第03节 齐次方程
齐次与非齐次方程
齐次与非齐次方程方程是数学研究的基础，并且在各个领域中都起着重要作用。
在代数方程中，可以将其分为齐次方程和非齐次方程。
一、齐次方程齐次方程是指方程中所有项的次数均相同的方程，例如：ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0其中n为常数，a、b、c、…、p和q为系数。
解齐次方程的方法是假设方程有一个非零解，然后通过一系列的代数运算找到方程的通解。
例如，对于一次齐次方程ax + by = 0，可以假设x = 1并求解出y = -a/b，这就是方程的通解。
对于高次齐次方程，可以使用特征根法来解。
假设ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0有一个非零解y = x^m，其中m为常数。
将y 代入原方程中，得到：a(x^m)^n + b(x^m)^n-1 + c(x^m)^n-2 + … + px^m + q = 0化简后可得到：a + b/x + c/x^2 + … + p/x^(n-m-2) + q/x^(n-m) = 0由于x ≠ 0，所以方程可继续化简为：a + b/x + c/x^2 + … + p/x^(n-m-2) + q/x^(n-m) = 0这是一个关于x的齐次方程，可以通过求解它的特征根来得到方程的通解。
二、非齐次方程非齐次方程是指方程中至少有一个项的次数与其他项不同的方程，例如：ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = f(x)其中f(x)为非零函数。
求解非齐次方程的常用方法是通过特解和通解相加得到方程的完整解。
首先，找到一个特解y1，使得f(x) = q，然后将特解代入原方程得到齐次方程。
求解齐次方程得到通解y2，将特解和通解相加即可得到非齐次方程的解。
具体步骤如下：1. 求解齐次方程ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0的通解y2。
2. 找到一个特解y1，满足f(x) = q。
第七章 第3节 齐次方程
2
两边积分得
ln
u 1 u
ln x ln C
即
x ( u 1) u
C
代回原变量 , 得通解 x ( y x ) C y ( C 为任意常数 ) 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解 , 但 在求解过程中丢失了. 在通解中若允许 C = 0 , 则包含了 x = 0 及 y = x 两解 , 但解 y = 0 仍未包含在内 . 4
19
2 x y x y
2 、 ( 1 2 e ) dx 2 e ( 1
x y
) dy 0 .
二、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: 2 2 1 、 ( y 3 x ) dy 2 xydx 0 , y x 0 1 ； 2 、 ( x 2 xy y ) dx ( y y x 1 1 .
dY dX X Y X Y
Y X
,
令u
，
8
方程变为
2 2
u X
du dX
1 u 1 u
即Y
2
,
分离变量法得
2
X ( u 2 u 1) c ,
2 XY X
C,
将 X x 1 , Y y 2 代回，
得原方程的通解
( y 2) 2( x 1)( y 2) ( x 1) C ,
2 2 2
2 xy x ) dy 0 ,
2
三 、 化 下 列 方 程 为 齐 次 方 程 ,并 求 出 通 解 : x y1 1、 y ； x y 3 2 、 ( 2 x 5 y 3 ) dx ( 2 x 4 y 6 ) dy 0 .
一齐次方程
dX
a1 X b1Y a1h b1k c1
ah bk c 0, a1h b1k c1 0,
(1)
a
b 0,
有唯一一组解.
a1 b1
dY dX
f ( aX bY ) a1 X b1Y
得通解代回
X Y
x h, y k，
(2) 0, 未必有解, 上述方法不能用.
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
令 z ax by,
则 dz a b dy， 1 ( dz a) f ( z c ). 可分离变量.
dx
d的通解. dx x y 3
利用变量代换求微分方程的解
例5 求 dy ( x y)2的通解. dx
三、小结
齐次方程 dy ( y).
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
dx
dy
例 2 求解微分方程 x2 xy y2 2 y2 xy .
例 3 抛物线的光学性质
实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面
解 如图 设旋转轴 ox轴 y T
光源在(0,0), L : y y( x)
二、可化为齐次的方程
1.定义 形如 dy f ( ax by c )的微分方程
dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
2.解法 令x X h,（其中h和k是待定的常数）
y Y k， dx dX , dy dY
dY f ( aX bY ah bk c )
§12、3 齐次方程
一、齐次方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
齐次方程_??????
