初等几何课件(度量与计算)

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高等教育：《证题法、初等几何变换、度量与计算1 》

2.命题的换质：把命题的两部分同时加以否定，地位则保持不变. 换位以后的命题称为原命题的逆命题. 换质以后的命题称为原命题的否命题.
经过换位、换质这两个措施，由一个命题可得出四个命题，它们的名称是：原命题、逆命题、否命题、逆否命题
例：写出命题“凡直角皆相等”的四种变化形式.
3.四种命题的真假关系
四边形对角线互垂，但不一定是菱形.
(2)充分条件充分：有它必行,无它未必不行. 只要有这个前提,就保证有这个结论. 前提是结论的充分条件. (3)充要条件充要：有它必行,无它必不行. (4)充分而不必要、必要而不充分
一个定理只要它的逆命题不成立，它的前提一定是充分而不必要，结论是必要而不充分.
• 这一段话不但指明了开设本课程的目的和任务，同时对教师也提出了严格的要求. 讲授初等几何课的教师，不但要熟习中学教材，而且还应系统地掌握几何（高等几何，尤其是几何基础）的专业知识，才能得心应手地进行讲授.如果未学过几何基础, 书中引言部分所提到的“欧几里得第五公设”，“绝对几何命题”，注释中的“罗氏几何”等等，就会一无所知，不知应该如何进行讲解才好.
初学的人往往在证明命题时，不去证这命题（或跟它等效的逆否命题），而去证逆命题（或否命题），这是原则性错误.
4.充分条件、必要条件、充要条件
(1)必要条件如果命题真,则结论是前提的必要条件. 必要：无它必不行,有它未必行. 无它必不行：
四边形的对角线不互相平分,它就不可能是平行四边形. 有它未必行：
第一章证题法、初等几何变换、度量与计算
§1.1 引言
初等几何研究的对象是多方面的，如中学缺陷的补充，教材内容的融会贯通，独立工作能力的养成，克服学习中困难的刚毅精神的培养等等.通过这课程的学习，对初等几何，要有概括而联贯的知识，获得观察、分析、综合、推究的能力，掌握通用方法，具备足够的熟练技巧，并能愉快胜任中学几何教学，从中发现问题、解决问题，以便得到锻炼、提高．

初等几何

目录1.初等几何研究 (2)2.线段相等的证法 (8)3.等角的证法 (12)4.和差倍分的证法 (17)5.平行线的证法 (22)6.梅内劳斯定理与塞瓦定理 (28)7.共点线的证法 (33)8.共线点的证法 (37)9.垂直线的证法 (42)10.面积方法 (47)11.几何变换（一）——平移 (53)12.几何变换（二）——旋转 (58)13.几何变换（三）——轴反射 (62)14.共圆点的证法 (67)初等几何研究第一节引言一、归纳的经验几何（公元前七世纪前）二、初步的推理几何（公元前七世纪至公元前四世纪）由经验和已有的几何知识出发，按照逻辑的要求，对某一项几何知识进行推理论证。

对实验几何进行总结工作，其伟大功绩归于古希腊的哲学家和数学家，受到哲学思想的影响，把实验几何加以抽象化、系统化。

最主要的就是把实验几何改造为演绎推理的科学。

古希腊：泰勒斯毕达格拉斯（勾股定理）柏拉图雅典学派提出的三个经典问题：化方为圆、三等分角和倍立方体直至公元前四世纪，未见按逻辑编排的系统的几何书籍出现三、系统的推理几何（公元前四世纪至公元后18世纪）《几何原本》的出现，由古希腊欧几里得按前人所提的几何知识，按照逻辑的要求的顺序，前因后果地进行编排，并先提出定义和公理，而后在这基础上，对各项知识都作推断论证。

《几何原本》的简介：公元前300年左右，希腊数学家欧几里得综合了人们对图形的认识成果，发表了13卷的巨著《几何原本》这是用公理化方法进行演绎推理的最早典范。

《原本》的发表，标志着初等几何的诞生。

《原本》中所介绍的几何学称欧氏几何，这是在整个数学发展史中最早、最完备、最成功的数学模型。

《原本》前10卷介绍平面几何，后3卷介绍立体几何，第一卷系统地提出二十三个定义、五条公理，成为《原本》的理论基础。

四、现代几何的产生与发展（公元后18世纪至今）俄国数学家罗巴切夫斯基罗氏几何德国数学家黎曼黎氏几何统称非欧几何罗氏几何：假设过直线外一点可引不止一条而是无数条直线平行该直线。

