2014华二自主招生数学试题
华二初中自招培优讲义之初中自招训练
初中自招训练1、 一个平行四边形的一边长为3，两条对角线的长分别为4和25，则它的面积为（ ）。
2、 如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为A （0，3），O(0,0)，B(4,0),C(4,3),动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数y=xk 的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与②若k=8,则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上； ③满足题设的k 的取值范围是0＜k≤12； ④若DE•EG=1225,则k=1 其中正确的命题的序号是 4、 某人投两次骰子，先后得到点数m,n,用来作为一元二次方程02=++n mx x 的系数，则使方程有实根的概率为（ ）。
5、 设m ,,1N m ∈ 以（0，m ）间的整数为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以（0，2m ）间的整数（m N m ∈,1 ）为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ;……,依次类推以（0，n m ）间的整数（m N m ∈,1 ）为分子，以n m 为分母组成不属于1A ，2A ，…1-n A 的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则1a +2a +…+n a =( )6、 对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时， n!!=n(n-2)(n-4)…6⨯ 4⨯2;对于n 是奇数时，n!!=n(n-2)(n-4)…5⨯ 3⨯1,现有如下四个命题：①（2013！！）（2014！！）=（2014！）；②2014！！=10072.1007!;③2014!!的各位数字是0；④2015！！的个位数字是5，正确的命题是（ ）7、 已知无穷数列{}n a 具有如下性质：①1a 为正整数； ②对于任意的正整数n,当n a 为偶数时，21n n a a =+；当n a 为奇数时，211+=+n n a a 。
在数列{}n a 中，若当n k ≥时，n a =1.当1k n ≤时，n a 1.（N k k ∈≥,2），则1a 可取数字的个数为（ ）（用k 表示）7.如果*12...()n S n n N =+++∈，*3223...(2,)111n n n S S S T n n N S S S =⨯⨯⨯≥∈---，则下列各数中与2010T 最接近的数是（ ） （A ）2.9 (B) 3.0 (C) 3.1 (D) 3.28.已知12,x x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根.（1）若12(1)(1)28x x --=.求m 的值；（2）已知等腰ABC ∆的一边长为7，若12,x x 恰好是ABC ∆另外两边的长，求这个三角形的周长.9. 如图，已知一次函数b x y +=211的图象l 与二次函数b mx x y ++-=22的图象'C 都经过点B （0,1）和点C ，且图象'C 过点A （52-，0）.（1）求二次函数的最大值；（2）设使12y y >成立的x 取值的所有整数和为s ，若s 是关于x 的方程033)111(=-+-+x x a 的根，求a 的值； （3）若点F 、G 在图象'C 上，长度为5的线段DE 在线段BC 上移动，EF 与DG 始终平行于y 轴，当四边形DEFG 的面积最大时，在x 轴上求点P ，使PD+PE 最小，求出点P 的坐标.10. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP=x ．（1）求AD 的长；（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为S 1、S 2，若S=S 1+S 2，求S 的最小值．11. 已知：如图，在Rt △ABC 中，C90∠=，4BC =，12tan CAB ∠=，点O 在边AC 上，以点O 为圆心的圆过A 、B 两点，点P 为AB 上一动点.（1）求⊙O 的半径；（2）联结AP 并延长，交边CB 延长线于点D ，设AP x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结BP ，当点P 是AB 的中点时，求△ABP 的面积与△ABD 的面积比ABP ABDS S △△的值．第11题图 备用图B（方涛、蔡桂英编辑）。
华二初中自招培优讲义之自主招生考试数学试题
自主招生考试数学试题一、选择题（每小题3分）1、已知81cos sin =⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（ ） A. 23 B. 23- C. 43 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（ ）A.没有实根B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根D.根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（ ）A. 43B. 34C. 23 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（ ）二、填空题（每小题4分）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=7、如图，两个反比例函数x k y 1=和xk y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ⋅=11、已知c b a ，，为实数，且514131=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，，，则=++cabc ab abc 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为13、方程xx x 222=-的正根个数为 14、已知，124=+=+ab n b a ，，若221914919b ab a ++的值为2011，则n=15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幂的概率为16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。
