高中数学一轮复习之函数的周期性
高中数学一轮复习之三角函数的周期性
高中数学一轮复习之三角函数的周期性
三角函数是数学中重要的概念之一，它们具有周期性的特点。本文将对三角函数的周期性进行详细介绍。
正弦函数的周期性
正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)。其周期性非常明显，即每隔一定的距离，函数的值将重复。正弦函数的周期是2π，即在区间[0, 2π]上，sin(x)的值将重复出现。
余弦函数的周期性
余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。和正弦函数一样，余弦函数也具有周期性。余弦函数的周期也是2π，即在区间[0, 2π]上，cos(x)的值将重复出现。
正切函数的周期性
正切函数是三角函数中稍微复杂一些的函数，表示为tan(x)。和正弦函数、余弦函数类似，正切函数也具有周期性。但是，和正弦函数、余弦函数不同的是，正切函数的周期是π，即在区间[0, π]上，tan(x)的值将重复出现。
其他三角函数的周期性
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有很多其他的三角函数，如余割函数、正割函数等等。这些函数也都具有周期性，其周期和对应的函数关系密切相关。
总结
三角函数的周期性是它们的重要特性之一。正弦函数和余弦函数的周期都是2π, 而正切函数的周期是π。除了这些常见的三角函数外，还有其他的三角函数也具有周期性。了解三角函数的周期性将有助于我们更好地理解和应用三角函数的相关概念。
以上就是对高中数学一轮复之三角函数的周期性的详细介绍。希望本文能够对您的研究有所帮助。
参考资料：
- 数学教材《高中数学》
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）
函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).
，则T＝2a(a≠0).
②若f(x＋a)＝1
f（x）
，则T＝2a(a≠0).
③若f(x＋a)＝－1
f（x）
④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).
函数图象的对称性
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，
0)中心对称．
④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
利用函数奇偶性可以解决的问题
高中数学函数的周期性
高中数学函数的周期性
一、函数周期性的认识
周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。
二、函数周期性的判断
判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：
1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；
2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；
3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；
4、根据函数的性质，确定函数的周期。
三、函数周期性的应用
函数周期性在数学中有着广泛的应用。例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。函数
周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。
四、函数周期性的意义
函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。
高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。
原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究
标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究
一、引言
在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。这两个性质在很多领域都
高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)
函数的周期性与常考题
【知识点分析】：
函数的周期性
设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)
1. 型
的周期为T。定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。
【相似题练习】
1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）
A．336B．337C．338D．339
1．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．
1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）
A．﹣2+2B．2+2C．2D．
【知识点分析】：
2. 型
的周期为。证明：。
特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。
【相似题练习】
2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．
1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
高中数学(一轮复习)最基础考点系列考点6 函数的周期性 Word版含解析
专题函数的周期性
函数的周期性
★★★
○○○○
．周期函数
对于函数＝()，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有(＋)＝()，那么就称函数＝()为周期函数，称为这个函数的周期．
．最小正周期
如果在周期函数()的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()的最小正周期．
周期函数＝()满足：
()若(＋)＝(－)，则函数的周期为；
()若(＋)＝－()，则函数的周期为；
()若(＋)＝－，则函数的周期为；
()若(＋)＝，则函数的周期为；
()若函数()关于直线＝与＝对称，那么函数()的周期为－；
()若函数()关于点()对称，又关于点()对称，则函数()的周期是－；
()若函数()关于直线＝对称，又关于点()对称，则函数()的周期是－；
()若函数()是偶函数，其图象关于直线＝对称，则其周期为；
()若函数()是奇函数，其图象关于直线＝对称，则其周期为.
函数周期性的判定与应用
()判定：判断函数的周期性只需证明(＋)＝()(≠)即可．
()应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若是函数的周期，则(∈且≠)也是函数的周期．
[典例] ()(·郑州模拟)已知函数()＝(\\(－，≤≤，－，<≤，))如果对任意的∈*，定义()＝
，那么()的值为( )
．．
．．
()设定义在上的函数()满足(＋)＝()，且当∈[)时，()＝－，则()＋()＋()＋…＋( )＝.
[解析] ()∵()＝()＝，()＝()＝，()＝()＝，
∴()的值具有周期性，且周期为，
高中数学一轮复习之函数的周期性
第8节 函数的周期性
【基础知识】
1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
3．关于函数周期性常用的结论
(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；
(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()
f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；
(3)若函数满足1()()
f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．
（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．
（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．
（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．
【规律技巧】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式
高中数学函数对称性和周期性小结
高中数学函数对称性和周期性小结
一、函数对称性：
1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称
2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称
3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称
4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称
5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称
6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称
7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称
8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称
例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]
∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 .
