2016中考新航线数学24-26
2016年上海中考二模数学24题图文解析
因此对应的点 P 有两个（如图 6 所示）．
那么求点 D（点 P）的坐标还有更简便的方法：由勾股定理，得 AB2＝AD2＋BD2．
由 A(－1, 0)、B(0, 3)、D(1, 2m)，得 12＋32＝22＋(2m)2＋12＋(3－2m)2．
解得 m＝1，或 m＝ 1 ． 2
例
2016 年上海市虹口区中考模拟第 24 题
例
2015 年上海市奉贤区中考模拟第 24 题
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、C(3, 0)两 点，与 y 轴交于点 B，点 P 为 OB 上一点，过点 B 作射线 AP 的垂线，垂足为点 D，射线 BD 交 x 轴于点 E．
（1）求该抛物线的解析式； （2）联结 BC，当点 P 的坐标为 (0, 2) 时，求△EBC 的面积；
如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB 过点 A(3,0)、B(0,m)（m＞0），tan∠BAO＝2． （1）求直线 AB 的表达式； （2）反比例函数 y k1 的图像与直线 AB 交于第一象限内的 C、D 两点（BD＜BC），
x 当 AD＝2DB 时，求 k1 的值；
例
2016 年上海市崇明县中考模拟第 24 题
如图 1，一条抛物线的顶点为 E(－1,4)，且过点 A(－3,0)，与 y 轴交于点 C．点 D 是这 条抛物线上一点，它的横坐标为 m，且－3＜m＜－1，过点 D 作 DK⊥x 轴，垂足为 K，DK 分别交线段 AE、AC 于点 G、H．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GH＝HK； （3）当△CGH 是等腰三角形时，求 m 的值．
如图 5，一方面，当点 D 落在抛物线的对称轴上时，D(1, 2m)．
2016年中考考点19：概述新航路的开辟,评价其的原因和意义(b)分析
反对君主专制， 主张： 主张君主立宪制， 提出三权分立学说 “三权分立”理论为美国1787年宪法所 影响 评价： 采用（实践）
议会 立法权
三 权 分 立
司法权 法院
制约 与平衡 行政权 国王
资料1：只有全体社会成员经过 协议，订立社会契约，才可以成 为人间一切合法的基础。
1420年欧洲 人认识的世 界范围
1620年欧洲人 认识的世界范围
考点19：概述新航路的开辟，评价其的原因和意 义（b) 导引P26 宝典24
原因
西欧工商业的发展，需要扩大海外市场， 对黄金、白银需求增加
《马可﹒波罗行记》唤起欧洲人的对东 方的向往。
新航路 的开辟
奥斯曼土耳其人阻断了传统的通商道路
资料2：以绞杀或废除暴君为结局的 起义行动是合法的。 卢梭
在哲学上，卢梭主张感觉是认 识的来源。在社会观上，卢梭坚持 社会契约论，主张自由平等；提出 “人民主权说”，反对专制、暴政。
思想家
主张 抨击封建专制制度和天主教会， 宣扬自由、平等是人的自然权利 ，倡导君主立宪制。提倡天赋人 权，认为人生来就是自由和平等 的。
启蒙运动的代表人物
——法国三大启蒙思想家
伏尔泰
孟德斯鸠
卢 梭
1.伏尔泰
① 抨击天主教会
宣扬自由 ② 反对政治迫害、宗教愚昧 平等 倡导君主 ③ 提倡“天赋人权”，宣扬自由、 立宪制
平等的权利
④反对封建君主专制制度， 倡导君主立宪制
伏尔泰： 提倡天赋人权、自由平等
“我不同意你所说的一切，当我将 逝死捍卫你表达自己意见的权利”。
科学革命 代表人物 16-17 哥白尼（波兰） 世纪 伽利略（意大利） 牛顿（英国） 时间 成就 日心说（开端）
2016年辽宁省大连市中考真题数学
2016年辽宁省大连市中考真题数学一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分1.-3的相反数是( )A.1 3B.1 3C.3D.-3解析：(-3)+3=0.答案：C.2.在平面直角坐标系中，点(1，5)所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：点(1，5)所在的象限是第一象限.答案：A.3.方程2x+3=7的解是( )A.x=5B.x=4C.x=3.5D.x=2解析：2x+3=7，移项合并得：2x=4，解得：x=2，答案：D4.如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB.AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠BAE的度数是( )A.40°B.70°C.80°D.140°解析：∵AB ∥CD ， ∴∠ACD+∠BAC=180°， ∵∠ACD=40°，∴∠BAC=180°-40°=140°， ∵AE 平分∠CAB ， ∴∠BAE=12∠BAC=12×140°=70°， 答案：B. 5.不等式组2232x xx x ⎨⎩++⎧＞＜的解集是( )A.x ＞-2B.x ＜1C.-1＜x ＜2D.-2＜x ＜1解析：2232x x x x +⎨⎩+⎧＞①＜②，解①得x ＞-2， 解②得x ＜1，则不等式组的解集是：-2＜x ＜1. 答案：D.6.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是()A.1 6B.5 16C.1 3D.1 2解析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号的积小于4的有4种情况，∴两次摸出的小球标号的积小于4的概率是：4=1213.答案：C.7.某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是( )A.100(1+x)B.100(1+x)2C.100(1+x2)D.100(1+2x)解析：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100(1+x)2，答案：B.8.如图，按照三视图确定该几何体的全面积是(图中尺寸单位：cm)( )A.40πcm2B.65πcm2C.80πcm2D.105πcm2解析：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；根据三视图知：该圆锥的母线长为8cm，底面半径为10÷2=5cm，故表面积=πrl+πr2=π×5×8+π×52=65πcm2.答案：B.二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分9.因式分解：x2-3x= .解析：x2-3x=x(x-3).答案：x(x-3)10.若反比例函数kyx=的图象经过点(1，-6)，则k的值为解析：∵反比例函数kyx=的图象经过点(1，-6)，∴k=1×(-6)=-6.答案：-6.11.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD= ..解析：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，∴AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，∴BD===.12.下表是某校女子排球队队员的年龄分布则该校女子排球队队员的平均年龄是 .岁.解析：根据题意得：(13×1+14×1+15×7+16×3)÷12=15(岁)，即该校女子排球队队员的平均年龄为15岁.答案：15.13.如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是 ..解析：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO=4，∴3BO=，故BD=6，则菱形的面积是：12×6×8=24.答案：24.14.若关于x的方程2x2+x-a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 .. 解析：∵关于x的方程2x2+x-a=0有两个不相等的实数根，∴△=12-4×2×(-a)=1+8a＞0，解得：a＞18 -.答案：a＞18 -.15.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 .海里(结果取整数)(参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4).解析：如图，作PC ⊥AB 于C ，在Rt △PAC 中，∵PA=18，∠A=30°， ∴PC=12PA=12×18=9， 在Rt △PBC 中，∵PC=9，∠B=55°， ∴9110.8PC PB sin B =≈≈∠，答：此时渔船与灯塔P 的距离约为11海里. 答案：11.16.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A 、B(m+2，0)与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，则点A 的坐标是 ..解析：由C(0，c)，D(m ，c)，得函数图象的对称轴是x=2m ， 设A 点坐标为(x ，0)，由A 、B 关于对称轴x=2m，得 222x m m++=， 解得x=-2，即A 点坐标为(-2，0)， 答案：(-2，0).三、解答题：本大题共4小题，17、18、19各9分20题12分，共39分17.计算：112+-）（）解析：本题涉及平方差公式、零指数幂、三次根式化简3个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.答案：(112+-）（）=5-1+1-3 =2.18.先化简，再求值：(2a+b)2-a(4a+3b)，其中a=1，解析：原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值. 答案：原式=4a 2+4ab+b 2-4a 2-3ab=ab+b 2， 当a=1，19.如图，BD 是▱ABCD 的对角线，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，求证：AE=CF.解析：根据平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，求出∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS 推出△ABE ≌△CDF ，得出对应边相等即可. 答案：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABE=∠CDF ， ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在△ABE 和△CDF 中，AEB CFDABE CDF AB CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF.20.为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分根据以上信息，解答下列问题(1)家庭用水量在4.0＜x≤6.5范围内的家庭有 .户，在6.5＜x≤9.0范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是 .%；(2)本次调查的家庭数为 .户，家庭用水量在9.0＜x≤11.5范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是 .%；(3)家庭用水量的中位数落在 .组；(4)若该小区共有200户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数.解析：(1)观察表格和扇形统计图就可以得出结果；(2)利用C组所占百分比及户数可算出调查家庭的总数，从而算出D组的百分比；(3)从第二问知道调查户数为50，则中位数为第25、26户的平均数，由表格可得知落在C组；(4)计算调查户中用水量不超过9.0吨的百分比，再乘以小区内的家庭数就可以算出.答案：(1)观察表格可得4.0＜x≤6.5的家庭有13户，6.5＜x≤9.0范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比为30%；(2)调查的家庭数为：13÷26%=50，6.5＜x ≤9.0 的家庭数为：50×30%=15，D 组9.0＜x ≤11.5 的家庭数为：50-4-13-6-3-15=9， 9.0＜x ≤11.5 的百分比是：9÷50×100%=18%；(3)调查的家庭数为50户，则中位数为第25、26户的平均数，从表格观察都落在C 组； 故答案为：(1)13，30；(2)50，18；(3)C ；(4)调查家庭中不超过9.0吨的户数有：4+13+15=32，3250×200=128(户)， 答：该月用水量不超过9.0吨的家庭数为128户.四、解答题：本大题共3小题，21、22各9分23题10分，共28分21.A 、B 两地相距200千米，甲车从A 地出发匀速开往B 地，乙车同时从B 地出发匀速开往A 地，两车相遇时距A 地80千米.已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度.解析：根据题意，可以设出甲、乙的速度，然后根据题目中的关系，列出相应的方程，本题得以解决.答案：设甲车的速度是x 千米/时，乙车的速度为(x+30)千米/时，802008030x x -+＝解得，x=60，经检验，x=60是分式方程的根， 则x+30=90，即甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时. 22.如图，抛物线2534y x x =-+与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E(1)求直线BC 的解析式；(2)当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标.解析：(1)利用坐标轴上点的特点求出A 、B 、C 点的坐标，再用待定系数法求得直线BC 的解析式；(2)设点D 的横坐标为m ，则纵坐标为(m ，2534m m +－)，E 点的坐标为(m ，1524m +－)，可得两点间的距离为252d m m =+－，利用二次函数的最值可得m ，可得点D 的坐标. 答案：(1)∵抛物线2534y x x =-+与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，∴令y=0，可得x=12或x=52，∴A(12，0)，B(52，0)；令x=0，则y=54，∴C 点坐标为(0，54)，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则有，50254k b b ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， 解得：1254k b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＝，∴直线BC 的解析式为：1524y x =+－； (2)设点D 的横坐标为m ，则坐标为(m ，2534m m +－)， ∴E 点的坐标为(m ，1524m +－)， 设DE 的长度为d ，∵点D 是直线BC 下方抛物线上一点，则21553244d m m m =+--+－（）， 整理得，252d m m =+－，∵a=-1＜0，∴当()5522214b m a ==--⨯-＝时，225042544416ac b d a ===最大－－－， ∴D 点的坐标为(525416，-). 23.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠A=2∠BCD ，点E 在AB 的延长线上，∠AED=∠ABC(1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)若BF=2，O 的半径.解析：(1)连接OD ，由AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代换得到∠BOD=∠A ，推出∠ODE=90°，即可得到结论；(2)连接BD ，过D 作DH ⊥BF 于H ，由弦且角定理得到∠BDE=∠BCD ，推出△ACF 与△FDB 都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH=12BF=1，则FH=1，根据勾股定理得到，然后根据勾股定理列方程即可得到结论.答案：(1)证明：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠BOD=2∠BCD ，∠A=2∠BCD ，∴∠BOD=∠A ，∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；(2)解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，∵DE与⊙O相切，∴∠BDE=∠BCD，∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF，∵∠AFC=∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH=BH=12BF=1，则FH=1，∴，在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，即(OD-1)2+32=OD2，∴OD=5，∴⊙O的半径是5.