第七讲坐标系中的几何问题(包含答案)

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利用平面直角坐标系解几何问题

利用平面直角坐标系解几何问题平面直角坐标系是解决几何问题的重要工具之一。

通过利用平面直角坐标系，我们可以方便地描述和推导各种几何关系，解决各种几何问题。

本文将介绍平面直角坐标系的基本概念和用法，并通过具体的几何问题演示如何利用平面直角坐标系解决问题。

1. 平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成，分别称为x轴和y 轴。

坐标轴的交点称为原点，用O表示。

x轴向右延伸正方向，y轴向上延伸正方向。

在坐标轴上，我们可以取一个单位长度，用于表示数值大小。

坐标轴上的点由坐标表示，例如一个点P的坐标为(x, y)，其中x表示点P在x轴上的位置，y表示点P在y轴上的位置。

2. 平面直角坐标系的用法（1）坐标计算：通过确定点的坐标，我们可以计算两点之间的距离、点到坐标轴的距离等。

例如，已知点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以通过距离公式来计算点A和点B之间的距离。

（2）图形描述：通过坐标轴上的点，我们可以绘制图形来描述几何关系。

例如，通过连接几个点可以绘制出直线、折线、曲线等。

通过计算几何图形上的点的坐标，我们可以了解图形的特征和性质。

（3）问题求解：通过利用平面直角坐标系，我们可以解决各种几何问题。

例如，已知两点可以求直线的斜率；已知直线的斜率和一点可以求直线的方程；已知两条直线的方程可以求直线的交点等。

3. 利用平面直角坐标系解几何问题的示例问题一：已知直线L1过点A(1, 2)且斜率为2，直线L2过点B(3, 5)且斜率为-1，求直线L1和直线L2的交点坐标。

解答：设直线L1的方程为y = 2x + b1，直线L2的方程为y = -x +b2。

将点A和点B的坐标代入直线方程，得到两个方程：2 = 2 * 1 +b1 和 5 = -1 * 3 + b2。

解得b1 = 0，b2 = 8。

因此，直线L1的方程为y= 2x，直线L2的方程为y = -x + 8。

两直线相交时，它们的坐标相等，因此求解方程2x = -x + 8，解得x = 2。

坐标系中的面积问题总结

坐标系中的面积问题总结在二维平面几何中，坐标系是一个非常常见且重要的概念，我们经常会遇到各种与坐标系相关的面积问题。

在这篇文档中，我们将总结几种常见的坐标系中的面积问题及其解决方法。

1. 矩形面积问题矩形是最基本的几何图形之一，在坐标系中，矩形的面积可以通过矩形的长和宽来计算。

假设一个矩形的对角线端点为(x1,y1)和(x2,y2)，则矩形的面积S可以用以下公式表示：$S = |x_2 - x_1| \\times |y_2 - y_1|$2. 三角形面积问题三角形是另一种常见的几何图形，在坐标系中，我们可以利用三角形的顶点坐标来计算其面积。

假设三角形的三个顶点分别为(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)，则可以使用以下公式计算三角形的面积：$S = \\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$3. 圆形面积问题圆形是一个常见的曲线图形，在坐标系中，我们可以通过圆心和半径来计算圆的面积。

假设圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r，则圆的面积S可以使用以下公式计算：$S = \\pi r^2$4. 不规则图形的面积问题对于不规则图形，也可以利用坐标系中的点来计算其面积。

一种常见的方法是利用格点法，即将不规则图形分割为小矩形或小三角形，然后计算这些小形状的面积之和。

在逼近不规则图形的过程中，分割的小形状越小，计算得到的面积越精确。

通过以上总结，我们可以看到在坐标系中解决面积问题的方法是多样的，不同类型的图形有不同的计算公式，我们可以根据具体情况选择合适的方法来计算面积。

希望这篇文档能帮助您更好地理解坐标系中的面积问题。

(完整版)立体直角坐标系常见题型

(完整版)立体直角坐标系常见题型立体直角坐标系常见题型（完整版）本文档将介绍立体直角坐标系中常见的题型及解答方法。

一、点的坐标计算1. 已知点P在立体直角坐标系中的坐标为(x₁, y₁, z₁)，则点P'关于y轴的对称点的坐标为(x₁, -y₁, z₁)。

2. 已知点P、Q在立体直角坐标系中的坐标分别为(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)，则线段PQ的中点的坐标为((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)。

3. 若点P在立体直角坐标系中的坐标为(x₁, y₁, z₁)，则点P关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(-x₁, y₁, z₁)、(x₁, -y₁, z₁)、(x₁, y₁, -z₁)。

二、直线与平面1. 已知直线L过点P(x₁, y₁, z₁)且与向量a = (a₁, a₂, a₃)平行，则直线L的参数方程可表示为：x = x₁ + a₁ty = y₁ + a₂tz = z₁ + a₃t2. 已知平面π过点P(x₁, y₁, z₁)且法向量为n = (n₁, n₂, n₃)，则平面π的方程可表示为：n₁(x - x₁) + n₂(y - y₁) + n₃(z - z₁) = 0三、向量运算1. 向量a = (a₁, a₂, a₃)的模长计算公式为：|a| = sqrt(a₁² + a₂² + a₃²)2. 向量a与向量b的点积计算公式为：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃3. 向量a与向量b的叉积计算公式为：a ×b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)四、空间中的图形1. 球的方程：已知球心为C(x₁, y₁, z₁)且半径为r，则球的方程为：(x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)² = r²2. 锥面的方程：已知顶点为V(x₁, y₁, z₁)且开口方向为向量a = (a₁, a₂, a₃)，则锥面的方程可表示为：((x - x₁)/a₁)² + ((y - y₁)/a₂)² + ((z - z₁)/a₃)² = 0以上为立体直角坐标系常见题型及解答方法的简要介绍。

坐标练习题加答案

坐标练习题加答案一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点P(3,4)关于x轴的对称点的坐标是：A. (3,-4)B. (-3,4)C. (4,3)D. (-3,-4)答案：A2. 点Q(-1,2)与点R(1,-2)的中点坐标是：A. (0,0)B. (0,2)C. (1,0)D. (-1,0)答案：A3. 若点M的坐标为(2,-3)，点N的坐标为(-2,3)，则MN的长度是：A. 2√2B. 4√2C. 6√2D. 8√2答案：B二、填空题4. 在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(a,b)，且点A关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)，则a的取值范围是______。

答案：a ≠ 05. 已知点P(x,y)在第一象限，若x+y=10，且x>y，则x的取值范围是______。

答案：0 < x < 10三、解答题6. 已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求线段AB的中点坐标。

解：根据中点公式，中点的坐标为：\[ M(x_m, y_m) = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A +y_B}{2}\right) \]代入点A和点B的坐标，得到：\[ M = \left(\frac{2 + (-1)}{2}, \frac{3 + (-2)}{2}\right) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \]所以，线段AB的中点坐标为(0.5, 0.5)。

7. 已知点C(4,5)和点D(-3,1)，若点E是线段CD的中点，求点E的坐标。

解：同样使用中点公式，代入点C和点D的坐标，得到：\[ E = \left(\frac{4 + (-3)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (0.5, 3) \]因此，点E的坐标为(0.5, 3)。

四、应用题8. 在平面直角坐标系中，有一个矩形ABCD，其中A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)。

直角坐标系中的几何问题 (含解析)