2014年华约自主招生数学试题(精校word版,有答案)-历年自主招生考试数学试题大全
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1 2014年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1()2p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()(cos sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π=
-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．。
华二初中自招培优讲义之自招真题试卷
自主招生数学试题5一、选择题（每小题6分，共计36分） 1、方程2681x x -+=实根的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分，那么下列分数中不可能的是（ ）A 、95B 、89C 、79D 、75 3、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列6个代数式：ab 、ac 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -，其值为正的式子的个数是（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个4、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是:1p ，而在另一个瓶子中是:1q ，若把两瓶溶液混合一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ）A 、2p q +B 、22p q p q++ C 、2pq p q + D 、22p q pq p q ++++ 5、已知直角三角形有一条直角边的长是质数n ，另外两条边长是两个自然数，那么它的周长是（ ）A 、21n +B 、21n -C 、2n n +D 、2n n - 6、如图，ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=，延长AC 到D ，使CD B C =，点P 是ABD∆的内心，则BPC ∠=（ ）A 、145B 、135C 、120D 、105二、填空题（共6小题，每题6分，共36分）7、设直线(1)10kx k y ++-=与坐标轴所构成的直角三角形的面积是k S ，则122008...___________S S S +++=。
8、已知方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，则实数m 的取值范围___________。
9、已知11x x -=，则242____________20071x x x =++。
10、如图，电路中有4个电阻和一个电流表A ，若没有电流通过电流表A ，问电阻器断路的可能情况共有______________种。
2014年华约自主招生数学试题及参考解答
2014年“华约”自主招生数学试题1、设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是5个正整数，从中任取4个数求和所得的集合为{}44,45,46,47，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的值．2、甲乙2人进行乒乓球比赛，单局甲胜的概率为p （p >12），若采取5局3胜制，设甲比赛获胜的概率是q ．问当p 为何值时，q p -取得最大值？3、已知函数())cos sin sin 2sin 4f x x x x a x b π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭（a>0）有最大值1和最小值-4．求a 、b 的值．4 、已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，设-1f 表示f 的反函数，f g 表示函数f 与函数g 的复合函数，即()()(())fg x f g x =（1）证明-111()()()()fg x g f x --=．（2）记()()F x f x =-，1()()G x f x -=-, 证明：若()F x 是()G x 的反函数，则()f x 是奇函数．5、从椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的动点M 作圆222b y x =+的2条切线，切点为P 和Q ，直线PQ 与x 和y 轴的交点分别为E 和F ，求EOF ∆面积的最小值。
6、已知数列{}n a 满足nn n qa np a +=+1，01=a 。
（1）若1=p ，求{}n a 的通项公式；（2）若1||<p ，1||<q ，求证：数列{}n a 有界。
7、设n 为正整数，证明当n x ≤时，21e nx x n n x n ⎛⎫-⋅-⋅≤ ⎪⎝⎭．附录：2014年“华约”自主招生数学参考解答1 [解法1] 设五个数任取四个，得到的五个和分别是44，45，46，47，a ．由题意，a 是44，45，46，47中的一个．又12345444546474ax x x x x ++++=++++是整数，知46a =且1234557x x x x x ++++=．从而这五个数是574413-=，574512-=，574611-=，574611-=，574710-=．[解法2]2 【解法1】设甲胜的局用1表示，乙胜的局用0表示．甲取得比赛胜利的情形有：111,011113C ⨯,1010124C ⨯.()()2313233411q p C p p C p p =+-+-，设()54361510f p q p p p p p =-=-+-．则()()()2432222'30121111f p p p p p p p p p =30-60+-=30-+-=30--．由单调性可知，当11302430p =+-时，q p -取到最大值． 【解法2】4、解析：5、解析：7 答案：原不等式等价于： 21e nxx n x n n ⎛⎫-≤⋅-⋅ ⎪⎝⎭；若2x n ≥，则左边非正，右边非负，自然成立．