五、解答题：本大题共3小题，24题11分，25、26各12分，共35分24.如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G.设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示(其中0＜x≤1，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同)(1)填空：BC的长是 .；(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.解析：(1)由图象即可解决问题.(2)分三种情形①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，根据S=S△ABC-S△BDF-S四边形ECAG即可解决.②如图2中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根据S=S△ABC-S△BDF-S四边形ECAG即可解决.③如图3中，根据S=12CD·CM，求出CM即可解决问题.答案：(1)由图象可知BC=3.故答案为3.(2)①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，∴AB=，∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，∴△BMD∽△BCA，∴DM BM DB AC BC AB==，∴DM=，BM=，∵BD=DF，DM⊥BF，∴BM=MF，∴2613BDF S x ∆=， ∵EG ∥AC ， ∴EG BE AC BC=， ∴223EG x +=， ∴EG=23(x+2)， ∴1222123[]ECAG S x x =⋅++-四边形（）（）， ∴2261254432211323933[]3ABC BDF ECAG S S S S x x x x x ∆∆=--=--++-=-+⋅+四边形（）（）. ②如图②中，作AN ∥DF 交BC 于N ，设BN=AN=x ，在RT △ANC 中，∵AN 2=CN 2+AC 2，∴x 2=22+(3-x)2，∴x=136， ∴当1＜x ≤136时，S=S △ABC -S △BDF =3-613x 2， ③如图3中，当136＜x ≤3时，∵DM ∥AN ， ∴CD CM CN CA=， ∴313236x CM -=-， ∴CM=125(3-x)， ∴216325S CD CM x =⋅=-（）， 综上所述()222544013933613311366133356()()()x x x S x x x x ⎧-++≤≤⎪⎪⎪=-≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩＜＜. 25.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 边上，∠DAB=∠ABD ，BE ⊥AD ，垂足为E ，求证：BC=2AE.小明经探究发现，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，得到∠AFB=∠BEA ，从而可证△ABF ≌△BAE(如图2)，使问题得到解决.(1)根据阅读材料回答：△ABF 与△BAE 全等的条件是 AAS(填“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”或“HL ”中的一个)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，E 为DC 的中点，点F 在AC 的延长线上，且∠CDF=∠EAC ，若CF=2，求AB 的长；(3)如图4，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且AD=kDB(其中0＜k＜3)，∠AED=∠BCD ，求AE EC的值(用含k 的式子表示).解析：(1)作AF ⊥BC ，判断出△ABF ≌△BAE(AAS)，得出BF=AE ，即可；(2)先求出tan ∠DAE=12，再由tan ∠F=tan ∠DAE ，求出CG ，最后用△DCG ∽△ACE 求出AC ； (3)构造含30°角的直角三角形，设出DG ，在Rt △ABH ，Rt △ADN ，Rt △ABH 中分别用a ，k 表示出AB=2a(k+1)，，BC=2BH=，a(2k+1)，ka ，最后用△NDE ∽△GDC ，求出AE ，EC 即可.答案：(1)如图2，作AF ⊥BC ，∵BE ⊥AD ，∴∠AFB=∠BEA ，在△ABF 和△BAE 中，AFB BEA DAB ABD AB AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△BAE(AAS)，∴BF=AE∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=12 BC，∴BC=2AE，故答案为AAS(2)如图3，连接AD，作CG⊥AF，在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，∴AD=CD，∵点E是DC中点，∴DE=12CD=12AD，∴1122CDDEtan DAEAD AD∠===，∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴∠F+∠EAC=45°，∵∠DAE+∠EAC=45°，∴∠F=∠DAE，∴tan∠F=tan∠DAE=12，∴12 CGCF＝，∴CG=12×2=1，∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，∴∠DCG=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴△DCG∽△ACE，∴DC CG AC CE＝，∵，12CE CD AC==，∴2AC AC∴AC=4；∴AB=4；(3)如图4，过点D作DG⊥BC，设DG=a，在Rt△BGD中，∠B=30°，∴BD=2a，，∵AD=kDB，∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1)，过点A作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∠B=30°.∴，∵AB=AC，AH⊥BC，∴，∴，过D作DN⊥AC交CA延长线与N，∵∠BAC=120°，∴∠DAN=60°，∴∠ADN=30°，∴AN=ka，，∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，∴△NDE∽△GDC.∴DN NE DG CG＝，∴a，∴NE=3ak(2k+1)，∴EC=AC-AE=AB-AE=2a(k+1)-2ak(3k+1)=2a(1-3k2)，∴()()222231313213ak kAE k k EC ka k++=--＝.26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+14与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称(1)填空：点B的坐标是 .；(2)过点B的直线y=kx+b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标.解析：(1)由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；(2)可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；(3)利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标.答案：(1)∵抛物线y=x2+14与y轴相交于点A，∴A(0，14 )，∵点B与点O关于点A对称，∴BA=OA=14，∴OB=12，即B点坐标为(0，12)，故答案为：(0，12 )；(2)∵B点坐标为(0，12 )，∴直线解析式为y=kx+12，令y=0可得kx+12=0，解得x=12k-，∴OC=12k -，∵PB=PC，∴点P只能在x轴上方，如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，则BD=OC=12k-，CD=OB=12，∴PD=PC-CD=m-12， 在Rt △PBD 中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2， 即2221122m m k =-+-（）（），解得21144m k =+， ∴PB 21144k+， ∴P 点坐标为(2111244k k -+，)， 当x=12k -时，代入抛物线解析式可得21144y k=+， ∴点P 在抛物线上；(3)如图2，连接CC ′，∵l ∥y 轴，∴∠OBC=∠PCB ，又PB=PC ，∴∠PCB=∠PBC ，∴∠PBC=∠OBC ，又C 、C ′关于BP 对称，且C ′在抛物线的对称轴上，即在y 轴上，∴∠PBC=∠PBC ′，∴∠OBC=∠CBP=∠C ′BP=60°，在Rt △OBC 中，OB=12，则BC=1∴OC=2，即P 点的横坐标为2，代入抛物线解析式可得21124y =+=（，∴P 点坐标为(2，1). 考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
山东省2016年中考数学试卷第24题汇编(含答案·精品版)
ft 东省 2016 年中考数学试卷第 24 题汇编[济南市 2016 年中考数学试卷]01. 如图 1，抛物线 y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与 x 轴交于点 A （4，0），与 y 轴交于点 B ，在 x 轴上有一动点 E （m ，0）（0＜m ＜4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N ，交抛物线于点 P ，过点 P 作 PM ⊥AB 于点 M ．（1） 求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（2） 设△PMN 的周长为 C 1，△AEN 的周长为 C 2，若C 1 6，求 m 的值； C 2 5（3） 如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE ′，旋转角为 α（0°＜α＜90°），连接 E ′A 、E ′B ，求 E ′A ＋ 2E ′B 的最小值．3[菏泽市 2016 年中考数学试卷]02. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋2 过 B （－2，6），C （2，2）两点．（1） 试求抛物线的解析式；（2） 记抛物线顶点为 D ，求△BCD 的面积；（3） 若直线 y ＝－ 1x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC （包括端点 B 、C ）部分有两个交2点，求 b 的取值范围．03. 如图，已知抛物线 y ＝ 1x 2＋bx ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A （0，1），点 B （－9，10），AC ∥x3轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点． （1） 求抛物线的解析式；（2） 过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB 、AC 分别交于点 E 、F ，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3） 当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q ，使得以 C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由．[淄博市 2016 年中考数学试卷]04. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ，点 M ，N 分别是边 BC ，CD 上的动点（不与点 B ，C ，D重合），AM ，AN 分别交 BD 于点 E ，F ，且∠MAN 始终保持 45°不变．（1） 求证： AF 2；AM 2（2） 求证：AF ⊥FM ；（3） 请探索：在∠MAN 的旋转过程中，当∠BAM 等于多少度时，∠FMN ＝∠BAM ？写出你的探索结论，并加以证明．ADNBMC yBlECF AOxPF O EQFO05. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴，y 轴相交于 A ，B 两点，点 C 的坐标是（8， 4），连接 AC ，BC ．（1） 求过 O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2） 动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PA ＝QA ？（3） 在抛物线的对称轴上，是否存在点 M ，使以 A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．[青岛市 2016 年中考数学试卷]06. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，对角线 AC ，BD 交于点 O ．点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ； 当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 PO 并延长，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ， 交 BD 于点 F ．设运动时间为 t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题： （1） 当 t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2） 设五边形 OECQF 的面积为 S （cm 2），试确定S 与 t 的函数关系式； （3） 在运动过程中，是否存在某一时刻，使 S 五边形 OECQF ：S △ACD ＝9：16？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4） 在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OD 平分∠COP ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．APDB ECD07. 如图，已知抛物线 m ：y ＝ax 2－6ax ＋c （a ＞0）的顶点 A 在 x 轴上，并过点 B （0，1），直线n ：y ＝－ 1 x ＋ 7与 x 轴交于点 D ，与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F ，过 B 点的直线 BE 与直线 n 相交于点 E （－ 2 2 7，7）．（1）求抛物线 m 的解析式；（2）P 是 l 上的一个动点，若以 B ，E ，P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标；（3）抛物线 m 上是否存在一动点 Q ，使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[泰安市 2016 年中考数学试卷]08．（1）已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是 BC ，点 D 在线段 AB 上，E 是直线 BC 上一点，且∠DEC＝∠DCE ，若∠A ＝60°（如图①）．求证：EB ＝AD ； （2） 若将（1）中的“点 D 在线段 AB 上”改为“点 D 在线段 AB 的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；（3） 若将（1）中的“若∠A ＝60°”改为“若∠A ＝90°”，其它条件不变，则 EB的值是多少？（直接写出AD结论，不要求写解答过程）A AEE BCD C 图 1图 2ByCA BOxyNCA BOxyCMABO Px09．