a ＞e ,∴实数a 的取值范围是（e ,+∞）．（2）由x 1,x 2是g （x ）=x-a lnx=0的两个根,则2211lnx x lnx x a a =⎧⎨=⎩,两式相减,得a （lnx 2-lnx 1）=x 2-x 1）,即a =2121x x lnx lnx --,即证x 1x 2＜221221(x x )x (ln )x -, 即证22221121x (x x )(ln )x x x -<=2112x x 2x x -+, 由x 1＜x 2,得21x x =t ＞1,只需证ln 2t-t-120t+<, 设g （t ）=ln 2t-t-12t +,则g′（t ）=221lnt 1t t -+=112lnt t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,令h （t ）=2lnt-t+t1,∴h′（t ）=2211t t --=-（11t -）2＜0,∴h （t ）在（1,+∞）上单调递减,∴h （t ）＜h （1）=0,∴g′（t ）＜0,即g （t ）在（1,+∞）上是减函数,∴g （t ）＜g （1）=0,即ln 2t ＜t-2+t1在（1,+∞）上恒成立,∴x 1x 2＜a 2．22.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）直线l 的参数方程为x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩,t 为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为A ,B ,当|FA|•|FB|取最小值时,求直线l 的直角坐标方程．【参考答案】（1）x 2=4y ；（2）y=1 【试题解析】（1）根据x=ρcosθ,y=ρsinθ将极坐标方程化为普通方程,（2）将直线参数方程代入抛物线方程,利用韦达定理以及参数几何意义求|FA|•|FB|,最后根据三角函数有界性确定最值,解得结果.【详细解答】（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ,得2ρcos 2θ=8sinθ,得ρ2cos 2θ=4ρsinθ, ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴x 2=4y ,即曲线C 的普通方程为x 2=4y ．（2）由题意可知,直线l 与y 轴交于点F （0,1）即为抛物线C 的焦点,令|FA|=|t 1|,|FB|=|t 2|,将直线l 的参数方程x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩代入C 的普通方程x 2=4y 中,整理得t 2cos 2α-4tsinα-4=0,由题意得cosα≠0,根据韦达定理得：t 1+t 2=24sin αcos α,t 1t 2=24cos α-, ∴|FA||FB|=|t 1||t 2|=|t 1t 2|=24cos α≥4,（当且仅当cos 2α=1时,等号成立）, ∴当|FA|•|FB|取得最小值时,直线l 的直角坐标方程为y=1． 23.已知函数f （x ）=|2x-1|+|x+m|．（l ）当m=l 时,解不等式f （x ）≥3；（2）证明：对任意x ∈R ,2f （x ）≥|m+1|-|m|．【参考答案】（1）{x|x ≤-1或x ≥1}；（2）见解析【试题解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集,（2）根据绝对值三角不等式放缩论证.【详细解答】（1）当m=1时,f（x）=|2x-1|+|x+1|, ①当x≤-1时,f（x）=-3x≥3,解得x≤-1,②当-1＜x＜12时,f（x）=-x+2≥3,解得x≤-1,与-1＜x＜12矛盾,舍去,③当x≥12时,f（x）=3x≥3,解得x≥1,综上,不等式f（x）＜3的解集为{x|x≤-1或x≥1}；（2）2f（x）=|4x-2|+|2x+2m|=|2x-1|+|2x-1|+|2x+2m|≥|2x-1|+|2x+2m|≥|2x+2m-2x+1| =|2m+1|=|（m+1）+m|≥|m+1|-|m|,∴对任意x∈R,2f（x）≥|m+1|-|m|．。

四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科))

