高中数学一轮复习之函数的周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).，则T＝2a(a≠0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a≠0).③若f(x＋a)＝－1f（x）④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).函数图象的对称性①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)＝( )A ．20232B ．1C ．0D ．－1 答案 D解析 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，因为f (x )为R 上的奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选D.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－3x 2＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝( )A ．－103 B ．103 C ．－23 D ．23答案 B解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，∴f ((x ＋1)＋1)＝－f (－(x ＋1)＋1)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (－x )，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)＝－f (－x ).令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，∴f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，∴f (x ＋4)＝f (x ).故函数f (x )的周期为4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝103.故选B.例3 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 B ．f (sin 1)>f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 D ．f (sin 2)>f (cos 2)答案 C解析 ∵当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，f (x ＋2)＝f (x )，∴当x ∈[－1，1]时，f (x )＝f (x＋2)＝f (x ＋4)＝1－|x |，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x ，∴函数f (x )在[0，1]上为减函数，又0<cos π3<sin π3<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，A 错误；0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，C 正确；f (sin 2)＝1－sin 2，f (cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 2π3<sin 2<1，cos 2π3<cos 2<0，∴0<1－sin 2<1－32，12<1＋cos 2<1，∴f (sin 2)<f (cos 2)，D 错误．故选C.例4 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．答案 52解析 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 例5 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是( )A ．f (－1)<f (9)<f (13)B ．f (13)<f (9)<f (－1)C ．f (9)<f (－1)<f (13)D ．f (13)<f (－1)<f (9) 答案 C解析 ∵f (5＋t )＝f (5－t )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，∴f (－1)＝f (11)，∵函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，∴f (x )在(5，＋∞)上单调递增．∴f (9)＜f (11)＜f (13)，即f (9)＜f (－1)＜f (13).例6 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )得f (x )的图象关于(0，1)对称，而y ＝x ＋1x ＝1＋1x 也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .例7 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1).若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞)D ．(0，1)∪(1，4) 答案 C解析 当－4≤x ＜0时，函数y ＝|x ＋3|关于原点对称的函数为－y ＝|－x ＋3|，即y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)，因为函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a ＞1，则f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x ＝4时，y ＝－|4－3|＝－1，若0＜a ＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f (4)＜－1，即log a 4＜－1，得14＜a ＜1.综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞).故选C.例8 已知函数g (x )的图象与f (x )＝x 2－mx 的图象关于点(－1，2)对称，且g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，则实数m ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－1 答案 C解析 设(x ，y )是函数g (x )的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x ，4－y )，因此点(－2－x ，4－y )在f (x )的图象上，所以4－y ＝(－2－x )2－m (－2－x )，整理得y ＝－x 2－mx －4x －2m ，即g (x )＝－x 2－mx －4x －2m ，又g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，所以方程－x 2－mx －4x －2m ＝－4x －4，即x 2＋mx ＋2m －4＝0有两个相等的实数根，则m 2－4(2m －4)＝0，可得m ＝4.故选C.例9 定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，若对任意的x ∈[t ，t ＋1]，不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－1B ．－23 C ．－13 D ．13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，当1≤x ＜4时，f (x )＝3－x 为减函数，且f (x )∈(－1，2]；当x ≥4时，f (x )＝1－log 2x 为减函数，且f (x )∈(－∞，－1]，∴f (x )在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，由对称性可得|2－x －1|≥|x ＋1＋t －1|对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，即有|x －1|≥|x ＋t |⇔－2x ＋1≥2tx ＋t 2⇔(2t ＋2)x ＋t 2－1≤0对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，令g (x )＝(2t ＋2)·x ＋t 2－1，则⎩⎨⎧g （t ）≤0，g （t ＋1）≤0，即⎩⎨⎧2（t ＋1）t ＋t 2－1≤0，2（t ＋1）（t ＋1）＋t 2－1≤0，即⎩⎨⎧3t 2＋2t －1≤0，3t 2＋4t ＋1≤0，解得－1≤t ≤－13，∴实数t 的最大值为－13.故选C. 轴对称(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称(当a ＝0时，恰好就是偶函数). (2)f (a －x )＝f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2轴对称．(3)f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，进而可得到f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称． 中心对称(1)f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称(当a ＝0时，恰好就是奇函数). (2)f (a －x )＝－f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0中心对称．(3)f (a －x )＋f (b ＋x )＝2c ⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 中心对称．。
高中数学一轮复习之三角函数的周期性
高中数学一轮复习之三角函数的周期性
三角函数是数学中重要的概念之一，它们具有周期性的特点。
本文将对三角函数的周期性进行详细介绍。
正弦函数的周期性
正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)。
其周期性非常明显，即每隔一定的距离，函数的值将重复。
正弦函数的周期是2π，即在区间[0, 2π]上，sin(x)的值将重复出现。
余弦函数的周期性
余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。
和正弦函数一样，余弦函数也具有周期性。
余弦函数的周期也是2π，即在区间[0, 2π]上，cos(x)的值将重复出现。
正切函数的周期性
正切函数是三角函数中稍微复杂一些的函数，表示为tan(x)。
和正弦函数、余弦函数类似，正切函数也具有周期性。
但是，和正弦函数、余弦函数不同的是，正切函数的周期是π，即在区间[0, π]上，tan(x)的值将重复出现。
其他三角函数的周期性
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有很多其他的三角函数，如余割函数、正割函数等等。