直角坐标系中的几何问题1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b 满足a＝+ ﹣1，现同时将点A，B 分别向上平移2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别得到点A，B 的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC．（2）在y 轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S 四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC，PO，当点P 在BD 上移动时（不与B，D 重合）的值是否发生变化，并说明理由．2．如图，点A（a，b）在第二象限，其中a，b 满足等+|a+b+n|＝0，点B 在第一象限内，射线BC∥OA，与y 轴交于点C（0，5）．（1）当n＝1 时，求 A 点的坐标；（2）点P 在y 轴上从（0，﹣3）出发以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动（到达C 点后停止运动），求当时间为t 秒时（不考虑点P 与点O，C 重合的情况），∠AOP，∠OPB，∠PBC 的大小关系；（3）如图，若∠AOF＝30°，点D 是射线BC 上一动点，∠FOD，∠ODC 的平分线交于点E．∠E 的大小是否随点D 的位置变化发生改变，若不变，请求出∠E 的度数；若改变，说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且P A＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B 的坐标为；（3）当点B 在y 轴负半轴上运动时，求OA﹣OB 的值；（4）如图2，若点B 在y 轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b 满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m 的式子表示△ABM 的面积；（3）在（2）条件下，当时，在y 轴上有一点P，使得△BMP 的面积与△ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标．5．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO 的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P 的坐标是（a，6）．（1）求△ABC 三个顶点A，B，C 的坐标；（2）若点P 坐标为（1，6），连接P A，PB，则△P AB 的面积；（3）是否存在点P，使△PAB 的面积等于△ABC 的面积？如果存在，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）求a，b 的值；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积；（3）在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM 的面积与△ABN 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，（1）求三角形ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c 满足关系式|a ﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0．（1）求a、b、c 的值．（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m 的式子表示四边形APOB 的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形AOBC 的面积是四边形APOB 的面积的2 倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D 的坐标（x，y），满足2x+5y＝22，四边形ABCD 的面积为37，求x，y 的值．10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点A（8，6）分别作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴于点B，交x 轴于点C，点P 是从点B 出发，沿B→A→C 以2 个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B 和点C 的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P 运动时，用含t 的式子表示线段AP 的长，并写出t 的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t 值，使S△APD＝S ABOC，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上求点N（的坐标），使得△ABN 的面积与四边形ABOM 的面积相等．（直接写出答案）12．如图，在平面直角坐标系中，点A 在X 轴正半轴上，B 在Y 轴的负半轴，过点B 画MN∥x 轴；C 是Y 轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0 与∠CDB 的数量关系．（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO 的角平分线与∠CDB 的角平分线相交于点P，求∠APD 的度数．（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX 的角平分线与∠CDN 的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD 与∠AQD 数量关系．（4）如图（3），点C 在Y 轴的正半轴上运动时，∠CAO 的角平分线所在的直线与∠CDB 的角平分线相交于点P，∠APD 的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于P，Q 两点给出如下定义：若点P 到x、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x、y 轴的距离中的最大值，则称P，Q 两点为“等距点”．下图中的P，Q 两点即为“等距点”．（1）已知点A 的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A 的“等距点”的是；②若点B 的坐标为B（m，m+6），且A，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k 的值．14．如图，已知平面直角坐标系内A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B；两点关于y 轴对称（1）求A、B 的坐标；（2）动点P、Q 分别从A 点、B 点同时出发，沿直线AB 向右运动，同向而行，P 点的速度是每秒2 个单位长度，Q 点的速度是每秒4 个单位长度，设P、Q 的运动时间为t 秒，用含t 的代数式表示三角形OPQ 的面积S，并写出t 的取值范围；（3）在平面直角坐标系中存在一点M，点M 的横纵坐标相等，且满足S△PQM：S△OPQ＝3：2，求出点M 的坐标，并求出当S△AQM＝15 时，三角形OPQ 的面积．15．已知两种不同的数对处理器f、g．当数对（x，y）输入处理器f 时，输出数对（x+2y，2x﹣y），记作f （x，y）＝（x+2y，2x﹣y）；但数对（x，y）输入处理器g 时，输出数对（y，﹣x+4），记作g（x，y）＝（y，﹣x+4）．（1）f（3，2）＝（，），g（3，2）＝（，）．（2）当f（x，y）＝g（1，﹣1）时，求x，y；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立吗？若成立，说明理由；若不成立，举例说明．16．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P 在y 轴上且S△PAD＝S△poc，求点P 的坐标；（2）若点P 在梯形内且S△PAD＝S△POC，S△PAO＝S△PCD，求点P 的坐标．17．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y 轴于B，且B（0，b）是y 轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB＝12．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）如图1，点D 为线段OA（端点除外）上某一点，过点D 作AO 垂线交x 轴于E，交直线AB 于F，∠EOD、∠AFD 的平分线相交于N，求∠ONF 的度数．（3）如图2，点D 为线段OA（端点除外）上某一点，当点D 在线段上运动时，过点D 作直线EF 交x 轴正半轴于E，交直线AB 于F，∠EOD，∠AFD 的平分线相交于点N．若记∠ODF＝α，请用α 的式子表示∠ONF 的大小，并说明理由．18．如图，在平面直角坐标系，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0．（1）求a，b 的值；（2）①在x 轴的正半轴上存在一点M，使△ABC 的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM 的面积△ABC 的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标为．19．如图，在长方形OABC 中，OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，建立平面直角坐标系．动点P 从点A 出发，沿A→O→C→B 路线运动到点B 停止，速度为4 个单位长度/ 秒；动点Q 从点O 出发，沿O→C→B 路线运动到点B 停止，速度为2 个单位长度/秒；当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t．（1）写出A、B、C 三个点的坐标；（2）当点P 恰好追上点Q 时，求此时点P 的坐标；（3）当点P 运动到线段BC 上时，连接AP、AQ，若△APQ 的面积为3，求t 的值．20．已知：如图三角形ABC 的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5）（1）求三角形ABC 的面积；（2）若点P（0，m）在y 轴上，试用含m 的代数式表示三角形ABP 的面积；（3）若点P 在y 轴上什么位置时，三角形ABP 的面积等于三角形ABC 的一半？21．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，3），且| |+（4a﹣b+11）2＝0．（1）求a、b 的值；（2）①在y 轴上的负半轴上存在一点M，使△COM 的面积△ABC 的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使结论“△COM 的面积＝△ABC 的面积”仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A 在射线OP 上，点B 在射线OQ 上（A、B 不与O 点重合），点C 在射线ON 上且OC＝2，过点C 作直线l∥PQ，点D 在点C 的左边且CD＝3．（1）直接写出△BCD 的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA 的平分线交OC 于E，交AC 于F，求证：∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B 在射线OQ 上运动，∠ACB 的平分线交DA 的延长线于点H，在点B 运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．23．如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x 轴、y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，求a 的值．直角坐标系中的几何问题答案1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b 满足a＝+ ﹣1，现同时将点A，B 分别向上平移2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别得到点A，B 的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC．（2）在y 轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S 四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC，PO，当点P 在BD 上移动时（不与B，D 重合）的值是否发生变化，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0 且b﹣3≥0，解得b≤3 且b≥3，∴b＝3，a＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵点A，B 分别向上平移2 个单位，再向右平移1 个单位，∴点C（0，2），D（4，2）；∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，∴S 四边形ABDC＝4×2＝8；（2）∵S△PAB＝S 四边形ABDC，∴×4•OP＝8，解得OP＝4，∴点P 的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）＝1，比值不变．理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，如图，过点P 作PE∥AB，则PE∥CD，∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，∴＝1，比值不变．2．如图，点A（a，b）在第二象限，其中a，b 满足等+|a+b+n|＝0，点B 在第一象限内，射线BC∥OA，与y 轴交于点C（0，5）．（1）当n＝1 时，求 A 点的坐标；（2）点P 在y 轴上从（0，﹣3）出发以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动（到达C 点后停止运动），求当时间为t 秒时（不考虑点P 与点O，C 重合的情况），∠AOP，∠OPB，∠PBC 的大小关系；（3）如图，若∠AOF＝30°，点D 是射线BC 上一动点，∠FOD，∠ODC 的平分线交于点E．∠E 的大小是否随点D 的位置变化发生改变，若不变，请求出∠E 的度数；若改变，说明理由．【解答】解：（1）∵a，b 满足等式+|a+b+n|＝0，n＝1，∴解得：a＝﹣3，b，＝2，∴A（﹣3，2）答：当n＝1 时，A 点的坐标为（﹣3，2）．（2）①当0＜t＜3 时，即点P 在y 轴的负半轴移动时，如图2﹣1，此时∠AOP＝∠OPB+∠PBC；∵OA∥BC，∴∠AOP＝∠OCQ，又∵∠OCQ＝∠OPB+∠PBC，∴∠AOP＝∠OPB+∠PBC，②当3＜t＜8 时，即点P 在OC 上移动时，如图2﹣2，此时∠OPB＝∠AOP+∠PBC；∵OA∥BC，∴∠AOP＝∠PCB，又∵∠OPB═∠PBC+∠BCP，∴∠OPB＝∠AOP+∠PBC．（3）∠E 的大小不会随点D 的位置变化发生改变，∠E＝75°，作∠AOD 的平分线交DE 于点F，如图3 所示∵OE 平分∠FOD，OF 平分∠AOD，DE 平分∠ODC，∵∠AOE＝∠EOD＝∠FOD，∠AOF＝∠FOD ＝∠AOD，∠ODE＝∠EDC＝∠ODC，∵OA∥BC，∴∠AOD+∠ODC＝180°，∴∠ODE+∠FOD＝90°，即∠OFD＝90°，∴∠EOF＝∠FOD﹣∠AOD＝∠FOA＝15°，∴∠E＝90°﹣15°＝75°，即∠E 的大小不变，∠E＝75°．答：∠E 的大小不会随点D 的位置变化发生改变，∠E＝75°．3．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且P A＝PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B 的坐标为；（3）当点B 在y 轴负半轴上运动时，求OA﹣OB 的值；（4）如图2，若点B 在y 轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB 的值．【解答】（1）证明：如图1，过点P 作PE⊥x 轴于E，作PF⊥y 轴于F，∵P（3，3），∴PE＝PF＝3，在Rt△APE 和Rt△BPF 中，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴PA⊥PB；（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴PF＝PE，∴四边形OEPF 是正方形，∴OE＝OF＝4，∵A（9，0），∴OA＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，∴点B 的坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OB+OF＝OB+3，∴OA﹣3＝OB+3，∴OA﹣OB＝6；（4）解：如图2，过点P 作PE⊥x 轴于E，作PF⊥y 轴于F，同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，∴OA﹣3＝3﹣OB，∴OA+OB＝6．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b 满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a ＝，b＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m 的式子表示△ABM 的面积；（3）在（2）条件下，当时，在y 轴上有一点P，使得△BMP 的面积与△ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0 且b﹣3＝0，解得：a＝﹣1，b＝3，故答案为：﹣1，3；（2）过点M 作MN⊥x 轴于点N，∵A（﹣1，0）B（3，0）∴AB＝1+3＝4，又∵点M（﹣2，m）在第三象限∴MN＝|m|＝﹣m∴S△ABM＝AB•MN＝×4×（﹣m）＝﹣2m；（3）当时）∴S△ABM＝﹣2×（﹣）＝3，点P 有两种情况：①当点P 在y 轴正半轴上时，设点p（0，k）S△BMP＝5×（+k）﹣+k）﹣×5×﹣×3×k＝k+ ，∵S△BMP＝S△ABM，∴k+ ＝3，解得：k＝0.3，∴点P 坐标为（0，0.3）；②当点P 在y 轴负半轴上时，设点p（0，n），S△BMP＝﹣5n﹣）﹣×5×﹣×3×（﹣n）＝﹣n﹣，∵S△BMP＝S△ABM，∴﹣n﹣＝3，解得：n＝﹣2.1∴点P 坐标为（0，﹣2.1），故点P 的坐标为（0，0.3）或（0，﹣2.1）．5．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO 的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P 的坐标是（a，6）．（1）求△ABC 三个顶点A，B，C 的坐标；（2）若点P 坐标为（1，6），连接P A，PB，则△P AB的面积；（3）是否存在点P，使△PAB 的面积等于△ABC 的面积？如果存在，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵S ＝•OA•OB，解得a＝﹣10．∵OA＝OB，△ABO此时P 点坐标为（﹣10，6）．综上所述，点P 的坐标为（﹣10，6）或（14，∴OA2＝8，解得OA＝4，∴OB＝OA＝4，∴OC＝BC﹣OB＝12﹣4＝8，∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）；（2）作PH⊥x 轴于H，如图1，S△PAB＝S△PBH﹣S△AOB﹣S 梯形AOHP＝×（4+1）×6﹣8﹣×（4+6）×1＝15﹣8﹣5＝2．（3）S△ABC＝•4•12＝24，当点P 在第一象限，即a＞0，作PH⊥x 轴于H，如图2，S△PAB＝S△AOB+S 梯形AOHP﹣S△PBH＝8+ •a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4；则2a﹣4＝24，解得a＝14．此时P 点坐标为（14，6）；当点P 在第二象限，即a＜0，作PH⊥y 轴于H，如图3，S△PAB＝S 梯形•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a；则4﹣2a＝24，6）．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）求a，b 的值；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积；（3）在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM 的面积与△ABN 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3．故 a 的值是2，b 的值是3；（2）过点M 作MN 丄y 轴于点N．四边形AMOB 面积＝S△AMO+S△AOB＝MN•OA+OA•OB＝×（﹣m）×2+ ×2×3＝﹣m+3；（3）当m＝﹣时，四边形ABOM 的面积＝4.5．∴S△ABN＝4.5，①当N 在x 轴负半轴上时，设N（x，0），则S△ABN＝AO•NB＝×2×（3﹣x）＝4.5，解得x＝﹣1.5；②当N 在y 轴负半轴上时，设N（0，y），则S△ABN＝BO•AN＝×3×（2﹣y）＝4.5，解得y＝﹣1．∴N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，（1）求三角形ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）已知点A（0，2），B（3，0），C（3，4），过A 点作BC 边上的高，交BC 于点H，则三角形ABC 的面积为：S＝BC•AH＝×4×3＝6；（2）四边形ABOP 的面积可以看作是△APO 和△AOB 的面积和，∵P 在第二象限，∴m＜0，S APOB＝S△AOB+S APO＝+ ×（﹣m）×2＝3﹣m．故四边形ABOP 的面积为3﹣m；（3）当四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等时，即3﹣m＝6，得m＝﹣3，此时P 点坐标为：（﹣3，），存在P 点，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等．8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c 满足关系式|a ﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0．（1）求a、b、c 的值．（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m 的式子表示四边形APOB 的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形AOBC 的面积是四边形APOB 的面积的2 倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0 可得：a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0，解得：a＝2，b＝3，c＝5；（2）∵a＝2，b＝3，c＝5，∴A（0，2），B（3，0），C（3，5），∴OA＝2，OB＝3，∵S△ABO＝×2×3＝3，S△APO＝×2×（﹣m）＝﹣m，∴S 四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m（3）存在，∵S 四边形AOBC＝S△AOB+S△ABC＝3+＝10.5，若S 四边形AOBC＝2S 四边形APOB＝2（3﹣m）＝10.5，则m＝﹣，∴存在点P（﹣，），使四边形AOBC 的面积是四边形APOB 的面积的2 倍．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D 的坐标（x，y），满足2x+5y＝22，四边形ABCD 的面积为37，求x，y 的值．【解答】解：如图，作DE⊥y 轴于点E，延长BC 交DE 于点F，则BF⊥DE，由A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D 的坐标（x，y），∴AB＝6、DF＝﹣x﹣1、BF＝y﹣1，CF＝y﹣5，由四边形ABCD 的面积为37 知×（6﹣x﹣1）（y﹣1）﹣×（﹣x﹣1）（y﹣5）＝37，整理，得：2x﹣3y＝﹣42，由2x+5y＝22 可得，解得：．10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点A（8，6）分别作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴于点B，交x 轴于点C，点P 是从点B 出发，沿B→A→C 以2 个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B 和点C 的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P 运动时，用含t 的式子表示线段AP 的长，并写出t 的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t 值，使S△APD＝S ABOC，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），故答案为：0、6，8、0；∵S△APD＝AP•AC S ABOC ＝AB•AC（2）当点P 在线段BA 上时，由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；当点P 在线段AC 上时，∵AP＝点P 走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．（3）存在两个符合条件的t 值，当点P 在线段BA 上时∴（8﹣2t）×6＝×8×6，解得：t＝3＜4，当点P 在线段AC 上时，∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6∴（2t﹣8）×6＝×8×6，解得：t＝5＜7，综上所述：当t 为 3 秒和5 秒时S△APD＝S ABOC，11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b 满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上求点N（的坐标），使得△ABN 的面积与四边形ABOM 的面积相等．（直接写出答案）【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得：a＝2，b＝3，故答案为：2，3；（2）∵在第二象限内有一点M（m，1），∴S△AMO＝×AO×（﹣m）＝﹣m，S△AOB＝×AO×OB＝3，∴四边形ABOM 的面积为：3﹣m；（3）∵当m＝﹣时，△ABN 的面积与四边形ABOM 的面积相等，当N 在x 轴的负半轴时，设N 点坐标为：（c，0），则×2（3﹣c）＝3﹣（﹣），解得：c＝﹣1.5，故N（﹣1.5，0），当N 在y 轴的负半轴时，设N 点坐标为：（0，d），则×3（2﹣d）＝3﹣（﹣），解得：d＝﹣1，故N（0，﹣1），综上所述：N 点坐标为：（﹣1.5，0），（0，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，点A 在X 轴正半轴上，B 在Y 轴的负半轴，过点B 画MN∥x 轴；C 是Y 轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0 与∠CDB 的数量关系．（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO 的角平分线与∠CDB 的角平分线相交于点P，求∠APD 的度数．（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX 的角平分线与∠CDN 的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD 与∠AQD 数量关系．（4）如图（3），点C 在Y 轴的正半轴上运动时，∠CAO 的角平分线所在的直线与∠CDB 的角平分线相交于点P，∠APD 的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．【解答】解：（1）如图，∵CD⊥CA，∴∠ACO+∠DCB＝90°，∵∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠DCB＝∠OAC，又∵∠CBD＝90°，∴∠DCB+∠CDB＝90°，∴∠CAO+∠CDB＝90°；（2）如图2，延长AP 交MN 于点E，∵AP 平分∠CAO、DP 平分∠CDB，∴∠1＝∠CAO、∠CDB，∵∠CAO+∠CDB＝90°，∴∠1+∠2＝45°，∵MN∥OA，∴∠1＝∠3，∴∠APD＝∠2+∠3＝∠1+∠3＝45°；（3）∵AP 平分∠OAC、AQ 平分∠CAx，∴∠PAC＝∠OAC、∠QAC＝∠CAx，∵∠OAC+∠CAx＝180°，∴∠PAQ＝∠PAC+∠CAQ＝（∠OAC+∠CAx）＝90°，同理得∠PDQ＝90°，∴∠APD+∠AQD＝360°﹣（∠PAQ+∠PDQ）＝180°；（4）∠APD 的大小不变，为45°；设∠CAQ＝2α，∠CQA＝2β，∵∠ACD＝90°，∴∠CAQ+∠CQA＝90°，即2α+2β＝90，α+β＝45，∵AO∥MN，∴∠CQA＝∠CDB＝2β，∵AQ 平分∠CAQ、DB 平分∠CDB，∴∠QDP＝∠CDB＝β，∠CAQ＝α，则∠CQA＝90°﹣∠CAQ＝90°﹣α，∴∠APD ＝∠C QA ﹣∠C DB ＝90 °﹣α﹣β ＝45°．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于P，Q 两点给出如下定义：若点P 到x、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x、y 轴的距离中的最大值，则称P，Q 两点为“等距点”．下图中的P，Q 两点即为“等距点”．（1）已知点A 的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A 的“等距点”的是E、F；②若点B 的坐标为B（m，m+6），且A，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k 的值．【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y 轴的距离中最大值为3，∴与A 点是“等距点”的点是E、F．②当点B 坐标中到x、y 轴距离其中至少有一个为3 的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A 符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，①若|4k﹣3|≤4 时，则4＝﹣k﹣3 或﹣4＝﹣k﹣3解得k＝﹣7（舍去）或k＝1．②若|4k﹣3|＞4 时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|解得k＝2．根据“等距点”的定义知，k＝1 或k＝2 符合题意．即k 的值是1 或2．14．如图，已知平面直角坐标系内A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B；两点关于y 轴对称（1）求A、B 的坐标；（2）动点P、Q 分别从A 点、B 点同时出发，沿直线AB 向右运动，同向而行，P 点的速度是每秒2 个单位长度，Q 点的速度是每秒4 个单位长度，设P、Q 的运动时间为t 秒，用含t 的代数式表示三角形OPQ 的面积S，并写出t 的取值范围；（3）在平面直角坐标系中存在一点M，点M 的横纵坐标相等，且满足S△PQM：S△OPQ＝3：2，求出点M 的坐标，并求出当S△AQM＝15 时，三角形OPQ 的面积．【解答】解：（1）∵A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B 两点关于y 轴对称，∴2a﹣1＝3，3b+1＝4．解得a＝2，b＝1．∴点A 的坐标为（3，4），点B 的坐标为（﹣3，4）．（2）∵AP＝2t，BQ＝4t，AB＝6，∴当0＜t＜3 时，PQ＝6+2t﹣4t＝6﹣2t；当t＞3 时，PQ＝4t﹣6﹣2t＝2t﹣6．解得，x＝﹣2 或x＝10∴点M 的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10）当t＞3 时，∵S △ PQM ：S △ OPQ ＝ 3 ： 2 ，＝（t﹣3）×|4﹣x|，S△OPQ＝4t﹣12∴∴当0＜t＜3 时，S＝PQ•4＝×（6﹣2t）×解得，x＝﹣2 或x＝10．∴点M 的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10）．4＝12﹣4t；当t ＞ 3 时，S ＝∵S△AQM＝15，．（0＜t＜3）或（t＞3），即．∴t＝或t＝，（3）设点M 的坐标为（x，x）．当0＜t＜3 时，∴当t＝时，，∵ S △ PQM ：S △ OPQ ＝3 ： 2 ，当t＝时，S ＝12﹣4×△OPQ＝1；＝（3﹣t）×|4﹣x|，S△OPQ＝12﹣4t．∴．由上可得，点M 的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10），当S△AQM＝15 时，三角形OPQ 的面积是11 或1．15．已知两种不同的数对处理器f、g．当数对（x，y）输入处理器f 时，输出数对（x+2y，2x﹣y），记作f （x，y）＝（x+2y，2x﹣y）；但数对（x，y）输入处理器g 时，输出数对（y，﹣x+4），记作g（x，y）＝（y，﹣x+4）．（1）f（3，2）＝（，），g（3，2）＝（，）．（2）当f（x，y）＝g（1，﹣1）时，求x，y；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立吗？若成立，说明理由；若不成立，举例说明．【解答】解：（1）∵x＝3，y＝2，∴x+2y＝7，2x﹣y＝4，由f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），得到f（3，2）＝（7，4）；同理把x＝3，y＝2，代入g（x，y）＝（y，﹣x+4）中，可得g（3，2）＝（2，1）．故答案为（7，4），（2，1）．（2）∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴g（1，﹣1）＝（﹣1，3）．当f（x，y）＝g（1，﹣1）＝（﹣1，3）时，根据f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），可得解得x＝1，y＝1；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立，理由如下：∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴f[g（x，y）]＝f（y，﹣x+4）．又∵f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），所以f（y，﹣x+4）＝（3y，3x﹣4）．∵f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），∴g[f（x，y）]＝g（x+2y，2x﹣y）．又∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴g（x+2y，2x﹣y）＝（3y，3x﹣4）．所以f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]＝（3y，3x﹣4）．所以对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立．16．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P 在y 轴上且S△PAD＝S△poc，求点P 的坐标；（2）若点P 在梯形内且S△PAD＝S△POC，S△PAO＝S△PCD，求点P 的坐标．【解答】解：（1）①点P 在AO 上时，S△P AD＝AD•PA，S△POC＝OC•PO，∵S△PAD＝S△POC，∴AD•P A＝OC•PO，∴3（8﹣PO）＝5PO，解得PO＝3，此时点P 的坐标为（0，3），②点P 在AO 的延长线上时，S△P AD＝AD•PA，S△POC＝OC•PO，∵S△PAD＝S△POC，∴AD•P A＝OC•PO，∴3（8+PO）＝5PO，解得PO＝12，此时点P 的坐标为（0，﹣12），综上所述，点P 的坐标为（0，3）或（0，﹣12）；（2）如图，过点P 作PE⊥y 轴于E，S 梯形（3+5）×8＝32，∵S△PAD＝S△POC，∴AD•AE＝OC•OE，∴3AE＝5OE，即3（8﹣OE）＝5OE，解得OE＝3，∴S△PAO＝S△PCD＝×5×3）＝，∴ AO•PE＝，即×8•PE＝，解得PE＝，∴点P 的坐标是（，3）．17．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y 轴于B，且B（0，b）是y 轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB＝12．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）如图1，点D 为线段OA（端点除外）上某一点，过点D 作AO 垂线交x 轴于E，交直线AB 于F，∠EOD、∠AFD 的平分线相交于N，求∠ONF 的度数．（3）如图2，点D 为线段OA（端点除外）上某一点，当点D 在线段上运动时，过点D 作直线EF 交x 轴正半轴于E，交直线AB 于F，∠EOD，∠AFD 的平分线相交于点N．若记∠ODF＝α，请用α 的式子表示∠ONF 的大小，并说明理由．【解答】解：（1）∵b2＝16，∴b＝±4，∵B（0，b）是y 轴负半轴上一点，∴B（0，﹣4），∵AB⊥y 轴，S△AOB＝12．∴AB•BO＝12，即AB×4＝12，解得AB＝6，∴A 的坐标为（6，﹣4），（2）如图1，过点N 作NM∥x 轴，∵NM∥x，∴∠MNO＝∠NOC，∵ON 是∠EOD 的角平分线，∴∠MNO＝∠NOC＝∠EOD，又∵MN∥AB∴∠MNF＝∠NFA，∵FN 是∠AFD 的角平分线，∴∠MNF＝∠NFA＝∠AFD，∵AB∥x 轴，∴∠OED＝∠AFD，∵ED⊥OA，∴∠EOD+∠AFD＝90°，∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF （∠E OD+∠AFD）＝×90°＝45°．（3）如图2，过点N 作NM∥x 轴，∵NM∥x，∴∠MNO＝∠NOC，∵ON 是∠EOD 的角平分线，∴∠MNO＝∠NOC＝∠EOD，又∵MN∥AB∴∠MNF＝∠NFA，∵FN 是∠AFD 的角平分线，∴∠MNF＝∠NFA＝∠AFD，∵AB∥x 轴，∴∠OED＝∠AFD，∵∠ODF＝∠EOD+∠AFD＝α，∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF （∠E OD+∠AFD）＝α．18．如图，在平面直角坐标系，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0．（1）求a，b 的值；（2）①在x 轴的正半轴上存在一点M，使S△COM＝△ABC 的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM 的面积＝△ABC 的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标为．【解答】解（1）∵|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0，又∵|2a+b+1|和（a+2b﹣4）2 都是非负数，所以得，解方程组得，，∴a＝﹣2，b＝3．（2）①由（1）得A，B 点的坐标为A（﹣2，0），B（3，0），|AB|＝5．∵C（﹣1，2），∴△ABC 的AB 边上的高是2，∴．要使△COM 的面积是△ABC 面积，而C 点不变，即三角形的高不变，M 点在x 轴的正半轴上，只需使．此时．∴M 点的坐标为②由①中的对称点，当M 在y 轴上时，△COM 的高为1，∵△COM 的面积△ABC 的面积，∴|OM|×1＝∴OM＝±5（负值舍去），∴M2（0，5），M3（0，﹣5）．故答案为：（﹣，0），（0，5），（0，﹣5）．19．如图，在长方形OABC 中，OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，建立平面直角坐标系．动点P 从点A 出发，沿A→O→C→B 路线运动到点B 停止，速度为4 个单位长度/ 秒；动点Q 从点O 出发，沿O→C→B 路线运动到点B 停止，速度为2 个单位长度/秒；当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t．（1）写出A、B、C 三个点的坐标；（2）当点P 恰好追上点Q 时，求此时点P 的坐标；（3）当点P 运动到线段BC 上时，连接AP、AQ，若△APQ 的面积为3，求t 的值．【解答】解：（1）点A（10，0），B（10，6），C（0，6）；（2）设时间为t，由题意得，4t﹣2t＝10，解得t＝5，此时，点P 运动的路程为4×5＝20，所以，点P 在BC 上，CP＝20﹣10﹣6＝4，所以，点P 的坐标为（4，6）；（3）点Q 在点P 的前面时，PQ＝2t﹣（4t﹣10）＝10﹣2t，△APQ 的面积＝（10﹣2t）×6＝3，解得t＝4.5，点P 在点Q 的前面时，PQ＝（4t﹣10）﹣2t＝2t﹣10，△APQ 的面积＝（2t﹣10）×6＝3，解得t＝5.5，综上所述，△APQ 的面积为 3 时，t＝4.5 秒或 5.5 秒．20．已知：如图三角形ABC 的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5）（1）求三角形ABC 的面积；（2）若点P（0，m）在y 轴上，试用含m 的代数式表示三角形ABP 的面积；（3）若点P 在y 轴上什么位置时，三角形ABP 的面积等于三角形ABC 的一半？【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5），∴AB＝1﹣（﹣4）＝1+4＝5，点 C 到AB 的距离为5，∴△ABC 的面积＝×5×5＝12.5；（2）点P 在y 轴正半轴时，m＞0，面积＝×5•m＝m，点P 在y 轴负半轴时，m＜0，面积＝×5•（﹣m）＝﹣m；（3）设点P 到x 轴的距离为h，则×5h＝×12.5，解得，所以，点P 坐标为（0，）或（0，﹣）．21．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，3），且| |+（4a﹣b+11）2＝0．（1）求a、b 的值；（2）①在y 轴上的负半轴上存在一点M，使△COM 的面积△ABC 的面积，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使结论“△COM 的面积＝△ABC 的面积”仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵| |+（4a﹣b+11）2＝0，∴解∴a 的值是﹣2，b 的值是3．（2）如图1，过点C 作CG⊥x 轴，CH⊥y 轴，垂足分别为G、H，∵A（﹣2，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，∵点C 的坐标是（﹣1，3），∴CG＝3，CH＝1，∴，∴，即，∴OM＝，∴点M 的坐标是（0，﹣7.5）．（3）∵点M 的坐标是（0，﹣7.5）时，△COM的面积＝△ABC 的面积，∴点M 的坐标是（0，7.5）时，△COM 的面积＝△ABC 的面积；∵三角形的高一定时，面积和底成正比，∴点M 的坐标是（2.5，0）或（﹣2.5，0）时，△COM 的面积＝△ABC 的面积．综上，可得在坐标轴的其它位置存在点M，使结论“△COM的面积＝△ABC 的面积”仍然成立，符合条件的点M 的坐标有3 个：（0，7.5）、（2.5，0）或（﹣2.5，0）．22．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A 在射线OP 上，点B 在射线OQ 上（A、B 不与O 点重合），点C 在射线ON 上且OC＝2，过点C 作直线l∥PQ，点D 在点C 的左边且CD＝3．（1）直接写出△BCD 的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA 的平分线交OC 于E，交AC 于F，求证：∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B 在射线OQ 上运动，∠ACB 的平分线交DA 的延长线于点H，在点B 运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．【解答】解：（1）S△BCD＝CD•OC＝×3×2＝3．（2）如图②，∵AC⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠CFE+∠CBF＝90°，∵直线MN⊥直线PQ，∴∠BOC＝∠OBE+∠OEB＝90°，∵BF 是∠CBA 的平分线，∴∠CBF＝∠OBE，∵∠CEF＝∠OBE，∴∠CFE+∠CBF＝∠CEF+∠OBE，∴∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，∵直线l∥PQ，∴∠ADC＝∠PAD，∵∠ADC＝∠DAC∴∠CAP＝2∠DAC，∵∠ABC+∠ACB＝∠CAP，∴∠ABC+∠ACB＝2∠DAC，∵∠H+∠HCA＝∠DAC，∴∠ABC+∠ACB＝2∠H+2∠HCA∵CH 是，∠ACB 的平分线，∴∠ACB＝2∠HCA，∴∠ABC＝2∠H，∴＝．23．如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x 轴、y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，求a 的值．【解答】解：如图1，过P 点作PD⊥x 轴，垂足为D．由A（﹣，0）、B（0，1），得OA＝，OB ＝1，∵△ABC 为等边三角形，由勾股定理，得AB＝＝2，∴S△ABC＝×2×＝，又∵S△ABP＝S△AOB+S 梯形BODP﹣S△ADP＝××1+ ×（1+a）×3﹣×（+3）×a＝，由2S△ABP＝S△ABC，得＝，∴a＝．如图2，过P 点作PD⊥x 轴，垂足为D．由A（﹣，0）、B（0，1），得OA＝，OB ＝1，∵△ABC 为等边三角形，由勾股定理，得AB＝＝2，∴S△ABC＝×2×＝，又∵S△ABP＝S△ADP﹣S△AOB﹣S 梯形BODP ＝×（××（1+a）×3＝，由2S△ABP＝S△ABC，得﹣3＝，∴a＝2+ ．故a 的值是或2+ ．。

