实验二-离散时间信号与系统的Z变换分析
离散时间信号、系统和Z变换
两信号叠加和相乘波形图
sin(2 025 t) 1 0 -1 -6 1 0 -1 -6 2 0 -2 -6 1 0 -1 -6 -4 -2 0 t 2 4 6 -4 -2 sin(50 t) 0 sin(8 t) 2 t 4 6 -4
t) 2 -2 sin(50 t)+sin(8 0 t
判断两函数是否为序列？
值)等于信号的采样值，即：
强调：序列x(n)中n取整数，非整数时无定义，在数值上(序列
x(n)=xa(nT)， -∞＜n＜∞
序列的表示：用公式表示、用图形表示、用集合符号表示。 x(n) = cos(0.5n)
例如：公式法：
集合法： x(n)={…1.3, 2.5, 3.3, 1.9, 0,4. 1…}
x(n) = sin(ωn)
因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此得到数字频率ω与模拟角 频率Ω之间的关系为 表示凡是由模拟信号采样得到
ω ＝ΩT
ω ＝Ω/fs
的序列，模拟角频率Ω与序列
的数字域频率ω成线性关系
§1.2 时域离散信号
2、实指数序列 x(n)=anu(n)， a为实数
如果|a| < 1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列； 如果|a| > 1，则称为发散序列。
x (n ) sin( (n 8) ) 4
z变换 离散系统分析实验报告
南昌大学实验报告(信号与系统)
学生姓名： 学号 专业班级：
实验类型：□ 验证 □ 综合 □ 设计 □ 创新 实验日期： 2012、5、24 实验成绩：
MATLAB 基础上机训练一八
一、实验项目名称: z 变换及离散时间系统的Z 域分析
二、实验目的：
（1）掌握利用MA TLAB 绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法
（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z 变换概念及MA TLAB 实现方法
三、实验原理
1）离散系统零极点
线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即
()()N M
i
j
i j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1）
其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。
将式（8-1）两边进行Z 变换的
00
()
()
()()
()
M
j
j
j N
i
i i b z
Y z B z H z X z A z a z
-=-==
==
∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有：
11
()
()()
M
j
j N
i
i z q H z C
z p ==-=-∏∏ （8-3）
其中C 为常数，(1,2,,)j q j M = 为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N = 为()H z 的N 个极点。
系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函
数便可确定下来。
因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：
第2章Z域分析
j Im[ z ]
a
0
Re[ z ]
X ( z ) 零点为 z 0，极点为z
a
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
22 /186
结论 仅由ZT的表达式不能唯一地确定序列本身， 只有同时考虑到收敛域，才能唯一确定序列。
x(n) X ( z), 收敛域
1—1
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
1
知，该项的反变换应为左边序列，则 1 z Z [ ] (3) n ，n 1 z 3
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
31 /186
所以，所求序列为
n 2 n0 , x ( n) n ( 3 ) , n 1
或写成 x(n) 2 n u(n) (3) n u(n 1) 由以上分析可见，在求z反变换时，一定要考 虑收敛域，注意区别哪些极点对应右边序列，哪 些极点对应左边序列。
1
解法：
1、部分分式展开法
2、幂级数展开法（自学P43-45）
3、留数法（自学P45-47）
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
25 /186
2.2.1部分分式展开法
表示成有理分式形式
P( z ) X ( z) Q( z )
i b z i
M
1 a i z i
i 1
i 0 N
离散信号的z变换
z变换收敛的充分必要条件
例1.1 已知离散时间信号为
求它的z变换及z变换的收敛域。
来自百度文库
解：信号的z变换为
若该级数收敛，只有使 z变换的收敛域为 且此时 收敛半径
例1.2 已知离散时间信号为
求它的z变换及z变换的收敛域。 解：由z变换的定义可得
前一个级数的收敛条件为
即
因此，z变换的收敛域为
1.4 z反变换
定义：由z变换 和其收敛域求原序列
记为
的运算。
求z反变换的方法
幂级数展开法 部分分式法 围线积分法
幂级数展开法
若 把展开为 的幂级数，则该级数的各项
系数就是原序列
的相应值。
例1.3 已知 解： 可展开为
，求其z反变换。
可得原序列为
例1.4 已知像函数
收敛域为
，求其对应的原序列
。
同一个双边z变换表达式， 其收敛域不同，则可能对应 于两个不同的序列
1.3 典型序列的单边z变换
1．单位序列
取其单边z变换，得
收敛域是整个z平面
2．单位阶跃序列
其单边z变换为 即 收敛域为
3．指数序列
收敛域为
4．正弦与余弦序列
单边余弦序列 根据欧拉公式，得
其z变换为
收敛域为 单边正弦序列
收敛域为
数字信号处理实验离散系统的Z域分析