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作2016 年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分.1i为虚数单位，复数z满足z（1 i）=i，则复数z所对应的点在（）．已知+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知 U={ x| y=} ， M= { y| y=2x， x≥1} ，则 ?U M= （）A．[ 1，2） B．（0，+∞）C． [ 2， +∞）D．（ 0， 1]3．执行以下列图程序框图，则输出的n 为（）A．4B．6C．7D．84．“? x＞0，使 a+x＜ b”是“a＜ b”建立的（）A ．充分不用要条件B ．必要不充分条件C．充要条件 D ．既不充分也不用要条件5．已知 x∈ [ ﹣1，1] ，y∈ [ 0，2] ，则点 P（ x，y）落在地域内的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．甲、乙、丙、丁和戊 5 名同学进行数学应用知识比赛，决出第1 名至第 5 名（没有重复名次）．已知甲、乙均未获取第 1 名，且乙不是最后一名，则 5 人的名次排列情况可能有（）A ．27 种B ．48 种C ．54 种D ．72 种7．若函数 f （x ）同时满足以下三个性质； ① f （ x ）的最小正周期为 π；② 对任意的 x ∈R ，都有 f （ x ﹣ ） =f （﹣ x ）； ③ f （ x ）在（，）上是减函数．则 f （ x ）的解析式可能是（）A ． f （ x ）=cos （ x+ ）B ． f （ x ）=sin2x ﹣cos2xC ． f （ x ）=sinxcosxD ．f （ x ） =sin2x +cos2x8．在长方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中， AB=BC=AA 1，P 、Q 分别是棱 CD 、 CC 1 上的动点，如图．当 BQ+QD 1 的长度获取最小值时，二面角 B 1﹣ PQ ﹣ D 1 的余弦值的取值范围为（）A ．[ 0， ]B ．[ 0， ]C ．[，]D ．[ ， 1]9．设 M ，N 是抛物线 y 2=4x上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且? =0，过点 A （ 4，0）作 MN 的垂线与抛物线交于点 P 、Q 两点，则四边形 MPNQ 面积的最小值为（）A ． 80B ． 100C ． 120D ． 16010．该试题已被管理员删除二、填空题：本大题共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分.11．已知向量 =（ t ， 1 ）与 =（4， t ）共线且方向相同，则实数t=_______ ．12．若的张开式中各项系数之和为64，则张开式的常数项为_______．13．某桶装水经营部每天的房租、人职薪水等固定成本为200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销售量的关系以下表所示．销售单价 /元 6 789 1011 12日均销售量 /桶480440400360320280240请依照以上数据解析，这个经营部定价在 _______元 /桶才能获取最大利润．14 xOy 中，点 A 0 1 B （ 0 4 2x y +m=0 上存在点 P ．在平面直角坐标系（，），，）．若直线 ﹣ ，使得 PA= PB ，则实数 m 的取值范围是 _______．15．已知函数 f （ x ） = ，其中常数 a ＞ 0，给出以下结论：① f （ x ）是 R 上的奇函数；② 当 a ≥ 4 时， f （ x ﹣ a 2）≥ f （x ）对任意的 x ∈ R 恒建立；③ f （ x ）的象关于 x=a 和 x= a 称；④ 若 ? x 1∈（ ∞， 2），? x 2∈（ ∞， 1），使得 f （ x 1）f （ x 2）=1 ， a ∈（，1）．其中正确的有 _______．（写出全部正确的序号）三、解答：本大共6 个小，共 75 分 .16．体育上，李老初三（ 1）班 50 名学生行跳．得他的成（位：个）全部介于 20 到 70 之，将些成数据行分（第一：（20，30] ，第二：（ 30，40 ⋯60 70 ] ），并制成如所示的率分布直方．] ，，第五：（，（Ⅰ）求成在第四的人数和 50 名同学跳成的中位数；（Ⅱ）从成在第一和第五的同学中随机抽出3 名同学行搭档，取自第一的ξ ξ人数，求的分布列及数学希望．17ABC中，角AB C所的分a b c且足b=acosC csinA．．已知在△，，，，+（1）求 A 的大小；（2）若 cosB= ， BC=5 ，=，求 CD 的．18．已知各均正数的数列{ a n } 的前 n 和 S n 足 S n =（） 2（n ∈ N *）．（I ）求数列 { a n } 的通公式；（II ） T 数列 {} 的前 n 和，若 T ≤λa ? n ∈ N *恒建立，求数 λ的最小n nn+1 ．19．如，②① 空形的主和，其中正方形．在① 中，平面 BEF 与平面 ABCD 订交于直 l ．（ I ）求： l ⊥平面 CDE ；（ II ）在 ① 中，段 DE 上可否存在点 M ，使得直 MC 与平面 BEF 所成的角的正弦等于？若存在，求出点M 的地址；若不存在，明原由．20E：+=1a b0，过焦点且垂直于x轴的直线被．已知椭圆（＞＞）的离心率为椭圆 E 截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）直线 y=kx +1 与椭圆 E 交于 A ，B 两点，以 AB 为直径的圆与y 轴正半轴交于点C．是否存在实数 k，使得△ ABC的内切圆的圆心在y 轴上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明原由．21g x）=lnx f x）=gλx1λ aλg x），其中a λ0＜λ．设函数（，（[+（﹣）]﹣（，是正常数，且＜1．（Ⅰ）求函数 f （ x）的最值；（Ⅱ）关于任意的正数m，可否存在正数x0，使不等式 |﹣ 1| ＜ m 建立？并说明原由；（Ⅲ）设λ＞ 0，λ＞0，且λ+λ，证明：关于任意正数a1， a都有 aλ1λ2≤λ+λ．12 1 2=121a21a1 2a22016 年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））参照答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分.1i为虚数单位，复数z满足z（1 i）=i，则复数z所对应的点在（）．已知+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【解析】利用复数的运算法规、几何意义即可得出．【解答】解：∵ z（ 1+i ） =i ，∴ z（ 1+i）（ 1﹣ i ） =i （ 1﹣ i），∴ z=，则复数 z 所对应的点在第一象限．应选： A．2．已知 U={ x| y=} ， M= { y| y=2x，x≥ 1} ，则 ?U M= （）A ． [1 2B0∞C 2 ∞D01，）．（，+）．[，+）．（， ]【考点】补集及其运算．【解析】分别求出关于U， M 的范围，进而求出M 的补集即可．【解答】解： U= { x| y=} ={ x| x≥ 1} ，x x 1 =y y≥2} ，M= { y| y=2，≥ } {|则?U M= [ 1，2），应选： A．3．执行以下列图程序框图，则输出的n 为（）A．4B．6C．7【考点】程序框图．D． 8【解析】模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环获取的S，n 的值，当S=3 时，满足条件S≥ 3，退出循环，输出n 的值为8．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0， n=1执行循环体后，S=1， n=2不满足条件S≥ 3，执行循环体后，S=log，n=3不满足条件S≥ 3，执行循环体后，S=2， n=4不满足条件S≥ 3，执行循环体后，S=log，n=5不满足条件S≥ 3，执行循环体后，S=log，n=6不满足条件S≥ 3，执行循环体后，S=log，n=7不满足条件S≥ 3，执行循环体后，S=log=3， n=8此时，满足条件S≥3，退出循环，输出n 的值为 8．应选： D．4．“? x＞0，使 a+x＜ b”是“a＜ b”建立的（）A ．充分不用要条件B ．必要不充分条件C．充要条件 D ．既不充分也不用要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【解析】由于“? x＞ 0，使 a+x＜ b”与“a＜b”建立等价，即可判断出关系．【解答】解：“? x＞ 0，使 a+x＜ b”? “a＜b”，∴“? x＞0，使 a+x＜ b”是“a＜ b”建立的充要条件．应选： C．5x 1 1y0 2P x y．已知∈[﹣，]，∈[， ]，则点（，）落在地域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【解析】本题观察的知识点是几何概型的意义，要点是要找出点P（ x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，尔后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：不等式组表示的地域以下列图，阴影部分的面积为，则所求概率为．6．甲、乙、丙、丁和戊 5 名同学进行数学应用知识比赛，决出第 1 名至第 5 名（没有重复名次）．已知甲、乙均未获取第1 名，且乙不是最后一名，则 5 人的名次排列情况可能有（）A．27 种B．48 种 C．54 种 D．72 种【考点】计数原理的应用．【解析】由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中 2 名）产生，其他名次任意排，依照分步计数原理可得．【解答】解：由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2 名）产生，其他名次任意排，故有A31A 31A 33=54 种，应选： C．7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；① f（x）的最小正周期为π；② 对任意的x∈R，都有 f（ x﹣）=f（﹣x）；③ f（x）在（，）上是减函数．则 f （ x）的解析式可能是（）A ． f （ x）=cos（ x+）B． f（ x）=sin2x ﹣cos2xC． f （ x）=sinxcosx D ．f（ x） =sin2x +cos2x【考点】正弦函数的图象．【解析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可．【解答】解：依照题意，函数应满足：① f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈ R，都有 f（ x﹣）+f（﹣x）=0，用 x+代替式中的x 可得 f（ x﹣）+f（﹣x﹣）=0，即函数的图象关于点（﹣， 0）对称；③ f（ x）在（，）上是减函数；关于A f x）=cos x+）的周期为T=2 π①，故不满足题意；，（（，不吻合关于 B ，f（ x） =sin2x ﹣ cos2x=sin （ 2x﹣），不吻合② ，故不满足题意；关于 C，f（ x） =sinxcosx=sin2x ，不吻合②，故不满足题意；关于 D ，f（ x） =sin2x +cos2x=sin（2x+），吻合①②③，满足题意．8．在长方体ABCD ﹣A 1B1C1D1中， AB=BC=AA 1，P、Q 分别是棱CD、 CC1上的动点，如图．当 BQ+QD 1的长度获取最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（）A ． [0B．[0C． [，]D．[1， ]，]，]【考点】二面角的平面角及求法．【解析】依照 BQ +QD1的长度获取最小值时，利用函数数学求出Q 是 CC1的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设 AA1=1AB=BC=，，则设 CQ=x ，则 C1Q=1﹣ x，则 BQ==，QD1==，则 BQ+QD 1=+=+，设 M （ x， 0）， N （0，﹣），K（1，），则 BQ+QD 1=+=+的几何意义是 | MN |+| MK | 的距离，则当三点 M ，N ， K 共线时， BQ +QD1的长度获取最小值，此时．得 x=，即 Q 是 CC1的中点，建立以D1为坐标原点， D1A ，D C，D D分别为x y，z轴的空间直角坐标系如图：1 1 11，则 Q（0，，）， B1（，，0），设 P（ 0， t， 1），0≤ t≤则=（﹣，0，），=（﹣， t﹣， 1），则平面PQD1的法向量为=（ 1，0， 0），设平面B1PQ 的法向量为=（ x， y， z），当 t=时，二面角 B 1﹣PQ﹣D 1的为直二面角，此时二面角B1﹣ PQ﹣ D1的余弦值为0，当 0≤ t＜时，由，则，即，令 x=，则y=，z=4，即 =（，，4），设面角 B 1﹣ PQ ﹣ D 1 的余弦值 cos θ，则 cos θ== = ，∵0≤ t ＜，∴cos θ=为减函数，则当 t=0 时，函数获取最大值 cos θ==，故二面角 B1﹣ PQ D 1 的余弦值的取值范围为0 ] ，﹣ [ ，应选： B ．9．设 M ，N 是抛物线 y 2=4x 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 ? =0，过点 A （ 4，0）作 MN 的垂线与抛物线交于点 P 、Q 两点，则四边形 MPNQ 面积的最小值为（）A ．80B ．100C ． 120D ． 160【考点】抛物线的简单性质．【解析】设直线 MN 的方程为 x=my +t ，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合? =0 ，可求 t 的值，即可求出 | MN | 关于 m 的表达式，同理求出 | PQ| 关于 m 的表达式，于是 S= | MN || PQ| ，利用换元法求出 S 的最小值．【解答】解：设直线 MN 方程为 x=my+t ，联立方程组，消元得： y 2﹣ 4my ﹣4t=0 ，设 M （， y 1）， N （， y 2），则 y 1+y 2=4m ， y 1y 2=﹣ 4t ．∵ ? =0，∴ +y 1y 2 =0，即 y 1y 2=0（舍）或 y 1y 2=﹣ 16．∴| MN |==．∵PQ ⊥MN，且PQ 经过点A （ 4， 0），∴直线PQ 的方程为x= ﹣．联立方程组，消元得： y 2+﹣ 16=0 ．设 P （ x 3， y 3）， Q （ x 4， y 4 ），则 y 3+y 4=﹣ ， y 3y 4=﹣ 16．PQ = =．∴| |∴四边形 MPNQ 面积S= |MN || PQ|= =8=8 ，令 m 2+ =t ，则 t ≥ 2，∴ S=8 =8S t ）在 [ 2．∴ （， +∞）上是增函数，∴当 t=2 时， S 获取最小值 8 =80 ．应选： A ．10．该试题已被管理员删除二、填空题：本大题共 5 个小题，每题5 分，共 25 分 .11．已知向量=（ t ， 1）与 =（4， t ）共线且方向相同，则实数t= 2．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【解析】利用向量共线的坐标表示列式求得 t 值，结合向量同向进行弃获得答案．