数学分析课本(华师大三版)-习题及答案03
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案20+22
习 题 二十、二十二1．计算下列第一型曲线积分．(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,0>a π20≤≤t .(7) ，其中L 是螺旋线弧段(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．(1),其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2x y =(2) ，其中L 为xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；)00)12② 沿抛物线x y =24从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针方向的矩形回路．x y x y ====004，，，2(4) x dy y dxx y L 225353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+Lydz zdy dx x 2θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．4．利用格林公式计算下列积分．(1) ()()x y dx x y dy L +++∫222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点的一段弧．(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a yx . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ，L 是从点经圆周上半部到点的弧段．()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．()(x y xdx ydy L22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdxydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．(1) ．()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．(3) ．()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．(1) ; (2)x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．(1)，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，其中S 是锥面(xy z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．∫∫+Sds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx dsS ++∫∫)z x y =+22x 被柱面所截得的部分．x y a 222+=(6) ∫∫SxyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面.(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =+22x ）0被柱面所截得的有限限部分.x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．(1) ， 其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S++∫∫x y z ===00，，与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．(3)，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．z z ==12， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S333++∫∫，其中S 是球面：的外侧．x y z a a 22220++=>（） (2) xdydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面所围成的立体表面的外侧．x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平()()()x y z dxdy y z z dzdx S+++++−∫∫23212面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．（5）∫∫++S yzdxdy dzdx yxzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，所围成的立方体的表面外侧.1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫(cos )sin (,,)(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)(,,) 14．求下列各式的原函数．(1) yzdx xzdy xydz ++．(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L YX YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=Lds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)应满足怎样的条件？20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．x y z a z 22220++=≥，。
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第三章
