高中数学必修五北师大版 等比数列的性质及应用 课件(51张)
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高中数学 1.3.1.2 等比数列的性质同步课件 北师大版必修5
仍为等比数列，例如am,a2m,a3m也为等比数列.
第九页，共39页。
(3)数列{λan}(λ≠0)，{｜an｜}皆为等比数列，公比分别为q和｜
q｜.
一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的
k次幂.
例如(lìrú)，以q为公比的等比数列的各项的倒数构成的数列仍为等比
数列，公比为
∴第4个数为12q-6.∴6+6q+12q-6=12,解得
q 故2 .所求的4个数为9,6,4,2.
方法3(fāngfǎ)二：设后3个数分别为4-d,4,4+d,则第1个数1（为4 d）2,
由题意
解得4-d=6.∴d=-2.故所求的4个数为49，6，4，
1（4 d）2（4 d）4 216,
4.在等比数列{an}中,若a1,a10是方程(fāngchéng)3x2-2x6=0的两根，则a4·a7=_________. 【解析】a4a7=a1a10=-2. 答案：-2
第三十八页，共39页。
5.已知实数(shìshù)a,b,c成等差数列，a+1,b+1,c+4成等比数列， 且a+b+c=15,求a,b,c. 【解析】∵a,b,c成等差数列，设公差为d，又a+b+c=15. ∴b=5,∴a+1=6-d,c+4=9+d, 又a+1,b+1,c+4成等比数列， ∴(a+1)(c+4)=(b+1)2,即（6-d)(9+d)=62, ∴d=3或d=-6,∴a,b,c分别为2,5,8或11,5,-1.
2.
4
第二十页，共39页。
【误区警示】在解决本题时注意审题，要求的是三个正数，所以解 出d=-10时需要舍去，不要忽视条件，导致(dǎozhì)错误.
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
2021-2022年北师大版必修五 1.3.1等比数列(一)课件ppt
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年
班
学校公开 教育教学样
讲课人：教育者
1
§3 等比数列
3.1 等比数列(一)
【课标要求】 1．掌握等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
【核心扫描】 1．等比数列的判定．(重点) 2．等比数列的通项公式及应用．(重点、难点)
课前探究学习
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课堂讲练互动
题型二 等比数列通项的运用
【例2】求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝－2，a3＝－8； (2)a1＝5，且2an＋1＝－3an. [思路探索] 要求an，关键是求出首项a1和公比q. 解 (1)∵a3＝a1q2，∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝(－2)×2n－1＝－2n； 当q＝－2时，an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n. (2)∵q＝aan＋n 1＝－32，又 a1＝5，∴an＝5×－32n－1. 规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个 基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根 据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
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想一想：等比数列的通项公式有哪些常见的推导方法？ 提示 等比数列的通项公式常见的推导方法有： (1)迭代法 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的定义 得， an＝an－1·q＝an－2·q2＝…＝a2·qn－2＝a1·qn－1. (2)归纳法 a2＝a1·q，a3＝a2·q＝a1q2，a4＝a3·q＝a1q3，…，an＝an－1·q＝ a1qn－1. (3)累积法
题型三 等纵数列的实际应用
【例3】(本题满分12分)始于2007年初的美国次贷危机，至 2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际 原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌， 9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的 百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34 美元)? 审题指导 这是一道数学应用题，先考虑建立数学模 型，把应用问题数学化是解决应用题的关键． 【解题流程】
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§3 等比数列
3.1 等比数列(一)
【课标要求】 1．掌握等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
【核心扫描】 1．等比数列的判定．(重点) 2．等比数列的通项公式及应用．(重点、难点)
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题型二 等比数列通项的运用
【例2】求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝－2，a3＝－8； (2)a1＝5，且2an＋1＝－3an. [思路探索] 要求an，关键是求出首项a1和公比q. 解 (1)∵a3＝a1q2，∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝(－2)×2n－1＝－2n； 当q＝－2时，an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n. (2)∵q＝aan＋n 1＝－32，又 a1＝5，∴an＝5×－32n－1. 规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个 基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根 据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
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想一想：等比数列的通项公式有哪些常见的推导方法？ 提示 等比数列的通项公式常见的推导方法有： (1)迭代法 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的定义 得， an＝an－1·q＝an－2·q2＝…＝a2·qn－2＝a1·qn－1. (2)归纳法 a2＝a1·q，a3＝a2·q＝a1q2，a4＝a3·q＝a1q3，…，an＝an－1·q＝ a1qn－1. (3)累积法
题型三 等纵数列的实际应用
【例3】(本题满分12分)始于2007年初的美国次贷危机，至 2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际 原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌， 9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的 百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34 美元)? 审题指导 这是一道数学应用题，先考虑建立数学模 型，把应用问题数学化是解决应用题的关键． 【解题流程】
高中数学第一章数列第3节等比数列3.1等比数列第2课时等比数列的性质课件北师大版必修5
第五页，共38页。
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
高中数学(北师大版)必修5课件：第一章 §3 3.1 等比数列 第二课时 等比数列的性质及应用
6 因此前三个数为q，6,6q. 由题意知第4个数为12q－6. 2 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝ . 3 故所求的四个数为9,6,4,2. [法二 按等差数列设元]
1 设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为 (4－d)2，由 4 1 题意知 (4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－ 4 2.故所求得的四个数为9,6,4,2.