【解答】解：=（ t ， 1） =（ 4， t ），∵ 与共线，∴ t 2﹣4=0 ，解得 t= ±2．又与同向，∴ t =2 ．故答案为： 2．12．若的张开式中各项系数之和为64，则张开式的常数项为﹣ 540 ．【考点】二项式系数的性质．【解析】依照二项式系数和为 2n，列出方程求出 n ，利用二项张开式的通项公式求出常数项．【解答】解：若的张开式中各项系数之和为2 n=64，解得 n=6 ，则张开式的常数项为 =﹣540，故答案为：﹣ 540．13．某桶装水经营部每天的房租、人职薪水等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销售量的关系以下表所示．销售单价 /元6 789 10 11 12日均销售量 /桶 480440 400360320280240请依照以上数据解析，这个经营部定价在元/ 桶才能获取最大利润．【考点】函数的最值及其几何意义．【解析】经过表格可知销售单价每增加 1 元、日均销售量减少 40 桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论．【解答】解：设每桶水的价格为（ 6 x）元，公司日利润 y元，+则： y= （ 6+x ﹣ 5）﹣ 200，=﹣40x 2 440x + 280 0 x＜ 13 ），+ （＜∵﹣ 40 ＜ 0，∴当 x= ﹣=5.5 时函数 y 有最大值，因此，每桶水的价格为 11.5 元，公司日利润最大，故答案为：．14．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （0， 1）， B （ 0， 4）．若直线 2x ﹣ y+m=0 上存在点 P ，使得 PA= PB ，则实数 m 的取值范围是 ﹣ 2≤m ≤2．【考点】两点间距离公式的应用．【解析】依照题意，设出点 P （ x ， 2x m PA= PB 化简得 5x 24mx m 24=0，由△+ ），代入++ ﹣=16m 2﹣ 4× 5（ m 2﹣ 4）≥ 0，求出实数 m 的取值范围．【解答】解： P （x ， 2x+m ），∵ P A= PB ，2 2∴ 4| PA| =| PB| ，∴ 4x 2+4（ 2x+m 1） 2=x 2+（ 2x+m 4） 2，化得 5x 2 +4mx+m 24=0 ，△ =16m 2 4× 5（ m 24）≥ 0，解得 2 ≤m ≤ 2 ，即数 m 的取范是 2≤ m ≤ 2 ．故答案：．15．已知函数 f （ x ） = ，其中常数 a ＞ 0，出以下：① f （ x ）是 R 上的奇函数；②当 a ≥ 4 ， f （ x a 2）≥ f （x ）任意的 x ∈ R 恒建立； ③ f （ x ）的象关于 x=a 和 x= a 称；④ 若 ? x 1∈（ ∞， 2），? x 2∈（ ∞， 1），使得 f （ x 1）f （ x 2）=1 ， a ∈（，1）．其中正确的有① ．（写出全部正确的序号）【考点】分段函数的用．【解析】 ① 利用奇函数的定行判断；② 函数在（ ∞， a ），（ a ，+∞）上减，在（ a ， a ）上增，即可判断；③ f （ x ）是 R 上的奇函数， f （ x ）的象关于 x=0 称，故不正确；④ 取 a=1，得出 f （ x 1） f （ x 2）=1 不恒建立．【解答】解： ①x ＜ 0， x ＞ 0， f （ x ）=| x+a| a ， f （ x ） =a | a x| =a | x+a| = f （x ），同理， x ＞ 0， x ＜ 0， f （ x ） =a | x+a| ， f （ x ） =| x+a| a=| x a| a= f （ x ）， ∴f （ x ） = f （x ），∴ f （ x ）是 R 上的奇函数，正确；② 函数在（ ∞， a ），（ a ，+∞）上减，在（a ， a ）上增，∴当a ≥ 4 ，2f （ x a ）≥ f （ x ）任意的 x ∈ R 恒建立，不正确； ③ f （ x ）是 R 上的奇函数， f （ x ）的象关于x=0 称，故不正确；④ 取 a=1，? x 1∈（ ∞2 f x 0 ∞ x 2∈（∞1f x 1，），（ 1）∈（，+），，），（2）∈（，+∞）， f （ x 1） f （x 2） =1 不恒建立，故不正确．故答案： ① ．三、解答：本大共6 个小，共 75 分 .16．体育上，李老初三（ 1）班 50 名学生行跳．得他的成（位：个）全部介于 20 到 70之，将些成数据行分（第一：（20，30] ，第二：（ 30，40] ， ⋯，第五：（ 60， 70] ），并制成如所示的率分布直方．（Ⅰ）求成在第四的人数和50 名同学跳成的中位数；（Ⅱ）从成在第一和第五的同学中随机抽出3 名同学行搭档，取自第一的人数 ξ，求 ξ的分布列及数学希望．【考点】失散型随机变量的希望与方差；频率分布直方图；失散型随机变量及其分布列．【解析】（ I ）由频率分布直方图先求出第四组的频率，由此能求出第四组的人数；利用频率分布直方图的性质能求出中位数．（II ）先求出第一组有 2 人，第五组有 4 人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，则ξ=0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及 E（ξ）．【解答】解：（ I）由频率分布直方图得第四组的频率为：1+）×，﹣（++∴第四组的人数为× 50=16 人，∵前2组的频率为（+，）×第三组的频率为× 10=0.4 ，设中位数为 x，则 x=40+，∴中位数为．（II ）据题意，第一组有× 10×50=2 人，第五组有×10× 50=4 人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出 3 名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，则ξ=0， 1，2，P（ξ=0） ==，P（ξ=1） ==，P（ξ=2） ==，∴ξ的分布列为：ξ012P∴E（ξ）==1 ．17．已知在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边长分别为a， b， c 且满足 b=acosC+csinA ．（1）求 A 的大小；（2）若 cosB=，BC=5，=，求 CD 的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【解析】（ 1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出tanA；（2）在△ ABC 中，使用正弦定理求出AB ，得出 DB ，再在△ BCD 中使用余弦定理求出 CD ．【解答】解：（ 1）在△ ABC 中，∵ b=acosC+csinA 中，∴ sinB=sinAcosC +sinCsinA ，又∵sinB=sin（A C）=sinAcosC+sinCcosA，+∴s inAcosC +cosAsinC=sinAcosC +sinCsinA ，∴c osAsinC=sinCsinA ，∵s inC ≠0，∴cosA=sinA ，∴tanA=1 ．∴．（2）∵ cosB= ，∴ sinB== ，∴sinC=sin（A B）=sinAcosB+cosAsinB=．+在△ ABC 中，由正弦定理得，即，解得 AB=7 ．∵ =，∴ BD=．在△ BCD 中，由余弦定理得CD 2=BD2+BC2﹣ 2BC?BDcosB=1 +25﹣ 2×=20．∴CD=2．18．已知各项均为正数的数列{ a n} 的前 n 项和为 S n满足 S n=（）2（n∈ N*）．（I ）求数列 { a n} 的通项公式；（II ）设 T为数列 {} 的前 n 项和，若 T ≤λa对? n∈ N *恒建立，求实数λ的最小n nn+1值．【考点】数列的求和；数列递推式．【解析】（Ⅰ）当n=1 时，求得 a ， S =（）2（ n∈ N*）．化简求得a﹣ a ﹣=2，数列1n n n 1{ a n } 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，求得通项公式；（Ⅱ），求出前n 项和，比较λa n+1，判断其单调性，求出λ的最小值．【解答】（ I ）当 n=1 时，，解得 a=11，当 n≥ 2 时，，整理得（ a n+a n﹣1）（ a n﹣ a n﹣1﹣ 2）=0∵ a n＞ 0，∴a n+a n﹣1＞ 0∴a n﹣ a n﹣1=2，数列 { a n} 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，∴a n=2n ﹣ 1（II），∴；由题意得对 ? n∈N *恒建立，令，则，即 b n+1＜ b n对? n∈ N*恒建立，即数列{ b n} 为单调递减数列，最大值为，．∴，即λ的最小值为19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图① 中，设平面 BEF 与平面 ABCD 订交于直线l．（I）求证： l ⊥平面 CDE ；（I I ）在图①中，线段 DE 上可否存在点 M ，使得直线 MC 与平面 BEF 所成的角的正弦值等于？若存在，求出点M 的地址；若不存在，请说明原由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判断．【解析】（ I ）依照主视图和侧视图可得AD ⊥DE， AD ⊥DC ，故而 AD ⊥平面 CDE，依照AD ∥平面 BCEF 可得 AD ∥ l ，故 l⊥平面 CDE ．（II ）以以 D 为原点，以DA ， DC， DE 为坐标轴建立以下列图空间直角坐标系，设M（ 0，0， m），求出平面BEF的法向量和的坐标．令| cos＜，＞ | =解出m，即可判断M 的地址．【解答】证明：（ I）由侧视图可知四边形ADEF 是正方形，∴AD ∥ EF，又∵ EF? 面 BEF，AD ?面 BEF ，∴AD ∥面 BEF又∵ AD ? 平面 ABCD ，面 ABCD ∩面 BEF=l ，∴AD ∥ l ，由主视图可知，AD ⊥CD ，由侧视图可知DE ⊥AD ，∵AD ? 平面 CDE ， CD ? 平面 CDE， AD ∩CD=D ，∴AD ⊥面 CDE，∴l⊥面 CDE ．（II ）以 D 为原点，以DA ， DC， DE 为坐标轴建立以下列图空间直角坐标系，则 A （ 1， 0， 0）、B （1， 1， 0）、C（ 0，2， 0）、E（ 0，0， 1）、 F（ 1， 0，1）．设 M （ 0， 0，m）（ 0≤ m≤ 1），则，设平面BEF 的一个法向量为=（ x，y， z），则，=0，∴，令 z=1，得．∴=2﹣m， | | =， || =．∴cos＜＞===，解得或 m=6（舍）∴当M 为DE的凑近 E 的三均分点时直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于．20．已知椭圆 E：+=1（a＞ b＞ 0）的离心率为，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A B AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是，两点，以否存在实数 k，使得△ ABC的内切圆的圆心在y 轴上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明原由．【考点】椭圆的简单性质．【解析】（Ⅰ）由椭圆E：+=1（ a＞ b＞ 0）的离心率为，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆 E 截得的线段长为2，求出 a， b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）依题意知 BC⊥AC ，设 A （x1， y1），B （x2， y2）， C（ 0， y0），则 k BC==1，=﹣ 1，设 A（x1，y1），B（ x2，y2），C（ 0，y0），则 k BC==1 ，=﹣1，由此能求出存在满足条件的k 值．【解答】解：（Ⅰ）设焦点F c 0），∵椭圆E+=1 a b 0）的离心率为，（，：（＞＞∴，∴ a 2=2c2，∵过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的线段长为2，∴=1，∵ a 2=b2+c2，∴ a2=4， b2=2 ，∴椭圆 E 的方程为=1．（Ⅱ）依题意知BC⊥ AC ，且∠ BCO= ∠ ACO=45 °，于是直线 BC 的斜率 k BC=1，直线 AC 的斜率 k AC=﹣ 1．设 A （ x1， y1）， B（ x2， y2）， C（0， y0），则 k BC==1，=﹣1，设 A （ x1， y1）， B（ x2， y2）， C（0， y0），则 k BC==1，=﹣1，联立，得x1+x2=k （ x2﹣x1），①联立，得（1 2k2）x24kx﹣2=0，++∴，，②将① 式平方，并②式代入，得4k 2+1=2 ，或 k2=0，∴存在满足条件的k 值，分别为k=或k=0．21．设函数g （ x ）=lnx ， f （ x ） =g [ λx+（ 1﹣ λ） a] ﹣ λg （ x ），其中 a ，λ是正常数，且 0＜ λ＜ 1．（Ⅰ）求函数 f （ x ）的最值；（Ⅱ）关于任意的正数m ，可否存在正数 x 0，使不等式 |﹣ 1| ＜ m 建立？并说明原由；λ1 λ2（Ⅲ）设 λ1＞ 0，λ2＞0，且 λ1+λ2=1，证明：关于任意正数 a 1， a 2 都有 a 1 a 2 ≤λ1a 1+λ2a 2．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，进而求出函数的最值即可；（Ⅱ），设 φ（x ） =ln （ x+1） +（ m ﹣ 1） x ，m ＞0， x ＞ 0，依照函数的单调性判断即可；（Ⅲ）先获取 lnx λ lna 1 ﹣λ ln λx 1 λ a λ+≤+（﹣）令=λ λ=1λ a =xa =a，代入整理即可1 ， 2﹣ ， 1 ， 2 证出结论．【解答】解：（ I ），∵a ＞ 0， 1﹣ λ＞0， λ＞ 0， x ＞0，∴当 x ＞ a 时， f ′（ x ）＞ 0； 0＜ x ＜ a 时， f ′（ x ）＜ 0，∴ f （x ）在（ 0， a ）上单调递减，在（ a ， +∞）上单调递加，∴ f （x ）有最小值 f （ a ） =（ 1﹣ λ） lna ，没有最大值；（II ）对 ? m ＞ 0， ? x 0＞ 0 使得建立，其原由以下：令 h （ x ）=ln （ x+1）﹣ x ，则 h ′（ x ）≤ 0，因此 h （ x ）在 [ 0， +∞）单调递减，于是可适合 x ＞ 0 时， ln x 1 ）﹣ x 0，，（ + ＜故，设 φ（x ） =ln （ x+1） +（ m ﹣ 1） x ， m ＞ 0， x ＞ 0，则，当 m ≥ 1 时， φ′（x ）＞ 0， φ（ x ）在（ 0， +∞）上单调递加，∴关于 ? x 0 ＞0 均有 φ（ x 0）＞ φ（ 0） =0 恒建立，当 0＜ m ＜ 1 时，由 φ′（ x ）＞ 0 可得，由 φ′（ x ）＜ 0 可得，于是 φ（ x ）在是增函数，在是减函数，∴关于均有 φ（ x 0）＞ φ（ 0） =0 恒建立，综上，关于任意的正数m ，都存在正数 x 0 满足条件；证明：（ III ）由（ I ）知，对 ? x ＞0， a ＞ 0，0＜ λ＜ 1 时，都有 ln[ λx+（ 1﹣λ） a] ﹣λlnx ≥（ 1﹣λ） lna即lnxλlna1﹣λln[λx 1 λ a +≤+（﹣）]令λ1=λ，λ2=1﹣λ，a1=x，a2=a，则，∵y=lnx 在（ 0，+∞）上是增函数，∴．2016年9月9日。