这些函数也都具有周期性，其周期和对应的函数关系密切相关。
总结
三角函数的周期性是它们的重要特性之一。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π, 而正切函数的周期是π。
除了这些常见的三角函数外，还有其他的三角函数也具有周期性。
了解三角函数的周期性将有助于我们更好地理解和应用三角函数的相关概念。
以上就是对高中数学一轮复之三角函数的周期性的详细介绍。
希望本文能够对您的研究有所帮助。
参考资料：
- 数学教材《高中数学》。
高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)
函数的周期性与常考题【知识点分析】：函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)1. 型的周期为T。
定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。
【相似题练习】1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．336B．337C．338D．3391．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）A．﹣2+2B．2+2C．2D．【知识点分析】：2. 型的周期为。
证明：。
特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。
【相似题练习】2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【知识点分析】：3. 型的周期为2a。
证明：【相似题练习】1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣161．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【知识点分析】：4. 型的周期为2a。
高中数学函数的周期性
高中数学函数的周期性一、函数周期性的认识周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。
在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。
函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。
二、函数周期性的判断判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；4、根据函数的性质，确定函数的周期。
三、函数周期性的应用函数周期性在数学中有着广泛的应用。
例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。
函数周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。
四、函数周期性的意义函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。
通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。
函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。
高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。
在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。
原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究一、引言在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。
对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。
而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。
这两个性质在很多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
对于周期函数和奇偶函数，其原函数和导函数之间存在一些有趣的和相互影响。
本文将对此进行深入的探究和分析。
二、原函数与导函数的周期性首先，我们观察一个函数与其导函数之间的周期性关系。
数学高一周期性总结知识点
数学高一周期性总结知识点高一数学周期性知识点总结导语：数学是一门需要不断联系和积累的学科，尤其是高中数学，各个知识点相互联系，构成一个大的知识体系。
其中，周期性是高一数学中一个重要的知识点，涉及到函数、图像、方程、不等式等多个概念。
本文将对高一数学的周期性知识点进行总结，旨在帮助同学们系统地掌握这一方面的知识。
1. 函数的周期性函数的周期性是指函数在一定规律的条件下，以某个特定的周期不断地重复。
在高一数学中，我们主要接触到正弦函数、余弦函数等具有周期性的函数。
1.1 正弦函数的周期性正弦函数是最常见的周期函数之一，它的周期是2π。
即当自变量x增加或减小2π的倍数时，函数值会重复。
例如，sin(x)在区间[0,2π]的图像是一个正弦波，在区间[2π,4π]上的图像与之完全相同，以此类推。
1.2 余弦函数的周期性余弦函数也是一种常见的周期函数，它的周期同样是2π。
与正弦函数类似，余弦函数的图像在每个周期内都有相同的形状，当自变量增加或减小2π的倍数时，函数值会重复。
2. 图像的周期性图像的周期性是指图像在某个规律下不断重复出现。
在高一数学中，我们经常遇到的周期性图像有菱形、正方形等。
2.1 菱形的周期性菱形是一个经典的周期性图像。
当x坐标和y坐标之和是一个定值的倍数时，图像上的点形成菱形。
例如，在坐标平面上，当x+y=4和x+y=10时，图像上的点会形成两个菱形，且这些菱形是周期性重复的。
2.2 正方形的周期性正方形也是一种常见的周期性图像，它具有四个对称轴。
在坐标平面上，当x和y的绝对值都是一个定值的倍数时，图像上的点会形成正方形。
例如，当|x|=3和|y|=3时，图像上的点会形成一个边长为6的正方形。
3. 方程及不等式的周期性解周期性解是指方程或不等式在一定规律下，以某个特定的周期不断地得到相同的解。
3.1 方程的周期性解对于具有周期性解的方程，我们可以通过求解一个周期内的解，再通过周期的倍数得到其他解。
函数的奇偶性及周期性——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)
|2－x|，0≤x<1，
∈R，若 f(－5)＝f(4.5)，则 a＝( )
A．0.5
B．1.5
C．2.5
D．3.5
2 / 20
【例 2】已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在 区间[0，4]上与 x 轴的交点的个数为( )
一、题型全归纳
题型一 函数奇偶性的判断
【题型要点】判断函数奇偶性的方法
(1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析 式，根据 f(－x)与 f(x)的关系作出判断．
(2)利用函数图象特征判断．
(3)分段函数奇偶性的判断，要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称 的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
C．2
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇 偶性和单调性求解．
【例 1】已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋… ＋f(50)＝( )
A．－50
B．0
A．2
B．3
C．4Leabharlann D．5题型四 函数性质的综合应用
【题型要点】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自 变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法
高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法高考数学一轮总复习：函数的对称性与周期性分析方法函数是数学中一个重要的概念，对称性与周期性是函数研究中的两个关键方面。
在高考数学中，对于函数的对称性与周期性的分析方法，学生需要掌握清楚并能够熟练运用。
本文将详细介绍高考数学中函数的对称性与周期性分析方法。
一、函数的对称性分析方法1. 基本对称性函数的基本对称性是指关于坐标轴的对称性，包括关于x轴的对称性和关于y轴的对称性。
关于x轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = f(-x)$，则函数关于x轴对称。
关于y轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = -f(-x)$，则函数关于y轴对称。
2. 奇偶性函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。
奇函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
偶函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
3. 周期性函数的周期性是指函数在一定区间内有规律地重复的性质。
函数$f(x)$的周期为T：如果对于任意的x值，有$f(x+T) = f(x)$，则函数的周期为T。
二、函数的周期性分析方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的周期。
例如，对于正弦函数$y = \sin(x)$，我们可以观察到在区间[0, 2π]中，函数的图像重复周期为2π。
2. 方程法对于周期函数，可以通过解方程来确定函数的周期。
例如，对于正弦函数$y = \sin(ax)$，其中a为常数，若函数的周期为T，则有：$\sin(a(x+T)) = \sin(ax)$根据正弦函数的性质，上式成立的条件为：$a(x+T)-ax= k2π$其中k为整数，解得：$T = \frac{2π}{a}$通过方程法，我们可以得到正弦函数的周期为$\frac{2π}{a}$。
三、实例分析下面以一个具体的例子来说明函数的对称性与周期性分析方法。
高中数学一轮复习之函数的周期性