如图 1，抛物线 y ＝－ 3[(x －2)2＋n ]与 x 轴交于点 A （m －2，0）和 B （2m ＋3，0）（点A 在点B 的左 5侧），与y 轴交于点 C ，连结 BC ． （1） 求 m 、n 的值；（2） 如图 2，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线 BC 上方，连接 CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值；（3） 如图 3，点 M 、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点，连接 PM 、PC ，是否存在这样的点 P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由．[德州市 2016 年中考数学试卷]10. 已知，m ，n 是一元二次方程 x 2＋4x ＋3＝0 的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1） 求这个抛物线的解析式； （2） 设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为 D ，试求出点 C ，D 的坐标，并判断△BCD的形状； （3） 点 P 是直线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 和点 C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M ，点 Q 在直线 BC 上，距离点 P 为S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式．个单位长度，设点 P 的横坐标为 t ，△PMQ 的面积为备用图yA O C xBD y A O C x BD211.如图，已知抛物线y＝－1x2－1x＋2 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C.4 2（1）求点A，B，C 的坐标；（2）点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[东营市2016 年中考数学试卷]12.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A、C 的坐标分别是（0，4）、（－1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标；（3）若P 为抛物线上的一动点，N 为x 轴上的一动点，点Q 坐标为（1，0），当P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．13. 如图 1，已知平行四边形 ABCD 顶点 A 的坐标为（2，6），点 B 在 y 轴上，且 AD ∥BC ∥x 轴，过 B ，C ，D 三点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（2，2），点 F （m ，6）是线段 AD 上一动点，直线 OF 交 BC 于点 E ．（1） 求抛物线的表达式；（2） 设四边形 ABEF 的面积为 S ，请求出 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3） 如图 2，过点 F 作 FM ⊥x 轴，垂足为 M ，交直线 AC 于 P ，过点 P 作 PN ⊥y 轴，垂足为 N ，连接MN ，直线 AC 分别交 x 轴，y 轴于点 H ，G ，试求线段 MN 的最小值，并直接写出此时 m 的值．[威海市 2016 年中考数学试卷]14. 如图，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （－2，0），点 B （4，0），点 D （2，4），与 y 轴交于点 C ，作直线 BC ，连接 AC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E 是抛物线上的点，求满足∠ECD ＝∠ACO 的点 E 的坐标；（3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C ，M ，N ，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．备用图 1备用图 215.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过点A（－3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D，DE 垂直与x 轴，垂足为E，l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D 的坐标；（2）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED 重叠部分的图形面积记为S，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．[枣庄市2016 年中考数学试卷]16.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x 轴交于点B．（1）若直线y＝mx＋n 经过B、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．17. 如图，二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象经过点 A （－1，0），B （4，0），C （－2，－3），直线 BC 与 y轴交于点 D ，E 为二次函数图象上任一点.（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 若点 E 在直线 BC 的上方，过 E 分别作 BC 和 y 轴的垂线，交直线 BC 于不同的两点 F ，G （F 在G 的左侧），求△EFG 周长的最大值；（3） 是否存在点 E ，使得△EDB 是以 BD 为直角边的直角三角形？如果存在，求点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由.备用图4 10 ⎩ ⎨ ⎨ft 东省 2016 年中考数学试卷第 24 题汇编参考答案01. 解：（1）令 y ＝0，则 ax 2＋(a ＋3)x ＋3＝0，∴(x ＋1)(ax ＋3)＝0，∴x ＝－1 或- 3.a∵抛物线 y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与 x 轴交于点 A （4，0），∴ - 3 ＝4，∴a ＝ - 3 ．∵A （4，0），B （0，3），⎧b = 3 a 4 ⎧k = - 3设直线 AB 解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎨4k + b = 0∴直线 AB 解析式为 y ＝ - 3x ＋3．4，解得⎪ 4 ，⎪⎩b = 3（2） 如图 1 中，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN ＝∠AEN .∵∠PNM ＝∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∴ PN = 6.AN 5∵NE ∥OB ，∴ AN = AE ，∴AN ＝ 5(4 - m ) .AB OA 4∵抛物线解析式为 y ＝ - 3 x 2＋ 9x ＋3，4 4∴PN ＝ - 3 m 2＋ 9 m ＋3－( - 3 m ＋3)＝ - 3m 2＋3m ，4 4 4 4 - 3m 2 + 3m∴ 4 = 6，解得 m ＝2．5(4 - m ) 5 4（3） 如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M 使得 OM ＝ 4，3∵OE ′＝2，OM ·OB ＝ 4 ×3＝4，∴OE ′2＝OM ·OB ，∴ OE ' = OB .3 OM OE 'ME ' OE ' 2∵∠BOE ′＝∠MOE ′，∴△MOE ′∽△E ′OB ，∴ BE ' = OB = 3，∴ME ′＝ 2 BE ′，∴AE ′＋ 2BE ′＝AE ′＋E ′M ＝AM ′，3 3此时 AE ′＋ 2 BE ′最小，最小值= AM = 3 ⎧4a - 2b + 2 = 6 = .3 ⎧2a - b = 2⎧a = 1 02. 解：（1）由题意得⎨4a + 2b + 2 = 2，整理得⎨2a + b = 0 ，解得⎪2 ，∴抛物线解析式为 y ＝ 1x 2－x ＋2．2⎪⎩b = -1（2）∵y ＝ 1 x 2－x ＋2＝ 1 (x －1)2＋ 3 ，∴顶点坐标 D （1， 3），2 2 2 2过点 B 、C 、D 分别作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 M 、N 、H ，42+ ( 4)2 3 ⎩ ⎩1 ⎨⎪ ⎩ ∴S △BDC ＝S 梯形 BMNC －S 梯形 BMHD －S 梯形 DHNC 3 +2 = 2 + 6 ⨯ 4 - 23 + 6 ⨯1 - 2 ⨯ 3 = 3 .2 2 21 1（3）直线 y =⎧x 向上平移 b 个单位所得的直线为 y = - 2 2 1 x + b ⎪ y = - 2 x + b 由题意得⎨ ⎪ y = x 2 - x + 2 ，整理得 x 2- x + (4 - 2b ) = 0 ， ⎪⎩ 2当∆ = (-1)2 - 4 ⨯1⨯ (4 - 2b ) = 0 时，得 b ＝ 15 . 8 此时情况如图中 l 1 所示；当直线 y ＝－ 1 x ＋b 经过点 C （2，2）时，b ＝3， 2此时情况如图中 l 2 所示； 要直线与抛物线段 BDC 有两个交点，直线应在 l 1 与 l 2 又∵l 1 不符合，l 2 符合，故符合题意的 b 的取值范围为15＜b ≤3．803. 解：（1）∵点 A （0，1）．B （－9，10）在抛物线上，⎧c = 1 ∴ ⎪1 ⨯ 81 - 9b + c = 10 ⎩3⎧b = 2 ，∴ ⎨c = 1 ，∴抛物线的解析式为 y ＝ 1 3 x 2＋2x ＋1. （2）∵AC ∥x 轴，A （0，1），∴ 1 x 2＋2x ＋1＝1，3∴x 1＝6，x 2＝0，∴点 C 的坐标（－6，1）. ∵点 A （0，1）．B （－9，10）， ∴直线 AB 的解析式为 y ＝－x ＋1.设点 P （m ， 1m 2＋2m ＋1），∴E （m ，－m ＋1）3∴PE ＝－m ＋1－( 1 m 2＋2m ＋1)＝－ 1 m 2－3m . 3 3∵AC ⊥EP ，AC ＝6，∴S 四边形 AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝ 1 AC ×EF ＋ 1 AC ×PF ＝ 1 AC ×(EF ＋PF )＝ 1AC ×PE2 2 2 2＝ 1 ×6×(－ 1 m 2－3m )＝－m 2－9m ＝－(m ＋ 9 )2＋ 81 . 2 3 2 4∵－6＜m ＜0，∴当 m ＝－ 9 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 81，2 4此时点 P （－ 9 ，－ 5）．2 4 （3）∵y ＝ 1 x 2＋2x ＋1＝ 1(x ＋3)2－2，∴P （－3，－2），3 3∴PF ＝y F －y P ＝3，CF ＝x F －x C ＝3，∴PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45°，2 3 2 9 29 2⎨ ⎩同理可得∠EAF ＝45°，∴∠PCF ＝∠EAF ， ∴在直线 AC 上存在满足条件的 Q .设 Q （t ，1）且 AB ＝9 ，AC ＝6，CP ＝3 ∵以 C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ ∽△ABC 时，∴ CQ = CP ，∴ AC AB t + 6 6 = ，∴t ＝－4，∴Q （－4，1）； ②当△CQP ∽△ABC 时， ∴ CQ = CP ，∴ t + 6 = 3 2 ，∴t ＝3，∴Q （3，1）． AB AC 6 04.（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∠ABC ＝90°， ∵∠MAN ＝45°，∴∠MAF ＝∠MBE ，∴A 、B 、M 、F 四点共圆，∴∠ABM ＋∠AFM ＝180°，∴∠AFM ＝90°，∴∠FAM ＝∠FMA ＝45°，∴AM ＝ AF ，∴ AF = 2． AM 2（2）由（1）可知∠AFM ＝90°，∴AF ⊥FM ． （3）结论：∠BAM ＝22.5 时，∠FMN ＝∠BAM理由：∵A 、B 、M 、F 四点共圆，∴∠BAM ＝∠EFM ，∵∠BAM ＝∠FMN ，∴∠EFM ＝∠FMN ，∴MN ∥BD ，∴ CM = CN.CB CD∵CB ＝DC ，∴CM ＝CN ，∴MB ＝DN .⎧ AB = AD 在△ABM 和△ADN 中， ⎪∠ABM = ∠ADN = 90︒ ，⎪BM = DN ∴△ABM ≌△ADN ，∴∠BAM ＝∠DAN . ∵∠MAN ＝45°，∴∠BAM ＋∠DAN ＝45°，∴∠BAM ＝22.5°． 05. 解：（1）∵直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴，y 轴相交于 A ，B 两点，∴A （5，0），B （0，10），∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为 y ＝ax 2＋bx ， ∵抛物线过点 B （0，10），C （8，4），⎧a = 1 ⎧25a + 5b = 0 ⎪ 6 ∴ ⎨64a + 8b = 4 ，∴⎨ 5 ， ⎩ ⎪b = -⎩ 6 ∴抛物线解析式为 y ＝ 1 x 2－ 5x . 6 6∵A （5，0），B （0，10），C （8，4），图 1 ∴AB 2＝52＋102＝125，BC 2＝82＋(8－5)2＝100，AC 2＝42＋(8－5)2＝25， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形． （2） 方法 1：如图 1，当 P ，Q 运动 t 秒， 即 OP ＝2t ，CQ ＝10－t 时，PA ＝QA .由（1）知 AC ＝OA ，∠ACQ ＝∠AOP ＝90°，2 2yBl ECQ 1 F A Q 2 OxPy B QPCO Ax⎩ ⎪ ⎧ AC = OA在 R t △AOP 和R t △ACQ 中， ⎨PA = QA ， ∴R t △AOP ≌R t △ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，∴t ＝ 10，3∴当运动时间为10时，PA ＝QA .3方法 2：分别过 C 、Q 作 CD 、QE 垂直于 y 轴，垂足分别为 D 、E . ∵P 、Q 的运动时间为 t 秒，∴BQ ＝t ，OP ＝2t ，CD ＝8. 设 Q 点的坐标是（m ，n ），∴QE ＝m .∵CD ⊥y 轴，QE ⊥y 轴，∴CD ∥QE ，∴△BQE ∽△BCD ， QE BQ m t 4∴ = ，即 = ，∴ m = t . CD BC 8 10 5 设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ，⎧b = 10 则⎨ ⎧k = - ，解得⎨3 4 ，∴直线 BC 的解析式为 y = - 3 x + 10 . 图 2⎩8k + b = 4 ⎪⎩b = 104 ∵点 Q 在 BC 上，∴ n = - 3 ⨯ 4 t + 10 = - 3t + 10 ，4 5 5∴Q 点的坐标是（ 4 t ， - 3t + 10 ），5 5∴QA 2 = (- 3 t + 10)2 + (5 - 4t )2 = t 2 - 20t + 125 . 5 5又∵OP ＝2t ，∴ PA 2 = (2t )2 + 25 = 4t 2+ 25 .∵PA ＝QA ，∴ t 2 - 20t + 125 = 4t 2 + 25 ，即3t 2 + 20t -100 = 0 ，解得t = 10， t = -10 （不合题意，舍去）.132 因此，当 t 为10秒时，PA ＝QA .3（3） 存在. 由（1）知抛物线的对称轴是直线 x = 5.2设点 M 的坐标为（ 5，m ）.2 5 2 2①若 BM ＝BA 时，∴( 2) ＋(m －10) ＝125，∴m 1＝ 20 + 5 19 ，m 2＝ 20 - 5 19 ，2 2 ∴M （ 5 ， 20 + 5 19 ），M （ 5 ， 20 - 5 19 ），2 2 2 2 2②若 AM ＝AB 时，∴( 52)2＋m 2＝125，∴m ＝ 5 19 ，m ＝－ 5 19， 342 2图 3∴M 3（ 5 ， 5 19 ），M 4（ 5 ，－ 5 19），2 2 2 2y BE P DQC OA xy M 1M 3 BMCOM 2AxM 4 1⎨ ⎩△ACD③若 MA ＝MB 时，∴( 5 －5)2＋m 2＝( 5 2 2 ∴m ＝5，∴M （ 5，5），2)2＋(10－m )2，此时点 M 恰好是线段 AB 的中点，构不成三角形，舍去，∴点 M 的坐标为：M 1（ 5 ， 20 + 5 19 ），M 2（ 5 ， 20 - 5 19），2 2 2 2M 3（ 5 ， 5 19 ），M 4（ 5 ，－ 5 19 ）.2 2 2 206. 