四川省绵阳市2019届(2016级)高三第三次诊断性考试数学理试题(PDF版)

理科数学答案第1页（共7页）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCDAA CDBCB CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14．6π 15．2416．332 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由余弦定理cos C =2222a b c ab+−，且2a cos C =2b -c ，得2a ⋅2222a b c ab+−=2b -c ，即b 2+c 2-a 2=bc ． ……………………………………………………………3分∴ cos A =2222b c a bc +−=12． ……………………………………………………5分 ∵ A ∈(0，π)，∴ A =3π． ………………………………………………………………………6分（2）在△ABD 中，AB =3，BDcos A =12．由余弦定理得13=9+AD 2-3AD ，解得AD =4(负值舍去) . ………………………………………………………9分 ∵BD 为AC 边上的中线，∴D 为AC 的中点，∴ AC =2AD =8．所以S △ABC =12AB ⋅AC sin A=1382⨯⨯= ………………………12分 18．解：（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A ，则32535023()196C P A C ==. …………………………………………………………4分理科数学答案第2页（共7页）其分布列为于是()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………8分设甲公司货车司机日工资为Y ，日中转车数为u ，则480Y u =+，则Y 的所有可能取值为232，236，240，244，248.则分布列为于是()232236240244248238.85105510E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………11分由()()E X E Y >知，若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司． …………………………12分19．解：（1）证明：过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连接AO ，BO ．由∠PAD =120º，可得∠PAO =60º．∴在Rt △PAO 中，PO =PA sin ∠PAO =2⨯sin60º=2……………2分 ∵ ∠BAD =120º，∴ ∠BAO =60º．又PA =AB ，∠PAO =∠BAO =60º，AO =AO ，∴ △PAO ≌△BAO (SAS )，∴ BO =PO =4分∵ E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF =，理科数学答案第3页（共7页）∴ EF 是△PBD 的中位线，∴ PB =2EF=2= 可得222PB PO BO =+，所以PO ⊥BO ． …………………………………………………………………5分 ∵ AD ∩BO=O ，∴ PO ⊥平面ABCD ．又PO ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ． …………………………………………………6分（2）建立如图所示空间直角坐标系O -xyz .A (0，1，0)，P (0，0，，B(0，0)，D (0，3，0)，∴ E (0，32，)，F(，32，0) ． ……………………………………7分平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0，0，1) ． ………………………………8分设平面ACE 的法向量为n 2=(x ，y ，z ) ．又AE =(0，12，)，AF=(，12，0)，由2200AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n得102102y x y ⎧=⎪⎪+=，，令x =1，得y =-3，z =1.∴平面ACE 的一个法向量为n 2=(1，-3，1) ． …………………………10分设锐二面角E -AC -D 的平面角大小为θ，则cos θ=|cos ＜n 1，n 2＞|=|1212n n n n ⋅|=5， ∴锐二面角E -AC -D的余弦值为． ……………………………………12分 20．解：（1）∵焦距为，PB BA =，∴ 522=c ，且点B 为线段AP 的中点．∵ 点P (0，)，A (a ，0)，∴ PA =2PB，(2a B ．理科数学答案第4页（共7页）（2）由题意，得PBM PAN S S ∆∆=6， ……………………………………………5分即11sin 6sin 22PA PN APN PB PM BPM ⋅∠=⨯⋅∠， ∴ 3PN PM =，即3PN PM =．设11()M x y ，，12()N x y ，，则PM =(x 1，y 1-)，PN =(x 2，y 2-)，∴ (x 2，y 2-)=3(x 1，y 1-)，∴ x 2=3x 1，即213x x =．于是221110=3x x x x +，即22211()16=3x x x x +．①………………………………………6分联立22194y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得072336)49(22=+++kx x k ． ………8分由22)4(94)720k ∆−⨯+⨯>，解得289k >． ∴ 49336221+−=+k k x x ，1227294x x k =+． ……………………………………9分代入①，可解得 2329k =，满足289k >， ∴3k =±. ……………………………………………………………11分即直线l的斜率k =． ……………………………………………12分 21．解：（1）()ln f x x a x '=−，理科数学答案第5页（共7页）②当a >0时，由()g x '>0，解得x >a ；由()g x '<0，解得0<x <a ．则g (x )在(0)a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增．要使函数g (x )有两个零点，则g (a )=a -a ln a <0．解得a >e ． ………………………………………………………………………5分（2）由x 1，x 2是g (x )=x -a ln x=0的两个根，则2211ln ln a x x a x x =⎧⎨=⎩，，两式相减，得2121(ln ln )a x x x x −=−，即21212211=ln ln ln x x x x a x x x x −−=−．要证x 1x 2<a 2，即证22112221()(ln )x x x x x x −<， ……………………………………7分即证222212111212()(ln )=2x x x x x x x x x x −<−+．由12x x <，得211x t x =>，只需证21ln 2t t t<−+.……………………………………………………………9分设21()ln 2g t t t t =−−+，则22111()ln 1=(2ln )g t t t t t t t t'=−+−+．令1()2ln h t t t t=−+， ∴ 22211()1(1)0h t t t t'=−−=−−<， ∴ ()h t 在(1，+∞)上单调递减，∴ ()h t <h (1)=0，理科数学答案第6页（共7页）即21ln 2t t t<−+在(1，+∞)恒成立． ∴ 原不等式成立．……………………………………………………………12分22．解：（1）由题意，得2(1cos2)2cos 8sin ρθρθθ+==，即22cos 4sin ρθρθ=． …………………………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=．∴ x 2=4y ．即曲线C 的普通方程为x 2=4y ． …………………………………………4分（2）由题可知，直线l 与y 轴交于点F (0，1)即为抛物线C 的焦点．令|FA |=|t 1|，|FB |=|t 2|，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入C 的普通方程x 2=4y 中，整理得22cos 4sin 40t t αα−−=．由题意得cos 0α≠，根据韦达定理得1224sin cos t t αα+=，1224cos t t α−⋅=． ……………………………7分 ∴ |FA |⋅|FB |=|t 1t 2|=24cos α≥4．（当且仅当2cos 1α=时，等号成立） ∴ 当|FA |⋅|FB |取最小值时，直线l 的直角坐标方程为1y =． ……………10分23．解：（1）当x ≤-1时，()3f x x =−≥3，解得x ≤-1； ……………………1分当-1<x <12时，()2f x x =−+≥3，解得x ≤-1．与-1<x <12矛盾，舍去．…3分当x ≥12时，()3f x x =≥3，解得x ≥1； ……………………………………4分综上，不等式()f x ≥3的解集为(1]−∞，-∪[1+)∞，． …………………5分（2）证明：2()4222f x x x m =−++212122x x x m =−+−++ ≥2122x x m −++ ………………………………………7分理科数学答案第7页（共7页） =(1)m m ++ ………………………………………………9分 ≥1m m +−．∴ 不等式2()f x ≥1m m +−成立． ……………………………………10分。