若2x n ≤，则右边222221e 1111nnnxn x x x x x n n n n n n x n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅≥⋅-⋅+=⋅-≥⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也成立，证毕．注：第7题证明中用了如下两个事实：（1）若0x ≥，则e 1xx ≥+；（2）若1x ≥-，1α≥，则()11x x αα+≥+．其中第二个不等式称为贝努力不等式．历年“华约”题目中围绕e 的不等式屡见不鲜． 除上述两个结论外， （3）若0x ≥，则()ln 11xx x x ≥+≥+；（或()2ln 12x x x x-≤+≤）．（4）若0x ≥，则 3sin tan 6x x x x x-<<<；（5）若0x ≥，则 2cos 12x x ≥-．也常用在不等式的估计中．上面的不等式涵盖了指数、对数、三角函数、幂函数的一阶或高阶估计，比较全面，是值得了解的！。
(高清打印版)2014华二自主招生数学试题
JI H B D G E AF C B D A F E C /////////////////2014华二自主招生数学试题一、填空题1．已知a+a -1=4，则a 4+a -4=______．2．⊙O 为△ABC 外接圆，已知R=3，边长之比为3：4：5，S △ABC =_____．3．,4112222b a b a +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛20142013b a a b _________．4．四个不相等的整数ABCD ，满足下式的关系，则D 可能有________个取值+DBDDD BCADA ABBCB5．有一个鱼缸它的底为100cm×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水，水面高40cm ，将一个底为40cm×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中．缸内水面上升了________cm ．6．有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等矩形BEFC ，GHIJ ，BE=_________．7．13+a=9+b=3+c ，求a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=______．8．甲手上有1～5号牌，乙手上有6～11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为_________．9．直角坐标系xOy 内有一个△OEF ，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E′，已知E(2，1)，求E′的坐标_____．10．一辆车的计程车速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，n 小时(n 是整数)行程结束时里程表上的里程数是为cba ，其中a≥1，a+b+c≤7，a 2+b 2+c 2=_________．11．有一个多项式，除以2x 2-3，商式是7x-4，余式是-5x+2，多项式为__________．12．有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为_______．13．有一个矩形ABCD ，DC=2BC ，E 、F 为AB 边上点，DE 、DF 将∠ADC 三等分，S △DEF /S 矩=________．14．抛物线上两点A(-5，y 1)，B(3，y 2)，抛物线顶点在(x 0，y 0)，当y 1＞y 2＞y 0，求x 0的取值范围__________．15．l 1、l 2交于点O ，平面内有任意点M ，M 到l 1、l 2的距离分别为a 、b ，有序实数对(a ，b)为距离坐标，若有序实数对为(2，3)，这样的数有几个?___________二、选择题16．若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD 全等的有()A ．△BCE B ．△ADF C ．△ADE D ．△CDE 17．有一个长方形纸片，其长为a ，宽为b(a>b)，现将这种纸片按下图的方式拼成矩形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的长改变时，S 不变，a 和b 满足()A ．a=2b B ．a=3b C ．a=34b D ．a=4b 三、解答题18．解关于x 的方程a x =--3221．19．某商场购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价和售价如下图：进货用了资金15.5万元，获得毛利2.1万元．(1)问该商场购进两种手机各多少台？(2)若现在进货资金不超过16万；且(1)的基础上购进乙种手机，增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大．20．如图所示，C 在⊙O 上，OD ∥BC ，AD 是切线，延长DC 、AB 交于点Ｅ．(1)求证：DE 是切线；(2)32=DE CE ，求cos ∠ABC 的值．21．(1)设n 是给定的正整数，化简：()1111122-+++n n，(2)根据(1)的结果，计算2222221019113121121111+++++++++ 的值．22．已知抛物线过点A(-3，0)，B(0，3)，C(1，0)(1)求解析式；(2)P 是直线AB 上方抛物线上一点，不与A 、B 重合，PD ⊥AB 于D ，PF ⊥x 轴于F ，与AB 交于E ．①当C △PDE 最大时，求P 的坐标②以AP 为边作正方形APMN ，M 或N 恰好在对称轴上，求P 的坐标．单位(元)甲乙进价40002500售价43003000。
2014年华约自主招生试题
–1
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⇐ ∀x, f (g (g (f (x)))) = f (g (– g (f (– x))))
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⇐ ∀x, f (g (g (f (x)))) =– f (g (g (f (– x))))
⇐ ∀x, x =– (– x) .