解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴AC ＝10. 1 5APD①当 AP ＝PO ＝t ，如图 1，过 P 作 PM ⊥AO ，∴AM ＝ AO ＝ .2 2∵∠PMA ＝∠ADC ＝90°，∠PAM ＝∠CAD ，∴△APM ∽△ADC ， ∴ AP = AM ，∴AP ＝t ＝ 25 . AC AD 8②当 AP ＝AO ＝t ＝5，∴当 t 为 25或 5 时，△AOP 是等腰三角形.8B E C（2）作EH ⊥AC 于 H ，QM ⊥AC 于 M ，DN ⊥AC 于 N ，交 QF 于 G ， P⎧∠PAO = ∠ECO 在△APO 与△CEO 中， ⎪AO = OC， ⎪∠AOP = ∠COE ∴△AOP ≌△COE ，∴CE ＝AP ＝t .∵△CEH ∽△CAB ，∴ EH = CE ，∴EH ＝ 3t . B ECAB AC 5∵DN ＝ AD ⋅ CD ＝ 24，∵QM ∥DN ，∴△CQM ∽△CDN ，AC QM CQ 5QM = 6 - t ∴ = ，即 DN CD24 6 ，5∴QM ＝ 24 - 4t ，∴DG ＝ 24 -24 - 4t = 4t .5 5 2 5∵FQ ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ，∴ FQ = DG ，∴FQ ＝ 5t， OC DN 6∴S 五边形 OECQF ＝S △OEC ＋S 四边形 OCQF＝ 1 ×5× 3t ＋ 1 ( 5t ＋5)· 24 - 4t ＝－ 1 t 2＋ 3 t ＋12， 2 5 2 6 5 3 2∴S 与 t 的函数关系式为 S ＝－ 1 t 2＋ 3t ＋12（0＜t ＜6）.3 2（3）存在. ∵S ＝ 1 ×6×8＝24， 2∴S ：S ＝(－ 1 t 2＋ 3 t ＋12)：24＝9：16，解得 t ＝ 3，t ＝3，五边形 OECQF △ACD∴t ＝ 3 或 t ＝3 时，S ：S ＝9：16.五边形 OECQF △ACD（4）如图 3，过 D 作 DM ⊥AC 于 M ，DN ⊥AC 于 N ，∵∠POD ＝∠COD ，QFMOFGON H MQ3 2 22⎩ ∴DM ＝DN ＝ 24 ，∴ON ＝OM ＝ 5 = 7.5 A P DOP •DM 3PD OP 5 5 tPM18 5t . ∵ ＝ ，∴ ＝ － ，∴ ＝ － 8 5 8 PD 2 PM 2 DM 2 (8 t )2 ( 18 5t )2( 24 )2 ∵ ＝ ＋ ，∴ － ＝ － ＋， 5 8 5解得 t ＝16（不合题意，舍去），t ≈2.87，∴当 t ＝2.87 时，OD 平分∠COP ． 07. 解：（1）∵抛物线y ＝ax 2－6ax ＋c （a ＞0）的顶点 A 在 x 轴上 ∴配方得 y ＝a (x －3)2－9a ＋1，则有－9a ＋1＝0，解得 a ＝ 1.9∴A 点坐标为（3，0），抛物线m 的解析式为 y ＝ 1 x 2－ 2x ＋1. B E C 9 3（2） ∵点 B 关于对称轴直线 x ＝3 的对称点 B ′为（6，1） ∴连接 EB ′交 l 于点 P ，如图所示设直线 EB ′的解析式为 y ＝kx ＋b ， 把（－7，7），（6，1）代入， ⎧6 yl ⎧-7k + b = 7 ⎪k = - 13 n m 得⎨6k + b = 1 ，解得⎨ ， ⎪b = 49E ⎩ 13 则函数解析式为y ＝－ 6 x ＋ 49 . P 13 13 31 F31B B ′ 把 x ＝3 代入，解得 y ＝ ，∴点 P 坐标为（3， ）. 13 13（3） ∵y ＝－ 1 x ＋ 7与 x 轴交于点 D ，∴点 D 坐标为（7，0），O A Dx 2 2 ∵y ＝－ 1 x ＋ 7与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F ，∴点 F 坐标为（3，2）.2 2求得 FD 的直线解析式为 y ＝－ 1 x ＋ 7，2 2若以 FQ 为直径的圆经过点 D ，可得∠FDQ ＝90°，则 DQ 的直线解析式的 k 值为 2，设 DQ 的直线解析式为 y ＝2x ＋b ，把（7，0）代入解得 b ＝－14， 则 DQ 的直线解析式为 y ＝2x －14， 设点 Q 的坐标为（a ， 1 a 2 - 2 a + 1 ），把点Q 代入 y ＝2x －14， 9 3得 1 a 2 - 2a + 1 ＝2a －14，解得 a 1＝9，a 2＝15． 9 3 ∴点 Q 坐标为（9，4）或（15，16）． 08.（1）证明：作 DF ∥BC 交 AC 于 F ，如图， 则∠ADF ＝∠ABC ，∠AFD ＝∠ACB ，∠FDC ＝∠DCE ，∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠DBE ＝120°，∠ADF ＝∠AFD ＝60°＝∠A ，A D F OD 2 - DN 2 M F O N Q ⎪2 BC D⎨ ⎩⎨ ⎩ ⎨A DF∴△ADF 是等边三角形，∠DFC ＝120°，∴AD ＝DF . ∵∠DEC ＝∠DCE ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD .⎧∠DEC = ∠FDC 在△DBE 和△CFD 中， ⎪∠DBE = ∠DFC = 120︒ ，⎪ED = CD ∴△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB ＝DF ，∴EB ＝AD . （2） 解：EB ＝AD 成立. 理由如下：作 DF ∥BC 交 AC 的延长线于 F ，如图，同（1）得：AD ＝DF ，∠FDC ＝∠ECD ，∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ，⎧∠DEC = ∠FDC 又∵∠DBE ＝∠DFC ＝60°，∴在△DBE 和△CFD 中， ⎪∠DBE = ∠DFC ，⎪ED = CD ∴△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB ＝DF ，∴EB ＝AD .（3） 解： EB＝ AD. 理由如下：作 DF ∥BC 交 AC 于 F ，如图，同（1）得：△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB ＝DF .E∵△ABC 是等腰直角三角形，DF ∥BC ，∴△ADF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝ AD ，∴ DF ＝ AD ，∴ EB＝ . FAD09. 解：（1）∵抛物线的解析式为y ＝－ 3 [(x －2)2＋n ]＝－ 3 (x －2)2－ 3n ， 5 5 5∴抛物线的对称轴为直线 x ＝2， ∵点 A 和点 B 为对称点，∴2－(m －2)＝2m ＋3－2，解得 m ＝1，∴A （－1，0），B （5，0）. 把 A （－1，0）代入 y ＝－ 3[(x －2)2＋n ]得 9＋n ＝0，解得 n ＝－9；5（2）作 ND ∥y 轴交 BC 于 D ，抛物线解析式为 y ＝－ 3 [(x －2)2－9]＝－ 3 x 2＋ 12x ＋3，5 5 5当 x ＝0 时，y ＝3，则 C （0，3），设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b ， ⎧5k + b = 0⎧k = - 3把 B （5，0），C （0，3）代入得 ⎩b = 3 ∴直线 BC 的解析式为 y ＝－ 3x ＋3，5⎪ ，解得⎨ 5 ， ⎪⎩b = 3设 N （x ，－ 3 x 2＋ 12 x ＋3），则 D （x ，－ 3x ＋3），5 5 5 ∴ND ＝－ 3 x 2＋ 12 x ＋3－(－ 3 x ＋3)＝－ 3x 2＋3x ，5 5 5 5∴S ＝S＋S ＝ 1 •5•ND ＝－ 3 x 2＋ 15 x ＝－(x － 5 )2＋ 75 ， △NBC △NDC△NDB2 2 2 82 22 y NCA DBO x232 + 52 34 34 3434 34 - t 342 yA O C xM F PQ⎩ ⎩ 当 x ＝ 5 时，△NBC 面积最大，最大值为 75 ；2 8（3）存在．∵B （5，0），C （0，3），∴BC ＝ = .当∠PMB ＝90°，则∠PMC ＝90°，△PMC 为等腰直角三角形，MP ＝MC ， 设PM ＝t ，则 CM ＝t ，MB ＝ －t ， ∵∠MBP ＝∠OBC ，∴△BMP ∽△BOC ，∴PM = BM = BP ， 即 t = 34 - t = BP ，解得 t ＝ 3 34 ，BP ＝ 17 ， OC OB BC 3 5 8 4 ∴OP ＝OB －BP ＝5－ 17 ＝ 3 ，此时 P 点坐标为（ 3，0）；4 4 4当∠MPB ＝90°，则 MP ＝MC ， 设 PM ＝t ，则 CM ＝t ，MB ＝ －t ， ∵∠MBP ＝∠CBO ，∴△BMP ∽△BCO ，∴ MP = BM = BP ， 即 t = = BP ，解得 t ＝ 102 - 9 34 ，BP ＝ 34 - 3 34 ，OC BC BO 3 5 25 5 ∴OP ＝OB －BP ＝5－ 34 - 3 34 ＝ 3 ，此时 P 点坐标为（ 3 34 - 9，0）；5 4 5综上所述，P 点坐标为（ 3 34 - 9，0）或（ 3 ，0）．54 10. 解（1）∵x 2＋4x ＋3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝－3.∵m ，n 是一元二次方程 x 2＋4x ＋3＝0 的两个实数根，且｜m ｜＜｜n ｜，∴m ＝－1，n ＝－3，∵抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （m ，0），B （0，n ），⎧1 - b + c = 0 ⎧b = -2 2－2∴ ⎨c = -3 ，∴ ⎨c = -3 ，∴抛物线解析式为 y ＝x x －3.（2）令 y ＝0，则 x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3，∴C （3，0）. ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标 D （1，－4）. 过点 D 作 DE ⊥y 轴，∵OB ＝OC ＝3，∴BE ＝DE ＝1， ∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝∠DBE ＝45°，∴∠CBD ＝90°， ∴△BCD 是直角三角形.（3）∵B （0，－3），C （3，0），∴直线 BC 解析式为 y ＝x －3. ∵点 P 的横坐标为 t ，PM ⊥x 轴，∴点 M 的横坐标为 t . ∵点 P 在直线 BC 上，点 M 在抛物线上， ∴P （t ，t －3），M （t ，t 2－2t －3），过点 Q 作 QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形. ∵PQ ＝ ，∴QF ＝1，讨论：如图，当点 P 在点 M 上方时，即 0＜t ＜3 时， PM ＝t －3－(t 2－2t －3)＝－t 2＋3t ，∴S ＝ 1 PM ×QF ＝ 1 (－t 2－3t )＝－ 1 t 2＋ 3 t ；2 2 2 2如图 3，当点 P 在点 M 下方时，即 t ＜0 或 t ＞3 时， PM ＝t 2－2t －3－(t －3)，- 17 -yA O C xB E Dy A OC xQ P FBMD7 7 7 3＋ 41 3－ 41∴S ＝ 1 PM ×QF ＝ 1 (t 2－3t )＝ 1 t 2－ 3 t .2 2 2 211. 解：（1）令 y ＝0 得－ 1 x 2－ 1x ＋2＝0，∴x 2＋2x －8＝0，x ＝－4 或 2，4 2∴点 A 坐标（2，0），点 B 坐标（－4，0），令 x ＝0，得 y ＝2，∴点 C 坐标（0，2）．（2） 由图象可知 AB 只能为平行四边形的边，∵AB ＝EF ＝6，对称轴 x ＝－1，∴点 E 的横坐标为－7 或 5，∴点 E 坐标（－7，－ 27 ）或（5，－ 27 ），此时点 F （－1，－ 27），4 4 4∴以 A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积＝6× 27 ＝ 81．4 2y（3） 如图，①当 C 为顶点时，CM 1＝CA ，CM 2＝CA ，作 M 1N ⊥OC 于 N ，M 1N在 Rt △CM 1N 中，CN ＝ ∴点 M 1 坐标（－1，2＋ = ， ），点 M 2 坐标（－1，2－ ）． C②当 M 3 为顶点时，∵直线 AC 解析式为 y ＝－x ＋1， 线段 AC 的垂直平分线为 y ＝x ， ∴点 M 3 坐标为（－1，－1）． ③当点 A 为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点 M 坐标为（－1，－1）或（－1，2＋B）或（－1，2－ ）．AM 2 OxM 312. 解：（1）∵□ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A ′B ′OC ′，点 A 的坐标是（0，4），∴点 A ′的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（1，4）. ∵抛物线过点 C ，A ，A ′，设抛物线的函数解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），⎧⎪a －b ＋c ＝0 ⎧⎪a ＝－1 可得⎨c ＝4 ，解得⎨b ＝3 ，⎪⎩16a ＋ 4b ＋c ＝0 ⎪⎩c ＝4 ∴抛物线的函数解析式为 y ＝－x 2＋3x ＋4.（2） 连接 AA ′，设直线 AA ′的函数解析式为 y ＝kx ＋b ，⎧0＋b ＝4 ⎧k ＝－1 可得⎨ ，解得⎨ .⎩14k ＋b ＝0 ⎩b ＝4∴直线 AA '的函数解析式是 y ＝－x ＋4.设 M （x ，－x 2＋3x ＋4）， S ＝1 －x 2＋3x ＋4－(－x ＋4)]＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8.△AMA ′2×4×[ ∴x ＝2 时，△AMA ′的面积最大 S △AMA ′＝8，∴M （2，6）. （3） 设 P 点的坐标为（x ，－x 2＋3x ＋4），当 P 、N 、B 、Q 构成平行四边形时， ①当 BQ 为边时，PN ∥BQ 且 PN ＝BQ ， ∵BQ ＝4，∴－x 2＋3x ＋4＝±4. 当－x 2＋3x ＋4＝4 时，x 1＝0，x 2＝3，即 P 1（0，4），P 2（3，4）；当－x 2＋3x ＋4＝－4 时，x 3＋ 41 x3－ 41 3＝即 P 3（ 2 ，－4），P 4（ 2 ， 4＝ 2 ， 2 ，－4）； ②当 BQ 为对角线时，PB ∥x 轴，即 P 1（0，4），P 2（3，4）；当这个平行四边形为矩形时，即 P l （0，4），P 2（3，4）时，N 1（0，0），N 2（3，0）.CM 2 - M N 21 17 73＋ 413－ 41 PN 2 + PM 2 m 2 + (- 3 m + 9)2 2 13 (m - 54)2 + 3244 13 13综上所述，当 P l （0，4），P 2（3，4），P 3（ 2 ，－4），P 4（ 2 ，－4）时， P 、N 、B 、Q 构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N 1（0，0），N 2（3，0）.13. 解：（1）∵过 B ，C ，D 三点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点 C 的横坐标为 4，BC ＝4，∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ＝4.∵A （2，6），∴D （6，6）.设抛物线解析式为 y ＝a (x －2)2＋2，∵点 D 在此抛物线上，∴6＝a (6－2)2＋2，∴a ＝ 1，4∴抛物线解析式为 y ＝ 1 (x －2)2＋2＝ 1x 2－x ＋3.4 4（2）∵AD ∥BC ∥x 轴，且 AD ，BC 间的距离为 3，BC ，x 轴的距离也为 3，F （m ，6），∴E （ π ，3），∴BE ＝ π ，∴S ＝ 1 (AF ＋BE )×3＝ 1 (m －2＋ π )×3＝ 9 m －3.2 2 2 2 2 4 ∵点 F （m ，6）是线段 AD 上，∴2≤m ≤6，即 S ＝ 9 m －3．（2≤m ≤6）4（3）∵抛物线解析式为 y ＝ 1x 2－x ＋3，∴B （0，3），C （4，3）.4∵A （2，6），∴直线 AC 解析式为 y ＝－ 3x ＋9.2∵FM ⊥x 轴，垂足为 M ，交直线 AC 于 P∴P （m ，－ 3 m ＋9）（2≤m ≤6），∴PN ＝m ，PM ＝－ 3m ＋9.2 2∵FM ⊥x 轴，垂足为 M ，交直线 AC 于 P ， 过点 P 作 PN ⊥y 轴，∴∠MPN ＝90°，∴MN ＝ = = .