第8节 函数的周期性【基础知识】1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．【规律技巧】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．【典例讲解】例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.【拓展提高】判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【变式探究】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x ，当2≤x ≤3时， f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.【答案】2.5【针对训练】1、设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =．【答案】10062、已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则(2013)f 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013【答案】A3、已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -≤≤时，2()1f x x =-.若直线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( )A ．3{|24a a k =+或52,}4k k Z +∈ B ．1{|24a a k =-或32,}4k k Z +∈ C ．{|21a a k =+或52,}4k k Z +∈ D ．{|21a a k =+,}k Z ∈【答案】C【综合点评】函数周期性的应用主要有两个方面，其一是求函数值，理论依据是周期性的定义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是利用周期函数图象重复出现的特征，先画出一个周期内的函数图象，然后依次向左向右平移周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．【练习巩固】1、已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( )A.()()()7 6.5 4.5f f f <<B.()()()7 4.5 6.5f f f <<C.()()()4.5 6.57f f f <<D.()()()4.57 6.5f f f <<【答案】D2、设()g x 是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则()f x 在区间[0,3]上的值域为 .【答案】()[]2,7f x ∈-【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．3.定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+．当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（ ）（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015【答案】A4.已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 【答案】A5.设()f x 是定义在R 上的函数，且满足1(1)()f x f x +=-．当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = . 【答案】16、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)【答案】D7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于 ( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98【答案】A8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为( ) A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算【答案】C 9．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是 ( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23 【答案】C【解析】函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23.。
高一数学周期函数知识点归纳
高一数学周期函数知识点归纳高一学年是数学学科中一个重要的节点，学生们开始接触到更加具体和深入的数学知识。
其中，周期函数是高中数学中的一个重要内容，也是学生们在数学学科中的一个重要门槛。
本文将围绕着高一数学中周期函数的知识点进行归纳和总结。
一、周期函数的定义和特点周期函数是指在一定的时间内，函数值呈现出一定的规律性重复变化的函数。
其中，最基本的周期函数是正弦函数和余弦函数。
它们的最小正周期都是2π，即在一个周期内，函数的值会重复。
周期函数有以下几个特点：1. 函数值在一个正周期内重复；2. 函数值在一个正周期内的增减变化规律相同；3. 函数值在不同的周期上的增减变化规律不同；4. 函数值在不同的周期上的取值范围可能不同。
二、周期函数图像的性质周期函数的图像具有一定的对称性，这是由函数的周期性决定的。
周期函数的图像有以下几个特点：1. 函数在每一个正周期内都有对称轴；2. 函数在每一个正周期内的增减变化过程都是对称的；3. 函数在不同的周期上的图像可能有水平平移、垂直平移和挤压等变化。
三、周期函数的性质和运算周期函数有一些特殊的性质和运算规律。
任务是关注其中的一些重要内容：1. 周期函数的零点：周期函数的零点是指函数值等于零的点。
对于正弦函数和余弦函数，它们的零点在每个周期的中间，分别为x=kπ和x=(k+0.5)π，其中k为整数。
2. 周期函数的最值：周期函数的最值指函数值的最大值和最小值。
对于正弦函数和余弦函数，它们的最大值和最小值分别为1和-1。
3. 周期函数的复合函数：周期函数的复合函数是指将周期函数放到另一个函数中进行求解。
通过合理的复合，可以使得周期函数的图像发生各种变化，如垂直平移、水平平移、挤压等，从而得到更加复杂的图像。
4. 周期函数的运算性质：周期函数也可以进行通常的四则运算和复合运算。
特别是正弦函数和余弦函数，在一些特定的运算过程中具有一定的性质，如：正弦函数的和函数还是正弦函数，除了函数值的增大和减小方向发生变化。
(完整版)必修一函数的周期性
【高中数学专题训练之___】函数的周期性与对称性一、基础知识1、 对称性：（1）函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=-（2）函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=（3）函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 (2)()f x a f x +=- 偶函数是轴对称的特例关于0x a ==对称。
（4）函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b 或f(x)+f(2a-x)=2b 或f(x+2a)+f(-x)=2b 奇函数是中心对称的特例关于点（0,0）对称2、周期性：（1）定义：对任意的x R ∈,都有()()f x T f x +=成立，则函数()f x 是周期函数，T 是()f x 的周期（2）性质：若T 是f(x)的周期，则kT 也是f(x)的周期,所有周期中最小的叫最小正周期，简称周期。
（3） 常见函数的周期:①y=sinx ，最小正周期T ＝2π； ②y=cosx ，最小正周期T ＝2π； ③y=tanx ，最小正周期T ＝π； ④周期函数f(x) 最小正周期为T,则()()f x A x b ωϕ=++的最小正周期为T ω （4）关于周期的几个常用结论：1>若对任意对任意的x R ∈,都有：()()f x m f x +=-+b 成立，则T=2m证明：由已知得：()()(())()f x m m f x m b f x b b f x ++=-++=--++=，故，T=2m2>若对任意对任意的x R ∈,都有：()()b f x m f x +=成立 (0b ≠)，则T=2m 证明：由已知得：()()()()b b f x m m f x bf x m f x ++===+，故T=2m 3>1()()1()f x f x m f x -+=+，则()x f 是以2T m =为周期的周期函数. 4>1()()1()f x f x m f x -+=-+，则()x f 是以4T m =为周期的周期函数. 5>1()()1()f x f x m f x ++=-，则()x f 是以4T m =为周期的周期函数.6>若()f x 是R 上的奇函数，且关于直线x m =对称，则T=4m （仿正弦函数抽象而得）证明：该函数关于直线x m =对称 (2)()f x m f x ∴+=- 该函数是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，则(2)()()f x m f x f x ∴+=-=-由1>得，T=4m7>若()f x 是R 上的偶函数，且关于直线x m =对称，则T=2m （仿余弦函数抽象而得）证明：该函数关于直线x m =对称 (2)()f x m f x ∴+=- 该函数是偶函数 ()()f x f x ∴-=，则(2)()()f x m f x f x ∴+=-=故：T=2m8>若()f x 定义在R 上，且关于直线x m =和x n =对称（m n ≠），则2()T m n =- （仿正余弦而得）证明：该函数关于直线x m =对称，(2)()f m x f x ∴-= 该函数关于直线x n =对称，(2)()f n x f x ∴-=则，(2())(2(2))(2)()f m n x f m n x f n x f x -+=--=-=故，2()T m n =-9>若()f x 定义在R 上，且既关于点(,)a b 对称，又关于直线x m =对称，则4()T m a =- （仿正余弦） 证明：该函数关于点(,)a b 对称，()(2)2f x f a x b ∴+-= （1） 该函数关于直线x m =对称，()(2)f x f m x ∴=-，代入（1）式得：(2)(2)2f m x f a x b -+-=，（2）记2a x t -=，则2x a t =-代入（2）得：(22)()2f m a t f t b -++=，即：(22)()2f m a t f t b -+=-+由结论1>得：2(22)4()T m a m a =-=-10>若()f x 定义在R 上，且既关于点(,)m n 对称，又关于点(,)k n ，则2()T k m =- （仿正余弦而得） 证明：该函数关于点(,)m n 对称，()(2)2f x f m x n ∴+-= （1） 该函数关于点(,)k n 对称，()(2)2f x f k x n ∴+-= （2）由（1）－（2）得， (2)(2)0f m x f k x ---=记2m x t -=，则2x m t =- 代入上式得:()(22)0f t f k m t --+=,即：()(22)f t f k m t =-+故：2()T k m =-二、习题精练1、f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则在区间（0，6）内()0f x =的解的个数的最小值是 （ ）A ．2；B ．3C ．4D ．52、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x)，则f(6)的值为 ( )A ．—1B ．0C ．1D ．