2019福建省厦门市一模数学文科word精校版

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福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学(文)试题(解析版)

福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴，∴双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为P （恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），故选：C．【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα，则tan（α）3，故选：A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。

2019年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析

2019年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+3x-10＜0}，B=|x|-3＜x＜3}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.i是虚数单位，则的虚部是（）A. B. C. D.3.已知=（1，1），=（2，m）， ⊥（-），则||=（）A. 0B. 1C.D. 24.双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率是2，则渐近线方程为（）A. B. C. D.5.在△ABC中，cos B=，b=2，sin C=2sin A，则△ABC的面积等于（）A. B. C. D.6.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份7.已知f（x）是偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），＞0．设a=f（），b=f（log37），c=f（-0.83），则（）A. B. C. D.8.设函数f（x）=a sin x cosx-2sin2x，若直线x=是f（x）图象的一条对称轴，则（）A. 的最小正周期为，最大值为1B. 的最小正周期为，最大值为2C. 的最小正周期为，最大值为1D. 的最小正周期为，最大值为29.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A.B.C.D.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A.B.C.D.11.设函数f（x）=，若函数y=f（x）+ax恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C.D.12.设动点B,C在抛物线E:x2=y上，点A(1,1)，直线AB,AC的倾斜角互补，BC中点的纵坐标为y0，则y0不可能为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sin（-α）=-，0＜α＜π，则sin2α=______．14.若x，y满足，则z=2x-y的最大值为______．15.在△ABC中，AB=4，AC=2，A=，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为______．16.在正三棱锥S-ABC中，，，E,F分别为AC,SB的中点，平面过点A，||平面SBC，∩平面ABC=l，则异面直线l和EF所成角的余弦值为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=6，b1=a n+1．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18.如图，在多面体ABCDEF中，AD,BE,CF均垂直于平面ABC，AC=BC，AD=2，BE=4，CF=3.（1）过CF的平面α与平面ABED垂直，请在图中作出α截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若，，求多面体ABCDEF的体积.19.某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i=1，2，…，10）的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y=a+bx和y=c•x d（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．（2）对数据作出如下处理：令u根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z=-x（其中e=2.71828…），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=-．20.已知椭圆：，过点C(1,0)且与x轴不重合的直线与相交于AB两点，点D(2,0)，直线AD与直线x=3交于点E.（1）当AB垂直于x轴时，求直线AD的方程；（2）证明：CD||BE.21.设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）+ax2-x，a≥0．（1）求f（x）的极值；（2）证明：e x-1（f（x-1）+x）≥x2．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若C上恰有2个点到l的距离等于，求l的斜率．23.已知函数f（x）=|x+2|+|x-4|．（1）求不等式f（x）≤3x的解集；（2）若f（x）≥k|x-1|对任意x∈R恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x2+3x-10＜0}={x|-5＜x＜2}，B=|x|-3＜x＜3}，∴A∩B={x|-3＜x＜2}．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵=，∴的虚部是-1．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：；∵；∴；∴m=0；∴；∴．故选：D．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m，进而求出的坐标，从而求出．考查向量垂直的充要条件，向量减法和数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法．4.【答案】D【解析】解：由题意得，，则即，所以双曲线-=1的渐近线方程为y=±x=x，即，故选：D．由离心率是2得c=2a，代入c2=a2+b2得3a2=b2，求出的值，再求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程以及简单的几何性质，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，cosB=，b=2，sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a；由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a•2a•=4a2=4，解得a=1，可得c=2；可得△ABC的面积为S=acsinB=×1×2×=．故选：D．利用正弦定理和余弦定理求出a、c的值，即可解得△ABC的面积．本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形面积的计算问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由图可知：①选项A正确，②2018年月销售任务的平均值为＜600，故选项B正确，③2018年第一季度总销售量为100×0.8+200×1+300×（0.5+1.5+0.6）+400×（1.2+0.9+0.9）+500×1.1+700×0.8+800×1+100×0.7=830，故选项C正确，④2018年月销售量最大的是5月份为800台，故选项D不正确，综合①②③④得：选项D不正确，故选：D．由频率分布折线图、密度曲线逐一检验即可得解．本题考查了频率分布折线图、密度曲线，属简单题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，f（x）满足对任意x1，x2∈（0，+∞），＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（x）是偶函数，则c=f（-0.83）=f（0.83），又由0.83＜1＜＜log33=log3＜log37，则c＜a＜b；故选：B．根据题意，结合函数单调性的定义可得f（x）在（0，+∞）上为增函数，结合函数奇偶性分析可得c=f（-0.83）=f（0.83），又由0.83＜1＜＜log33=log3＜log37，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的单调性，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：f（x）=asinxcosx-2sin2x=sin2x+cos2x-1=sin2x+cos2x）-1，令cosθ=，sinθ=，则tanθ=，其中θ是参数，则f（x）=sin（2x+θ）-1，则函数的最小正周期T==π，∵直线x=是f（x）图象的一条对称轴，∴2×+θ=kπ+，即θ=kπ+，则tanθ=tan（kπ+）=tan=，即=，得a=2则函数f（x）的最大值为===2，故选：B．利用倍角公式，以及辅助角公式将函数进行化简，进而根据正弦函数的性质求得周期和最小值．本题主要考查了三角函数的性质，利用倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出a的值是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：从八卦中任取两卦，基本事件总数n==28，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m=3，∴这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为p=．故选：A．基本事件总数n==28，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m=3，由此能求出这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积，球内接多面体，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．由已知中的三视图画出几何体的直观图，求出外接球的半径，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面三角形的外接圆半径r=1，故球半径R满足，R=1，故球的表面积S=4πR2=4π，故选C．11.【答案】A【解析】解：由y=f（x）+ax恰有两个零点，得y=f（x）+ax=0有两个不同的根，即f（x）=-ax，即y=f（x）与y=-ax有两个不同的交点，当x=0时，y=f（0）+0=0，即x=0是函数的一个零点，当a＞0时，作出函数f（x）的图象如图：此时y=f（x）与y=-ax恒有两个交点，满足条件若a＜0，作出函数f（x）的图象如图：此时y=f（x）与y=-ax恒有两个交点，满足条件当x≥0时，f′（x）=2x+2，则函数f（x）在（0，0）点的切线斜率k=f′（0）=2，要使当x≥0时，f（x）与y=-ax只有一个交点（0，0），则-a≤2，即-2≤a＜0，当a=0时，不满足条件．综上a＞0或-2≤a＜0，即实数a的取值范围是[-2，0）（0，+∞），故选：A．讨论a的符号，作出函数f（x）和y=-ax的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质，属中档题．设B（x1，y1），C（x2，y2），联立直线AB与抛物线解得B，C两点的纵坐标，再得y0，结合判别式可知选C．【解答】解：设B（x1，y1），C（x2，y2），直线AB：y=k（x-1）+1（k≠0），代入x2=y得：x2-kx+k-1=0，所以x1=k-1，则y1=（k-1）2；同理：x2=-k-1，y2=（k+1）2，所以y0==k2+1．由题设知：，得：k≠0且k≠2，所以y0＞1且y0≠5，故选：C．13.【答案】-【解析】解：∵sin（-α）=cosα=-，0＜α＜π，∴sinα==，则sin2α=2sinαcosα=-，故答案为：-．利用诱导公式、二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：x，y满足，画出可行域如图，做出基准线0=2x-y，解得A（2，2）由图知，当直线z=2x-y过点A（2，2）时，z最大值为：2．故答案为：2．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，求出最优解，然后求解z的最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.【答案】5-2【解析】解：由余弦定理得BC=∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°以A点为坐标原点，AC所在直线为y轴建立如图坐标系则A（0，0），B（2，2），C（0，2）P为单位圆上的一点，设P（cosθ，sinθ），，∴=-2+cosθ2+4-4sinθ+sinθ2=5-（4sinθ+2）=5-2sin（θ+φ），（其中tanφ=）故当sin（θ+φ）=1时，有最小值5-2，故填：5-2先用余弦定理算出BC的长度，再由勾股定理得三角形ABC为以∠C为直角的直角三角形．建立坐标系后，将表示为∠θ的函数，根据三角函数的有界性可以得到的最小值．本题主要考查了解三角形、向量的数量积运算、三角恒等变换等知识．将向量数量积的最值问题转化为三角函数的有界性问题，属于基础题16.【答案】【解析】【分析】推导出l∥BC，取AB中点D，连结DE，DF，则DE∥BC，从而l∥DE，进而异面直线l和EF所成角即为∠DEF或其补角，由此能求出异面直线l和EF所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：∵α∥面SBC，α∩面ABC=l，平面SBC∩平面ABC=BC，∴l∥BC，取AB中点D，连结DE，DF，则DE∥BC，∴l∥DE，∴异面直线l和EF所成角即为∠DEF或其补角，取BC中点O，则SO⊥BC，AO⊥BC，又SO∩AO=O，∴BC⊥平面SOA，又SA⊂平面SOA，∴BC⊥SA，∴DE⊥DF，在Rt△DEF中，DE=，DF=，∴EF=2，cos∠DEF=．∴异面直线l和EF所成角的余弦值为．故答案为：．17.【答案】解：（1）数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=6，b1=a n+1．所以：当n=1时，a2=b1=6，故：a n=6+2（n-2）=2n+2，由于b1=a n+1．①当n≥2时，b1+…+=a n②，①-②得：，所以：b n=2n所以：．（2）当n=1时，．当n≥2时，，则：，=，=，当n=1时满足上式，故：．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的关系式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）取AB，DE的中点G，H，连接CG，FH，HG，则四边形CFGH 即为所求截面．理由如下：∵AD，BE，CF均垂直于平面ABC，∴AD∥BE∥CF，∵AD=2，BE=4，∴ABED为梯形，又G，H分别为AB，DE的中点，∴HG∥BE，HG=3，∴HG∥CF，HG=CF，则CFHG为平行四边形，∵AC=BC，G为AB的中点，∴CG⊥AB，又AD⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，∴AD⊥CG．又AB∩AD=A，∴CG⊥平面ABED，又CG⊂平面CFHG，∴平面CFHG⊥平面ABED．∴平行四边形CFHG为所作的截面；（2）过点A作AM⊥BC于点M，∵BE⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，∴BE⊥AM，又BE∩BC=B，BC，BE⊂平面BCFE，∴AM⊥平面BCFE，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，，得AC=BC=4，∴△ ．∴=，．△∴．【解析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．（1）取AB，DE的中点G，H，连接CG，FH，HG，则四边形CFGH即为所求截面，然后结合已知利用面面垂直的判定证明.（2）过点A作AM⊥BC于点M，可得BE⊥AM，进一步得到AM⊥平面BCFE，然后把多面体ABCDEF的体积转化为三棱锥D-ABC与三棱锥D-BCFE的体积和求解．19.【答案】解：（1）由散点图知，选择回归类型，y=c•x d更适合．（2）对y=c•x d两边取对数，得Iny=ln c+d ln x，即v=ln c+du．由表中数据得，所以，所以．所以年研发费用x与年销售量y的回归方程为．（3）由（2）知，，求导得，令，得x=27，函数在（0，27）上单调递增，在（27，+∞）上单调递减，所以当x=27时，年利润z取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．【解析】（1）由题意结合散点图选择合适的回归方程即可；（2）结合所给的数据求解非线性回归方程即可；（3）结合（2）中求得的回归方程确定利润函数，结合导函数研究函数的最值即可．本题主要考查非线性回归方程的应用，导函数研究函数的最大值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．20.【答案】解：（1）设点A（x1，y1），当AB垂直于x轴时，可得x1=1，y1=±，∴A（1，±），∴k AD=±，∴直线AD的方程为y=±（x-2），证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m2+3）y2+2my-2=0∴y1+y2=-，y1y2=-，△=4m2+8（m2+3）＞0，∴=m，∴y1+y2=my1y2∴y1=（my1-1）y2，∵k AD=，∴直线AD的方程为y=（x-2），当x=3时可得y E=，∴y E==y2，∴CD∥BE【解析】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．（1）求出点A的坐标，即可求出直线方程，（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m2+3）y2+2my-2=0，利用韦达定理，计算即可．21.【答案】解：（1），＞，因为a≥0，所以f'（x）在（-1，+∞）上单调递增，又f’（0）=0，所以x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f’（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=0是f（x）的极小值点，故函数f（x）的极小值为f（0）=0，无极大值．（2）f（x-1）的定义域为（0，+∞）．要证：e x-1（f（x-1）+x）≥x2，只需证：，只需证：，令，，因为a≥0，所以当x∈（0，1）时，F’（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增，所以F（x）min=F（1）=0，即F（x）≥0．故当a≥0时，e x-1（f（x-1）+x）≥x2．【解析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究原函数的单调性从而确定函数的极值即可；（2）利用分析法将所要证明的不等式等价变形，然后构造新函数，由新函数的最值证明题中的不等式即可．本题主要考查导数的运算、函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化等数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：y=tanαx．曲线C的极坐标方程为ρ2=，转换为直角坐标方程为：x2+4y2=4，（2）由于曲线C上恰有2个点到l的距离等于，则：该点为椭圆的左右顶点，即：（2，0）和（-2，0），则：点（2，0）到直线y=tanαx=kx的距离d=，解得：k=±1，故直线的斜率为：k=±1，【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离的公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当x＞4时，x+2+x-4≤3x，解得：x≥-2，故x＞4，当x＜-2时，-x-2-x+4≤3x，解得：x≥-，故此不等式无解，当-2≤x≤4时，x+2-x+4≤3x，解得：x≥2，故2≤x≤4，综上，不等式的解集是[2，+∞）；（2）由f（x）≥k|x-1|，得|x+2|+|x-4|≥k|x-1|，当x=1时，6≥0恒成立，故k∈R，当x≠1时，k≤==|1+|+|1-|，∵|1+|+|1-|≥|1++1-|=2，当且仅当（1+）（1-）≥0即x≥4或x≤-2时，“=”成立，故k≤2，综上，k的范围是（-∞，2]．【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为k≤|1+|+|1-|，根据绝对值不等式的性质求出k的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2019年福建省厦门一中高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

