模糊性度量的数字特征分析及计算方法
模糊数学——第19次 模糊相似性度量、模糊综合评价讲解
第二类顾客对此服装比较欢迎。
对于类似于 B2 的情形，在下结论前通常将其归一化为
B 2
(0.35 , 0.4 , 0.2 , 0.1 ) 1.05 1.05 1.05 1.05
(0.33,0.38,0.19,0.1)
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根据运算 的不同定义，可得到以下不同模型：
（1）建立因素集U {u1, u2 , u3 , u4 },其中 u1 :花色；u2 :式样；u3 :耐穿程度；u4 :价格。
（2）建立评判集V {v1,v2 ,v3 ,v4 }，其中 v1 :很欢迎；v2 :较欢迎；v3 :不太欢迎；v4 :不欢迎。
（3）进行单因素评判得到：
u1 r1 (0.2,0.5,0.2,0.1)
模糊度为0：任意元素的隶属度要么取0，要么取1 。 ——普通集合
模糊度为1：任意元素的隶属度均为0.5. ——最模糊
两个模糊集合模糊度的比较：模糊度越靠近0.5，越模糊。
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4.3 模糊集之间的相似性度量
1、海明距离
d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)
u2 r2 (0.7,0.2,0.1,0)
u3 r3 (0,0.4,0.5,0.1)
u4 r4 (0.2,0.3,0.5,0).
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（4）由单因素评判构造综合评判矩阵
0.2 0.5 0.2 0.1
R
0.7 0
0.2 0.4
基于模糊数学的数据分析方法
基于模糊数学的数据分析方法一、引言随着信息技术的快速发展和普及，数据的规模和复杂度不断增加，为数据分析提出了更高的要求。
传统的分析方法已经难以满足现代数据分析的需求，而基于模糊数学的数据分析方法因其能够处理不确定性和模糊性，被广泛应用于实践中。
本文将介绍基于模糊数学的数据分析方法及其在实际应用中的优势和局限性。
二、模糊数学及其基本理论模糊数学是一种处理模糊性和不确定性的数学工具。
常用的模糊数学理论有模糊集合、模糊关系、模糊逻辑、模糊数学规划等。
其中，模糊集合是指一个集合中的元素也具有不确定性和模糊性的情况。
模糊关系是一个原本确定的关系变得不太确定，需要用到模糊集合的概念进行描述。
模糊逻辑是针对有限和无限的推理、决策等问题中存在的不确定性和模糊性，进行推理问题的数学分析和处理。
而模糊数学规划，是将模糊集合中的参数作为规划问题的输入，进行优化计算。
三、基于模糊数学的数据分析方法1. 模糊聚类模糊聚类分析是一种基于模糊数学的聚类算法。
与传统聚类算法不同，模糊聚类算法允许每个元素属于多个不同的簇，并通过不同的隶属度来表示其属于不同簇的程度。
该方法可用于处理数据分类、医学诊断、图像分割等领域。
2. 模糊决策树模糊决策树是一种基于模糊数学的分类算法。
在建立决策树时，该算法将特征值离散化，并将各个特征之间的关系进行模糊表达，以便更好地处理具有模糊性和不确定性的决策问题。
3. 模糊神经网络模糊神经网络是一种基于模糊数学的神经网络，其主要特点是在输入端和输出端存在模糊化的过程。
因此，该方法比传统的神经网络更能够有效地处理模糊性和不确定性，可以用于数据分类、预测、决策等领域。
四、基于模糊数学的数据分析方法的优势和局限性优势：1. 可以有效地处理不确定性和模糊性，解决了传统方法无法处理的问题。
2. 更加灵活和可扩展，可以按照实际情况调整参数和方法，适应不同领域的需求。
3. 更加符合人类的思维方式，易于理解和解释分析结果。
模糊数学方法
2) 对称性: 若(x, y)R，则(y, x)R，即集合中(x, y)元素同属于类R 时, 则
(y, x)也同属于R；
3) 传递性: (x, y)R，(y, z)R，则有(x, z)R。
上述三条性质称为等价关系，满足这三条性质的集合R为一分类关
系。
聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并
定义3 模糊集运算定义。若A、B为X上两个模糊集，它们的和集、 交集和A的余集都是模糊集, 其隶属函数分别定义为：
(AB) (x)= max ( A(x), B(x) ) (AB) (x)= min ( A(x), B(x) ) AC (x)=1－A(x) 关于模糊集的和、交等运算，可以推广到任意多个模糊集合中去。
假设R2=(rij )，即rij =
(rik∧rkj )，说明xi 与xj是通过第三者K作为媒介而发生关系，rik∧rkj表 示xi 与xj 的关系密切程度是以min(rik , rkj)为准则，因k是任意的, 故从一 切rik∧rkj中寻求一个使xi 和xj 关系最密切的通道。Rm随m的增加，允许 连接xi 与xj 的链的边就越多。由于从xi 到xj 的一切链中, 一定存在一个使 最大边长达到极小的链，这个边长就是相当于
糊变量，相应的参数分别为
,
,
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
,
,
,而
是xij的方差。待判别对象B的m个指标分别具有参数aj , bj (j=1, 2, …, m)，且为正态型模糊变量，则B与各个类型的贴近度为
记Si=
，又有Si0=
，按贴近原则可认为B与Ai 0最贴近。
提供了以下8种建立相似矩阵的方法：
模糊数学总结
集合与特征函数在运算上的关系