23、设f （x ）定义域为R ，且对任意实数x,2(3)()f x f x +=-恒成立，f （x ）在(0,3)内单调递减，且该函数的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）A 、()()()1.5 3.5 6.5f f f <<；B ．()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；C ．()()()6.5 3.5 1.5f f f <<；D ．()()()3.5 6.5 1.5f f f <<4、设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则 （ ）.A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <-5、定义域在R 的函数()f x 既是的偶函数，又关于1x =对称，若()f x 在[]1,0-上是减函数，那么()f x 在[]2,3上是 （ ）.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数6、已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则2(log 10)f 的值为.A 35 .B 85 .C 38- .D 537、函数()f x 的定义域为R ，且对任意实数x,都有(1)(1)2,f x f x -++=，()(4)f x f x =-则在[]0,10内，方程()1f x =的解至少有几个( )A ．2；B ．4C ．5D ．68、()f x 定义域为R ，且对任意x R ∈都有()1(1)1()f x f x f x ++=-成立，若()21f =f(2009)=__________9、()f x 是定义域在R 上的奇函数，且其图像关于直线12x =对称，求值(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++10、设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称，对任意x ，ｘ２∈［０21］，都有 1212()()()f x x f x f x +=⋅且(1)0f a =>(Ⅰ)求11(),()24f f ； (Ⅱ)证明()f x 是周期函数；11、（05广东）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有(1)(3)0f f ==．（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论11、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x -y ）=f (x )·f (y )＋1f (y )－f (x )成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．。
专题05 函数 5.7对称性与周期性 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
专题四《函数》讲义5.7对称性与周期性知识梳理.对称性与周期性1.轴对称：①f(x)=f(-x)，关于x=0对称②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称③f(a+x)=f(b-x)，关于x=2b a 对称2.中心对称：①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称3.周期性：①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al④f(x+a)=±)(f1x，T=l2al题型一.轴对称1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f（1），b ＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），∴函数的图象关于x＝1对称，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数，∴f（3）＞f（2）＞f（1），a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1）＝f（3），则a＜b＜c．故选：D．2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（312）＝（）A．﹣1B．−12C．12D．1【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（312）＝f（−12+16）＝f（−12）＝﹣f（12）＝﹣[12（3﹣2×12）]＝﹣1；故选：A．3．已知定义域为R的函数f（x）在[1，+∞）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）＜1的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，函数f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数f（x）在[1，+∞）单调递增且f（3）＝1，则f（2x+1）＜1⇒f（2x+1）＜f（3）⇒|2x|＜2，解可得：﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）；故选：A．题型二.中心对称1．已知函数f（2x+1）是奇函数．则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（12，0）D．（−12，0）【解答】解：∵函数f（2x+1）是奇函数，∴f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1）令t＝1﹣2x，代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0，∴函数f（x）关于（1，0）对称，则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（12，0）．故选：C．2．已知函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x﹣1，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【解答】解：根据题意，函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，则函数f（x）的对称轴为x＝﹣1，则有f（x）＝f（﹣2﹣x），又由函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（x）＝﹣f（2﹣x），则有f（﹣2﹣x）＝﹣f（2﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x），变形可得f（x+8）＝f（x），则函数是周期为8的周期函数，f（2019）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣（﹣1﹣1）＝2；故选：D．3．（2016·全国2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y=r1与y ＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则J1 （x i+y i）＝（）A．0B．m C．2m D．4m【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=r1，即y＝1+1的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有J1 （x i+y i）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=12[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）]＝m．故选：B．题型三.周期性1．已知函数f（x）=l0.5(3−p，≤0−1oK4)，＞0，则f（2019）＝（）A．45B．23C．12D．13【解答】解：∵f（x）=l0.5(3−p，≤0−1oK4)，＞0，当x＞0时，f（x+8）＝f（x），则f（2019）＝f（3）=−1o−1)=12．故选：C．2．（2017•山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝6．【解答】解：由f（x+4）＝f（x﹣2）．则f（x+6）＝f（x），∴f（x）为周期为6的周期函数，f（919）＝f（153×6+1）＝f（1），由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）＝f（﹣1），当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，f（﹣1）＝6﹣（﹣1）＝6，∴f（919）＝6，故答案为：6．3．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f （1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．题型四.对称性与周期性综合1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：f（x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2﹣x）]＝ln（﹣x2+2x），故f（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，A，B错．∵f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx＝f（x），∴y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误．故选：C．2．（2019•涪城区校级模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（12）x﹣1，则a＝f（log32），b＝f（﹣log，c ＝f（3）的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵y＝f（x+1）是偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），即函数f（x）关于x＝1对称．∵当x≥1时，f（x）＝（12）x﹣1为减函数，∵f（log32）＝f（2﹣log32）＝f（log392），且−2=l32＝log34，log34＜log392＜3，∴b＞a＞c，故选：C．3．（2018秋•余姚市校级月考）已知函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x）（x∈R），且对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的时，恒有o1)−o2)1−2＜0成立，则当f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4）时，实数a的取值范围为（）A．