2019年福建省厦门一中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜3}2．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3．（5分）中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），则tan（α﹣）的值为（）A．﹣3B．﹣C．﹣D．﹣5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A ＝3，a＝1．那么在①处应填（）A．T＞2S？B．S＞2T？C．S＜2T？D．T＜2S？6．（5分）实数x，y满足，则z＝4x+3y的最大值为（）A．3B．4C．18D．247．（5分）当x＞0时，函数f（x）＝（ae x+b）（x﹣2）单调递增，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则使得f（2﹣m）＞0成立的m的取值范围是（）A．{m|m＜﹣2或m＞2}B．{m|﹣2＜m＜2}C．{m|m＜0或m＞4}D．{m|0＜m＜4}8．（5分）在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，＝，＝，若•＝12，则∠BAD＝（）A．B．C．D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且∠AFB＝α（α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若的最小值为1，则α＝（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，直线y＝x﹣2与圆x2+y2＝2a n+2交于A n，B n （n∈N*）两点，且．若a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．[0，+∞）D．12．（5分）已知P，Q为动直线y＝m（0＜m＜）与y＝sin x和y＝cos x在区间上的左，右两个交点，P，Q在x轴上的投影分别为S，R．当矩形PQRS面积取得最大值时，点P的横坐标为x0，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）复数z满足z（1+i）＝2﹣i（i为虚数单位），则z的共轭复数为．14．（5分）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a1+a3+a5＝15，a2+a4+a6＝0，则S n的最大值为．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC＝2，CC1＝1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为．16．（5分）若实数a，b，c满足（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，则|b﹣c|的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．（12分）已知函数f（x）＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），C是函数f（x）图象的一个最高点．a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sin C﹣sin A）＝（a+b）sin B．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．18．（12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101852联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2＝．19．（12分）已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC 平行，并给出详细证明；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．20．（12分）已知椭圆，动圆P：（圆心P为椭圆C上异于左右顶点的任意一点），过原点O作两条射线与圆P相切，分别交椭圆于M，N两点，且切线长的最小值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：△MON的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣ax+a+1）e x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），其中a＞0．若mx1＞0恒成立，求实数m的取值范围．四、选考题（请考生在22、23两题中任选一题作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△P AB 面积的最大值．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．2019年福建省厦门一中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜3}【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴＝，∴双曲线的离心率为e＝＝＝故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【解答】解：P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译）＝＝，故选：C．【点评】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），则tan（α﹣）的值为（）A．﹣3B．﹣C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan （α﹣）的值．【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），∴tanα＝＝﹣，则tan（α﹣）＝＝＝﹣3，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A ＝3，a＝1．那么在①处应填（）A．T＞2S？B．S＞2T？C．S＜2T？D．T＜2S？【考点】EF：程序框图．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5K：算法和程序框图．【分析】由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，即可得出结论．【解答】解：由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选：B．【点评】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础．6．（5分）实数x，y满足，则z＝4x+3y的最大值为（）A．3B．4C．18D．24【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；5T：不等式．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，4），由z＝4x+3y得：y＝﹣x+z，结合图象得直线过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7．（5分）当x＞0时，函数f（x）＝（ae x+b）（x﹣2）单调递增，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则使得f（2﹣m）＞0成立的m的取值范围是（）A．{m|m＜﹣2或m＞2}B．{m|﹣2＜m＜2}C．{m|m＜0或m＞4}D．{m|0＜m＜4}【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）＝f（﹣2）＝0，问题转化为|2﹣m|＞2，求出m的范围即可．【解答】解：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，即函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，函数f（x）是偶函数，而f（2）＝0，故x＞2时，f（x）＞0，x＜﹣2时，f（x）＞0，故f（2﹣m）＞0，即|2﹣m|＞2，解得：m＞4或m＜0，故选：C．【点评】本题考查了函数的对称性问题，考查转化思想以及函数的单调性，是一道中档题．8．（5分）在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，＝，＝，若•＝12，则∠BAD＝（）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出答案．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，＝，＝，∴＝+＝﹣﹣，＝+＝﹣﹣若•＝12，则•＝（﹣﹣）•（﹣﹣）＝++•＝×32+×22+×3×2×cos∠BAD＝12，cos∠BAD＝，∴∠BAD＝．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质与平面向量的数量积运算问题，是基础题目．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解外接球的表面积即可．【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，上底面PCD的外接圆的半径：O1D＝＝，几何体的外接球的半径为：OD＝＝，该四棱锥的外接球的表面积是：4＝π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，求解外接球的半径是解题的关键．10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且∠AFB＝α（α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若的最小值为1，则α＝（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先画出图象、做出辅助线，设|AF|＝a、|BF|＝b，由抛物线定义得2|MN|＝a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2＝a2+b2﹣2ab cosα，再根据的最小值为1，即可得到答案．【解答】解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cosα，∵的最小值为1，∴a2+b2﹣2ab cosα≥，α＝时，不等式恒成立．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，直线y＝x﹣2与圆x2+y2＝2a n+2交于A n，B n （n∈N*）两点，且．若a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．[0，+∞）D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由已知得到关于数列{a n}的递推式，进一步得到{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a n}的前n项和为S n，进一步求得数列{a n}的通项，然后利用错位相减法求得a1+2a2+3a3+…+na n，代入a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2，分离参数λ，求出得最大值得答案．【解答】解：圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣2＝0的距离d＝＝2，由d2+＝r2，且，得22+S n＝2a n+2，∴4+S n＝2（S n﹣S n﹣1）+2，即S n+2＝2（S n﹣1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n＝2a n+2，取n＝1，解得a1＝2，∴S n+2＝（a1+2）•2n﹣1，则S n＝2n+1﹣2；∴（n≥2）．a1＝2适合上式，∴．令T n＝a1+2a2+3a3+…+na n＝1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴，两式作差可得：＝＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴，由a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，可得（n﹣1）•2n+1+2＜λ•22n+2对任意n∈N*恒成立，即λ＞对任意n∈N*恒成立，当n＝1时，＝0；由，知，n＝2时，＝0，∴当n＝2、3时，最大为．∴λ＞．∴λ的取值范围为：．故选：B．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查直线与圆的位置关系，是中档题．12．（5分）已知P，Q为动直线y＝m（0＜m＜）与y＝sin x和y＝cos x在区间上的左，右两个交点，P，Q在x轴上的投影分别为S，R．当矩形PQRS面积取得最大值时，点P的横坐标为x0，则（）A．B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sin x），则矩形PQRS的面积为S（x）＝（﹣2x）•sin x，（0＜x＜），再利用导数求得矩形面积S（x）的最大值．【解答】解：由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sin x），则，∴，∴，∴S″＝﹣4cos x﹣（﹣2x）sin x，∵，∴S''（x）＜0，∴S′（x）在区间上单调递减，且，，∴S′（x）在区间存在唯一零点，即为x0．令S′（x0）＝0得：，即．由不等式得：，解得：，故选：A．【点评】考查三角函数的图象与性质、导数、零点、不等式等，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）复数z满足z（1+i）＝2﹣i（i为虚数单位），则z的共轭复数为+i．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数运算法则进行化简，结合共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2﹣i得z＝＝＝＝﹣i，则z的共轭复数为+i，故答案为：+i【点评】本题主要考查复数的共轭复数的计算，结合复数的运算法则求出z是解决本题的关键．14．（5分）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a1+a3+a5＝15，a2+a4+a6＝0，则S n的最大值为30．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，根据a1+a3+a5＝15，a2+a4+a6＝0，可得3d＝﹣15，3a1+6d＝15，解得d，a1．令a n≥0，解得n，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3+a5＝15，a2+a4+a6＝0，∴3d＝﹣15，3a1+6d＝15，解得d＝﹣5，a1＝15．∴a n＝15﹣5（n﹣1）＝20﹣5n，令a n＝20﹣5n≥0，解得n≤4．则S n的最大值为S4＝S3＝3×15+＝30．故答案为：30．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC＝2，CC1＝1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意，BC1＝＝，∠A1BC1＝60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】解：由题意，BC1＝＝，∠A1BC1＝60°，∴A1C1＝，A1B＝，∴AB＝，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为（2++）×1＝，故答案为．【点评】本题考查三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（5分）若实数a，b，c满足（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，则|b﹣c|的最小值是1．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，可得a＝2b+1，a＝c+lnc.2b+1＝c+lnc，|b﹣c|＝，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，∴a＝2b+1，a＝c+lnc．∴2b+1＝c+lnc，b＝．∴|b﹣c|＝，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），f′（c）＝1﹣＝，可得：c＝1时，函数f（c）取得极小值即最小值，f（1）＝2＞0．∴|b﹣c|＝≥1，故答案为：1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17．（12分）已知函数f（x）＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），C是函数f（x）图象的一个最高点．a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sin C﹣sin A）＝（a+b）sin B．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】（Ⅰ）由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝M sin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x 轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），∴sinφ＝0，∴φ＝0，且＝＝6，∴ω＝，∴f（x）＝M sin（x）．∵C是函数f（x）图象的一个最高点，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sin C﹣sin A）＝（a+b）sin B，∴（a+c）（c﹣a）＝（a+b）b，整理可得＝﹣，即cos C＝﹣，∴C＝．由题意可得CA＝CB，∴∠A＝，设AB的中点为D，则CD⊥AB，且点D（3，0），点C（3，M），根据tan∠A＝tan＝＝＝，∴M＝，∴f（x）＝sin（x）．（Ⅱ）将函数f（x）＝sin（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，可得y＝sin（x+1）＝sin（x+）的图象；再把横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）＝sin（•x+）＝sin（x+）的图象．令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，故函数g（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A．还考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．18．（12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101852联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2＝．【考点】BL：独立性检验．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【解答】解：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为（20×5+40×15+40×25+200×35+200×45+300×55）÷（20+40+40+200+200+300）＝42.75；（Ⅱ）列联表：骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总计150********K2＝＝18＞10.828，∴能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．【点评】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．19．（12分）已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC 平行，并给出详细证明；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）过E作EQ⊥平面BCD，交CD于Q，过A作AP⊥平面BCD，交BC于P，则EQ∥AP，过Q作QO∥BC，交BD于O，从而EQ∥AP，QO∥BC，进而平面EQO ∥平面ABC，由此得到直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．（2）求出AP＝2，S△ABC＝2，点E到平面ABC的距离d＝＝，由此能求出三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）∵平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．∴过E作EQ⊥平面BCD，交CD于Q，过A作AP⊥平面BCD，交BC于P，∴EQ∥AP，过Q作QO∥BC，交BD于O，则直线OQ就是在平面BCD内所求的直线，使得直线OQ上任意一点F与E的连线EF 均与平面ABC平行．证明如下：∵EQ∥AP，QO∥BC，EQ∩QO＝Q，AP∩BC＝P，EQ、QO⊂平面EQO，AP、BC⊂平面ABC，∴平面EQO∥平面ABC，∴直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．（2）∵△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，∴AP＝＝2，∴S△ABC＝＝2，点E到平面ABC的距离d＝＝＝，∴三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC＝＝＝．【点评】本题考查满足线面平行的直线的确定与证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）已知椭圆，动圆P：（圆心P为椭圆C上异于左右顶点的任意一点），过原点O作两条射线与圆P相切，分别交椭圆于M，N两点，且切线长的最小值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：△MON的面积为定值．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）将圆心坐标代入椭圆方程，根据两点之间的距离公式，|OT|＝≥，由切线长的最小值为，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；（Ⅱ）当斜率不存在，此时M、N分别为长、短轴一个端点，则△MON的面积为，当斜率存在，分别设出切线方程，代入求得M和N的坐标，由三角形的面积S△MON＝﹣﹣，即可求得△MON的面积，方法二：设直线MN方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，根据点到直线的距离公式及三角形的面积公式，即可求得△MON的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）如图1，因为椭圆，焦点在x轴上，P（x0，y0）在椭圆方程上，则y02＝b2（1﹣），由＜b＜2，得：x02+y02＝（1﹣）x02+b2≥b2＞＝r2，故点O在圆P外，不妨设OM与圆P相切于T，则有：切线长|OT|＝＝，__（1分）代入得|OT|＝≥，（3分）由已知得：＝，解得：b2＝2，所以椭圆的方程为：；（4分）（Ⅱ）证明：1°当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时，易得|x0|＝r＝，代入椭圆方程得：|x0|＝，说明圆P同时也与x轴相切（图2），此时M、N分别为长、短轴一个端点，则△MON的面积为．（5分）2°当切线OM、ON斜率都存在时，设切线方程为：y＝kx，由d＝r得：＝，整理得：（3x02﹣4）k2﹣6kx0y0+3y02﹣4＝0（*），（6分）由1°知：y02﹣4≠0，即|x0|≠，此时|y0|≠，方程（*）必有两个非零根，记为k1，k2（k1＜k2），则k1k2分别对应直线OM，ON的斜率，由韦达定理得：k1k2＝，将x02＝4﹣2y02，代入得：k1k2＝＝﹣（7分）解法一：（求交点坐标）由上知：k1＜0＜k2，设点N位于第一、三象限，点M位于第二、四象限，若点N位于第一象限，点M位于第二象限，设OM：y＝k1x与椭圆方程联立可得：M（﹣，﹣）设ON：y＝k2x与椭圆方程联立可得：N（，）（9分）S△MON＝﹣﹣＝（x N﹣x M）（y N+y M）﹣（﹣x M）y M﹣（x N y N）＝（x N y M﹣x M y N），（10分）代入坐标有：S△MON＝2×＝2×＝2×，＝2×＝同理，当点M、N位于其它象限时，结论也成立综上，△MON的面积为定值．（12分）解法二：（探寻直线MN方程特征）（接上）设M（x1，y1）（x2，y2），由于点P不与点A、B重合时，直线MN的斜率存在，不妨设直线MN的方程为：y＝kx+m，将MN与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，△＝16k2m2﹣（1+2k2）（2m2﹣4）＝32k2+16﹣8m2，由△＞0得4k2+2＞m2，由韦达定理可知：x1+x2＝﹣，x1x2＝，（8分）kOM•kON＝＝﹣，则x1x2+2y1y2＝x1x2+2（kx1+m）（kx2+m）＝（1+2k2）x1x2+2km（x1+x2）+2m2＝0，代入有：（1+2k2）+2km（﹣）+2m2＝0，整理得：m2＝2k2+1；（9分）又|MN|＝|x1﹣x2|＝＝•＝2•，而原点O到直线MN的距离为d＝＝，（11分）S△MON＝|MN|•d＝×2•×＝．所以△MON的面积为定值．（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理运算和方程求解能力．运用化归转化手段．将切线长最短问题转化为椭圆上的动点到定点距离最短问题；考查圆锥曲线中的有关定值问题，从变化中寻找不变量，并通过必要的推理和运算化简求值．考查转化化归思想、分类整合思想，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣ax+a+1）e x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），其中a＞0．若mx1＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于m＞＝恒成立，即m＞﹣x22+2x2+1恒成立，令t＝a﹣2（t＞2），则x2＝，令g（t）＝，根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝[x2+（2﹣a）x+1]e x，令x2+（2﹣a）x+1＝0（*），（1）△＝（2﹣a）2﹣4＞0，即a＜0或a＞4时，方程（*）有2根，x1＝，x2＝，函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减；（2）△≤0时，即0≤a≤4时，f′（x）≥0在R上恒成立，函数f（x）在R递增，综上，a＜0或a＞4时，函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减；0≤a≤4时，函数f（x）在R递增；（Ⅱ）∵f′（x）＝0有2根x1，x2且a＞0，∴a＞4且，∴x1＞0，mx1﹣＞0恒成立等价于m＞＝恒成立，即m＞﹣x22+2x2+1恒成立，令t＝a﹣2（t＞2），则x2＝，令g（t）＝，t＞2时，函数g（t）递增，g（t）＞g（2）＝1，∴x2＞1，∴﹣x22+2x2+1＜2，故m的范围是[2，+∞）．【点评】本题考查函数的单调性问题，考查导数的应用，解决与不等式有关的参数范围和证明问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，分类思想，考查运算能力，是一道综合题．四、选考题（请考生在22、23两题中任选一题作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△P AB 面积的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）利用参数方程与普通方程转化，求得C1的普通方程，将l的极坐标方程为转化成曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）由C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2＝16，求得ρ12﹣2ρ1﹣3＝0，代入求得ρ1，ρ2，求得丨AB丨，AB为底边的△P AB的高的最大值为4+2．利用三角形的面积公式，即可求得△P AB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝7，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣3＝0，（3分）直线l的直角坐标方程为y＝x．（5分）（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2＝16，由题意设A（ρ1，），B（ρ2，），则ρ12﹣4ρ1cosθ﹣3＝0，即ρ12﹣2ρ1﹣3＝0，得ρ1＝3或ρ1＝﹣1（舍），ρ2＝8cos＝4，则丨AB丨＝丨ρ1﹣ρ2丨＝1，（7分）C2（4，0）到l的距离为d＝＝2．。