初等数学研究(六)初等几何基础ppt课件

(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。
注意：不完全归纳法有时不太可靠
如：x=1,2,3, ……,39时，式子x2+x+41的值都是
质数，若就此得出“当x ∈N+时，式子x2+x+41的值都是质数”
的结论便是错误的。其实当x＝40时，402＋40＋41＝412是合数
方法。 .
6
• 《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。
• 定义
• (1) 点是没有部分的。
• (2) 线是只有长度而没有宽度的。
• (3) 线的界限是点。
• (4) 直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。
• (5) 面是只有长度和宽度的。
A
C1 C2 D1
C3 C4 C5
D2
D3
B
.
13
三、演绎法与归纳法
平时证题我们用简略的
三段论。
• 1.演绎法(三段论法)
是由演绎推理组成的证明方法，要求演绎推理中的三段论的大、小前提都是正确真实的，是一种由一般原理推出特殊事实结论的证明方法。
例1.题略
证明：
同圆半径相等(大前提)
OA、OB都是⊙O的半径(小前提)
(1)实验几何(大约公元前七世纪前)
(2)初步推理几何(大约公元前四世纪前)
(3)解析几何的产生与发展
(4)现代几何的发展
2.欧几里得《几何原本》中的不足 3.欧几里得不可磨灭的贡献
欧几里德(前330～前260)
(1)《几何原本》是人类第一次把丰富散漫的几何材料整理成了系统严明的读本

《中学几何研究》第2讲--度量几何学

例见P20页
2015/12/21
三、解三角形到研究任意角的三角学，衍生三角函数，是一个数学认识上的飞跃。三角学的发展有两个明显的阶段。静态的解三角形阶段，处理任意角的三角函数阶段。解三角形是静态的、角度不超过180度的、纯粹计算的数学内容。三角函数阶段，则是动态的、处理任意角的、思辩性的数学科目。
2015/12/21
二、分形的例子
1、 (康托尔集) 将闭区间[0,1]三等分,去掉中间的开区间(1/3,2/3), 剩下两个闭区间[0,1/3],[2/3,1]。
0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1
又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间
(1/9,2/9)，(7/9,8/9)。一般地，当进行到第n次时，
e
i
德国数学家克莱因认为：这是整个数学中最卓越最漂亮的公式之一。
2015/12/21
二、三角学是欧氏几何的数量化三角学起先的目标是解三角形，即研究三角形的各种边角关系。欧氏几何主要是用定性的方法研究三角形，三角学就是定量地研究三角形的边角关系。从这个意义上讲，三角学是代数和几何学之间的桥梁。三角学也是数形结合一个重要方面。
这两者的差异非常巨大，不能期望学生能够自然而然地迁移过去。
2015/12/21
通常的作法是引入单位圆，充分显示三角函数的变量特征。三角函数的恒等变换是一项基本技能，需要熟练掌握。
余弦函数的和角公式，证明没有普遍意义，可以不记但是，这些公式需要操练，形成技能，不可忽略。
在三角函数的教学中要充分体现三角函数的以下几个特征：周期性和谐性相位性原始性
任何线段可以用尺规作图的方法，分成若干等分。
这样，可以衡量出某些长度为有理数的线段。

《度量》教学课件

05
度量在各个领域的应用
物理学的应用
01
量子力学
度量在量子力学中有着广泛的应用，用来描述微观粒子的状态和相互
作用。
02
光学
在光学中，度量可以用来描述光的强度、波长和传播方向等属性。
03
热力学
在热力学中，度量可以用来描述热能、温度和热量等能量相关的概念
。
化学的应用
化学计量学
化学计量学中使用度量来描述化学反应的计量关系和反应速率。
质量单位换算
要点一
总结词
质量单位换算是度量衡制度中的另一个重要内容，它涉及到各种不同质量单位的转换，如千克、吨、克、毫克等。
要点二
详细描述
质量单位换算通常是将一种质量单位转换为另一种质量单位，其转换规则是根据两个单位之间的换算比例进行的。例如，1吨等于1000千克，1千克等于1000克，1 克等于1000毫克等。在日常生活中，我们经常需要使用质量单位换算来解决各种问题，如计算物品重量、配制药方和食品营养标签等。
度量单位
度量单位是用于表示度量结果的一种标准单位，它可以是长度、面积、体积、质量、时间等各种不同的单位。
在不同的场合和领域中，需要使用不同的度量单位来描述和分析物体或事物的属性和特征。
度量在生活中的应用
度量在日常生活中有着广泛的应用，例如人们可以使用度量单位来描述和比较物体的尺寸、重量、时间等属性，从而更好地进行选择和使用。
03
度量衡的发展历程
古代度量衡
1 2
起源与演变
古代度量衡起源于人们对物体的计量需求，随着生产力和商业的发展，度量衡逐渐得到规范和统一。
地域差异
古代不同国家和地区由于文化、经济和技术的差异，度量衡的标准和使用范围各不相同。

