粒子滤波理论及其在盲均衡中的应用

第17卷第6期重庆邮电学院学报(自然科学版)V ol.17　No.6 2005年12月Journal of Chongqing U niversity of Posts and T elecommunications(N atural Science)Dec.2005文章编号:100425694(2005)0620691204 粒子滤波理论及其在盲均衡中的应用3王磊,刘郁林,李正东(重庆通信学院DSP实验室,重庆400035)摘　要:粒子滤波器的基本思想是用加权的离散随机样本点表示所需要的后验概率密度。

粒子滤波理论的盲均衡方法与其他均衡方法相比,其优点在于它不包括对当前估计的线性化,而是利用离散的随机测度来对期望分布进行近似,而且算法收敛快,所需的数据量较少。

介绍了粒子滤波理论及其在盲均衡中的应用。

仿真结果表明,使用粒子滤波器的盲均衡方法在信噪比较低时也能完成对信道的均衡。

关键词:盲均衡;粒子滤波器;重要性采样中图分类号:TN911.5 文献标识码:A0　引　言粒子滤波器是一种序贯蒙特卡罗信号处理技术[1],由于其特别适合处理非线性、非高斯问题,越来越受到众多学者的关注。

其基本思想是由加权的离散随机采样点表示所需要随机变量的后验概率密度。

根据这些离散随机采样点和权重可以计算随机变量的各种估计值。

当采样点数很大时,这些样本点能完全表征后验概率密度。

早期由于粒子滤波器高的计算复杂度,且当时又缺乏足够的计算资源,使其应用主要集中于物理和工程等有限的一些领域,随着计算机技术的迅速发展和粒子滤波技术的不断完善及其良好的并行处理能力,它的应用也扩展到通信信号处理领域。

一些学者对基于粒子滤波器的盲均衡进行了研究,如文献[2,3]考虑了时不变信道的均衡,文献[4～7]研究了时变信道的情况,文献[8～10]则对加性高斯和非高斯信道及OFDM系统的均衡进行了研究。

利用粒子滤波器进行盲均衡是在贝叶斯方法的基础上,用具有权重的随机采样点表示所需要的后验概率密度,并根据这些采样点和权重对信道和发送的符号进行估值,从而完成对信道的均衡。

本文中我们将介绍粒子滤波器中的基本概念和方法,阐述如何将粒子滤波器运用于盲均衡,并将用实例验证基于粒子滤波器的盲均衡方法的优越性。

1　粒子滤波器目前粒子滤波方法已经成为一种非常重要的信号处理方法。

在粒子滤波中,所有粒子都是状态空间中未知状态的采样,而粒子的权重则表示该粒子的概率,这样连续分布可用由加权的粒子簇所组成的随机测度来近似。

下面简要介绍粒子滤波中的概念及算法。

1.1　重要性采样粒子滤波器采用的信号处理模型是用状态空间和观测方程来表示的,下面给出系统的一般模型: x t=f(x t-1,u t),y t=g(x t,v t)。

其中u t表示输入,x t 表示状态矢量,y t为观测值,v t是观测噪声,并假设x t具有一阶马尔可夫性质。

在信号处理中,经常需要从目标分布中抽取样本点,但有许多分布往往不能直接对其进行采样,需要寻求一种合适的方法来完成对目标分布的采样,获取需要的样本点。

这种情况下用重要性采样可以达到这个目的。

重要性采样在粒子滤波中是非常重要的,是粒子滤波序贯更新的基础,直接影响着算法的优劣。

假设需要得到函数的期望E{f(x)},但又无法直接从概率密度p(x)中产生样本点,可以选择另外与p(x)比较接近且容易采样的概率密度π(x),可以得到(1)式E{f(x)}=∫f(x)p(x)π(x)π(x)d x(1)不过连续积分是很难实现的,一般方法是从π(x)中抽取M个粒子(样本点)x(m)(m=1,…,M),对期望进行估计,可以得到(2)式3收稿日期:2005201205 修订日期:2005209214作者简介:王磊(19772),男,河南南阳人,硕士研究生,主要研究方向为盲信号处理,E2mail:leiwang181@;刘郁林,男,四川简阳人,副教授,硕士生导师,主要研究方向为盲信号处理、DSP实现及超宽带通信研究。

E{f (x )}≈∑Mm =1f (x(m ))w(m )/∑Mj =1w(j )(2)(2)式中,w(m )=p (x (m ))/π(x(m )),概率密度π(・)称为重要性函数(密度),w (m )称为重要性权重。

上面所介绍的采样方法称为重要性采样方法。

1.2　序贯重要性采样(SIS)序贯重要性采样是一种通过蒙特卡罗模拟实现递推贝叶斯滤波的技术,是对接收数据进行重要性采样的重复应用,其核心思想是利用一系列随机样本表示所需的后验概率密度。

假设在时刻t 已经从概率密度p (x 0∶t |y 0∶t )(0∶t 表示范围从0到t )得到M 个粒子轨迹x (m)0∶t 及权重w (m )。

在新数据y t+1到来时,希望不改变过去轨迹x(m )0∶t的情况下,将概率密度更新到p (x 0∶(t +1)|y 0∶(t +1))。

因此,需要把前面的状态与新状态x t+1结合,并利用新数据y t+1对当前状态进行平滑。

如果重要性函数具有(3)式形式:π(x 0∶(t+1)|y 0∶(t+1))=π(x t+1|x 0∶t ,y 0∶(t+1))π(x 0∶t |y 0∶t )(3)则重要性权重可进行递归估计。