福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学(文)试题 Word版含解析

厦门外国语学校2019届高三年级文科数学高考模拟测试一：选择题。

1.已知集合{0,1,2}S =，{0,3}T =，P S T =，则P 的真子集共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数.【详解】依题意{}0P S T =⋂=，其真子集为∅，只有一个真子集，故选B. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题.2.已知i 为虚数单位，则121ii-=+（） A. 1322i -- B. 1322i -+ C. 1322i +D. 1322i -【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简.【详解】依题意，原式()()()()12i 1i 13i 13i 1i 1i 222----===--+-，故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a bi +的形式，再根据题意求解.3.某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A. 第一季度B. 第二季度C. 第三季度D. 第四季度【答案】B 【解析】方差最小的数据最稳定,所以选B.4.已知点(1,1)A -，(0,2)B ，若向量(2,3)AC =-，则向量BC =（） A. (3,2)- B. (2,2)-C. (3,2)--D. (3,2)-【答案】D 【解析】【分析】先求得AB ，然后利用向量的减法运算求得BC .【详解】依题意()1,1AB OB OA =-=，()()()2,31,13,2BC AC AB =-=--=-，故选D. 【点睛】本小题主要考查平面向量的减法运算，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A. ()cos xf x ex =⋅B. ()ln cos f x x x =⋅C. ()cos xf x e x =+D. ()ln cos f x x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A,B 两个选项，π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，不符合图像，排除A,B 选项.对于C 选项，()1cos11f e =+>，不符合图像，排除C 选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm ），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：3mm ）为（）A. 10824π+B. 7216π+C. 9648π+D.9624π+【答案】A 【解析】【分析】根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，故体积为2π2666310824π⨯⨯+⨯⨯=+，故选A.【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的计算，属于基础题.7.“对任意的正整数n ，不等式()()lg 1lg 0an a n a a <+>都成立”的一个充分不必要条件是（） A. 01a << B. 102a <<C. 02a <<D. 102a <<或1a > 【答案】B 【解析】【分析】原不等式等价于(1)lg lg 0a n a n a +->，当1a >时，l g 0a >，(1)a n n +>，(1)lg lg 0a n a n a +->成立，当01a <<时，lg 0a <，要使(1)lg lg 0a n a n a +->成立，只需(1)0a n n +-<成立，即1na n <+，由此求得原不等式成立的充要条件，从而可以从选项中确定出原不等式成立的充分不必要条件. 【详解】原不等式等价于(1)lg lg 0a n a n a +->，当1a >时，lg 0a >，(1)a n n +>，(1)lg lg 0a n a n a +->成立，当01a <<时，lg 0a <，要使(1)lg lg 0a n a n a +->成立，只需(1)0a n n +-<成立，即1na n <+，由1111n n n =-++，知1n n +最小值为12，所以102a <<，所以102a <<或1a >是原不等式成立的充要条件，所以102a <<是原不等式成立的充分不必要条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关充分不必要条件的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求解，充分不必要条件的定义与选取，在解题的过程中，正确求出充要条件对应参数的范围是解题的关键.8.已知公差d ≠0的等差数列{}n a 满足a 1＝1，且a 2、a 4－2、a 6成等比数列，若正整数m 、n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝（） A. 30 B. 20C. 10D. 5或40【答案】A 【解析】【分析】因为a 2、a 4－2、a 6成等比数列，利用等差数列的基本量可以解出公差d ，因为()m n a a m n d 10d -=-=，所以可得结果.【详解】解：设等差数列的公差为d ，因a 2、a 4－2、a 6成等比数列，所以()2426a 2a a -=∙，即()()()2111a 3d 2a d a 5d +-=+∙+，即()()()23d 11d 15d -=+∙+，解得0d =或3d =，因为公差d ≠0，所以3d =，所以()()()m n 11a a a m 1d a n 1d m n d 10d 30-=+----=-==，故选A.【点睛】本题考查了等比中项、等差数列的基本量等知识，熟练运用等差、等比的通项公式等是解题的关键.9.已知M 是抛物线2:2C y px =上的任意一点，以M 为圆心的圆与直线1x =-相切且经过点(1,0)N ，设斜率为1的直线与抛物线C 交于,P Q 两点，则线段PQ 的中点的纵坐标为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为1的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去x ，然后利用韦达定理求得PQ 中点的纵坐标.【详解】由于为圆心的圆与直线1x =-相切且经过点()1,0N ，根据抛物线的定义可知N 为抛物线的焦点，故12p=，2p =，所以抛物线方程为24y x =.设斜率为1的直线的方程为y x b =+，则x y b =-，代入抛物线方程得()24y y b =-，即2440y y b -+=，所以124y y +=，124222y y +==.即PQ 中点的纵坐标为2，故选A. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.10.己知函数()cos (>0)f x x x ωωω=+的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图像沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ,下列说法正确的是（）A. 在[,]42ππ上是增函数 B. 其图像关于4x π=-对称C. 函数()g x 是奇函数D. 在区间2[,]63ππ上的值域为[-2，1]【答案】D 【解析】【分析】根据()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列可得函数()y f x =的周期，从而得出函数()y f x =的解析式，沿x 轴向左平移6π个单位，便可得到函数()g x 的解析式，由()y g x =的解析式逐项判断选项的正确与否.【详解】解：()cos f x x x ωω=+可变形为()2sin()6f x x πω=+，因为()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列，所以()y f x =的周期为π，故ωππ2=，解得2ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+，函数()f x 的图像沿x 轴向左平移6π个单位后得到， sin(())sin()cos()()()22x 22x 22x 662g x f x 6ππππ++=+==+=，选项A ：,2k 2x 2k k z πππ-+≤≤∈，解得：,k x k k z 2πππ-+≤≤∈，即函数()y g x =的增区间为[,],2k k k z πππ-+∈显然[,][,]422k k πππππ⊄-+，故选项A 错误；选项B ：令2,x k k z π=∈，解得：,k x k z 2π=∈，即函数()y g x =的对称轴为,k x k z 2π=∈ 不论k 取何值，对称轴都取不到4x π=，所以选项B 错误；选项C ：()y g x =的定义域为R ，因为cos ()g 02020==≠，所以函数()y g x =不是奇函数，故选项C 错误；选项D ：当2[,]63x ππ∈时，故[,]42x 33ππ∈，根据余弦函数图像可得，cos()[,)](22x g x 21∈-=，故选项D 正确. 故本题应选D.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，考查了图像平移的规则，整体法思想是解决本题的思想方法.11.如图，平面四边形ABCD 中，E 、F 是AD 、BD 中点，AB ＝AD ＝CD ＝2， BD ＝，∠BDC ＝90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A BD '，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '中，下列结论不正确．．．是 ( )A. EF ∥平面A BC 'B. 异面直线CD 与A B '所成的角为90°C. 异面直线EF 与2500(1)a -所成的角为60°D. 直线2500(1)a -与平面BCD 所成的角为30°【答案】C 【解析】【分析】根据线线平行判定定理、异面直线所成角、直线与平面所成角等知识对选项A 、B 、C 、D 进行逐一判断其正确与否.【详解】解：选项A ：因为E 、F 是AD 、BD 中点，所以//EF A B '，因为EF ⊄平面A BC '，A B '⊂平面A BC '，所以EF ∥平面A BC '，所以选项A 正确；选项B ：因为平面A BD '⊥平面BCD ，平面A BD'平面BCD BD =，且∠BDC ＝90°，即CD BD ⊥，又因为CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '，故CD ⊥A B '，所以异面直线CD 与A B '所成的角为90°，选项B 正确；选项C ：由选项B 可知CD ⊥平面A BD '，所以CD ⊥A D '，因为AD ＝CD ＝2，即A D '＝CD ＝2，所以由勾股定理得，A C '=，在Rt BDC ∆中，BC =，在BA C '∆中，cos BA C 0'∠==，故BA C 90︒'∠=，即A B A C ''⊥，因为//EF A B '，所以EF A C '⊥，故选项C 错误；选项D ：连接,A F FC ' 因为AD AB = 所以A D A B ''= 因为F 是中点，所以A F BD '⊥，因为平面A BD '⊥平面BCD ，平面A BD'平面BCD BD =，又因为A F '⊂平面A BD '，故A F '⊥平面CBD ，所以A CF '∠即为直线2500(1)a -与平面BCD 所成的角，在Rt A CF '∆中，A F '=A C '=所以sin A F 1A CF A C 2''∠==='，所以A CF 30︒'∠=，故直线2500(1)a -与平面BCD 所成的角为30°，故选项D 正确，本题不正确的选项为C ，故选C.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定理给与证明，能准确分析出线线、线面所成角等.12.已知e 是自然对数的底数，不等于1的两正数,x y 满足5log log 2x y y x +=，若l o g 1xy >，则ln x y 的最小值为（） A. -1 B. 1e-C. 12e-D. 2e-【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算公式，化简5log log 2x y y x +=，求得log x y 的值，由此求得,x y 的关系式，化简ln x y ，并利用导数求得最小值. 【详解】依题意log log x y y x +=15log log 2x x y y +=，即25log log 102x x y y -+=，由于log 1x y >，故上式解得log 2x y =，即2y x =.所以2ln ln 2ln x y x x x x ==.构造函数()2ln f x x x =（x 为不等于1的正数）.()()'21ln f x x =+，故函数在10,e⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以最小值为11122ln f e e e e ⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题.13.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n 、x 的值分别为3、32，则输出v 的值为______【答案】232【解析】【分析】此程序框图是循环结构图，模拟程序逐层判断，得出结果. 【详解】解：模拟程序：,,v x n 的初始值分别为,,3232第1次循环：3v 2142=⨯+=，2n =，不满足0n ≤；第2次循环：3v 4172=⨯+=，1n =，不满足0n ≤；第3次循环：323v 7122=⨯+=，0n =，满足0n ≤；故输出23v 2=. 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图，根据判断框内的条件逐步解题.14.若,x y 满足约束条件4124x y x x y +≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z y x =-的最大值等于_______．【答案】2 【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线0y x -=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数z y x =-在点()1,3A 处取得最大值，且最大值为312z =-=.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是______【解析】【分析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，故可得到2PF 的值，再根据等腰三角形的内角为23π，求出1PF 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率. 