5、设 ，则 M (a cos θ, b sin θ)
5
4
3
= 6p – 15p + 10p ,
5
4
3
q– p = 6p – 15p + 10p – p.
因此
5
4
3
′
4
3
2
(6p – 15p + 10p – p) = 30p – 60p + 30p – 1
2
2
= 30p (p– 1) – 1,
−−− √
−−−
由 ，解得 1 p (p– 1) =– √ 30
x
2– e (1– )
> 0,
n
从而 f (x) 的最小值为 f (0) = n ，原命题得证．
法二
由于
于是
x
x
ln (1 + ) < ,
n
n
从而
xn
x
e > (1 + ) , n
n– n(1–
xn
x
)e n
xn
⩽ n– n(1– ) (1 +
n
2
n
x
= n– n(1–
)
n2
xn )
n
x2
⩽ n– n (1– n2
′
2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案 (2)
2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题一．选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ D ）A．2π+B ．83πC ．4πD．2π2.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ B ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 141323.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 0083.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D )A. 521.B. 27.C. 13D. 8214、解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.5. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ B ）2 2 2侧（左）视222正（主）视俯视图.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5、解 当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，C D ⊥AB 于D ，AD=9，BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于P,Q 两点，弦PQ 交CD 于E ，则PE •EQ 的值是（ D ）A ．24 B. 9 C. 36 D. 277.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1，则ab 的取值范围（ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜21-8. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( )A.4+26+22B. 2+26+22C. 4+23 +42 D ．4+23+42 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则32 .由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.10.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，a k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 2014(k=1,2,, 100,则在这100个整数中，不同的整数的个数为 6911.设非负实数x,y,z 满足x+y+z=1,则t=29x ++24y ++21z +12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以BN 与MP 长度相等，BM 与NP 长度相等，因此，曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ， 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC = S△AOB + S △BOC – S△AOC 1142-所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC 13. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则 有 不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定； （3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。
2014高中自主对外招生数学试卷和答案
高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。
2014华约自主招生数学解答
以存在 N 0 ，使得对 n N 0 ，
我们设最大项为 bk ， 那么 n 1 t n 有最大项，
n 1 t n
t 1
t tn