A B CA (u) CB (u), u U A B CA (u) CB (u), u U
（1）包含 （2）相等 （3）并集
（4）交集
（5）补集
CAB (u) max CA (u), CB (u) CA (u) CB (u) CAB (u) min CA (u), CB (u) CA (u) CB (u) CAC (u) 1 CA (u)
不要把上式右端当做分式求和。“＋”号不表 示求和，而是表示将各项汇总，表示集合概念。
ui 项可省略。
1 0.7 0.4 0 1 0.7 0.4 A “圆块”模糊子集： a b c d a b c
普通集合与模糊子集的区别与联系
明确外延：经典数学
外延不明确：模糊数学
C
1 1 1 C A A U, A A u1 u2 un
C
普通集合与模糊子集的区别与联系
运算性质对比 (u ) B (u ), u U A B C A (u ) CB (u ), u U A B A A B C A (u ) CB (u ), u U A B A (u ) B (u ), u U A B (u ) A (u ) B (u ) C A B (u ) C A (u ) CB (u)
U
a =1 b =0.7
d =0 c =0.4
“d”和“a”具有很大的差异， 但从“d”到“a”不是具有 突变的差异，而是采取了 一个又一个中间过渡状态 “b”和“c”。处于中间过 渡的差异“b”和“c” ，便 具有了“亦此亦彼”性。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学，又称模糊逻辑或模糊理论，是一种用于处理模糊和不确定性问题的数学方法。
它与传统的二值逻辑不同，二值逻辑中的命题只能有“是”和“否”两种取值，而模糊数学允许命题
取任意模糊程度的值，介于完全是和完全否之间。
模糊数学的基本原理是模糊集合论。
在模糊集合中，每个元素都有一个属于该集合的隶属度，代表了该元素与集合之间的模糊关系。
隶属度的取值范围通常是0到1之间，其中0表示不
属于该集合，1表示完全属于。
模糊集合的隶属函数则用来描
述每个元素的隶属度大小。
模糊数学的应用广泛。
在工程领域中，它常用于模糊控制系统的设计与分析。
传统的控制系统中，输入和输出之间的关系是通过确定性的数学模型来描述的，而模糊控制则允许系统中存在不确定性和模糊性，并通过模糊推理来实现系统的控制。
在人工智能领域中，模糊数学也有着重要的应用。
模糊逻辑可以用来处理自然语言的模糊性和歧义性，对于机器翻译、信息检索和智能对话系统等任务具有重要意义。
此外，模糊数学还可以应用于风险评估、决策分析、模式识别、数据挖掘等领域。
通过将模糊数学方法应用于这些问题，可以更好地处理不确定性和模糊性信息，并得到更准确的结果。
总而言之，模糊数学是一种处理模糊和不确定性问题的数学方法，通过模糊集合论和模糊推理来建模和分析。
它在各个领域
都有广泛的应用，可以帮助人们更好地处理现实世界中的复杂问题。
模糊数学方法与应用
模糊数学方法与应用概述模糊数学是一种用来处理不确定性和模糊性问题的数学方法。
它的基本思想是将模糊性和不确定性引入数学模型中，以便更好地描述和解决现实世界中的复杂问题。
模糊数学的应用非常广泛，包括工程、经济、管理、决策等领域。
本文将介绍模糊数学的基本原理以及它在实际应用中的一些具体案例。
模糊数学的基本原理模糊数学的核心是模糊集合理论，它是对传统集合理论的扩展和推广。
在传统集合理论中，一个元素要么属于一个集合，要么不属于一个集合，不存在模糊性。
而在模糊集合理论中，一个元素可以以一定的隶属度属于一个集合，这个隶属度是介于0和1之间的一个实数。
例如，对于一个人的年龄来说，年轻人和老年人是两个模糊集合，一个人可以以0.7的隶属度属于年轻人，以0.3的隶属度属于老年人。
模糊数学的应用案例1. 控制系统模糊控制理论是模糊数学的一个重要应用领域。
传统的控制系统设计需要精确的数学模型和准确的参数，但是在现实问题中，很难得到完全准确的模型和参数。
模糊控制理论通过引入模糊逻辑和模糊推理的方法，可以处理这些不确定性和模糊性的问题。
例如，模糊控制器可以根据当前的温度、湿度等参数来控制空调的温度和风速，以提供一个舒适的室内环境。
2. 人工智能模糊数学在人工智能领域也有广泛的应用。
在模糊推理中，基于模糊集合的推理可以处理不完全和不确定的信息。
例如，通过使用模糊推理系统，可以根据一些模糊的规则和输入信息来进行判断和决策。
模糊神经网络是一种基于模糊数学的人工神经网络模型，它可以用来解决一些复杂的分类和模式识别问题。
3. 经济与金融在经济学和金融学中，模糊数学可以用来处理一些模糊和不确定的经济和金融问题。
例如，模糊数学可以用来描述和分析不完全和不确定的市场需求、价格波动等。
另外，模糊集合和模糊推理可以用来建立一些模糊决策模型，以辅助经济和金融决策。
4. 交通运输交通运输领域是另一个模糊数学的重要应用领域。
在交通规划和交通控制中，模糊数学可以用来处理交通流量、交通信号等模糊和不确定的问题。
模糊数学法
模糊数学法引言模糊数学法是一种用于处理模糊不确定性问题的数学方法。
它是由美国数学家洛特菲尔德于1965年提出的，被认为是一种在现实世界中处理不明确、含糊和不确定性信息的有效工具。
在传统的数学中，我们通常使用精确的数值来进行计算和推导。
然而，在现实生活中，很多问题都是模糊不清的，无法用精确的数值来描述。
例如，判断一个人的身高是否高大，这个问题就存在模糊性，因为高大的标准因人而异。
在这种情况下，传统的数学方法就失去了效力，需要使用模糊数学法来处理。
模糊集合模糊集合是模糊数学的核心概念之一。
传统的集合理论中，元素要么属于集合，要么不属于集合，不存在属于程度的概念。