数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析学号：
姓名： 评语： 成绩： 一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：。∑∞-∞=-=n n z n x Z X )()(在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。其命令格式为：syms n; f=(1/2)^n+(1/3)^n;ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即
∑∞-∞=-==n n z n h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若，则系统稳
∞<∑∞-∞=n n h |)(|定。由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部
区域时，系统为因果系统。因为，若z =1时H (z )收敛，即∑∞-∞=-=n n z n h z H )()(，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1因此因果稳定系统应满足的条件为：，即系统函数H (z )的所有极点全部落在1,||<∞≤<ααz z 平面的单位圆之内。
第二章z变换
z 0
x(n)
X
n1
n2
所以，有限长序列的z变换收敛域至少为：
0 z
且有可能包括z=或z=0点。
2、右边序列 此序列是有始无终的序列，即当(n<n1时x(n)=0), 此序列的Z变换为：
X(z)= x(n)z
n n1
-n
根据根值判别法
lim n
n
xn z
n
n
,
X(z)= x(n)z -n
n n1
1）n1<0,n2>0时，除z=及z=0外，X(z)在z平面 上处处收敛。即收敛域为：
0 z
X
2）n1<0,n20时，除z=外，X(z)在z平面上处处 收敛。即收敛域为：
z
x(n)
n1 n2
3）n10,n2>0时，除z=0外，X(z)在z平面上处处 收敛。即收敛域为：
X(z)= x(n)z
n
-n
n
x(n)z
1
-n
x(n)z
n0
-n
双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加。
其收敛域为:两级数收敛域的重叠部分. Rx1 z Rx 2 Rx 2 Rx1 则该级数收敛.其中Rx1 0, Rx 2 <.
可见, 双边序列的收敛域是以半径为R x1和Rx 2之间的圆环部分.
Z变换及离散时间系统分析
几条重要性质
z变换
收敛域
X(z) H(z) aX(z)+bH(z) z-mX(z) X*(z*) X(1/z) X(z)H(z)
Rx-<|z|<Rx+ Rh-<|z|<Rh+ max[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+] Rx-<|z|<Rx+ Rx-<|z|<Rx+ 1/Rx+<|z|<1/Rxmax[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+]
23
2.6 Z变换求解差分方程
15
2.4 Z变换性质
例
(2)中结果不对
2020/5/11
16
2.5 Z反变换
定义及求解法
2020/5/11
17
2.5 Z反变换
• 长除法——幂级数展开
X(z) x(n)zn n0
2020/5/11
18
2.5 Z反变换
• 部分分式
|z|＞1/2
2020/5/11
19
2.5 Z反变换
• 留数法 x(n)
通过抽样，得到如下的离散序列：
xs (nTs ) x(t)s(t) x(t) (t nTs ) x(nTs ) (t nTs )
离散系统Z变换分析法02
2. 开环 Z 传递函数 • 线件离散系统的开环 Z传递函数 跟连续系统的开环传递函数具有类似 的特性。
串联环节的Z传递函数
例题9
z az , G2 ( z ) = , 设图2 − 10 a）中G1 ( z ) = （ − aT z −1 z −e 试求开环Z传递函数G ( z )。 z az 解：G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) = z − 1 z − e − aT az 2 = ( z − 1)( z − e − aT )
离散系统的稳定性定义： 离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的作 用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。
线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次方程的解是
收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传 递函数的极点严格均在左半 s 平面。 离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程的齐次 离散系统稳定的充要条件 解的收敛性，或者从 z域中离散系统的特征方程的根的研 究得到结论。
由上式可以看到：
• • • • (1) 系统的误差除了与系统的结构，环节的参数有 关外，还与系统的输入型式有关； (2) 系统在各采样时刻kT，k＝0，1，2，…的误差 值，可以由E(z)展开式的各项系数e(kT)来确定； (3) 由e(kT)也可以分析系统在某种型式输入时的 动态特性； (4) 当e(kT)中的k→∞时，即可得到系统的稳态特 性。因此，为了分析稳态特性可以对误差的z变换 E(z)施用终值定理以求得ess。
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析
Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。离散时间系统
是指信号的取样点在时间上离散的系统。而Z变换可以将离散时间信号从
时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。Z变
换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：