[小试身手]
1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若b2＝ac，则a，b，c成等比数列． (2)方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是2. ( × ) ( × )
(3)若数列{an}，{bn}是等比数列，则数列{an＋bn}是等比数列． ( × ) (4){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am· an＝ap. ( × )
[点睛] (1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的 末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (2)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没 有等比中项．所以“a，G，b成等比数列”与“G＝ ab ”是 不等价的． (3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab(a，b均不为 0)”，可以用它来判断或证明三数成等比数列． (4)利用等比中项法：a 2 an＋2(n∈N＋，且an≠0)可证 n＋1 ＝an· 明{an}是等比数列．
－ －
∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元． (2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857. ∴用满4年时卖掉时，他大概能得到8.857万元．
解等比数列应用题的步骤 (1)审题，解决数列应用题的关键是读懂题意； (2)建立数学模型，将实际问题转化为等比数列的问题； (3)解数学模型，注意隐含条件，数列中n的值是正整数； (4)还原，即最后转化为实际问题作出回答．
高中数学北师大版必修五课件：等比数列的概念及通项公式
下面各数列成等比数列的是(
)
①－1，－2，－4，－8，„；②1，－ 3，3，－3 3，„； 1 1 1 1 ③x，x，x，x，„；④a， 2， 3， 4，„. a a a A．①②③ C．①②④ B．①② D．①②③④
解析：选 C.由等比数列的定义可知，对于③中的 x，若 x＝0， 则不是等比数列．
等比数列的判定与证明 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝2an＋n－4. (1)求 a1 的值； (2)若 bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
【解】 (1)因为 Sn＝2an＋n－4，所以当 n＝1 时，S1＝2a1＋1
－4，解得 a1＝3.
(2)证明：因为 Sn＝2an＋n－4， 所以当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4， Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)， 即 an＝2an－1－1， 所以 an－1＝2(an－1－1)， 又 bn＝an－1，所以 bn＝2bn－1，且 b1＝a1－1＝2≠0， 所以数列{bn}是以 b1＝2 为首项，2 为公比的等比数列．
1.(1)若 a，b，c，d 成等比数列，则下列三组 数：①a＋b，b＋c，c＋d；②ab，bc，cd；③a－b，b－c，c－ d，必成等比数列的个数为( A．3 C．1 ) B．2 D．0
(2)在数列{an}中，若 an>0，且 an＋1＝2an＋3(n∈N＋)．求证：数 列{an＋3}是等比数列．
等比数列的通项公式 在等比数列{an}中， (1)a1＝1，a4＝8，求 an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求 a1； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
【解】
(1)因为 a4＝a1q3，所以 8＝q3，所以 q＝2，
新版高中数学北师大版必修5课件：第一章数列 1.3.1.1
解得
������1 = 27,
������
=
2 3
或
������1 = -27,
������
=
-
2 3
.
(3)由题意得
������1 ������1
������4-������1 ������3-������1
= 15①, ������ = 6②,
由
① ②
得
������2+1 ������ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
52,
解得
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
目标导航
Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
2.通项公式
等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1qn-1
(a1≠0,q≠0). 【做一做2-1】在等比数列{an}中,a1=2,q=3,则an等于( ).
A.6 B.3×2n-1 C.2×3n-1 D.6n 解析:an=a1qn-1=2×3n-1.
答案:C
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做2-2】 有下列3个说法:
①等比数列中的某一项可以为0; ②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞); ③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1.
×
1 2
������ - 1
, ∴ ������ = 9.