而在模糊集合中，元素的归属程度可以是模糊的。
一个元素可以部分属于集合，部分不属于集合。
这种归属程度的模糊性可以用[0,1]之间的数值来表示，称为隶属度。
模糊集合可以用一个隶属函数来描述。
隶属函数是一个将元素映射到隶属度的函数。
例如，对于一个描述“高大”人的模糊集合，可以用一个隶属函数将每个人映射到0到1之间的一个隶属度，表示这个人属于“高大”这个集合的程度。
模糊逻辑模糊逻辑是模糊数学的另一个重要概念。
传统的逻辑推理是基于真假的二值逻辑，而模糊逻辑则允许命题的真实性程度是模糊的。
模糊逻辑中的命题可以是“完全真”、“完全假”或者处于两者之间的模糊状态。
模糊逻辑使用模糊推理来推导出模糊命题的真实性程度。
它可以用于解决模糊不确定性问题，例如模糊控制系统中的决策问题、模糊信息检索等。
模糊数学应用模糊数学方法在很多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：模糊控制模糊控制是模糊数学的一个重要应用领域。
在传统的控制系统中，输入和输出之间的关系通常是精确的，可以用精确的数学模型来描述。
然而，在现实生活中，很多控制系统的输入和输出之间的关系是模糊的，无法用精确的数学模型来描述。
在这种情况下，可以使用模糊控制方法来设计控制系统，通过模糊推理来处理模糊的输入和输出。
模糊系统设计中的模糊度量和相似度计算
模糊系统设计中的模糊度量和相似度计算随着人工智能技术的飞速发展，模糊系统在各个领域得到了广泛的应用。
如何准确地描述和计算模糊问题，是模糊系统设计的重要问题。
本文将从模糊度量和相似度计算两个方面探讨模糊系统设计中的关键问题。
一、模糊度量模糊度量是衡量模糊集合内各元素与模糊概念的近似程度的一个指标，也是模糊系统中一个很重要的概念。
1.概念模糊度量的概念是对模糊概念的度量。
模糊概念是指对于一个事物或者一种现象的特征，人们并不能确定其具体的数值或者精确的界限范围，只能依据人的主观经验和感觉模糊地描述该事物或者现象。
2.计算方法常见的模糊度量方法有隶属度函数法、模糊熵法、信息熵法和灰色关联度法等。
隶属度函数法是指根据每个元素对一个模糊概念的隶属度定义模糊集合，通过计算隶属度函数的值来度量模糊集合内各元素与模糊概念的近似程度。
模糊熵法是指通过熵的概念来度量模糊度量的大小，熵的值越大则模糊度量越大，即模糊集合内不确定性程度越高。
二、相似度计算在模糊系统设计中，常常需要对模糊概念进行相似度计算，以便对不同的模糊概念进行综合评价或者进行分类和判别等操作。
1.概念相似度度量是用来刻画两个模糊概念之间的相似或者相异程度的一个指标。
当两个模糊概念之间的相似度达到一定的阈值时，就判定它们是相似的，否则就认为它们是不相似的。
2.计算方法常见的相似度计算方法有基于隶属度函数的相似度计算法和基于模糊熵的相似度计算法。
基于隶属度函数的相似度计算法是指根据模糊集合中各个元素对各个模糊概念的隶属度对隶属度函数进行计算，并将其转换成相似度进行度量。
基于模糊熵的相似度计算法是利用模糊熵的概念来度量模糊概念之间的相似度，当模糊概念之间的熵值越接近，则它们的相似度就越高。
结论模糊系统设计中的模糊度量和相似度计算是模糊系统设计中不可或缺的两个方面。
随着计算机技术的快速发展，模糊系统在各个领域的应用也会越来越多。
因此，对模糊度量和相似度计算进行深入研究，对于优化模糊系统的性能和拓展其应用具有重要意义。
模糊数学方法详细介绍
A x e
A x
A x
A x
1
0
1
a
x
0
1
a
x
0
a
x
偏小型
6.柯西型
1 1 A x 1 x a xa x a A x
中间型
1 1 x a
偏大型
0 1 A x 1 x a xa xa
A x A x
0 k xa b x c x A ba cxd 1
xd
A x
1
0
1
a
b
1
cd x
0
x
0 a b
a
b
x
偏小型
4. 型 k 0
1 A x k xa e
现实中的模糊概念——例如：厚、薄、美、丑、 早晨、中午、晴天、阴天、优、劣，蔬菜、水 果、感冒、合格品、次品等 量的分类
确定性 经典数学 量 随机性 随机数学 不确定性模糊性 模糊数学
模糊数学
1965年美国加利福尼亚大学控制专家扎德(zadeh L.A)在《information and control》杂志上发表了一 篇开创性论文“Fuzzy sets”这标志着模糊数学的诞生。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。是 把模糊的问题化为确定性问题的基础，是数据处理常用 的方法。
说明：排中律不成立，即
A A U, A
c c
一、模糊集合论的基础知识
U = {甲, 乙, 丙, 丁} A = “矮子” 隶属函数A= (0.9, 1, 0.6, 0) B = “瘦子” 隶属函数B= (0.8, 0.2, 0.9, 1) 找出 C = “既矮又瘦” C = A∩B = ( 0.9∧0.8 , 1∧0.2 , 0.6∧0.9 , 0∧1 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0) 甲和丙比较符合条件
(最新)模糊数学方法
∨
n
k =1
( ri k ∧ r k j ) ≤ ri j ; i , j = 1 , 2 , … , n ）
则称R为模糊等价矩阵 模糊等价矩阵。 模糊等价矩阵 注：对于满足自反性和对称性的模糊关系 R 与模糊矩阵R，则
~
分别称为模糊相似关系 模糊相似矩阵 模糊相似关系与模糊相似矩阵 模糊相似关系 模糊相似矩阵。
F (U ) = { A | µ A : U → [0,1]}