第三章第三章函数极限 一、填空题一、填空题 1．若[]2)(1ln lim20=+®x x f x ，则=®20)(lim xx f x _________ 2．=--+-®xxe e x x x x x 340sin 21sin lim _______________ 3．设xx x x f ÷øöçèæ+-=11)(，则=+¥®)1(lim x f x ____________ 4．已知ïîïíì>-=<+=2,12,02,1)(x x x x x x f ，1)(+=xe x g ，[]=®)(lim 0x gf x ________ 5．()x x x x ln cos arctan lim -+¥®=_________________ 6．[]=®x x x tan)sin(sin sin lim0_____________7．________24tan lim =÷øöçèæ+¥®n n x p8．________ln 1ln ln lim 20=÷øöçèæ+®x x x x9．)1ln(lim 2cos 0x x e e x x x x +-®=__________ 10．=×+-¥®x xx x x cos 1sin 21lim 22_________ 11．=÷øöçèæ-®x x xx tan 11lim 2_________ 12．310)(1lim e x x f x xx =úûùêëé++®，则úûùêëé+®20)(1lim x xf x =_______13．()=+++®)1ln(cos 11cos sin 3lim 20x x xx x x ___________二、选择填空二、选择填空1．=-®tt t cos 1lim( ) A.0 B.1C.2D.不存在不存在 2．函数x x x f 1cos 1)(=，在0=x 点的任何邻域内都是() A.有界的有界的 B.无界的无界的 C.单增单增 D.单减单减 3．已知()25lim 2=++-+¥®cyx ax x ，则必有() A.20,25-==b a B. 25==b a C.0,25=-=b aD.2,1==b a 4．设nn n x n x f ÷øöçèæ-+=+¥®2lim )1(，则=)(x f ( ) A.1-x eB.2+x eC.1+x eD.xe -5．若22lim222=--++®x x b ax x x ，则必有() A.8,2==b a B.5,2==b a C. 8,0-==b aD. 8,2-==b a 6．0)(6sin lim30=+®x x xf x x ，则=+®20)(6lim xx f x ( ) A. 0 B.6 C.36D.¥ 7．设对任意x 点有)()()(x g x p x ££j ，且[]0)()(lim =-¥®x x g x j ，则=¥®)(lim x f x () A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在一定不存在D.不一定存在不一定存在 8．当0®x 时，变量x x 1sin12是( ) A.无穷小无穷小 B.无穷大无穷大C.有界，但不是无穷小有界，但不是无穷小D.无界的，但不是无穷大无界的，但不是无穷大9．=-+÷øöçèæ+¥®p 21sin 1])1(1[lim n nn n() A.peB.p 1eC.1D.p 2e 10.=--®xx x xx x tan )(arctan 1lim 220()A.0B.1C.21D.21-11.x x x g dt t x f xsin )(,tan )(sin 02-==ò,则当0®x 时，)(x f 是)(x g 的() A.高阶无穷小高阶无穷小 B.低阶无穷小低阶无穷小 C.同阶非等价无穷小同阶非等价无穷小 D.等价无穷小等价无穷小三、计算题三、计算题1.求下列极限：求下列极限：(1))x x cos x (sin 2lim 22x --p ®； (2)1x x 21x lim 220x ---®； (3)1x x 21x lim 221x ---®； (4)3230x x2x )x 31()1x (lim +-+-®；(5)1x 1x lim m n 1x --®，(n ，m 为自然数)；(6)2x 3x 21lim 4x --+®;(7))0a (,xa x a lim 20x >-+®；(8)x x cos x lim x -¥®； (9)4x xsin x lim 2x -¥® ；(10).)1x 5()5x 8()6x 3(lim 902070x --+¥® 2．设,0a ,b x b x b x b a x a x a x a )x (f 0n1n 1n 1n 0m 1m 1m 1m 0¹++++++++=---- 0b 0¹，m ≤n ，试求).x (f lim x ¥® 3．求下列极限(其中n 为自然数)：(1)2x x 11x xlim +®；(2)20x x 11x x lim ++®； (3)1x nx x x lim n 21x --+++® ；(4)x1x 1lim nx -+®;(5)úûùêëé®x 1lim 0x ;(6)[]x x1lim x +¥®. 4．求下列函数在0x =处的左右极限或极限。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案02
第二章 数列极限习题§1数列极限概念1、设n a =nn)1(1-+，n=1，2，…，a=0。
（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ： 1ε=0.1，2ε=0.01，3ε=0.001；（2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N ？ 2、按ε—N 定义证明：（1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2312322=-+n n n ；（3）∞→n lim n n n !；（4）∞→n lim sinn π=0；（5）∞→n lim n an=0（a >0）。
3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）∞→n limn1；（2）∞→n limn3；（3）∞→n lim 31n ；（4）∞→n lim n 31； （5）∞→n limn21；（6）∞→n limn10；（7）∞→n lim n21。
4、证明：若∞→n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞→n lim k n a += a 。
5、试用定义1'证明： （1）数列{n1}不以1为极限；（2）数列{n n )1(-}发散。
6、证明定理2.1，并应用它证明数列{nn)1(1-+}的极限是1。
7、证明：若∞→n lim n a = a ，则∞→n lim |n a |= |a|。
当且仅当a 为何值时反之也成立？8、按ε—N 定义证明： （1）∞→n lim )1(n n -+=0；（2）∞→n lim3321n n++++ =0；（3）∞→n lim n a =1，其中,1nn -n 为偶数， n a =nnn +2，n 为奇数。
§2收敛数列的性质1、求下列极限：（1）∞→n lim 32413323++++n n n n ；（2）∞→n lim 221n n +；（3）∞→n lim 113)2(3)2(+++-+-n n nn ；（4）∞→n lim )(2n n n -+；（5）∞→n lim )1021(n n n +++ ；（6）∞→n lim n n31313121212122++++++ 。
数学分析 3,4,5章答案 华东师范大学
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。
