2014华二自主招生数学试题

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上海市华师大二附中自主招生高考数学应试辅导第1讲近年来自主招生试卷解读、应试策略、集合

第一讲近年来自主招生数学试卷解读集合与命题

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第一部分近年来自主招生数学试卷解读

一、各学校考试题型分析：

交大：

题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；

考试时间：90分钟，满分100分；

试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；

考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式

定理、解析几何和立体几何

复旦：

题型：试题类型全部为选择题（四选一）；

全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；

试题难度：基本相当于高考；

考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等

同济：

题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；

考试时间：90分钟，满分100分；

试题难度：基本上相当于高考；

考试知识点分布：常规高考内容

二、试题特点分析：

1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示：

2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。

关键步骤提示：

()()()

42432

22342(2)(2)(1)(2)(1)

f a x x a x x x

x x x a x x x =--++-=+-+++-1

(,),(,),(,)n

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(高清打印版)2014华二自主招生数学试题

J I H B D G E A

F C B D A F E C

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2014华二自主招生数学试题

一、填空题

1．已知a+a -1=4，则a 4+a -4=______．

2．⊙O 为△ABC 外接圆，已知R=3，边长之比为3：4：5，S △ABC =_____．

3．,4112222b a b a +=+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛20142013b a a b _________．4．四个不相等的整数ABCD ，满足下式的关系，则D 可能有________个取值+DBDDD BCADA ABBCB

5．有一个鱼缸它的底为100cm×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水，水面高40cm ，将一个

底为40cm×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中．缸内水面上升了________cm ．

6．有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等矩形BEFC ，GHIJ ，

BE=_________．

7．13+a=9+b=3+c ，求a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=______．8．甲手上有1～5号牌，乙手上有6～11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为_________．

9．直角坐标系xOy 内有一个△OEF ，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E′，已知E(2，1)，求E′的坐标_____．

10．一辆车的计程车速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，n 小时(n 是整数)行程结束时里程表上的里程数是为cba ，其中a≥1，a+b+c≤7，a 2+b 2+c 2=_________．

2014年卓越联盟自主招生数学试题及答案

2014年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试

选择题（每题5分，共20分）（注：原题是选择题） 1. 不等式3

210x x -+<的解集为_____________．

2. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，2AC =，二面角P BC A --的大

小为60︒，三棱锥P ABC -

，则直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值为________．

3. 当实数m 变化时，不在任何直线()2

21440mx m y m +

---=上的所有点()

,x y 形成的图形的面积为_____________．

4. 已知函数()()2

211,,,21ln 1,,2x x x f x x x ⎧+⎛

⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝

⎭⎨⎡⎫

⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩

．()244g

x x x =--．设b 为实数，若存

在实数a ，使()()0f a g b +=，则b 的取值范围是___________．

填空题（每题6分，共24分）

5. 已知01a <<，分别在区间()0,a 和()0,4a -内任取一个数，且取出的两数之和小于1

的概率为3

．则a 的值为_______________．

6. 设1e ，2e 为平面上夹角为θ（02

θπ

<≤

）的两个单位向量，O 为平面上的一个固定点，P 为平面上任意一点，

当12OP x y =+e e 时，定义(),x y 为点P 的斜坐标．现有两个点A ，B 的斜坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．则A ，B 两点的距离为______________．