\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]
其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，
\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递
函数。系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。在离散时间系
统中，传递函数可以表示为：
\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]
其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。频域分析可以用来研
究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和
优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和
计算。其中一些常用的性质包括：
1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和
\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
实验z变换、零极点分析
1. 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； （一）离散时间信号的Z 变换
1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式
MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：
[r,p,k]=residuez(num,den)
式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。 【实例1】 利用MATLAB 计算3
21431818
)
(-----+z
z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序
num=[18];
den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den)
2．Z 变换和Z 反变换
MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为
)()
(F iztrans f f ztrans F ==
上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为
()A sym S =
式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。 【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()
2
a z az
z F -=
的Z 反变换。
解 （1）Z 变换的MATLAB 程序 % Z 变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1)
数字信号处理实验离散时间 LTI 系统的时域分析与 Z 域分析
实验一离散时间LTI系统的时域分析与Z域分析
一、实验目的
1、掌握用MATLAB求解离散时间系统的零状态响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应；
2、掌握离散时间系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的稳定性。
二、实验原理
1、离散时间系统的时域分析
（1）离散时间系统的零状态响应
离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即
MATLAB中函数filter可对式（1-1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。函数filter的语句格式为：
y=filter(b,a,x)
其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列；y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
（2）离散时间系统的单位脉冲响应
系统的单位脉冲响应定义为系统在 (n)激励下系统的零状态响应，用h(n)表示。
MATLAB求解单位脉冲响有两种方法：一种是利用函数filter；另一种是利用函数impz。impz函数的常用语句格式为impz(b,a,n)，其中b和a的定义见filter，n表示脉冲响应输出的序列个数。
（3）离散时间系统的单位阶跃响应
系统的单位阶跃响应定义为系统在ε(n)激励下系统的零状态响应。
MATLAB求解单位脉冲响应有两种方法：一种是利用函数filter，另一种是利用函数stepz。stepz函数的常用语句格式为stepz(b,a,N)
其中，b和a的定义见filter，N表示脉冲响应输出的序列个数。
2、离散时间系统的Z域分析
(1)系统函数的零极点分析
实验-Z变换、零极点分析
（一）离散时间信号的Z 变换
1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式
MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：
[r,p,k]=residuez(num,den)
式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。
【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+z
z z z F 的部分分式展开式。 解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为
% 部分分式展开式的实现程序
num=[18];
den=[18 3 -4 -1];
[r,p,k]=residuez(num,den)