（23，+∞）B．（−∞，23）C．（23，1）D．（23，1）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的时，恒有o1)−o2)1−2＜0成立，则f（x）在[1，+∞）上为减函数，又由2a2+a+2＝2（a+14）2+158＞1，2a2﹣2a+4＝2（a−12）2+72＞1，若f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4），则有2a2+a+2＞2a2﹣2a+4，解可得a＞23，即a的取值范围为（23，+∞）故选：A．4．（2016•湖南校级模拟）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由f（x）的图象关于x＝1对称，f（0）＝0，可得f（2）＝f（0）＝0，当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②由①②，可得解集为（﹣1，1）．故选：B．5．（2019•新课标Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥−89，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，94]B．（﹣∞，73]C．（﹣∞，52]D．（﹣∞，83]【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[−14，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[−12，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）=−89解得x=73或x=83，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥−89，则m≤73．故选：B．6．（2009•山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝﹣8．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x﹣4）＝﹣f（x）＝f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，又f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+4），∴f（x﹣4）＝f（x+4），∴f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）＝m的4个根中，两个关于直线x＝﹣6对称，两个关于直线x＝2对称，∴x1+x2+x3+x4＝﹣6×2+2×2＝﹣8．故答案为：﹣8．课后作业.函数性质1．若函数f（x）＝1+2r12+1+sin x在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：f（x）＝1+2r12+1+sin x＝3−22+1+sin x，f（﹣x）＝3−22−+1+sin（﹣x）＝3−2⋅21+2−sin x∴f（x）+f（﹣x）＝4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，所以其最大值与最小值的和m+n＝4．故选：D．2．设函数f（x）＝x3−13，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减【解答】解：因为f（x）＝x3−13，则f（﹣x）＝﹣x3+13=−f（x），即f（x）为奇函数，根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1=13在（0，+∞）为减函数，y2=−13在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，f（x）＝x3−13单调递增，故选：A．3．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则（）A．f（x）是周期为2的函数B．f（2019）+f（2020）＝﹣1C．f（x）的值域为[﹣1，1]D．y＝f（x）在[0，2π]上有4个零点【解答】解：对于A，f（x）为R上的奇函数，f（x+1）为偶函数，所以f（x）图象关于x＝1对称，f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）则f（x）是周期为4的周期函数，A错误；对于B，f（x）定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，f（x）是周期为4的周期函数，则f（2020）＝f（0）＝0；当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则f（1）＝﹣1×（1﹣2）＝1，则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，则f（2019）+f（2020）＝﹣1，故B正确．对于C，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），此时有0＜f（x）≤1，又由f（x）为R上的奇函数，则x∈[﹣1，0）时，﹣1≤f（x）＜0，f（0）＝0，函数关于x＝1对称，所以函数f（x）的值域[﹣1，1]．故C正确．对于D，∵f（0）＝0，且x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），∴x∈[0，1]，f（x）＝﹣x （x﹣2），∴x∈[1，2]，2﹣x∈[0，1]，f（x）＝f（2﹣x）＝﹣x（x﹣2），∴x∈[0，2]，f（x）＝﹣x （x﹣2），∵f（x）是奇函数，∴x∈[﹣2，0]，f（x）＝x（x+2），∵f（x）的周期为4，∴x∈[2，4]，f（x）＝（x﹣2）（x﹣4），∴x∈[4，6]，f（x）＝﹣（x﹣4）（x﹣6），∴x∈[6，2π]，f（x）＝（x﹣6）（x﹣8），根据解析式，可得x∈[0，π]上有4个交点，故D正确．故选：BCD．4．设函数f（x）＝lg（1+|2x|）−11+4，则使得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立的x的取值范围是（）A．（13，1）B．（﹣1，32）C．（﹣∞，32）D．（﹣∞，﹣1）∪（32，+∞）【解答】解：f（x）＝ln（1+|2x|）−11+4，定义域为R，∵f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝ln（1+2x）−11+4值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立，∴|3x﹣2|＞|x﹣4|，∴（3x﹣2）2＞（x﹣4）2，解得：x＞32或x＜﹣1，故选：D．5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则（）高中数学一轮复习讲义A．o6)＜o−7)＜o112)B．o6)＜o112)＜o−7) C．o−7)＜o112)＜o6)D．o112)＜o−7)＜o6)【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f[（x+2）+2]＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（6）＝f（2）＝﹣f（0）＝0，f（112）＝f（32）＝﹣f（−12）＝f（12）=2−1，f（﹣7）＝f（1）＝1，∴o6)＜o112)＜o−7)，故选：B．6．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝﹣f（x）＝f（4﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是14＜≤1或=54．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，所以f（﹣2）＝f（2），且f（﹣2）＝﹣f（2），则f（﹣2）＝f（2）＝0，即±2也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为5，且当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b），所以当x∈（0，2）时，x2﹣x+b＞0恒成立，且x2﹣x+b＝1在（0，2）有一解，即△=1−4＜0 (12)2−12+=1或△=1−4＜0 02−0+−1≤0 22−2+−1＞0，解得14＜b≤1或b=54，故答案为：14＜≤1或=54．。
高一数学函数周期性知识点
高一数学函数周期性知识点函数是数学中的重要概念，而函数的周期性是数学函数中一个重要的性质。
下面将介绍高一数学中与函数周期性相关的知识点。
一、周期函数的定义和性质周期函数是指满足f(x + T) = f(x)的函数，其中T为正实数，称为函数的周期。
例如，正弦函数和余弦函数都是周期为2π的函数。
周期函数的性质有以下几个方面：1. 周期函数的值在一个周期内是重复的，即f(x) = f(x ± nT)，其中n为整数。
2. 周期为T的函数，在一个周期内有无穷多个周期点，即f(x)= f(x + nT)。
3. 函数的图像在一个周期内是对称的，即f(x) = f(2a - x)，其中a为周期中心。
二、正弦函数和余弦函数的周期性正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的周期函数。
1. 正弦函数的周期性：正弦函数y = sin x的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin x。
正弦函数的图像在一个周期内以原点为对称中心。
2. 余弦函数的周期性：余弦函数y = cos x的周期是2π，即cos(x + 2π) = cos x。
余弦函数的图像在一个周期内以y轴的中点为对称中心。
三、常见函数的周期性除了正弦函数和余弦函数，还有其他一些常见函数具有周期性。
1. 周期为T的正弦函数的性质：y = A*sin(Bx + C) + D是一个周期为T = |2π/B|的函数。
其中，A为振幅，B为频率，C为初相位，D为纵坐标平移量。
2. 周期为T的余弦函数的性质：y = A*cos(Bx + C) + D是一个周期为T = |2π/B|的函数。
其中，A为振幅，B为频率，C为初相位，D为纵坐标平移量。
3. 其他函数的周期性：除了三角函数，指数函数、对数函数等也可以具有周期性，其周期的计算方法与三角函数类似。
四、函数周期性的应用函数周期性的应用广泛，尤其在信号处理、物理学、工程等领域。
1. 信号处理：在通信系统中，许多信号都具有周期性，利用函数周期性的性质可以对信号进行分析和处理。
周期函数高考知识点
周期函数高考知识点周期函数是高中数学中的一个重要知识点。
周期函数指的是在某个区间内具有相同函数值的函数。
它在数学、物理等领域有着重要的应用。
周期函数的概念非常简单，即在一个特定的区间内，函数的函数值以某种规律重复出现。
这个规律是由函数的周期决定的。
周期是指在该区间内，函数的函数值呈现出周期性的变化。
我们可以观察函数的图像来确定它的周期。
那么，如何确定一个函数的周期呢？方法非常简单，我们只需要找到函数在该区间内的最小正周期即可。