坐标系中的几何问题

y B C y B C
D
D
O
E
A
x
O
A
x
第（25）题
问题解决二：图形变化过程所产生问题解决二图形变化过程所产生的存在性问题。（分类思想）。（分类思想的存在性问题。（分类思想）
2、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点、在平面直角坐标系中，抛物线＝＋＋经过点经过点A(3，， 0)、B(0，－，点P是直线上的动点，过点作x轴的垂线交，－3)，是直线AB上的动点、，－是直线上的动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为的横坐标为t．抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式．分别求出直线AB和这条抛物线的解析式分别求出直线和这条抛物线的解析式． (2)若点在第四象限，连接若点P在第四象限最长时，若点在第四象限，连接AM、BM，当线段最长时，求、，当线段PM最长时的面积． △ABM的面积．的面积 (3)是否存在这样的点，使得以点、M、B、O为顶点的四边形是否存在这样的点P，使得以点P、、、为顶点的四边形是否存在这样的点为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标若不存在，的横坐标；为平行四边形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．请说明理由． y
九年级数学培优课0
编辑张苏馨
九年级数学培优课专题复习
坐标系中的几何问题
Hale Waihona Puke 榆次五中刘强第一关：(思想关）学会利用坐标系中图形的移动所产生的函数图象问题加强对数形结合思想及分类思想的理解。图象问题加强对数形结合思想及分类思想的理解。
1、如图①所示，直角梯形OABC的顶点、C分别在轴、如图①所示，直角梯形的顶点A、分别在y轴的顶点分别在正半轴与x轴负半轴上过点B、C作直线将直线L平移，平正半轴与轴负半轴上.过点、作直线L.将直线平移，轴负半轴上过点作直线将直线平移移后的直线L与x轴交于点，与y轴交于点移后的直线与轴交于点D，轴交于点E. 轴交于点轴交于点（1）将直线L向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯）将直线向右平移，设平移距离为（），直角梯向右平移），形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为S，S关于被直线L扫过的面积（图中阴影部份），关于t 被直线扫过的面积关于的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分的函数图象如图②所示，为线段，为抛物线的一部分为线段，NQ为射线，且NQ平行于轴，N点横坐标为，求梯形上为射线，平行于x轴点横坐标为4，为射线平行于点横坐标为底AB的长及直角梯形OABC的面积. AB的长及直角梯形OABC的面积. 的长及直角梯形的面积（2）当2＜t＜4时，求S关于的函数解析式. ）＜＜时关于t的函数解析式关于的函数解析式

2024辽宁中考数学二轮专题训练题型七坐标系中的几何动点问题 (含答案)