例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]
高中数学《函数的周期性与对称性》题型战法试题及答案
第二章 函数
2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）
知识梳理
一 函数的周期性
函数()y f x =满足定义域内的任一实数x (其中,a b 为常数) (1)()()f x f x a =+，则()x f 是以T a =为周期的周期函数； (2)()()f x a f x b +=-, 则()x f 是以b a T +=为周期的周期函数； (3)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()()
1
f x a f x +=±
，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 二 函数的对称性
轴对称：若()()f a x f b x +=- 则f(x)关于2b
a x +=
对称. 中心对称：若()()2f a x f b x m ++-= 则f(x)关于(2
b
a +，m) 对称.
三 由对称性推周期性
(1) 函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），
①若()x f 为奇函数，则函数()f x 4T a =，②若()x f 为偶函数，则函数()f x 周期为2T a =.
(2) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以
2a b -为最小正周期的周期函数；
(3) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y ,()0,B b y ()a b ≠都对称，则函数
()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；
高中数学-函数的周期性及题型
高中数学-函数的周期性及题型
x ，使f(x T) f(x)恒成立则f (x)叫做周期函数，T 叫做
这个函数的一个周期。 二•基本结论:
1、设函数y=f(x)的定义域为D ，x € D,存在非0常数T ,有f(x+T)=f(x) f f(x)为周期函数，T 为f(x)的一个周期;
若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。
1
y=f(x)满足f(x+a)= f x (a>0),则f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。
1
X (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
T= n /| w|
周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法;
周期不变(如：y=|cos2x| 的周期是n /2 ，y=|cotx| 的周期是n.
【经典例题赏析】
例1、设f(x)是(-X ，+ X )上周期为 2的奇函数，当 0 < x < 1时,
［解析］:由题意可知，f(2+x) = f(x) f(7.5) = f(8-0.5)
= f(-0.5) =- f(0.5) =-0 .5
当x 10时，f (x) x 2.求f (x)在I k 上的解析式
例2.设f (x)是定义在区间(
)上且以2为周期的函数，对 k Z ，用l k 表示区间(2k 1,2k 1),已知
•定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任 若函数
f x a f x a
，则
f x
是以T 2a 为周期的周期函数
若函数y=f(x)满足f(x+a)=
f(x a)』
1 f(x)
高中数学一轮复习课件：三角函数的图像和性质
• 【例1】 已知函数f(x)＝cos2x－ 2sinxcosx－sin2x. • (1)在给定的坐标系中，作出函数f(x)在区 间[0，π]上的图象． • (2)求函数f(x)在区间[－ ，0]上的最大 值和最小值．
思路分析：(1)把 f(x)化简为 f(x)＝Acos(ωx＋φ)的形式，然 后列表，画图象． π (2)先求出 ωx＋φ 在[－2，0]上的范围，然后根据单调性 求解．
• 1．周期函数 • (1)周期函数的定义 • 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T， f(x＋T)＝f(x) 使得当x取定义域内的每一个值时，都有 非零常数T ，那么函数f(x)就叫做周期 函数． 叫做这个函数的周期．
• (2)最小正周期 • 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 最小正数 个 ，那么这个 最小的正数 就叫做f(x)的最小正周期．
高中数学函数周期性总结
y f (x) 周期 T 2(b a)
11 、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0)
y f (x) 周期 T 2(b a)
12 、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) y f (x) 周期 T 4(b a)
13 、奇函数 y f ( x) 满足 f (a x) f (a x)
练习：① f(x+a)= － f(x) ② f(x+a)= 1 ③ f(x+a)= － 1 ④ f(x+a)= f ( x) 1 ⑤ f(x+a)=f(x-a)
f (x)
f ( x)
f ( x) 1
⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a)
1、函数 f ( x) 的定义域为 R，若 f ( x 1) 与 f (x 1) 都是奇函数，则 ( )
7 、 f ( x a) 1 f (x) 1 f (x)
8、 f ( x 2a) f (x a) f ( x)
y f (x) 的周期为 T 4a y f ( x) 的周期为 T 6a
9 、 f ( x n 2) f (x n) f (x n 1) ；（它是周期函数，一个周期为 6）
10 、 y f (x) 有两条对称轴 x a 和 x b （ a b)
A. f ( x) 是偶函数
B.
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
基础知识诊断
1．函数的奇偶性
奇偶性
条件
对于函数f(x)的定义域D内任意一 偶函数 个x，都有 f(－x)＝f(x)
对于函数f(x)的定义域D内任意一 奇函数 个x，都有 f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于 y轴 对称 关于 原点 对称
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域 内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个 函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性．
1．一条规律 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的必要不充分条件． 2．两个性质 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇 ＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
(2)f(x)＝(x＋1) 11－＋xx；
专题05 函数 5.7对称性与周期性 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
专题四《函数》讲义
5.7对称性与周期性
知识梳理.对称性与周期性
1.轴对称：
①f(x)=f(-x)，关于x=0对称
②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称
③f(a+x)=f(b-x)，关于x=2b a 对称
2.中心对称：
①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称
②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称
③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称
3.周期性：
①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.