四川省绵阳市高中2016级第三次诊断性考试理科数学含答案

绵阳市高中2016级第三次诊断性考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知集合 A={}，N={1,2}，则∥31|x x ≤=N M A. {1} B. {1,2} C. 0 D.[1, 2]2.已知为虚数单位，复数满足,则i z i i z =+⋅)1(=||z A. B. C. D.1212223.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系。

如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况。

根据该折线图，下列结论中不正确的是A.2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B.这两年的最大仓铋指数都出现在4月份C.2018年全年仓储指数甲均饥明显低于2017年D.2018年各仓储指数的中位数与2017年备月仓储指数中位数差异明显4.已知变量满足，则的最大值为y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥021||0y x y x 22y x +A.10 B.5 C.4 D.25.将函数的图像向左平移个单位，得到的解析式为)62sin()(π-=x x f 6π)(x g A. B. x x g 2cos )(=xx g 2cos )(-=C. D. x x g 2sin )(=32sin()(π+=x x g 6.已知{}是正项等比数列，且, 与的等差中项为18, 则n a 5814a a a =4a 62a =5a A. 2B. 4C.8D.167.函数的大致图象为2ln )(x x x f =8.己知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面枳分别为6, 8, 12,则铁球的直径最大只能为A. B. 2 C. D.4359.己知双曲线E: (a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2，以原点O 为圆心,OF1为半径作圆，12222=-b y ax 与双曲线E 相交，若顺次连接这些交点和F1,，F2恰好构成一个正六边形，则双曲线E 的离心率为A. B. 2 C. D.3313+10.在的展开式中, 项的系数为5)21(x x-+2x A.-50 B.-30 C.30 D.5011.若,且，,则的值是+∈R z y x ,,z y x 1243==N n n n zy x ∈+∈+),1,(n A. 2 B. 3C. 4D.512.已知抛物线C: 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在x y 42=以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N,在直线上存在一点Q ，使得,0:=++a y x l 090=∠MQN 则实数的取值范围为a A. [-13, 3] B.[-3, 1]C.[-3. 13]D.[-13. 13]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省绵阳市高中2016届高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题

绵阳市高中2013级第二次诊断性考试数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将对应题目的答案标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}2|{A xy y ==，集合}|{B x y y ==，则=B A(A) ),0[+∞(B) ),1(+∞ (C) ),0(+∞(D) ),(+∞-∞2.为了得到函数)52sin(3π+=x y 的图象，只需把函数)5sin(3π+=x y 图象上的所有点(A)横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变 (B) 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 纵坐标缩短到原来的21倍，横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变3．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率是(A)45(B)35 (C) 37 (D)3214.在复平面内，复数i R a i a a z ,()1()1(∈++-=为虚数单位），对应的的点在第四象限的充要条件是 (A) 1-≥a(B) 1->a (C) 1-≤a(D) 1-<a5．直线032=-+y x 的倾斜角是θ，则θθθθcos sin cos sin -+的值是 (A) -3 (B) -2(C) 31-(D) 36．在闭区间]6,4[-上随机取出一个数x ，执行右图程序框图，则输出x 不小于39的概率为 (A)51(B) 52 (C) 53(D)54 7．已知点M 是边长为2的形ABCD 的内切圆内（含边界)的一动点，则MB MA ∙的取值范围是(A) []0,1- (B) []2,1- (C) []3,1- (D) []4,1-8．已知正项等比数列}n a ｛满足82345=--+a a a a ，则76a a +的最小值为 (A) 4 (B) 16 (C) 24(D) 329．已知函数),(21)(2是常数c b c xbx x f ++=和x x x 141)( g +=定义在M=}41|≤≤x x ｛上的函数，对任意的M x ∈，存在M x ∈0使得)()(0x f x f ≥，)()(0x g x g ≥，且)( g )(00x x f =,则)(x f 在集合M 上的最大值为(A)27(B)29 (C) 4(D) 510.已知抛物线)0(42>=p py x 的焦点为F ，直线2+=x y 与该抛物线交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若251)(p FN BF AF BF AF --=⋅++∙，则p 的值为(A) 41(B)21(C) 1 (D) 2第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答.作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如右图，则该同学成绩的中位数是_______．12.在5)1(-x x 展开式中含3x 项的系数是_______．（用数字作答) 13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三全不同的数字组成的三位偶数有_______个．（用数字作答)14．已知点P 在单位圆122=+y x 上运动，点P 到直线01043=--y x 与3=x 的距离分别记为1d 、2d ，则21d d +最小值为_________．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数b a ,， ⎩⎨⎧<-≥-=⊕1,1,b a a b a b b a .设)3()2()(2+⊕-=x x x x f ，若函数k x f x g +=)()(的图象与x 轴恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是_________．三、解答题：本大题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在)2010[，，)30,20[，)4030[，，)5040[，，)6050[，的市民进行问卷调查，由此得到样本占有率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在)4030[，的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求)6050[，年龄段抽取样品的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在)6050[，年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.17．（本题满分12分）已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=． (Ⅰ) 若x 是某三角形的一个内角，且的值，并22)(-=x f ，求角x 的大小； (Ⅱ) 当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．18．（本题满分12分）已知二次函数为非零常数）m m x x x f (4)(2++=的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C ．(Ⅰ) 求m 的取值范围；(Ⅱ) 试证明圆C 过定点取值无关）与m (，并求出定点的坐标．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{}n b 的前n 项和T n 满足：11=b 121=-+n n T b ．(Ⅰ) 求S n 与b n ；(Ⅱ) 比较S n b n 与n n a T 2的大小，并说明理由．20．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，动点M 到定点F （－１，０）的距离与它到直线2-=x 的距离之比是常数22，记M 的轨迹为T ． (Ⅰ) 求轨迹T 的方程；(Ⅱ) 过F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，在轨迹T 上是否存在点Q ，使得四边形A PBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）已知函数为常数）m mx x x f (ln )(-=．(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调区间； (Ⅱ) 当223≥m 时，设2)(2)(x x f x g +=的两个极值点21x x ，，)21x x <（恰为bx cx x x h --=2ln )(的零点，求)2(')(2121x x h x x y +-=的最小值.绵阳市高2013级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BABDC ACDDB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．127 12．-10 13．5214．5545-15．(-3，-2)∪]78(-，-∪{1} 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为 1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分（II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯255=2人． …………………………6分（III ）由已知X =0，1，2，P (X =0)=1032523=C C ，P (X =1)=53251312=C C C ，P (X =2)=1012522=C C ， ∴ X 的分布列为X12P103 53 101∴ EX =0×103+1×53+2×101=54． …………………………………………12分17．解：（I ）f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x=cos2x -sin2x=-2sin(2x -4π)， ……………………………………………3分由-2sin(2x -4π)=-22，即sin(2x -4π)=21， ∴ 2x -4π=2k π+6π，k ∈Z ，或2x -4π=2k π+65π，k ∈Z ，解得x =k π+245π，k ∈Z ，或x =k π+2413π，k ∈Z ，…………………6分∵ 0<x <π，∴ x =245π，或x =2413π． ……………………………………………………8分（II ）由（I ）知f (x )=-2sin(2x -4π)，∵ [0]2x π∈，， ∴ 2x -4π∈3[]44ππ-，，∴ -2≤f (x )≤1，∴ 当且仅当2x -4π=2π，即x =83π时，f (x )取得最小值-2，即f (x )的最小值为-2，此时x 的取值集合为{83π}．……………………12分18．解：（I ）令x =0，得函数与y 轴的交点是(0，m )．令04)(2=++=m x x x f ，由题意0≠m 且0>∆，解的4<m 且0≠m ．…………………………………4分（II ）设所求的圆的一般方程为022=++++F Ey Dx y x ，令0=y 得02=++F Dx x ，这与042=++m x x 是同一个方程，故D =4，F =m ，…………………………………………………………………6分令x =0得02=++F Ey y 方程有一个根为m ，代入得1--=m E .∴ 圆C 的方程为0)1(422=++-++m y m x y x ． ……………………………9分将圆C 的方程整理变形为0)1(422=---++y m y x y x ，此方程对所有满足4<m 且0≠m 都成立，须有⎩⎨⎧=-=-++，，010422y y x y x 解的⎩⎨⎧==，，10y x 或⎩⎨⎧=-=，，14y x经检验知，(-4，1)和(0，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点(-4，1)和(0，1)．……………………12分19．解：（I ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+，，11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==，，221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ，S n =2)22(n n +=n 2+n ．………………………………3分对数列{b n }，由已知有b 2-2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3， ∴ b 2=3b 1，（*）又由已知121n n b T +-=，可得b n -21-n T =1(n ≥2，n ∈N*)，两式相减得b n +1-b n -2(T n -1-n T )=0，即b n +1-b n -2b n =0(n ≥2，n ∈N *)，整理得b n +1=3b n (n ≥2，n ∈N *)，结合（*）得31=+nn b b(常数)，n ∈N *，∴ 数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，∴ b n =13-n ．……………………………………………………………………7分（II ）2T n = b n +1-1=n 3-1，∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ，2n n a T =2n ·(n 3-1)，于是n n S b -2n n a T =(n 2+n )·13-n - 2n ·(n 3-1)=]2)5(3[1+--n n n ，………………9分显然当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T <0，即n n S b <2n n a T ；当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T >0，即n n S b >2n n a T ，∴ 当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b <2n n a T ；当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b >2n n a T ． ………………………………………………12分20．解：（I ）设动点M (x ，y )，则由题意可得222)1(22=+++x y x ，化简整理得C 的方程为1222=+y x ．……………3分（II ）假设存在Q (x 0，y 0)满足条件．设依题意可设直线m 为x =ky -1，于是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=，，12122y x ky x 消去x ，可得(k 2+2) y 2-2ky -1=0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，于是y 1+y 2=222+k k ，x 1+x 2=k (y 1+y 2)-2=242+-k ，……………………………7分 ∴ AB 的中点N 的坐标为(222+-k ，22+k k)．∵ PQ ⊥l ，∴ 直线PQ 的方程为y -22+k k =-k (x +222+k )，令y =0，解得x =212+-k ，即P (212+-k ，0)．………………………………9分∵ P 、Q 关于N 点对称，∴222+-k =21( x 0212+-k )，22+k k=21( y 0+0)，解得x 0=232+-k ，y 0=222+k k ，即Q (232+-k ，222+k k)． ……………………11分∵ 点Q 在椭圆上， ∴ (232+-k )2+2(222+k k )2=2，解得k 2=21，于是212=k，即421±=k ，∴ m 的方程为y =42x +42或y =-42x -42． ……………………………13分21．解：（I ）xmxm x x f -=-='11)(，x >0．当m >0时，由1-mx >0解得x <m 1，即当0<x <m 1时，)(x f '>0，f (x )单调递增；由1-mx <0解得x >m 1，即当x >m 1时，)(x f '<0，f (x )单调递减．当m =0时，)(x f '=x1>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增；当m <0时，1-mx >0，故)(x f '>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增．∴当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，m 1)，单调递减区间为(m1，+∞)；当m ≤0时，f (x ) 的单调递增区间为(0，+∞)． …………………………5分（II ）2()2()g x f x x =+=2ln x -2mx +x 2，则xmx x x g )1(2)(2+-='，∴ )(x g '的两根x 1，x 2即为方程x 2-mx +1=0的两根．∵ m ≥223， ∴ ∆=m 2-4>0，x 1+x 2=m ，x 1x 2=1． …………………………………………7分又∵ x 1，x 2为2()ln h x x cx bx =--的零点， ∴ ln x 1-cx 12-bx 1=0，ln x 2-cx 22-bx 2=0，两式相减得 21ln x x-c (x 1-x 2)(x 1+x 2)-b (x 1-x 2)=0，得b =)(ln 212121x x c x x x x +--，而b cx xx h --='21)(， ∴ y =])(2)[(212121b x x c x x x x -+-+- =-+-+-)(2)[(212121x x c x x x x )(ln212121x x c x x x x ++-] =212121ln )(2x x x x x x -+-=212121ln 112x x x x x x -+-⋅，…………… ……………10分令t x x=21(0<t <1)，由(x 1+x 2)2=m 2得x 12+x 22+2x 1x 2=m 2，因为x 1x 2=1，两边同时除以x 1x 2，得t +t1+2=m 2，∵ m ≥223，故t +t 1≥25，解得t ≤21或t ≥2，∴ 0<t ≤21．……………12分设G (t )=t t t ln 112-+-⋅，∴ )(t G '=0)1()1(2<+--t t t ，则y =G (t )在]210(，上是减函数， ∴ G (t )m in = G (21)=-32+ln2，即1212()()2x x y x x h +'=-的最小值为-32+ln2． ……………………………14分。