注： (U ) 是一个普通集合. F
（2） 模糊集的表示方法 ） 模糊集的表示方法： 对于有限论域 U = {x1 , x2 … xn }，设 A ∈ F (U ) （1）Zadeh表示法： = ∑ µ A ( xi ) = µ A ( x1 ) + µ A ( x2 ) + … + µ A ( xn ) A
第一步. 数据标准化 （1）获取数据: 设论域U＝ {x1 , x2 ,… , xn } 为所需分类研究的 对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即
xi = {xi1 , xi 2 , ⋯, xim }(i = 1,2,⋯, n)
于是得到问题的原始数据矩阵为 A = ( xij ) n×m （2）数据的标准化处理：实际中的数据通常具有不同的性质 和量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原 始数据矩阵做标准化处理，即通过适当的数据变换和压缩，将 其转化为模糊矩阵。现介绍以下两种常用方法：
第二步. 建立模糊相似矩阵 设论域U= {x1 , x2 , ⋯, xn }, xi = {xi1 , xi 2 , ⋯, xim }(i = 1,2,⋯, n) 即数据矩阵为 A = ( xij ) n×m .如果 xi 与 x j 的相似程度为 相似系数。 相似系数 rij = R( xi , x j )(i, j = 1,2,⋯ , n) ，则称之为相似系数。
模糊数学方法
模糊数学方法
模糊数学方法是一种处理具有不确定性或模糊性问题的数学方法。
在经典数学中，事物通常被视为确定性的，可以用精确的数值来表示。
然而，在实际生活中，很多事物是模糊的，没有明确的界限和定义，这就需要用模糊数学方法来处理。
模糊数学方法的基本思想是承认事物的模糊性，将模糊性作为事物的一种固有属性来处理，而不是试图消除它。
通过建立模糊集合和隶属函数，模糊数学方法能够描述和处理具有不确定性和模糊性的事物。
具体来说，模糊数学方法包括模糊集合理论、模糊推理、模糊控制等方面的内容。
其中，模糊集合理论是研究模糊性事物的数学理论，包括模糊集的定义、运算和性质等；模糊推理是利用模糊集合和隶属函数进行推理的方法，可以用于处理不确定性和模糊性的事物；模糊控制则是将模糊数学方法应用于控制领域，用于处理具有不确定性和非线性的控制系统。
总之，模糊数学方法是一种处理具有不确定性或模糊性问题的有效工具，可以广泛应用于各个领域，如自然语言处理、模式识别、人工智能等。
模糊算法入门指南初学者必读
模糊算法入门指南初学者必读随着人工智能领域的发展，模糊算法越来越受到重视。
模糊算法是一种基于模糊逻辑的数学方法，用于处理现实生活中的模糊、不确定和模糊数据。
本文将介绍模糊算法的基本概念、原理和应用，并且为初学者提供了入门指南。
一、基本概念1. 模糊集合模糊集合是由一组具有模糊性质的元素组成的集合，其中每个元素都有其对应的隶属度，表示该元素属于模糊集合的程度大小。
模糊集合与传统集合的区别在于，传统集合的元素只能属于集合或不属于集合，而模糊集合的元素可能同时属于多个集合。
例如，一个人的身高可能既属于“高个子”这个集合，又属于“中等身高”这个集合，这时我们就可以用模糊集合来描述这个人的身高。
2. 模糊逻辑模糊逻辑是一种扩展了传统逻辑的数学方法，用于处理带有模糊性质的命题。
在模糊逻辑中，命题的真值不再只有0或1两种可能，而是在0到1之间连续变化。
例如，“这个人很高”这个命题，在传统逻辑中只有true或false两种可能，而在模糊逻辑中则可以分别对应0.8和0.2，表示这个人身高高度的程度。
3. 模糊推理模糊推理是指根据模糊逻辑规则对模糊数据进行推理的过程。
模糊推理的基本过程是先将模糊数据转换成模糊集合，在对模糊集合进行逻辑运算。
例如，已知“这个人很高”，“这个人是男性”，根据“高个子男性”这个模糊集合的定义，可以推断出该人属于“高个子男性”这个模糊集合。
二、基本原理模糊算法的核心是模糊推理，根据一定的规则推导出合理的结论。
模糊推理可以通过模糊集合的交、并、补等运算，来得到更为准确的结果。
模糊算法中常用的推理方法包括模糊关联、模糊综合评价、模糊聚类等。
三、应用领域1. 物流调度在物流调度中，模糊算法可以通过分析货物的种类、运输距离、车辆的容量等因素，来实现最优的调度和路径规划。
2. 医学诊断在医学诊断中，模糊算法可以通过分析医学数据，提供模糊的医学诊断结果，帮助医生做出更准确的诊断。
3. 控制系统在控制系统中，模糊算法可以通过模糊控制，实现对系统的自适应控制和优化控制。
两个三角模糊数和的运算方法
三角模糊函数
三角模糊数的几何解释： 三角模糊数M表示为 μM(x)
(l , m, u)
1
其中 x m时， x 完全属于M， l和u分别下界和上界。 l 0 在l,u以外的完全不属于模糊数M。
m
u
x
三角模糊函数
两个三角模糊数 M 1和 M 2的运算方法：
M 1 (l1 , m1 , u1 ); M 2 (l2 , m2 , u2 ) M 1 M 2 (l1 l2 , m1 m2 , u1 u2 ) M 1 M 2 (l1l2 , m1m2 , u1u2 )
模型案例
模型案例
C1与C2的三个比较模糊值，可以通过以下方式 整合为为一个模糊值：
1 / 3 1 / 3 1 / 2 =0.3889 3 1/ 2 1/ 2 1/ 1 =0.6667 3 1+1+1 =1 3
与AHP相 比，这一 点有什么 优势？
C1与C2相比，其重要度为：（0.39，0.67， 1.00）。
（1，1，2） （1，2，3） （1，1，2）