初等数学研究几何部分第二章几何量的计算(蝴蝶定理斯特瓦尔特定理等)

AD2 AB2 DC AC2 BD BD DC ．（＊）
BC
BC
证 ∵ AB2 AD2 BD2 2AD BD cos， AC2 AD2 CD2 2AD CD cos，
∴ AB2 CD AC2 BD AD2 BC BD CD BC，
即 AD2 AB2 DC AC2 BD BD DC．
48
48
例3 ABC三边为 a,b, c ，三内角平分线分别为 ta ,tb ,tc，求ta ,tb ,tc ．
解如图2-2-6所示，∵ AD平分 BAC，
∴ BD AB c， DC AD b
∴
BD
ca ， bc
DC
ba bc
，
代入（＊）得ta2
c2b bc
b2c bc
a2bc (b c)2
如图2-1-2所示，SABC AE SDBC ED .
例（蝴蝶定理）如图2-1-3所示，设 O 为 EF弦的中点，
现过 O 任作二弦 AB、CD ，记 P、Q 为 EF 依次与 CA、 BD的交点，求证 OP OQ ．
证法一（面积法）如图2-1-3， ∵ S1 S2 S3 S4 1， S2 S3 S4 S1 ∴ OB BQ OC OP DQ OD OP OA 1， OC CP OD OQ OA AP OB OQ
CE BC BD. 显然 ABC 不是等腰三角形，但 B、C
处的外角平分线相等．
2
2
2
即4S 2(ad bc)sin ①
又∵ BD2 a2 d 2 2ad cos c2 d 2 2cd cos，
∴ a2 d 2 b2 c2 2(ad bc) cos②
①2＋②2，即16S 2 (a2 d 2 b2 c2 )2 4(ad bc)2

第七课度量与计算

☆ 2.绘制三角形的步骤
（1）画三个点。 (2)利用选择工具选定这三个点。 (3) 先确定三个点，然后在菜单栏中“构造” → “线段” 命令。作△ABC.
☆ 3：度量三角形的三个内角。
（1）依次选定点B,A和C. （2）执行“度量→测量角度 ”命令，测量∠BAC的度数。（3）依照前两步的操作，测量∠ABC和∠ACB的度数。
小结:
在这节课中利用几何画板绘制圆，三角形，找出三角形内角的度量。
作业：
利用简单的方法在几何画板中绘制圆，三角形,量出三角形的内角。
2．能够用计算机输入简单的数学表达式。难点：掌握三角形的边长和内角度量的方法。
☆ 1.度量圆：
第1步：画一个圆。第2步：选定圆，执行 “度量-----则量圆的半径”命令，绘图板上会显示出度量值。第3步：分别执行度量菜单中的测量面积命令或测量圆的圆长命令，度量面积和周长。第4步：拖动圆上点或圆心，改变圆的大小，观察度量值的变化。
人教版八年级下册
第七课度量与计算
数信分院初中信息992-3班买热燕木.依马木，31号
2011年1月5日
请同学们观察一下，下面的两副图片由哪些图形来组成的？
(1)
(2)
ห้องสมุดไป่ตู้ 第七课
掌握内容：
度量与计算
1. 几何画板里面绘制圆和三角形的步聚。
2. 使学生掌握度量圆和三角形的内角的方法。
重点： 1．度量图形的面积。

湘教版七年级数学上册4.第1课时角的度量与计算课件

180
°.
°的角叫做锐角.大
°的角叫做钝角.
预习导学
角的度量单位及其换算
阅读课本第5段到“例2”，完成下列问题.
1.角的基本度量单位: 度
间的关系是:1°＝ 60
＝

______ '.
、分
'，1'＝ 60
、秒
″；1’＝
，它们之

______
°；1″
预习导学
2.如何把57.32°转化成用度、分、秒表示？
钟的时针与分针的夹角又是几度？
分层作业
解:从1点15分到1点35分，分针共走了20小格.所以分针转过的角
°
度是(35－15)×
＝120°，

时针转过的角度是 ×120°＝10°.

