导体棒AB在均匀磁场B中绕通过C的垂直于棒长且沿磁场方向的轴OO

第九章 电磁感应 教学基本要求1.深刻理解法拉第电磁感应定律和楞次定律，并能熟练地运用其计算感应电动势的大小和判断电动势的方向；2.理解感生电场的概念．掌握动生电动势和感生电动势的计算方法；3.了解自感和互感现象及其规律，掌握简单情形下自感和互感系数的计算；4.理解磁场具有能量，并能计算典型磁场的能量．教学容提要1.电磁感应的基本定律（1） 法拉第电磁感应定律 d dtεΦ=-（2） 楞次定律 感应电动势的方向总是反抗引起电磁感应的原因． 2.动生电动势与感生电动势 （1） 动生电动势 ()L d ε=⨯⋅⎰υB l（2） 感生电动势 r lS d d d dtε=⋅=-⋅⎰⎰BE l S Ñ 3.自感与互感 （1） 自感系数 L Iψ= 自感电动势L d dIL dt dtεψ=-=- （2） 互感系数211212M I I ψψ==互感电动势 21121d dI M dt dt ψε=-=- 12212d dIM dt dtψε=-=- 4.磁场的能量（1） 自感磁能 212W LI =（2）密度 22m m W 11B 1w μH V 222μ==⋅=B H = （3） 磁场能量 m m VW w dV =⎰重点和难点分析1. 法拉第电磁感应定律不论任何原因，当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量Φ发生变化时，在回路中都会出现感应电动势ε, 而且感应电动势的大小总是与磁通量对时间 t 的变化率d dtΦ成正比．用数学公式可表示为d dtεΦ=-（1）感应电动势由d dtΦ决定，而与磁通量Φ的大小无关，与是何种方法产生的变化无关； （2）引起磁通量Φ变化的原因有B 随时间的S 变化和随时间变化；（3）电磁感应定律中的负号反映了感应电动势的方向与磁通量变化状况的关系，是楞次定律的数学表示；（4）使用上式是，先在闭合回路上任意规定一个正绕向，并用右螺旋法则确定回路所包围的面积的正法线n 的方向．然后，根据Sd Φ=⋅⎰B S 求出磁通量，根据d dtεΦ=-求出电动势．最后，要根据ε的大小来判断电动势的方向．当ε>0时，感应电动势的方向与规定的正方向相同；当ε<0时，感应电动势的方向与规定的正方向相反； （5）对于只有电阻R 回路，感应电流为1d I RR dtεΦ==-2.楞次定律楞次定律可表述为：闭合回路中的感应电流的方向，是要使感应电流在回路所围面积上产生的磁通量，去抵消或反抗引起感应电流的磁通量的变化．楞次定律表明，电磁感应的结果反抗电磁感应的原因．用楞次定律确定闭合回路中感应电流方向时，先确定原磁通量Φ的变化情况，然后确定感应电流所产生的通过回路的磁通量的方向，最后用右手定则来判断感应电流的方向．楞次定律本质是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体表现． 3.动生电动势磁场的分布不随时间变化，但回路相对于磁场有运动，即导体在磁场中切割磁力线运动时产生的电动势，称为动生电动势． 动生电动势可以表示为()k Ld d ε+-=⋅=⨯⋅⎰⎰E l υB l（1）上式揭示了产生动生电动势的根本原因是洛伦兹力；（2）如果由上式计算出0ε>，则表示动身电动势的方向与积分路径一致，即由积分起点指向积分终点，反之0ε<，表示动身电动势的方向与积分路径相反． 4.感生电动势导体回路或一段导体禁止不动，磁场B 随时间变化，在这种情况下产生的感应电动势称为感生电动势．为了解释感生电动势的起源，麦克斯韦提出假设：变化的磁场会在其周围空间激发一种电场，该电场称之为感生电场，又叫涡旋电场，用r E 来表示．在静止的导体中产生感生电动势的非静电力是感生电场对电荷的作用力．设有一段导线ab 静止处在感生电场中，则其上产生的感生电动势为br ad ε=⋅⎰E l而在感生电场中，回路的感生电动势就可表示为r ld ε=⋅⎰E l Ñ把上式代入法拉第电磁感应定律式有，r lSd d d d dS dt dt t Φ∂⋅=-⋅⋅∂⎰⎰⎰S BE l =-B S =-Ñ上式表明，在感生电场中，对于任意的闭合环路，r E 的环流rld ⋅≠⎰El 0Ñ，即感生电场是不同于静电场的非保守场．