2024辽宁中考数学二轮专题训练题型七坐标系中的几何动点问题典例精讲例1如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线y ＝kx ＋15(k ≠0)经过点C (3，6)，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B.线段CD 平行于x 轴，交直线y ＝34x 于点D ，连接OC ，AD .例1题图(1)填空：k ＝________．点A 的坐标是(________，________)；【思维教练】将C (3，6)代入y ＝kx ＋15即可求k ，将y ＝0代入新的一次函数解析式，求出A 点坐标．(2)求证：四边形OADC 是平行四边形；【思维教练】因为CD ∥OA ，所以要证明四边形OADC 是平行四边形，可以证明CD ＝OA ，将C 点纵坐标代入到y ＝34x 中，求出D 点坐标，从而求出CD 的长，与OA 比较．(3)动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．①当t＝1时，△CPQ的面积是________．②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时t的值．【思维教练】①可求出PQ的长，以及C点到OD的距离．②因为四边形OADC是平行四边形，所以考虑利用判定依据：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．证明AC与PQ互相平分，当PQ＝AC时，四边形CPAQ为矩形．例2如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为(4，4)，点B的坐标为(6，0)，动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒(0＜t＜4)，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N.例2题图备用图(1)填空：AO的长为________，AB的长为________；【思维教练】要求AO，AB的长，已知点A，B的坐标，利用两点间距离公式求解即可；(2)当t＝1时，求点N的坐标；【思维教练】要求t＝1时，点N的坐标，可知点N在AB上，利用待定系数法求出直线AB 的解析式即可求解；(3)请直接写出MN的长为________(用含t的代数式表示)；【思维教练】要求MN的长，可先求出PN，PM，即点N，M的横坐标即可；(4)点E是线段MN上一动点(点E不与点M，N重合)，△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝43时，请直接写出S1·S2(即S1与S2的积)的最大值为________．【思维教练】要求△AOE和△ABE的面积之积的最大值，先表示出△AOE和△ABE的面积，当t＝43时，可得MN的值，设EM＝m，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．针对训练1.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝43x＋83与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，m)，与x轴交于点B.(1)求直线l2的表达式；(2)点P是直线l2上的一个动点，过点P作EF⊥x轴于点E，交直线l1于点F，①若PF＝AB，求点P的坐标．②过点P作PQ⊥l1于点Q，若PQ＝2PE，请直接写出点P的坐标．第1题图2.如图，在平面直角坐标系内，点A、B在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点Q在边AB上，且AQ＝2，过点Q作QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC－CB 于点R(如图①)，当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从点A出发，以每秒6个单位的速度沿AB－BC－CA移动，设移动时间为t秒(如图②)．(1)BQ＝________；(用含t的代数式表示)(2)求△BCQ的面积S与t的函数关系式；(3)t的值为________秒时，直线QR经过点P；(4)当点P在边AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，此时t的取值范围是________．第2题图参考答案典例精讲例1(1)解：－3，(5，0)；【解法提示】将点C (3，6)代入y ＝kx ＋15(k ≠0)，得6＝3k ＋15.解得k ＝－3.∴y ＝－3x ＋15.当y ＝0时，0＝－3x ＋15.解得x ＝5.∴A (5，0)．(2)证明：∵CD ∥x 轴，C (3，6)，∴CD ∥OA ，y C ＝y D ＝6.令y ＝34x ＝6，解得x ＝8.∴D (8，6)．∵C (3，6)，∴CD ＝8－3＝5.∵A (5，0)，∴OA ＝5.∴OA ＝CD .∴四边形OADC 是平行四边形；(3)解：①12；【解法提示】如解图①，过C 作CH ⊥OD 于H ，∵D (8，6)，∴OD ＝82＋62＝10.∵四边形OADC 为平行四边形，∴OD 平分四边形OADC 的面积．∴S 四边形OADC ＝2S △COD ，即OA ·y C ＝2·12OD ·CH ，即5·6＝2·12×10·CH .解得CH ＝3.而PQ ＝OD －OP －DQ ＝8.∴S △CPQ ＝12PQ ·CH ＝12×8×3＝12.②5＋10或5－10；【解法提示】如解图②，设OD 与AC 相交于M .∵四边形OADC 为平行四边形，∴OM ＝DM ，AM ＝CM .∵OP ＝DQ ＝t ，所以PM ＝QM .当PQ ＝AC 时，四边形CPAQ 为矩形．∵A (5，0)，C (3，6)，∴AC ＝（5－3）2＋62＝210.|PQ |＝|10－2t |，∴10－2t ＝210，或2t －10＝210.∴t ＝5－10或t ＝5＋10时，四边形CPAQ 为矩形．例1题解图①例1题解图②例2解：(1)42，25；【解法提示】∵A (4，4)，B (6，0)，∴AO ＝42＋42＝42，AB ＝（6－4）2＋42＝2 5.(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (4，4)，B (6，0)代入得，4k ＋b ＝46k ＋b ＝0，k ＝－2b ＝12，∴直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋12，由题意得，点N 的纵坐标为1，令y ＝1，则1＝－2x ＋12，∴x ＝112，∴N (112，1)；(3)12－3t 2；【解法提示】当0＜t ＜4时，令y ＝t ，代入y ＝－2x ＋12，得x ＝12－t 2，∴N (12－t 2，t )，∵∠AOB ＝∠AOP ＝45°，∠OPM ＝90°，∴OP ＝PM ＝t ，∴MN ＝PN －PM ＝12－t 2－t ＝12－3t 2.(4)16.【解法提示】如解图，当t ＝43时，MN ＝12－3×432＝4，设EM ＝m ，则EN ＝4－m .由题意得，S 1·S 2＝12×m ×4×12×(4－m )×4＝－4m 2＋16m ＝－4(m －2)2＋16，∵－4＜0，∴m ＝2时，S 1·S 2有最大值，最大值为16.例2题解图针对训练1.解：(1)由题知点C (1，m )在直线l 1上，∴将点C (1，m )代入y ＝43x ＋83，得m ＝43＋83＝4，故C (1，4)，设直线l 2的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入A 、C 点坐标，＝k ＋b＝3k ＋b ＝－2＝6，∴直线l 2的表达式为y ＝－2x ＋6；(2)设点P 的坐标为(n ，－2n ＋6)，则点E 的坐标为(n ，0)，点F 的坐标为(n ，43n ＋83)，在y ＝43x ＋83中，令y ＝0，得0＝43x ＋83，解得x ＝－2，∴B (－2，0)，∴AB ＝3－(－2)＝5，若点P 在F 上方，则－2n ＋6－(43n ＋83)＝5，解得n ＝－12，即P (－12，7)；若点P 在F 下方，则43n ＋83－(－2n ＋6)＝5，解得n ＝52，即P (52，1)，综上所述，若PF ＝AB ，点P 的坐标为(－12，7)或(52，1)；②点P 的坐标为(73，43)或(5，－4)．【解法提示】设点P 的坐标为(n ，－2n ＋6)，如解图，设直线l 1与y 轴交于点D ，设PQ 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，由题知PQ ⊥l 1于点Q ，∴∠DBO ＋∠NMO ＝90°，又∵∠BDO ＋∠DBO ＝90°，∴∠NMO ＝∠BDO ，又∵∠BOD ＝∠MON ＝90°，∴△BOD ∽△NOM ，∴OB OD ＝ON OM，设直线PQ 的表达式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，则OM ＝－b 1k 1，ON ＝b 1，由题知OB ＝2，OD ＝83，∴283＝b 1－b 1k 1，解得k 1＝－34，∴直线PQ 的表达式为y ＝－34x ＋b 1，将点P (n ，－2n ＋b )代入直线PQ 表达式得－2n ＋6＝－34n ＋b 1，解得b 1＝－54n ＋6，∴直线PQ 的表达式为y ＝－34x －54n ＋6①，又∵直线l 1：y ＝43x ＋83②，联立①②，解得Q 点坐标为(－35n ＋85，－45n ＋245)，∴PQ 2＝[n －(－35n ＋85)]2＋[(－2n ＋6)－(－45n ＋245)]2＝4(n －1)2，(2PE )2＝4PE 2＝4(－2n ＋6)2，∵PQ ＝2PE ，∴4(n －1)2＝4(－2n ＋6)2，解得n ＝73或n ＝5，故P (73，43或(5，－4)．第1题解图2.解：(1)8－2t ；【解法提示】由题意得AQ ＝2＋2t ，AB ＝10，∴BQ ＝AB －AQ ＝8－2t .(2)在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，根据勾股定理得：BC ＝6，∵12AC ·BC ＝12AB ·CO ，即12×6×8＝12×10·CO ，∴CO ＝245，则S △BCQ ＝12QB ·CO ＝125(8－2t )＝－245t ＋965(0≤t ≤4)；(3)0.5或2.5；【解法提示】①当点Q 、P 均在AB 上时，AP ＝6t ，AQ ＝2＋2t ，可得：AP ＝AQ ，即6t ＝2＋2t ，解得t ＝0.5；②当P 在BC 上时，P 与R 重合，如解图①，第2题解图①∵∠PQB ＝∠ACB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BPQ ∽△BAC ，∴BP BA ＝BQ BC，又∵BP ＝6t －10，AB ＝10，BQ ＝8－2t ，BC ＝6，∴6t －1010＝8－2t 6，即6(6t －10)＝10(8－2t )，解得t ＝2.5；③当点P 在AC 上不存在QR 经过点P ，综上，当t ＝0.5或2.5时，直线QR 经过点P .(4)417＜t ＜2318且t ≠0.5.【解法提示】当点P 在点Q 的左侧时，若点N 落在AC 上，如解图②：第2题解图②∵AP ＝6t ，AQ ＝2＋2t ，∴PQ ＝AQ －AP ＝2＋2t －6t ＝2－4t ，∵四边形PQMN 是正方形，∴PN ＝PQ ＝2－4t ，∵∠APN ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△APN ∽△ACB ，∴PN CB ＝AP AC ，即2－4t 6＝6t 8，解得t ＝417；当点P 在点Q 的右侧时，若点N 落在BC 上，如解图③，第2题解图③由题意得：BP ＝10－6t ，PN ＝PQ ＝4t －2，∵∠BPN ＝∠BCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BPN ∽△BCA ，∴BP BC ＝PN CA ，即10－6t 6＝4t －28，整理得：8(10－6t )＝6(4t －2)，解得t ＝2318，∵t ＝0.5时，点P 与点Q 重合，∴417＜t ＜2318且t ≠0.5时，正方形PQMN 在Rt △ABC 内部．。

平面直角坐标系知识点归纳及典型例题

第七章平面直角坐标系知识点归纳及典型例题(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第七章平面直角坐标系的复习资料一、本章的主要知识点（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

1、记作（a ，b）；2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。

（二）平面直角坐标系1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形；2、构成坐标系的各种名称；3、各种特殊点的坐标特点。

（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。

二、特殊位置点的特殊坐标：六、用坐标表示平移：见下图23五、经典例题知识一、坐标系的理解例1、平面内点的坐标是（）A 一个点B 一个图形C 一个数D 一个有序数对学生自测1．在平面内要确定一个点的位置，一般需要________个数据；在空间内要确定一个点的位置，一般需要________个数据．2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（）A 原点O 不在任何象限内B 原点O 的坐标是0C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上D 原点O 在坐标平面内知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标点在x 轴上，坐标为（x,0）在x 轴的负半轴上时，x<0, 在x 轴的正半轴上时，x>0点在y 轴上，坐标为（0,y ）在y 轴的负半轴上时，y<0, 在y 轴的正半轴上时，y>0第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；坐标点（x ，y ）xy>0第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反；坐标点（x ，y ）xy<0例1 点P 在x 轴上对应的实数是3 ，则点P 的坐标是，若点Q 在y 轴上对应的实数是31，则点Q 的坐标是，例2 点P （a-1，2a-9）在x 轴负半轴上，则P 点坐标是。

41、点P(m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 .2、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为。