齐次方程一、什么是齐次方程？简言之，齐次方程是指形如 $ax^2+bx+c=0$ 的二次方程，其中$a,b,c$ 是常数，而且 $a\e 0$，此时对比出来的齐次方程是$\\frac{x^2}{a}+\\frac{bx}{a}+\\frac{c}{a}=0$，也就是 $x^2+bx+c=0$。
通用地说，形如 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$（其中，$a_1,a_2,\\cdots,a_n$ 都是常数，而且至少有一个 $a_i\e 0$ ）的一次齐次方程称为 $n$ 元线性齐次方程。
总之，齐次方程的特点有以下几点：1. 带有 $0$ 项的方程是齐次方程；2. 每一项的次数都相同；3. 方程中的常数项为 $0$；4. 方程中每个系数都是相同次数的幂。
二、齐次方程的解法通常使用行列式解法或保持族的形式解法来解齐次方程。
〇、零解首先，任何一个齐次方程都有一个特殊的解，那就是零解。
这个解比较好解决，因为当 $x_1=x_2=\\cdots=x_n=0$ 时，方程显然成立。
一、行列式解法1. 唯一性定理：对于 $n$ 元线性齐次方程 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$，若其有非零解，则该方程的任意$n$ 个非零解在它们的比值下等于几个常数的比值。
2. 基础定理：对于 $n$ 元线性齐次方程 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$，其通解可以表示成 $x_i=C_1x_{i_1}+C_2x_{i_2}+\\cdots+C_tx_{i_t}$，其中$t$ 是非零解的个数，$i_1,i_2,\\cdots,i_t$ 是一个 $1,2,\\cdots,n$ 的排列，而$C_1,C_2,\\cdots,C_t$ 是任意常数。
3. 行列式解法：若要解决 $n$ 元线性齐次方程 $a_1x_1+a_2x_2+\\cdots+a_nx_n=0$，可以构造行列式：$$\\left\\vert\\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \\cdots & a_{1,n} \\\\a_{2,1} & a_{2,2} & \\cdots & a_{2,n} \\\\\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{n,1} & a_{n,2} & \\cdots & a_{n,n}\\end{matrix}\\right\\vert$$如果此行列式等于 $0$，则有非零解；否则只有零解。
第七章第三节 齐次方程
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程
一、齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
a h bk c a1h b1k c1
令 , 解出 h , k
(齐次方程)
求出其解后,
即得原方
程的解. a1 b1 2.当 时 , 原方程可化为 a b dy a x by c (b 0) d x (a x b y ) c1 令 v a x b y, 则 d v a b d y dx dx dv vc ab (可分离变量方程) dx v c1 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
例2. 解微分方程 d y y y 解: 方程变形为 2 dx x x
2
y , 令 u , 则有 x
u x u 2 u u 2
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln 即 ln x ln C , u u
代回原变量得通解
求解过程中丢失了.
x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
*二、可化为齐次方程的方程
2 ( c 2 c1 0)
a1 b1 1.当 时 , 作变换 x X h , y Y k ( h, k 为待 a b 定常数), 则 d x d X , d y d Y , 原方程化为
微分方程-3奇次方程
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0, dx cos udu , sin u ln | x | C , x y 微分方程的解为 sin ln | x | C . x
y 令u ， 则 dy xdu udx， x
得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C , 或 x 2 2 xy y 2 2 x 6 y C1 .
利用变量代换求微分方程的解
dy 例5 求 ( x y )2的通解. dx dy du 令 x y u , 解 1 代入原方程 dx dx du 2 1 u 解得 arctanu x C , dx 代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得 dY X Y Y , 令u ， dX X Y X
方程变为
du 1 u 分离变量法得 u X , dX 1 u X 2 (u2 2u 1) c, 即 Y 2 2 XY X 2 C ,
将 X x 1,Y y 2 代回，
2u 2 u u xu , 2 1 u u
3 1 ln | ( u 1) | ln | ( u 2) | ln | u | ln | x | ln C , 2 2 u1 Cx . u ( u 2)
3 2
微分方程的解为 ( y x )2 Cy( y 2 x )3 .