描述感生电场的电场线是闭合线，无头无尾．公式中的负号指明了感生电场与变化的磁场在方向上形成左手关系．若用左手大拇指指向t∂∂B的方向，则四指环绕的方向指向感生电场r E 的方向．即空间有两种形式的电场，由电荷激发的静电场e E 和由变化磁场激发的涡旋电场r E ．总电场为e r E =E +E ．5.自感与互感电流流过线圈时，其磁力线将穿过线圈本身，因而给线圈提供了磁通．当线圈中的电流发生变化时，它所激发的磁场穿过该线圈自身的磁通量也随之变化，从而在该线圈自身产生感应电动势的现象，称为自感现象，这样产生的感应电动势，称之为自感电动势，通常可用L ε来表示．自感系数为 L Iψ=，它与回路电流的大小无关，决定无铁磁质时线圈自感系数的因素是线圈回路的几何形状、大小及周围介质的磁导率和分布情况．按法拉第电磁感应定律，回路中所产生的自感电动势可用自感系数L 表示为L d dIL dt dtεψ=-=- 计算自感系数通常有如下步骤：(1)先设回路中有电流I ，(2)然后可由毕奥—萨伐尔定律或安培环路定律得到回路中的磁场B ，(3)再将B 对回路所围面积积分求出磁通链ψ，(4)然后由L Iψ=即可求出自感系数由于一个回路中电流变化，引起另一个回路中磁通量变化并激起感应电动势的现象称为互感现象，产生的电动势为互感电动势．M 为两回路之间的互感系数，简称为互感．211212M I I ψψ==互感电动势可表示为21121d dIM dt dt ψε=-=- 12212d dI M dt dtψε=-=-例题分析例 9-1 一根无限长的直导线载有交流电0sin i I t ω=，旁边有一共面矩形线圈abcd ，如图示．1ab l =1，2bc l =，ab 与直导线平行且相距为d ．求：线圈中的感应电动势．例 9-1图解 取矩形线圈沿顺时针abcda 方向为回路正绕向，则200121ln22d l S d i il d l d l dx x dμμππ++Φ=⋅==⎰⎰B S 0120cos ln2l d d l I t dt dμωεωπΦ+=-=- ε随时间作周期性变化：当ε>0时，感应电动势的方向沿顺时针方向；当ε<0时，感应电动势的方向沿逆时针方向.例 9-2 如图所示，长直导线通以电流I ，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b ，宽a ，线圈以速度v 垂直于直线平移远离．求：当线框距导线d 时线圈中感应电动势的大小和方向．例 9-2图解: AB 、CD 运动速度v ϖ方向与磁力线平行，不产生感应电动势．DA 产生电动势01()d 2dADIBb bμευυπ=⨯⋅==⎰υB l BC 产生电动势02()d 2π()CBIba d μευ=⨯⋅=-+⎰υB l∴回路中总感应电动势01211()2πIbv d d aμεεε=+=-+ V 方向沿顺时针．例 9-3 如图，半径为R 的圆柱形空间分布有沿圆柱轴线方向的均匀磁场，磁场方向垂直纸面向里，其变化率dBdt为常数．有一长度为L 的直金属棒ab 放在磁场中，与螺线管轴线的距离为h ，a 端和b 端正好在圆上，求： （1）圆柱形空间、外涡旋电场r E 的分布； （2）若0dBdt>，直金属棒ab 上的感生电动势等于多少？例 9-3图解 （1）由于磁场分布具有对称性，感生电场具有涡旋性，因此，感生电场的分布为一系列以管中心轴为圆心，圆面垂直于中心轴的同心圆．在同一圆周上，各点的感生电场大小相等，方向沿各点的切线方向．过圆柱体任一点在截面上，以O 为圆心，r 为半径作一圆形积分回路，设其方向与B 的方向成右螺旋关系，即取顺时针方向为回路绕行方向．则有r lS d d d dt=-⎰⎰BE l S g g Ñ 即22r dB E r r dtππ=- 2r r dBE dt=-()r R < 当0dB dt >时，0r E <，即沿逆时针方向；反之，当0dB dt<时，0r E >，即沿逆时针方向．同理，在圆柱外：2()2r R dB E r R r dt=->（2）方法一：用电动势的定义求解由（1）的结论知，在r R <的区域，2r r dB E dt =-．当0dBdt>时，r E 沿逆时针方向．