坐标系中的面积问题和规律问题

坐标系中的面积问题和规律问题
在数学领域中，坐标系常常被用来解决各种面积和规律问题。

从二维平面到三维空间，坐标系都能提供直观的解决方案。

二维平面中的面积问题
在二维平面中，我们经常会遇到计算各种形状的面积的问题。

通过坐标系可以轻松地解决这些问题。

矩形、三角形的面积计算
对于矩形和三角形这样的基本形状，我们可以利用坐标系中的直角坐标轴来计算它们的面积。

以矩形为例，如果我们知道矩形的对角坐标，可以通过计算两条边的长度相乘得到矩形的面积。

不规则形状的面积计算
对于不规则形状，我们可以通过将其分割为多个规则形状（如矩形、三角形）组合来计算整体的面积。

这个过程中，我们可以利用坐标系中的坐标点和线段来进行分割和计算。

规律问题
除了面积计算，坐标系还可以帮助我们解决各种规律问题。

图形的对称性
通过坐标系，我们可以轻松地判断一个图形是否具有对称性。

如果一个图形关于某个坐标轴或某个点对称，那么可以利用坐标系中的数值来验证这一规律。

图形的变换
利用坐标系，我们可以实现图形的平移、旋转、缩放等操作。

这些变换不仅可以帮助我们实现图形的规律性，还可以提供直观的方式展示这些规律。

结语
坐标系不仅是解决面积和规律问题的重要工具，更是数学研究和实践中不可或缺的基础知识。

通过理解和运用坐标系，我们可以更好地解决各种数学问题，发现其中的规律，并且应用于实际生活和工作中。

希望本文能够帮助读者更好地理解坐标系中的面积问题和规律问题。

2020年中考数学热点专题七坐标几何问题解析版

2020年中考数学热点专题七坐标几何问题解析版一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），或者建立坐标系，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，借助于坐标解决则能使原问题的本质得到充分的显示，从而使原问题顺利获解.在坐标系内从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――（1）构造基本图形；（2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法―――（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换和旋转变换.下面通过2019年全国各地中考的实例探讨其应用.考向1 平面直角坐标系内点的坐标特征1. （2019·常德）点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是（）A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(1，2) D．(2，－1)2.（2019·杭州）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B(3，n)关于y轴对称，则A．m=3，n=2 B．m=-3，n=2C．m=2，n=3 D．m=-2，n=33.（2019·滨州）在平面直角坐标系中，将点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（）A．（－1，1）B．（3，1）C．（4，－4）D．（4，0）4.（2019·泸州）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是．5.（2019·陇南）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点．6.（2019·临沂）在平面直角坐标系中，点P （4，2）关于直线x=1的对称点的坐标是．考向2点的坐标与距离（长度）的计算1.（2019 · 常州）平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__________．2.（2019·鄂州）在平面直角坐标系中，点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d =00√A 2+B 2，则点P （3，﹣3）到直线y =−23x +53的距离为．3. (2019·泰安)在平面直角坐标系中，直线l:y=x+1与y 轴交于点A 1，如图所示，依次作正方形OA 1B 1C 1，正方形C 1A 2B 2C 2，正方形C 2A 3B 3C 3，正方形C 3A 4B 4C 4，……，点A 1，A 2，A 3，A 4，……在直线上，点C 1，C 2，C 3，C 4，……在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是________.4. （2019·河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A 、B 、C 三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A 、B 两地. (1)A 、B 间的距离为 km ；(2)计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A 、C 的距离相等，则C 、D 间的距离为 km.考向3 坐标与几何图形的位置变换1.（2019·荆州）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，√3），以原点为中心，将点A 顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（） A ．（√3，1）B ．（√3，﹣1）C ．（2，1）D ．（0，2）2. （2019 · 北京）在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x=上，则12k k +的值为_______. 3. （2019·攀枝花）正方形A 1B 1C 1A 2，A 2B 2C 2A 3，A 3B 3C 3A 4，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点B 1，B 2，B 3，…分别在直线y=kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知A 1（0，1），点B 1（1，0），则C 5的坐标是 .考向4 坐标与几何图形1. （2019·镇江）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 点(2,0)E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于( )A ．103B C ．163D ．32.（2019·天水）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为（0，2√3），OC 与⊙D 交于点C ，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为．3．（2019·龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB ，BC 的长分别是一元二次方程x 2-7x+12=0的两个根（BC>AB ），OA=2OB ，边CD 交y 轴于点E ，动点P 以每秒1个单位长度的速度，从点E 出发沿折线段ED→DA 向点A 运动，运动时间为t （0≤t ＜6）秒，设△BOP 与矩形AOED 重叠部分的面积为S.（1）求点D 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.考向5 坐标与函数中的几何图形1. (2019山东泰安)已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数的图象交于点A ，与x 轴交于点B(5，0)，若OB=AB ，且S △OAB =. (1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标.备用图备用图my x1522. （2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）的图像上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD=2．（1）点A 是否在该反比例函数的图像上？请说明理由．（2）若该反比例函数图像与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．（3）平移正六边形ABCDEF ，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上，试描述平移过程．3.（2019·广州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P （﹣1，2），AB ⊥x 轴于点E ，正比例函数y=mx 的图象与反比例函数y =n−3x的图象相交于A ，P 两点．（1）求m ，n 的值与点A 的坐标；（2）求证：△CPD ∽△AEO ；（3）求sin ∠CDB 的值．4．（2019·山西）综合与探究如图，抛物线y=ax 2+bx+6经过点A （－2，0），B(4，0)两点，与y 轴交于点C ．点D是抛物线上一个动点，kx设点D的横坐标为m(1<m<4).连接AC，BC，DB，DC．(1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值;(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标;若不存在，请说明理由.2020年中考数学热点专题七坐标几何问题解析版一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），或者建立坐标系，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，借助于坐标解决则能使原问题的本质得到充分的显示，从而使原问题顺利获解.在坐标系内从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――（1）构造基本图形；（2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法―――（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换和旋转变换.下面通过2019年全国各地中考的实例探讨其应用.考向1 平面直角坐标系内点的坐标特征1. （2019·常德）点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是（）A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(1，2) D．(2，－1)【答案】B【解析】根据平面直角坐标系中的点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，故点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是(1，－2)，故选择B．2.（2019·杭州）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B(3，n)关于y轴对称，则A．m=3，n=2 B．m=-3，n=2C．m=2，n=3 D．m=-2，n=3【答案】B【解析】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同，故选B．3.（2019·滨州）在平面直角坐标系中，将点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（）A．（－1，1）B．（3，1）C．（4，－4）D．（4，0）【答案】A【解析】点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到（1－2，－2+3），即B （－1，1）．故选A．4.（2019·泸州）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是．【答案】4【解析】∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，∴a=3，b=1，∴a+b的值是4．故答案为：4．5.（2019·陇南）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点．【答案】（-1，1）．【解析】由题意可以得到如下平面直角坐标系，则“兵”位于点（-1，1），故答案为：（-1，1）6.（2019·临沂）在平面直角坐标系中，点P （4，2）关于直线x=1的对称点的坐标是．【答案】（﹣2，2）．【解析】∵点P （4，2），∴点P 到直线x=1的距离为4﹣1=3， ∴点P 关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为3， ∴点P′的横坐标为1﹣3=﹣2，∴对称点P′的坐标为（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．考向2点的坐标与距离（长度）的计算1.（2019 · 常州）平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__________．【答案】5【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P(－3，4)，因此本题答案为5．2.（2019·鄂州）在平面直角坐标系中，点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d =00√A 2+B 2，则点P （3，﹣3）到直线y =−23x +53的距离为．【答案】813√13．【解析】∵y =−23x +53，∴2x+3y ﹣5=0， ∴点P （3，﹣3）到直线y =−23x +53的距离为：√22+32=813√13，故答案为：813√13．3. (2019·泰安)在平面直角坐标系中，直线l:y=x+1与y 轴交于点A 1，如图所示，依次作正方形OA 1B 1C 1，正方形C 1A 2B 2C 2，正方形C 2A 3B 3C 3，正方形C 3A 4B 4C 4，……，点A 1，A 2，A 3，A 4，……在直线上，点C 1，C 2，C 3，C 4，……在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是________.【答案】2【解析】∵点A 1是y=x+1与y 轴的交点，∴A 1(0，1)，∵OA 1B 1C 1是正方形，∴C 1(1，0)，A 1C 1A2(1，2)，C 1A 2=2，A 2C 2，∴A 3C 2=4，A 3C 3A n C n =2n －n 个正方形对角线长的和为n－n －1(1+1+2+4+…+2n －1－n －1)=2n4. （2019·河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A 、B 、C 三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A 、B 两地. (1)A 、B 间的距离为 km ；(2)计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A 、C 的距离相等，则C 、D 间的距离为 km.【答案】（1）20；（2）34433【解析】（1）20812)8(12=+=--=AB ；（2）如图所示，设AD=CD=x ，则OD=17-x ，OA=12，∵∠AOD=90°，∴22212)17(x x =+-，解得x=34433. 考向3 坐标与几何图形的位置变换1.（2019·荆州）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，√3），以原点为中心，将点A 顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（） A ．（√3，1）B ．（√3，﹣1）C ．（2，1）D ．（0，2）【答案】A【解析】如图，作AE ⊥x 轴于E ，A′F ⊥x 轴于F ．∵∠AEO=∠OFA′=90°，∠AOE=∠AOA′=∠A′OF =30°，∴∠AOE=∠A′.∵OA=OA′，∴△AOE ≌△OA′F （AAS ），∴OF=AE =√3，A′F =OE=1，∴A′（√3，1）．故选A ． 2. （2019 · 北京）在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x=上，则12k k +的值为_______. 【答案】0【解析】∵A 、B 两点关于x 轴对称，∴B 点的坐标为(),a b -.又∵A ()a b ，、B (),a b -两点分别在又曲线1k y x =和2ky x=上；∴12,ab k ab k =-=.∴120k k +=；故填0. 3. （2019·攀枝花）正方形A 1B 1C 1A 2，A 2B 2C 2A 3，A 3B 3C 3A 4，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点B 1，B 2，B 3，…分别在直线y=kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知A 1（0，1），点B 1（1，0），则C 5的坐标是 .【答案】（47，16）【解析】如图，C 1（2，1），C 2（5，2），C 3（11，4），C 4（23，8），…∵C 1的横坐标：2=21，纵坐标：1=20，C 2的横坐标：5=22＋20，纵坐标：2=21，C 3的横坐标：11=23＋21＋20，纵坐标：4=22，C 4的横坐标：23=24＋22＋21＋20，纵坐标：8=23， …依此类推，C 5的横坐标：25＋23＋22＋21＋20=47，纵坐标：16=24， ∴C 5（47，16）. 考向4 坐标与几何图形1. （2019·镇江）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 点(2,0)E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于( )A ．103B C ．163D ．3【答案】A【解析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF ．(2,0)E -Q，(0,6)F ，2OE ∴=，6OF =，EF ∴= 90FGE ∠=︒Q ，FG EF ∴…，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设2BC a =．PA PB =Q ，BE EC a ==，//PE AC ∴，BJ JH =，Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BH DH ==BJ =PE BD ∴⊥，90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒Q ，EBJ FEO ∴∠=∠，BJE EOF ∴∆∆∽，∴BE BJEF EO=，∴62=，53a ∴=，1023BC a ∴==，故选A ． 2.（2019·天水）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为（0，2√3），OC 与⊙D 交于点C ，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为．【答案】2π﹣2√3【解析】连接AB ，∵∠AOB=90°，∴AB 是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，∵OB=2√3，∴OA=OBtan ∠ABO=OBtan30°=2√3×√33=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2， ∴S 阴影=S 半圆﹣S △ABO =π×222−12×2×2√3=2π﹣2√3．故答案为：2π﹣2√3． 3．（2019·龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB ，BC 的长分别是一元二次方程x 2-7x+12=0的两个根（BC>AB ），OA=2OB ，边CD 交y 轴于点E ，动点P 以每秒1个单位长度的速度，从点E 出发沿折线段ED→DA 向点A 运动，运动时间为t （0≤t ＜6）秒，设△BOP 与矩形AOED 重叠部分的面积为S.（1）求点D 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵x 2-7x+12=0，∴x 1=3，x 2=4，∵BC ＞AB ，∴BC=4，AB=3，∵OA=2OB ，∴OA=2，OB=1， ∵矩形ABCD ，∴点D 的坐标为（-2，4）.（2）设EP 交y 轴于点F ，当0≤t≤2时，如图1，PE=x ，备用图备用图∵CD ∥AB ，∴△OBF ∽△EPF ，∴OF OB EF EP =，∴14OF OF t =-，∴OF=41t +，∴S=12OF·PE=1421t t +g g =21tt +，当2＜t≤6时，如图2，AP=6-t ，∵OE ∥AD ，∴△OBF ∽△ABP ，∴OF OB AP AB =，∴163OF t =-，∴OF=63t -，∴S=12OF·OA=16223t-⨯⨯=123t -+，综上所述，2(02)112(26)3tt t S t t ⎧⎪⎪+=⎨⎪-+⎪⎩≤≤＜＜.（3）存在，P 1(-2，118); P 2(-2，); P 3(-2，理由如下： ①如图3，作BE 的中垂线，交AD 于点P 1，连接P 1B ，P 1E ，设点P 1的坐标为（-2，m ），在Rt △ABP 1中，由勾股定理得AB 2+AP 12=P 1B 2，即32+m 2=P 1B 2，在Rt △EDP 1中，由勾股定理得ED 2+DP 12=P 1E 2，即22+(4-m)2=P 1E 2， ∵P 1B=P 1E ，∴32+m 2=22+(4-m)2，解得m=118，∴P 1(-2，118);②如图4，当BE=BP 2时，在Rt △BCE 中，由勾股定理得BP 2在Rt △ABP 2中，由勾股定理得AP 2，∴P 2(-2，③如图5，当EB=EP 3时，在Rt △DEP 3中，由勾股定理得DP 3∴AP 3∴P 3(-2，综上，点P 的坐标为P 1(-2，118)或P 2(-2，)或P 3(-2，考向5 坐标与函数中的几何图形1. (2019山东泰安)已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数的图象交于点A ，与x 轴交于点B(5，0)，若OB=AB ，且S △OAB =. (1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标.my x=152解：(1)过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，则S △OAB ==.∵B(5，0)，∴OB=5，即=，AM=3.∵OB=AB ，∴AB=5，在Rt △ABM 中，， ∴OM=OB+BM=9，∴A(9，3). ∵点A 在反比例函数图象上， ∴，m=27，反比例函数的表达式为:. 设一次函数表达式为y=kx+b ，∵点A(9，3)，B(5，0)在直线上，∴3=9k+b ，0=5k+b ，解之，得k=，b=，∴一次函数的表达式为:y=x .(2)设点P(x ，0)，∵A(9，3)，B(5，0)，∴AB 2=(9－5)2+32=25，AP 2=(9－x)2+32=x 2－18x+90，BP 2=(5－x)2=x 2－10x+25，根据等腰三角形的两边相等，分类讨论:①令AB 2=AP 2，得25=x 2－18x+90，解之，得:x 1=5，x 2=13，当x=5时，点P 与点B 重合，故舍去，P 1(13，0);②令AB 2=BP 2，得25=x 2－10x+25，解之，得:x 3=0，x 4=10，当x=0时，点P 与原点重合，故P 2(0，0)，P 3(10，0);③令AP 2=BP 2，得x 2－18x+90=x 2－10x+25，解之，得:x=，∴P 4(，0); 综上所述，使△ABP 是等腰三角形的点P 的坐标为:P 1(13，0)，P 2(0，0)，P 3(10，0)，P 4(，0). 12OB AM ⋅152152AM ⨯⋅152my x=39m =27y x=34154-34154-6586586582. （2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）的图像上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD=2．（1）点A 是否在该反比例函数的图像上？请说明理由．（2）若该反比例函数图像与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．（3）平移正六边形ABCDEF ，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上，试描述平移过程．【解题过程】（1）连结PC ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，∵在正六边形ABCDEF 中，点B 在y 轴上， ∴△OBD 和△PCH 都含有30°角的直角三角形，BC=PC=CD=2． ∴OC=CH=1，P 的坐标为（2∴反比例函数的表达式为x ＞0）．连结AC，过点B 作BG ⊥AC于点G ， ∵∠ABC=120°，AB=BC=2，∴BG=1，∴点A 的坐标为（1，x=1时，A 该反比例函数的图像上．kx（2）过点Q 作QM ⊥x 轴于点M ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠EDM=60°．设DM=b ，则．∴点Q 的坐标为（b ＋3（b ＋3）解得b 1b 2∴b ＋Q（3）连结AP ．∵AP=BC=EF，AP ∥BC ∥EF ，∴平移过程：将正六边形ABCDEF 先向右平移1ABCDEF 向左平移2个单位．3.（2019·广州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P （﹣1，2），AB ⊥x 轴于点E ，正比例函数y=mx 的图象与反比例函数y =n−3x的图象相交于A ，P 两点．（1）求m ，n 的值与点A 的坐标；（2）求证：△CPD ∽△AEO ；（3）求sin ∠CDB 的值．【解题过程】解：将点P （﹣1，2）代入y=mx ，得：2=﹣m ，解得：m=﹣2，∴正比例函数解析式为y=﹣2x ；将点P （﹣1，2）代入y =n−3x，得：2=﹣（n ﹣3），解得：n=1，∴反比例函数解析式为y =−2x ．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：{y =−2xy =−2x，解得：{x 1=−1y 1=2，{x 2=1y 2=−2，∴点A 的坐标为（1，﹣2）．（2）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ， ∴∠DCP=∠BAP ，即∠DCP=∠OAE ．∵AB ⊥x 轴，∴∠AEO=∠CPD=90°，∴△CPD ∽△AEO ．（3）解：∵点A 的坐标为（1，﹣2）， ∴AE=2，OE=1，AO =√AE 2+OE 2=√5．∵△CPD ∽△AEO ，∴∠CDP=∠AOE ， ∴sin ∠CDB=sin ∠AOE =AE AO=√5=2√55． 4．（2019·山西）综合与探究如图，抛物线y=ax 2+bx+6经过点A （－2，0），B(4，0)两点，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m(1<m<4).连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值; (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.【解题过程】(1)∵抛物线y=ax 2+bx+6经过点A （－2，0），B(4，0)两点，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解之，得:3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为:233642y x x =-++; (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为点F ，∵点A 的坐标为(－2，0)，∴OA=2，由x=0，得y=6，∴点C 的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S △AOC =12OA·OC=6，∴S △BCD =34S △AOC =92.设直线BC 的函数表达式为y=kx+n ，由B ，C 两点的坐标得:406k n n +=⎧⎨=⎩，解之，得:326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为:y=－32x+6.∴点G 的坐标为(m ，－32m+6)，∴DG=233642m m -++－(－32m+6)=2334m m -+.∵点B 的坐标为(4，0)，∴OB=4，∴S △BCD =S △CDG +S △BDG =2364m m -+.∴2364m m -+=92，解之，得m 1=3，m 2=1，∴m 的值为3.(3)存在点M，其坐标为:M1(8，0)，M2(0，0)，M30)，M4(0).。

中考数学专题(7)坐标系中的几何问题

中考数学专题7 坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。

但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。

所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。

此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。

作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。

此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。

第一部分真题精讲【例1】已知：如图1，等边ABC ∆的边长为x轴上且()10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点B C 、的坐标；（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；（3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．图2图1【思路分析】很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。

在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。

第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。

第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。

由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。

利用坐标系解决平面几何问题

利用坐标系解决平面几何问题在平面几何中，我们经常需要解决一些与坐标有关的问题。

利用坐标系可以将几何问题转化为代数问题，从而更容易进行分析和求解。

本文将介绍如何利用坐标系解决平面几何问题，并通过实例说明其应用。

1. 坐标系的建立在解决平面几何问题时，我们通常会建立一个二维坐标系。

坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y轴。

通过在这个坐标系上标记点的坐标，我们可以用数字来表示几何图形的位置和性质。

2. 点的坐标表示在建立坐标系后，我们可以用坐标表示平面上的点。

通常，我们用一个有序数对(x, y)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

例如，点A的坐标为(2, 3)，表示它在x轴上的位置为2，在y轴上的位置为3。

3. 直线的方程在坐标系中，直线可以用方程表示。

一条直线的方程通常有两种形式：斜截式和一般式。

斜截式方程的形式为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

4. 直线的性质利用坐标系，我们可以轻松地分析直线的性质。

例如，两条直线的交点可以通过求解它们的方程得到。

如果两条直线的方程相等，那么它们是重合的；如果两条直线的斜率相等，但截距不同，那么它们是平行的。

5. 线段的长度在坐标系中，我们可以通过计算两个点的距离来求解线段的长度。

根据勾股定理，如果两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。

6. 面积的计算利用坐标系，我们可以计算平面上一些几何图形的面积。

例如，一个三角形的面积可以通过计算它的底边长度和高的乘积的一半来求解。

如果三角形的三个顶点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)和(x3, y3)，那么它的面积可以通过以下公式计算：S = 0.5 * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|。