数学分析课本(华师大三版)
数学分析课本(华师大三版)篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题x1．若f?(e)?1?x，则f(x)?___________2．设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_____________ 3．若e?xx是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?________________4．若f(x)?1，则f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________6．若f(x)有原函数xlnx，则?xf??(x)dx?_______________ 7．?ln(sinx)sin2?3??2xdx?________________8．若?dx(1?2cosx)2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx，则A?__________，B?__________ 9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，则? dxx(4?x)lnx?1x2dxf(x)?_________10．??_________________11．?dx?_________________12．?13．?14．??a?sin(lnx)?cos(lnx)nx?________________?f(x)?xf?(x)?dxdx1?ex?________________?_____________15．?16．?xex2(1?x)dx?_____________________4sinx?3cosxsinx?2cosxdx?______________217．已知f?(2?cosx)?sinx?tan 2x，则f(x)?_______________ 18．?f?(x)1??f(x)?2dx?______________19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u??(x),则?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f??(x)连续,那么?xf??(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是sinxx,则?xf?(x)dx?__________.11222已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x??1时,y?则f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.1?x2是极大值,23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于32?,则这个函数为F(x)?__________. 24 设f?(sin2x)?cosx(x?1),则f(x)?__________.225 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?__________.26 若(?f(x)dx)??lnx,则f(x)?__________. 27 已知e28?x2是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?__________.22?f()dx?__________. 2xx1?x29 设f(x)dx??C,则f(x)?__________.1?x?1?30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?1xxdx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.?xe?1e?1xx，则I?()(1?e)?C (1?e)?x?C ?2ln(1?e)?C (e?1)?C2．设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数xxx3．设I1??1?xdx,I2??du，则存在函数u?u(x)，使()x(1?xex)u(1?u)?I2?x ?I2?x ??I1 ?I1 4．当n??1时，?xn lnxdx?() nn?1n(lnx?1n)?C B.xn?1(lnx?1n?1)?Cn?1?1xn?1xn(lnx?1n?1)?CD.n?1lnx?C 7．?(cosx2 ?sinx2)dx?() (sinx?cos x)?C (cos xx222?sin 2)?C?cosxxx22?C?sin2?C8．?x?sinx1?cosxdx?()??2cotx??C9．若f(x)的导函数是e?x?cosx，则f(x)的一个原函数为()?x?cosxB.?e?x?sinxC.?e?x??x?sinx10．若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。
华东师大数学分析答案第三章函数极限
第三章 函数极限§1 函数极限概念一、按概念证明以下极限: (1);656lim=+∞→xx x (2)2)106(lim 22=+-→x x x ;(3) ;115lim 22=--∞→x x x (4) 04lim 22=-→x x ; (5) 0cos cos lim 0x x x x =→证: (1)当0>x 时,xx x 5656=-+,于是对任给正数ε,只要取ε5=M ,当M x >时,有ε<-+656xx .故656lim=+∞→x x x (2) 当120<-<x 时,有422)106(2-⋅-=-+-x x x x 23)22(2-<+-⋅-≤x x x ,对任给正数ε,只要取}3,1min{εδ=,那么当δ<-<20x 时,有ε<-+-2)106(2x x ,故2)106(lim 22=+-→x x x .(3)当2>x 时, x x x x x 411411522<+-=---.对任给正数ε,只要取}4,2{ε=M ,当M x >时,便有ε<---11522x x ,故115lim 22=--∞→x x x . (4)设)2,1[∈x ,那么x x x -⋅+=-2242x -≤22.0>∀ε,取42εδ=,那么当820<-<x ,即21<<-x δ时,ε<-24x ,故04lim 22=-→x x .(5)因为00002sin 2sin2cos cos x x x x x x x x -≤+-=-. 从而对任给正数ε,只要取εδ=,当δ<-<00x x 时,就有ε<-0cos cos x x .0cos cos lim 0x x x x =→故0cos cos lim 0x x x x =→.二、参照概念2正面陈述A x f x x ≠→)(lim 0.