②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al
③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al
④f(x+a)=±)(f1x，T=l2al
题型一.轴对称
1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f（1），b ＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），
∴函数的图象关于x＝1对称，
当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数，
∴f（3）＞f（2）＞f（1），
a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1）＝f（3），
则a＜b＜c．
故选：D．
2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（312）＝（）
A．﹣1B．−12C．12D．1
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝﹣f（x），
高一数学函数周期性知识点
高一数学函数周期性知识点
函数是数学中的重要概念，而函数的周期性是数学函数中一个
重要的性质。下面将介绍高一数学中与函数周期性相关的知识点。
一、周期函数的定义和性质
周期函数是指满足f(x + T) = f(x)的函数，其中T为正实数，称
为函数的周期。例如，正弦函数和余弦函数都是周期为2π的函数。
周期函数的性质有以下几个方面：
1. 周期函数的值在一个周期内是重复的，即f(x) = f(x ± nT)，
其中n为整数。
2. 周期为T的函数，在一个周期内有无穷多个周期点，即f(x)
= f(x + nT)。
3. 函数的图像在一个周期内是对称的，即f(x) = f(2a - x)，其中
a为周期中心。
二、正弦函数和余弦函数的周期性
正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的周期函数。
1. 正弦函数的周期性：
正弦函数y = sin x的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin x。
正弦函数的图像在一个周期内以原点为对称中心。
2. 余弦函数的周期性：
余弦函数y = cos x的周期是2π，即cos(x + 2π) = cos x。
余弦函数的图像在一个周期内以y轴的中点为对称中心。
三、常见函数的周期性
除了正弦函数和余弦函数，还有其他一些常见函数具有周期性。
1. 周期为T的正弦函数的性质：
y = A*sin(Bx + C) + D是一个周期为T = |2π/B|的函数。
其中，A为振幅，B为频率，C为初相位，D为纵坐标平移量。
2. 周期为T的余弦函数的性质：
y = A*cos(Bx + C) + D是一个周期为T = |2π/B|的函数。
高中数学一轮复习 第3讲 函数的奇偶性及周期性 试题
第3讲 函数的奇偶性及周期性
R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),那么f(6)的值是( )
D.2
【答案】 B
【解析】 ∵f(x+2)=-f(x),
∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(0). 又f(x)为R 上的奇函数,∴f(0)=0.
∴f(6)=0.
3()f x x =+sin 1(x x +∈R ),假设f(a)=2,那么f(-a)的值是( )
D.-2 【答案】 B
【解析】 设3()g x x =+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f(x)=g(x)+1.
∵f(a)=g(a)+1=2,
∴g(a)=1.
∴g(-a)=-1.∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.
3.f(x)是定义在R 上的偶函数,并满足f(x+2)=1()f x -,当12x ≤≤时,f(x)=x-2,那么f(6.5)等于…… ( )
D.-0.5 【答案】 D 【解析】 由f(x 12)()f x +=-
,得f(x 14)()(2)
f x f x +=-=,+那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).
因为f(x)是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5),
而12x ≤≤时,f(x)=x-2,
所以f(1.5)=-0.5.
综上,知f(6.5)=-0.5.
4.函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-
2x -,那么不等式1()2f x <-的解集是( ) A.(1)-∞,-
B.(1]-∞,-
C.(1),+∞
D.[1),+∞ 【答案】 A
高中数学——函数的周期性
高中数学——函数的周期性
高中数学——函数的周期性
一、知识回顾
1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非
零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
做f (x )的最小正周期．
3．关于函数周期性常用的结论
(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则
()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个
周期(0a ≠)；
(2)若满足
1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1
()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；
(3)若函数满足1()()
f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠).
（4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个
周期为T，那么)
)(
(
)
(Z
n
x
f
nT
x
f∈
=
±．
（5）函数图像关于b
x
a
x=
=,轴对称)
(2b
a
T-
=
⇒．
（6）函数图像关于()()0,,0,b
a中心对称)
(2b
a
T-
=
⇒．
（7）函数图像关于a
x=轴对称，关于()0,b中心
对称)
(4b
a
T-
=
⇒．
二、方法规律技巧
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T
＝2π
|ω|计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
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T，函
4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的 问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．
【典例讲解】
例 1、设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数， 且对任意实数 x，恒有 f(x＋ 2)＝－ f(x)．当 x∈ [0,2] 时， f(x)＝ 2x－ x2.
(1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x∈ [2,4] 时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋… ＋ f(2 013)．
(3)解 ∵ f(0)＝ 0， f(2) ＝0， f(1) ＝1， f(3) ＝－ 1.