Step2：去模糊化，以及求出C1至C4的最终权重 将模糊值变 模糊数的比较原则
为一般的值
M1 (l1, m1, u1 ) 和 M1 (l1, m1, u1 ) 是三角模糊数。 定义一： M1 M 2 的可能度用三角模糊函数定义为
1 l2 u1 P ( M 1 M 2) (m1 u1 ) (m2 l2 ) 0 m1 m2 m1 m2，u1 l2 otherwise
FAHP的基本概念
三角模糊函数
FAHP的步骤
FAHP应用实例
FAHP的基本概念
为什么引入FAHP（即Fuzzy AHP）？ 在一般问题的层次分析中，构造两两比较判断矩 阵时通常没有考虑人的判断模糊性，只考虑了人 的判断的两种可能的极端情况：以隶属度1选择某 个指标，同时又以隶属度1否定（或以隶属度0选 择）其他标度值。 有些问题中进行专家咨询时，专家们往往会给出 一些模糊量（例如三值判断：最低可能值、最可 能值、最高可能值；二值区间判断） 所以引入模糊数改进AHP
第2讲 模糊数学方法解析
22
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三、模糊聚类分析方法
1. 数据标准化 (1)获取数据
设论域U {x1, x2 ,, xn}为所需分类的对象，每个对象又
由 m 个指标表示其性态，即 xi {xi1, xi2 ,, xim }(i 1,2,, n) ，
则 A
xij
．
nm
(2) 数据的标准化处理
定义 2 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , (1) 若 x U ，有 B (x) A (x) ，则称 A 包含 B ，记 B A；
(2) 若 A B 且 B A，则称 A 与 B 相等，记为 B A ．
定义 3 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , 则称 A B 和 A B 为 A 与 B 的并集和交集；称 Ac 为 A 的补集
的过渡点，即是模糊性最大的点．
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一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集，记 U 上的模糊集的全体为 F (U ) ，即
F(U ) {A | A : U [0,1]}
则 F (U ) 就是论域U 上的模糊幂集，显然 F (U ) 是一个 普通集合，且U F(U ) ．
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二、模糊关系与模糊矩阵
3. λ－截矩阵与传递矩阵
定义 8 设 R (rij )mn 为模糊矩阵，对任意的 [0,1] ．
(1)
如果令 rij ()
1, rij 0, rij
i 1,2,, m j 1,2,, n
第十四章模糊数学分析方法
一个由三个权数分配构成的一行模糊向量 A；
A=（0.5，0.2~，0.3）
现要做出综合评判，必须进~行模糊变换 B= A× R
B = A× R
~
~~
~ ~~
0.5 0.4 0.1 0
=（0.5，0.2，0.3） 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0.1 0.3 0.6
=(0.5，0.4，0.3，0.3)
五、模糊关系合成图解法
图解法计算模糊关系的合成的步骤：
1、画出关系合成图 2、在图中找出xi到zj的各种可能途径； 3、在同一路径中相比较取隶属度最小者作为该路径 的隶属度；
4、把路径所取得ห้องสมุดไป่ตู้属度中最大者作为qij的元素值； 5、画出模糊关系合成矩阵。
第四节 模糊综合评判方法
一、模糊变换
1、模糊向量 对于一个有限模糊集合X可以表为：
（一） 教育技术研究中具有许多不确定性因素，这些不确定性因素来源主要有如下
几个方面： 1、研究对象活动出现条件的不确定性，具有概率的特征。 2、研究对象类属的边界具有不清晰和性态不确定的特征。 3、研究对象信息显示的不充分及其无序性所导致的不清晰特征。 4、研究中使用的某些概念、命题在语言语义上的多义与歧义导致的不确定性。 5、某些数学运算、逻辑推理误差所导致的不确定性。
第十四章模糊数学分析方法
第一节 模糊数学分析的基本概念
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里 所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、 某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候
=0.4
y3=(0.2∧0.1)∨(0.5∧0.5)∨(0.3∧0.4) =0.1∨0.5∨0.3
模糊数学评价与衡量方法教程