分层作业

因为分针每分钟走1小格，时针每分钟走小格，

1
所以1点20分时，时针与分针的夹角是 20－ 5＋ 12 × 20
答:先把0.32°化为分，0.32°＝60'×0.32＝19.2'，再把
0.2'化成秒，0.2'＝60″×0.2＝12″.所以57.32°＝57°19'12″.
预习导学
3.如何把10°6'36″用度表示？
解:先把36″化成分，36″＝
再把6.6'化成度，6.6'＝

'×36＝0.6'， 6'＋0.6'＝6.6'，
角的和与差的计算
3.在同一平面上，若∠AOB＝50°， ∠BOC＝15°，求
∠AOC的度数.
解:如图1，当OC在∠AOB外部时，∠AOC＝∠AOB＋

初等几何选讲(张新全)共72页PPT资料

欧几里德(前330～前260)
(1)《几何原本》是人类第一次把丰富散漫的几何材料整理成了系统严明的读本
(2)《原本》是人类历史上的一部杰作
(3)两千年来，人类对初等几何的研究仍以《原本》为
依据
3
(4)欧几里得成了“几何”的代名词
约前486～前376
4
4.《几何原本》译成中文简介
(1)明万历年间(明万历三十五年(1607))徐光启(1562－1633) 与意大利传教士利玛窦(R·Matte 1552-1610)首次合译前6卷 [“几何学”一词由徐光启引入]；
(2)清人李善兰(1810－1882)与英人伟烈亚力(W·Lexanbler 1805-1887)于1852-1856年合译后9卷。
5.公理化方法
从尽可能少的无定义的原始概念和一
组不证自明的命题(基本公理徐)光出启发(15，62-1利63用3) 逻辑的法则，把一门数学建成为演绎系统
的方法。
5
• 《几何原本》的每一卷都以一些概念的定义、公设、和公理为基础。第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。465个定理。
9
6.希尔伯特的公理体系
点
基本对象（元名）
直线
平面
本有
概概
根念念
希
基本概念（元词）
尔
伯
特
公
理
基本关系（元谊）结合关来自：点在直线上点在平面上
顺序关系：一点介与两
合同关系：
两线段合同两角合同
据
这
些
点之间
基
来定义所
和关系
系
理出
都叫公理。那么，“公设”与“公理”最初的含义分别是什么？有什么细微差别吗？