最小正周期指的是函数的最小周期且为正值。
例如，对于正弦函数sin(x)来说，其最小正周期为2π，而对于余弦函数cos(x)来说，其最小正周期也是2π。
这是因为正弦函数和余弦函数都是以2π为周期进行周期性变化的。
而像y=1/x这样的函数，它没有周期性。
周期函数有着广泛的应用。
在物理学中，周期函数可以用来描述物理系统的振动现象。
例如，弹簧振子的运动可以用正弦函数来表示。
而在音乐中，周期函数被用来表示音符的音高和节奏。
在计算机图形学中，周期函数被广泛用于生成动画和特效。
周期函数的性质也是我们需要了解的重要知识点之一。
首先，周期函数具有奇偶性。
如果一个函数f在某个区间内以T为周期，那么有f(x+T)=f(x)。
根据这个性质，我们可以判断一个函数是奇函数还是偶函数。
如果有f(-x)=-f(x)，那么函数f是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，那么函数f是偶函数。
例如，正弦函数sin(x)是奇函数，而余弦函数cos(x)是偶函数。
其次，周期函数可以进行函数的运算。
对于两个周期为T1和T2的函数f(x)和g(x)，我们可以定义它们的和函数f(x)+g(x)和差函数f(x)-g(x)。
同样，我们也可以定义它们的乘积函数f(x)g(x)和商函数f(x)/g(x)。
这些运算仍然满足周期性。
最后，周期函数还具有平移性。
如果函数y=f(x)以T为周期，那么函数y=f(x-a)以T为周期，其中a为任意实数。
第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)2025年高考数学一轮复习
知识梳理·基础回归
解题方法总结
5、对称性技巧
（1）若函数 = ()关于直线 = 对称，则( + ) = ( − )．
（2）若函数 = ()关于点( ， )对称，则( + ) + ( − ) = 2．
（3）函数 = ( + )与 = ( − )关于轴对称，函数 = ( + )与
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数 在 0, +∞ 上单调递增，且 > 0, > 0，
由增函数的定义可知，当 > 时，有 > ，
充分性成立；当 > 时，若 = ，由函数定义可知矛盾，
若 < ，由函数单调性的定义可知矛盾，则 > ，必要性成立．
−
2
)
+
知识梳理·基础回归
解题方法总结
3、周期性技巧
函数式满足关系（x R）
f ( x T ) f ( x)
f ( x T ) f ( x)
1
1
f (x T )
; f (x T )
f ( x)
f ( x)
f (x T ) f (x T )
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x ) f (a x )
f (b x) f (b x)
f (a x ) f (a x )
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x )
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，() = log 2 (2) + 1在(0, +∞)上单调
高中数学函数的奇偶性与周期性
高中数学函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性和周期性是高中数学中一个非常重要的概念，也是解题中经常需要考虑的因素。
在这篇文章中，我将详细介绍函数的奇偶性和周期性，以及它们在解题中的应用。
首先，我们来看函数的奇偶性。
一个函数被称为奇函数，如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)成立；一个函数被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)成立。
简单来说，奇函数关于原点对称，而偶函数关于y轴对称。
奇函数和偶函数具有一些特殊的性质。
首先，奇函数和偶函数的图像都具有对称性，这一点可以通过将函数的图像沿着对称轴折叠来验证。
其次，奇函数和偶函数的性质可以用来简化函数的计算。
例如，对于奇函数，我们只需要计算正半轴上的函数值，然后利用对称性得到负半轴上的函数值。
同样地，对于偶函数，我们只需要计算一个半轴上的函数值，然后利用对称性得到另一个半轴上的函数值。
接下来，让我们来看函数的周期性。
一个函数被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。
简单来说，周期函数的图像在横轴方向上具有重复的模式。
周期函数有很多种形式，其中最简单的是正弦函数和余弦函数。
它们的周期都是2π，即f(x+2π)=f(x)。
这意味着，我们只需要计算一个周期内的函数值，就可以得到整个函数的图像。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，我们只需要计算0≤x≤2π范围内的函数值，然后利用周期性得到其他范围内的函数值。
函数的奇偶性和周期性在解题中起着重要的作用。
让我们通过具体的例题来说明。
例题1：已知函数f(x)是一个奇函数，且f(π/2)=3，求f(3π/2)的值。
解析：由于f(x)是一个奇函数，我们知道f(-x)=-f(x)。
因此，f(π/2)=-f(-π/2)=-3。
又因为f(x)是奇函数，所以f(3π/2)=-f(-3π/2)=-(-3)=3。
因此，f(3π/2)的值为3。
例题2：已知函数f(x)是一个周期函数，且f(0)=2，f(π/3)=1，求f(11π/3)的值。
高中数学解题技巧之函数周期性分析
高中数学解题技巧之函数周期性分析在高中数学中，函数周期性分析是一个重要的解题技巧，它能够帮助我们更好地理解和解决与函数周期性相关的问题。
本文将通过具体的例子，详细说明函数周期性分析的考点和应用方法，并给出一些解题技巧，希望能对高中学生和他们的父母有所帮助。
首先，我们来看一个例子。
假设有一个函数f(x)，它的图像在区间[0, 2π]上呈现周期性，且满足f(x + π) = -f(x)。
我们需要分析函数f(x)的周期和性质。
首先，我们注意到f(x + π) = -f(x)这个条件，这意味着函数f(x)在每个周期内的对称轴是x = π/2。
根据这个条件，我们可以推断出函数f(x)的周期是2π。
接下来，我们可以进一步分析函数f(x)的性质。
由于函数f(x)的周期是2π，我们只需要在一个周期内进行分析即可。
我们选择[0, 2π]这个周期进行分析。
首先，我们可以找到函数f(x)的最小正周期。
最小正周期是指函数f(x)在一个周期内最小的正数值。
在本例中，函数f(x)在[0, 2π]内的最小正周期是π。
因为当x = 0时，f(x) = f(0) = 0；当x = π/2时，f(x) = f(π/2) = -f(0) = 0。
这说明函数f(x)在[0, 2π]内的最小正周期是π。
接下来，我们可以观察函数f(x)在一个周期内的变化规律。
我们可以选择一些特殊的x值进行计算，以便更好地理解函数f(x)的性质。
首先，我们计算x = 0、x = π/4、x = π/2这三个点的函数值。
当x = 0时，f(x) = f(0) = 0；当x = π/4时，f(x) = f(π/4) = -f(0) = 0；当x = π/2时，f(x) = f(π/2) = -f(0) = 0。
这说明函数f(x)在[0, 2π]内的这三个点上的函数值都是0。
接下来，我们计算x = π/8、x = 3π/8、x = 5π/8这三个点的函数值。
当x = π/8时，f(x) = f(π/8) = -f(0) = 0；当x = 3π/8时，f(x) = f(3π/8) = -f(π/4) = 0；当x = 5π/8时，f(x) = f(5π/8) = -f(π/2) = 0。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性在高中数学课程中，我们学习了很多种函数，例如线性函数、二次函数、指数函数等等。
这些函数在实际应用中有着不同的特点，其中函数的奇偶性与周期性是我们经常遇到的两种特征。
在本文中，我将详细介绍函数的奇偶性与周期性，并探讨它们在实际问题中的应用。
首先，我们来了解函数的奇偶性。
一个函数被称为“奇函数”当且仅当对于任意的x值，有f(-x) = -f(x)。
也就是说，奇函数在关于坐标原点对称时，其函数值相等但符号相反。
一些常见的奇函数有正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)等。
举个例子，我们考虑y = sin(x)这个函数。
我们可以发现，对于任意的x值，sin(-x) = -sin(x)。
因此，正弦函数是一个奇函数。
同样，tan(-x) = -tan(x)，所以正切函数也是一个奇函数。
相反，一个函数被称为“偶函数”当且仅当对于任意的x值，有f(-x) = f(x)。
也就是说，偶函数在关于y轴对称时，其函数值相等。
一些常见的偶函数有余弦函数cos(x)和正切函数cot(x)等。
以余弦函数为例，我们可以发现，对于任意的x值，cos(-x) = cos(x)。
因此，余弦函数是一个偶函数。
同理，cot(-x) = cot(x)，所以余切函数也是一个偶函数。
接下来，我们来了解函数的周期性。
一个函数被称为“周期函数”，当且仅当存在一个正数T，使得对于任意的x值有f(x+T) = f(x)。
也就是说，函数在经过一定的平移后，其函数值保持不变。
周期函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在电力系统中，交流电的波形就是一种周期函数，媒体中播放的声音和图像也具有周期性。
我们常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
以正弦函数为例，我们可以观察到，对于任意的x值，sin(x+2π) = sin(x)。
因此，正弦函数的周期为2π。
同理，余弦函数的周期也为2π。
函数的奇偶性和周期性在实际问题中有着广泛的应用。
以奇偶性为例，我们在解决对称性问题时常常会用到奇函数和偶函数。
2023届一轮函数与导数微专题3.对称性与周期性