华师大二附中自招数学题

已知正整数$a,b,c,d,e$满足$a+b+c+d+e=2019$，且

$a,b,c,d,e$ 中至少有 $3$ 个数相等，求所有可能的 $a,b,c,d,e$。

解法如下：

我们设 $a,b,c,d,e$ 中有 $k$ 个数相等，那么通过计数可以得到：

当 $k=3$ 时，方案数为

$binom{5}{3}timesbinom{2019}{3}=2,548,354,685$

当 $k=4$ 时，方案数为

$binom{5}{4}timesbinom{2019}{4}=14,494,821,880$

当 $k=5$ 时，方案数为

$binom{5}{5}timesbinom{2019}{5}=15,504,754,860$

因此，所有可能的方案数为

$2,548,354,685+14,494,821,880+15,504,754,860=32,548,931,425 $。

注意到 $a,b,c,d,e$ 中至少有 $3$ 个数相等，因此有以下

$3$ 种情况：

情况 $1$：$a=b=c=x$，$d=e=y$。

此时，$3x+2y=2019$，由于 $x,y$ 都是正整数，因此 $ygeq 2$。又因为 $3x+2y$ 是奇数，所以 $y$ 必须是奇数。

因此，我们可以枚举 $y=3,5,7,ldots,2017$，计算出对应的$x$ 值，即可得到所有可能的 $a,b,c,d,e$。

情况 $2$：$a=b=c=d=x$，$e=y$。

此时，$4x+y=2019$，同样地，我们可以枚举

$y=1,3,5,ldots,2015$，计算出对应的 $x$ 值，即可得到所有可能的 $a,b,c,d,e$。

华二初中自招培优讲义之自主招生考试数学试题

自主招生考试数学试题

一、选择题（每小题3分）

1、已知81cos sin =

⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（） A. 23 B. 23- C. 4

3 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程

()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（）

A.没有实根

B.有两个相等的实根

C.有两个不等的实根

D.根的情况不确定

3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（）

A. 43

B. 34

C. 2

3 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（）

二、填空题（每小题4分）

5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对题

6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=

7、如图，两个反比例函数x k y 1=和x

k y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积

为

8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1

)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=

上海中考自招真题26套及其答案

四校八大历年自招真题答案

2013年上中自招试卷2014年上中自招试卷2015年上中自招试卷2011年华二自招试卷2012年华二自招试卷2014年华二自招试卷2013年华二冬令营数学试卷2015年年华二自招试卷2017年年华二自招试卷2013年复附自招试题2014年复附自招试题一2014年复附自招试题二2015年复附自招试题一2015年复附自招试题二2012年交附自招试题2013年交附自招试题2014年交附自招试题2015年交附自招试题2016年交附自招试题2014年七宝自招试题2016年七宝自招试题2016年南模自招试题2016年建平自招试题2017年建平自招试题

建平数学培训资料试卷2015年控江自招试题

2013年华二冬令营数学试卷

1、“帽子函数”的图像如图所示：

(1)求此函数的解析式；

(2)若有抛物线23(),4

y x a a =-+

，．【解析】：⑴1,211,12

x k x k y x k k x k ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪-+++≤<+⎪⎩⑵0a

0a =时，一个交点

304

a <

两点，所以可以将234

y x =-+向右平移3个单位，即满足条件该抛物线解析式为()23

y x =--+

2、在一个8×8的正方形方格纸中，一个角剪去一个2×2的小正方形，问其余部分可否剪成15块“L ”型(如图)纸片，若能剪，给出剪切方法，若不能剪，请说明理由。

【解析】（一道基础的染色问题）如图进行黑白相间染色，那么L 型放入方格纸中，必定可以盖住1个黑格子和3个白格子，或者3个黑格子和1个白格子。L 形格子盖住的黑格子数都是奇数个，所以15个L 形盖住的黑格子也还是奇数个，而方格纸中有偶数个黑格子，矛盾。所以不能。

【自招】2004-2019年上海市四校八大自主招生数学真题试题及答案

2004-2019年

上海初中自主招生数学

试题及答案

真题及答案解析内容涵盖

上海著名的“四大名校”和“八大金刚”在历年自主招生中的科学素养数学试题

2019年复旦附中自主招生数学试题及答案

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2014年进才中学自主招生数学试题及答案

2014年上海中学自主招生数学试题及答案

2014年复旦附中自主招生数学试题及答案

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2014年华中一附自主招生数学试题

2015年复旦附中自主招生数学试题

2015年华师一附自主招生数学试题及答案

郝老师解答：

（一）1、

2、

3、

4、

5、

6、

（二）

1、

2、

3、

（三）

1、

2、

3、

参考答案

8、如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，

则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16

变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16

华二自招练习题(4)---内部资料

练习题（4）

1、若为质数，且方程04442=-+p px x 的两根均为整数，则=_________.

2、圆O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16,AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则B F -A E =______.

3、已知实数b a ,满足

3）1=ab

（4）1-=ab

4、设AD 为∠BAC 的中点，N 为BC 的中点，求MN.

5线k kx y 14-

=与

p p

6、已知c b a ,,满足0,0,022≥-≠=++c ab c c by ay ，求xy 的最大值

7、如图，M 是以AB 为直径的半圆O 的内接四边形ABCD 边CD 的中点，MN ⊥AB 于点N ，AB=10，AD=AN=3,

求BC.

8、已知G ，I 分别为ABC ∆的重心、内心，IG ⊥IC ，AC=2，BC=3，求AB.

9、已知一组数据

1,x x 1,,1,162+++x L x 的平均数.

10、在矩形ABCD 1cm ，

动点N 从点C 的中点P 移动的路程.