02.初等几何图形的计算与作图

第二章初等几何图形的计算与作图几何图形是从现实世界中抽象出来的，所以，几何图形的理论、计算与作图广泛应用与人们的社会实践中.本章重点介绍两类常用的几何图形：一是平面图形，如三角形、四边形、正多边形以及与圆有关的各种图形；另一是空间立体图形，如正方体、长方体、球体、锥体、圆柱体以及各种正多面体.这里较详细地收集了它们的面积、体积、侧面积、表面积、重心和转动惯量等计算公式.另外，还介绍了一些图形（如正多边形）的作图方法，对于生产实践中常用的椭圆作图法和圆弧放样法也作了简要的说明.同时，明确指出了在百余年前已经严格证明了的所谓“几何三大问题”不能用尺规作图.§1 三角形与四边形一、三角形各元素的计算1. 三角形各元素图 2.1 图 2.2a,b,c 为三角形三边 R 为外接圆半径 A,B,C 为三个角 r 为内切圆半径)180(o =++C B A AD 为a 边上的高 H 为垂心（三条高的交点） )(a h =AF 为A 角的平分线 G 为重心（三条中线的交点） )(a t =AE ()为a 边上的中线为内心（三条角平分线的交点）a m =内O p 为半周长⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=)(21c b a p 为外心（三条垂直平分线的交点）外O S 为的面积 ABC Δ2. 三角形各元素计算公式[高] 222222sin ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−==a c b a b C b h a11[角分线] 2cos 2])[(122Acb bc a c b bc c b t a +=−++=[面积]Rabc rp ah C B A R c p b p a p p C ab S a 421sin sin sin 2))()((sin 212====−−−==[外接圆半径]S abcC c B b A a R 4sin 2sin 2sin 2====[内切圆半径]2sin 2sin 2sin 4222))()((C B A R C tg B tg A p tg p c p b p a p p Sr ==−−−==二、三角形和四边形的面积、几何重心、转动惯量计算公式§3，五.§2 圆与正多边形一、与圆有关的各量计算公式二、与圆有关的各种图形的面积、几何重心与转动惯量计算公式图形三、正多边形各量换算公式与比例系数表a 为边长 r为内切圆半径α为圆心角⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n o 360α S 为多边形面积重心G 与外接圆心O 重合正多边形各量比例系数表n 2/a S 2/R S 2/r Sa/R R/a r/a3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 16 0.4330 1.0000 1.7205 2.5981 3.6339 4.8284 6.1818 7.6942 11.196 17.642 20.109 1.2990 2.0000 2.3776 2.5981 2.7364 2.8284 2.8925 2.9389 3.0000 3.0505 3.0615 5.1962 4.0000 3.6327 3.4641 3.3710 3.3137 3.2757 3.2492 3.2154 3.1883 3.1826 1.7321 1.4142 1.1756 1.0000 0.8678 0.7654 0.6840 0.6180 0.5176 0.4158 0.3902 0.5774 0.7071 0.8507 1.0000 1.1524 1.3066 1.4619 1.6180 1.9319 2.4049 2.5629 0.2887 0.5000 0.6882 0.8660 1.0383 1.2071 1.3737 1.5388 1.8660 2.5323 2.5137n 2/aS2/RS2/rS a/R R/a r/a24 32 48 64 45.57581.225183.08325.693.10583.12143.13263.13663.15973.15173.14613.14410.26110.19600.13080.09813.83065.10127.644910.1903.79795.07667.628510.178§3 实用几何作图一、正多边形作图[已知边长作正三角形] 已知AB 等于边长.分别以A,B 为圆心，AB 为半径画弧交于C ,连接AC ，BC ，ABC Δ即为所求正三角形（图2.3）.[已知边长作正方形] 已知AB 等于边长.以AB 外任一点O 为圆心，OA 为半径画圆交AB 于E .连接EO 并延长交圆于F ,连接AF 并延长截取AD=AB .分别以B ，D 为圆心，AB 为半径画弧交于C ，连接BC ，DC ，□ABCD 即为所求正方形(图2.4).形(图 2.5).也可参考正十边形作法(见图 2.11中的虚).连接JI ，IA ，BH ，HJ ，连同AB 即为所求正五形(图2.6).圆周上顺次段，并连接各点，即为所求正六边形(图2.7). [已知外接圆作正五边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ，CD ，平分OB 于E ，以E 为圆心，EC 为半径画弧交OA 于F ，以CF 为半径在圆周上顺次截段并连接各点，即为所求正五边线[已知边长作正五边形] 已知AB 等于边长.以A ，B 为圆心，AB 为半径画两圆交于C ，D ，连接CD .以D 为圆心，AB 为半径画圆，交CD 于E ，交A 圆于F ，交B 圆于G ，连接FE ，GE ，并延长交B ，A 圆于H ，I .分别以H ，I 为圆心，AB 为半径画弧交于J ，边[已知外接圆作正六边形] 以外接圆半径在其截圆心，AB 为半径画圆.按上法可作出所求正六边形(图2.8).D )在圆周上顺次截段，并连各点，即为所求正七边形(图2.9).圆于G ，H ，I ，J ，顺次连接八点，即为所求正边形(图2.10).在圆上顺次截段，并连接各点，即为所求正十边形(图2.11).