解法二:∵a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q,
∴q=
高中数学北师大版必修五课件：等比数列的性质及其应用
(2)已知{an}是等比数列且 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3 ＋a5＝________．
Байду номын сангаас
2n－2 【解析】 (1)法一：由 a5·a2n－5＝22n 得 a1q4·a1q2n－6＝a2 q 1
＝22n.又 an>0，所以(a1qn 1)2＝(2n)2，所以 a1qn 1＝2n.而 log2a1
anan＋1 an an＋1 解析： 选 B.由于 ＝ × ＝q· q＝q2， n≥2 且 n∈N＋， an－1an an－1 an 所以{anan＋1}是以 q2 为公比的等比数列，故选 B.
在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，则 a5＋a6＝ ____________．
等比数列性质的应用 (1) 已知等比数列 {an} 满足 an>0 ， n ＝ 1 ， 2 ，…，且 a5 · a2n － 5 ＝ 22n(n≥3) ，则当 n≥1 时， log2a1 ＋ log2a3 ＋…＋ log2a2n－1＝( A．n(2n－1) C．n2 ) B．(n＋1)2 D．(n－1)2
第一章 数 列
第 2 课时
等比数列的性质
1．等比数列的通项公式与指数函数 (1)等比数列的通项公式 an＝a1·qn－1 可以看作是指数型函数 y ＝cqx. (2)等比数列增减性： ①当 q＞1，a1＞0 或 0＜q＜1，a1＜0 时，等比数列{an}是递增 数列；
②当 q＞1，a1＜0 或 0＜q＜1，a1＞0 时，等比数列{an}是递减 数列； ③当 q＝1 时，等比数列{an}是常数列； ④当 q＜0 时，等比数列{an}是摆动数列．
m 所以 am·an＝a2 q 1
高中数学北师大版必修5 等比数列第一课时 等比数列 课件(25张)
1．判断下列说法是否正确：(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常 数，这个数列就叫等比数列( × ) (2)一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同 一个常数，这个数列就叫等比数列( √ ) (3)由于数列bn＝2，不能表示成a1qn－1的形式，故数列bn＝2
a1，q是通项公式中的两个基本量，一般来说，涉及到列出
方程组的问题，大多数采用两式相比，消去a1再求解．
1．在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
a2＋a5＝ a1q＋ a1q ＝ 18， ① 解：法一：因为 2 5 a3＋a6＝ a1q ＋ a1q ＝9， ②
27 (2)设 an＝－ ，由等比数列的通项公式得 64 27 2 n－ 2 3 3 2 n－2 － ＝－ ( ) ，即( ) ＝ ( ) ， 此方程有解但 n 不为正整 64 3 4 3 27 数，故－ 不是该等比数列中的项． 64
判定某数列是否为等比数列，可依据等比数列的定义证明。 an＋1 常用的判定等比数列的方法有：(1)定义法： ＝q(常数)； an (2)等比中项法：a2 n＋ 1＝ anan＋2(an≠0)．
§3
等比数列
等比数列
3．1 等比数列 第一课时
• 学习导航
1.通过类比，理解等比数列、等比中项的概念． (重点) 学习 2．掌握等比数列的通项公式中有关量a1、q、n、 目标 an的求法．(重点) 3．了解等差、等比数列的异同点(难点) 通过学习等差数列的概念和性质，用类比方法得 学法 出等比数列的概念，通项公式，引导学生学会利 指导 用归纳、类比等方法探究问题，发现规律.
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an＋1，求证：数列{an}是 等比数列，并求出通项公式．
2020-2019学年北师大版数学必修5课件：第一章 3.1 第2课时 等比数列的性质
知识梳理 1.等比中项的概念 如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定 义，Ga ＝Gb，G2＝_____a_b____，G＝___±___a_b____，我们称G为a，b的__等__比__中__项___．
2．等比中项与等差中项的异同，对比如下表
对比项
等差中项
答案：C
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于______．
1 解析：由a5＝a2·q3，得q3＝aa25＝42＝18，所以q＝12.
答案：12
探究一 等比数列的性质
[例1] 已知{an}为等比数列． (1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25.求a3＋a5. (2)若an＞0，a5a6＝9.求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [解题指南] (1)由等比数列性质得a2a4＝a23，a4a6＝a52，从而得解． (2)由等比数列性质得a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6，从而进行求解．
知识梳理 等比数列的单调性
公比q
单调性
q＜0
0＜q＜1
q＝1
q＞1
首项a1 a1＞0 a1＜0
_____递__减_____
____递__增______
不具备单调性
不具备单调性
数列
数列
____递__增______
____递__减______
不具备单调性
不具备单调性
数列
数列
知识点二 等比中项 思考并完成以下问题 1．在2，8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？ 提示：设这个数为G，则G2 ＝G8 ，G2＝16，G＝±4，所以这样的数有2个． 2．若a，G，b成等比数列，能得出什么结论？ 提示：因为a，G，b成等比数列，所以Ga ＝Gb ，所以G2＝ab.