11、如图，AB、CD为圆O的两条弦，CD=2，AB=n

+为有理数），弧AB，弧CD的度数分别108°、36°，求36n

108m.

12、已知当0

1-≤

≤x m的取值范围.

13、在ABC

∆中，︒

∠

>45

,BAC

AB,E为∠BAC的角平分线上的一点，且EF⊥AB，已知AF=1，BF=5

∆的面积

求ABC

14、已知函数()x

的任意实数x

15、已知直径为20厘米的半圆O上有两个点P，Q，PC⊥AB，QD⊥AB，QE⊥OP，AC=4cm，求DE的长.

华二初中数学自主招生试卷

一、选择题（每题5分，共20分）

1. 下列各数中，绝对值最小的是（）

A. -2.3

B. 3.1

C. -1.4

D. 2.5

2. 已知a、b是方程2x^2 - 5x + 3 = 0的两个实数根，则a + b的值为（）

A. 5

B. 3

C. 2

D. 4

3. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点坐标是（）

A. （-2，-3）

B. （2，3）

C. （2，-3）

D. （-2，-3）

4. 下列各数中，是二次根式的是（）

A. √4

B. √-4

C. √3/4

D. √9

5. 已知等腰三角形ABC的底边AB=AC=6，顶角A的度数为（）

A. 45°

B. 60°

C. 75°

D. 90°

二、填空题（每题5分，共25分）

6. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(x)的值域为[1, 5]，则x的取值范围为______。

7. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 30°，则∠C的度数为______。

8. 若一个等差数列的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为______。

9. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且顶点

坐标为（1，-4），则该函数的解析式为______。

10. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）到直线y = 2x的距离为______。

三、解答题（每题10分，共40分）

11. （10分）已知数列{an}的前三项分别为1，3，7，且满足an+1 = 2an + 1，

求该数列的通项公式。

12. （10分）已知三角形ABC的边长分别为AB=5，BC=6，AC=7，求△ABC的面积。

自主招生历年数学真题专题讲解(上海)

一、专题讲解 (2)

专题1、巧算 (2)

专题2、找规律 (4)

专题3、二次根式 (7)

专题4、化简求值 (9)

考点5、有理数无理数反证法 (152)

考点6、不等式 (18)

考点7、整式方程 (18)

一、专题讲解

考点1、巧算往届真题回顾

【2015华二】

【2015交大】

2017考题预测

考点2、找规律往届真题回顾：

2017考题预测

7、如图，直线l 1：1-=x y 与直线l 2：12-=x y 交于点P ，直线l 1与x 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 1，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 1；再沿平行于y 轴的方向向上运动，到达直线l 2上的点B 2，再沿平行于x 轴的方向向右运动，到达直线l 1上的点A 2，…依此规律，则动点C 到达点A 10所经过的路径总长为（）

A ．1210

- B ．2210

- C ．1211- D ．2211-

10、现在a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个小正方形．

(1)用含n的代数式表示m；

(2)当这a根火柴棒还能摆成如图3所示

的形状时，求a的最小值．

（第7题图）

考点3、二次根式

往届真题回顾

【2015交大】

【2013交大】

【2012复旦】

【2015华二】已知：2

53+=

x ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2= 。

【2014建平】

有________个实数x ，可以使得120x -为整数.

2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析

2014年XXX数学试点班自主招生考试题

解析

2014年XXX数学试点班自主招生考试题（A卷）

总分：200分考试时间：2014-2-16 8:30-11:30

一．填空题（每小题7分，共70分）

1.若单位向量a，b满足|2a-3b|=10，则|3a+2b|=4.

解析：由|2a-3b|=10平方得：13-12a·b=10，即a·b=1/4.则|3a+2b|=√(13+12a·b)=4.

2.若非零复数z满足|z|+z·(1+i)-z=0，则复数z的实部为-2/5.

解析：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|+z·(1+i)-z=0得：(x+y-y)+(x+2yi)=0，即2x+2yi=-(1+i)y。则x=-2/5.

3.无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有个。

解析：用排除法。不含5的无重复数字的五位数共A9=个，其中，4和5相邻的无重复数字的五位数共C7A4A2=1680个。所以，无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有-1680=个。

4.在三棱锥P-ABC中，底面为边长为3的正三角形，且

PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=11.

