大一高数课件第七章 7-9-1

一、基本内容
二次曲面的定义： 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 三元二次方程所表示的曲面称之． 一次曲面． 相应地平面被称为一次曲面 相应地平面被称为一次曲面． 截痕法： 讨论二次曲面性状的截痕法 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． （即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 轴平行, y1 < b 2 , 实轴与 x 轴平行,
虚轴与 虚轴与
z 轴平行. 轴平行.
x
轴平行. 轴平行. 的直线. 的直线.
( 2′ )
( 3′ )
2 y1 > b 2 , 实轴与 z 轴平行, 轴平行,
y1 = b, 截痕为一对相交于点
x z − =0 , a c y = b x z + =0 . a c y = b
y = 0
x 轴相合， 轴相合， 轴相合. z 轴相合.
与平面
2
y = y1 ( y1 ≠ ± b ) 的交线为双曲线. 的交线为双曲线.
2 2
x z y1 2 − 2 = 1− 2 b a c y = y 1
双曲线的中心都在 双曲线的中心都在 中心
y
轴上. 轴上.
(1′ )
2 2 y1 y = y1 的交线为抛物线. x = 2 p z − 2q 的交线为抛物线. 与平面 y = y1 它的轴平行于 z 轴 2 y1 顶点 0, y1 , 2q
x 2 = 2 pz 截得抛物线 y = 0
2
2
2
球面
（二）抛物面
x2 y2 + =z 2 p 2q
同号） （ p 与 q 同号） 椭圆抛物面
用截痕法讨论： 用截痕法讨论： 设 p > 0, q > 0 （1）用坐标面
xoy ( z = 0) 与曲面相截
O (0,0,0)
截得一点， 截得一点，即坐标原点 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 顶点
平面 x = ± a 的截痕是 两对相交直线. 两对相交直线. 单叶双曲面图形 x
z
o
y
x2 y2 z2 1 2 + 2 − 2 = − a b c
双叶双曲面 o x y
二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法. 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性） 熟知这几个常见曲面的特性）
( 0 , b ,0 )
(4′ )
y1 = − b, 截痕为一对相交于点 (0,− b,0) 的直线. 的直线.
x z − =0 , a c y = −b
x z + =0 . a c y = −b
（3）用坐标面 yoz ( x = 0) x = x1 ,与曲面相截 均可得双曲线. 均可几种特殊情况：
(1) a = b,
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a a c
旋转椭球面
x2 z2 轴旋转而成． 由椭圆 + 2 = 1 绕 z 轴旋转而成． a2 c x2 + y2 z2 + 2 =1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别： 旋转椭球面与椭球面的区别： 区别
x
o
y
p < 0, q < 0
p > 0, q > 0
特殊地： 特殊地：当 p = q 时，方程变为
x2 y2 + =z 2p 2p
( p > 0)
旋转抛物面
绕它的轴旋转而成的） （由 xoz 面上的抛物线 x 2 = 2 pz 绕它的轴旋转而成的）
的交线为圆. 与平面 z = z 1 ( z 1 > 0 ) 的交线为圆.
（一）椭球面
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c
椭球面与三个坐标面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线：
x2 y2 2 + 2 =1 , a b z = 0
x2 z2 2 + 2 =1 , a c y = 0
o x
z
y2 z2 2 + 2 =1 . b c x = 0
的交线为椭圆. 与平面 z = z1 ( z1 > 0) 的交线为椭圆.
x2 y2 + =1 2 pz1 2qz1 z = z 1
变动时， 当 z1 变动时，这种椭圆 中心都在 轴上. 的中心都在 z 轴上.
不相交. 与平面 z = z 1 ( z 1 < 0 ) 不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截
2 x2 y2 z + 2 = 1 + 12 2 a b c z = z 1
变动时， 当 z1 变动时，这种椭圆 的中心都在 z 轴上. 中心都在 轴上.
（2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截 截得中心在原点的双曲线. 截得中心在原点的双曲线. x2 z2 实轴与 2 − 2 =1 a c 虚轴与
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
思考题解答
− 4 y + z = 16 x − 4 y + z = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
2 2 2
2 2
表示双曲线. 表示双曲线.
练 习 题
三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： 画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2 2 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
2 a2 2 2 2 x + y = 2 (c − z1 ) 截面上圆的方程 . c z = z 1
与平面 z = z1 (| z1 |< c) 的交线为圆. 的交线为圆.
( 2) a = b = c ,
方程可写为
x y z + 2 + 2 =1 2 a a a
x2 + y2 + z2 = a2 .
均可得抛物线. （3）用坐标面 yoz ( x = 0) ，x = x1与曲面相截 均可得抛物线. 时可类似讨论. 同理当 p < 0 , q < 0 时可类似讨论.
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：x 2 y 2 同号） + = z （ p 与 q 同号） 2 p 2q z z o x y
y
椭球面与平面
z = z1
的交线为椭圆
x2 y2 + 2 =1 2 a b 2 2 2 2 (c − z1 ) 2 (c − z1 ) c c2 z = z1 | z1 |< c
的交线也是椭圆. 同理与平面 x = x1 和 y = y1 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
z o x
y
（三）双曲面
x2 y2 z2 1 2 + 2 − 2 = a b c
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy ( z = 0)与曲面相截
x2 y2 的椭圆. 截得中心在原点 O (0,0,0) 的椭圆. 2 + 2 = 1 a b z = 0
的交线为椭圆. 与平面 z = z1 的交线为椭圆.
x2 + y2 = 2 pz 1 z = z1
变动时，这种圆的中 当 z1 变动时，这种圆的中 轴上. 心都在 z 轴上.
x2 y2 同号） − + = z （ p与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论： 用截痕法讨论： 设
p > 0, q > 0 图形如下： 图形如下：
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 .
四、试用截痕法讨论双曲抛物面 x2 y2 − + = z （ p与 q同号 ）. 2 p 2q
练习题答案
y2 = 2x − 9 上的抛物线. 一、 ,位于平面 z = 3 上的抛物线. z = 0
二、 1.
z
2.
z
o x o x
y
y
z
三、
1.
o x
1
z
R
2
y
2.
o x
R
R
y