，并连接各点，即为所求正n 边形(图2.12中为正九边形). 、椭圆作图知长短轴(2a,2b )作椭圆，其方法如下： [已知边长作正六边形] 已知AB 等于边长，分别以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于O ，以O 为再 [已知外接圆作正七边形(近似作法)] 以圆周上任一点A 为圆心，以同圆半径为半径画弧交圆周于B ，C ，连接BC ，AO ，交于D .以BD 为半径(作图时应略大于B 接 [已知外接圆作正八边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ，CD .分别以A ，B ，D 为圆心，任意长为半径画弧交于E ，F ，连接EO ，FO ，并延长交八 [已知外接圆作正十边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ，CD ，以OB 为直径画圆E ，连接EC 交E 圆于F .以CF 为半径周[已知外接圆作任意正多边形(近似作法)] 将直径AB n 等分(n 为边数),以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于C ，连接C 与第二个分点E ，并延长交圆于D ，以AD 为半径在圆周上顺次截段二已钉子，把一长度为2a的线的两端固定在钉子上，再用铅笔拉紧线，移动铅笔所画出的曲线即椭圆(图2.13).F ，≤为[焦点法] 同轨迹法一样，先画出点1,F 将AB 8等分，中间各点为i K )7≤i .分别以1F 为圆心，i 为半径画弧，以2F 为圆心，i BK 为半径画弧，两两相交于i M 和i N )62(21(AK ≤≤i .再将这些交点连同A ，B 一起用光滑曲线顺次连接，即近似于求椭圆(图2.14).12等分(小圆分点1～1所 [压缩法] 用长短轴为直径画出两个同心圆，并将圆周2，大圆分点对应为21~1′′).连接018,11741,2,5′−′′−′′−−′－1,2－10,4－7,并延长，将1′1－11,5－7;42′−′与2－10,4－8;117′′和11－′−与8,55′−′与1－11,5－7;018′−′与2－10,4－8的交点(共8个)，连同四个顶点一起，用光滑曲线顺次连接，即近似于所求椭圆(图15). I .作OH=OG ，OJ=OI .分别以I ，J 为圆，IC 为半径画弧，又分别以G ，H 为圆心，GA 为半径画弧，则四段弧相连即近似于所求圆(图2.16). 三、弧，可采用下面方法在施工现场直接放大样.这种方法可在有限平面内放出任意大半径的圆弧实样，又便于工人同志掌握.作等于弦长，作CO AB ，并使CO 的长取2.[圆弧法] 作长轴AB=2a ,短轴CD=2b ，相互垂直平分交于O ，作OE=OA ，以C 为圆心，CE 为半径画弧交AC 于F ，作AF 的垂直平分线交AB 于G ，交CD 延长线于心椭圆弧放样法在土木建筑工程中，由于受各种施工条件的限制，不能用圆规一转就画出圆[已知弦长和拱高作圆弧] 方法°1AB 垂直平分等于拱高，连接BC ，作BC 的中垂线DE .作平分线交DE 于E ，在ED 延线上DF=DE ，则F 为ABC ∠的4分点.由称称点'F 也是1对性，F 的对的41分点.重复上述步骤，可得的L ,1,1,1各分点，将各分32168点以光滑曲线顺方法B ，中垂线DF ，截OE=CD .A D 次连接，即为所求圆弧(图2.17).此方法概念明确，步骤较少，占地最少.2作AB 等于弦长，作CO 垂直平分A 并使CO 等于拱高.作BC 的过E 作B 的垂线交F 于F ，则F 为°的分点对1.由称性，F 的的L ,321,161,81'F也是的41分点.重复上述步骤，可得对称点各分点，将各分点以光滑曲线上任一点作弧] 已知AB 为弦长，BC 为边作角顺次连接，即为所求圆弧(图2.18).此方法步骤最少.[已知弦长和圆弧圆C 为已知圆弧上一点.以()ABC CAB CBB =∠α1为边按相同方向作角∠<<α∠.再以ACα=∠1CAA .为交于1111,,C C BBAA 上的点.当取a 为一系列值时，便得到圆弧上一系列点，将各点以光滑曲线顺次连接，为所弧(图2.19).此方法最适于采用经纬仪、罗盘仪来测放半径四、必要条件是，这运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：体积. 化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积. 来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.即求圆很大的圆弧.几何作图问题所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方°1 立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的°2 三等分角问题，即三等分一已知角.°3后§4 立体图形的体积、表面积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式一、立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式∗表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五.a,b,c为边长,h为高a为底边长,h为高,d为对角线 n为棱数,a为底边长,h二、多面体[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体] 图形面数f 4 8 12 20棱数k 6 12 30 30顶点数e 4 6 20 12体积V31179.0a34714.0a36631.7a31817.2a表面积S27321.1a24641.3a26457.20a26603.8a表中a为棱长.[欧拉公式] 一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e,它们之间满足2=+−fke。