模糊综合评价法（见课件）模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．一、单因素模糊综合评价的步骤 1． 根据评价目的确定评价指标（evaluation indicator ）集合},,,{21m u u u U例如评价某项科研成果，评价指标集合为U ={学术水平，社会效益，经济效益}．2．给出评价等级（evaluation grade ）集合},,,{21n v v v V如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价指标的权重（weight ）},,,{21m W权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且 1i ． 例如假设评价科研成果，评价指标集合U ={学术水平，社会效益，经济效益}其各因素权重设为}4.0,3.0,3.0{ W ．4．确定评价矩阵R请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价（one-way evaluation ），例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为 0,2.0,3.0,5.01 R同样如果社会效益，经济效益两项单因素评价结果分别为1.0,2.0,4.0,3.02 R 2.0,3.0,2.0,2.03 R那么该项成果的评价矩阵为2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R 5．进行综合评价通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S ： 设m j W 1)( ，n m ji r R )(，那么n mn m m n n m s s s r r r r r r r r r R W S ,,,,,,2121222211121121其中“ ”为模糊合成算子．进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子，模糊合成算子通常有四种：(1) ),( M 算子n k r r s jkj mj jk j m j k ,,2,1,,min max )(11＝符号“ ”为取小， “ ” 为取大．例如：n k s R W S 1)( =)4.03.03.0(2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 = 2.03.03.03.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1 S =)2.03.03.0( =3.0其他k S （)4,3,2 k 求法相同． (2) (M ﹒), 算子n k r r s jk j mj jk j m j k ,,2,1,max )(11＝例如n k s R W S 1)( =)4.03.03.0(2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 = 08.012.012.015.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1 S =)08.009.015.0( =15.0其他k S （)4,3,2 k 求法相同． (3) ),( M 算子“ ”是有界和运算，即在有界限制下的普通加法运算．对t 个实数t x x x ,,,21 有t i i t x x x x 121,1min ．利用),( M 算子，有n k r s m j jk j k ,,2,1,,min ,1min 1例如n k s R W S 1)( =)4.03.03.0(2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 = 3.07.08.08.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1 S =)2.03.03.0( =0.8其他k S （)4,3,2 k 求法相同． (4) (M ﹒), 算子n k r s m j jk j k ,,2,1,,1min 1例如n k s R W S 1)( =)4.03.03.0(2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 = 3.07.08.08.0 其中3.0(1 S •3.0()5.0 •4.0()3.0 •)2.0 =)08.009.015.0( =0.32以上四个算子在综合评价中的特点是：),( M 和(M ﹒), 在运算中能突出对综合评判起作用的主要因素，在确定W 时不一定要求其分量之和为1，即不一定是权向量，故为主因素突出型．),( M 和(M ﹒), 在运算时兼顾了各因素的作用，W 为名符其实的权向量，应满足各分量之和为1，故为加权平均型．最后通过对模糊评判向量S 的分析作出综合结论．一般可以采用以下三种方法：(1) 最大隶属原则模糊评判集S =),,,(21n S S S 中i S 为等级i v 对模糊评判集S 的隶属度，按最大隶属度原则作出综合结论，即),,,m ax (21n S S S MM 所对应的元素为综合评价结果．该方法虽简单易行，但只考虑隶属度最大的点，其它点没有考虑，损失的信息较多．(2) 加权平均原则加权平均原则是基于这样的思想：将等级看作一种相对位置，使其连续化．为了能定量处理，不妨用“n ,,2,1 ”依次表示各等级，并称其为各等级的秩．然后用S 中对应分量将各等级的秩加权求和，得到被评事物的相对位置．这就是加权平均原则，可表示为n i k ini ki iss u 11*)(（12－1）其中k 为待定系数（k ＝1或k ＝2），目的是控制较大的i s 所起的作用．可以证明，当 k 时，加权平均原则就是最大隶属原则．例如：对 2.0,3.0,3.0,3.0 S ，评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}，各等级赋值)(i 分别为{4，3，2，1}，仿照普通加权平均法的计算公式，有1k u =2.03.03.03.02.013.023.033.04 =2.64即该项成果的综合评价结果为好稍偏一般．