高中数学 第一部分 第一章 §3 3.1 第二课时 等比数列的性质及应用课件 北师大版必修5
a3＋a10＝5 a3a10＝a5a8＝6 a3＝2 ⇒ a10＝3 a3＝3， 或 a10＝2.
a20 a10 2 3 7 ∴ ＝q ＝ ＝ 或 . a13 a3 3 2
2 3 答案： 或 3 2
3．已知等比数列{an}，a2a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
提示：是．公比是qk＋1.
2 问题 4：数列中，a2 ＝ a · a 是否成立？ a a9 是否成 5 3 7 5＝a1·
立？为什么？
提示：两个关系式都成立．
2 8 2 6 2 8 ∵a5 ＝(a1· q4)2＝a2 1q ， a3a7＝ (a1q )(a1q )＝ a1 q ， a1a9 ＝ 8 a1(a1q8)＝a2 q 1 ， 2 ∴a5 ＝a3a7＝a1a9.
等比数列的运算一般有两种：一种是
基本运算，即转化为基本量，通过解方程或方程组求
解的运算；一种是性质运算，巧妙避开解方程组，这
种方法使问题简单化，起到事半功倍的效果．
1．(2012· 沈阳高二检测)已知等比数列{an}，若a1＋a2＝20， a3＋a4＝80，则a5＋a6等于 ( )
A．480
C．240
13 答案： 16
1．在解决与等比数列有关的计算问题时，我们首
先想到的方法是通法，即通过解方程组求两个基本量首 项a1和公比q，求解过程中要注意整体代换思想的运用， 但有些问题合理地选择性质求解，可以减少运算量，提 高解题效率． 2．解数列的实际应用问题时，首先要分清是等差 数列，还是等比数列；是求某一项，还是求某些项的和，
5．(2012· 临沂高二检测)已知等比数列{an}满足a1＝3， 且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于( A．33 C．72 B．84 D．189 )
a20 a10 2 3 7 ∴ ＝q ＝ ＝ 或 . a13 a3 3 2
2 3 答案： 或 3 2
3．已知等比数列{an}，a2a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
提示：是．公比是qk＋1.
2 问题 4：数列中，a2 ＝ a · a 是否成立？ a a9 是否成 5 3 7 5＝a1·
立？为什么？
提示：两个关系式都成立．
2 8 2 6 2 8 ∵a5 ＝(a1· q4)2＝a2 1q ， a3a7＝ (a1q )(a1q )＝ a1 q ， a1a9 ＝ 8 a1(a1q8)＝a2 q 1 ， 2 ∴a5 ＝a3a7＝a1a9.
等比数列的运算一般有两种：一种是
基本运算，即转化为基本量，通过解方程或方程组求
解的运算；一种是性质运算，巧妙避开解方程组，这
种方法使问题简单化，起到事半功倍的效果．
1．(2012· 沈阳高二检测)已知等比数列{an}，若a1＋a2＝20， a3＋a4＝80，则a5＋a6等于 ( )
A．480
C．240
13 答案： 16
1．在解决与等比数列有关的计算问题时，我们首
先想到的方法是通法，即通过解方程组求两个基本量首 项a1和公比q，求解过程中要注意整体代换思想的运用， 但有些问题合理地选择性质求解，可以减少运算量，提 高解题效率． 2．解数列的实际应用问题时，首先要分清是等差 数列，还是等比数列；是求某一项，还是求某些项的和，
5．(2012· 临沂高二检测)已知等比数列{an}满足a1＝3， 且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于( A．33 C．72 B．84 D．189 )
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规律方法 本题证明的关键是用等比数列的定义，灵活处理所给 的已知条件，得出an＋1－1＝can－1，从而得到{an－1}是 等比数列，再将a＝1代入，验证也满足通项公式的要求
数列{an}中，a1＝2，an＋1＝ 的通项公式．
2an (n∈n ∵an＋1＝ ， 4＋an
k＋1 q 顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为 .
(5)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan} 是公差为 lgq 的等差数列． (6)当m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an， ap成 等比 数列． (7)等比数列中的任意一项均不为0，即an≠0.