三诊理科答案

绵阳市高中2016级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． BCDAA CDBCB CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．114．6π 15．2416．332 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由余弦定理cos C =2222a b c ab+-，且2a cos C =2b -c ，得2a ⋅2222a b c ab +-=2b -c ，即b 2+c 2-a 2=bc ． ……………………………………………………………2分 ∴ cos A =2222b c a bc +-=12． ……………………………………………………4分∵ A ∈(0，π)，∴ A =3π． ………………………………………………………………………5分（2）在△ABD 中，AB =3，BD=cos A =12．由余弦定理得13=9+AD 2-3AD ，解得AD =4(负值舍去) . ………………………………………………………8分 ∵BD 为AC 边上的中线， ∴D 为AC 的中点， ∴ AC =2AD =8．所以S △ABC =12AB ⋅AC sin A=13822⨯⨯⨯= ………………………12分18．解：（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A ，则32535023()196C P A C ==. …………………………………………………………4分（2）设乙公司货车司机中转货车数为t ，则64074040.t t X t t ≤⎧=⎨->⎩，，，则X 的所有取值分别为228，234，240，247，254. 其分布列为于是()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………8分设甲公司货车司机日工资为Y ，日中转车数为u ，则480Y u =+，则Y 的所有可能取值为232，236，240，244，248. 则分布列为于是()232236240244248238.85105510E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………11分由()()E X E Y >知，若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司． …………………………12分 19．解：（1）证明：过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连接AO ，BO ．由∠PAD =120º，可得∠PAO=60º．∴ 在Rt △PAO 中，PO =PA sin ∠PAO =2⨯sin60º=2. ∵ ∠BAD =120º， ∴ ∠BAO =60º．又PA =AB ，∠PAO =∠BAO =60º，AO =AO ， ∴ △PAO ≌△BAO (SAS)， ∴ BO =PO =∵ E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF =，∴ EF 是△PBD 的中位线，∴ PB =2EF =2= 可得222PB PO BO =+，所以PO ⊥BO ． …………………………………………………………………3分 ∵ AD ∩BO=O ， ∴ PO ⊥平面ABCD ．又PO ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ． …………………………………………………5分（2）建立如图所示空间直角坐标系O -xyz .A (0，1，0)，P (0，0，，B(0，0)，D (0，3，0)，∴ E (0，32，2)，F(2，32，0) ． ……………………………………7分平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0，0，1) ． ………………………………8分设平面ACE 的法向量为n 2=(x ，y ，z ) ．又AE =(0，12，)，AF=(，12，0)，由2200AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n得102102y x y ⎧=⎪⎪+=，，令x =1，得y =-3，z =1. ∴平面ACE 的一个法向量为n 2=(1，-3，1) ． …………………………10分设锐二面角E -AC -D 的平面角大小为θ，则cos θ=|cos ＜n 1，n 2＞|=|1212n n n n ⋅|=， ∴锐二面角E -AC -D的余弦值为． ……………………………………12分 20．解：（1）∵焦距为，PB BA =，∴ 522=c ，且点B 为线段AP 的中点． ∵ 点P (0，)，A (a ，0)， ∴ PA =2PB，(2a B ．∴由题意得c 222314a a b+=．① ……………………………………2分又222a b c =+，即225a b =+．② 联立①②解得 2249b a ==，．∴ 椭圆E 的方程为22194x y +=． ……………………………………………4分（2）由题意，得PBM PAN S S ∆∆=6， ……………………………………………5分即11sin 6sin 22PA PN APN PB PM BPM ⋅∠=⨯⋅∠， ∴ 3PN PM =，即3PN PM =．设11()M x y ，，12()N x y ，，则PM =(x 1，y 1-)，PN =(x 2，y 2-，∴ (x 2，y 2-x 1，y 1-， ∴ x 2=3x 1，即213x x =．于是221110=3x x x x +，即22211()16=3x x x x +．①………………………………………6分联立22194y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得072336)49(22=+++kx x k ． ………8分由22)4(94)720k ∆-⨯+⨯>，解得289k >． ∴ 49336221+-=+k k x x ，1227294x x k =+． ……………………………………9分代入①，可解得 2329k =，满足289k >， ∴3k =±. ……………………………………………………………11分即直线l的斜率k =． ……………………………………………12分 21．解：（1）()ln f x x a x '=-，要使()f x 有两个不同的极值点转化为()=0f x '有两不等根．令()ln g x x a x =-，则()1(0)a x a g x x x x-'=-=>． ① 当a ≤0时，得()g x '>0，则g (x )在(0)+∞，上单调递增，所以g (x )在(0)+∞，上不可能有两个零点． …………………………………3分 ②当a >0时，由()g x '>0，解得x >a ；由()g x '<0，解得0<x <a ．则g (x )在(0)a ，上单调递减，在()a +∞，上单调递增．要使函数g (x )有两个零点，则g (a )=a -a ln a <0．解得a >e ．又g (1)=1>0，现研究g (a 2)>0(a >e)．由222()ln (2ln )g a a a a a a a =-=-，令()2ln a a a ϕ=-，则22()1a a a aϕ-'=-=，显然当a >e 时，()0a ϕ'>，即()a ϕ在(e )+∞，上单调递增， ∴ ()a ϕ>(e)e 20ϕ=->，故g (a 2)>0．∴ g (x )有且只有两个零点，且分别在(1，a )和(a ，a 2)上．综上所述，a 的取值范围为(e )+∞，．…………………………………………5分（2）由x 1，x 2是g (x )=x -a ln x=0的两个根，则2211ln ln a x x a x x =⎧⎨=⎩，，两式相减，得2121(ln ln )a x x x x -=-，即21212211=ln ln ln x x x xa x x x x --=-．要证x 1x 2<a 2，即证22112221()(ln )x x x x x x -<， ……………………………………7分即证222212111212()(ln )=2x x x x xx x x x x -<-+．由12x x <，得211x t x =>，只需证21ln 2t t t<-+.……………………………………………………………9分设21()ln 2g t t t t =--+，则22111()ln 1=(2ln )g t t t t t t t t'=-+-+．令1()2ln h t t t t=-+，∴ 22211()1(1)0h t t t t'=--=--<，∴ ()h t 在(1，+∞)上单调递减，∴ ()h t <h (1)=0，∴ ()0g t '<，……………………………………………………………………11分即()g t 在(1，+∞)为减函数， ∴ ()g t <(1)g =0．即21ln 2t t t<-+在(1，+∞)恒成立．∴ 原不等式成立．……………………………………………………………12分22．解：（1）由题意，得2(1cos2)2cos 8sin ρθρθθ+==，即22cos 4sin ρθρθ=． …………………………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=． ∴ x 2=4y ．即曲线C 的普通方程为x 2=4y ． …………………………………………4分（2）由题可知，直线l 与y 轴交于点F (0，1)即为抛物线C 的焦点．令|FA |=|t 1|，|FB |=|t 2|，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入C 的普通方程x 2=4y 中，整理得22cos 4sin 40t t αα--=．由韦达定理得1224sin cos t t αα+=，1224cos t t α-⋅=． ……………………………7分 ∴ |FA |⋅|FB |=|t 1t 2|=24cos α≥4．（当且仅当cos 1α=时，等号成立） ∴ 当|FA |⋅|FB |取最小值时，直线l 的直角坐标方程为1y =． ……………10分23．解：（1）当x ≤-1时，()3f x x =-≥3，解得x ≤-1； ……………………1分当-1<x <12时，()2f x x =-+≥3，解得x ≤-1．与-1<x <12矛盾，舍去．…3分当x ≥12时，()3f x x =≥3，解得x ≥1； ……………………………………4分综上，不等式()f x ≥3的解集为(1]-∞，-∪[1+)∞，． …………………5分（2）证明：2()4222f x x x m =-++212122x x x m =-+-++≥2122x x m -++ ………………………………………7分 ≥(22)(21)x m x +-- =21m +=(1)m m ++ ………………………………………………9分 ≥1m m +-．∴ 不等式2()f x ≥1m m +-成立． ……………………………………10分。