【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限，故22PF c =，等腰12PF F ∆有一内角为23π，即2123PF F π∠=，由余弦定理可得，1PF ==，由双曲线的定义可得，||12PF PF 2c 2a -=-=，即1)c a =，解得：e =【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.16.已知,,,,P A B C D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC =，PA PD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，则球O 的表面积为____ 【答案】16π 【解析】【分析】设BC 的中点为O ，证明O 是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】设BC 中点为O ，设AD 中点为E ，作出图像如下图所示，由于PA PD ⊥，PA PD =,平面PAD ⊥平面ABCD ,所以112PE AD ==,PE ⊥平面ABCD ，故PE OE ⊥.由于//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC =，所以2OB OC OA OD ====，OE =所以2222OP PE OE =+=，故O 点到,,,,P A B C D 的距离相等，所以O 为球心，且球的半径为2，故表面积为24π216π⨯=.【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档题.三、解答题.17.在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sinAsinBcosB ＋sin 2BcosA ＝sinCcosB .(1)求tanB 的值；(2)若△ABC 的外接圆半径为R ，求cos B 的值．【答案】(1) tan B ＝. (2)1cos 3B = 【解析】【分析】（1）利用两角和差公式对式子sinAsinBcosB ＋sin 2BcosA ＝sinCcosB 进行化简，便可得到结果；（2）利用同角三角函数关系可得结果.【详解】解：(1)等式sinAsinBcosB ＋sin 2BcosA ＝sinCcosB 化简得，sinB(sinAcosB ＋cosAsinB)＝sinCcosB ，∴sinBsin(A ＋B)＝，A B C π+=-,∴sinBsinC ＝sinCcosB ， ∵0C π<< ∴sinC ≠0，∴tanB ＝.(2)∵tanB ＝，且0<B<π，∴B 为锐角，且sin cos BB=即sin B B =，sin cos 22B B 1+=，∴cos cos 228B B 1+=，解得：cos B ＝13.【点睛】本题考查了两角和差公式、同角三角函数关系，解题的关键是熟练运用公式化简.18. （本小题满分12分）一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在（元）段应抽出的人数；（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，4表示收入在（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在（元）的概率.【答案】（1）20；（2）【解析】试题分析：（1）观察频率分布直方图，然后根据频率为相应小矩形的面积，即可求出所求;（2）观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）元的个数，然后根据古典概型的概率公式解之．试题解析：（1）由频率分布直方图知：月收入在的概率为：0.0004500=0.2所以，月收入在的人数为：1000.2=20.（2）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率为2×0.0005×500=0.5可以用数字0，1，2，3，4表示收入在[2000，3000）（元）的居民，数字5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月在[2000，3000）的有191，271，932，812，393，027，730，共有7个,而基本事件一共有20个，根据古典概型公式可知该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）元的概率为为考点：频率分布直方图，古典概型的概19.在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且23ABC π∠=，,M N 分别为棱,AP CD 的中点．（1）求证：//MN 平面PBC ；（2）若PD ⊥平面ABCD ，22PB AB ==，求点M 到平面PBC 的距离．【答案】（1）见证明；（2）10【解析】【分析】（1）设PB 的中点为G ，连接,MG GC ，通过证明四边形MGCN 是平行四边形，证得//MN GC ，由此证得//MN 平面PBC .（2）利用等体积法，通过P BCN N PBC V V --=列方程，解方程求得M 到平面PBC 的距离.【详解】（1）证明：设PB 的中点为G ，连接,MG GC ∵,M G 分别是,AP PB 的中点， ∴//MG AB 且12MG AB =由已知得12CN AB =且//CN AB ∴//MG CN 且MG CN = ∴四边形MGCN 是平行四边形 ∴//MN GC∵MN ⊄平面PBC ，CG ⊂平面PBC ∴//MN 平面PBC（2）解：设点M 到平面PBC 的距离为h 由//MN 平面PBC 得点N 到平面PBC 的距离也为h连接,,BD BN PN ，∵PD ⊥平面ABCD∴PD BD ⊥，由题设得PD =BCN S ∆=，1138P BCN BCN V S PD -∆=⨯=PBC ∆中，由已知得2PC =，2PB =，1BC =，PBC S ∆=∴13N PBC PBC V S h -∆=⨯=由P BCN N PBC V V --=，得10h =∴点M 到平面PBC 的距离为10【点睛】本小题主要考查线线平行的证明，考查利用等体积法求点到面的距离，属于中档题.20.如图，椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，直线n ：x ＝4与x 轴相交于点E ，点M 在直线n 上，且满足BM ∥x 轴．(1)当直线l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)证明：直线AM 经过线段EF 的中点．【答案】(1) 直线AM 的方程为y ＝－x ＋52或y ＝x －52；(2)见证明【解析】【分析】（1）直线l 与x 轴垂直，可得直线l 的方程，从而求解出点A B 、的坐标，由BM ∥x 轴可得M 点坐标，从而得出直线AM 的方程；（2）要证直线AM 经过线段EF 的中点N ，即证A ，N ，M 三点共线，即证//NA NM ，设出A B 、两点，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理从而得证. 【详解】解：(1)由c＝1， ∴F (1，0)，∵直线l 与x 轴垂直， ∴x ＝1，由221143x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：113322x x y y ==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩或故当点A 坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 坐标为34,2⎛⎫-⎪⎝⎭，此时直线AM 的斜率为()3322114--=--，直线AM 的方程为()3y 1x 12-=-∙-， ∴直线AM 的方程为y ＝－x ＋52；当点A 坐标为31,2⎛⎫-⎪⎝⎭，则点M 坐标为34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时直线AM 的斜率为()3322141--=-，直线AM 的方程为()3y 1x 42-=∙-， ∴直线AM 的方程为y ＝x －52；故直线AM 的方程为y ＝－x ＋52或y ＝x －52；(2)当AB 直线方程为0y =时，直线BM 与x 轴重合，不满足题意；故可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得3(my ＋1)2＋4y 2＝12， (3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理可得，y 1＋y 2＝2634m m -+，y 1y 2＝2934m -+ ∵EF 的中点N 502⎛⎫⎪⎝⎭，，点M (4，y 2)，∴NA ＝11112533,,,,222x y my y NM y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 132my ⎛⎫- ⎪⎝⎭×y 2－32y 1＝my 1y 2－32 (y 1＋y 2)＝2934m m -+－32×2634m m -+＝0. 所以//NA NM ，故A ，N ，M 三点共线，所以直线AM 经过线段EF 的中点.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系问题，直线与圆锥曲线问题常见解法是借助韦达定理，将多元问题转化为少元（单元）问题，属于中档题.21.已知e 是自然对数的底数，函数2()x x f x e =与1()()F x f x x x=-+的定义域都是(0,)+∞．（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：函数()F x 只有一个零点0x ，且0(1,2)x ∈．【答案】（1）1y x e =（2）见证明【解析】【分析】（1）利用导数求得斜率，求得切点的坐标，由此求得切线方程.（2）首先根据零点存在性定理判断出()F x 在区间()1,2上存在零点.然后利用()F x 的导数，证得()F x 在()0,+∞上是减函数，由此证得函数在区间()1,2上只有一个零点.【详解】（1）解：∵()()2'x x x f x e -=∴切线的斜率()1'1k f e ==，()11f e=， ∴函数()f x 在点11,e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1y x e= （2）证明：∵()()1F x f x x x =-+，()2x x f x e=，∴()110F e =>，()243202F e =-<， ∴()()120F F <∴()F x 存在零点0x ，且()01,2x ∈∵()()221'1x x x F x e x -=-- ∴当2x ≥时，()'0F x <当02x <<时，由()()22212x x x x ⎡⎤+--≤=⎢⎥⎣⎦()2221111'1110x F x e x x x≤--<--=-< ∴()F x 在()0,+∞上是减函数，∴若10x >，20x >，12x x ≠，则()()12F x F x ≠∴函数()F x 只有一个零点0x ，且()01,2x ∈.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，综合性较强，属于中档题.22.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为()1x t t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin +3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，求△MON 的面积．【答案】(1) 直线l ＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x 2＋(y －1)2＝4. (2)4【解析】【分析】（1）将直线l 参数方程中的t 消去，即可得直线l 的普通方程，对曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求出点O 到直线的距离，再求出MN 的弦长，从而得出△MON 的面积．【详解】解：(1)由题意有(1)1(2)x t y ⎧=----⎪⎨=+---⎪⎩，()()12⨯+得，＋y ＝4，直线l＋y －4＝0.因为ρ＝4sin +3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以ρ＝2sin θ＋θ，两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsin θ＋cos θ，因为222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，所以x 2＋y 2＝2y ＋x ，即(x2＋(y －1)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x2＋(y －1)2＝4.(2)∵原点O 到直线l 的距离2d ==直线l 过圆C 的圆心，1)，∴|MN |＝2r ＝4，所以△MON 的面积S ＝12|MN |×d ＝4. 【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用222cos x y x y sin ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.23.已知函数()|2||23|f x x a x a =-+-+．（1）当2a =时，解关于x 的不等式()9f x ≤；（2）当2a ≠时，若对任意实数x ，()4f x ≥都成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|24}x R x ∈-≤≤（2）214(,][,)33-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）当1a =时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对a 分成2a >和2a <两类，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示为分段函数的形式，求得()f x 的最小值，进而求得a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()31f x x =-由()9f x ≤得13x -≤由13x -≤得313x -≤-≤解：313x -≤-≤，得24x -≤≤∴当2a =时，关于x 的不等式()9f x ≤的解集为{|24}x R x ∈-≤≤ （2）①当2a >时，232a a <-，()333,233,232333,2x a x a a f x x a x a a x a x ⎧⎪-+>-⎪⎪=+-≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是增函数，所以()min 3322a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题设得3342a -≥，解得143a ≥.②当2a <时，同理求得23a ≤-.综上所述，a 的取值范围为][214,,33⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.。