《初一几何》课件

三角形与四边形
复习三角பைடு நூலகம்和四边形的性质，并探索它们的特点和分类。
角度
回顾角的概念，学习如何度量和分类角。
比例与相似
温习比例和相似的概念，了解它们在几何图形中的应用。
几何公式与性质
圆的性质
探索圆的基本性质和几何公式，学习如何计算圆的周长和面积。
三角形的性质
回顾三角形的重要性质，如角平分线、中位线和高线的性质。
《初一几何》PPT课件
这个《初一几何》PPT课件将带领你深入了解几何学，掌握几何图形的基础知识和绘制技巧，并通过练习题帮助你巩固学习成果。
课件介绍
通过这个课件，你将了解到初一几何学习的目标和重要性，为进一步的学习打下坚实的基础。
基础概念回顾
点、直线和线段
学习点、直线和线段的定义，了解它们在几何图形中的作用。
角的性质
深入研究角的性质，包括对顶角、同位角和内错角等的理解。
几何图形绘制
1
画线段和角
学习使用尺子和直尺来绘制线段和角。
2
绘制三角形和四边形
掌握如何绘制各种类型的三角形和四边形。
3
作图练习
通过作图练习巩固所学知识，并提高几何图形绘制的技巧。
练习题示例
计算周长和面积
通过解决一些实际问题，学习如何计算几何图形的周长和面积。
判断几何图形
观察给定的几何图形，判断其属性和分类。
推理与证明
探索几何图形中的推理与证明，通过解题训练提高逻辑思维能力。
总结与答疑
回顾课件的内容，解答学生们对几何学习的疑问，并鼓励他们继续探索更深入的几何知识。

初等数学研究(六)初等几何基础PPT共27页

初等数学研究(六)初等几何基础
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此贞秀姿，卓为霜下杰。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
27

湘教版初中数学七上角的度量与计算课件PPT

2. 用度分秒的形式表示52.27°．解：原式=52°+0.27×60′
=52°+16.2′ =52°+16′+0.2×60″ =52°16′12″
规律总结：
把大单位化成小单位乘以进率．
名湘师教课版件初免中费数课学件七下上载角优的秀度公量开与课计课算件课湘件教PPT版（201 2）初中数学七上4.3 .2 角的度量与计算课件
(1) 72°+ 32°＝( 104 )° (2) 72 ′ － 32 ′ ＝(40 ) ′ (3) 52″ + 32 ″ ＝( 84 ) ″＝ 1 ′ 24 ″ (4) 12″ + 32 ° +22 ′ ＝ 32 ° 22 ′ 12 ″ (5) 1°2′＝( 62) ′ (6) 1°22′－ 32 ′ ＝( 50 ) ′
规律总结：
加法：度加度，分加分，秒加秒，满60向前进1；减法：度减度，分减分，秒减秒，不够减向前借“1”当60.
名湘师教课版件初免中费数课学件七下上载角优的秀度公量开与课计课算件课湘件教PPT版（201 2）初中数学七上4.3 .2 角的度量与计算课件
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=72°+0.61°
=72.61°
规律总结：把小单位化成大单位除以进率．
名湘师教课版件初免中费数课学件七下上载角优的秀度公量开与课计课算件课湘件教PPT版（201 2）初中数学七上4.3 .2 角的度量与计算课件

七年级湘教版上册数学多媒体教学课件：4.3.2 角的度

【跟踪训练】
1.把下列各题结果化成度
(1)72°36′
(2)37°14′24″
解:(1)72°36′=72°+36′
=72°+(36÷60)°
=72°+0.6°
=72.6°
(2)37°14′24″=37°+14′+24″ =37°+14′+(24÷60)′ =37°+14′+0.4′ =37°+14.4′ =37°+(14.4÷60）° =37°+0.24°=37.24°
2.已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分∠COB,求∠EOF的大小？
C
E
F
A
O
B
解：因为 OE平分∠AOC，OF平分∠COB
所以∠EOC= 1 ∠AOC
2
∠COF= 1 ∠COB
（角平分线的定义）
2
因为∠AOB=∠AOC+∠COB=180°
（平角的定义）
所以∠EOF=∠EOC+∠COF
即1.45°=87′= 5 220″.
⑵ ( 1 )′×1 800= 30′,
60
(
1 60
)°×30=
0.5°,
即1 800″=30′= 0.5°.
【跟踪训练】
1.0.25°等于多少分? 等于多少秒? 【解析】60′×0.25 =15′
60″×15=900″ 即0.25°=15′=900″.
2.2 700″等于多少分? 等于多少度?
A
O
B
D
C
通过本节课学习，要求： 1.能够进行度、分、秒之间的换算； 2.会计算相关角度．
时间是世界上一切成就的土壤.时间给空想者痛苦，给创造者幸福.