初中数学解题技巧解决平面坐标系中的几何问题

初中数学解题技巧解决平面坐标系中的几何问题平面几何作为初中数学的重要内容之一，常常涉及到平面坐标系的运用和几何问题的解决。

在学习过程中，我们可以运用一些解题技巧来更好地应对这些问题。

本文将介绍一些初中数学解题技巧，帮助同学们解决平面坐标系中的几何问题。

一、了解平面坐标系基础知识在解决平面坐标系中的几何问题之前，我们首先需要了解平面坐标系的基础知识。

平面坐标系由x轴和y轴组成，原点为(0, 0)。

我们可以通过平面直角坐标系来表示点的位置，并求解两点之间的距离、直线方程等问题。

熟练掌握平面坐标系的基础知识，是解决几何问题的基础。

二、利用对称性简化问题在解决平面坐标系中的几何问题时，我们可以利用对称性来简化问题。

例如，如果题目中给出的图形具有对称轴，我们可以利用对称性来缩小解题范围。

通过找出对称轴，我们可以发现一些对称点之间的特殊关系，从而简化问题的分析过程。

三、确定图形属性，转化为坐标运算在解决平面坐标系中的几何问题时，我们需要确定图形的属性，并将其转化为坐标运算进行求解。

例如，如果题目中给出了一个三角形，我们可以通过求解三个顶点的坐标，进而求解三角形的边长、周长和面积等问题。

通过将几何问题转化为坐标运算，可以帮助我们更清晰地理解问题，并得出准确的解答。

四、利用平移和旋转简化问题平移和旋转是解决平面坐标系中的几何问题时常用的技巧。

平移可以将图形的位置进行调整，从而使问题的求解更加便利。

旋转可以改变图形的朝向，帮助我们研究图形的性质。

通过灵活运用平移和旋转，我们可以简化问题的分析过程，达到事半功倍的效果。

五、利用代数方程求解在解决平面坐标系中的几何问题时，我们可以运用代数方程的方法进行求解。

通过设定变量和建立方程组，我们可以通过求解方程组来获得几何问题的解答。

例如，如果题目中给出了一个圆与直线的交点问题，我们可以建立圆的方程和直线的方程，并通过求解方程组来求解交点的坐标。

代数方程法是一种常用的解决平面坐标系几何问题的方法，同学们可以尝试掌握。

坐标系与平面几何的应用练习题及解析

坐标系与平面几何的应用练习题及解析作为一个数学家，对于坐标系与平面几何的应用练习题及解析，我有着浓厚的兴趣。

在本文中，我将为大家提供一些有关坐标系与平面几何的应用练习题，并给出详细的解析。

1. 题目：在直角坐标系中，给出两点A(3, 4)和B(7, -2)，求线段AB的长度。

解析：首先，我们可以利用两点间的距离公式来计算线段AB的长度。

该公式为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，(x1, y1)表示A点的坐标，(x2, y2)表示B点的坐标。

代入题目中的数据，我们可以得到：d = sqrt((7 - 3)^2 + (-2 - 4)^2)= sqrt(4^2 + (-6)^2)= sqrt(16 + 36)= sqrt(52)= 2sqrt(13)因此，线段AB的长度为2sqrt(13)。

2. 题目：在直角坐标系中，给出一个直线的斜率为2，经过点(1, 3)，求直线的方程。

解析：直线的一般方程为y = mx + c，其中m表示斜率，c表示截距。

由题目可知，斜率m = 2，且经过点(1, 3)。

我们可以将这些信息代入一般方程，得到：3 = 2(1) + cc = 3 - 2c = 1因此，直线的方程为y = 2x + 1。

3. 题目：在直角坐标系中，给出一个圆的圆心为点(2, -1)，半径为5，求圆的方程。

解析：圆的一般方程为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

由题目可知，圆心坐标为(2, -1)，半径为5。

将这些信息代入一般方程，得到：(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 5^2(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25因此，圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25。

4. 题目：在直角坐标系中，给出一个矩形的对角线的端点为A(2, -1)和B(6, 3)，求矩形的面积和周长。

坐标系与平面几何练习题及解析

坐标系与平面几何练习题及解析1. 题目：在直角坐标系中，已知点A(4, 2)和点B(1, -3)，求线段AB 的长度和斜率。

解析：根据两点之间的距离公式，可以求得线段AB的长度为：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)= √((1 - 4)^2 + (-3 - 2)^2)= √((-3)^2 + (-5)^2)= √(9 + 25)= √34斜率可以通过斜率公式求得：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)= (-3 - 2) / (1 - 4)= -5 / (-3)= 5/3所以，线段AB的长度为√34，斜率为5/3。

2. 题目：已知点C(3, -1)和点D(x, 4)在坐标系中位于直线y = 2x - 5的同一侧，求x的取值范围。

解析：直线y = 2x - 5的斜率为2，所以该直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值都为2。

根据题意，点D(x, 4)处于直线y = 2x - 5的同一侧，即点D也满足上述比值关系。

则有：(4 - (-1)) / (x - 3) = 2(5) / (x - 3) = 25 = 2(x - 3)5 = 2x - 62x = 11x = 11/2所以，当x > 11/2时，点C(3, -1)和点D(x, 4)在直线y = 2x - 5的同一侧。

3. 题目：已知直线L1过点E(1, 3)且垂直于直线L2: y = 2x - 4，求直线L1的方程。

解析：直线L1垂直于直线L2，说明L1的斜率为L2斜率的倒数的相反数。

直线L2的斜率为2，所以直线L1的斜率为-1/2。

已知直线L1过点E(1, 3)，可以利用点斜式得到直线L1的方程：y - y1 = m(x - x1)y - 3 = -1/2(x - 1)y - 3 = -1/2x + 1/2y = -1/2x + 1/2 + 3y = -1/2x + 7/2所以，直线L1的方程为y = -1/2x + 7/2。

建坐标系解立体几何(含解析)