例 2 求解微分方程
2
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
2
y y dy 2 y xy 2 解 2 x x 2 dx x xy y 2, y y 1 x x y 令u , 则 dy xdu udx , x
高等数学齐次方程
求解过程中丢失了.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x ( y x ) C y(C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
第四节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
*
第七章
二、伯努利方程
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、一阶线性微分方程
( x ) d x P y C e
机动 目录 上页 下页 返回 结束
故通解为
d y P (x )yQ (x ) 2. 解非齐次方程 d x
用常数变易法: 作变换 y ( x ) u ( x ) e
P ( x ) d x则
,
P (x) ue P ( x ) u e d u P (x )dx Q (x )e 即 d x ( x ) d x P y C e 对应齐次方程通解 P ( x ) d x 两端积分得 u Q ( x ) e d x C
2 y u ( x 1 ) 2 u ( x 1 )
代入非齐次方程得
1 (x u 1 )2
3 2 u ( x 1 ) 2 C 解得 3 3 2 2 ( x 1 ) ( x 1 )2 C 故原方程通解为 y 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
判别下列方程类型: d y d y ( 1 ) x yx y d x d x d y ( 2 )x y (ln y ln x ) d x 提示: y 1 dx 可分离 dy 变量方程 y x dy y y 齐次方程 ln dx x x 2 d y 1 x 3 线性方程 y ( 3 ) ( y x ) d x 2 x d y 0 dx 2x 2 2 线性方程 d x 1 y 3 x ( 4 ) 2 y d x ( y x ) d y 0 dy 2y 2
第十二章--3.齐次方程
一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 略) 二 可化为齐次方程(略
第十二章
一、齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 . 齐次方程
y 解法: 令 u = , x
代入原方程得 分离变量:
du u+x = ϕ(u) dx dx
du dx = ϕ(u) − u x du dx 两边积分, 得 ∫ =∫ ϕ(u) − u x
例2. 解微分方程 dy y y 解: 方程变形为 = 2 − ( x x dx
)
2
y , 令 u = , 则有 x
u + x u′ = 2u − u2
du dx 1 1 dx =− 分离变量 即( − )d u = − 2 x u −u u −1 u x x ( u −1) u −1 =C 积分得 ln 即 = − ln x + ln C , u u
udu dx =− , 分离变量 2 2 x (1 + u ) ± 1 + u
令1 + u = t ，
2 2
tdt dx =− , t ( t ± 1) x
C 即 u + 1 = ± 1, x
2
C 积分得 ln t ± 1 = ln , x
平方化简得Leabharlann y 代回 u = , 得 x
C 2 2C u2 = 2 + , x x
微分方程的解为 ( y − x )2 = Cy ( y − 2 x ) 3 .
例 3 求解微分方程
y y ( x − y cos )dx + x cos dy = 0. x x
y 解 令u = ， 则 dy = xdu + udx， x
( x − ux cos u)dx + x cos u( udx + xdu) = 0,
6-齐次线性方程组的解法
- 8 1 2 750 1 - 8 2 1200 1 1 - 9 2250
1 0 0 200 0 1 0 250 0 0 1 300
所以此方程组的解为 x1 200 x2 250 x 300 3
若各部门在计划期内的最终产品为y1=75,y2=120, y3=225，预测各部门在计划期内的总产出x1,x2,x3.