2019届福建省厦门第一中学高三最后一次模拟数学(文)(附带详细解析)

○…………外…………○学校○…………内…………○绝密★启用前2019届福建省厦门第一中学高三最后一次模拟数学（文)试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设集合{}2|log (1)0M x x =-<，集合{|2}T x x =<-，则()R M T =I ð（） A ．{|12}x x << B ．{|2}x x < C ．{|22}x x -≤<D ．{|12}x x -<<2．已知i 为虚数单位，a,b R ∈，若()a 2i i b 2i +=+，则a b +=（） A ．2-B ．0C ．2D ．43．甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（） A ．14B ．13C ．12D ．234．如图为厦门市2018年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，请你根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套），则下列选项中正确的是（）外…………○…………装※※请※※不※※要内…………○…………装B ．日成交量超过日平均成交量的有2天 C ．认购量与日期正相关D ．10月7日认购量的增长率小于10月7日成交量的增长率 5．已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为则该双曲线的标准方程是（） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=或2214x y -=D ．2214y x -=或2214y x -=6．已知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且满足11,a =()12n n a a n n -=+≥，则n S 等于（） A ．()32n n +B ．()12n n +C ．()43n n +D ．()14n n + 7．把函数()sin 2f x x x =的图象向右平移ϕ个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2sin g x x =的图象，则ϕ的一个可能值为（） A ．3π-B ．3π C ．6π-D ．6π 8．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A ．()ln xx f x e =B ．()ln xf x e x = C ．()ln x f x x=D ．()()1ln f x x x =-9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几………○…………装………………线…………○……学校:___________姓名：___………○…………装………………线…………○……A ．8πB ．9πC ．163πD ．283π10．已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 0.3b =，b c a =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a c b <<11．公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出n 的值为24，则判断框中填入的条件可以为（）(参考数据 1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305≈︒≈︒≈)A ． 3.10?S ≤B ． 3.11?S ≤C ． 3.10?S ≥D ． 3.11?S ≥12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为（）○…………线…………○……○…………线…………○……A B C D第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若向量(2,3)AB=，(4,)BC m=-u u u v，且A，B，C三点共线，则AB BC⋅=u u u v u u u v_______.14．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则41a b+的最小值是．15．方程()()22880x ax x bx-+-+=四个不同根按一定顺序排序后可以组成首项为1的等比数列，则+a b的值为________．16．已知函数()4cosf x x xπ=+，对于[]0,2x∈都有()13xf ax e-+≤，则实数a的取值范围是________．三、解答题17．在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2)cos cos0a c Bb C++=．（1）求B；（2）若3a=，点D在AC边上且BD AC⊥，BD=c．o装…………○…………………线…………○…姓名：___________班级：_______装…………○…………………线…………○…AF AC ⊥，21AB AF CE ===.（1）求四棱锥B ACEF -的体积；（2）在BF 上有一点P ，使得//AP DE ，求BPPF的值. 19．某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①y =α+βx 2，②y =e λx+t ，其中α,β,λ,t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量x i 和年销售额y i 的数据，i =1,2,⋯,12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2,v i =lny i (i =1,2,⋯,12)，经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；（ii ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：①相关系数r =∑(x −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2i=1∑(y i −y)2i=1，回归直线ŷ=a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑(x −x)(y −y)n i=1∑(x −x)2n i=1，a =y̅−bx̅； ② 参考数据：308=4×77，√90≈9.4868，e 4.4998≈90．20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l 过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程.21．已知函数()()2ln f x ax x x a R =-+∈．（1）研究函数()f x 的单调性；（2）研究函数()f x 的零点个数情况，并指出对应a 的范围．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()221sin 8ρθ+=.（1）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0,2πρ⎛⎫⎪⎝⎭，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设点()1P --，l 与C 的交点为,A B ，求11PA PB+的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()31f x x a x a R =++-∈.（1）当1a =-时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）设关于x 的不等式()31f x x ≤+的解集为M ，且1,14M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】【分析】解对数不等式求得集合M ，根据补集和交集定义即可求得结果. 【详解】{}{}01112M x x x x =<-<=<<Q ，{}2R T x x =≥-ð (){}12R M T x x ∴⋂=<<ð故选：A 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到对数不等式的求解，属于基础题. 2．B 【解析】()22a i i b i +=+，∴2ai b 2i -+=+，∴22a b =⎧⎨=-⎩，∴a b 0+=，故选B. 3．B 【解析】【分析】分别确定甲乙同学随机选取一个社团和加入同一社团的基本事件个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】甲乙两名同学随机选取一个社团，共有339⨯=种情况其中甲乙加入同一社团共有3种情况 ∴所求概率3193p == 故选：B 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 4．D 【解析】【分析】根据成交量可计算得到中位数和平均数，由此排除,A B ；根据曲线变化情况可知不是正相关，排除C ；根据增长率的定义可计算出10月7日认购量的增长率和成交量的增长率，知D 正确. 【详解】日成交量从小到大排序依次为：8,13,16,26,32,38,166，则中位数为26，A 错误；平均数成交量为8131626323816642.77++++++≈套，超过日平均成交量的仅有1天，B 错误；10月1日至10月2日认购量减少幅度明显，可知认购量与日期不成正相关关系，C 错误；10月7日认购量增长率为276112146.4%112-≈，成交量增长率为16638336.8%38-≈，D正确. 故选：D 【点睛】本题考查根据折线图判断中位数、平均数、增长率与相关关系的问题，属于基础题. 5．C 【解析】∵双曲线的渐近线方程为12y x =±∴可设双曲线的标准方程为221(0)4y x λλ-=≠，即221(0)4y x λλλ-=≠∵焦距为∴当0λ>时，45λλ+=，即1λ=，则双曲线的标准方程为2214x y -=；当0λ<时，45λλ--=，即1λ=-，则双曲线的标准方程为2214x y -=.故选C.点睛：（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线： 22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =，设双曲线标准方程222m x y λ-=. 6．C 【解析】【分析】利用累加法可求得n a ，从而得到12n a n n +=，根据通项公式可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，利用等差数列求和公式求得结果. 【详解】由1n n a a n -=+得：()121n n a a n --=+-，()232n n a a n --=+-，⋅⋅⋅，212a a =+()()11231232n n n a a n n +∴=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=12n a n n +∴= ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列 ()113224n n n n n S +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∴== 故选：C 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的求解问题，关键是能够利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，并根据n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式判断出数列为等差数列. 7．D 【解析】∵函数()sin2f x x x = ∴函数()2sin(2)3f x x π=+∴把函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数解析式为()2sin(2)3g x x πϕ=-+.∵函数()2sin g x x = ∴22,3k k Z πϕπ-+=∈∴,6k k Z πϕπ=+∈∴当0k =时，6π=ϕ 故选D. 8．A 【解析】由图可得函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，当x →+∞时，()0f x →，故排除B ，D 选项；由图象可得函数图象不关于原点对称，而选项C 为奇函数，故排除C. 故选A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 9．A 【解析】【分析】由三视图画出如图所示的直观图：该几何体是直三棱柱ABC A B C '''-，其中AC BC ⊥，AC BC ==2AA '=，四边形ABB A ''是正方形，则将该直三棱柱补全成长方体，如图所示：=∴该几何体外接球的表面积是248ππ⨯= 故选A.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解； (2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．【详解】请在此输入详解！ 10．B 【解析】【分析】由指数函数的性质可得112a <<，由对数函数的性质可得1b >，化简0.30.3b a =,由幂函数的性质可得0.30.310.32⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而可得结果. 【详解】∵0.3121,log 0.3,2b a b c a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭∴10.30.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112210.312b log log =>=， 0.312log 0.30.30.3110.322c ⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴c a b << 故选B. 【点睛】本题主要考查幂函数、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 11．C 【解析】模拟执行程序可得：6n =，3sin 602S =⨯︒=，不满足条件，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒≈⨯=，因为输出n 的值为24，则满足条件，退出循环，故判断框中填入的条件为 3.10S ≥. 故选C. 12．B 【解析】【分析】作MG ⊥平面ABCD ，GH BC ⊥，以D 为原点建立空间直角坐标系，设()1,,M a b ，由1D M CP ⊥可得10D M CP ⋅=u u u u u r u u u r，由此得到,a b 关系；从而利用a 表示出MH ，即BCM ∆的高，利用a 表示出BCM ∆的面积，利用二次函数最值求得面积的最值. 【详解】过M 作MG ⊥平面ABCD ，垂足为G ；作GH BC ⊥于点H ，连接MH以D 为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系则()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，11,0,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D ，()1,1,0B 设()1,,M a b ，则()11,,1D M a b =-u u u u u v ，11,1,2CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v1D M CP ⊥Q ()1111110222D M CP a b b a ∴⋅=-+-=-+=u u u u u v u u u v 21b a ∴=-1CH a ∴=-，21MG a =-MH ∴==12BCM S BC MH ∆∴=⋅=当35a =时，()2min15625a a -+=()min 12BCM S ∆∴== 故选：B 【点睛】本题考查立体几何中三角形面积最值的求解问题，关键是能够将所求三角形面积利用一个变量表示出来，得到二次函数的形式，利用二次函数的最值求得面积的最值. 13．26- 【解析】【分析】由向量平行的坐标形式求得m,利用向量的数量积公式即可得到结果. 【详解】∵A ，B ，C 三点共线，∴AB BC P u u u v u u u v，∴()234m =⨯-，则6m =-，81826AB BC ⋅=--=-u u u v u u u v. 故答案为26- 【点睛】涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：（1）若0a ≠vv且//a b v v，则存在实数λ，使b a λ=vv成立；（2）若()()1122,,,a x y b x y ==v v ，且//a b v v ，则12210x y x y -=.14．9 【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为(1,2)-，此时直线过圆的圆心，即2(1)220a b ⨯--⨯+=，即1a b +=，所以41414()()4159b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=（当且仅当2a b =是等号是成立的）．考点：直线与圆的位置关系；基本不等式求最值． 15．15. 【解析】【分析】设1为280x ax -+=的根，代入求得a 和另一根；由280x bx -+=两根之积为8可确定1218x x <<<，由此可确定121,,,8x x 成等比数列，可求得12,x x ，利用韦达定理得到b ，进而求得结果. 【详解】设1为280x ax -+=的根，则180a -+=，解得：9a = ∴另一根为8280x bx -+=Q 两根之积()12128x x x x =< ∴1218x x <<<121,,,8x x ∴成等比数列 12x ∴=，24x = 126b x x ∴=+=9615a b ∴+=+=故答案为：15 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、等比数列中的项的求解问题；关键是能够根据一元二次方程的根确定等比数列中的项. 16．211,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】利用导数可知()f x 在[]0,2上单调递增，结合()13f =可将所求不等式转化为011x ax e ≤-+≤；分别在11x ax e -+≤和10x ax e -+≥两种情况下，利用分离变量法求得a 的范围，取交集得到最终结果. 