非归一化权重的递推方程为(4)式(证明见文献[11])w(m )t+1=w(m )t(p (y t+1|x (m )t+1)p (x (m )t+1|x (m )t)q (x (m )t+1|x (m )t ,y 1∶t )(4)后验概率密度可近似为(5)式p (x t+1|y 0∶(t+1))≈∑Mm =1w (m )t+1δ(x t+1-x (m )t+1)(5)可以证明,当粒子点数M ∞时,(5)式收敛于真实的后验密度p (x t+1|y 0∶t +1),此时SIS 滤波器逼近最优贝叶斯估计。

SIS 粒子滤波器普遍存在的问题是可能出现衰减现象,减少衰减的一种方法是对粒子进行再采样[11]。

这样,序贯重要性采样算法可归纳如下。

每一时刻都进行下面运算:FOR m =1∶M—采样x (m )t+1～π(x (m )t+1|x (m )0∶t ,y t+1)—根据(4)式计算权重w(m )t+1.END FOR在SIS 方法的基础上,人们还提出了各种粒子滤波器算法,如采样-重要性再采样(SIR )、辅助(auxiliary )粒子滤波器、规则(regularized )粒子滤波器[11]、无味(unscented )粒子滤波器[12]等。

这些算法针对特定的问题,较SIS 方法在性能上都有所改善。

2　基于粒子滤波器的盲均衡2.1　系统模型为讨论方便,采用下面的信号模型:y t =∑Ll =0ut-lh +v t (6)其中,h =[h 0,…,h L -1]是阶数为L 的FIR 时不变信道,u t 表示输入信号,y t 表示接收信号(即观测值),v t 表示不相关的加性高斯白噪声(即观测噪声),其均值为零,方差为σ2v 。

由于基于粒子滤波器的方法需采用状态空间模型,因此将上述模型改写如(7)式、(8)式:X t =Tx t-1+A u t (7)y t =h Tx t +v t(8)其中T =0T0I,A =[1　0　…　0]T,I 为L -1维的恒等矩阵,A 中有(L -1)个0。

其中状态x t =u t ∶t-L +1,由于假设高斯噪声与输入信号不相关,因此似然密度具有(9)式的形式p (y t |h ,x t )=N (h Tx t ,σ2v )(9) 利用粒子滤波器进行盲均衡的目的是用具有权重的随机采样点表示所需要的后验概率密度,并根据这些采样点和权重对信道和发送的符号进行估值,从而完成对信道的辨识和均衡。

2.2　基于粒子滤波器的盲均衡为了对输入信号完成盲均衡,首先需要得到后验分布p (h |x 0∶t ,y 0∶t )及p (x 0∶t |h ,y 0∶t ),然后用其完成对信道的辨识和对传输符号的检测。

由于盲均衡是在输入和信道都未知的情况下进行的,因此作如下假定:输入u t ∈{+1,-1}为独立均匀分布的随机变量,信道先验服从高斯分布p (h )=N (h -1,C -1)。

在假定信道先验服从高斯分布情况下,文献[3,13]都证明了信道h 的后验分布p (h |x 0∶t ,y 0∶t )是服从高斯分布的。

文献[13]提出了将辨识和均衡同时完成的算法,而文献[3]则提出了无需对信道进行辨识的直接盲均衡算法。

下面就以文献[3]的算法为例说明粒子滤波器在盲均衡中的应用。

似然函数p (y t |x 0∶t ,y 0∶(t-1))可以写为(10)式p (y t |x 0∶t ,y 0∶(t-1))= ∫p (y t|h ,x t )p (h |x 0∶(t-1),y 0∶(t-1))d h (10)(10)式中,p (y t |h ,x t )=N (h T x t ,σ2v )。

容易发现,时・296・ 重庆邮电学院学报(自然科学版) 第17卷刻t的信道后验概率密度与p(y t|h,x t)和p(h| x0∶(t-1),y0∶(t-1))的乘积成比例,即(11)式p(h,x0∶t,y0∶t)∝p(y t|h,x t)p(h|x0∶(t-1),y0∶(t-1))(11)由于(11)式的后2项均为高斯分布,故时刻t信道的后验分布也是高斯分布。

设t和(t-1)时刻的信道后验分布分别为p(h|x0∶(t-1),y0∶(t-1))=N(h t-1, C t-1)和p(h|x0∶t,y0∶t)=N(h t,C t)。

经过推导可以证明关于信道h后验分布的均值h t和协方差C t分别有如(12)式、(13)式的表达形式C-1t=1σ2vx T t x t+C-1t-1(12)h t=C t x t y tσ2v+C-1t-1h t-1(13)可以根据(12)式和(13)式更新信道的均值和协方差。

既然信道的后验密度是服从高斯分布的,似然密度p(y t|h,x t)也是高斯分布,容易完成(10)式的积分,可得到似然函数p(y t|x0∶t,y0∶(t-1))的解析表达式p(y t|x0∶t,y0∶(t-1))=|C t|1/2(2πσ2v|C t-1|)1/2・exp-12y2tσ2v+h T t-1C-1t-1h t-1-x t y t σ2v +C-1t-1h t-1TC tx t y tσ2v+C-1t-1h t-1在选择重要性函数时,应使它尽可能地接近似然函数,或者使q(x t|x(m)0∶(t-1),y0∶t)正比于p(y t|x t, x(m)0∶(t-1),y0∶(t-1))。

文献[3]证明了最优的重要性函数具有(14)式的形式:q(x t|x(m)0∶(t-1),y0∶t)= p(y t|x t,x(m)0∶(t-1),y0∶(t-1))p(y t|u t=1,x(m)0∶(t-1),y0∶(t-1))+p(y t|u t=-1,x(m)0∶(t-1),y0∶(t-1))(14)这样可直接对符号的后验概率密度进行采样,完成对信道的均衡,避免了对信道进行辨识。