解：列出此经济系统在计划期内的产品分配 平衡表。
产出 投入
1 生产部门 2 3
消费部门 最终产品 1 2 3 0.2x1 0.1x2 0.2x3 75 0.1x1 0.1x1 0.2x2 0.1x2 0.2x3 0.1x3 120 225
取x4为自由未知量， 则方程可化为
x1 c x 2 c 令x4 c， 则方程的解为 x 3 0 x4 c
x1 x 4 , x x , 4 2 x3 0
第四节 投入产出问题
投入产出是分析研究经济各个部分（作为 生产单位或消费单位的产业部门、行业、产品 等）之间表现为投入和产出的相互依存关系的 一种经济数量分析方法。由美国经济学家里昂 惕夫1933年提出。
产出 投入
消费部门 农业 工业 190 1520 95 1995 3800 其他 30 180 60 330 600 60 90 30 420 600
最终产品 总产出 320 2010 415 600 3800 600
农业 生产部门 工业 其他 创造价值 总投入
xij 解： 由公式 aij 得出直接消耗系数矩阵 xj
令X ( x1 , x 2 ,, xn )T , Y ( y 1 , y 2 ,, y n )T , 则上式可化为矩阵方程
7.3 齐次方程
去绝对值符号，得：
y
Cx 2 y 中取 C 0 ；当 u 1 时，即 y x ，它显然也是原微分方程的解， 1 Cx x Cx 2 中，需要单独列出 1 Cx
2
但 y x 不包含在通解 y
dy y (2 x y ) 2 y y Cx 2 于是，微分方程 的通解为 y x ，或者 y ，其 dx x2 x x 1 Cx
x, y 两个变量
y 代回到 上述通解即可得到我们想要的通解 ，此时的通解包含 x
还需要注意一点，在分离变量时，作为分母，我们要求 (u ) u 0 ，所以最后还 需要补充考虑 (u ) u 0 时的情况，比方说 (u0 ) u0 0 ，则 u u0 显然也是微 分方程 x
dy du y y (u ) u 的解， 因此当 u0 时， 即 y u0 x 也是微分方程 dx x dx x
的解，但它不一定包含在通解中
y ，将齐次方程变为可分离变量 x y 的微分方程；分离变量；求不定积分；将换元 u 代回到通解，即令 u
中 C 为任意常数 例 2：解微分方程 y 2 x 2
dy dy xy 。 dx dx
2
1 y dy y dy 等号两边同时乘以 2 ，得： x x dx x dx
y dy y 移项，得： 1 x dx x
1 y y 2 2 dy y xy y xy x 2 x x 2 2 1 y dx x xy x xy 1 x2 x
2
2. 齐次方程的解法：设
dy y ，即它是一个齐次方程。 dx x
高数齐次方程
y 解法: 令 u , x
代替 u, 便得原方程的通解.
y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u, 代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx 此处 C 0 du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
第三节 齐次方程
一、齐次方程
*二、可化为齐次方程的方程
3/2/2017
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
积分后再用
3/2/2017
代回原变量得通解 求解过程中丢失了.
3/2/2017
x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
3/2/2017
例2. 解微分方程
dy y y 2 解: 方程变形为 dx x x 则有 u x u 2 u u 2
y , 令u , x
2
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln
第03节_YYY齐次方程
y 1 x 2 xy y x 例如： f x, y 2 x xy 1 y x x
二、齐次方程
dy y 的一阶微分方程称为齐次 形如 dx x 方程，怎样判断一阶微分方程是齐次方程呢？
二、求下列齐次方程的特解
2 2 y 3 x dy 2 xydx 0, y 1．
x 0 1
y x 2 y 2 dx xdy 0, y 1 0 2．
x 2 y 5 三、将方程 y 化为齐次方程， 2x y 4
y 2 0 x 3 解：由 得： x y 1 0 y 2 X x 3 作变换 ，则 dX dx, dY dy Y y 2
dY 2Y 2 于是，原方程变为： dX X Y 2
Y 这是一个齐次方程，令 V ，即 Y XV X
作变换 x X 1, y Y 2 原方程化为
dY du Y u X ，则 再令 u dX dX X
代入并整理，得
dX du X u2 1
2u
两边积分得
u 1 (u 1) u 2 1
C1 X
将变量还原得
y x3
y x 1 y 2
可以证明，一阶微分方程满足下列条件： dy f x, y 中，f x, y 是零次齐次函数； 在 dx 或在 P x, y dx Q x, y dy 0 中 P x, y 与 Q x, y
是同次 齐次函数时，该一阶微分方程是齐次方程。
解法：
得 作变换
x0 1, y0 2
X x 1, Y y 2
高等数学同济7版精品智能课件-第7章-第3节-齐次方程
x X h,
y
Y
k
,
其中 h 和 k 是待定的常数. 于是原方程可化为
第三节 齐次方程
dy ax by c dx a1x b1 y c1
x X h
y
Y
k
dY aX bY ah bk c
.
dX a1X b1Y a1h b1k c1
下面分两种情况讨论.