解:设函数f 在点0x 的某空心邻域),(00δ'x U 内有概念,A 是一个确信的常数.假设存在某个正数0ε,使得对任意的正数δ,总存在x ',知足δ<-'<00x x ,且0)(ε≥-'A x f 那么称当0x x →时)(x f 不以A 为极限,记为A x f x x ≠→)(lim 0.3、 证明: )(lim )(lim 00h x f x f h x x +=→→.证明: 设A x f x x =→)(lim 0,那么对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-<00x x 时,有ε<-A x f )(.从而当δ<<h 0时,有δ<-+<00)(0x h x ,于是ε<-+A h x f )(0, 故A h x f h =+→)(lim 00.反之,设A h x f h =+→)(lim 00,那么对任给正数ε,存在正数δ,当δ<<h 0时,有ε<-+A h x f )(0.从而当δ<-<00x x 时,0x x h -=知足δ<<h 0, 从而=-A x f )(ε<-+A h x f )(0 故A x f x x =→)(lim 0.4、 证明A x f x x =→)(lim 0,那么A x f x x =→)(lim 0.但反之不真.证: 设A x f x x =→)(lim 0,那么对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-<00x x 时,有ε<-A x f )(.因此当δ<-<00x x 时, 有ε<-≤-A x f A x f )()( 故A x f x x =→)(lim 0.但逆命题不真.如对⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=0,10,00,1)(x x x x f ,有⎩⎨⎧=≠=0,00,1)(x x x f且1)(lim 0=→x f x x ,但)(lim 0x f x x →不存在.5、 证明定理定理 A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=A =.证: 必要性 设A x f x x =→)(lim 0,那么对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-<00x x 时,有ε<-A x f )(.因此,当δ<-<00x x 时,有ε<-A x f )(.故A x f x x =+→)(lim 0当δ<-<x x 00时,有ε<-A x f )(.故A x f x x =-→)(lim 0.充分性 设A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0,那么对任给正数ε,别离存在正数1δ和2δ,使适当δ<-<00x x 或δ<-<x x 00时,都有ε<-A x f )(. 现取},min{21δδδ=,当δ<-<00x x 时,有1000δδ≤<-≤-<x x x x ,或2000δδ≤<-≤-<x x x x因此由(1)知ε<-A x f )(故A x f x x =→)(lim 0.6.研究以下函数在0=x 处的左右极限或极限(1)x x x f =)(; (2)][)(x x f =; (3) ⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=0,10,00,2)(2x x x x x f x解: (1)当0>x 时, 1)(==xx x f ,故1)(lim 0=+→x f x x .当0<x 时, 1)(-==xx x f ,故1)(lim 0-=-→x f x x ,因此)(lim 0x f x →不存在.(2) 当01>>x 时, ][)(x x f =0=,故0)(lim 0=+→x f x x .当01<<-x 时, ][)(x x f =1-=,故1)(lim 0-=-→x f x x .因此)(lim 0x f x →不存在.(3) 当0>x 时, x x f 2)(=,故12lim )(lim 0==++→→x x x x f . 当0<x 时, 21)(x x f +=,故1)1(lim )(lim 20=+=--→→x x f x x . 因此1)(lim 0=→x f x .7.证明: )1(lim )(lim 0xf x f x x +→∞→=. 证: 设A x f x =∞→)(lim ,B xf x =+→)1(lim 0,下证B A =. 对任给正数ε,存在0>M ,0>δ,使适当M x >时,有2)(ε<-A x f .当δ<<x 0时,有2)1(δ<-B xf .令}1,min{M δη=,那么当η<<x 0时,M x>1, 从而由(1)知2)1(ε<-A xf .于是当η<<x 0时,由(2)与(3)知ε<-+-≤-B xf x f A B A )1()1(. 可见ε≤-B A ,由于ε的任意性可得, B A =8.证明:对黎曼函数)(x R 有0)(lim 0=→x R x x ,]1,0[0∈x (当0=x 或1时,考虑单侧极限)证: [0,1]上的黎曼函数概念如下: ⎪⎩⎪⎨⎧===或无理数当时当1,0,0,1)(x q p x q x R仍取]1,0[0∈x ,对任意给定的正数ε,知足不等式ε1≤n 的自然数n 最多有有限个.于是在[0,1]中最多有有限个既约分数qp ,使得ε≥=q q p R 1)(.因此咱们可取0>δ,使得0x 的空心邻域),(00δx U 内不含如此的既约分数, 于是只要δ<-<00x x (对00=x ,只要δ<<x 0;对10=x ,只要δ<-<x 10). 不论x 是不是为有理数,有ε<)(x R 故0)(lim 0=→x R x x ,]1,0[0∈x .§2 函数极限的性质一、求以下极限:(1))cos (sin 2lim 22x x x x --→π; (2) 121lim 220---→x x x x ;(3) 121lim 221---→x x x x ; (4) 32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; (5) 11lim 1--→m n x x x (n 、m 为自然数);(6) 2321lim4--+→x x x ; (7) xax a x -+→20lim ,(0>a );(8) xx x x cos lim-∞→; (9) 4sin lim 2-∞→x xx x ;(10) 902070)15()58()63(lim --+∞→x x x x 解:(1))cos (sin 2lim 22x x x x --→π)41(22π-=.(2) 121lim 220---→x x x x 110010=---=.