∵2≤m ≤6，∴当 m ＝ 54时，MN 13最大＝ ＝ 18 13 ．13 14. 解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （－2，0），点 B （4，0），点 D （2，4），∴设抛物线解析式为 y ＝a （x ＋2）（x －4），∴－8a ＝4，∴a ＝－ 1，2∴抛物线解析式为 y ＝－ 1 (x ＋2)(x －4)＝－ 1x 2＋x ＋4.2 2 （2） 如图 1，①点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记 E ′，连接 CE ′，过 E ′作 E ′F ′⊥CD ，垂足为 F ′， 由（1）知，OC ＝4，∵∠ACO ＝∠E ′CF ′，∴tan ∠ACO ＝tan ∠E ′CF ′，∴AO = E 'F ' = 1. CO CF ' 2设线段 E ′F ′＝h ，则 CF ′＝2h ，∴点 E ′（2h ，h ＋4）. ∵点 E ′在抛物线上，∴－ 1 (2h )2＋2h ＋4＝h ＋4，2324 13 yE ′ C D FF ′E A BOx2 2 2 2 ∴h ＝0（舍），h ＝ 1 ，∴E ′（1， 9）.2 2②点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记 E ，同①的方法得，E （3， 5），2 点 E 的坐标为（1， 9 ），（3， 5）.2 2（3） ①CM 为菱形的边，如图 2，在第一象限内取点 P ′，过点 P ′作 P ′N ′∥y 轴，交 BC 于 N ′，过点 P ′作 P ′M ′∥BC ，交 y 轴于 M ′， ∴四边形 CM ′P ′N ′是平行四边形.∵四边形 CM ′P ′N ′是菱形，∴P ′M ′＝P ′N ′. 过点 P ′作 P ′Q ′⊥y 轴，垂足为 Q ′，∵OC ＝OB ，∠BOC ＝90°，∴∠OCB ＝45°，∴∠P ′M ′C ＝45°. P ′ m 1 m 2 m 4 设 点 （ ，－ 2＋ ＋ ），在Rt △P ′M ′Q ′中，P ′Q ′＝m ，P ′M ′＝ m ， ∵B （4，0），C （0，4），∴直线 BC 的解析式为 y ＝－x ＋4， ∵P ′N ′∥y 轴，∴N ′（m ，－m ＋4），∴P ′N ′＝－ 1 m 2＋m ＋4－(－m ＋4)＝－ 1m 2＋2m ，2 2 ∴ m ＝－ 1m 2＋2m ，∴m ＝0（舍）或m ＝4－2 ， 2菱形 CM ′P ′N ′的边长为 (4－2 )＝4 －4．②CM 为菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点 P ，过点 P 作 PM ∥BC ，交 y 轴于点 M ，连接 CP ，过点 M 作 MN ∥CP ，交 BC 于 N ， ∴四边形 CPMN 是平行四边形，连接 PN 交 CM 于点 Q ， ∵四边形 CPMN 是菱形，∴PQ ⊥CM ，∠PCQ ＝∠NCQ . ∵∠OCB ＝45°，∴∠NCQ ＝45°，∴∠PCQ ＝45°， ∴∠CPQ ＝∠PCQ ＝45°，∴PQ ＝CQ .设点 P （n ，－ 1 n 2＋n ＋4），∴CQ ＝n ，OQ ＝n ＋2，2 ∴n ＋4＝－ 1n 2＋n ＋4，∴n ＝0（舍），∴此种情况不存在．2∴菱形的边长为4 －4． 15. 解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点 A （－3，0），B （9，0）和 C （0，4）．∴设抛物线的解析式为 y ＝a (x ＋3)(x －9).∵C （0，4）在抛物线上，∴4＝－27a ，∴a ＝－ 4，27∴设抛物线的解析式为 y ＝－ 4 27 ∵CD 垂直于 y 轴，C （0，4）(x ＋3)(x －9)＝－ 4 27 x 2＋ 8x ＋4，9∴－ 4 27 x 2＋ 8x ＋4＝4，∴x ＝6，∴D （6，4）.92 2 2 yQMPN CDABOxyM ′ Q ′ P ′CDN ′ ABOx⎪⎩ ⎩ ⎩⎪ （2）如图 1，∵点 F 是抛物线 y ＝－ 4 27 x 2＋ 8x ＋4 的顶点，9∴F （3， 16 ），∴FH ＝ 4.3 3GH =FH4 ∵GH ∥A 1O 1，∴ AO FG ，∴ GH = 3 ，∴GH ＝1.1 13 4∵Rt △A 1O 1F 与矩形 OCDE 重叠部分是梯形 A 1O 1HG ，∴S ＝S－S ＝ 1 A O ×O F － 1 GH ×FH ＝ 1 ×3×4－ 1 ×1× 4 ＝ 16． 重叠部分 △A 1O 1F △FGH 2 1 1 1 22 23 3（3）①当 0＜t ≤3 时，如图 2，∵C 2O 2∥DE ，O G OO O G t 2 ∴ 2 = 2 ，∴ 2= ，∴O 2G ＝ t ，DE OE 4 6 3 ∴S ＝S ＝ 1 OO ×O G ＝ 12 ＝ 1 t 2，△OO 2G 2 2 2t × t 2 3 3 ②当 3＜t ≤6 时，如图 3，∵C 2H ∥OC ， ∴ DC 2 = C 2 H ，∴ 6 - t = C 2 H ，∴C 2H ＝ 2(6－t )， CD OC 6 4 3∴S ＝S 四边形 A 2O 2HG ＝S △A 2O 2C 2－S △C 2GH＝ 1 OA ×OC － 12 2C 2H ×(t －3) ＝ 1 ×3×4－ 1 × 2 2 2(6－t )(t －3) 3 ＝ 1t 2－3t ＋12 3∴当 0＜t ≤3 时，S ＝ 1 t 2，当 3＜t ≤6 时，S ＝ 1t 2－3t ＋12．3 ⎧- b 3 = -1 ⎪ 2a ⎧a = -1⎪ 16. 解：（1）依题意得： ⎨a + b + c = 0，解得⎨b = -2 ，⎪c = 3 ⎩∴抛物线解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.⎪c = 3∵对称轴为 x ＝－1，且抛物线经过 A （1，0），∴把 B （－3，0）、C （0，3）分别代入直线 y ＝mx ＋n ， ⎧-3m + n = 0 得⎨n = 3 ⎧m = 1 ，解得⎨n = 3 ，∴直线 y ＝mx ＋n 的解析式为 y ＝x ＋3.（2）设直线 BC 与对称轴 x ＝－1 的交点为 M ，则此时 MA ＋MC 的值最小． 把 x ＝－1 代入直线 y ＝x ＋3 得，y ＝2，∴M （－1，2），即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为（－1，2）. （3）设 P （－1，t ），又∵B （－3，0），C （0，3），∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10， ①若点 B 为直角顶点，则 BC 2＋PB 2＝PC 2， 即 18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得 t ＝－2；3 - 17 6 + 2 5 2 5⎩⎨ ②若点C 为直角顶点，则 BC 2＋PC 2＝PB 2， y 即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得 t ＝4， P③若点P 为直角顶点，则 PB 2＋PC 2＝BC 2， PC即 4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得 t 1＝ 3 + 217 ，t 2＝ 3 - 2 17 ；M综上所述 P 的坐标为（－1，－2）或（－1，4）或BAOx（－1， 2 ） 或（－1， ）． P217. 解：（1）把 A （－1，0），B （4，0），C （－2，－3）代入 y = ax 2 + bx + c 中， P⎧a = - 1 ⎪⎧a - b + c = 0 ⎪ 得⎪ ⎪ 3⎨16a + 4b + c = 0 ，解得⎨b = 2 ， ⎪4a - 2b + c = -3 ⎪ ⎪c = 2 ⎪⎩ 故二次函数的解析式为 y = - 1 x 2 + 3x + 2 .2 2（2） 设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ，⎧4k + b = 0 ⎧k = 1 1 则⎨-2k + b = -3 ，解得⎪ 2 ，∴ y = x - 2 . 2 ⎪⎩b = -2设点 E （m ， - 1 m 2 + 3m + 2 ）， -2 < m < 4 ， 2 2 则点 G （ -m 2 + 3m + 8 ， - 1 m 2 + 3m + 2 ）， 2 2∴ EG = (-m 2 + 3m + 8) - m = -m 2 + 2m + 8 . 易证△EFG ∽△DOB ，则△EFG 的周长 C与△DOB 的周长 C满足 C ∆EFG= EG ，易知 OD ＝2，OB ＝4，BD ＝ 2 △EFG，∴C ∆EFG= -m 2 + 2m + 8△DOB， C ∆DOB DB∴ C ∆EFG =3 5 + 5 (-m 2 + 2m + 8) = 3 5 + 5[-(m -1)2 + 9]. 5 5∴当 m ＝1 时，△EFG 的周长最大，最大值是 27 5 + 45 .5（3） 假设存在点 E ，使得△EDB 是以 BD 为直角边的直角三角形，设 E （a ， - 1 a 2 + 3a + 2 ）. 2 2 ①若∠EBD ＝90°，如图 1，过点 E 作 EF ⊥x 轴，垂足为 F ，则∠FBE ＋∠BEF ＝∠FBE ＋∠DBO ＝90°， ∴∠BEF ＝∠DBO ，∴△BEF ∽△DBO ，- 1 a 2 + 3a + 2 ∴ EF = BF ，∴ 22 = 4 - a，解得 a ＝3 或 a ＝4（舍去）， BO DO 4 2 此时 E （3，2）.3 + 17 5 yEAB OFxCD ⎩ 2②若∠EDB ＝90°，如图 2，过点 E 作 EF ⊥y 轴，垂足为 F ， 同理可得△DEF ∽△BDO ，-- 1 a 2 + 3 a + 2 - (-2) ∴ EF = DF ，∴ a = 2 2 ， DO BO 2 4 解得 a ＝－1 或 a ＝8，此时 E （－1，0）或 E （8，－18）. 故存在满足条件的点 E ， 点 E 的坐标为（3，2），（－1，0），（8，－18）.。
2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编(第一辑)第24章+圆
2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）第24章圆一．选择题（共20小题）1．（2016•台湾）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（）A．4.5 B．6 C．8 D．92．（2016•荆门）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm3．（2016•无锡）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（）A．24cm2B．48cm2C．24πcm2D．12πcm24．（2016•泉州）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3 B．6 C．3π D．6π5．（2016•贵港）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是（）A．B．C．D．6．（2016•十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm7．（2016•贺州）已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（）A．2 B．4 C．6 D．88．（2016•宁波）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm29．（2016•自贡）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2D．（4+16）πcm210．（2016•桂林）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB 绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．π B．C．3+π D．8﹣π11．（2016•内江）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4 B．C．π﹣2 D．12．（2016•资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π13．（2016•深圳）如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣414．（2016•新疆）一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（）A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm15．（2016•玉林）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（）A．B．C．D．116．（2016•宜宾）半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（）A．3π B．6π C．9π D．12π17．（2016•青岛）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm218．（2016•吉林）如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（）A．B．C．D．19．（2016•重庆）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+20．（2016•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）第24章圆参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2016•台湾）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（）A．4.5 B．6 C．8 D．9【分析】由水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，于是得到水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a=3a，根据原有的水量为3a×12=36a，即可得到结论．【解答】解：∵水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，∴水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a=3a，∵原有的水量为3a×12=36a，∴水桶内的水面高度变为=9（公分）．故选D．【点评】本题考查了圆柱的计算，正确的理解题意是解题的关键．2．（2016•荆门）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm【分析】圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．【解答】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=45°，AC=2AD，∴AC=2（OA×cos45°）=12cm，∴=6π∴圆锥的底面圆的半径=6π÷（2π）=3cm．故选C．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．3．（2016•无锡）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（）A．24cm2B．48cm2C．24πcm2D．12πcm2【分析】根据圆锥的侧面积=×底面圆的周长×母线长即可求解．【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，侧面面积=×8π×6=24π（cm2）．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是了解圆锥的有关元素与扇形的有关元素的对应关系．4．（2016•泉州）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3 B．6 C．3π D．6π【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．【解答】解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，∴2πr=，解得r=3．故选A．