【详解】当[]0,2x ∈时，()4cos f x x x π=+，则()4sin f x x ππ'=-[]sin 1,1x π∈-Q ()0f x '∴> ()f x ∴在[]0,2上单调递增 ()14cos 3f π=+=Q ()()11x f ax e f ∴-+≤ 011x ax e ∴≤-+≤①当11x ax e -+≤时，0x ax e -≤ 当0x =时，10-≤恒成立 a R ∴∈当(]0,2x ∈时，xe a x≤令()()02xe g x x x=<≤，则()()221xx x e x xe e g x x x --'==∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减；当(]1,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调增()()min 1g x g e ∴== a e ∴≤综上所述：当11x ax e -+≤时，(],a e ∈-∞ ②当10x ax e -+≥时，1x ax e ≥- 当0x =时，00≥恒成立 a R ∴∈当(]0,2x ∈时，1x e a x-≥令()()102x e h x x x -=<≤，则()()()22111x x x xe e x e h x x x---+'== 令()()()1102x p x x e x =-+<≤，则()()10x x xp x e x e xe '=+-=>()p x ∴单调递增 ()()00p x p ∴>=，即()0h x '>()h x ∴在(]0,2上单调递增 ()()2max 11222h x h e ∴==- 21122a e ∴≥-综上所述：当10x ax e -+≥时，211,22a e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭综合①②得：实数a 的取值范围为211,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：211,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式的问题，涉及到导数恒成立问题的处理思路；关键是能够利用导数求得函数的单调性，进而将所求不等式转化为自变量之间的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成不等式缺失；求解恒成立问题的常用方法是分离变量的方法，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系. 17．（1）23B π=；（2）5c =．【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，根据()0,B π∈求得B ；（2）利用余弦定理可得,b c 满足的方程；根据三角形面积构造方程得到,b c 关系，代入余弦定理构成的方程可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos A C B B C A B C B B C++=++()2sin cos sin 2sin cos sin 0A B B C A B A =++=+=()0,A π∈Q sin 0A ∴≠ 2cos 10B ∴+=，即1cos 2B =-()0,B π∈Q 23B π∴=（2）由余弦定理得：222239b a c ac c c =++=++BD AC ⊥Q 1sin 2ABC S ac B b BD ∆∴==⋅把3,a =2,3B π=BD =75b c =227395c c c ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，解得：5c = 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.18．(1)V =(2)12BP PF =. 【解析】【分析】试题分析：（1）由四边形ABCD 是菱形推出BD AC ⊥，在根据平面ACEF ⊥平面ABCD 证出BD ⊥平面ACEF ，结合60,2ABC AB ∠=︒=，求出梯形ACEF 的面积，即可求得四棱锥B ACEF -的体积；（2）在平面ABF 内作//BM AF ,且1BM =,连接AM 交BF 于P ，从而四边形BMEC 是平行四边形，再由菱形ABCD 推出//BM AF ，通过BPM FPA ∆~∆即可得出BPPF的值. 试题解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形 ∴BD AC ⊥又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ,平面ACEF ⋂平面ABCD AC =,BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥平面ACEF在ABC ∆中,60,2ABC AB ∠=︒=,设BD AC O ⋂=,计算得2,AC BO ==在梯形ACEF 中,//,,2,1AF CE AF AC AC AF CE ⊥===梯形ACEF 的面积()112232S =⨯+⨯=∴四棱锥B ACEF -的体积为11333V S BO =⨯⨯=⨯=.（2）在平面ABF 内作//BM AF ,且1BM =,连接AM 交BF 于P ，则点P 满足//AP DE ,证明如下：∵//,1AF CE CE =, ∴//BM CE ,且BM CE = ∴四边形BMEC 是平行四边形. ∴//,BC ME BC ME =又菱形ABCD 中,//,BC AD BC AD =. ∴//,ME AD ME AD = ∴四边形ADEM 是平行四边形 ∴//AM DE ,即//AP DE . ∵//BM AF ∴BPM FPA ∆~∆ 又1BM = ∴12BP BM PF AF ==.【详解】请在此输入详解！19．（1）模型y =e λx+t 的拟合程度更好；（2）（i ）v ̂=0.02x +3.84；（ii ）32.99亿元. 【解析】【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i ）先建立U 额R 0关于x 的线性回归方程，从而得出y 关于x 的回归方程；（ii ）把y =90代入（i ）中的回归方程可得x 值．【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．解：（1）r 1=−u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=√3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x −x)(v −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，则|r 1|<|r 2|，因此从相关系数的角度，模型y =e λx+t 的拟合程度更好（2）（i ）先建立U 额R 0关于x 的线性回归方程.由y =e λx+t ，得lny =t +λx ，即v =t +λx ．由于λ=∑(x i −x)(v i −v)12i=1∑(x i −x)212i=1=14770≈0.018，t =v −λx =4.20−0.018×20=3.84,所以U 额R 0关于x 的线性回归方程为v̂=0.02x +3.84，所以lny ̂=0.02x +3.84，则y ̂=e 0.02x+3.84. （ii ）下一年销售额y 需达到90亿元，即y =90，代入y ̂=e 0.02x+3.84得，90=e 0.02x+3.84，又e 4.4998≈90，所以4.4998≈0.02x +3.84，所以x ≈4.4998−3.840.02=32.99，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性20．(1)24y x =；(2))4y x =±-. 【解析】【分析】试题分析：（1）设点P x y （，），圆心00N x y （，），由圆与y 轴相切于点C ，得|2|PF NC =，结合两点间的距离公式整理可得点P 的轨迹方程为24y x = ；（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x = ，可得14ABF AOF S S +=V V ．（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为11224y k x A x y B x y =-（），（，），（，），联立直线方程与抛物线方程，可得关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得1212416y y y y k+=-＝，，再由1211143222ABF AOF AOM BFM S S S S y y +=+=⋅⋅+⋅⋅≥⋅V V V V ，结合等号成立的条件求得12y y ，的值，进一步得到k 值，则ABF V 与AOF V 的面积之和取得最小值时，直线l 的方程可求试题解析：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ，圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，1x =+，整理得：24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为：4x =，易得14ABF AOF S S ∆∆+=.（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=，所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅ 211322y +⋅⋅≥⋅= 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =23y =-或1y =-23y =，所以1243y y k +==±，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l 的方程为：)4y x =±-. 【详解】请在此输入详解！21．（1）见解析；（2）当0a >时，()f x 存在唯一零点；当0a ≤时，()f x 无零点【解析】【分析】（1）首先确定函数定义域和导函数；分别在0a =、18a ≥、108a <<和0a <四种情况下，根据导函数的正负，确定原函数的单调性；（2）根据（1）中函数的单调性，分别在0a =、18a ≥、108a <<和0a <四种情况下根据函数的极值和最值，结合单调性确定零点个数. 【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()212121ax x f x ax x x-+'=-+=①当0a =时，令()0f x '=得：1x =则当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<()f x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减②当18a ≥时，180a ∆=-≤，即()0f x '≥ ()f x ∴在()0,∞+上单调递增 ③当108a <<时，>0∆令()0f x '=，解得：1x =2x =108a <<Q 104a∴>则当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在110,4,4a a -⎛+⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞上单调递增，在11,44a a +⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减④当0a <是，>0∆令()0f x '=，解得：10x =>，20x =<则当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '<()f x ∴在0⎛ ⎝⎭上单调递增，在+⎫⎪∞⎪⎝⎭上单调递减（2）①当0a =时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减()110f =-<Q ；当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞()f x ∴不存在零点②当0a <时，()f x在,104a ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎪上单调递增，在14a +⎛⎫⎪ ∞⎪⎝⎭上单调递减 ()21111ln f x ax x x =-+Q 且211210ax x -+= 21112x ax -=∴ ()1111ln 22x f x x ∴=--，()110,14x a == 令()()1ln 0122t h t t t =--<<，则()112022t h t t t-'=-=> ()h t ∴在()0,1上单调递增 ()()110h t h ∴<=-<又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞()f x ∴不存在零点③当18a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞()f x ∴必存在唯一零点④当108a <<时，()f x在110,,4,4a a ⎛++⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞上单调递增，在11,44a a +⎛ ⎝⎭上单调递减 ()21111ln f x ax x x =-+Q 且211210ax x -+= ()1111ln 22x f x x ∴=--，()111,24x a ==令()()1ln 1222t h t t t =--<<，则()112022t h t t t-'=-=> ()h t ∴在()1,2上单调递增 ()()32ln 202h t h ∴<=-<又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞()f x ∴必存在唯一零点综上所述：当0a >时，()f x 存在唯一零点；当0a ≤时，()f x 无零点【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、讨论函数零点个数的问题；讨论零点个数的关键是能够结合函数的单调性，确定函数的极值和最值情况，从而确定零点个数.22．（1）2y x =+,2228x y +=；（2）43. 【解析】试题分析：（1）把0,2Q πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C ，再化为直角坐标，结合直线l 的参数方程得直线l 过点()1P --，得直线l 的普通方程，然后根据222,sin x y y ρρθ=+=即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理及三角函数的图像与性质，即可求得11PA PB+的最大值. 试题解析：（1）把0,2Q πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C 可得2,2Q π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,2Q ，又l 过点()1P --，得直线l 的普通方程为2y x =+； ()221sin 8ρθ+=可化为()22sin 8ρρθ+=.由222,sin x y y ρρθ=+=可得()2228x yy++=，即曲线C 的直角坐标方程为2228x y +=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，(()22cos 2sin 18t t αα-+-=，化简得()()22sin 14sin 60tt ααα+-+=，①()()224sin 24sin 1ααα⎡⎤∆=--+⎣⎦可得()1212224sin 6,0sin 1sin 1t t t tαααα+==>++，故1t 与2t 同号.∴12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +++=+==4sin 33πα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∴6πα=时，4sin 33πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值43. ∴此时方程①的340∆=>，故11PA PB +有最大值43.23．（1）1142x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）713a -≤≤.【解析】试题分析：（1）当1a =-时，由零点分段法，求不等式()1f x ≤的解集，最后取并集即可；（2）由题设条件可得3131x a x x ++-≤+在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，然后分类讨论去绝对值，即可求得a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =-时，()131f x x x =-+-，()11311f x x x ≤⇒-+-≤，即131131x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或1131311x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或11311x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ . 解得1314x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ 或11312x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或134x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1143x ≤≤或1132x <≤或∅. ∴原不等式的解集为1142xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）∵1,14M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，∴当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()31f x x ≤+恒成立，即3131x a x x ++-≤+在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当11,43x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1331x a x x ++-≤+，即6x a x +≤， ∴66x x a x -≤+≤∴75x a x -≤≤在11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， ∴()()min min 75x a x -≤≤，即7544a -≤≤；当1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3131x a x x ++-≤+，即2x a +≤，即22x a -≤+≤.∴22x a x --≤≤-在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴()()min min 22x a x --≤≤-，即713a -≤≤；综上，a 的取值范围为713a -≤≤.。