(3) 121lim 221---→x x x x 32121lim 1=++=→x x x . (4) 32302)31()1(lim xx x x x +-+-→3123lim 0-=+-=→x x x . (5) 11lim 1--→mn x x x mnx x x x x x m m n n x =++++++++=----→11lim 21211 . (6) 2321lim4--+→x x x 34321)2(2lim4=+++=→x x x . (7) x ax a x -+→20lim a ax a x 211lim 20=++=→. (8) x x x x cos lim-∞→1cos 1lim =-=∞→xxx .(9) 4sin lim 2-∞→x x x x 0411sin lim 2=-⋅=-∞→xx x x . (10) 902070)15()58()63(lim --+∞→x x x x 902070902070583)15()58()63(lim ⋅=--+=∞→xx x x .2.利用迫敛性求极限:(1) xx x x cos lim --∞→; (2) 4sin lim 2-+∞→x xx x .解: (1)因为1cos 1≤≤-x ,因此xx x x x x x 1cos 1-≤-≤+ )0(<x 而1)11(lim 1lim=+=+-∞→-∞→x x x x x ,1)11(lim 1lim =-=--∞→-∞→xx x x x 因此1cos lim=--∞→xxx x (2) 因为1sin 1≤≤-x ,因此44sin 4222-≤-≤--x xx x x x x , (2>x )而00411lim 4lim 22=-=--=--+∞→+∞→x x x x x x ,0411lim 4lim 22=-=-+∞→+∞→xx x xx x 因此04sin lim 2=-+∞→x xx x3.证明定理定理 假设极限)(lim 0x f x x →与)(lim 0x g x x →都存在,那么g f ±,g f ⋅在0x x →时极限也存在,且(Ⅰ) =±→)]()([lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →±;(Ⅱ) =⋅→)]()([lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →⋅;(Ⅲ)假设0)(lim 0≠→x g x x ,那么g f 在0x x →时极限存在,且有)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=. 证:设A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0,那么对任给的正数ε,别离存在正数1δ和2δ,使当100δ<-<x x 时,有2)(ε<-A x f . (1)当200δ<-<x x 时,有2)(ε<-B x f . (2)(Ⅰ)取},min{21δδδ=,当δ<-<00x x 时,有(1)、(2)同时成立，于是有ε<-+-≤±-±B g A f B A g f )()(，故B A x g x f x x ±=±→)]()([lim 0.(Ⅱ)由B x g x x =→)(lim 0知, 存在正数3δ,使)(x g 在),(300δx U 上有界,即存在正数M ,对任给),(300δx U x ∈,有M x g ≤)(. (3)取},,min{321δδδδ=,当δ<-<00x x 时,有(1)、(2)、（3）同时成立， 因此AB x g x f -⋅)()())(())()((B x g A A x f x g -+-=B x g A A x f x g -⋅+-⋅≤)()()(ε2A M +<。
华东师大数学分析答案完整版
华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。
2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。
3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。
4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。
6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。
7. 变限积分的导数是原函数的导数。
8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。
9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。
10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。
二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。
A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。
A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。
A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。
A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。
解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。
2. 求不定积分∫(e^x) dx。
解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案Part-I
a1 = b1 = 1 > 0, an + bn 2 = (an −1 + bn −1 2) 2 . Find the limit lim
n →∞
an . b pn . n →∞ q n
28. Assume p1 > 0, q1 > 0, pn +1 = pn + 3qn , qn +1 = pn + qn . Find the limit lim 29. Assume x1 = a, x2 = b, xn +1 =
41. Prove that (1) (2)
f ( x) = 3 x is uniformly continuous on [0, +∞) ; g ( x) = e x cos 1 is not uniformly continuous on [0,1] . x
42. Suppose that f
is defined on [ a, +∞) . And | f ( x ) − f ( y ) |≤ k | x − y | (k > 0) holds
an =a; n →∞ n
an 1 1 ∈ [a − , a + ] (n = 1, 2L) . n n n
f ∈ C (−∞, +∞) and that | f ( x) − f ( y ) |≤ k | x − y | (0 < k < 1) holds for any
x, y ∈ (−∞, +∞) . Prove that f has the unique fixed point on (−∞, +∞) .