1. a1 b1
第三节 齐次方程
一、齐次方程 *二、可化为齐次的方程
第三节 齐次方程
一、齐次方程
1. 定义
定义 如一阶微分方程 dy f (x, y) 可化成
dx
dy y
dx x 的形式， 则称该一阶微分方程为齐次方程.
第三节 齐次方程
dy y
dx x
2. 解法
令 u y , 则 y ux , dy u du , 于是原方程化为
解 原方程变形，得
dy 2x y4 , dx x y 1
令
x X h,
y
Y
k
,
代入方程，得
dY 2X Y 2h k 4 , dX X Y h k 1
dy ax by c .
dx (ax by) c1
令 v = ax + by ，则 dv a b dy , 于是原方程成为
dx
dx
1 dv a v c . 可分离变量的方程
b dx v c1
第第三三节节 齐齐次次方方程程
例例44 解微分方程 (2x y 4)dx (x y 1)dy 0.
x
dx
dx
x du (u) u .
dx 这为可分离变量的微分方程.
第第三三节节 齐齐次次方方程程
常微分方程 第三讲：齐次方程
1 u (1 u)5
CX 4 ,
变量还原后得通解
x2 y2 3 C( x2 y2 1)5 ( x2 2)4 .
西
南
科
技
大
学
理
学
院
23
拓展思维训练题：
试求具有性质： x(t s) x(t) x(s) 1 x(t)x(s)
的函数 x(t), 已知 x '(0) 存在。
大
学
理
学
院
19
例 求解微分方程
( x 2sin y 3)dx (2x 4sin y 3)cos ydy 0
解 ( x 2sin y 3)dx (2x 4sin y 3)d(sin y) 0
令 sin y z dz x 2z 3 , dx 2x 4z 3
dx
代入原式 u x du f (u), dx
西 南
即 du f (u) u .
dx
x
科
技
大
学
理
学
院
可分离变量的方程
8
当 f (u) u 0时,
得
f
du (u)
u
ln C1 x ,
即
x Ce(u) , （ (u)
du ） f (u) u
将 u y 代入, x
由32hh
3k 2k
7 8
0 0
h k
2 , 1
令 X 2, Y 1
dY dX
2X 3X
3Y 2Y
第三节 齐次方程
第三节 齐次方程教学目的：掌握齐次方程的解法教学重点：齐次方程的解法教 法：讲授课 时：2一、齐次方程:如果一阶微分方程),(y x f dxdy =中的函数f (x , y )可写成 x y 的函数, 即)(),(xy y x f ϕ=, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？(1)022=---'x y y y x 是齐次方程.1)(222-+=⇒-+=⇒x y x y dx dy x x y y dx dy . (2)2211y y x -='-不是齐次方程.2211x y dx dy --=⇒. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0是齐次方程. x y y x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22. (4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程.142-+-+-=⇒y x y x dx dy . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x y x 是齐次方程. x y x y dx dy xy x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2 二、齐次方程的解法:在齐次方程)(x y dx dy ϕ=中, 令x y u =, 即y =ux , 有 )(u dx du xu ϕ=+, 分离变量, 得 xdx u u du =-)(ϕ. 两端积分, 得 ⎰⎰=-x dx u u du )(ϕ.求出积分后, 再用xy 代替u , 便得所给齐次方程的通解.例1 解方程dxdy xy dx dy x y =+22. 解 原方程可写成 1)(222-=-=x y x y x xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程. 令u x y =, 则 y =ux ,dxdu x u dx dy +=, 于是原方程变为 12-=+u u dx du x u , 即 1-=u u dx du x . 分离变量, 得 x dx du u =-)11(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |,或写成ln|xu |=u +C . 以xy 代上式中的u , 便得所给方程的通解 C xy y +=||ln . 例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM ,因为 x y y OP PM OP AP OA -'=-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程22y x x y y +=-', 整理得1)(2++=yx y x dy dx . 