(完整word版)2019年3月厦门市高三质检数学试题(文)

A. B. C. D.
5.在中，，则的面积等于
A. B. C. D.
6.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%.则下列叙述不正确的是
A．2018年3月的销售任务是400台
B．2018年月销售任务的平均值不超过600台
15.在中， , , ,动点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值为．
16.在正三棱锥中, , ，，分别为 , 的中点．平面过点 , 平面 , 平面 ,则异面直线和所成角的余弦值为．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
厦门市2019届高中毕业班第一次质量检查
数学（文科）试题
满分150分考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则 =
A． B. C． D.
2. 是虚数单位，则的虚部是
A. B. C. D.
3.已知，，，则
A. B. C. D.
4.设双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．

2019届福建省厦门第一中学高三3月模拟数学(文)试题Word版含解析

2019届福建省厦门第一中学高三3月模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．2．已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【答案】D【解析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴，∴双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用古典概率计算公式计算即可．【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），故选：C．【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα，则tan（α）3，故选：A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。

福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题(解析版)

福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检文科数学试题(解析版)

福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检文科数学第Ⅰ卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中认清集合的构成，利用集合的交集运求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知命题：若，则；命题：，则以下为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质可得命题p为假命题，由基本不等式可得命题Q为真命题，再利用复合命题的真值表，即可判定.【详解】由题意，命题：若，则为假命题，例如时命题不成立；由基本不等式可得命题：，当且仅当取得等号，所以为真命题，根据复合命题的真值表可知，命题为真命题，命题都为假命题，故选A.【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，以及不等式的性质和基本不等式的应用，其中解答中根据不等式的性质和基本不等式，准确判定命题的真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.已知函数则（）A. 0B.C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，求得，进而求得，得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若满足约束条件，则的最大值为（）A. B. 1 C. 5 D. 11【答案】C【解析】【分析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，结合图形，得到目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数，得，当直线过点A时，此时在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，此时目标函数的最大值为，故选C.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划求解目标函数的最大值问题，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合图形，确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知锐角满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式，求得的值，再利用倍角公式，即可求解.【详解】因为锐角满足，所以也是锐角，由三角函数的基本关系式可得，则，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知抛物线：的焦点为，点在上，的中点坐标为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据点A在曲线C上，AF的中点坐标为，利用中点公式可得，可得，代入抛物线的方程，求得，即可得到抛物线的方程.【详解】由抛物线，可得焦点为，点A在曲线C上，AF的中点坐标为，由中点公式可得，可得，代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为，故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据题设条件和中点公式，求得点A的坐标，代入求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. 0B.C.D.【答案】A 【解析】【详解】以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 所在的直线为建立空间直角坐标系，则，则，所以，即异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为0，故选A.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中合理建立空间直角坐标系，准确利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8.在中，，，为的中点，则（）A.B.C. D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，求得，代入计算，即可求解.【详解】由题意，如图所示，根据平面向量的基本定理和数量积的运算，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中利用平面向量的基本定理，转化为向量和是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 9.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由函数的奇偶性的定义，可判定函数为奇函数，在求出得值，即可得到答案.【详解】由题意，函数的解析式满足，得，即函数的定义域为，又由，所以函数是其定义域上的奇函数，由此排除A、D；又，由此排除B，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中根据函数的解析式求得函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值排除是解答的关键，此类问题注意排除法的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意，数列满足，即所以，则所以，故选D.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及裂项法求和的应用，其中解答中根据数列的递推公式，求得数列的通项同时，再根据裂项法求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.双曲线：的左、右焦点分别为，过作一条直线与两条渐近线分别相交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【详解】如图所示，连接，又由，且为的中点，所以，因为，即，所以A为线段的中点，又由于为的中点，所以，所以，所以，又由直线OA与OB是双曲线的两条渐近线，则，所以，则，所以双曲线的离心率为，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.12.函数，当时，，则的最小值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意，由，得，利用集合的包含关系，得到所以，得，进而可求得结果.【详解】因为，所以依题意，由即，得所以所以，整理得又，所以所以，所以的最小值为2.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，利用集合的包含关系得到的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.复数的共轭复数是____．【答案】【解析】【分析】根据复数的四则运算，化简求得，再根据共轭复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数，所以共轭复数为.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的四则运算法则，化简复数是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14.直线与圆交于两点，则____．【答案】【解析】【分析】根据题意，求得圆心到直线点距离为，再由圆的弦长公式，即可求解.【详解】根据题意，圆的圆心为，半径为，则圆心到直线点距离为，则.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及弦长的计算，其中解答中熟记点到直线的距离公式和圆的弦长公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15.《九章算术》将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某一阳马的正视图和侧视图，则该阳马中，最长的棱的长度为___．【答案】【解析】【分析】根据三视图画出原几何体，再根据三视图中的数据，即可求解最长的棱的长度，得到答案.【详解】由题意，根据三视图可得该几何体为一个四棱锥，（如图所示）其中侧棱底面，底面为长方形，在该“阳马”点最长的棱长为.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，以及几何体的结构特征的应用，，其中解答中根据空间几何体的三视图得到该几何体的直观图，以及相应的线面位置关系是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力.16.函数，对于，都有，则实数的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】由题意，利用函数的奇偶性和单调性，转化得出，分别作出函数，和，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，在为单调递增，且，，即，即①作出与的图象，直线作为曲线切线可求得，当时，；②作出与的图象，时，，故，综上可得.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数的图象的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的单调性，转化为，利用函数，和，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在中，角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，，求的面积．【答案】(1) (2)3【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理，求得，即可得到角的大小；（2）由得，求得，在利用正弦定理，求得，利用面积公式，即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：，整理得，由余弦定理得，又因为，所以.（2）由得，所以由正弦定理：，解得所以的面积【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.已知是首项为1的等差数列，是公比为2的等比数列，且.（1）求，的通项公式；（2）记的前项和为，的前项和为，求满足的最大正整数的值．【答案】(1) , (2)5【解析】【分析】（1）设的公差为，的公比为，依题意列出方程组，求得，进而利用等差数列和等比数列的通项公式，即可求解.（2）由（1），求得，，在根据，利用是递增数列，即可求解.【详解】（1）设的公差为，的公比为，依题意得，即，解得所以，.（2）由（1）可知，由可得，即因为是递增数列，又，，所以满足的最大正整数的值是5.【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，其中解答中熟记等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组及合理利用数列的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.如图，在中，，分别为的中点.将沿折起到的位置.（1）证明：平面；（2）若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）由分别为的中点，所以，进而得到，又由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到平面.（2）解法一：由（1）得与平面所成角为，进而得到，，求的及，利用体积公式，即可求解；解法二：（割补法）由（1）知所以由（1）得出与平面所成的角为，进而可求解三棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为分别为的中点，所以，因为，所以，所以翻折后，，所以，又因为，，平面，所以平面.（2）解法一：过点作于，由（1）知，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面所以为四棱锥的高由（1）知，平面所以与平面所成角为，所以在中，因为，所以，在中，，所以，，所以在中，，，得又，得所以.所以四棱锥的体积为.解法二：（割补法）由（1）知，，，所以，所以由（1）知平面，所以由（1）知，平面，所以与平面所成的角为，在中，，，所以，在中，，所以，，在中，，，得所以，故四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中解答中对于垂直关系与平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．同时注意几何体的计算计算方法的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 20.在平面直角坐标系中，点，是平面内一点，直线的斜率之积为.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点的直线与相交于两点，以线段为直径的圆过点，求直线的方程．【答案】（1）（）（2）或【解析】【分析】（1）设，根据斜率公式，利用，化简即可求得点P的轨迹方程；（2）解法一：设直线的方程为，联立方程组，利用二次方程的根于系数的关系以及，化简求得，即可求得直线的方程；解法二：①当直线的斜率不存在时，的方程为，不符合题意，舍去；②当直线的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，利用二次方程的根于系数的关系以及，化简求得的值，即可求得直线的方程；【详解】（1）设，因为直线的斜率，的斜率（）由已知得（），化简得点的轨迹方程为（）.（2）解法一：设直线的方程为，，，由得，，，因为以线段为直径的圆过点，所以，得，又因为，，得，所以，所以，解得，所以直线的方程为，即或解法二：①当直线的斜率不存在时，的方程为，不妨设，，，故舍去.②当直线的斜率存在时，设的方程为（），，，由得，，，因为以线段为直径的圆过点，所以，得，又因为，，得，所以，解得，所以直线的方程为，即或综上，直线的方程为或.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟记轨迹方程的求法，以及用直线的方程和曲线的方程，联立方程组，合理利用二次方程中根与系数的关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知函数．（1）求的极值；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1）时，无极值；时，的极大值为，无极小值.（2）【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论求得函数的单调性，即可求解函数的极值；（2）解法一：依题意，令，不等式的恒成立，即为在恒成立，利用导数分类讨论求解函数的单调性和最值，即可求解；解法二：依题意，令，不等式的恒成立，转化为在恒成立，求得，利用二次函数的性质，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）的定义域为，，①时，，在上为增函数，所以无极值.②时，令，得.时，，为增函数，时，，为减函数，故的极大值为，无极小值.综上，时，无极值；时，的极大值为，无极小值.（2）解法一：依题意，在恒成立令，即在恒成立，①时，，在上为增函数，时，不合题意，舍去.②时，令，则，所以时，，为减函数，所以，适合题意；③时，，方程有两个不等实根，因为，所以时，，为增函数，故不合题意，舍去综上，的取值范围为.解法二：依题意，在恒成立，令，即在恒成立，①时，因为，所以在上为增函数，故，适合题意；②时，令，，以为，所以时，为减函数且，所以，为减函数，所以时，不合题意，舍去③时，的对称轴为，因为，所以时，为减函数且，所以，故为减函数，所以时，不合题意，舍去综上，的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数在函数中综合的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）过点作的垂线交于两点，点在轴上方，求．【答案】（1）曲线的方程为,直线的直角坐标方程为(2)-【解析】【分析】(1)将代入得，即可得到曲线的方程；由，代入即可得到直线的直角坐标方程；（2）由题意，得过点的垂线的参数方程为（为参数），代入曲线C的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】(1)将代入得，曲线的方程为由得，因为，代入上式得直线的直角坐标方程为（2）因为直线的倾斜角为，所以其垂线的倾斜角为，过点的垂线的参数方程为，即（为参数）代入曲线的方程整理得，设两点对应的参数为（由题意知）则，且，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解中合理消参，以及合理利用直线参数方程几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.函数，其中，若的解集为。