3.函数的性质函数的对称性：函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于x 轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点))(,()),(,2211x f x x f x （到直线a x =的距离相等且函数值)()(21x f x f =时. 我们就称函数)(x f y =关于a x =对称.代数表示: (1). )()(x a f x a f -=+ (2). )2()(x a f x f -=即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线a x =对称. 一般地，若函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称. 特别地，偶函数(关于y 轴对称)，)()(x f x f -=，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.2.中心对称：函数)(x f y =上任意一点（)(,11x f x ）关于点),(b a 对称的点（)(,22x f x ）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点(b a ,)对称的中心对称图像，点(b a ,)为对称中心.用代数式表示：(1). b x a f x a f 2)()(=-++ (2). b x a f x f 2)2()(=-+一般地,若函数)(x f y =满足c x b f x a f =-++)()(,则函数的图象关于点)2,2(cb a +对称. 特别地，奇函数(关于原点对称)，)()(x f x f --=，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.3. 对称性的意义: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同. 例1.求下列函数的解析式.(1).已知函数)(x f y =为奇函数，且当),0+∞∈（x 时，x x f 2log )(=，求)(x f 的表达式； (2).已知函数)(x f y =为定义在R 上的函数，且满足)2()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，试求函数)(x f y =在]4,2[∈x 的表达式.解：依题可知，)(x f 关于2=x 对称，任取]4,2[∈x ，由对称性，]2,0[4∈-x ， 则)4(2)4()4()(2x x x f x f ---=-=.(3).已知函数)(x f y =为定义在R 上的函数，且满足4)2()(=-+x f x f ，当)1,0(∈x 时，13)(+=x x f ，试求函数)(x f y =在)2,1(∈x 的表达式.例2.已知函数))((R x x f ∈满足)2()(x f x f -=，若函数|32|2--=x x y 的图象与函数)(x f y =的图象的交点为),),...(,(),,(2211m m y x y x y x ,则=∑=mi ix1( )A. 0B.mC.m 2D.m 4例 5.已知函数⎩⎨⎧>≤+=0|,log |0|,2|)(2x x x x x f ，若关于x 的方程a x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x 且4321x x x x <<<,求4321x x x x 的取值范围.例6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<=102,4sin 20|,log |)(2x xx x x f π，若存在4321,,,x x x x 且4321x x x x <<<使得函数满足)()()()(4321x f x f x f x f ===,求)8)(2(4321--x x x x 的取值范围.结论1.若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称.设个不同的实数根，则有n x f 0)(=na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(22221121 .),212(111a x x a x k n =⇒-=+=时，必有当例7.)()(,11)(,sin )(x g x f x x g x x f 与求已知-==π在]4,2[-∈x 的所有交点的横坐标之和.例8.已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f -=-,若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为)(1,1y x ,),(22y x ，（m m y x ,），则=+∑=mi iiy x 1)(A. 0B.mC.m 2D.m 4结论2.若k y y h x x k h x f y 2,2),)(//=+=+=对称，则关于点（, 即k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+. 一般地，对于nk x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++-例9.已知函数⎩⎨⎧≥<+-=2,02,2)(2x x x x x f ,函数)(x g 满足:当a x <时，)()(x f x g =，当a x ≥时，)2()(x a g x g --=，若关于x 的方程0)(=-+a x x g 有且仅有一个实数根，则a 的取值范围为( )A.),2(]0,(+∞⋃-∞B.),49(]0,(+∞⋃-∞C.),2(]1,(+∞⋃-∞D.),49(]1,(+∞⋃-∞函数的周期性1.定义:对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2.函数周期性有关结论:设a 是非零常数，若对于函数)(x f y =定义域内的任一变量x 有下列条件之一成立， 则函数)(x f y =是周期函数，且||2a 是它的一个周期.(1).)()(a x f a x f -=+ (2).)()(x f a x f -=+(3).)(1)(x f a x f =+ (4).)(1)(x f a x f -=+ 3.函数的对称性与周期性性质1. 若函数)(x f y =同时关于直线a x =与b x =轴对称，则函数)(x f y =必为周期函数，且||2b a T -=.性质2. 若函数)(x f y =同时关于点)0,(a 与点)0,(b 中心对称，则函数)(x f y =必为周期函数，且||2b a T -=.性质3.若函数)(x f y =既关于点)0,(a 中心对称，又关于直线b x =轴对称，则函数)(x f y =必为周期函数，且||4b a T -=.特别地：(1).若)(x f y =是奇函数且关于a x =轴对称，则)(x f y =是周期函数，周期为______. (2).若)(x f y =是偶函数且关于a x =轴对称，则)(x f y =是周期函数，周期为______. (3).若)(x f y =是奇函数且关于)0,(a 轴对称，则)(x f y =是周期函数，周期为______.(4).若)(x f y =是偶函数且关于)0,(a 轴对称，则)(x f y =是周期函数，周期为______. 4.周期性的应用:(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到 整个函数的性质.(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴. (3).单调性：由于间隔)(Z k kT ∈的函数图象相同，所以若函数)(x f y =在))(,(T a b b a ≤-上单调增(减)，则)(x f y =在)(),,(Z k kT b kT a ∈++上单调增(减).例10.(1).函数)(x f y =满足)4()(x f x f +=，当1)()4,0[2-=∈x x f x 时，，求=)2014(f _______.(2).若)(x f y =是R 上的奇函数,且满足)()4(x f x f =+,当)2,0(∈x 时,22)(x x f =， 则=)7(f ( )A.2B.-2C.-98D.98例11.已知函数)(x f y =是R 上的奇函数，若对任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)1(log )(),2,0[2+=∈x x f x ，则=+-+)2016()2015()2014(f f f ( ) A.-1 B.-2 C.2 D.1例12.考虑下列零点问题.(1).设)(x f y =满足)()2(x f x f =+,且]1,1[-∈x 时,||)(x x f =,则xx f x g sin )()(-=在区间],[ππ-上零点的个数为_________.(2).已知函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+,且]2,0[∈x 时,2)1()(-=x x f ,若令函数|1|log )()(5--=x x f x g ,则函数)(x g y =的左右零点之和为( )A.8B.6C.4D.2例12.已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-.若2)1(=f ， 则，=+++)50(...)2()1(f f f ( ).A. 50-B.0C.2D.50利用周期性求函数解析式 例13：设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上，且以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =，求)(x f 在k I 上的解析式 解：由已知，当0=k 时，0(1,1)I =- ，利用区间转移的方法，如果k x I ∈ 即0(21,21)2x k k x k I ∈-+⇒-∈121x k ⇒-<-< 则有：2(2)(2)f x k x k -=-又因为该函数以2为周期，所以有(2)(),f x k f x -= 所以函数在k I 上的解析式为：2()(2)f x x k =-一般规律：区间转移：将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间，再利用周期的定义进而求出该区间上的函数解析式. 再看一个例题加深印象练：设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线1=x 对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝当[]2,4x ∈时，求)(x f 的解析式.解：因为函数关于1=x 对称，且函数为奇函数所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－又因为(2)()f x f x +=-所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝，所以函数为周期函数，且周期4=T 因为函数在[]2,0x ∈-上的解析式已知，所以,由[]2,4,4[2,0],x x ∈-∈- 可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x ----＝＝＋＝＋ 总结：1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数.2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间.3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式例14.（2019全国Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦。
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T，函
4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的 问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．
【典例讲解】
例 1、设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数， 且对任意实数 x，恒有 f(x＋ 2)＝－ f(x)．当 x∈ [0,2] 时， f(x)＝ 2x－ x2.