人教版八年级信息技术下第7课度量与计算教学课件共14张PPT

❖ 动手作度量圆
❖ 第1步：画一个圆。 ❖ 第2步：选定圆，执行“度量→半径”命令，
绘图版上会显示出度量值。
❖ 第3步：分别执行度量菜单中的面积命令或圆周长命令，度量面积和周长。
❖ 第4步：拖动圆上点或圆心，改变圆的大小，观察度量值的变化。
❖ 动手作度量三角形的内角 ❖ 第1步：作三角形。 ❖ ⑴画三个点。 ❖ ⑵选定选择工具，同时选定这三个点。 ❖ ⑶执行“构造→线段”命令，作△ABC。
4.拖动圆上的点或圆心，改变圆的大小，
观察度量值的变化。
二、度量三角形的内角。
1.作三角形。（学生回答）
2.度量三角形的三个内角。
3.度量三角形的面积。
mABC = 44.70
A
mBCA = 82.22
mCAB = 53.08
面积 BCA = 5.42 厘米2 B
C
❖ 一，度量图形
❖ 按照“先选定，后度量”的顺序，可以测量图形的长度，角度或面积。
❖ 第2步：度量三角形的三个内角。
❖ ⑴依次选定点B，A和C。
❖ ⑵执行“度量→角度”命令，测量∠BAC的度数。
❖ ⑶仿照前两步的操作，测量∠ABC和∠ACB度数。
❖ 第3步：度量三角形的面积。
❖ ⑴同时选定点A，B，C。
❖ ⑵执行“构造→三角形内部”命令，三角形的内部显示黄色。
❖ ⑶选定黄色区域，执行“度量→面积”命令，测量三角形的面积。
同学们看下面的你们很熟悉的两副图形，它们的这些数学值怎样计算出来的呢？
圆周 AB = 12.72厘米面积 AB = 12.88 厘米2
半径 AB = 2.03厘米
A
B
mDCE = 39.75
E

第二章度量几何学

初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 28
§2.3 面积与体积
• 一、面积的概念 • 二、直线型面积的计算 • 三、圆的面积 • 四、球的体积与表面积
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 29
一、面积的概念
• 面积就是指平面上一个封闭图形所包围的平面部分（区域）的大小. • 和线段与角的度量类似，我们取定一个平面图形e（一般取边长等于
• 定理1：底相等的两个矩形面积之比，等于它们的高之比. • 定理2：矩形的面积等于底与高的乘积.
– 推论：正方形的面积等于其边长的平方.
• 用割补法得到平行四边形、梯形、多边形的面积.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 31
三、圆的面积
圆的内接或外切正多边形，当边数无限递增时，其面积的极限，叫做圆的面积.
§2.2 角与弧的度量
1.度量单位
（1）角度的单位
– 角度制: 以两相交射线的交点为中心, 以任意的长度r 为半径, 做一个圆周; 然后, 把该圆周用射线等分成360 个等份, 并把其中的每一份称1“度”.
1周角=360°,1°=60′,1′=60′′
– 弧度制是度量角度大小的另一种方式. 它的办法是以两条相交直线的交点为中心, 以单位长度1 为半径作一个圆周(数学上称之为单位圆) ,然后把两条相交直线所夹的单位圆的弧长, 作为度量两直线的夹角的值.取弧长等于半径的弧所对的圆心角为度量单位，叫做1弧度的角.
性）
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 8
2. 度量线段的基本理论
• （2）阿基米德公理
• 设AB和CD（AB>CD）是任意给定的两条线段，则必定存在正整数n，使得
nCD≤AB<(n+1)CD
• 定理1 用长度单位线段e去度量任一线段AB，总可以得到一个唯一确定的量数（正实数）.