立体几何——建坐标系1. 如图, 四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形. AB=BC=2,CD=SD=1.( Ⅰ) 证明:SD⊥平面SAB;( Ⅱ) 求AB与平面SBC所成的角的大小.2. 如图, 在四面体ABOC中, OC⊥OA, OC⊥OB, ∠AOB=12°0, 且OA=OB=OC=1.( Ⅰ) 设P为AC的中点, Q 在AB上且AB=3AQ.证明:PQ⊥OA;( Ⅱ) 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.3. 如图, 在正三棱柱ABC-A1B1C1 中, AB=4,AA1= 7 , 点D是BC的中点, 点E在AC上, 且DE⊥A1E.( Ⅰ) 证明: 平面A1DE⊥平面ACC1A1;( Ⅱ) 求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值.4.如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=1, AC=AA1= 3, ∠ABC=60°.( Ⅰ) 证明:AB⊥A1C;( Ⅱ) 求二面角A-A1C-B 的大小.5.四棱锥A-BCDE中, 底面BCDE为矩形, 侧面ABC⊥底面BCDE, BC=2, CD= 2 , AB=AC.( Ⅰ) 证明:AD⊥CE;( Ⅱ) 设侧面ABC为等边三角形, 求二面角C-AD-E的大小.6.如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2, D 为CC1 中点.( Ⅰ) 求证:AB1⊥平面A1BD;( Ⅱ) 求二面角A-A1D-B 的大小.7.如图, 在三棱锥V-ABC中, VC⊥底面ABC, AC⊥BC, D是AB的中点, 且AC=BC a= ,∠VDC=θ（0 ）.2( Ⅰ) 求证: 平面VAB⊥平面VCD;( Ⅱ) 试确定θ的值, 使得直线BC与平面VAB所成的角为.68.如图, △BCD与△MCD都是边长为 2 的正三角形, 平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD, AB=2 .( Ⅰ) 求直线AM与平面BCD所成角的大小;( Ⅱ) 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.9.如图, 在四棱锥P-ABCD中, PD ⊥平面ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, A∥B DC, ∠BCD=9°0 .( Ⅰ) 求证:PC⊥BC;( Ⅱ) 求点A到平面PBC的距离.10.如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1 中, AC=BC, AA1=AB, D为BB1 的中点, E 为AB1上的一点, AE=3EB1.( Ⅰ) 证明:DE 为异面直线AB1 与CD的公垂线;( Ⅱ) 设异面直线AB1 与CD的夹角为45°, 求二面角A1-AC1-B1 的大小.11.如图, 四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为矩形, SD⊥底面ABCD,AD= 2 , DC=SD=2. 点M在侧棱SC上, ∠ABM=6°0 .( Ⅰ) 证明:M 是侧棱SC的中点;( Ⅱ) 求二面角S-AM-B的大小.12.如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1 中, AB ⊥AC, D、E分别为AA1、B1C的中点, DE⊥平面BCC1.( Ⅰ) 证明:AB=AC;( Ⅱ) 设二面角A-BD-C为60°, 求B1C与平面BCD所成的角的大小.13.如图, 四棱锥P-ABCD的底面是正方形, PD ⊥底面ABCD点, E在棱PB上.( Ⅰ) 求证: 平面AEC⊥平面PDB;( Ⅱ) 当PD= 2AB且E为PB的中点时, 求AE与平面PDB所成的角的大小.14.如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形, PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2. 以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.( Ⅰ) 求证: 平面ABM⊥平面PCD;( Ⅱ) 求直线PC与平面ABM所成的角;( Ⅲ) 求点O到平面ABM的距离.15.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形, SD ⊥平面ABCD, SD=2a, AD= 2a , 点E是SD上的点, 且DE= a (0<λ≤2).( Ⅰ) 求证:对任意的λ∈(0, 2], 都有AC⊥BE;( Ⅱ) 设二面角C-AE-D的大小为, 直线B E与平面ABCD所成的角为. 若tan tan 1, 求λ的值.16.如图,在五面体ABCDEF中, AB ∥DC, ∠BAD=2 , CD=AD=2. 四边形ABFE为平行四边形, FA ⊥平面ABCD, FC=3, ED= 7. 求:( Ⅰ) 直线A B到平面EFCD的距离;( Ⅱ) 二面角F-AD-E的平面角的正切值.D P1 . 17. 如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 的对角线B D1上, 记D B1 当∠APC为钝角时,求的取值范围.WORD文档答案与解析17.解法一:( Ⅰ)取AB中点E, 连结DE, 则四边形BCDE为矩形, DE=CB=2. 连结SE, 则SE⊥AB, SE= . 又SD=1, 故ED2=SE2+SD2 , 所以∠DSE为直角. (3 分 )由AB⊥DE, AB⊥SE, DE∩SE=E, 得AB⊥平面SDE, 所以AB⊥SD, SD与两条相交直线AB、SE都垂直,所以SD⊥平面SAB. (6 分)( Ⅱ) 由AB⊥平面SDE知, 平面ABCD⊥平面SDE. 作SF⊥DE, 垂足为F, 则SF⊥平面ABCD,SF== . 作FG⊥BC, 垂足为G, 则FG=DC=1. 连结SG, 则SG⊥BC. 又BC⊥FG, SG∩FG=G, 故BC⊥平面SFG, 平面SBC⊥平面SFG. (9 分) 作FH⊥SG, H 为垂足, 则FH⊥平面SBC. FH= = , 即F 到平面SBC的距离为. 由于ED∥BC, 所以ED∥平面SBC, E 到平面SBC的距离 d 也为.设AB与平面SBC所成的角为α, 则sin α= = , α=arcsin . (12 分 )解法二: 以C为坐标原点, 射线CD为x 轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设D(1, 0, 0), 则A(2, 2, 0) 、B(0, 2, 0).又设S(x, y, z), 则x>0, y>0, z>0.( Ⅰ) =(x-2, y-2, z), =(x, y-2, z), =(x-1, y, z),由| |=| | 得= , 故x=1. 由| |=1 得y2+z2=4,2 +z2=1, 又由| |=2 得x2 +(y-2)2 +z2=1, 又由| |=2 得x2 +(y-2)即y2+z2-4y+1=0, 故y= , z= . (3 分)于是S , = , = =·=0, ·=0. 故DS⊥AS, DS⊥BS, 又AS∩BS=S, 所以SD⊥平面SAB. (6 分 )第8 页共8 页则a⊥, a ⊥, a ·=0, a ·=0. 又= =(0, 2, 0), 故(9 分)取p=2 得a=(- , 0, 2). 又=(-2, 0, 0), cos< , a>= = . 故AB与平面SBC所成的角为arcsin . (12 分)18.解法一:( Ⅰ)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N, 连结CN. 在△AOB中, ∵∠AOB=120°且OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA=30°. 在Rt△AON中, ∵∠OAN=30°, ∴ON= AN. 在△ONB中, ∵∠NOB=120°-90 °=30°=∠OBN, ∴NB=ON=AN. 又AB=3AQ, ∴Q为AN的中点. 在△CAN中, ∵P,Q分别为AC, AN 的中点, ∴PQ∥CN. 由OA⊥OC, OA⊥ON知:OA⊥平面CON. 又N C?平面CON, ∴OA ⊥CN. 由PQ∥CN, 知OA⊥PQ.( Ⅱ) 连结PN, PO.由OC⊥OA, OC⊥OB知:OC⊥平面OAB. 又O N?平面OAB, ∴OC⊥ON. 又由ON⊥OA知:ON⊥平面AOC. ∴OP是NP在平面AOC内的射影. 在等腰Rt△COA中, P 为AC的中点, ∴AC⊥OP. 根据三垂线定理,知:AC⊥NP. ∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角. 在等腰Rt△COA中, OC=OA=1, ∴OP= . 在Rt△AON中, ON=OAtan 30 °= , ∴在Rt△PON中, PN= = , ∴cos∠OPN= = = .解法二:( Ⅰ) 取O为坐标原点, 以OA, OC 所在的直线为x 轴, z 轴, 建立空间直角坐标系O-xyz( 如图所示).则A(1, 0, 0), C(0, 0, 1), B . ∵P 为AC的中点, ∴P . ∵= , 又由已知, 可得= = . 又= + = . ∴= - = , ∴·= ·(1, 0, 0)=0. 故⊥.( Ⅱ) 记平面ABC的法向量n=(n 1, n 2, n 3), 则由n⊥, n ⊥, 且=(1, 0, -1),得故可取n=(1, , 1). 又平面OAC的法向量为e=(0, 1, 0). ∴cos<n,e>= = . 二面角O-AC-B的平面角是锐角, 记为θ, 则cos θ= .19.( Ⅰ)如图所示, 由正三棱柱ABC-A1B1C1 的性质知AA1⊥平面ABC.又DE? 平面ABC, 所以DE⊥AA1. 而DE⊥A1E, AA 1∩A1E=A1, 所以DE⊥平面ACC1A1.又DE? 平面A1DE, 故平面A1DE⊥平面ACC1A1. ( Ⅱ)解法一: 过点 A 作AF 垂直A1E于点F, 连结DF. 由( Ⅰ) 知, 平面A1DE⊥平面ACC1A1, 所以AF⊥平面A1DE. 故∠ADF是直线AD和平面A1DE所成的角.因为DE⊥平面ACC1A1, 所以DE⊥AC. 而△ABC是边长为 4 的正三角形, 于是AD=2 , AE=4-CE=4- CD=3. 又因为AA1= , 所以A1E= = =4, AF= = ,sin ∠ADF= = . 即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为.解法二: 如图所示, 设O是AC的中点, 以O为原点建立空间直角坐标系, 则相关各点的坐标分别是A(2, 0, 0), A 1(2, 0, ),D(-1, , 0), E(-1, 0, 0).易知=(-3, , - ), =(0, - , 0), =(-3, , 0). 设n=(x, y, z) 是平面A1DE的一个法向量, 则解得x=- z, y=0. 故可取n=( , 0, -3).于是cos<n, >= = =- .由此即知, 直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为.4. 解法一:( Ⅰ) 证明: ∵三棱柱ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴AB⊥AA1. 在△ABC中, AB=1, AC= , ∠ABC=60°, 由正弦定理得∠ACB=30°, ∴∠BAC=90°, 即AB⊥AC.∴AB⊥平面ACC1A1, 又A1C? 平面ACC1A1, ∴AB⊥A1C. ( Ⅱ) 如图, 作AD⊥A1C交A1C 于D点, 连结BD, 由三垂线定理知BD⊥A1C, ∴∠ADB为二面角A-A1C-B 的平面角. 在Rt△AA1C中, AD= = = ,在Rt△BAD中, tan ∠ADB= = , ∴∠ADB=arctan , 即二面角A-A1C-B 的大小为arctan .解法二:( Ⅰ) 证明: ∵三棱柱ABC-A1B1C1 为直三棱柱,∴AA1⊥AB, AA1⊥AC. 在△ABC中, AB=1, AC= , ∠ABC=60°. 由正弦定理得∠ACB=30°, ∴∠BAC=90°, 即AB⊥AC. 如图, 建立空间直角坐标系, 则A(0, 0, 0), B(1, 0, 0),C(0, , 0), A 1(0, 0, ), ∴=(1, 0, 0), =(0, , - ). ∵·=1×0+0×+0×(- )=0, ∴AB⊥A1C.( Ⅱ) 如图, 可取m= =(1, 0, 0) 为平面AA1C的法向量,设平面A1BC的法向量为n=(l, m, n),则·n=0, ·n=0, 又=(-1, , 0), ∴∴l= m, n=m. 不妨取m=1,则n=( , 1, 1).cos<m, n>= = = ,∴二面角A-A1C-B 的大小为arccos .20.解法一:( Ⅰ) 作AO⊥BC, 垂足为O,连结OD, 由题设知, AO ⊥底面BCDE, 且O为BC中点. 由== 知, Rt △OCD∽Rt△CDE, 从而∠ODC=∠CED, 于是CE⊥OD. 由三垂线定理知, AD ⊥CE.( Ⅱ) 作CG⊥AD, 垂足为G,连结GE. 由( Ⅰ) 知, CE ⊥AD. 又CE∩CG=C, 故AD⊥平面CGE, AD⊥GE,所以∠CGE是二面角C-AD-E 的平面角. GE= = = , CE= ,cos ∠CGE= = =- . 所以二面角C-AD-E 为arccos .点, 解法二:( Ⅰ) 作AO⊥BC, 垂足为O. 由题设知AO⊥底面BCDE, 且O为BC的中点. 以O为坐标原射线OC为x 轴正向, 建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设A(0, 0, t). 由已知条件有C(1, 0, 0),D(1, , 0), E(-1, , 0), =(-2, , 0), =(1, , -t). 所以·=0, 知AD⊥CE. ( Ⅱ) △ABC为等边三角形,因此A(0, 0, ).结CE. 在Rt△ACD中,作CG⊥AD, 垂足为G,连求得|AG|= |AD|. 故G , = = , 又=(1, , - ), ·=0, ·=0. 所以与的夹角等于二面角C-AD-E的平面角. 由cos< >==- 知二面角C-AD-E 为arccos .21.解法一:( Ⅰ)取BC中点O, 连结AO. ∵△ABC为正三角形, ∴AO⊥BC. ∵正三棱柱ABC-A1 B1 C1中 , 平面ABC⊥平面BCC1B1, ∴AO⊥平面BCC1B1.连结B1O, 在正方形BB1C1C中, O、D分别为BC、CC1 的中点, ∴B1O⊥BD, ∴AB1⊥BD. 在正方形ABB1A1中, AB 1 ⊥A1B, ∴AB1⊥平面A1BD.( Ⅱ) 设AB1 与A1B交于点G, 在平面A1BD中, 作GF⊥A1D于F, 连结AF, 由( Ⅰ) 得AB1⊥平面A1BD, ∴AF⊥A1D. ∴∠AFG为二面角A-A1D-B 的平面角. 在△AA1D中, 由等面积法可求得AF= , 又∵AG=AB1= , ∴sin ∠AFG= = = , 所以二面角A-A1D-B 的大小为arcsin .解法二:( Ⅰ) 取BC中点O, 连结AO. ∵△ABC为正三角形, ∴AO⊥BC. ∵在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中 , 平面ABC⊥平面BCC1B1, ∴AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1中点O1, 以O为原点, 的方向为x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则B(1, 0, 0), D(-1, 1, 0), A1(0, 2, ), A(0, 0, ), B1(1,2, 0), ∴=(1, 2, - ), =(-2, 1, 0), =(-1, 2, ). ∵·=-2+2+0=0, ·=-1+4-3=0, ∴⊥⊥, ∴AB1⊥平面A1BD.( Ⅱ) 设平面A1AD的法向量为n=(x, y, z). =(-1, 1, - ), =(0, 2, 0).∵n⊥, n ⊥, ∴∴∴令z=1 得n=(- , 0, 1) 为平面A1AD的一个法向量. 由( Ⅰ) 知AB1⊥平面A1BD, ∴为平面A1BD的法向量. cos<n, >= ==- . ∴二面角A-A1D-B 的大小为arccos .22.解法一:( Ⅰ) ∵AC=BC=a, ∴△ACB是等腰三角形, 又D是AB的中点, ∴CD⊥AB, 又VC⊥底面ABC, ∴VC⊥AB, 于是AB⊥平面VCD, 又AB? 平面VAB, ∴平面VAB⊥平面VCD.( Ⅱ) 过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H, 则由( Ⅰ) 知CH⊥平面VAB. 连结BH, 于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角. 依题意∠CBH= , 所以在Rt△CHD中, CH= asin θ; 在Rt△BHC中,CH=asin = , ∴sin θ= , ∵0<θ< , ∴θ= . 故当θ= 时, 直线BC与平面VAB所成的角为.解法二:( Ⅰ) 以CA、CB、CV所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), D , V . 于是, == =(-a, a, 0). 从而·=(-a, a, 0) ·=- a2+ a2+0=0, 即AB⊥CD. 同理·=(-a, a, 0) ·=- a2+ a2+0=0, 即AB⊥VD.又CD∩VD=D, ∴AB⊥平面VCD, 又AB? 平面VAB, ∴平面VAB⊥平面VCD.( Ⅱ) 设平面VAB的一个法向量为n=(x, y, z),则由得可取n=(1, 1, cot θ), 又=(0, -a, 0), 于是sin = = = sin θ, 即sinθ= , ∵0< θ< , ∴θ= . 故当θ= 时, 直线BC与平面VAB所成的角为.解法三:( Ⅰ) 以点D为原点, 以DC、DB所在的直线分别为x 轴、y 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0, 0, 0),A ,B ,C ,V , 于是= ==(0, a,0), 从而·=(0 a,0) ·=0, 即AB⊥DC. 同理·=(0,a, 0) ·=0, 即AB⊥DV. 又DC∩DV=D, ∴AB⊥平面VCD.又AB? 平面VAB, ∴平面VAB⊥平面VCD.( Ⅱ) 设平面VAB的一个法向量为n=(x, y, z), 则由得取n=(tan θ, 0, 1), 又= , 于是sin = = = sin θ,即sin θ= . ∵0< θ< , ∴θ= . 故当θ= 时, 直线BC与平面VAB所成的角为.23.解法一:( Ⅰ) 取CD中点O, 连OB, OM, 则OB⊥CD, OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD, 则MO⊥平面BCD, 所以MO∥AB, A 、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E, 则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角. OB=MO= , MO∥AB,则= = , EO=OB= , 所以EB=2 =AB, 故∠AEB=45°.∴直线AM与平面BCD所成角的大小为45°.( Ⅱ)CE 是平面ACM与平面BCD的交线. 由(Ⅰ) 知, O 是BE的中点, 则BCED是菱形. 作BF⊥EC于F, 连AF, 则AF⊥EC, ∠AFB就是二面角A-EC-B 的平面角, 设为θ. 因为∠BCE=120°, 所以∠BCF=60°. BF=BC·sin 60 °= , tan θ= =2, sin θ= . 所以, 所求二面角的正弦值是.解法二: 取CD中点O, 连OB, OM, 则OB⊥CD, OM⊥CD, 又平面MCD⊥平面BCD, 则MO⊥平面BCD.以O为原点, 直线OC、BO、OM为x 轴、y 轴、z 轴, 建立空间直角坐标系如图. OB=OM= , 则各点坐标分别为O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), M(0, 0, ), B(0, - , 0), A(0, - , 2 ),( Ⅰ) 设直线AM与平面BCD所成的角为α. 因=(0, , - ), 平面BCD的法向量为n=(0, 0, 1). 则有sin α= cos< , n> = = = , 所以α=45°.∴直线AM与平面BCD所成角的大小为45°.( Ⅱ) =(-1, 0, ), =(-1, - , 2 ).设平面ACM的法向量为n1=(x, y, z), 由得解得x= z, y=z, 取n1=( , 1, 1). 平面BCD的法向量为n=(0, 0, 1). 则cos<n1, n>= = . 设所求二面角为θ, 则sinθ= = . 所以, 所求二面角的正弦值是.24.解法一:( Ⅰ)因为PD⊥平面ABCD, BC? 平面ABCD,所以PD⊥BC. 由∠BCD=90°, 得BC⊥DC. 又PD∩DC=D,PD? 平面PCD, DC? 平面PCD, 所以BC⊥平面PCD. 因为PC? 平面PCD, 所以PC⊥BC.( Ⅱ) 连结AC. 设点A到平面PBC的距离为h. 因为AB∥DC, ∠BCD=90°, 所以∠ABC=90°. 从而由AB=2, BC=1, 得△ABC的面积S△ABC=1. 由PD⊥平面ABCD及PD=1, 得三棱锥P-ABC的体积V= S△ABC·PD= . 因为PD⊥平面ABCD,DC? 平面ABCD, 所以PD⊥DC. 又PD=DC=1, 所以PC= = .由PC⊥BC, BC=1, 得△PBC的面积S△PBC= . 由V= S△PBC h= ··h= , 得h= . 因此, 点A 到平面PBC的距离为.解法二: 建立如图所示空间直角坐标系D-xyz, 则P(0, 0, 1), C(0, 1, 0), B(1, 1, 0).( Ⅰ) =(0, 1, -1), =(-1, 0, 0). ∵·=0×(-1)+1 ×0+(-1) ×0=0, ∴PC⊥BC.( Ⅱ) 设平面PBC的法向量n=(x, y, z), 则有即令y=1 得n=(0, 1, 1). 又因为A(1,-1, 0), =(0, 2, 0), 所以点A到平面PBC的距离d= = = .解法三:( Ⅱ) 取AB中点E, 连DE, 则DE∥BC, DE∥面PBC, 则A点到面PBC的距离等于E点到面PBC 距离的 2 倍, 即等于点到面PBC距离的 2 倍. 过D作DH⊥PC, 则DH⊥面PBC. 在Rt△PCD中, DH= , ∴A 到面PBC的距离为.25.解法一:( Ⅰ) 连结A1B, 记A1B与AB1的交点为 F.因为面AA1B1B 为正方形, 故A1B⊥AB1, 且AF=FB1. 又AE=3EB1, 所以FE=EB1. 又D为BB1 的中点, 故DE∥BF, DE ⊥AB1. 作CG⊥AB, G 为垂足, 由AC=BC知, G 为AB中点.又由底面ABC⊥面AA1B1B, 得CG⊥面AA1B1B. 连结DG, 则DG∥AB1, 故DE⊥DG, 由三垂线定理, 得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1 与CD的公垂线.( Ⅱ) 因为DG∥AB1, 故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角, ∠CDG=4°5. 设AB=2, 则AB1=2 , DG= , CG= , AC= . 作B1H⊥A1C1, H 为垂足. 因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C, 故B1H⊥面AA1 C1C, 又作HK⊥AC1, K 为垂足, 连结B1K, 由三垂线定理, 得B1K⊥AC1, 因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1 的平面角.B1H= = , HC 1= = , AC 1= = , HK= = ,tan ∠B1 KH= = , 所以二面角A1-AC1-B1 的大小为arctan .解法二:( Ⅰ) 以B 为坐标原点, 射线BA为x 轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设AB=2, 则A(2, 0, 0), B 1(0, 2, 0), D(0, 1, 0), E ,又设C(1, 0, c), 则= =(2, -2, 0), =(1, -1, c). 于是·=0, ·=0,故DE⊥B1A, DE ⊥DC, 所以DE为异面直线AB1 与CD的公垂线.( Ⅱ) 因为< >等于异面直线AB1 与CD的夹角,故·=| | ·| |cos 45°, 即2 ××=4, 解得c= , 故=(-1, 0, ). 又= =(0, 2, 0), 所以= + =(-1, 2, ). 设平面AA1C1 的法向量为m=(x, y, z), 则m·=0, m ·=0, 即-x+2y+ z=0 且2y=0. 令x= , 则z=1, y=0, 故m=( , 0, 1). 设平面AB1C1的法向量为n=(p, q, r), 则n·=0, n·=0, 即-p+2q+ r=0, 2p-2q=0. 令p= , 则q= ,r=-1, 故n=( , -1).所以cos<m, n>= = . 由于<m, n>等于二面角A1-AC1-B1 的平面角, 所以二面角A1-AC1-B 1 的大小为arccos .26.(2009 全国Ⅰ, 19, 12 分) 如图, 四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为矩形, SD⊥底面ABCD, AD= , DC=SD=2. 点M在侧棱SC上, ∠ABM=60°.11. 解法一:( Ⅰ) 作ME∥CD交SD于点E, 则ME∥AB, ME⊥平面SAD.连结AE, 则四边形ABME为直角梯形.作MF⊥AB, 垂足为F, 则AFME为矩形. 设ME=x, 则SE=x,AE= =, MF=AE= , FB=2-x. 由MF=FB·tan 60°, 得= (2-x), 解得x=1. 即ME=1, 从而ME= DC, 所以M为侧棱SC的中点.( Ⅱ)MB= =2, 又∠ABM=60°, AB=2, 所以△ABM为等边三角形.又由( Ⅰ) 知M为SC中点, SM= , SA= , AM=2, 故SA2=SM2+AM2, ∠SMA=90°. 取AM中点G, 连结BG, 取SA中点H, 连结GH, 则BG⊥AM, GH⊥AM, 由此知∠BGH为二面角S-AM-B的平面角. 连结BH. 在△BGH中, BG= AM= , GH= SM= , BH= = , 所以cos∠BGH= =- .二面角S-AM-B的大小为arccos .解法二: 以D为坐标原点, 射线DA为x 轴正半轴, 建立如图所示的直角坐标系D-xyz.设A( , 0, 0), 则B( , 2, 0), C(0, 2, 0), S(0, 0, 2).( Ⅰ) 设=λ( λ>0), 则M , = . 又=(0, 2, 0), < >=60°, 故·=| | ·| |cos 60 °, 即= , 解得λ=1, 即= . 所以M为侧棱SC的中点.( Ⅱ) 由M(0, 1, 1), A( , 0, 0), 得AM的中点G . 又= =(0, -1, 1),=(- , 1, 1). ·=0, ·=0, 所以⊥⊥. 所以< >等于二面角S-AM-B的平面角. 因为cos< >= =- . 所以二面角S-AM-B的大小为arccos .27.解法一:( Ⅰ) 取BC中点F, 连结EF, 则EF B1B, 从而EFDA.连结AF, 则ADEF为平行四边形, 从而AF∥DE. (2 分) 又DE⊥平面BCC1, 故AF⊥平面BCC1,从而AF⊥BC, 即AF为BC的垂直平分线, 所以AB=AC. (5 分)( Ⅱ) 作AG⊥BD, 垂足为G, 连结CG. 由三垂线定理知CG⊥BD, 故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知, ∠AGC=60°. 设AC=2, 则AG= . 又AB=2, BC=2 , 故AF= . 由AB·AD=AG·BD得2AD= ·, 解得AD= , 故AD=AF. 又AD⊥AF, 所以四边形ADEF为正方形. (8 分) 因为BC⊥AF, BC⊥AD, AF∩AD=A, 故BC⊥平面DEF, 因此平面BCD⊥平面DEF. 连结AE、DF, 设AE∩DF=H, 则EH⊥DF, EH⊥平面BCD. 连结CH, 则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角. 因ADEF为正方形, AD= ,故EH=1, 又EC= B1C=2, 所以sin ∠ECH= = , 所以∠ECH=30°, 即B1C与平面BCD所成的角为30°.(12 分)解法二:( Ⅰ) 以A为坐标原点, 射线AB为x 轴的正半轴, 建立如图所示的直角坐标系A-xyz. 设B(1, 0, 0),C(0, b, 0), D(0, 0, c), 则B1(1, 0, 2c), E . (2 分) 于是= =(-1, b, 0). 由DE⊥平面BCC1 知DE⊥BC, ·=0, 求得b=1, 所以AB=AC. (5 分)( Ⅱ) 设平面BCD的法向量=(x, y, z), 则·=0, ·=0. 又=(-1, 1, 0), =(-1, 0, c), 故(8 分) 令x=1, 则y=1, z= = . 又平面ABD的法向量=(0, 1, 0). 由二面角A-BD-C为60°知, < >=60°, 故·=| | ·| | ·cos 60°, 求得c= . 于是=(1, 1, ), =(1, -1, ), cos< >= = , < >=60°. 所以B1C与平面BCD所成的角为30°. (12 分)28.解法一:( Ⅰ) ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD. ∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥AC.∴AC⊥平面PDB. ∴平面AEC⊥平面PDB.( Ⅱ) 设AC∩BD=O, 连结OE. 由( Ⅰ) 知AC⊥平面PDB于O. ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角. ∵O, E分别为DB, PB的中点, ∴OE∥PD, OE= PD. 又∵PD⊥底面ABCD, ∴OE⊥底面ABCD, OE⊥AO. 在Rt△AOE中, OE= PD= AB=AO, ∴∠AEO=45°, 即AE与平面PDB所成的角为45°.解法二: 如图, 以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.设AB=a, PD=h, 则A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), D(0, 0, 0), P(0, 0, h).( Ⅰ) ∵=(-a, a, 0), =(0, 0, h), =(a, a, 0), ∴·=0, ·=0. ∴AC⊥DP, AC⊥BD. ∴AC⊥平面PDB. ∴平面AEC⊥平面PDB. ( Ⅱ)当PD= AB且E为PB的中点时, P(0, 0, a), E . 设AC∩BD=O, 则O , 连结OE. 由( Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O. ∴∠AEO为AE 与平面PDB所成的角. ∵= = , ∴cos∠AEO= = . ∴∠AEO=45°, 即AE与平面PDB所成的角为45°.29.解法一:( Ⅰ) 证明: 依题设, M 在以BD为直径的球面上, 则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD, 则PA ⊥AB. 又AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD, 则AB⊥PD, 因此有PD⊥平面ABM, 所以平面ABM⊥平面PCD. ( Ⅱ) 设平面ABM与PC交于点N, 因为AB∥CD, 所以AB∥平面PCD, 则AB∥MN∥CD, 由( Ⅰ) 知, PD ⊥平面ABM, 则MN是PN在平面ABM上的射影, 所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角, 且∠PNM∠PCD, tan ∠PNM=tan∠PCD= =2 , 所求角为arctan 2 .( Ⅲ) 因为O是BD的中点, 则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半, 由(Ⅰ) 知, PD ⊥平面ABM于M, 则|DM|就是D点到平面ABM的距离. 因为在Rt△PAD中, PA=AD=4, PD ⊥AM, 所以M为PD中点, DM=2 , 则O点到平面ABM的距离等于.解法二:( Ⅰ) 同解法一;( Ⅱ) 如图所示, 建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),设平面ABM的一个法向量n=(x, y, z), 由n⊥, n⊥可得令z=-1, 则y=1, 即n=(0,1, -1). 设所求角为α, 则sin α= = , 所求角的大小为arcsin .( Ⅲ) 设所求距离为h, 由O(1, 2, 0), =(1, 2, 0), 得h= = .30.（1）如图，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