2019年3月厦门市高三质检数学(文)参考答案

n
^ 由表中数据得， d =
uivi − nu v
i =1
n
ui2 − nu 2
=
30.5 −101.51.5 = 1 . 46.5-101.51.5 3
i =1
3
所以
ln
c
=
v-
^
d
u=1.5-
1
1.5
=
1,
所以
^
c
=
e
.
3
1
所以年研发费用 x 与年销售量 y 的回归方程为 y = e x3 . ····················································8 分
解：（1）取 AB ， DE 中点 G ， H ，连接 CG ， FH ， HG ，则平行四边形 CFHG 即为所求截面.
··························································································································································2 分
解：（1）由散点图知，选择回归类型 y = c xd 更适合. ·····················································2 分
（2）对 y = c xd 两边取对数，得 ln y = ln c + d ln x ，即 v = ln c + du . ·························4 分
又 BC BE = B ， BC ， BE 平面 BCFE ，所以 AM ⊥ 平面 BCFE . ····························9 分

2019届福建省厦门市高中毕业班第一次(3月)质量检查数学(文 )试题(解析版)

2019届福建省厦门市高中毕业班第一次（3月）质量检查数学（文)试题一、单选题1．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解不等式得到集合A后再求出即可．【详解】由题意得，所以．故选A．【点睛】本题考查集合的交集运算，通过解不等式求出集合A是解题的关键，考查计算能力，属于简单题．2．是虚数单位，则的虚部是（）A．-2 B．-1 C．D．【答案】B【解析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．3．已知，，，则（）A．0 B．1 C．D．2【答案】D【解析】根据向量的垂直求出，然后可求出．【详解】∵，，∴．又，∴，∴，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，求解时注意向量运算的坐标表示，然后根据相关运算的定义进行求解，考查计算能力．4．设双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据离心率求出间的关系，然后可求出双曲线的渐近线方程．【详解】∵，∴，∴双曲线的方程为．由得，即，∴双曲线的渐近线方程为．故选B．【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号后的“1”改为“0”，然后求出与之间的一次关系，即为渐近线方程．本题考查双曲线中的基本运算和离心率，解题时注意各个基本量间的关系及转化．5．在中，，，，则的面积等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意及正弦定理得，然后根据余弦定理求出，最后结合面积公式可得三角形的面积．【详解】由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以．又，所以．故选D．【点睛】三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，解题时要根据条件得到求面积时的所需量，往往要用到三角形中边角间的互化，考查变形和计算能力，属于中档题．6．下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A．2018年3月的销售任务是400台B．2018年月销售任务的平均值不超过600台C．2018年第一季度总销售量为830台D．2018年月销售量最大的是6月份【答案】D【解析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论．【详解】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为，所以B正确．对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C正确．对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．7．已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得偶函数在上为增函数，可将问题转化为判断到y轴的距离的大小问题求解．【详解】∵对任意，，∴函数在上为增函数．又函数为偶函数，∴在上单调递减，在上单调递增．又，∴，即．故选B．【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．8．设函数，若直线是图像的一条对称轴，则（）A．的最小正周期为，最大值为1B．的最小正周期为，最大值为2C．的最小正周期为，最大值为1D．的最小正周期为，最大值为2【答案】A【解析】先根据直线是图象的一条对称轴，并借助特殊值求出参数的值，再将函数化为的形式后求解即可得到答案．【详解】∵直线是图象的一条对称轴，∴，即，解得．∴，∴的最小正周期为，最大值为．故选A．【点睛】利用特殊值求出是解题的关键，另外，解决有关三角函数的问题时，首先应将函数解析式化为的形式，然后将看作一个整体，再结合正弦函数的相关性质求解，注意“整体代换”的应用，属于基础题．9．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据古典概型概率求解，先确定从八卦中任选两卦的所有可能的种数，再求出取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的种数，进而可得所求概率．【详解】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为．故选A．【点睛】根据古典概型求事件A的概率时，首先要求出试验的所有的结果，即所有的基本事件数，然后再求出事件A包含的基本事件的个数，最后根据公式求解即可．求基本事件数时，常用的办法是列举法，列举时要做到不重不漏．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三视图得到三棱锥的直观图，再根据三棱锥的结构特征判断出球心的位置，并根据题中的数据求出球的半径，进而可得球的表面积．【详解】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，所以球心在上．设球半径为，则在中，，由勾股定理得，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选C．【点睛】求几何体外接球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，其中确定球心的位置是解题的突破口．对于椎体的外接球来讲，球心在过底面圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后在球心、底面圆的圆心和球面上一点构成的直角三角形中求解可得球半径，进而可得所求结果．考查计算能力和空间想象能力．11．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，画出两函数的图象，结合图象可得所求的范围．【详解】∵函数恰有两个零点，∴方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，∴函数的图象和函数的图象有两个不同的交点．①当时，显然不符合题意．②当时，函数的图象为过原点且斜率小于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得两函数的图象总有两个不同的交点．所以符合题意．③当时，函数的图象为过原点且斜率大于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得，当时，两函数的图象总有一个交点，所以要使得两函数的图象再有一个交点，只需直线的斜率小于曲线在原点处的切线的斜率．由，得，所以，所以，解得，所以．综上可得或．故选A．【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是结合函数的图象、并根据参数的几何意义进行求解，解题时要根据题意对参数进行分类讨论，考查画图能力和分类讨论思想方法的运用．12．设动点在抛物线上，点，直线的倾斜角互补，中点的纵坐标为，则不可能为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由题意设直线的方程为，将直线方程和抛物线方程联立消元后得到，借助根与系数的关系可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，于是得到．再根据判别式得到的取值范围，进而可得的取值范围．【详解】设，直线的方程为，由消去y整理得，∵直线和抛物线交于两点，∴，解得且．又点，∴，故，∴．以代替上式中的，可得．∴，由且可得且．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出两点的坐标，进而得到的表达式．求解时借助代数运算求解，由于解题过程中要涉及到大量的运算，所以在解题中要注意合理运用代换的方法以达到简化运算的目的，考查转化和计算能力．二、填空题13．已知，则__________．【答案】【解析】由题意求出和，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14．若满足，则的最大值为__________．【答案】2【解析】画出不等式组表示的可行域，由变形得，平移直线并结合的几何意义求解可得结果．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由变形得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．由，解得，所以点A的坐标为，所以．故答案为2．【点睛】求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．15．在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________．【答案】【解析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．【详解】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．则，设，则，∴，其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，由几何图形可得，∴．故答案为．【点睛】（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用．（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，解题时注意几何方法的运用．16．在正三棱锥中，，，分别为的中点，平面过点，平面，平面，则异面直线和所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】根据题意画出图形，作出异面直线和所成的角，再根据题中的数据利用解三角形的知识求解可得结果．【详解】画出图形，正三棱锥如图所示．因为平面，平面，平面平面，所以．取的中点，连接，则，所以，所以为异面直线和所成角或其补角．取的中点，则，，又，所以平面，又平面，所以，所以．在中，，，所以，，所以异面直线和所成角的余弦值为．【点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行，解题时要注意异面直线所成角的范围．三、解答题17．已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由可得，再根据等差数列的通项公式得到；然后再由得到，两式作差后可得．（2）当时根据裂项相消法求得，最后验证当时也成立，于是可得所求结果．【详解】（1）依题意得，又数列为公差为2的等差数列，所以，所以．因为所以，两式相减得：，，所以，，又不满足上式，所以．（2）当时，所以，又当时，满足上式，所以.【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求通项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等．（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．18．如图，在多面体中，均垂直于平面，，，，.（1）过的平面与平面垂直，请在图中作出截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若，，求多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面平面即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积．【详解】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面.理由如下：因为均垂直于平面，所以，因为，，所以四边形为梯形．又分别为中点，所以，，所以，，所以为平行四边形，因为，为中点，所以．又平面，平面，所以．又，所以平面又平面，所以平面平面，所以平行四边形即为所作的截面.（2）法一：过点作于点．因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面在中，，，，得，所以，因为，所以，，所以.法二：将多面体补成直三棱柱，其中，，，，则在中，，，，得，所以，所以，所以.法三：在多面体中作直三棱柱，则，在中，，，，得，所以，设边上的高为，则，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．所以，，所以．【点睛】对于空间中线面位置关系的判定，解题时要结合图形选择合适的定理进行证明即可，解题时有时要添加辅助线，因此要注意常见辅助线的作法．求几何体的体积时，对于不规则的几何体，可采取分割或补形的方法，转化为规则的几何体的体积求解，考查转化和计算能力．19．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（1）利用散点图判断，和（其中为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.（2）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；（3）已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）选择回归类型；（2）；（3）2.7亿元.【解析】（1）根据散点图的形状可判断应选择回归类型．（2）将两边取对数，把问题转化为线性回归方程求解．（3）根据（2）中的回归方程，结合导数的知识求得其最大值即可．【详解】（1）由散点图知，选择回归类型更适合．（2）对两边取对数，得，即由表中数据得：，∴，∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.（3）由（2）知，，∴，令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为亿元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元.【点睛】求非线性回归方程时，通过换元或取对数的方法将非线性的形式转化为线性回归方程求解．由于在计算中要涉及大量的计算，所以在解题时要注意计算的准确性、合理运用题中给出的中间数据，考查转化能力和计算能力，属于中档题．20．已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点，直线与直线交于点.（1）当垂直于轴时，求直线的方程；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）当垂直于轴时，其方程为，求出点的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。