bk B (其中 B 是一个常数). t 1
2
b2 b , 0 , F 0, a cos sin
，所以 EOF
的面积 S
b3 b3 b3 ，所以 EOF 的面积的最小值为 . a a sin 2 a
n 6. 设数列 an 满足： an 1 np qan ， a1 0 .
n
x x 证明：记 f x x n 1 e n . n
2
n
那么 f ' x 2 x n 1
x x x e n 1 n n
n 1
n
n 1
x n1 e x x 2 1 e x ，我们证明对 n
情形(3)： b c a d ，同(1)亦有 4b 39 ，矛盾. 情形(4)： b c d a ，同(1)亦有 4b 38 ，矛盾. 综上所述， x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的值为 x1 x2 11, x3 10, x4 12, x5 13 及其轮换. 2. 一场比赛在甲乙之间进行，采取五局三胜制，已知甲赢一局的概率为 p ( p 赢得比赛的概率是 q ，求 q p 的最大值，及取最大值的 p 值. 解：设比赛了 局. 当甲用 3 局取胜，则 q 3 p ； 当甲用 4 局取胜，则 q 4 C3 p 1 p ；
华二自主招生数学试题(9)---内部资料
1.在ABC ∆中，AE AC AD AB AC E AB D A C B 5,5,,,2==∈∈∠=∠+∠,且I H G F ,,,依次为边BC 上的4个五等分点，则._________=∠+∠+∠+∠DIE DHE DGE DFE2. 已知方程02=++c bx ax 的两根之和为p ，两根平方和为q ，两根立方和为r ，则.________=++cp bq ar3. 设,ac b a b c b a c c b a k ++-=+-=-+=且,6952n n m =+++则关于自变量的一次函数n m kx y ++=的图像必过第________象限4. 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起站在台阶上拍毕业照，现要将其排列成前多后少的梯形方阵（排数3≥），且各行的人数必须是连续的正整数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排列方案有_______种.5. 若二次函数1322++-=t tx x y 在[]3,1∈x 上的最小值为1-，则.________=t6. 在ABC ∆中，060,8,5=∠==A AC AB ，则它的内切圆半径为._________7. 设y x ,为实数，则32226522+-++-=y x y xy x f 的最小值是.____________8. 如图，ABC ∆中，CF BE AD ,,交于形内点P ，FE 延长线交BC 于点G .若15=BD ，,6=CD 则._________=CG9. 已知n 为正整数，且99192+-n n 是完全平方数，则n 所有可能的值为._________10. 设,23=a 则()[]33291++-a a 的值为.________11. 已知抛物线43432+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x a ax y 的开口向下，它与x 轴交于点,,B A 与y 轴交于点C ，如果ABC ∆是等腰三角形，求a 的值.12. 锐角ABC ∆的内心为I ，垂心为H ，ABC ∆的外接圆的劣弧AC 的中点为M ，若MH MI =，求.ABC ∠13.若函数()213212+-=x x f 在区间[]b a ,上的最小值为a 2，最大值为b 2，求[].,b a。
华二数学自招练习题2
8}，则 A
B
______
8 方程 6xy 20x 9 y 35 0 的所有整数解为 aa
9 方程 x4 2 3x2 x 3 3 0 的四个实根的平方和为 ______
10 在三位数中，数字 7 恰好出现一次的共有 ______ 个
二解答题
11 设 a,b, c 0 ，证明不等式 (1 a)(1 b)(1 c ) 2(1 a b c)
14 对任意的实数 x [1,1] ，有| ax2 bx c | 1(ac 0) ，求 f(x) | cx2 bx a | 在[1,1] 的最大值
bca
3 abc
12 已知 ABC 的最短边为 BC ，设 P,Q 分别在线段 AB, AC 上，使 PCB BAC QBC 。证明： ABC 的外心与 APQ 的外心的连线垂直于 BC
13 求有序三元正整数组 (a,b, c) 的个数，使得 abc 2(a b c) 4
6 三角形三边长为 a 7,b 8, c 5 ，则 (sin A sin B sin C)(cot A cot B cot C ) ______
2
2
2
7
设x 为不大于 x 的最大整数，集合 A {x | x2 2[x] 3}, B {x | 1 2x
华二数学自主招生试题
一 填空题 1 坐标平面上有两个圆 A, B ，圆心均为 (3, 7) ，若圆 A 与 x 轴相切，圆 B 与 y 轴相切，则圆 A 和圆 B
的面积比为 ______
பைடு நூலகம்
2
若实数
a,
b
满足
1 a2
上海四校自招-数学华二卷解析