34. Let f ∈ C[ a, b] . And for arbitrary x ∈ [ a, b] , there exists y ∈ [ a, b] such that
数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。
这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。
证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。
这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。
因为三角形两边的差大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间。
数学分析课本(华师大三版)
数学分析课本(华师大三版)篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题x1．若f?(e)?1?x，则f(x)?___________2．设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_____________ 3．若e?xx是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?________________4．若f(x)?1，则f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________6．若f(x)有原函数xlnx，则?xf??(x)dx?_______________ 7．?ln(sinx)sin2?3??2xdx?________________8．若?dx(1?2cosx)2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx，则A?__________，B?__________ 9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，则? dxx(4?x)lnx?1x2dxf(x)?_________10．??_________________11．?dx?_________________12．?13．?14．??a?sin(lnx)?cos(lnx)nx?________________?f(x)?xf?(x)?dxdx1?ex?________________?_____________15．?16．?xex2(1?x)dx?_____________________4sinx?3cosxsinx?2cosxdx?______________217．已知f?(2?cosx)?sinx?tan 2x，则f(x)?_______________ 18．?f?(x)1??f(x)?2dx?______________19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u??(x),则?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f??(x)连续,那么?xf??(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是sinxx,则?xf?(x)dx?__________.11222已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x??1时,y?则f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.1?x2是极大值,23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于32?,则这个函数为F(x)?__________. 24 设f?(sin2x)?cosx(x?1),则f(x)?__________.225 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?__________.26 若(?f(x)dx)??lnx,则f(x)?__________. 27 已知e28?x2是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?__________.22?f()dx?__________. 2xx1?x29 设f(x)dx??C,则f(x)?__________.1?x?1?30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?1xxdx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.?xe?1e?1xx，则I?()(1?e)?C (1?e)?x?C ?2ln(1?e)?C (e?1)?C2．设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数xxx3．设I1??1?xdx,I2??du，则存在函数u?u(x)，使()x(1?xex)u(1?u)?I2?x ?I2?x ??I1 ?I1 4．当n??1时，?xn lnxdx?() nn?1n(lnx?1n)?C B.xn?1(lnx?1n?1)?Cn?1?1xn?1xn(lnx?1n?1)?CD.n?1lnx?C 7．?(cosx2 ?sinx2)dx?() (sinx?cos x)?C (cos xx222?sin 2)?C?cosxxx22?C?sin2?C8．?x?sinx1?cosxdx?()??2cotx??C9．若f(x)的导函数是e?x?cosx，则f(x)的一个原函数为()?x?cosxB.?e?x?sinxC.?e?x??x?sinx10．若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第三学期试题
（三十二）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(一致收敛的Cauchy 收敛原理。
2 叙述Green 公式的内容及意义。
3 叙述n 重积分的概念。
二 计算题（每小题10分，共50分）1．计算积分⎰+-=C yx ydx xdy I 2243，其中C 为椭圆13222=+y x ，沿逆时针方向。
2．已知 ),,(y z xz f z -= 其中),(v u f 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z 关于y x ,的二阶偏导数。
3．求椭球体1222222=++cz b y a x 的体积。
4．若l 为右半单位圆周，求⎰lds y ||。
5．计算含参变量积分⎰+-=π2)cos 21ln( )(dx a x a a I (1<a )的值。
三 讨论题（每小题10分，共20分）1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。