【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．5．（2016•贵港）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的圆心角的度数和直径BC的长确定扇形的半径，然后确定扇形的弧长，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列式求解即可．【解答】解：如图，连接AO，∠BAC=120°，∵BC=2，∠OAC=60°，∴OC=，∴AC=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr==π，解得：r=，故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长，难度不大．6．（2016•十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（2016•贺州）已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径（即圆锥的母线的长度）求得的弧长，就是圆锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式l=2πr解出r的值即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r．圆锥的侧面展开扇形的半径为12，∵它的侧面展开图的圆心角是120°，∴弧长==8π，即圆锥底面的周长是8π，∴8π=2πr，解得，r=4，∴底面圆的直径为8．故选D．【点评】本题考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8．（2016•宁波）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【解答】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．9．（2016•自贡）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2D．（4+16）πcm2【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．10．（2016•桂林）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB 绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．π B．C．3+π D．8﹣π【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，∴AB==，由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，∴DH=OB=2，阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+﹣=8﹣π，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S=和旋转的性质是解题的关键．11．（2016•内江）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4 B．C．π﹣2 D．【分析】先证得三角形OBC是等腰直角三角形，通过解直角三角形求得BC和BC 边上的高，然后根据S阴影=S扇形OB C﹣S△OB C即可求得．【解答】解：∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，∴△OBC是等腰直角三角形，∵OB=2，∴△OBC的BC边上的高为：OB=，∴BC=2∴S阴影=S扇形OB C﹣S△OB C=﹣×2×=π﹣2，故选C．【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=（n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了等腰直角三角形三边的关系和三角形的面积公式．12．（2016•资阳）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π【分析】根据点D为AB的中点可知BC=BD=AB，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由锐角三角函数的定义求出BC的长，根据S阴影=S△AB C﹣S扇形C B D即可得出结论．【解答】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2，∴BC=AC•tan30°=2•=2，∴S阴影=S△AB C﹣S扇形C B D=×2×2﹣=2﹣π．故选A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及直角三角形的性质是解答此题的关键．13．（2016•深圳）如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°，∴OC==4，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积=×π×42﹣×（2）2=2π﹣4．故选：A．【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．14．（2016•新疆）一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（）A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm【分析】根据扇形的面积公式：S=代入计算即可解决问题．【解答】解：设扇形的半径为R，由题意：3π=，解得R=±3，∵R＞0，∴R=3cm，∴这个扇形的半径为3cm．故选B．【点评】本题考查扇形的面积公式，关键是记住扇形的面积公式：S==LR（L 是弧长，R是半径），属于中考常考题型．15．（2016•玉林）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（）A．B．C．D．1【分析】先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和，根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和，再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即可求解．【解答】解：∵正八边形的内角和为（8﹣2）×180°=6×180°=1080°，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8﹣1080°=2880°﹣1080°=1800°，∴==．故选：B．【点评】考查了扇形面积的计算，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．16．（2016•宜宾）半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（）A．3π B．6π C．9π D．12π【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可．【解答】解：S==12π，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．17．（2016•青岛）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm2【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．【解答】解：∵AB=25，BD=15，∴AD=10，∴S贴纸=﹣=175πcm2，故选A．【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一般．18．（2016•吉林）如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（）A．B．C．D．【分析】利用扇形的面积公式分别求出两个扇形的面积，再用较大面积减去较小的面积即可．【解答】解：﹣=，故选B．【点评】此题主要考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）是解答此题的关键．19．（2016•重庆）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△B OC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AC=BC=，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△B OC，OA=AC=1，∴S阴影部分=S扇形AOC==．故选A．【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．20．（2016•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】连接连接OD、CD，根据S阴=S△AB C﹣S△AC D﹣（S扇形OC D﹣S△OC D）计算即可解决问题．【解答】解：如图连接OD、CD．∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∵BC是切线．∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=4，AC=6，∴S阴=S△AB C﹣S△AC D﹣（S扇形OC D﹣S△OC D）=×6×2﹣×3×﹣（﹣×32）=﹣π．故选A．【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形30度角性质、等边三角形性质等知识，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．。
2016年重庆中考数学24题
ECBCE BBCDB CHGER C2013年重庆中考数学 24题专题练习1、如图，等腰梯形 ABCD 中，AD // BC , AB=DC , E 为AD 中点，连接 BE , CE(1) 求证：BE=CE ;(2) 若/ BEC=90，过点B 作BF 丄CD ，垂足为点F,交CE 于点G ,连接DG ，求证：BG=DG+CD .务2、如图，在直角梯形 ABCD 中，AD // BC ,Z ABC=90° , E 为AB 延长线上一点，连接 ED , 与BC 交于点H .过E 作CD 的垂线，垂足为 CD 上的一点F ，并与BC 交于点G .已知G 为4、如图.在平行四边形 ABCD 中，0为对角线的交点，点 E 为线段BC 延长线上的一点, 且」「丄过点E EF // CA ，交CD 于点F ,连接OF .5、如图，梯形 ABCD 中，AD // BC ,丄ABC=90° , BF 丄CD 于F ,延长BF 交AD 的延长线于 的延长线于 G ,且 DG=DE , AB= .., CF=6.■:E ,延长CD 交BA6、如图，直角梯形 ABCD 中，AD // BC ,Z B=90°, / D=45° .ABCD 的面积;(1) 若 AB=6cm ,'-，求梯形5(2)若E 、F 、G 、H 分别是梯形 ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，/ EFH= / FHG ，求证：HD=BE+BF ._CH 的中点.3、如图，梯形 ABCD 中，AB // CD , AD=DC=BC ，/ DAB=60° , E 是对角线 AC 延长线上 一点，F是AD 延长线上的一点，且 EB 丄AB , EF 丄AF .(1) 求证：OF // BC ;(2) 如果梯形 OBEF 是等腰梯形，判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明.7、已知：如图， ABCD 中，对角线 AC , BD 相交于点 0,延长CD 至F ,使DF=CD , 连接BF 交AD于点E .(1 )若 HE=HG ，求证：△ EBH ◎△ GFC ; (2 )若 CD=4 , BH=1，求 AD 的长.(1)求线段CD 的长; (2) H在边BF(1)求证：AE=ED ; (2)若(1 )当CE=1时，求△ BCE 的面积; (2)求证：BD=EF+CE .12、如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , AB=DC=AD , / C=60°, AE 丄 BD 于点 E ,F 是CD 的中点，DG 是梯形 ABCD 的高.(1) 求证：AE=GF ;(2) 设AE=1，求四边形 DEGF 的面积.13、已知，如图在直角梯形 ABCD 中，AD // BC ，/ ABC=90° 于点G ,交AB 的延长线于点 E ,且AE=AC ，连AG .(1)求证：FC=BE ;(2 )若 AD=DC=2，求 AG 的长.14、如图，直角梯形 ABCD 中，AD // BC ，/ ABC=90°，点 AB 边上一点，AE=BC , DE 丄EC ,取DC 的中点F ,连接AF 、(1) 求证：AD=BE ;(2) 试判断△ ABF 的形状，并说明理由.8、已知：如图，在正方形 ABCD 中，点G 是BC 延长线上一点，连接 交BD 、CD于点E 、F . (1 )求证：/ DAE= / DCE ;(2)当CG=CE 时，试判断CF 与EG 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论. AG ,9、如图，已知正方形 ABCD ，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接 EF , BE=DF ，点P是EF 的中点. (1) 求证：DP 平分/ ADC ; (2) 若/ AEB=75 , AB=2，求△ DFP 的面积. 10、如图，在直角梯形 ABCD 中，AD // BC ,/ ABC=90° , BD=BC , E 为CD 的中点，交 (1) 证明：EF=EA ; (2) 过D 作DG 丄BC 于G ,连接EG ,证明：EG 丄AF .11、如图，直角梯形 ABCD 中，/ DAB=90° , AB // CD , AB=AD , / ABC=60度.以AD 为边在直角梯形 ABCD 外作等 边三角形 ADF ，点E 是直角梯形 ABCD 内一点，且/ EAD= / EDA=15 , 连接EB 、EF . (1) 求证：EB=EF ; (2) 延长FE 交BC 于点G ,点G 恰好是BC 的中点，若 AB=6，求BC 的 长. ,DE 丄AC 于点F ,交BC .. BF. E 是(2)C15、(2011?潼南县)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB // CD , AD 丄DC ,AE 丄 BC . (1)求证：AD=AE ;(2 )若 AD=8 , DC=4，求 AB 的长. 且16、如图，已知梯形 ABCD 中，AD // CB , BD 平分/ ABC . (1)求证：AE 丄BD ; E , F 分别是BD , AC 的中点, (2 )若 AD=4 , BC=14，求EF 的长.17、如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，/ (1)求证：CD=BE ;(2 )若 AD=3 , DC=4，求 AE .D=90°, BE 丄AC , E 为垂足,18、如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , AB 丄AC , 长. 19、已知梯形 ABCD 中, (1) 求证：BF=EF - ED ;(2) 连接 AC ,若/ B=80° AD // BC , AB=BC=DC ，/ DEC=70，求/ ACF 的度数. ，点E 、F 分别在 AD 、 / B=45° AD=1 , BC=4 , AD // 20、如图，梯形 ABCD 中， EF .(1 )若 EF 丄 AF , AF=4 , AB=6 , (2)若点F 是CD 的中点，求证:求AE 的长. CE=BE - AD . BC ,点E 在BC 上, 21、如图，四边形 ABCD 为等腰梯形，AD // BC , AB=CD ，对角线AC 、BD 交于点_O ，且 AC 丄 BD , DH 丄 BC . (1)求证：DH= (AD+BC );2 求梯形ABCD 的面积. (2 )若 AC=6 , 22、已知，如图, G ,在GD 的延长线上取点 E ,使DE=DC ，连接AE , BD . 求证：△AGE ◎△ DAB ; 过点E 作EF // DB ，交BC 于点F ,连AF ，求/ AFE 的度数. △ ABC 是等边三角形，过 AC 边上的点 D 作DG // BC ,交AB 于占 J 八、、(1)23、如图，梯形 ABCD 中，AD // BC , DE=EC , EF // AB 交 BC 于点 F , EF=EC ,连 接DF .