绵阳2016届第一次诊断数学(理)试卷含答案

绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADD BACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(]100， 12．3 13．a ≥2 14．215．①③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1， ∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α，∴ 21sin 212cos 2=-=αα．……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +λ，可得a n +1+λ=2(a n +λ)．∵ a 1=1，当a 1+λ=0，即λ=-1时，a n +λ=0，此时{a n +λ}不是等比等列． …………3分当a 1+λ≠0，即λ≠-1时，21=+++λλn n a a （常数）．此时，数列}{λ+n a 是以λλ+=+11a 为首项，2为公比的等比数列，∴ 12)1(-⋅+=+n n a λλ，于是12)1(-⋅+=+n n a λλ． ………………………6分（2）当λ=1时，a n =2n-1，∴ n n nb 2=. ……………………………………………………………………7分∴ n n nS 2232221321++++= ，两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S两式相减得 12221212121+-+++=n n n nS12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n， ∴nn n nS 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分 ∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴8.070101040>++=n n a b n n ，解得：n >8． ……………………………………………………………………5分即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …………6分（2）由题意：nnn n a b a b >++11，即an nna n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0，即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0，化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD . ∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)(><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6.…………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADCAC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AEC AC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， …6分 ∴θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCEθθc o s)120sin(11627⋅-︒⋅=， …………………7分令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º， ∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++= )602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º， ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1， ∴43≤f (θ)≤2143+， ∴ )32(4-≤)(1θf ≤334，∴ )32(427-≤DCE S ∆≤12327．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1．于是13-=-a b ，23-=ac，得b =3a ，c =-6a . ………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11，把b =3a ，c =-6a 代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1.………………………………………………………………………5分（2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ，即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(333)(2-+=-+='x x b x x x g ．列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0，由题意，知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=仅有一个交点，于是m =10或0<m <29. ………………………………………………………13分 21．解：（1）1111)(+=-+='x xx x f ， ∴当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ，即f (x )在(-1，0)上是增函数，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是减函数．∴ f (x )的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f (x -1)+x >k )31(x -变形得)31()1(ln xk x x x ->+--，整理得x ln x +x -kx +3k >0，令g (x )=x ln x +x -kx +3k ，则.2ln )(k x x g -+=' ∵ x >1， ∴ ln x >0若k ≤2时，0)(>'x g 恒成立，即g (x )在(1，+∞)上递增， ∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21->k ， ∴ .221≤<-k 又∵ k ∈Z ， ∴ k 的最大值为2．若k >2时，由ln x +2-k >0解得x >2-k e ，由ln x +2-k <0，解得1<x <2-k e . 即g (x )在(1，2-k e )上单调递减，在(2-k e ，+∞)上单调递增．∴ g (x )在(1，+∞)上有最小值g (2-k e )=3k -2-k e ，于是转化为3k -2-k e >0(k >2)恒成立，求k 的最大值．令h (x )=3x -2-x e ，于是23)(--='x e x h ．∵ 当x >2+ln3时，0)(<'x h ，h (x )单调递减，当x <2+ln3时0)(>'x h ，h (x )单调递增． ∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值． ∵ 1<ln3<2， ∴ 3<2+ln3<4， ∵ 013)1(>-=eh ，h (2+ln3)=3+3ln3>0，h (4)=12-e 2>0，h (5)=15-e 3<0， ∴ k ≤4．∴ k 的最大取值为4．∴ 综上所述，k 的最大值为4.…………………………………………………9分（3）假设存在这样的x 0满足题意，则由20)(210x a e x f -<等价于01120020<-++x e x x a （*）．要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )=1122-++x ex x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可． ∵ )1()(xe a x x h -='，令)(x h '=0，得e x =a1，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ，在0<x <x 0时，)(x h '<0，在x >x 0时，)(x h '>0，∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，下面只需证明：在0<a <1时，1ln )(ln 22-++a a a a a<0成立即可．又令p (a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，a ∈(0，1)，则2)(ln 21)(a a p ='≥0，从而p (a )在a ∈(0，1)时为增函数． ∴ p (a )<p (1)=0，因此x 0=-ln a 符合条件，即存在正数x 0满足条件． …………………………………………………14分。

四川省绵阳市高考数学三模试卷(理科)

四川省绵阳市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共11题；共22分)1. （2分） (2016高一上·莆田期中) 已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，6}，则（∁UM）∩N=（）A . {4，6}B . {1，4，6}C . ∅D . {2，3，4，5，6}2. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知＜α＜π，2sin2α=cosα，则sin（α+ ）=（）A .B . ﹣C .D . ﹣3. （2分）(2017·自贡模拟) 已知a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）直线3x+4y+15=0被圆x2+y2=25截得的弦长为（）A . 2B . 4C . 6D . 85. （2分）观察下列等式，，，根据上述规律，（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二上·抚顺期末) 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若AB边上的高为，且a2+b2=2 ab，则C=（）A .B .C .D .7. （2分） (2017·宁化模拟) 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A . 24B .C . 20D .8. （2分）若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A . 21B . 26C . 30D . 559. （2分）已知向量 =（a﹣2b，a）， =（a+2b，3b），且，的夹角为钝角，则在aOb平面上，点（a，b）所在的区域是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·南宁模拟) 已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2，它的6个顶点都在体积为的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为（）A .B .C . 3D .11. （2分）(2017·昆明模拟) 设函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R）在区间（0，2）上有两个极值点，则a 的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2015高三上·贵阳期末) 图中阴影部分的面积等于________．13. （1分）(2017·来宾模拟) 若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值为________14. （1分）(2013·上海理) 抛物线y2=8x的准线方程是________．15. （1分） (2016高一下·桃江开学考) 给出下列结论：①已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（﹣1）=2，f（﹣3）=﹣1，则f（3）＜f（﹣1）；②函数y=log （x2﹣2x）的单调递增减区间是（﹣∞，0）；③已知函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=x2 ，则当x＜0时，f（x）=﹣x2；④若函数y=f（x）的图象与函数y=ex的图象关于直线y=x对称，则对任意实数x，y都有f（xy）=f（x）+f （y）．则正确结论的序号是________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．三、解答题 (共7题；共85分)16. （15分）已知数列{an}满足：a1=﹣，3Sn=﹣1﹣an+1 ，（1）求a2，a3；（2）求数列{an}的通项公式；（3）记bn=an2+an，求证： + + +…+ ＜．17. （10分） (2017高三上·孝感期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C大小的为60°，求QM的长．18. （15分）(2018·全国Ⅲ卷文) 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项项目生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随即分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，19. （10分）(2018·安徽模拟) 设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值。

2016届高三诊断性大联考(一)数学(理)试卷(含解析)

