时频信号分析课件

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2、傅里叶变换对于非平稳信号的局限性
平稳信号 工程上 频率不随时间变化的信号（时
不变信号）
非平稳信号 工程上 频率随时间变化的信号（时
变信号）
定义上有别与平稳随机信号——均值（一阶矩）和 相关（二阶矩）函数不随时间变化。
非平稳信号——频率随时间变换不合适 X ( j)
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傅里叶变换建立了一个域到另一个域的通道，但它
并没有将时域和频域组合成一个域。在上述傅里叶
变换中，x和t 这两个变量是互相排斥的。即若想知
道在某一频率处 的X (j) ，需要知道x(t)在 t
所有值，反之亦然：
X
(
jΩ0
)
x(t)e jΩ0tdt
x(t
0
)
1 2π
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时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量 频率 ------ 具有明确的物理意义 （1）波形源 （2）波的传播 （3）简化对波形理解 （4）FT数学工具
时域 （傅里叶变换） 频域
X
(
j
பைடு நூலகம்
)
x(t)e jtdt
x(t)
1
X ( j )e jtd
2π
x(t) dt
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但是受实际上不确定原理的制约，时间分辨率和频率 分辨率不能同时达到最好（即分辨间隔最小）。因此 在实际信号分析中，应根据信号的特点及信号处理任 务的需求选取不同的时间分辨率和频率分辨率。
时域突变信号——高的时域分辨率，降低频率分辨率 要求
时域慢变信号——降低时间分辨率，高的频率分辨率 一个“好”的方法，除了能够选择不同的时间分辨率 和频率分辨率外，还应能适应信号特点自动调节时域 的分辨率和频域的分辨率。
时频信号分析 Time-Frequency Signal Analysis
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1 时频分析基础
1.1 信号的时间与频率
同一信号
时间域 x(t) 频率域 X ( j)
频率域 ----- 能反映出信号在时间域中所不能反映的 信号本身的某些重要特征
时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量
物理意义：一个任意平方可积函数（信号）x(t)都可
以分解为无穷多个(在某些特殊条件下可以是有限个)
不同频率正弦信号之和。
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傅里叶变换的不足或限制（局限性）: 1、傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能 时间和频率的定位 —— 对给定信号x(t)，希望知道 在某一个特定时刻（或一很短的时间范围），该信 号所对应的频率是多少；反过来，对某一个特定的 频率（或一很窄的频率区间），希望知道是什么时 刻产生了该频率分量。
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3、傅里叶变换在分辨率上的局限性 分辨率是信号处理中的基本概念。 时间分辨率和频率分辨率 其含义是指对信号能作出辨别的时域或频域的最小 间隔（又称最小分辨细胞）。 自然地，我们希望既能好的时间分辨率又能有好的 频率分辨率。理想的分辨率是某一时刻某一频率， 也即在时-频面上的一个点（或一个小的区域）
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Cohen类时频分布
Cx
(t, ,
g)
1 2π
x(u )x*(u )g( , )e j(t+ u )dud d
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Gabor变换（展开）
x(t)
Cm,n g (t mT )e jnt
m n
g(t) 窗函数
Cm,n 展开系数
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时频分布应具有的几个基本性质： （1）是人们最关心的两个物理量t和Ω的联合分布函 数。 （2）可反映x(t)的能量随时间t和频率Ω变换的形态 （3）既具有好的时间分辨率，同时又具有好的频率 分辨率
0 365 182 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80
100 120
Time [s]
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从上例可见，傅里叶变换反映不出信号频率随时间 变换的行为。因此，它只适合于分析平稳信号，而 对频率随时间变换的非平稳信号，即时变信号，它 只能给出一个总的平均效果。
x( )g*(t )ej d
g(t) 窗函数
意义：用 g(t) 沿着t滑动，不断地截取一段一段的信 号，然后对每一小段分别做傅里叶变换，得到 (t, ) 平面上的二维函数 STFTx (t, )
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2、时频联合分析 Wigner-Ville分布
Wx (t, )
x(t )x*(t )e j d
X ( j )ejt0 d
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这样，我们无法从局部频率处 ( 0或1 2 ) 的 X (j) 来得到某一局部时刻 (t t0或t1 t t2 ) 的 x(t)，反过来也是如此的。这就是说，通过傅里叶变 换建立起来时域——频率关系无“定位”功能。换 句话说，时间信号x(t)某个局部的改变将传遍（影响） 整个频率轴，相反也一样，X (j) 某个局部的变换也 将传遍整个时间轴。
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与时间无关
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EX: 线性频率调制信号
x(t) ejt2
Energy spectral density
Linear scale
Real part
1 0.5
0 -0.5
Signal in time WV, lin. scale, contour, Threshold=5%
0.4 0.3 0.2 0.1
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3、小波变换
WTx (a,b)
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傅里叶变换中 X ( j) 每一个特定的Ω值表示 了某个特定频率的三角函数 ejt cos t jsint 因 此从频域中它表示一个点。即它的频率分辨率最好 （理想值）。但它的时间域中表示的是整个时间域， 所以它的时间分辨率为零（最低）。
另一个极端的例子是 (t) 函数，它在时间域 上是一个点，具有理想的时间分辨率，但它在频率 是整个频率轴，所以它的频率分辨率为零。
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结论：用独立的两个域中来讨论频率随时间变换的 非平稳信号（时变信号）是不合适的。必须将两个 域结合起来进行分析——这就是所谓的时频分析。 它是在时间-频率域上对信号进行分析。
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1.2 克服傅里叶变换不足的一些主要方法
1、短时傅里叶变换
STFTx (t, )