这是齐次方程.问题归结为解齐次方程1)(2++=yx y x dy dx . 令v y x =, 即x =yv , 得12++=+v v dy dv y v , 即 12+=v dydv y , 分离变量, 得ydy v dv =+12, 两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C y v v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v C y , 1222=-Cyv C y , 以yv =x 代入上式, 得)2(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+. 这就是所求的旋转曲面方程.例3 设河边点O 的正对岸为点A , 河宽OA =h , 两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点 O . 求鸭子游过的迹线的方程. 例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程. 解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度 ) ,() ,(dtdy dt dx v v y x ==v , 故有y x v v dy dx =. 另一方面, ) ,()0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v , ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v . 因此yx y x b a v v dy dx y x ++-==1)(2, 即y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 问题归结为解齐次方程y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 令u yx =, 即x =yu , 得12+-=u ba dy du y , 分离变量, 得dy bya u du -=+12, 两边积分, 得 )ln (ln arsh C y abu +-=, 将y x u =代入上式并整理, 得])()[(2111b a b a Cy Cy Cx +--=. 以x |y =h =0代入上式, 得hC 1=, 故鸭子游过的轨迹方程为 ])()[(211b a b a hy h y h x +--=, 0≤y ≤h . 将y x u =代入)ln (ln arsh C y ab u +-=后的整理过程: )ln (ln arsh C y ab y x +-= a b Cy y x -=⇒)ln(sh ])()[(21a ba b Cy Cy y x -=⇒-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作变换 x X 1, y Y 2 原方程化为
dY du Y u X ，则 再令 u dX dX X
代入并整理，得
dX du X u2 1
2u
两边积分得
u 1 (u 1) u 2 1
C1 X
将变量还原得
y x3
y x 1 y 2
可以证明，一阶微分方程满足下列条件： dy f x, y 中，f x, y 是零次齐次函数； 在 dx 或在 P x, y dx Q x, y dy 0 中 P x, y 与 Q x, y
是同次 齐次函数时，该一阶微分方程是齐次方程。
解法：
十、课堂练习题
dy 1．解方程 x y ln y ln x dx
dy 2 y x 5 2．解方程 dx 2 x y 4
十一、课堂练习题解
dy y y ln 1．解：原方程化为 dx x x y 这是齐次方程，令 u ，即 y xu x dy du ux 故 dx dx du ux u ln u 代入得： dx du 1 分离变量： u ln u 1 x dx
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 分离变量 ，并两边积分，得：
故
1 du dy y u eu
1 eu
ln(u eu ) ln y ln c
x y
所以，原方程通解为 ：ye x c
三、可化为齐次方程的方程
形如
ax by c dy f 的一阶 dx a1x b1 y c1
并求通解.
十三、自测题题解
y du 一、1．解 设 u ，则 y u x x dx
代入并整理计算得
1 arctgu ln 1 u ln x ln C 2
2
1 du dx 2 x 1 u
1 u
故所求通解为：
earctyu 1 u2
C1x ，或 x 2
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 du u
1 dx x
u ln u ln x ln c
y ln y c 故所求通解为： x
x 1 e y ydx y x dy 0 例3 求方程 的通解
解：这是一个齐次方程。先将方程变形为
x 1 e y dx 1 x 0 dy y
x dx du u y 令 u ,即 x yu ，故 y dy dy
代入得： 1 e
u
du u y dy 1 u 0
则
dY dV V X dX dX