a - -1. a + a -1 = 4 , a 2 + a -2 =14 , 四校自招-数学·华二卷 a 4 + a -4 = 194学而思高中部 胡晓晨老师 2. S = 1 ⨯(6 ⨯ 3) ⨯(6 ⨯ 4) = 216ABC 2 5 5 25【高中知识点】解三角形——三角形面积公式a 2 +b 2 3. a 2 a 2 + b 2+ = 4 , b 22 2 + = 2 , a 2 b 2 b 4 + a 4 = 2a 2b 2 ,a 2 =b 2若 a = b , ( b )2013 ( a )2014 = 0a b若 a = -b , ( b )2013 ( a )2014 = -2 a bans 0 或-24. 第五列B+A=D ，结合第一列A+B=D ，可得第二列B+C=B 没有进位∴ C = 0∴ A+B=D 也没有进位，算式即A B B 0 B+ B 0 A D AD B D D D 而 A ≥ 1, B ≥ 1，且 A ≠ B∴ D = A + B ≥ 3D 可取到3, 4,,9 ，共 7 个值5. 40 ⨯ 20 ⨯10= 2100 ⨯ 40 【注】我觉得答案也可以是-40 cm ，砖扔到鱼缸里，鱼缸就被砸破了 6. 连 BF , JH ，过 H 作 HM ⊥ AJ 于 M ，则FBE ≌HJM∴ MJ = BE∴ AJ - DH = AJ - AM = MJ = BE∴ AJ = DH + BE = JE + BE = BJ∴ AJ = 1 2b3 ∴ ∠GJA = 60︒ ∴ ∠IJE = 30︒ 设 IJ = x ，则 BE = x ， JE = 3 x ， BJ = x +2 3 x = 1 2 2∴ x = 2 - 7. 题目不全8. 【注】题目表述应为内切球，不是内切圆大正方体边长2 cm, 其内切球直径2 cm ，也作为小正方体的外接球2∴小正方体边长cm小正方体表面积6⨯( 2 )2 = 8 cm 23【高中知识点】立体几何——正方体与球(a - b )2 + (b - c )2 + (c - a )2 9. = 16 + 36 +100 = 8 +18 + 50 = 762 210. 1- 4 ⨯ 4 = 75 6 15【高中知识点】概率——对立事件发生的概率11. (-8, 4)12. 【注】题目应当补充条件：行驶的时间刚好为整数（单位：小时）(100c +10b + a ) - (100a +10b + c ) = 55t即99(c - a ) = 55t9(c - a ) = 5t∴ c - a = 5,t = 9∴ a = 1, c = 6∴ b = 033 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3713. (2x 2 - 3)(7 x - 4) + (-5x + 2) = 14 x 3 -8x 2 - 26 x +1414. 【注】题目意思应表述为，最大的正整数最大值可能为多少 ans 35 ；可构造出11个数分别为1, 1, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 3515. 设 AD = 1 , DC = 2 ，则 AE = 1 ,DF = 2AD = 2 , 3AF = ,EF = AF - AE = - 1 = 23 31⨯ 2 ∴ S DEF S ABCD = 2 3 = 1 = 3 2 2 3 6二、16. C17. x 0 > -118. 4【高中知识点】解析几何——点的轨迹问题19. 设 BC = x ，则S = (x - a )3b -(x - 4b )a = (3b - a )x + ab ，当a = 3b 时， S 不变ans B三、20. 1 x - 2 = a + 32若 a + 3 < 0 ，即a < -3 ，原方程无解若 a + 3 = 0 ，即a = -3，原方程即 1 x - 2 = 0 ， x = 4 2若 a + 3 > 0 ，即a > -3，原方程即 1 x - 2 = ±(a + 3) ， x = 2a +10 或-2a - 22【高中知识点】绝对值不等式⎩ ⎩ OE ⎬OA = ⎬O C21. ⑴设购进甲、乙两种手机分别 x , y 台，则⎧0.4x + 0.25y = 15.5⎨0.03x + 0.05y = 2.1⎧x = 20解得⎨ y = 30答：购进甲手机20 台，乙手机30 台⑵设增加购进乙手机数量为a 台，则甲手机减少 a 台，则2(20 - a ) ⨯ 0.4 + (30 + a ) ⨯ 0.25 ≤ 162解得a ≤ 10(20 - a) ⨯ 0.03 + (30 + a ) ⨯ 0.05 = 0.035a + 2.1 ≤ 2.452 ∴当a = 10 时，利润最大，此时乙手机共40 台，甲手机共15 台答：购进甲手机15 台，乙手机40 台，可达到利润最大，最大为2.45 万元22. ⑴设OD 与 AC 交于点 E ，连OC则 AC ⊥ CB ⎫⇒ OE ⊥ AC ⇒ EA = EC ⇒ DA = DC⎭DA = DC ⎫ ⇒DAO ≌DCO ⇒ ∠DCO = ∠DAO = 90︒⎭∴ DC 为切线，即 DE 为切线⑵ CE= 2 ，则 DC = 1DE 3 DE 3∠ODA = ∠ODE ⇒ OA= DA = DC = 1设OA = x ，则OE = 3x∴ OB = x , BE = 2xOE DE DE 3CE 为切线， ∠ECB = ∠CAE ⇒ ECB ∽EAC∴ EC = EB= CBEA EC AC 设CB = a ，则CA = ⇒ EC = 2 2x ⇒ 2aCB = 2CA 2CB 2 + CA 2 = AB 23 n 2 (n +1)2 + n 2 + (n +1)2 n 2 (n +1)2 + 2n (n +1) +1 (n (n +1) +1)22 ∴ a 2 + 2a 2 = 4x 2 ⇒ a = 2 x ⇒ cos ∠ABC = CB = CA 2 x3 = 32x 323.