坐标法解立体几何习题及解析

坐标法解立体几何1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k r r r ，以点O 为原点，分别以,,i j k r r r 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k r r r 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++u u u r r r ，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ， 112233(,,)a b a b a b a b -=---r r ， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r ， 112233a b a b a b a b ⋅=++r r ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈r r ， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r ．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r ．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4模长公式：若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则222123||a a a a a a =⋅=++r r r ，222123||b b b b b b =⋅=++r r r ．5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++r r r r r r ．异面直线所成的夹角：6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-u u u r u u u r ，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-7、法向量①直线的法向量：在直线L 上取一个定向量，则与垂直的非零向量叫直线L 的法向量②平面的法向量：与平面α垂直的非零向量叫平面α的法向量．构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来．在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值. 其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.一、平面的法向量例1 已知AB u u u r =（2，2，1），AC u u u r =（4，5，3），求平面ABC 的法向量解：设面ABC 的法向量(,,)n x y z =r ，则n r ⊥AB 且n r ⊥AC ，即n r ·AB =0，且n r·AC =0，即2x +2y +z=0且4x +5y +3z=0，解得1,2,x z y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴n r =z （21，－1，1）点评：一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n r 的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量。

坐标系中的面积问题

坐标系中的面积问题在坐标系中，我们经常遇到计算面积的问题。

无论是计算平面图形的面积，还是计算曲线下方的面积，都需要运用基本的数学知识和技巧。

本文将介绍在坐标系中常见的面积问题，以及解决这些问题的方法。

一、计算矩形的面积在坐标系中，一个矩形可以由两条垂直于坐标轴的直线确定。

如果这两条直线分别与x轴和y轴相交于四个点(x1, 0), (x2, 0), (0, y1), (0, y2)，那么这个矩形的面积可以通过计算长和宽的乘积得到。

即面积为S=(x2-x1)*(y2-y1)。

二、计算三角形的面积对于一个三角形，我们可以通过不同的方法来计算其面积，其中一个常见的方法是使用海伦公式。

假设三角形的三个顶点坐标是(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)，则可以计算三角形的半周长p，p=(a+b+c)/2，其中a、b、c分别是三条边的长度，然后计算三角形的面积可以使用海伦公式：S=sqrt(p(p-a)(p-b)*(p-c))。

三、计算图形的面积在坐标系中，我们经常会遇到各种不规则图形，这时候计算面积可能需要一些更复杂的方法。

一种常见的方法是使用定积分。

如果我们要计算曲线y=f(x)和x轴所围成的图形的面积，可以通过计算定积分∫f(x)dx来得到。

类似地，对于曲线y=g(x)和直线x=a, x=b, x轴所围成的图形的面积，可以通过计算定积分∫(g(x)-a)dx 和∫(b-g(x))dx来得到两部分面积，然后相加即可得到总面积。

四、结语通过以上介绍，我们了解了在坐标系中计算面积的一些基本方法。

对于简单的图形，我们可以直接计算长方形、三角形或者其他几何图形的面积；对于复杂的图形，我们可以运用数学工具如定积分来求解。

在实际问题中，熟练掌握这些面积计算方法能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。

希望本文的介绍对您有所帮助。

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中考数学重难点专题讲座第七讲坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。

但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。

所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。

此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。

作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。

此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。

第一部分真题精讲【例1】2010，石景山，一模已知：如图1，等边ABC ∆的边长为x 轴上且()10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点B C 、的坐标；（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；（3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：。

① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．图2图1【思路分析】很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。

在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。

第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。

由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。

最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。

抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。

至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。

【解析】解：（1）()10B ；()13C ，．（2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ． ∵ABC ∆是等边三角形，()10A ． ∴60EAO ∠=︒ ．在Rt EOA ∆中，90EOA ∠=︒．∴(tan 6013EO AO =⋅︒=-=∴(0,3E ．…∵EF ∥AB 交BC 于F ，()13C ，．∴1R ⎛ ⎝⎭．（就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C 一样，纵坐标就是E 的纵坐标的一半）∵直线1y kx =-将四边形EABF 的面积两等分． ∴直线1y kx =-必过点1R ⎛ ⎝⎭．∴1k -=，∴k（3）正确结论：①GNM CDM ∠=∠．证明：可求得过A B C 、、的抛物线解析式为222y x x =-++ ∴()02D ，． ∵()20G -，． :∴OG OD =．由题意90GON DOM ∠=∠=︒．又∵GNO DNH ∠=∠ ∴NGO MDO ∠=∠ ∴NGO ∆≌MDO ∆∴GNO DMO ∠=∠，OM ON = ∴45ONM NMO ∠=∠=︒ 过点D 作DT CP ⊥于T ∴1DT CT ==∴45CDT DCT ∠=∠=︒~由题意可知DT ∥AB ∴TDM DMO ∠=∠∴454545TDM DMO GNO ∠+︒=∠+︒=∠+︒ ∴TDM CDT GNO ONM ∠+∠=∠+∠即：GNM CDM ∠=∠．（这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）GPNM HTDC BA O xy【例2】2010，怀柔，一模如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B 作x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC ．现有两动点P 、Q 分别从O 、C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC,PQ 相交于点D,过点D 作DE ∥OA,交CA 于点E,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C 三点的坐标;$(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形请写出计算过程;(3)当0＜t ＜92时,△PQF 的面积是否总为定值若是,求出此定值,若不是,请说明理由; (4)当t _________时,△PQF 为等腰三角形【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。

本题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。

注意平行于X 轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。

第二问就在于当四边形PQCA 为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。

在运动中，QC 和PA 始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要QC=PA 时候即可。

第三问求△PQF 是否为定值，因为三角形的一条高就是Q 到X 轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF 是否为定值即可。

根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF ，得解。

第四问因为已经知道PF 为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P 点（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ 就可以。

实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.【解析】解：(1) 21(8180)18y x x =--，令0y =得281800x x --=，()()18100x x -+=∴18x =或10x =-∴(18,0)A ；在21410189y x x =--中，令0x =得10y =即(0,10)B -；由于BC ∥OA ，故点C 的纵坐标为－10，由2141010189x x -=--得8x =或0x = 即(8,10)C -于是，(18,0),(0,10),(8,10)A B C --;（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA.故只要QC=PA 即可 ∵184,PA t CQ t =-= ∴184t t -= 得185t =（3）设点P 运动t 秒，则4,OP t CQ t ==，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点O 、A 重合，由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t === ∴4AF t OP ==∴18PF PA AF PA OP =+=+= 又点Q 到直线PF 的距离10d = ∴1118109022PQF S PF d ∆==⨯⨯= ∴△PQF 的面积总为90·（4）由上知，(4,0),(184,0),(8,10)P t F t Q t +--，0 4.5t <<。

构造直角三角形后易得2222(48)10(58)100PQ t t t =-++=-+，2222(1848)10(510)100FO t t t =+-++=++若FP=PQ ，即2218(58)100t =-+，故225(2)224t +=，∵22 6.5t +≤≤∴25t +==∴25t =-若QP=QF ，即22(58)100(510)100t t -+=++，无0 4.5t ≤≤的t 满足条件；……………12′若PQ=PF ，即22(58)10018t -+=，得2(58)224t -=，∴8 4.55t +=>或805t -=<都不满足0 4.5t ≤≤，故无0 4.5t ≤≤的t 满足方程；综上所述：当2t =-时，△PQR 是等腰三角形。

【例3】2010,延庆,一模如图，已知抛物线1C ：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；。

（2）如图（1），抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式；（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180︒后得到抛物线4C ．抛物线4C 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．{【思路分析】出题人比较仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将B （1,0）代入，第一问轻松拿分。

第二问直接求出M 坐标，然后设顶点式，继续代入点B 即可。

第三问则需要设出N ，然后分别将NP ，PF,NF 三个线段的距离表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性。

计算量比较大，务必细心。

【解析】解：⑴由抛物线1C ：()225y a x =+-得顶点P 的为(25)--，∵点(10)，B 在抛物线1C 上∴ ()20125a =+- 解得，59a =⑵连接PM ，作⊥PH x 轴于H ，作⊥MG x 轴于G ∵点P 、M 关于点B 成中心对称&∴PM 过点B ，且=PB MB ∴PBH MBG △≌△∴5==MG PH ,3==BG BH∴顶点M 的坐标为(45)，（标准答案如此，其实没这么麻烦，点M 到B 的横纵坐标之差都等于B 到P 的，直接可以得出（4,5））抛物线2C 由1C 关于x 轴对称得到，抛物线3C 由2C 平移得到 ∴抛物线3C 的表达式为()25459y x =--+ ⑶∵抛物线4C 由1C 绕点x 轴上的点Q 旋转180︒得到 ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称由⑵得点N 的纵坐标为5 设点N 坐标为(5)，m ;作⊥PH x 轴于H ，作⊥NG x 轴于G 作⊥PK NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上 ∴26===EF AB BH∴3=FG ，点F 坐标为(30)+，m H 坐标为(20)，，K 坐标为(5)-，m ，根据勾股定理得22224104PN NK PK m m =+=++ 22221050PF PH HF m m =+=++ 2225334NF =+=①当90∠=︒PNF 时，222PN NF PF +=，解得443m =，∴Q 点坐标为19(0)3，②当90∠=︒PFN 时，222PF NF PN +=，解得103m =，∴Q 点坐标为2(0)3，③∵10>=>PN NK NF ，∴90NPF ∠︒≠综上所得，当Q 点坐标为19(0)3，或2(0)3，时，以点P 、N 、F 为顶点 %的三角形是直角三角形．【例4】2010，房山，一模如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l1：y =+交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点(),M m n 是线段AB 上一动点，点C 是线段OA 的三等分点．（1）求点C 的坐标；（2）连接CM ，将ACM △绕点M 旋转180︒，得到''A C M △． ①当12BM AM =时，连结'A C 、'AC ，若过原点O 的直线2l 将四边形''A CAC 分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；②过点'A 作'A H x ⊥轴于H ，当点M 的坐标为何值时，由点'A 、H 、C 、M 构成的四边形为梯形~【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。