代入并整理和积分，得 ：
2 1 dV V 1V 2
1 dX X
故
2arctgV ln(CXV )
于是，所求通解为：
y2 2arctg ln C ( y 2) x 3
五、小结
本节主要内容是：
dy y f 1．齐次方程 dx x
y 2 0 x 3 解：由 得： x y 1 0 y 2 X x 3 作变换 ，则 dX dx, dY dy Y y 2
dY 2Y 2 于是，原方程变为： dX X Y 2
Y 这是一个齐次方程，令 V ，即 Y XV X
一定能表示成 y 的形式。 x
y 1 x 2 xy x y 例如： f x, y 2 y x xy 1 x x
二、齐次方程
dy y 的一阶微分方程称为齐次 形如 dx x 方程，怎样判断一阶微分方程是齐次方程呢？
得 作变换
x0 1, y0 2
X x 1, Y y 2
dY 2Y X 则原方程化为： dX 2 X Y
Y 这是一个齐次方程，令 u X
则有
du 1 u 2 1 dX X 2 u
这是可分离变量方程，通过分离变量， 两边积分，得： 故
u
2u
y dy y 针对齐次方程 ，作变量代换 u x dx x dy du 即 y xu ，则 dx u x dx 将其代入原式，得： du u u u u ，即 du dx dx x
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程； 然后，利用分离变量法求得
y arcty 2 x y Ce
2．解 ： 原方程化为
x x 1 2e y dx 2e y 1 x 0 dy y x dx du u y 令 u 则 y dy dy 1 2eu 1 代入并计算得： du dy u y 2e u
故
cos u 1 du dx sin u x
lnsin u ln x ln c 即 sinu cx y 将 u 代回，得原方程的通解: x
y sin cx x
1 再将初始条件 y x 1 代入，得 c 6 2
y 1 于是，所求的特解为 sin x x 2
故
ln 2e u ln y ln c
u
x
于是，所求通解为 x 2 ye y C
y2 dy 2 y 0 二、1．解 ：原方程化为 2 3 x dx x dy du y ux 令 u ,则 dx dx x u2 3 1 du dx 代入并计算得 x u u2 1
微分方程 ,可通过适当的变换––––平移变换， 化为齐次方程。 我们通过下面的一个实例来介绍这种方法：
y2 例 求方程 y 2 的通解。 x y 1
分析：这不是齐次方程，如何作变换，
2
使右端分式中的分母、分子都不含常数项，
而左端 dy dY 呢？ 办法是：平移变换。 dx dX
du 1 dx 两边积分： u ln u 1 x
故 从而
ln ln u 1 ln x ln C
x C (ln u 1)
y 故所求通解为： x C ln 1 x
即
y
x 1 xe C
2 y x 5 0 2．解：先求解方程组： 2 x y 4 0
t R
（1）
f tx, ty f x, y ,
t R
（2）
则称 f x, y 是零次齐次函数（简称齐次函数）。
f x, y x 2 xy 例如，
因为
y y 2e x 是二次齐次函数，
f tx, ty tx tx ty ty
2
1
du
1 dX X
3
Y X C Y X
于是，原方程通解为
y x 3 C y x 1
3
十二、自测题
一、求下列齐次方程的通解：
x y 1． y x y
x x 1 2e y dx 2e y 1 x dy 0 2． y
1 1 du dx (u ) u x
例题：
y y 例1 求方程 y tg 满足y x x y 解 这是齐次方程。 令 u x dy du ux 则 y xu ，故 dx dx
x 1
6
的特解
du u tgu 代入原方程，得 ：u x dx
分离变量，并两边积分，得：
即
2u 1 3 u 2 du x dx u 1
故
3ln u ln u 2 1 ln x ln C
所以 即 将y
x 0
C 2 u 1 x
y 3 C y 2 x 2 为通解
1 代入，得： C 1
u3
y3 y 2 x 2 于是所求特解为：
y 2．齐次方程的解法：关键是令 u ，从而 x dy du ux y xu ，则 ，代入原方程后， dx dx
原方程转化为可分离变量方程去求解；
3．可化为齐次方程的方程：
ax by c dy f dx a1x1 b1 y c1
其解法要点：令 x X h, y P k 将原方程化为 齐次方程。
二、求下列齐次方程的特解
y 2 3 x 2 dy 2 xydx , y 1．
x 0 1
y x 2 y 2 dx xdy 0, y 1 0 2．
x 2 y 5 三、将方程 y 化为齐次方程， 2x y 4
dy dy xy 例2 求方程 y x 的通解 dx dx
2 2
dy y 解 原方程化为 dx xy x 2
2
y dy x ,即 y dx 1 x
2
y 这是齐次方程， 令 u ,即 y xu x
故 代入得：
dy du ux dx dx
du u2 ux dx u 1
2
将 y (0) 1 代入，得 C=1 于是，所求特解为
1 2 y x 1 2
y y 1 x x x
2
即
三、解
x 2 y 5 0 得 x0 1, y0 2 令 2 x y 4 0
dY 2Y X dX 2 X Y