(1) 试说明梯形 ABCD 是等腰梯形；(2) 若AD=1，BC=3，DC=匚，试判断△ DCF 的形状；(3) 在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点 卩，使厶PCD 是等腰三角形，若存在， 请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由. 24、如图，在梯形 ABCD 中， 分别在AD 、DC 的延长线上，且 (1) 证明：△ ABE ◎△ DAF ; (2) 求/ BPF 的度数.25、 如图，在梯形 ABCD 中，AD //BC , AB=AD=DC , 长至点F ,使CF=CD .(1) 求/ ABC 的度数；(2) 如果 BC=8，求△ DBF 的面积？26、 如图，梯形 ABCD 中，AD // BC , AB=DC=10cm F 分别为CG 、AB 的中点.(1)求证：△ AGD 为正三角形； (2 )求EF 的长度.27、已知，如图， AD // BC ，/ ABC=90° , AB=BC ，点 E 连接ED ，过D 作DF 丄BC 于F .(1) 若/ BEC=75 , FC=3，求梯形 ABCD 的周长. (2) 求证：ED=BE+FC .28、(2005?镇江)已知：如图，梯形 ABCD 中，AD // BC , 交DA 的延长线于点F .(1)求证：△ BCE ◎△ AFE ；(2 )若 AB 丄 BC 且 BC=4 , AB=6，求 EF 的长.29、 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , BC=DC , CF 平分/ BCD , DF // AB , 的延长线交DC 于点E . 求证：(1) △ BFC ◎△ DFC ； (2) AD=DE ；(3 )若厶DEF 的周长为6, AD=2 , BC=5，求梯形ABCD 的面积.30、 如图，梯形 ABCD 中，AD // BC . / C=90°,且 AB=AD .连接 BD ，过 A 点作 BD 的垂线，交BC 于E .(1) 求证：四边形ABED 是菱形；(2) 如果EC=3cm , CD=4cm ，求梯形 ABCD 的面积.AD // BC , / ABC= / BCD=60° , AD=DC , E 、 DE=CF . AF 交 BE 于 P .参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD II BC, AB=DC , E为AD中点，连接BE, CE(1)求证：BE=CE ;(2)若/ BEC=90，过点B作BF丄CD，垂足为点F，交CE于点G,连接DG，求证：BG=DG+CD .证明：(1)已知等腰梯形ABCD中，AD II BC, AB=DC , E为AD中点，••• AB=DC，/ BAE= / CDE , AE=DE ,•••△BAE ◎△ CDE ,•BE=CE ;(2)延长CD和BE的延长线交于H ,•/ BF 丄CD，/ HEC=90 ,•••/ EBF+ / H= / ECH+ / H=90•••/ EBF= / ECH ,又/ BEC= / CEH=90 ,BE=CE (已证)，•••△BEG ◎△ CEH ,•EG=EH , BG=CH=DH+CD ,•/△ BAE ◎△ CDE (已证)，•••/ AEB= / GED ,/ HED= / AEB ,•••/ GED= / HED,又EG=EH (已证)，ED=ED ,•••△GED ◎△ HED,•DG=DH ,•- BG=DG+CD .2、如图，在直角梯形ABCD中，AD II BC , / ABC=90°, E为AB延长线上一点，连接ED ,与BC交于点H .过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F ,并与BC交于点G.已知G为CH的中点.(1 )若HE=HG ,求证：△ EBH ◎△ GFC ;(2 )若CD=4, BH=1 ,求AD 的长.(1)证明：T HE=HG ,•••/ HEG= / HGE ,•••/ HGE= / FGC , / BEH= / HEG ,•••/ BEH= / FGC,•/ G是HC的中点，• HG=GC ,••• HE=GC ,•••/ HBE= / CFG=90• △ EBH ◎△ GFC ;(2)解：T ED 平分/ AEF，/ A= / DFE=90 ,•AD=DF ,•/ DF=DC - FC,•/△ EBH ◎△ GFC ,•FC=BH=1 ,•AD=4 - 1=3.3、如图，梯形ABCD中，AB // CD , AD=DC=BC，/ DAB=60°, E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长点，且EB 丄AB , EF± AF .(2)求证：BD=EF+CE .(2)过E 点作EM 丄DB 于点M，四边形FDME 是矩形，FE=DM，/ BME= / BCE=90，/ BEC= / MBE=60 , △ BME ◎△ECB , BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE(1)解：T AD=CD ,•/ DAC= / DCA ,•/ DC // AB ,•/ DCA= / CAB ,•一」一二「丨1汁一一丨|'•/ DC // AB , AD=BC ,•/ DAB= / CBA=60 ,•/ ACB=180 -(/ CAB+ / CBA ) =90°,•/ BCE=180 -Z ACB=90 ,•/ BE 丄AB ,•Z ABE=90 ,•Z CBE= Z ABE -Z ABC=30 ,••• FE=DM ,•••/ BME= / BCE=90，/ BEC= / MBE=60 ,•△ BME ◎△ ECB ,•BM=CE ,•BD=DM+BM=EF+CE (10 分)4、如图.在平行四边形ABCD中，0为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且“■:.过点E2作EF// CA，交CD于点F,连接OF.(1)求证：OF // BC ;(2)如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明.A, _____________ D解答：(1)证明：延长EF交AD于G (如图)，在平行四边形ABCD中，AD // BC, AD=BC ,•/ EF // CA , EG // CA ,•四边形ACEG是平行四边形，• AG=CE ,•/ AD // BC ,•/ ADC= / ECF, 在厶CEF和厶DGF中，•••/ CFE= / DFG，/ ADC= / ECF, CE=DG ,•△ CEF◎△ DGF (AAS ),•CF=DF ,•••四边形ABCD是平行四边形，•OB=OD ,•OF // BE .(2)解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形. 证明：••• OF// CE , EF// CO, •四边形OCEF是平行四边形，•EF=OC ,又•••梯形OBEF是等腰梯形，•BO=EF,•OB=OC ,•••四边形ABCD是平行四边形，• AC=2OC , BD=2BO .•AC=BD ,•平行四边形ABCD是矩形.延长CD 交BA 的延长线于 G ,且DG=DE ，AB= 7，CF=6.H在边 B F 上，且"* † / E ，连接 CH ，求证：Z B CH =45 JEBC-(1)由/ ABC=90 , AD // BC 得/ GAD=90 , 又••• BF 丄 CD ,•••/ DFE=90又••• DG=DE ，/ GDA= / EDF , • △ GAD ◎△ EFD ,• DA=DF , 又••• BD=BD ,• Rt △ BAD 也 Rt △ BFD ( HL ),• BF=BA=坯讦，/ ADB= / BDF 又••• CF=6,又••• AD // BC , • / ADB= / CBD , • / BDF= / CBD , • C D=CB=8 .(2)证明：T AD // BC , • / E= / CBF ,•••/ HDF= / E,• / HDF= / CBF , 由(1)得，/ ADB= / CBD , † / HDB= / HBD , • H D=HB , 由(1)得 CD=CB ,5、如图，梯形 ABCD 中，AD // BC , / ABC=90° , BF 丄CD 于 F ,延长 BF 交 AD 的延长线于(2)解：连接BD ,求线段CD 的长;(1)"BD =/CDBCBD - HDF = CDB - CBH 即 BDH= HBDHB=HD•••△ CDH ◎△ CBH ,•••/ DCH= / BCH ,•••/ BCH= [/ BCD=「id .2 i-r/ B=90°, / D=45°. (1 )若 AB=6cm , '-)'，求梯形 5 (2)若 E 、F 、G 、H 分别是梯形 ABCD 的边 AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足 EF=GH ，/ EFH= / FHG ,ABCD 的面积;解：(1 )连AC ，过C 作CM 丄AD 于M ，如图，在 Rt △ ABC 中，AB=6 , sin /ACB= -匚=',AC 5 • AC=10 ,• B C=8,在 Rt △ CDM 中，/ D=45 ,• D M=CM=AB=6 ,• AD=6+8=14 ,•梯形 ABCD 的面积=? (8+14) ?6=66 (cm 2); 2(2)证明：过G 作GN 丄AD ，如图,•//D=45 ,•△DNG 为等腰直角三角6、如图，直角梯形 ABCD 中，AD // BC ,证：HD=BE+BF .(1) 求证：AE=ED ;(2) 若AB=BC ，求/ CAF 的度数.(1)证明：如图.•四边形ABCD 是平行四边形，• AB // CD , AB=CD .-DF=CD ,• AB // DF .-DF=CD ,•AB=DF .•四边形ABDF 是平行四边形,•AE=DE .(2)解：•••四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB=BC ,•四边形ABCD 是菱形.• AC 丄BD .•••/ COD=90 .•••四边形ABDF 是平行四边形，• AF // BD .• / CAF= / COD=90 .8、已知：如图，在正方形 ABCD 中，点G 是BC 延长线上一点，连接 AG ,分别交BD 、CD 于点E 、F(1 )求证：/ DAE= / DCE ;而/ EFH= / FHG ,:丄BFE= /GHN ,•/EF=GH ,7、已知：如图， ？ABCD 中，对角线 AC , BD 相交于点 0,延长 CD 至F ，使 DF=CD ，连接BF 交于点E.(1 )证明：在△ DAE和厶DCE中，/ ADE= / CDE (正方形的对角线平分对角)，ED=DE (公共边)，AE=CE (正方形的四条边长相等)，•••△DAE ◎△ DCE ( SAS),•••/ DAE= / DCE (全等三角形的对应角相等) ;(2)解：如图，由(1)知，△ DAE ◎△ DCE ,•AE=EC ,•••/ EAC= / ECA （等边对等角）；又••• CG=CE （已知），•••/ G= / CEG （等边对等角）;而/ CEG=2 / EAC （外角定理），/ ECB=2 / CEG （外角定理），•4 / EAC -Z ECA= / ACB=45 ,•••/ G= Z CEG=30 ;过点C作CH丄AG于点H ,•Z FCH=30 ,•••在直角△ ECH 中，EH= 7CH , EG=2 二CH ,在直角△ FCH 中，CH=——CF,2•EG=2 CF=3CF .29、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点.(1)求证：DP平分Z ADC ;(2)若/ AEB=75 , AB=2，求△ DFP 的面积.（1）证明：连接PC.T ABCD是正方形，•Z ABE= Z ADF=90 , AB=AD .•/ BE=DF ,•△ ABE ◎△ ADF . （SAS）•Z BAE= Z DAF , AE=AF .•Z EAF= Z BAD=90 .T P是EF的中点，•PA= EF, PC= EF,2 2• PA=PC.又AD=CD , PD公共，•••△ PAD◎△ PCD, （SSS）•••/ ADP= / CDP，即DP 平分/ ADC ;(2 )作PH丄CF于H点.T P是EF的中点，• PH= EC.2设EC=x.由(1)知厶EAF是等腰直角三角形, •••/ AEF=45 ,•••/ FEC=180 - 45° - 75° =60°,•EF=2x , FC=二x, BE=2 - x.在Rt△ ABE 中，22+ （2 - x）2= （—'：x）2解得X1= - 2 - 2 ■:（舍去），X2= - 2+2■:.•PH= - 1+ 7, FD= - （- 2+2 "；）- 2= - 2 7+4.（2 ）解：连接GA ,•/ AD // BC，/ ABC=90 ,•/ DAB=90 .•/ DG 丄BC ,•四边形ABGD是矩形.•BG=AD , GA=BD .•/ BD=BC ,•GA=BC .（-2 「；+4）—丨：:'1=3 二-5.• S A DPF=10、如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC,/ ABC=90°, BD=BC , E为CD的中点，交BC的延长线于F; (1)证明：EF=EA ;（1）证明：•/ AD // BC ,•••/ DAE= / F,/ ADE= / FCE.••• E为CD的中点，•E D=EC.•△ ADE ◎△ FCE.•E F=EA . （5 分）••• AD=FC .••• GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA•••由（1 得EF=EA ,/ EAD= / EDA=15，连接EB、EF.（1）求证：EB=EF ;（2）延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长.（1）证明：•••△ ADF为等边三角形，•AF=AD，/ FAD=60 （1 分）•••/ DAB=90，/ EAD=15 , AD=AB （2 分）•••/ FAE= / BAE=75 , AB=AF , （3 分）AD为边在直角梯形••• AE为公共边•△ FAE ◎△ BAE （4 分）•EF=EB （5 分）(2)解：如图，连接E C.(6分)•••在等边三角形△A D F中，ABCD内一点，且•••/ EAD= / EDA=15 ,•ED=EA ,•EF是AD的垂直平分线，则/ EFA= / EFD=30 . （7 分）由（1）△ FAE◎△ BAE 知/ EBA= / EFA=30 .•••/ FAE= / BAE=75 ,•/ BEA= / BAE= / FEA=75 ,•BE=BA=6 .•••/ FEA+ / BEA+ / GEB=180 ,•••/ ABC=60 ,•/ GBE=30•••GE=GB . （8 分）•••点G是BC的中点，•EG=CG•••/ CGE= / GEB+ / GBE=60 ,•△ CEG为等边三角形，•••/ CEG=60 ,•••/ CEB= / CEG+ / GEB=90 （9 分）•••在Rt△ CEB 中，BC=2CE , BC3=CE2+BE2•CE= , 3，•BC=〕- （10 分）；解法二：过C作CQ丄AB于Q,•/ CQ=AB=AD=6 ,•••/ ABC=60 ,212、如图，在梯形ABCD 中，AD // BC , AB=DC=AD，/ C=60° , AE 丄BD 于点E, F 是CD 的中点,（1）求证：AE=GF ;（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积.（1）证明：T AB=DC ,ABCD的高.•梯形ABCD为等腰梯形.•••/ C=6C° ,•••/ BAD= / ADC=12C ,又••• AB=AD ,•••/ ABD= / ADB=3C .•••/ DBC= / ADB=3C .•••/ BDC=9C . （1 分）由已知AE丄BD ,•AE // DC . （2 分）又••• AE为等腰三角形ABD的高，•E是BD的中点，••• F是DC的中点，•EF // BC .•EF // AD .3 解：在Rt△ AED 中，/ ADB=3C ,•/ AE=1 ,•AD=2 .•四边形AEFD是平行四边形.（3分）•AE=DF （4 分）••• F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高,•GF=DF , （5 分）•AE=GF . （6 分）••• DG=二.(8 分)由(1)知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2 , 又••• DG 丄BC ,• DG 丄EF,•四边形DEGF的面积='EF?DG= 7.