解析：易知△PBC是直角三角形，取斜边PC的中点为O，因为AP=AB=AC，所以点A在平面PBC上的射影为直角

△PBC的外心O，连接AO，即有AO⊥平面PBC。在直角

△AOP中，AO=√(AP^2-PO^2)=√(3^2-()^2)=√8，则VP-

ABC=VA-PBC=1/3·S△PBC·AO=1/3·6·√8=11.

04.上海市华二附中自招数学试卷(含答案解析及评分标准).doc

2012年华二附中自招数学试卷

1. “帽子函数”的图像如图所示：

（1）求此函数的解析式；

（2）若有抛物线2y x a =-+3()4a <，求它与“帽子函数”图像的交点个数；

（3）请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数”图像有且只有2个交点，横坐标分别为2.5，3.5.

2. 在一个88⨯的正方形方格纸中，一个角剪去一个22⨯的小正方形，

问其余部分可否剪成15块“L ”型纸片（如图），若能剪，给出剪切

方法，若不能剪，请说明理由.

3. n 为正整数，123S n =+++⋅⋅⋅+，S 为一个由同一个数字组成的三位数，求n 的值.

4. 寒山寺每隔9秒敲一次钟，第一次敲钟时，甲、乙两船分别向上、下游驶去，速度分别为3m/s ，9m/s ，当甲船听到第108声时，乙船只能听见第声. （300V =声m/s ）

5. 对于满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ，使

x y

最大，这个最大值为 6. 方程||2|1|x a --=有三个正数解，求a 的值.

7. 若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围

8. 方程22222x y z w u +++=共有组整数解

9. 正方形ABCD 中有一点E ，使E 到A 、B 、C 边长.

10. 9名同学分别投票给“杨坤组”与“那英组”，最终“杨坤组”5票，“那英组”4票，问“杨坤组”的票数始终压过“那英组”的概率为

参考答案

1.（1）,0.51,0.51

x k x k y x k k x k ≤<+⎧=⎨-+++≤<+⎩；

“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2014...

2010年“华约”自主招生试题解析

一、选择题 1．设复数2

(

)1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（）（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）3

2．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（）

（A ）2 （B （C ）1 （D 3。缺 4。缺

5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan

tan 22

A C

的值为（）（A ）

15 （B ）1

（C ）

（D ）

6．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF

垂直BC 于F ，OH 与AF

相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:2

7．设

()e (0)ax f x a =>．

过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（）

（A ）1 （B （C ）

（D ）

e 4

8．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -

=>>，椭圆22

22:14

x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（）

（A ）（B ）2 （C ）（D ）4

9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 10．设定点

华二自招模拟训练卷(二)

华二自招训练题〔二〕

Part 1 Words and phrases

I. Choice:

1. A person’s _________ body temperature is about 37C.(A :ordinary, B:normal, C: common,D:

usual)

2.When I opened the door, a parcel on the floor___________ my eye.(A: met, B: caught, C:drew,

D: attracted)

3.Many foreigners_____________the Great Wall as the World’s Seventh Wonder.(A: look at ,B: look for,C: look around,D: look on)

4. A piece of ______________music will make you happy. (A:fond ,B: pleased, C: merry,D: glad)

5.It has been ten years now since the Labour Party came to____________ in that country.

(A:power ,B: control ,C: force,D: charge)

6.Have you finished your report yet? No, I'll finish in _________ten minutes. (A:other,B:another, C:more,D: less )

2014年华约自主招生数学试题解析

戴又发

1．54321,,,,x x x x x 五个正整数，任取四个其和组成的集合{}47,46,45,44，求)5,4,3,2,1(=i x i

【解析】由五个正整数中取四个求和，应得到5个和，和组成的集合{}47,46,45,44，说明恰有两个和相等，进而可知这五个正整数，恰有两个数相等．不妨设4321,,,x x x x 互不相等，且4321x x x x <<<，54321x x x x x M ++++=，则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-47

45441234x M x M

x M x M ，于是18244321=----x x x x M ，即51823x M -=，又因为47182444182+≤≤+M ，即25.575.56≤≤M ．

当56=M 时，54321,,,,x x x x x 分别为9,10,11,12,14，不符合题意；当57=M 时，54321,,,,x x x x x 分别为10,11,12,13,11，满足题意．故所求五个正整数为10,11,12,13,11．

2．乒乓球比赛，甲胜的概率是)5.0(>p p ，五局三胜制，甲获胜的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．

【解析】甲获胜的概率是3452324323310156)1()1(p p p p p C p p C p q +-=-+-+=，

于是p p p p q p +-+-=-34510156，

令p p p p p f +-+-=34510156)(

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