试讨论积分⎰∞++=0221xa adxI 在每一个固定的a 处的一致收敛性。
2 讨论函数dx yx x yf y F ⎰+=122)()(的连续性，其中)(x f 在]1,0[上是正的连续函数。
数学分析试题（二年级第一学期）答案1一 叙述题（每小题10分，共30分）1 含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(关于y 在],[d c 上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的0>ε， 存在与y 无关的正数0A ， 使得对于任意的0,A A A >'，],[ ,),(d c y dx y x f A A∈<⎰'ε成立。
2 Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。
如果函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续偏导数，那么⎰⎰∂∂∂-∂∂=+DDdxdy xPx Q Qdy Pdx )(，其中D ∂取正向，即诱导正向。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案02+03
5
lim x + 3
3 x→0 x + 4 x 2 + 3 1 (9) lim x cos x→0 x 1 1 (11) lim( ) − x →∞ 1 − x 1− x3
(13) lim
1+ x x →∞ 1 − x
2 x →∞
x − cos x x →∞ x 2 x − 2x + 3 (10) lim 2 x →∞ 3x + 4 x + 5 3x 5 − 6 x 3 + 3 (12) lim x →∞ x7 − 2 x +3 (14) lim x →∞ x − 2 lim
存在且相等． 10．若 x1 = a > 0，y1 = b > 0（a > b） x n +1 = 证明： lim x n = lim y n （提示：x n ≤ y n ） ．
n→∞ n→∞
x n y n ， y n +1 =
xn + yn . 2
x1 + x 2 +L + x n =a． n 12．设 {nx n } 非负有界，试证： lim x n = 0 ．
lim lim
( x + x ) sin 2 x x →0 (tan x)3
1+ x −1 x →0 tan 2 x 2x − x lim+ x →0 tan x
sin x sin 2 ( x − 1) (6) lim x →π x − π x →1 x −1 16. 证明：若 lim a n = a ，则 lim a n = a ，逆命题是否成立？
n →∞ n →∞ n→∞ k n →∞
4．试证：若 lim x n = a ，且 x n ≥ 0 ，k 为任意一个自然数，则 lim k x n = 5．应用夹逼性证明：
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第三章 函数极限习题§1 函数极限概念1． 按定义证明下列极限： （1）656lim=++∞→xx x ； （2）()2106lim 22=+-→x x x ；（3）115lim 22=--∞→x x x ； （4）04lim 22=--→x x ；（5）0cos cos lim 0x x x x =→2． 根据定义2叙述A x f x x ≠→)(lim 03． 设A x f x x =→)(lim 0，证明：A h x f h =+→)(lim 004． 证明：若A x f x x =→)(lim 0，则A x f x x =→)(lim 0当且仅当A 为何值时反之也成立？5． 证明定理3.16． 讨论下列函数在0→x 时的极限或左、右极限：（1）xx x f =)(； （2）[]x x f =)(；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=0,10,00,2)(2x x x x x f x 7． 设A x f x =+∞→)(lim ，证明：A x f x =⎪⎭⎫⎝⎛+→1lim 08． 证明：对黎曼函数0)(lim 0=→x R x x ，[]1,00∈x （当00=x 或1时，考虑单侧极限）§2 函数极限的性质 1． 求下列极限：（1）()22cos sin 2lim x x x x --→π； （2）121lim 220---→x x x x ；（3）121lim 221---→x x x x ； （4）()()32302311limx x x x x +-+-→；（5）11lim 1--→m n x x x （m n ,为正整数）； （6）2321lim 4--+→x x x ；（7）()0lim 20>-+→a x a x a x ； （8）()()()902070155863lim--++∞→x x x x2． 利用迫敛性求极限：（1）xx x x cos lim--∞→； （2）4sin lim 2-+∞→x xx x3． 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0。
证明：（1）[]B A x g x f x x ±=±→)()(lim 0；（2）AB x g x f x x =→)()(lim 0；（3）()0)()(lim≠=→B BAx g x f x x 4． 设n m b a b x b x b x b a x a x a x a x f nn n n mm m m ≤≠≠++++++++=----,0,0,)(0011101110 ， 试求)(lim x f x +∞→5． 设A x f x f x x =>→)(lim ,0)(0，证明：n n x x A x f =→)(lim 0，其中2≥n 为正整数6． 证明：()101lim 0<<=→a a xx7． 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0（1）在某()0x o 内有)()(x g x f <，问是否必有B A <？为什么？ （2）证明：若B A >，则在某()0x o 内有)()(x g x f > 8． 求下列极限（1）n x x x x+-→11lim 0； （2）n x xx x ++→11lim 0； （3）1lim 21--+++→x n x x x n x ； （4）xx nx 11lim 0-+→；（5）[]xx x ∞→lim9．（1）证明：若()30lim x f x →存在，则()()3lim lim x f x f x x →→=（2）若()2lim xf x →存在，试问是否成立()()2lim lim x f x f x x →→=？§3 函数极限存在的条件1． 述函数极限)(lim x f x +∞→的归结原则，并应用它证明x x cos lim +∞→不存在2． 设f 为定义在[)+∞,a 上的增（减）函数。