2．Z 变换和Z 反变换
MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为
)()(F iztrans f f ztrans F ==
上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为
()A sym S =
式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。
【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=
的Z 反变换。
解 （1）Z 变换的MATLAB 程序
% Z 变换的程序实现
f=sym('a^n');
F=ztrans(f)
程序运行结果为：
z/a/(z/a-1)
离散信号与系统的 Z 域分析
第 六 章 离散信号与系统的 Z 域分析
引言
与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析
是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。这
种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。 如果把复指数信号e jΩk 扩展
为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Z
k 为基本信号， 把输入信号分解为基本信号Z k 之和， 则响应为基本信号Z k 的响应之和。这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这
种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的 抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析 和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信 号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可 以比较方便的分析系统的响应。
Z 变换
从拉普拉斯变换到Z 变换
对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为 抽样间隔，得到抽样信号为
f s （t）=f（t）δT （t）= =
对f
s
（t）取双边拉普拉斯变换，得
F s （s）=￡[f
s
（t）]=
令z=e sT , 则F
s
（s）=F(z) ,得
F（z）=
因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为
F(z)=
称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。
z和s的关系为:
z=e sT
s=（1/T）㏑z
由复变函数理论,可以得到
f(k)= ∮
c
F(z)z k-1 dz
式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
其中 Rx Rh z Rx Rh
式中c是v平面收敛域中一条逆时针闭合曲线， v平面收敛域：
max[
z Rx
, Rh ] v min[
z Rx
, Rh ]
z 即 X ( )和H (v) 收敛域公 v 共部分
11、Parseval定理
式中c是v平面收敛域中一条逆时针闭合曲线， v平面收敛域：
n2
x ( n) z n
X ( z)
n
x(n) z n
n2
n
x(n) z n x(n) z n
n 1
0
n2来自百度文库
0 z Rx
所以：左边序列ZT收敛域为：
0 z Rx
（圆内，但不包括0）
特例： 反因果序列： n2 0
即
收敛域
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
n
2 z 3
1 1 2z 1
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
武汉工程大学matlab实验二离散时间信号的分析实验【范本模板】
武汉工程大学数字信号处理实验报告二
专业班级：14级通信03班
学生姓名：秦重双
学号：1404201114
实验时间：2017年5月3日
实验地点：4B315
指导老师: 杨述斌
实验一离散时间信号的分析实验
一、实验目的
①认识常用的各种信号,理解其数学表达式和波形表示。
②掌握在计算机中生成及绘制数值信号波形的方法。
③掌握序列的简单运算及计算机实现与作用。
④理解离散时间傅里叶变换、Z变换及它们的性质和信号的频域特性。二、实验设备
计算机,MATLAB语言环境。
三、实验基础理论
1、序列的相关概念
离散时间信号用一个称为样本的数字序列来表示。一般用｛x［n］｝表示，其中自变量n的取值范围是﹣∞到﹢∞之间的整数。为了表示方便，序列通常直接用x[n]表示。
离散时间信号可以是一个有限长序列，也可以是一个无限长序列。有限长（也称为有限时宽)序列仅定义在有限的时间间隔中：﹣∞≤N1 ≤N2 ≤+∝。有限长序列的长度或时宽为N=N1 -N2+1。
满足x[n+kN］=x[n]（对于所有n）的序列称为周期为N的周期序列,其中N取任意正整数；k取任意整数；
2、常见序列
常见序列有单位取样值信号、单位阶跃序列、矩形序列、斜变序列、单边指数序列、正弦序列、复指数序列等。
3、序列的基本运算
序列的基本运算有加法、乘法、倒置（反转）、移位、尺度变换、卷积
等。
4、离散傅里叶变换的相关概念
5、Z变换的相关概念
四．实验内容与步骤
1、知识准备
认真复习以上基础理论,理解本实验所用到的实验原理。
2、离散时间信号（序列）的产生
利用MATLAB语言编程和绘制单位样值信号、单位阶跃序列、指数序列、正弦序列及随机离散信号的波形，以加深对离散信号时域表示的理解。
第8章 z变换离散时间系统的z变换分析
X(z) 利用离散系统函数H(z)分析系统 分析序列的频率特性
分析离散系统的频率响应特性
二、 抽样信号xs(t)的拉氏变换→z变换
理想抽样：
单边x(t) = x(t)u(t)
抽样间隔
对上式取双边拉氏变换，得到