(3) 模糊向量单值化如果给等级赋予分值，然后用S 中对应的隶属度将分值加权求平均就可以得到一个点值，便于比较排序．设给n 个等级依次赋予分值n c c c ,,,21 ，一般情况下（等级由高到低或由好到差），n c c c 21，且间距相等，则模糊向量可单值化为n i k ini ki iss cc 11 （12－2）其中k 的含义与作用同（12－1）中的k 相同．多个被评事物可以依据（12－2）式由大到小排出次序．以上三种方法可以依据评价目的来选用，如果需要序化，可选用后两种方法，如果只需给出某事物一个总体评价结论，则用第一种方法．二、多级模糊综合评判有些情况因为要考虑的因素太多，而权重难以细分，或因各权重都太小，使得评价失去实际意义，为此可根据因素集中各指标的相互关系，把因素集按不同属性分为几类．可先在因素较少的每一类（二级因素集）中进行综合评判，然后再对综合评判的结果进行类之间的高层次评判．如果二级因素集中有些类含的因素过多，可对它再作分类，得到三级以至更多级的综合评判模型．注意要逐级分别确定每类的权重．以二级综合评判为例给出其数学模型： 设第一级评价因素集为},,,{21m u u u U各评价因素相应的权重集为},,,{21m W第二级评价因素集为},,,{21ik i i i u u u U m i ,,2,1相应的权重集为},,,{21ik i i i W相应的单因素评判矩阵为：nk jl i r R k l ,,2,1二级综合评判数学模型为m mR W R W R W W B 2211三、模糊综合评判应用举例某地对区级医院2001~2002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例．患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用．规定很好、好、一般、差的标准见表12-1，病人医疗质量各等级频数分布见表12—2．表12-1 很好、好、一般、差的标准指标 很好 好 一般 差 疗效 治愈 显效 好转 无效 住院日≤1516~20 21~25 ＞25 费用（元） ≤14001400~1801800~220＞2200表12-2 两年病人按医疗质量等级的频数分配表 指标很好 质量好 等级一般差疗效01年 02年 160 170380 41020 1040 60 住院日01年 02年 180 200 250 310130 12040 20费用 01年 02年 130 110270 320130 12070 100现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价．1．据评价目的确定评价因素集合评价因素集合为U ={疗效，住院日，费用}． 2．给出评价等级集合如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价因素的权重设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即）（3.0,2.0,5.0 W 4．2001年与2002年两个评价矩阵R 分别为600/70600/130600/270600/130600/40600/130600/250600/180600/40600/20600/380600/1601R=117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0650/100650/120650/320650/110650/20650/120650/310650/200650/60650/10650/410650/1702R=154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.05．综合评价作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊乘积运算．如果突出疗效，且只需对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行总体工作情况给出一个总体评价结论，可采用),( M 算子，确定模糊评判集S ，按最大隶属度原则进行评判：n k s R W S 111)( = )3.02.05.0(117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 = 117.0217.0500.0267.0n k s R W S 122)( = )3.02.05.0(154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.0= 154.0185.0500.0262.0按最大隶属度原则，两年最大隶属度均为0.500，可以认为对某地区区级医院2001年与2002年医疗质量评价结果均为“好”．如果突出疗效，且对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行排序，也可采用),( M 算子确定的模糊评判集S ，按加权平均原则进行评判：实用标准文案文档将评价等级很好，好，一般，差分别赋值为4，3，2，1．2001年的评价结果为41411)(iiiiikssu=117.0217.0500.0267.0117.01217.02500.03267.04=2.833 2002年的评价结果为41411)(iiiiikssu=154.0185.0500.0262.0154.01185.02500.03262.04=2.790 2001年的工作质量略好于2002年．以上评判结果均没有充分兼顾住院日与费用的作用，如果充分考虑各因素的作用在作权系数矩阵W与评价矩阵R的模糊运算的时候可以采用),(M算子或(M﹒), 算子．。