证明：)(lim x f x +∞→存在的充要条件是f 在[)+∞,a 上有上（下）界3． （1）叙述极限)(lim x f x -∞→的柯西准则；（2）根据柯西准则叙述)(lim x f x -∞→不存在的充要条件，并应用它证明x x sin lim -∞→不存在4． 设f 在()00x 内有定义。
证明：若对任何数列{}()00x x n ⊂且0lim x x n n =∞→，极限()n n x f ∞→lim 都存在，则所有这些极限都相等5． 设f 为()00x 上的递增函数。
证明：()()0,000+-x f x f 都存在，且 ()()()()()()x f x f x f x f x x x x 0000inf 0,sup000+-∈∈=+=- 6． 设()x D 为狄利克雷函数，R x ∈0。
证明：()x D x x 0lim →不存在 7． 证明：若f 为周期函数，且()0lim =+∞→x f x ，则()0≡x f8． 证明定理3.9§4 两个重要的极限 1． 求下列极限：（1）xx x 2sin lim 0→； （2）()230sin sin lim x x x →；（3）2cos lim2ππ-→x x x ； （4）xxx tan lim→； （5）30sin tan lim xx x x -→； （6）x xx arctan lim 0→； （7）x x x 1sin lim +∞→； （8）ax ax a x --→22sin sin lim ；（9）114sin lim 0-+→x xx ； （10）x x x cos 1cos 1lim 20--→2． 求下列极限：（1）xx x -∞→⎪⎭⎫⎝⎛-21lim ； （2）()x x x 101lim α+→；（3）()xx x cot 0tan 1lim +→； （4）xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→；（5）121323lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ； （6）xx x βα⎪⎭⎫⎝⎛++∞→1lim3． 证明：12cos 2cos 2cos cos lim lim 20=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→n n x x x xx 4． 利用归结原则计算下列极限：（1）n n n πsin lim ∞→； （2）nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→2111lim§5 无穷小量与无穷大量1． 证明下列各式：（1）()()022→=-x x O x x （2）()+→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0sin 21x x O x x（3）()()0111→=-+x o x（4）()()()011→++=+x x o nx x n（n 为正整数）（5）()()∞→=+x x O x x 3232（6）()()()()()()()0x x x g o x g o x g o →=± （7）()()()()()()()()02121x x x g x g o x g o x g o →=∙ 2． 应用定理3.12求下列极限：（1）xx x x x cos 1arctanlim -∞→ （2）x x x cos 111lim 20--+→ 3． 证明定理3.134． 求下列函数所表示曲线的渐进线：（1）x y 1= （2）x y arctan = （3）xx x y 24323-+=5． 试确定α的值，使下列函数与αx 当0→x 时为同阶无穷小量： （1）x x sin 22sin - （2）()x x--+111（3）x x sin 1tan 1--+ （4）53243x x -6． 试确定α的值，使下列函数与αx 当∞→x 时为同阶无穷大量：（1）52x x + （2）()x x x sin 22++ （3）()()()n x x x +++11127． 证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列{}S x n ⊂，使得()∞→+∞→n x n 8． 证明：若f 为r x →时的无穷大量，而函数g 在某() 0r 上满足0)(>≥K x g ，则fg为r x →时的无穷大量9． 设()x f 与()x g 是当0x x →时的等价无穷小量，证明：()()()()x f o x g x f =-或()()()()x g o x g x f =-总练习题1． 求下列极限：（1）[]()x x x --→3lim ； （2）[]()111lim -→++x x ； （3）()()()()()x b x a x b x a x ---++-→3lim ；（4）22limax x x -+∞→； （5）22limax x x --∞→；（6）31111limxx x x x --+--+→；（7）⎪⎭⎫⎝⎛---→n m x x n x m11lim 1，n m ,为正整数 2． 分别求出满足下述条件的常数a 与b ：（1）011lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x ； （2）0)1(lim 2=--+--∞→b ax x x x ；（3）0)1(lim 2=--+-+∞→b ax x x x3． 试分别举出符合下列要求的函数f ：（1）()()2lim 2f x f x ≠→； （2）()x f x 2lim →不存在4． 试给出函数f 的例子，使()0>x f 恒成立，而在某一点0x 处有()0lim 0=→x f x x 。
这同极限的局部保号性有矛盾吗？5． 设()()B u g A x f Au ax ==→→lim ,lim ，在何种条件下能由此推出()()B x f g ax =→lim ？6． 设()x x x f cos =，试作数列（1）{}n x 使得()∞→∞→n x n ，()()∞→→n x f n 0； （2）{}n y 使得()∞→∞→n y n ，()()∞→+∞→n y f n ； （3）{}n z 使得()∞→∞→n z n ，()()∞→-∞→n z f n 7． 证明：若数列{}n a 满足下列条件之一，则{}n a 是无穷大数列：（1）1lim >=∞→r a n n n ；（2）() ,2,1,01lim1=≠>=+∞→n a s a a n nn n8． 利用上题（1）的结论求极限：（1）211lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→； （2）211lim n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→9． 设+∞=∞→n n a lim ，证明（1）()+∞=+++∞→n n a a a n211lim； （2）若() ,2,10=>n a n ，则+∞=∞→n n n a a a 21lim 10．利用上题的结果求极限：（1）n n n !lim ∞→； （2）()nn n !ln lim∞→ 11．设f 为()00x - 内的递增函数。