⑴-1 = -1 = -1n (n +1) = -1 = n (n +1) +1 -1 = 1= 1 -1n (n +1)n (n +1) n (n +1) n (n+1)n n +1⑵原式 = (1+1- 1) + (1 + 1 - 1) ++ (1+ 1 - 1 ) = 9 + (1 - 1 ) = 992 23 【高中知识点】数列——裂项求和9 10 10 1024. ⑴ y = -x 2 - 2x + 3⑵①PDE 为直角三角形，且∠P = ∠BAC = 45︒∴ PE = 2PD = 2DE∴ C PDE = PE + DE + PD = ( +1)PE设 P (m , -m 2 - 2m + 3) ，易求得直线 AB 解析式为 y = x + 3则 E (m , m + 3)∴ PE = -m 2 - 3m = -(m + 3)2 + 92 4∴当m =- 3 时， PE 取到最大值 9 ， C = ( +1)PE 取到最大值 9( 2 +1)2 此时 P (-3 , 15)2 44 PDE 4②若 N 在对称轴上，则 PF = 2 ，即-m 2 - 2m + 3 = 2∴ m = -1± 又-3 < m < 0∴ m = -1-∴ P (-1- 2, 2)若点 M 在对称轴上，则 AF + PF = 2∴ 3+ m - m 2 - 2m + 3 = 21+ 1 + n 2 1 (n +1)2 2 2217 -1 ∴ m = -1± 172又-3 < m < 0∴ m =-1- 17 2∴ -m 2 - 2m + 3 =17 -12∴ P (-1- 17 , ) 2 2【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从涉及到的重要高中知识点来说，二附中的考察并无明显针对性（例如上中的考点，明显针对不等式） 本卷中考到的解三角形、概率、立体几何、解析几何、数列等等，涉及到的也非常非常浅，而且考试足以通过初中知识解决2. 初高衔接知识点分析高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主这在本试卷中，体现的非常非常明显，也说明了参加二附中的考试，并不需要超前学习很多，在初中知识的延展范围内，牢牢地打好基础即可考到的初高衔接的知识题目如第一、1, 3, 9, 12, 17第 20, 23 题等，全部都在考察“解方程”，“代数式变换”，“二次函数性质”这也与高中数学以代数为主切合因此，二附中的选拔主线便是——让代数功底强的学生占据主要优势3. 初中知识点分析初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，考察了基本的知识与应用 如第 2, 5, 6 题（本题难度较大，来源是 2014 年美国数学竞赛十二年级试题）第 15 题第二 16, 19 题, 第 22 题数论知识考察也少，如第4, 12 题建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏。
华二自招练习题(6)---内部资料
练习六1、如图，在三角形ABC 中，以BC 为直径的半圆分别于AC AB .相交于E D .两点，若4==EC DE ,516=-BD BC ,求BC AD BD -。
2、设二次函数))((21x x x x a y --=（常数21,0x x a ≠≠）的图像与一次函数e dx y +=2（常数e d ,0≠待定）的图像交于点)0,(1x 。
若函数21y y y +=的图像与x 轴仅有一个交点，求12x x -。
3、在菱形ABCD 中，3,120==∠AB ABC ο,E 为边BC 延长线上一点，AE 与CD 交于F 。
联结BF 并延长，与DE 交于G ,求线段BG 长的最大值。
4、如图，在ABC Rt ∆中,AC AB A ==∠,90ο,N M .分别为AC AB .中点，D 为线段MN 上任意一点（D 与MN 不重合），CD BD .的延长线分别于AB AC .交于E F .若4311=+CF BE ,求BC .5、从货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10吨，每只箱子重量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次性运走，问：至少需要多少辆载重量为3吨的汽车？6、若d c b a ...是和为3的正实数，证明：22222)(11111abcd d c b a ≤+++。
7、在ABC ∆中，D 是AB 边上一点（D 不和B A .重合），满足2)(BCCD AB AD =,求证：ACB ADC ∆∆∽.8、在ABC Rt ∆中,ο90,=∠=BAC AC AB ,BD 为中线，BD AE ⊥,求证：EC BE 2=.9、已知正方形ABCD ,BD BE =,BD CE //,BE 与CD 交于F ,证明：DF DE =.10.11.12. 方程032=+-a ax x 的两根βα,满足244233βαβαβα+≥+，求实数a 的取值范围。