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第１ ４卷 第 ２期 ２０ ０７年 ６ 月 文 章 编 号 ：０９ ２９ ２ ￣）２ ０ １ ０ １０ —２６ （（７ ０ —０ １ — ４ Ｋ
兰 州 工 业 高 等 专 科 学 校学 报
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Ｆ一 ［ ，］组成 的集合 ， ｄ满 足 ： ０１ 若
（ ）Ａ是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ经典 集 甘 ｄ Ａ）： ０ １ （ ；
（ ） ∈ 户， ∈ Ｘ， ）＝ ０ ５ ｄ ）＝ １ ２ Ｖ （ ． （ ；
（ ）Ａ、 ， ∈ Ｘ， ）≤ （ ３ ～Ｂ 一∈ Ｖ 云（ ）≤ ０ ５ 或 云（ ．（ ）≥ （ ）≥ ０ ５ ｊ ｄ ）≤ ｄ 云） ．） （ （ ；
收 稿 日期 ．０６—１ —０ ＇ ０ ２ ０ ５
基金项 目： 甘肃省 自然科学基金资助项 目（Ｚ０ １ Ｏ５ Ｏ ）甘肃 省教 育厅 科研基 金资助项 目（６ １ ０ ３ Ｓ４ 一／．一Ｏ ４ ； ００ —２ ） 作 者 简 介 ： 志 龙 （９５一）男 。 肃 正 宁 人 。 教 授 ， 士生 ． 王 １６ 。 甘 副 硕
（ ）ｄ ６ 甘 ｄ ．
证明 （ ）由单 调 性显然 成 立 ． １
维普资讯
兰 州 工 业 高 等 专 科 学 校 学 报 度．
第１ ４卷
定理 １ 模糊 度 ｄ 具 有 以下 性 质
（ Ｖ 云∈ ， （） 云甘∑ 。 １ 、 ｄ ＝ｄ （） ） （ 云ｎ云） ＝∑ 。 ｃ（ ； ｃ（ ） （ ２） ｎ ｔ ） （） 、 ∈ ， ∈ ， Ｉ （ｉ一 ． Ｉ ２ ｖ Ｂ ｖ ｆ ∑ 云 ） ０ ≤∑ Ｉ （ｆ一 ． Ｉ ～ ５ ） ０ 甘∑ １ ５ （ 云ｎ云） ｆ≥ ｃ（ ） ∑ ， ｃ（； （ ｎ ） ） ；
１ ２ １
，
直 观上 很 明显 ｄ ）＞ ｄ 云） 但 无法用 （ ） （ （ ， ３ 对其 做 比较 ． （ ） 改 如下 将 ３修
２
（ ｖ ３ ∈ｘ有∑ Ｉ （） ０ ） ， 云 一 ．Ｉ ５ ≥∑ Ｉ （） ０ ， （） （） ． 一 ．Ｉ ５ 则ｄ ≥ｄ云 ¨
（ ）ｄ ）： ｄ ） ４ （ （ ．
则 称 映射 ｄ为 声上 的 Ｉ 型模糊度 ．
显 然 （ ） 明清晰集 的模 糊度 为 ０ 没有模糊 性 ；２ 说 明 （ １说 ， （） ）＝ １ （ 一 ）＝０ ５时 ， ． 模糊 度 最 大 ， 决
策 难 （ 说 隶 函 值 接 ．模 度 大 ｔ ３有 足 处 如 ： ＋ ； 掣 ＋ 最 ；） 明 属 数 越 近０ ，糊 越 ， （ 不 之 ， ： 云： ３ ５ Ｈ）
１ 模糊 度 的 准 则及 性 质
１７ ９ ２年 ， ｅｕａ Ｔ ｒｉｉ 出 ， 为模糊 度 的如下 结论 ： Ｄ ｌ 和 ｅｍｎ 提 ｃ 作 定 义 １１ 设 Ｘ为 论域 ， （ 为 Ｘ的一个 模糊 子集 族 ， 记为 ～， ： ｛ ｄ： ［ ］ 户 Ｘ） 简 Ｆ ｄＩ 户一 ［ ， ］ 为 映射 ｄ： ０ １｝
Ｖ０ ．４． １ １ Ｎｏ． ２
Ｊ ｎ． ２ ０ ｕ ，０ ７
模糊 性度量 的数字特征分析及计算 方法
王 志龙 杨 惠 芳２ ，
（． １兰州 工业 高 等 专 科 学 校 基 础 学 科 部 ， 肃 兰 州 甘 ７０５ ； ． 州 城 市 学 院 外 语 系 ， 肃 兰 州 ３００ ２ 兰 甘 ７０７ ） ３００
（ ｄ （ ： ； ） ∈声 ｖ １ ） ０（ ） ２ ， ∈ｘ ： ． ：１ ３ｖ ，、 ∈户有∑ （ ，（） ０ ｄ （） ； ） ∈ ＡＢ ５ （ ～一 ， ｎ ）） （ ≥∑ （ 云ｎ云） ） 云 ≤ｄ （） 为户 模 ｄ （） ． （ 称ｄ 上的 糊度， 为 糊 称ｄ （） 模 的 糊 模
（ ） 是经 典集 甘 ｄ ）： ０ ３ （ ； （ ） ∈ ， ｄ ）： ｄ ｃ ４ 有 （ （ ）： ｄ ｎ ｃ ； （ ）
（ ）Ａ、 ， Ｖ ∈ ， Ｉ ）一０ ５Ｉ Ｉ （ ５ ～Ｂ ～∈ 若 有 云（ ． ≤ ）一０ ５ Ｉ则 ｄ ）≤ ｄ 云） ． ， （ （ ；
关 键 词 ：模 糊度 ； 模糊 信 息熵 ； 糊距 离； 模 海明距 离 ； 闵可夫斯 基距 离
中图分 类号 ：０ １９ ５
文 献标 识码 ：Ａ
解 决实 际问题 领域 中模糊性 现象 问题 的关键 是模 糊性 度 量 ． 糊性 度量 与模 糊度 有关 ． 模 模糊 度 是度 量
模 糊集 特性 的一 种重 要工 具 ， 文将 对此进 行探 讨 ． 本
若 将 Ｉ 型模 糊度 中定 义 １ 的（ ） 中 ３ 替换 成 （ ） ， 称 映射 ｄ为 Ｆ上 的 Ⅱ 型模 糊度 ． ３ 则 显 然 ， 映射 ｄ为 Ｆ上 的 Ⅱ 型模 糊度 ， 映 射 ｄ必 是 Ｆ上 的 Ｉ 型模 糊度 ． 若 则 定 义 ２ 设 ＝ ｛ ， ， ， ｝ 论域 ， ｄ ∈ ｄ， 】 ｌ ２ … 为 若 且满 足
摘 要 ：介绍 了模 糊性 的度 量方 法模糊 度 ， 分析 了模 糊 度 的公 理 化 理论 体 系， 根 据 模糊 度 对 单 调 并
性 和对 称性要 求的 强弱不 同， 将模 糊 度 细分为 ３种类 型 ， 明 了每 个类 型所 具有 的性 质 ， 出 了用 证 给
模 糊信 息熵及 各 种模糊 距 离计 算模糊 度 的方 法 ， 并探 讨 了这 些 方法 的各 自特 点 ．