【练习巩固】
1、已知定义在 R 上的函数 f x 满足条件；①对任意的 x R ，都有 f x 4 f x ；
②对任意的 x1, x2 0, 2 且x1 x2，都有 f x1
轴对称 .则下列结论正确的是 ( )
f x2 ；③函数 f x 2 的图象关于 y
A. f 7 f 6.5 f 4.5 B. f 7 f 4.5 f 6.5
数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
【变式探究】
已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且
f(x＋2) ＝－ f
1 x
，当 2≤x≤３时，
f(x)＝ x，则 f (105.5)＝________.
【答案】 2.5
【针对训练】
1 、 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 满 足 f x f x 2 2012 ， 若 f 1 2 ， 则 f 99 ________ ． 【答案】 1006 2、已知 f ( x) 是 R 上的奇函数， 对 x R 都有 f (x 4) f ( x) f (2) 成立，若 f ( 1) 2 ，
＝ … ＝ f(2 008) ＋ f(2 009) ＋ f(2 010)＋ f(2 011)＝ 0.
∴ f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋… ＋ f(2 013)＝ f(0) ＋ f(1) ＝ 1.
【拓展提高】
判断函数的周期只需证明 f (x＋ T)＝ f(x) ( T≠0便) 可证明函数是周期函数， 且周期为 T，函
数就叫做 f(x)的最小正周期． 3．关于函数周期性常用的结论
(1)若满足 f (x＋ a)＝－ f x ，则 f ( x＋2a)＝f [( x＋a)＋ a]＝－ f ( x＋a)＝ f x ，所
以 2a 是函数的一个周期 ( a 0 )；
(2)若满足 f ( x＋a)＝ 1 ，则 f ( x＋ 2a)＝ f [( x＋ a)＋a]＝
C. f 4.5 f 6.5 f 7
【答案】 D
D. f 4.5 f 7 f 6.5
2、设 g( x) 是定义在 R 上 ,以 1 为周期的函数 ,若函数 f (x) x g( x) 在区间 [0,1] 上的值域为
[-2,5], 则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为
第 8 节 函数的周期性 【基础知识】
1．周期函数：对于函数 y＝ f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值
时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
y＝ Asin( ω＋ｘφ），用公式
T＝ 2| πω计｜算．递推法：若 f(x ＋ a)＝－ f(x) ，则 f(x ＋ 2a)＝ f[(x ＋ a)＋ a]＝－ f(x ＋ a)＝ f(x) ，所以
周期 T ＝ 2a.换元法：若 f(x ＋ a)＝ f(x － a)，令 x－ a＝ t， x＝ t＋ a，则 f(t) ＝ f(t ＋ 2a)，所以周期
3
5
A． { a | a 2k 或 2k , k Z}
4
4
1
3
Hale Waihona Puke B． { a | a 2k 或 2k , k Z}
4
4
5 C． { a | a 2k 1或 2k , k Z}
4
D． { a | a 2k 1 , k Z}
【答案】 C 【综合点评】 函数周期性的应用主要有两个方面， 其一是求函数值， 理论依据是周期性的定 义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是 利用周期函数图象重复出现的特征， 先画出一个周期内的函数图象， 然后依次向左向右平移 周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．
1 ＝ f (x) ，所以
f ( x)
f ( x a)
2a 是函数的一个周期 ( a 0 )；
1
(3)若函数满足 f (x a)＝-
，同理可得 2a 是函数的一个周期 ( a 0 ).
f ( x)
（ 4 ） 如 果 y f ( x) 是 R 上 的 周 期 函 数 ， 且 一 个 周 期 为 T ， 那 么
T＝ 2a．
2．判断函数的周期只需证明 f(x＋ T)＝ f(x)( T≠ 0便) 可证明函数是周期函数，且周期为 数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时， 要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(k∈ Z 且 k≠0也) 是函数的周期．
则
f (2013) 等于（ ）
A．2
B．﹣ 2
C．﹣ 1
D． 2013
【答案】 A
3、已知周期函数 f ( x) 的定义域为 R ，周期为 2 ，且当 1 x 1时， f ( x) 1 x2 .若直
线 y x a 与曲线 y f (x) 恰有 2 个交点，则实数 a 的所有可能取值构成的集合为 ( )
(1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x∈ [2,4] 时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋… ＋ f(2 013)．
(3)解 ∵ f(0)＝ 0， f(2) ＝0， f(1) ＝1， f(3) ＝－ 1.
又 f(x) 是周期为 4 的周期函数，
∴ f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋f(3) ＝ f(4) ＋ f(5)＋ f(6) ＋f (7)
f ( x nT ) f ( x)(n Z ) ．
（ 5）函数图像关于 x a, x b 轴对称 T 2( a b) ．
（ 6）函数图像关于 a,0 , b,0 中心对称 T 2(a b) ．
（ 7）函数图像关于 x a 轴对称，关于 b,0 中心对称 T 4(a b) ．
【规律技巧】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如