所以0cos 222b bL r aar dB h dB Lh dBd dl dl dt dt dtεθ====⎰⎰⎰E l g 0,ε>所以电动势由a 端指向b 端．方法二：用法拉第电磁感应定律求作闭合回路OabO ，回路的感应电动势为cos 2S d dB dB hLdS dt dt dt επΦ=-=-=⎰因为oa 与ob 都与r E 垂直，所以0oa ob εε==2ab oa ob dB hLdt εεεε=--=两个自感系数分别为1L 和2L ，他们之间的互感系数为M ．求下列两种情况下他们窜联后的等效自感系数：（1）正串；（2）反串．例 9-4 图解：设串联线圈的等效自感系数为L ，当线圈通以变化的电流I 时，线圈1中的自感电动势为111dI L dt ε=-，线圈2中的自感电动势为222dIL dt ε=-，它们之间的互感电动势为1221dIM dtεε==-．（1）正串时，线圈1中的自感电动势和互感电动势方向相同，因此总感应电动势为111121()dI L M dt εεε=+=-+； 同理，线圈1中的自感电动势和互感电动势方向相同，因此总感应电动势为222212()dI L M dtεεε=+=-+ 两线圈正串后的总感应电动势为1212(2)dI L L M dtεεε+=+=-++ 根据自感系数的定义有122L L L M dI dtε=-=++（2）反串时，每个线圈的互感电动势和自感电动势反向，即111121()dI L M dtεεε=-=--222212()dI L M dtεεε=-=--1212(2)dIL L M dtεεε+=+=-+- 反串时，两线圈的等效自感系数为 122L L L M dI dtε=-=+-自测题一、选择题1.如图，导体棒AB 在均匀磁场B 中绕通过C 的垂直于棒长且沿磁场方向的轴OO ′转动(角速度ω与B 同方向)，BC 的长度为棒长的13．则( ) (A)A 点比B 点电势高． (B)A 点与B 点电势相等． A 点比B 点电势低．(D)有稳恒电流从A 点流向B 点．选择题1图 选择题2图 选择题3图选择题6图 选择题8图2.真空中两根很长的相距为2a 的平行直导线与电源组成闭合回路如题8-1-5图．已知导线中的电流强度为I ，则在两导线正中间某点P 处的磁能密度为( )(A)1μ0(μ0I 2πa )2 (B) 12μ0(μ0I 2πa)2(C)12μ0(μ0I πa)2(D)03.如图所求，导体abc 在均匀磁场中以速度v 向向左运动，AO OC L ==，则杆中的感应电动势为 （ ）（A ）BvL （B ）sin BvL θ （C ）cos BvL θ （D ）(1cos )BvL θ+ 4.用线圈的自感数L 表示载流线圈磁场能量的公式221LI W m = （ ）（A ）只适用于无限长密绕螺线管； （B ）只适用于单匝圆线圈；（C ）只适用于一个匝数很多，且密绕的线环； （D ）适用于自感系数L 一定的任意线圈．5.下列关于感生电场与静电场的说法中，不正确的是（ ） （A ）静电场由相对相对于观察者静止的电荷产生； （B ）感生电场的电场线不是闭合的；（C ）两种场对导体的作用不同．静电场对导体有静电感应现象，而感生电场对导体有电磁感应现象；（D ）两种场对点电荷的作用力都是q =F E ．6.在圆柱性空间有一磁感应强度为B 的均匀磁场，B 的大小以速率dBdt变化．有一长度为的金属先后放在磁场的两个不同位置1和2，则金属棒在这两个位置时的感生电动势的大小关系为（ ）（A ）210εε=≠ （B ）21εε> （C ）21εε< （D ）210εε==7. 如图，一金属棒OA 长L ，在大小为B ，方向垂直纸面向的均匀磁场中，以一端O 为轴心作逆时针的匀速转动，转速为ω．求此金属棒的动生电动势为（ ） （A ）212BL ω （B ）2BL ω （C ）12BL ω （D ）212B L ω8.磁感应强度为B 的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间，一金属杆AC 放在如图中位置，杆长为R ，如图．当tBd d ＞0时，则杆两端的感应电动势的大小为（ ） （A ）0 （B ）23dB R dt （C ）23dB R dt （D ）216dB R dtπ二、填空题1. 