等比数列与指数函数的关系． 提示：(1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1，可以整理为 a1 n a1 x an＝( )· q .当q>0且q≠1时，y＝( )· q 是一个不为0的常数与 q q a1 n 指数函数的积，因此，数列{an}即{ q · q }中的各项所表示的 a1 点(n，kq )(k＝ q )离散地分布在函数y＝k· qx(x∈R)的图像
∵an＋1＝can＋1－c，n∈N＋，
∴an＋1－1＝c(an－1)． ∴当a≠1时，{an－1}是首项为a－1，公比为c的等比 数列． ∴an－1＝(a－1)cn－1，即an＝(a－1)cn－1＋1. 当a＝1时，an＝1仍满足上式． ∴数列{an}的通项公式为an＝(a－1)cn－1＋1(n∈N＋)．
等比数列的通项公式的求法及应用
【例2】
设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝can＋1－
c，n∈N＋，其中a，c为实数，且c≠0，求数列{an}的通 项公式．
【思路探究】
要求数列{an}的通项公式关键是整
理式子an＋1＝can＋1－c，从中找出突破口，从而得到 {an}的通项公式．
【尝试解答】
4 2 2 即a2 1q (q ＋1) ＝25.
∴a1q2(q2＋1)＝5.a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(q2＋1)＝5. 解法二：∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
n
上，所以可以借助指数函数y＝qx(q>0，且q≠1)的性质来研 究等比数列的性质．
(2)等比数列具有的单调性
1．根据等比数列的定义可知，在等比数列中的公比 q≠0，任意一项都不为零．当q＝1时，这个等比数列为常 数列． 2．判定一个数列是等比数列的方法 an＋1 (1)定义法：利用定义式 a ＝q. n (2)等比中项法：利用a2 n＋1＝anan＋2. (3)通项公式法：利用an＝a1qn－1(或cqn)．
第一章
数列
§3
等比数列
3.1
等比数列
第2课时 预习篇
等比数列的性质及应用
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
学习目标
1.理解等比数列的函数特性. 2.掌握等比中项的定义，能够应用定义解决问题. 3.在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能 灵活运用公式解决相应的实际问题.
重点难点
重点：等比数列的函数特性，等比中项的定义及等比 数列的性质. 难点：等比数列性质的应用.
【例3】
已知数列{an}为等比数列，且an>0，a2a4 )
＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于( A．5 C．15 B．10 D．20
【思路探究】
本题可利用等比数列的性质解决，也
可以通过整体代换的方法解决．
【尝试解答】 an>0，得q>0.
解法一：设此等比数列的公比为q，由
由条件得a1q· a1q3＋2a1q2· a1q4＋a1q3· a1q5＝25，
即a2(1＋q2)(q－d)4＝0. ∵(q2＋1)a2≠0，∴(q－d)4＝0，即d＝q≠0.
规律方法 在证明数列为等比数列运用定义证明较麻烦时，可采 用等比中项法证明该数列为等比数列.
求a4＋a2b2与b4＋a2b2的等比中项．
【解析】 设该数列的等比中项为A，则
A＝± a4＋a2b2b4＋a2b2＝± ab(a2＋b2)．
等比数列的性质
(1)an＝amqn－m(m，n∈N＋)． (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则 aman＝apaq (3)数列{λan}(λ为不等于0的常数)仍是公比为 q 等比数列； 的
若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{anbn}是公比 为
qq′的等比数列；
1 1 数列{ }是公比为 的等比数列； an q 数列{|an|}是公比为 |q| 的等比数列． (4)在数列{an}中每隔k(k∈N＋)项取出一项，按原来的
证明：关于d的二次方程(a2＋b2)d2－
2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有实根， ∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0， ∴－(b2－ac)2≥0. 则必有b2－ac＝0，即b2＝ac， ∴a，b，c成等比数列． 设公比为q，则b＝aq，c＝aq2，代入方程得 (a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0.
预习篇01
新知导学
等比中项
如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成 等比 G b G2＝ab 数列，那么根据等比数列的定义， a ＝ G ， ，G ＝± ab.我们称G为a，b的等比中项．
相对于等差中项而言，等比中项有怎样的特点？ 提示：(1)只有同号的两个数才有等比中项． (2)等比中项有两个，它们互为相反数．
4＋an 2 1 ∴ ＝ ＝ ＋ . an＋1 2an an 2 1 1 1 ∴ ＋ ＝2(a ＋2)． an＋1 2 n 1 1 1 ∴数列{a ＋ 2}是以2为公比的等比数列，其首项为a ＋ n 1 1 2＝1. 1 1 2 ∴a ＋2＝2n－1⇒an＝ n . 2 －1 n
等比数列的基本性质
课堂篇02
合作探究
等比中项的运用
【例1】
设a，b，c，d均为非零实数，关于d的二
次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有实根，求 证：a，b，c成等比数列且公比为d.
【思路探究】
根据已知方程有实根，由Δ≥0得出a，
b，c的关系，然后运用等差中项法进行证明即可．
【尝试解答】