又 f(x) 是周期为 4 的周期函数，
∴ f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋f(3) ＝ f(4) ＋ f(5)＋ f(6) ＋f (7)
则
f (2013) 等于（ ）
A．2
B．﹣ 2
C．﹣ 1
D． 2013
【答案】 A
3、已知周期函数 f ( x) 的定义域为 R ，周期为 2 ，且当 1 x 1时， f ( x) 1 x2 .若直
线 y x a 与曲线 y f (x) 恰有 2 个交点，则实数 a 的所有可能取值构成的集合为 ( )
f ( x nT ) f ( x)(n Z ) ．
（ 5）函数图像关于 x a, x b 轴对称 T 2( a b) ．
（ 6）函数图像关于 a,0 , b,0 中心对称 T 2(a b) ．
（ 7）函数图像关于 x a 轴对称，关于 b,0 中心对称 T 4(a b) ．
【规律技巧】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如
3
5
A． { a | a 2k 或 2k , k Z}
4
4
1
3
B． { a | a 2k 或 2k , k Z}
4
4
5 C． { a | a 2k 1或 2k , k Z}
4
D． { a | a 2k 1 , k Z}
【答案】 C 【综合点评】 函数周期性的应用主要有两个方面， 其一是求函数值， 理论依据是周期性的定 义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是 利用周期函数图象重复出现的特征， 先画出一个周期内的函数图象， 然后依次向左向右平移 周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．
T＝ 2a．
2．判断函数的周期只需证明 f(x＋ T)＝ f(x)( T≠ 0便) 可证明函数是周期函数，且周期为 数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时， 要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(k∈ Z 且 k≠0也) 是函数的周期．
＝ … ＝ f(2 008) ＋ f(2 009) ＋ f(2 010)＋ f(2 011)＝ 0.
∴ f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋… ＋ f(2 013)＝ f(0) ＋ f(1) ＝ 1.
【拓展提高】
Leabharlann Baidu
判断函数的周期只需证明 f (x＋ T)＝ f(x) ( T≠0便) 可证明函数是周期函数， 且周期为 T，函
C. f 4.5 f 6.5 f 7
【答案】 D
D. f 4.5 f 7 f 6.5
2、设 g( x) 是定义在 R 上 ,以 1 为周期的函数 ,若函数 f (x) x g( x) 在区间 [0,1] 上的值域为
[-2,5], 则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为
【练习巩固】
1、已知定义在 R 上的函数 f x 满足条件；①对任意的 x R ，都有 f x 4 f x ；
②对任意的 x1, x2 0, 2 且x1 x2，都有 f x1
轴对称 .则下列结论正确的是 ( )
f x2 ；③函数 f x 2 的图象关于 y
A. f 7 f 6.5 f 4.5 B. f 7 f 4.5 f 6.5
第 8 节 函数的周期性 【基础知识】
1．周期函数：对于函数 y＝ f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值
时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
【变式探究】
已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且
f(x＋2) ＝－ f
1 x
，当 2≤x≤３时，
f(x)＝ x，则 f (105.5)＝________.
【答案】 2.5
【针对训练】
1 、 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 满 足 f x f x 2 2012 ， 若 f 1 2 ， 则 f 99 ________ ． 【答案】 1006 2、已知 f ( x) 是 R 上的奇函数， 对 x R 都有 f (x 4) f ( x) f (2) 成立，若 f ( 1) 2 ，
数就叫做 f(x)的最小正周期． 3．关于函数周期性常用的结论
(1)若满足 f (x＋ a)＝－ f x ，则 f ( x＋2a)＝f [( x＋a)＋ a]＝－ f ( x＋a)＝ f x ，所
以 2a 是函数的一个周期 ( a 0 )；
(2)若满足 f ( x＋a)＝ 1 ，则 f ( x＋ 2a)＝ f [( x＋ a)＋a]＝
y＝ Asin( ω＋ｘφ），用公式
T＝ 2| πω计｜算．递推法：若 f(x ＋ a)＝－ f(x) ，则 f(x ＋ 2a)＝ f[(x ＋ a)＋ a]＝－ f(x ＋ a)＝ f(x) ，所以
周期 T ＝ 2a.换元法：若 f(x ＋ a)＝ f(x － a)，令 x－ a＝ t， x＝ t＋ a，则 f(t) ＝ f(t ＋ 2a)，所以周期
1 ＝ f (x) ，所以
f ( x)
f ( x a)
2a 是函数的一个周期 ( a 0 )；
1
(3)若函数满足 f (x a)＝-
，同理可得 2a 是函数的一个周期 ( a 0 ).
f ( x)
（ 4 ） 如 果 y f ( x) 是 R 上 的 周 期 函 数 ， 且 一 个 周 期 为 T ， 那 么