（10分）2DE丄AC于点F，交BC于点G,交AB的延长(1)求证：FC=BE;(2 )若AD=DC=2，求AG 的长.解答：(1)证明：(2)解：T AD=DC=2 , DF丄AC ,•AF= AC= AE .2 2•AG=CG ,•/E=30°.•••/ EAD=90 ,•/ADE=60 ,•/FAD= / E=30°,•F C=二，•/ AD // BC ,•/ACG= / FAD=30 ,•C G=2 ,•AG=2 .14、如图，直角梯形ABCD中，AD // BC,/ ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC , DE丄EC,取DC的中点F,连接AF、BF.(1)求证：AD=BE ;(2)试判断△ ABF的形状，并说明理由.•••/ BAD+ / ABC=180 ,•••/ ABC=90 ,•••/ BAD= / ABC=90 ,•/ DE 丄EC,•••/ AED+ / BEC=90•••/ AED+ / ADE=90 ,•••/ BEC= / ADE ,•••/ DAE= / EBC , AE=BC ,•△ EAD ◎△ EBC ,•AD=BE .(2)答：△ ABF是等腰直角三角形.•/ AD // BM ,•••/ DAF= / M ,•••/ AFD= / CFM , DF=FC ,•△ ADF ◎△ MFC ,•AD=CM ,•/ AD=BE ,•BE=CM ,•/ AE=BC ,•AB=BM ,•△ ABM是等腰直角三角形,•/△ ADF ◎△ MFC ,•AF=FM ,•••/ ABC=90 ,•BF 丄AM , BF= AM=AF ,2• △ AFB是等腰直角三角形.15、(2011?潼南县)如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD , AD 丄DC , AB=BC，且AE 丄BC.(1)求证：AD=AE ;(2 )若AD=8 , DC=4，求AB 的长.解答：(1)证明：连接AC ,•/ AB // CD ,•••/ ACD= / BAC ,•/ AB=BC ,•••/ ACB= / BAC ,•••/ ACD= / ACB ,•/ AD 丄DC , AE 丄BC ,•••/ D= / AEC=90 ,•/ AC=AC ,r ZD=ZAEC•• ZDCWZACB,X=AC•△ ADC ◎△ AEC , (AAS )•AD=AE ;(2)解：由(1)知：AD=AE , DC=EC ,设AB=x，贝U BE=x - 4, AE=8 ,在Rt△ ABE 中/ AEB=90 ,由勾股定理得：82+ (x- 4) 2=x2,解得：x=10,•AB=10 .说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF丄AB用来证明和计算均可得分.16、如图，已知梯形ABCD中，AD // CB , E, F分别是BD , AC的中点，BD平分/ ABC .(1) 求证：AE 丄BD ; (2 )若AD=4 , BC=14，求EF 的长.(1)证明：T AD // CB ,•••/ ADB= / CBD , 又BD平分/ ABC ,•••/ ABD= / CBD ,•AB=AD ,•△ ABD是等腰三角形, 已知E是BD的中点，•AE 丄BD.(2)解：延长AE交BC于G,-Rt △ABC中，/ BAC=90 Rt △ADE中，/ AED=90 Z B=45 , BC=4 ,• AC=BC?sin45 =4^1 =^2 （ 2 分） 2 Z DAE=45 , AD=1 , • DE=AE= • CE=AC - AE= 2 Rt △DEC中，/ CED=90 ■- DC = IU•/ BD 平分/ ABC ,•••/ ABE= / GBE ,又••• AE 丄BD （已证），•••/ AEB= / GEB ,BE=BE ,• △ ABE ◎△ GBE ,• AE=GE , BG=AB=AD , 又F 是AC 的中点（已知）， 所以由三角形中位线定理得：EF= CG= （ BC - BG ） = （BC - AD ）2 2 2 =X （14 - 4） =5. 2答：EF 的长为5. （1）求证：CD=BE ;（2 ）若 AD=3 , DC=4，求 AE .（1）证明：T AD // BC ,•••/ DAC= / BCE ，而 BE 丄 AC , •••/ D= / BEC=90 ,AC=BC , •••△ BCE ◎△ CAD .• CD=BE . (2) 解：在Rt △ ADC 中，根据勾股定理得 AC=•/△ BCE ◎△ CAD ,• CE=AD=3 .AD // BC , AB 丄 AC , Z B=45° AD=1 , BC=4，求 DC 的长.解：如图，过点 D 作DF // AB ，分别交AC , BC 于点E , F . （1分）•/ AB 丄 AC ,•••/ AED= / BAC=90 度.•/ AD // BC ,•••/ DAE=180 -Z B -Z BAC=45 度.17、如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，/ D=90° BE 丄 AC , E 为垂足,'-■ |i'=5，• AE=AC - CE=2 . .（4 分）19、已知梯形 ABCD 中，AD // BC , AB=BC=DC ，点 E 、F 分别在 AD 、AB 上，且 -2 (1)求证：BF=EF - ED ;/ DEC=70，求/ ACF 的度数.证明：••• FC=F C, EC=EC ,/ ECF'= / BCF+ / DCE= / ECF ,•••△ FCE ◎△ F ' CE••• EF' =EF=DF +ED(2) 解：T AB=BC ，/ B=80° ,•••/ ACB=50 ,由(1)得/ FEC= / DEC=70 ,•••/ ECB=70 ,而/ B= / BCD=80 ,•••/ DCE=10 ,•••/ BCF=30 ,• BF=EF - ED ;20、如图，梯形ABCD中，AD // BC，点E在BC上，AE=BE，且AF丄AB，连接EF. (1 )若EF 丄AF , AF=4 , AB=6，求AE 的长.(2)若点F是CD的中点，求证：CE=BE - AD .解：(1 )作 EM 丄 AB ，交 AB 于点 M .T AE=BE , EM 丄 AB , ••• AM=BM=丄 0=3;2•••/ AME= / MAF= / AFE=90 ,•四边形AMEF 是矩形，• EF=AM=3 ;在 Rt △ AFE 中，AE= i -二=5 ；(2)延长AF 、BC 交于点N .•/ AD // EN ,• / DAF= / N ;•••/ AFD= / NFC , DF=FC ,• △ ADF ◎△ NCF (AAS ),• AD=CN ;•••/ B+ / N=90，/ BAE+ / EAN=90 , 又 AE=BE ，/ B= / BAE ,• / N= / EAN , AE=EN ,AB=CD ,对角线 AC 、BD 交于点O ,且AC 丄BD ,DH 丄BC .(1)求证： DH= (AD+BC );2 解：(1 )证明：过 D 作DE // AC 交BC 延长线于 E , (1分)•/ AD // BC ,•四边形ACED 为平行四边形.(2分)• CE=AD , DE=AC .•••四边形ABCD 为等腰梯形，•BE=EN 的面积.••• BD=AC=DE .•/ AC 丄 BD ,• DE 丄BD .• △ DBE 为等腰直角三角形.(4分)•/ DH 丄 BC ,• DH= BE= ( CE+BC ) = (AD+BC ). ( 5 分)2 2 2(2 )T AD=CE ,皐"；汕一一 —：(7分)•••△ DBE 为等腰直角三角形 BD=DE=6 ,1•梯形ABCD 的面积为18. ( 8分) 注：此题解题方法并不唯一.22、已知，如图， △ ABC 是等边三角形，过 AC 边上的点 D 作DG // BC ,交 AB 于点G ,在 GD 的延长线(1) 求证：△ AGEDAB ;(2) 过点E 作EF // DB ，交BC 于点F ,连AF ，求/ AFE 的度数.(1) 证明：•••△ ABC 是等边三角形，DG // BC ,• / AGD= / ABC=60，/ ADG= / ACB=60，且/ BAC=60 ,• △ AGD 是等边三角形，AG=GD=AD ，/ AGD=60 .•/ DE=DC , • GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB ,•••/ AGD= / BAD , AG=AD ,• △ AGE ◎△ DAB ;(2) 解：由(1)知 AE=BD ，/ ABD= / AEG .•/ EF // DB , DG // BC ,•四边形BFED 是平行四边形.• EF=BD ,• EF=AE .•••/ DBC= / DEF ,• / ABD+ / DBC= / AEG+ / DEF ，即/ AEF= / ABC=60 .• △ AFE 是等边三角形，/ AFE=60 .上取点E ,使DE=DC ，连接AE , BD .23、如图，梯形ABCD 中，AD // BC , DE=EC , EF // AB 交BC 于点F, EF=EC，连接DF.(1) 试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2) 若AD=1 , BC=3 , DC=「，试判断△ DCF 的形状；PB 的长；若 解：(1)证明：T EF=EC ,•••/ EFC= / ECF,•/ EF // AB ,•••/ B= / EFC,•••/ B= / ECF ，•梯形ABCD 是等腰梯形;(2) △ DCF 是等腰直角三角形,证明：••• DE=EC , EF=EC , • EF= CD ,2• △ CDF 是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形)•••梯形ABCD 是等腰梯形，• CF=_2 ( BC - AD ) =1 ,2•••DC=匚,•••由勾股定理得: • △ DCF 是等腰直角三角形;(3) 共四种情况：•/ DF 丄 BC ,△/ ABC= / BCD=60° , AD=DC , E 、F 分别在AD 、DC 的 --延长不存在，请说明理由. DF=1 ,24、如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , DB(1)证明：△ ABE ◎△ DAF;(2)求/ BPF的度数.解答：(1)证明：•••在梯形ABCD 中，AD // BC,/ ABC= / BCD=60 ,••• AB=CD ,•/ AD=DC ,•BA=AD , / BAE= / ADF=120 ,•/ DE=CF ,•AE=DF ,在厶BAE和厶ADF中，r AB=AD•ZBAE^ZADF,L AE=DF•△ ABE ◎△ DAF (SAS).(2)解：•••由(1) △ BAE ◎△ ADF ,•/ ABE= / DAF .•/ BPF= / ABE+ / BAP= / BAE .而AD // BC , / C= / ABC=60 ,•/ BPF=120 .25、如图，在梯形ABCD 中，AD // BC , AB=AD=DC , BD 丄DC,将BC 延长至点F,使CF=CD .(1)求/ ABC的度数；(2)如果BC=8，求△ DBF的面积？E------------ -------------- C F解答：解：(1 )•.• AD // BC ,•/ ADB= / DBC ,•/ AB=AD ,•/ ADB= / ABD ,•/ DBC= / ABD ,•••在梯形ABCD 中AB=DC ,•/ ABC= / DCB=2 / DBC ,•/ BD 丄DC ,•/ DBC+2 / DBC=90•/ DBC=30•/ ABC=60(2)过点D作DH丄BC,垂足为H ,A D•// DBC=30 , BC=8 ,•DC=4 ,•/ CF=CD • CF=4 ,•,•// F+ / FDC= / DCB=60 , / F=/ FDC F=30°,•••/ DBC=30 ,•••/ F= / DBC ,••• DB=DF ,1…［：-二卩:在直角三角形DBH 中，.■…好,0 • IE .. _,• ：「「十 II . ：，即厶DBF 的面积为..7.26、如图，梯形 ABCD 中，AD // BC , AB=DC=10cm , AC 交 BD 于 G ,且/ AGD=60 , E 、F 分别为 CG 、AB 的中点.(1)求证：△ AGD 为正三角形；(2 )求EF 的长度.(1)证明：连接BE ,•••梯形 ABCD 中，AB=DC ,• AC=BD ，可证△ ABC ◎△ DCB ,•••/ GCB= / GBC ,又•••/ BGC= / AGD=60• △ AGD 为等边三角形，(2)解：T BE BCG 的中线,(1) 若/ BEC=75 , FC=3，求梯形 ABCD 的周长.(2) 求证：ED=BE+FC ./ ABC=90° , AB=BC ，点 E 是 AB 上的点, / ECD=45° ,连接 ED ,过 D 作 DF 丄BC• BE 丄 AC , 在Rt △ ABE 中，EF 为斜边 AB 上的中线,• EF=- -AB=5cm .在 Rt △ DFC 中：/ DCF=60 , FC=3 ,• DF=3 二，DC=6 ,由题得，四边形 ABFD 是矩形，--AB=DF=3 鼻：i,•/ AB=BC ,• BC=3 二，• BF=BC - FC=3 7-3,• AD=DF=3 T - 3,•- C 梯形 ABCD =3丹 X2+6+3 衍-3=9 丙+3, 答：梯形ABCD 的周长是9 7+3.(2)过点C 作CM 垂直AD 的延长线于 M ，再延长 DM 到N ，使MN=BE ,• CN=CE ,可证/ NCD= / DCE ,v CD=CD ,• △ DEC ◎△ DNC ,• ED=EN ,• ED=BE+FC .28、(2005?镇江)已知：如图，梯形 ABCD 中，AD // BC , E 是AB 的中点，直线 CE 交DA 的延长线于点 F .(1)求证：△ BCE ◎△ AFE ;(2 )若 AB 丄 BC 且 BC=4 , AB=6，求 EF 的长.(1)证明：T AD // BC , E 是AB 的中点,• AE=BE ，/ B= / EAF ，/ BCE= / F .• △ BCE AFE (AAS ).(2)解：T AD // BC,•••/ECD=45 , •••/•••/ DAB= / ABC=90 .•/ AE=BE，/ AEF= / BEC ,•••△ BCE ◎△ AFE .•AF=BC=4 .2 2 2T EF =AF +AE =9+16=25 ,•EF=5.29、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC, BC=DC , CF平分/ BCD , DF // AB , BF的延长线交DC于点求证：(1)△ BFC◎△ DFC;(2)AD=DE ;(3 )若厶DEF的周长为6, AD=2 , BC=5，求梯形ABCD的面积.(1 )T DC=BC，/ 1 = / 2, CF=CF,•••△ DCF ◎△ BCF .(2)延长DF交BC于G, -•/ AD // BG , AB // DG,•四边形ABGD为平行四边形.•AD=BG .•/△ DFC ◎△ BFC ,•/ EDF= / GBF , DF=BF .又•••/ 3=Z 4,•△ DFE ◎△ BFG .•DE=BG , EF=GF.•AD=DE .(3)T EF=GF, DF=BF,•EF+BF=GF+DF ，即：BE=DG .•/ DG=AB ,•BE=AB .T C△ DFE=DF+FE+DE=6 ,•BF+FE+DE=6 ，即：EB+DE=6.•AB+AD=6 .又••• AD=2 ,•AB=4 .•DG=AB=4 .•/ BG=AD=2 ,•GC=BC - BG=5 - 2=3 .又••• DC=BC=5 ,在厶 DGC 中 T 42+32=52 二 DG 2+GC 2=DC 2•••/ DGC=90 .S 梯形 ABCD =(AD+BC ) ?DG 2 =(2+5)总 2=14 .30、如图，梯形 ABCD 中，AD // BC . Z C=90° 且AB=AD .连接 BD ，过A 点作BD 的垂线，交 BC 于E .(1) 求证：四边形ABED 是菱形；(2) 如果EC=3cm , CD=4cm ，求梯形 ABCD 的面积.(2)•••四边形 ABCD 是菱形,• AD=DE=BE ,解答：解：(1)证明：T AD // BC , • Z OAD= Z OEB ,又••• AB=AD , AO 丄 BD , • O B=OD , 又 T Z AOD= Z EOB ,• △ ADO ◎△ EBO ( AAS ),• AD=EB ,又••• AD // BE ,•四边形ABCD 是平行四边形，又••• AB=AD•四边形ABCD 是菱形. DE 2=CD 2+CE 2=42+32=25,• DE=5•AD=BE • S 梯形ABCD 寺4X (5+8) -26cin 2。