绝密★启用前数学(理科）班级姓名注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

考试时间120分钟，总共150分。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={X ∣X-1>0},集合 B={X ∣∣X ∣≤2}，则A ∩B= A. (-1,2) B. [-2,2] C. (1,2] D.[-2，+∞)2.复数Z 满足（1-2i)z =(1+i)2，则z 对应复平面上的点的坐标为 A.（-54 ，52 ） B.（-52 ，53 ） C.（54，-52） D.（52，53） 3.已知向量a 、b ，其中a=（-2，-6），b= ，a •b=-10 ，则a 与b 的夹角为A.1500B.-300C.-600D.12004.设a ， b 表示两条不同的直线， α、β、γ表示三个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若a 丄α,且a 丄b,则b ∥aB.若γ丄α且γ丄β,则α∥βC.若a ∥α且a ∥β, 则α∥βD.若γ∥α且γ∥β,则α∥β5.函数f(x)=asin3x+bx 3+4,其中 a ，b ∈R ，f'(x)为f(x)的导函数，则f( 2014 )+f(-2014 ) +f'( 2015 )-f'(-2015) = A. 0B. 2014C. 8D. 20156.已知右边程序框图（如图）,若输入a 、b 分别为10、4,则输出的a 的值为A.0B.2C.4D.147.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，若asinA+bsinB=2sinC,则cosC 的最小值为A. B.C.21 D. -21 8.有如下几种说法：①若pVq 为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“∃x 0∈R ，2x0≤ 0”的否定是∀x ∈R,2X>0；③直线l:y=kx+l 与圆O:x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，则“k =l”是△OAB 的面积为21的充分而不必要条件；④随机变量ξ-N(0,1)，已知φ (-1.96)=0.025，则 P( ξ∣f ∣< 1.96 )=0.975. 其中正确的为A. ①④B.②③C. ②③④D.②④ 9.将函数f(x)=Sin(2x+3π)的图象向右平移2π个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则dx x g ⎰π)(A. 0B. πC.2D.110.任取k ∈[-1，1],直线 L:y=kx+3 与圆 C:(x-2)2+(y-3) 2=4 相交于M 、N 两点，则∣MN ∣≥的概率为A. 33B. 23 C. 32 D. 2111.已知函数f （x ）g(x)= 54-f(1-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点的个数为 A.2 B.3 C.4 D.512.多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm 2) A.28+B. 30+C. 28+D. 28+第Ⅱ卷(非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.二项式(2x+x1)6的展开式中的常数项是 .14.实数x 、y 满足条件的最小值为 .15.已知sina=53 ，α∈(0, 2π)，tan β=41，则 tan(α+β))= . 16.已知AB 是圆C:（x+2)2+(y-l)2=52的一条直径，若楠圆 x 2+4y 2=4b 2(b ∈R)经过 A 、B 两点，则该椭圆的方程是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知各项均为正数的等差数列{a n }，且a 2+b 2=20,a 1+a 2=64. (I)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =nX 42an,求数列的前n 项和.18.(本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形， AD 丄DC ，AD=DC ，E 、F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD, DF 丄平面ABCD ，且DF=1. (I)若AE 丄CF ，求 BE 的值；(Ⅱ)求当BE 为何值时，二面角E-AC-F 的大小是60°. 19. (本小题满分12分）2015年10月4日，强台风“彩虹”登陆广东省湛江市，“彩虹”是1949年以来登陆中国陆地的最强台风。

绵阳三诊模拟考试2019年理科数学

绵阳市2016级三诊考试模拟试题理科试题命题人陈山审题人李小兰本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页.考生作答时,须在答题卡上作答,在本试卷、草稿纸上作答无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1．设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则AB =（）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2 2．若复数1＋ai 2－i (i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．12C ．－12 D ．－23．“a ≤0”是“函数f(x)＝x2＋a 有零点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为万元时的销售额约为（）A. B. C. D.5. 函数()2cos()f x x ωϕ=+(0ω>，0ϕ-π<<)的部分图象如右图所示，则(0)f 的值为（）A.32-B.1-C. 6.实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（）A.34 B.38 C. 14D. 187．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，Q 是抛物线上一点，线段FQ 的延长线交抛物线的准线于点P ，若FQ →＝13QP →，则|QF |＝( )A ．1 B.54 C.32 D.748.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”. 如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为（）参考数据：732.13≈，sin150.2588≈，1305.05.7sin ≈ .A ．24B ．12 C. 48 D ．969. 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是( )A.B.C.D.10.已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（）A ．46B ．52π+C ．523π+D ．462π+11.12F F ，分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为12，则该双曲线的离心率为（）1 112.已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++= 成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1[,]e e B ．2(,]e e C ．2(,)e +∞ D ．21(,)e e e+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m x 2n展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为________．14. 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0ektP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要___________小时.15.设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)12πα+的值为________．16.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 满足OD →＝2OA →，点P 为△BCD 内(含边界)的动点，设OP →＝αOA →＋βOC →(α，β∈R )，则当α＋2β取得最大值时，OP →在CD →方向上的投影为________．三、解答题：(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚)． 17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+．（1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足220162n n nT ++≥的最小正整数n ．18．（本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日—21 日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜2016年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（1）求证：//AB EF ；（2）若2P A P D A D ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知焦距为23的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1、上顶点为D ，直线DF 1与椭圆C 的另一个交点为H ，且|DF 1|＝7|F 1H |.(1)求椭圆的方程；(2)点A 是椭圆C 的右顶点，过点B (1，0)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k ′，求证：k ·k ′为定值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x1－x，φ(x )＝(x －1)2·f ′(x )．(1)若函数φ(x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫3m ，m ＋12上单调递减，求实数m 的取值范围； (2)若对任意的x ∈(0，1)，恒有(1＋x )·f (x )＋2a <0(a >0)，求实数a 的取值范围．请考生从22、23任选一题作答22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中，曲线的参数方程为（t 为参数，＞0）。

四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理卷word版含答案

绵阳市高中第三次诊断性考试数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j 在草稿纸、试题卷上答题无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R,集合A ＝{x||x|≤1}，B={x|x≤1},则B A C U )(等于 A. {x|x≤-1} B. {x|x<-1} C. {-1} D. {x|-1<x|≤1}2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q ：012,2≥+-∈∀x x R x .则下列命题为真命题的是A q p ∧B )(q p ⌝∧C )()(q p ⌝∧⌝D q p ∧⌝)( 3. 已知曲线5. 函数f(x)=x-sinx 的大致图象可能是6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几何体F-AMCD 内的概率为则BP BC .=A. 2B. 4C. 8 D . 168. 已知E 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+1422y y x y x ，表示区域内的一点，过点E 的直线l 与圆M:(x-1)2+y 2=9相交于A,C 两点，过点E 与l 垂直的直线交圆M 于B 、 D 两点，当AC 取最小值时，四边形ABCD 的面积为9. 如果正整数M 的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M 为“幸运数”，则四位正整数中的“幸运数”共有A. 45个B. 41个C. 40个D. 38个A. 6B. 4C. 3D. 2第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数z 满足z.i=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z=________ 12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y 2=4x 相交于A,B 两点，O 、F 分别为C 的顶点和焦点，若)(R FB OA ∈=λλ，则k=______15. 若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m的个数为*)(n a ,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{*)(n a }，我们把它叫做数列{a n }的“星数列”.已知对于任意的n ∈N *, a n =n 2给出下列结论:②(a 5)*=2;③数列*)(n a 的前n 2项和为2n 2-3n+1;④{a n }的“星数列”的“星数列”的通项公式为**))((n a ＝n 2以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小題满分12分）绵阳某汽车销售店以8万元A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.(I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？ (II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表.若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.17. (本小题满分12分）如图，已知平面PAB 丄平面ABCD ，且四边形ABCD 是矩形，AD : AB=3 : 2, ΔPAB 为等边三角形，F 是线段BC 上的点且满足CF=2BF.(I)证明：平面PAD 丄平面PAB(II)求直线DF 与平面PAD 的所成角的余弦值.y=f(x)19. (本小题满分12分）已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2+8. (I)求公差d 的值;n ∈N *恒成立的最大正整数m 的值；20. (本小题满分13分）已知椭圆C: 原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线且与x 轴垂直，如图.(I)求椭圆C 的方程；为坐标原点)，且满足MQ PM t MQ PM .||||=+，求实数t 的取值范围.21. (本小题满分14分）绵阳市高2013级第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．BDACA BCDBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2-i 12．11 131415．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．则由题意得年销售量为100-2x，∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．故当x=15时，y取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．∴P(X=0∴ X的分布列为：∴X的数学期望0．∴ X………………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，∵△PAB为等边三角形，∴ PO⊥AB．①又平面PAB⊥平面ABCD，∴ PO⊥平面ABCD，∴ PO⊥AD．∵四边形ABCD是矩形，∴ AD⊥AB．②∵ AB与PO交于点O，由①②得：AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．……………………………………………………6分（Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y 轴，OP所在直线为z AB=2，AD=3，∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(03)，D(-1，3，0)．∴DF=(2，-2，0)，AP=(1，0，AD=(0，3，0)，可求得平面ADP的法向量0，-1)，若直线DF与平面sinθ=|cos<n，DF>|=|||||DF nDF n⋅=⋅θ为锐角，∴…………………………12分18ω=2．∴………………………………6分（Ⅱ）∵ 2sin∴∵ cos(A+B)=-cosC，，，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，解得1（舍），∴于是由余弦定理得：∴ a2+b2=12-ab≥2ab，∴ ab≤4(当且仅当)．∴ S△ABC∴△ABC………………………………………12分19．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………3分∴∴n∈N*恒成立，∴化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分（Ⅲ）由d=2，得a n=a1∵n∈N*，都有b n≤b4成立，∴，解得-6<a1<-4，即a1(-6，-4)．……………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：C的短半轴长为半径的圆与直线相切，，解得b=1．再由a2=b2+c2∴分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，OP OQ⋅=-4∉[，不成立；∵直线的斜率不为0，设P(x1，y1)(y1>0)，Q(x2，y2)(y2<0)，直线的方程可设为：x=my+1，2+2my-3=0∴而OP OQ ⋅5≤4m +111(1)1PM x y m y =-+=+⋅；(MQ x =||||||||PM MQ tPM MQ t PM MQ +=⋅=⋅∴11||||MQPM m +=∴ m 2≤1…………………………………13分21．解：（Ⅰ）∵ ()f x ' ∴ 当2x-1>0，即 f (x)∴ 当2x-1<0，即时，()f x '<0，于是 (x)∵ ，∴ m+2>2．①mf (x)在m+2)上单增，∴f (x)min ②当 f (x)在m+2]上单调递增，∴min ∴ 综上所述：当 f (x)min =2e ；当 f (x)…………………………………………………………………4分（Ⅱ）构造F(x)=f (x)-g(x)(x>1)，()F x '，①当t ≤e 2时，e 2x -t ≥0成立，则x>1时，()F x '≥0，即F(x)在(1)+∞，上单增，∴ F(1)=e 2-2t≥0，即t②当t>e 2时，()F x '=0得．∴ F(x)在(1，+∞)上单增，∴ F(x)min ．∴不成立．∴ 综上所述：t 分x>0e ， ∴ ∴∴。