13.已知圆O的两弦CD∆的外接圆为圆1O,过E作圆1O的切线交CB AB.交于点E,M为AB中点，DEM于F,交CA的延长线与G,求证：GFGE=.14.在一次共有10位选手参加的国际象棋比赛中，每位选手都必须与其他选手恰好对弈一局，经过数局比赛后，发现任意三位选手之间都至少有两位尚未对弈，问截至此时，此比赛最多已赛过多少局？15.如图，在直角坐标系中，存在一等腰三角形ABC，抛物线1=xy与三角形的腰BCx2022+-AC,(也可能交于AB边）分别交于FE.两点，点P在三角形内的抛物线上移动（可到FE.点），若已知AB,求PC=OC32=,3+的最小值。
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J I H B D G E A F
C
2014华二自主招生数学试题
一、填空题
1．已知a+a -1=4，则a 4+a -4=______．
2．⊙O 为△ABC 外接圆，已知R=3，边长之比为3：4：5，S △ABC =_____． 3．,4112222b a b a +=+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛20142013b a a b _________． 4．四个不相等的整数ABCD ，满足下式的关系，则D 可能有________个取值+DBDDD BCADA
ABBCB
5．有一个鱼缸它的底为100cm×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水，水面高40cm ，将一个底为40cm×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中．缸内水面上升了________cm ．
6．有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等矩形BEFC ，GHIJ ， BE=_________．
7．13+a=9+b=3+c ，求 a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=______．
8．甲手上有1～5号牌，乙手上有6～11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为_________．
9．直角坐标系xOy 内有一个△OEF ，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E′，已知E(2，1)，求E ′的坐标_____．
10．一辆车的计程车速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，n 小时(n 是整数)行程结束时里程表上的里程数是为cba ，其中 a≥1，a+b+c≤7，a 2+b 2+c 2=_________．
11．有一个多项式，除以2x 2-3，商式是7x-4，余式是-5x+2，多项式为__________．
12．有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为_______．
13．有一个矩形ABCD ，DC=2BC ，E 、F 为AB 边上点，DE 、DF 将∠ADC 三等分， S △DEF /S 矩=________．
14．抛物线上两点A(-5，y 1)，B(3，y 2)，抛物线顶点在(x 0，y 0)，当y 1＞y 2＞y 0，求x 0的取值范围__________．
15．l 1、l 2交于点O ，平面内有任意点M ，M 到 l 1、l 2的距离分别为a 、b ，有序实数对(a ，
b)为距离坐标，若有序实数对为(2，3)，这样的数有几个?___________
二、选择题 16．若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD 全等的有( A ．△BCE B ．△ADF C ．△ADE D ．△CDE
17．有一个长方形纸片，其长为a ，宽为b(a>b)，现将这种纸片按下图的方式拼成矩形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的长改变时，S 不变，a 和b 满足( )
A ．a=2b
B ．a=3b
C ．a=
34b D ．a=4b
三、解答题
18．解关于x 的方程a x =--322
1．
19．某商场购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价和 售价如下图：进货用了资金15.5万元，获得毛利2.1万元． (1)问该商场购进两种手机各多少台？ (2)若现在进货资金不超过16万；且(1)的基础上购进乙种手机，
增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大．
20．如图所示，C 在⊙O 上，OD ∥BC ，AD 是切线，延长DC 、AB 交于点Ｅ． (1)求证：DE 是切线；
(2)3
2=DE CE ，求cos ∠ABC 的值．
21．(1)设n 是给定的正整数，化简：()1111122-+++n n
， (2)根据(1)的结果，计算2
222221019113121121111+++++++++ 的值．
22．已知抛物线过点A(-3，0)，B(0，3)，C(1，0)
(1)求解析式；
(2)P 是直线AB 上方抛物线上一点，不与A 、B 重合，PD ⊥AB 于D ，PF ⊥x 轴于F ，与AB 交于E ．
①当C △PDE 最大时，求P 的坐标
②以AP 为边作正方形APMN ，M 或N 恰好在对称轴上，求P 的坐标．。