一无铁芯的长直螺线管在保持其半径和总匝数不变的情况下，把螺线管拉长一些，则它的自感系数将 ．2. 真空中一根无限长直导线中流有电流强度为I 的电流，则距导线垂直距离为a 的某点的磁能密度w m =_____．3. 如图，等边三角形的金属框，边长为l ，放在均匀磁场中，ab 边平行于磁感应强度B ，当金属框绕ab 边以角速度ω转动时，则bc 边的电动势为_ ____，ca 边的电动势为_____，金属框的总电动势为_____．(规定电动势沿abca 绕为正值)填空题3图4.均匀磁场B 被限制在半径为R 的无限长圆柱形空间，其变化率dBdt为正常数．圆柱形空间外距轴线为r 的P 处的感生电场的大小为 . 三、计算题1.如图，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移，求半圆环感应电动势的大小和方向以及MN 两端的电压M N U U -．计算题1图2.长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B 中， B 的方向与回路的法线成60°角(如图所示)，B 的大小为B =kt (k 为正常)．设t =0时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向．计算2题3. 如图所示，一长直电流I 旁距离r 处有一与电流共面的圆线圈，线圈的半径为R 且R <<r ．就下列两种情况求线圈中的感应电动势．(1)若电流以速率增加； (2)若线圈以速率v 向右平移．计算题3图4. 如图所示，金属棒AB 以12v m s -=⋅的速率平行于一载流导线运动，此导线电流40I A =．求棒中感应电动势的大小．哪一端电势较高？题 -8图5.一螺线管长300毫米，截面直径为15毫米，共绕2000匝，当导线有电流为2安培时，线圈中铁芯的相对磁导率为1000.不考虑端点效应，求管中心的磁能密度和所存储的磁场能量．自测题参考答案一、填空题1.A2.C3.B4.D5.B6.B7.A8.C二、填空题1. 变小2. 20228I aμπ 3. 238Bl ω 238Bl ω- 0 4.22dB R dt r- 三、计算题1. 解: 作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v ϖ方向运动时0d =m Φ∴ 0=MeNM ε即 MN MeN εε=又∵ ⎰+-<+-==b a b a MN b a b a Iv l vB 0ln 2d cos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向，大小为 ba b a Iv -+ln 20πμ M 点电势高于N 点电势，即ba b a Iv U U N M -+=-ln 20πμ2.解: 2211d cos6022m Blvt kt lv klvt Φ=⋅=︒==⎰B S ∴ klvt tm -=-=d d Φε 即沿abcd 方向顺时针方向．3.解；按题意，线圈所在处磁场可看作匀场且方向向里，故穿过线圈的磁通量为(1)按法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势大小为由楞次定律可知，感应电动势为逆时针方向．(2)按法拉第电磁感应定律由于，故由楞次定律可知，感应电动势为顺时针方向．4. 解：电流I 产生的磁感应强度： xI B x πμ20= 方向 ⊗ 设A---B 为电动势正方向， 在导体上取l d ϖ，d l d Iv dx x Iv vBdl l d B v l d d BA +-=-=-=⋅⨯=⎰⎰⎰+ln 22)(00πμπμερϖϖ 代入数据有 75410402ln10 3.7102V πεπ--⨯⨯⨯=-=-⨯ 电动势方向从B 到A ，A 端电势高．5. 解：由安培定律有管中心的磁场强度为 H nI = 所以，管中心的磁能密度为222420011 5.5810/22r r H n I J m ωμμμμ===⨯ 所存储的磁场能量为2 2.95W V l r J ωωπ===。