交换运算次序， 并利用冲激函数的 抽样性，得到抽样信号的拉氏变换为
令e sT = z 或
r a z Y ( z ) b z m zs r X ( z) m r 0
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验二离散时间信号与系统的Z变换分析
一、实验目的
1、熟悉离散信号z变换的原理及性质
2、熟悉常见信号的Z变换
3、了解正/反Z变换的MATLAB实现方法
4、了解离散信号的Z变换与其对应的理想抽样信号的傅氏变换和拉氏变换Z间的关系
5、了解利用MATLAB实现离散系统的频率特性分析的方法
二、实验原理
1、正/反Z变换
Z变换分析法是分析离散时间信号与系统的重要手段。如果以时间间隔Ts对连续时间信号f(t)进行理想抽样，那么，所得的理想抽样信号 f (t)为:
理想抽样信号f (t)的双边拉普拉斯变换 F (s)为:
F(s)f(t广
k (t kTs) e st dt f (kTs)e ksT s
k
若令f (kTs)f(k)，z esTi，那么f (t)的双边拉普拉斯变换F(s)为:
F(s)f(k)z k FOzesI
则离散信号f(k)的Z变换定义为:
F(z) f(k)z
f (t) 惟广Ts(t) f (t)
从上面关于Z变换的推导过程中可知，离散信号 f (k)的Z变换F(z)与其对应的理想抽样信号 f (t)的
拉氏变换F (s)之间存在以下关系:
F (s) F(z)
f⑴的傅里叶变换之间的尖系为同理，可以推出离散信号f(k)的Z变换F(z)和它对应的理想抽样信号
F(j ) F(z)
MATLAB 程序如下：
syms k z Fz=2* z/(2*z-1); fk=iztra ns(F
z,k)
运行结果如下:
fk =
例③：求序列f (k)
clc;clear all syms n hn=sym( ' kroneckerDelta(n, 1) + kroneckerDelta(n, 2) + kroneckerDelta(n, 3)'
如果已知信号的Z 变换F(z)，要求出所对应的原离散序列 f (k),就需要进行反Z 变换，
f(k)
2〔j?F ⑵ Zk
1
dz
其屮，C 为包围F (z)z kl
的所有极点的闭合积分路线。 在MATLAB 语言1+1
有专门对信号进行正反 Z 变换的函数ztrans ()和itransO
下：
F=ztrans ( f )对f(n)进行Z 变换，其结果为F(z) F=ztrans (f, v)对f(n)进行Z 变换，其结果为 F(v) F=ztrans (f, u, v)对f(u)进行Z 变换，其结果为 F(v) f=itrans ( F )对F(z)进行Z 反变换，其结果为
f (n)
f=itrans (F, u)对 F(z)进行 Z 反变换，其结果为 f(u) f=itrans(F, v, u )对 F(v)进 行Z
反变换，其结果为f(u)
注意：在调用函数ztranO 及iztran()之前，要用syms 命令对所有需要用到的变量 行说明，即要将这些变量说明成符号变量。 反Z 变换的定义为:
其调用格式分别如
t,u,v,w )等进
例①.用MATLAB 求出离散序列f (k) (0. 5)
(k)的Z 变换
MATLAB 程序如下:
syms k z f 二0.5%;
%定义离散信号
Fz=ztra %对离散信号进行Z 变换
ns(f)
Fz 二 2*z/(2*z-l)
例②•已知一离散信号的
z 变换式为F(z)
2z 2z 1
，求出它所对应的离散信号 f(k)
%定义Z 变换表达式 %求反Z 变换
Hz=ztra ns(h n) Hz=simplify(Hz)
2、离散系统的频率特性
同连续系统的系统函数H(s)类似，离散系统的系统函数H(Z)也反映了系统本身固有的特性。对于离散系统来说，如果把其系统函数H(z)+的复变量z换成9 e jT=(其中Ts)，那么所得的函数
H (e J)就是此离散系统的频率响应特性，即离散时间系统的频率响应为：
H(e J ) H(e J ) ge J !l H(z)z
其中，H(e J)称为离散系统的幅频特性，()称为系统的相频特性。同连续系统一样，离散时间系统
的幅频特性也是频率的偶函数，相频特性也是频率的齐函数。
由于3是频率的周期函数，所以离散系统的频率响应特性也是频率的周期函数，其周期为2 ,
2
或者角频率周期为T ——。实际上，这就是抽样系统的抽样频率，而其屮的T则是系统的抽样周期。
T
S
频率响应呈现周期性是离散系统特性区别于连续系统特性的重要特点。因此，只要分析H(e」)在 2
范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。
H (e J)函数来表示离散系统的频率响应特性，|H(e」)表示幅频特性，而相频特性仍用()来表示。应该特別注意的是，虽然这里的变量仍然称为频率变量，但是它已经不是原来意义上的角频率概念, 而实际上是表示角度的概念。我们称之为数字频率。它与原来角频率的关系为：Ts。也就是说，根
据离散系统的系统函数H(z),令其屮的z e J，并且代入0〜2范围内不同的频率值(实际上是角度值)，就可以逐个计算岀不同频率时的响应，求出离散系统的频率响应特性。再利用离散系统频率特性的周期性特点(周期为2 ),求出系统的整个频率特性。
离散系统的幅频特性曲线和相频特性曲线能够直观地反映出系统对不同频率的输入序列的处理情况。
在函数H(e，)随的变换关系中，在二0附近，反映了系统对输入信号低频部分的处理情况，而在二
附近，则反映了系统对输入信号高频部分的处理情况。
一般来说，分析离散系统频率响应特性就要绘制频率响应曲线，而这是相当麻烦的。虽然可以通过
几何矢量法来定性画出频率响应特性曲线，但一般来说这也是很麻烦的。值得庆幸的是，MATLAB为我们
提供了专门用于求解离散系统频率响应的函数freqz (),其调用格式如下：
田,w]-freqz (B,A,N) 其中，B和A分别是表示待分析的离散系统的系统函数的分子，分母多
项式的向量，N为正整数，返回向量H则包含了离散系统频率响应函数H(e」)在0、范围内的N个频
率等分点的值。向量则包含0范围内的N个频率等分点。在默认情况下2512。
田,w]二freqz (B,A,N,'whole') 其中，B, A和N的意义同上，而返回向量H包含了频率响应