高三一轮文科数学双曲线导学案

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双曲线及其标准方程导学案

课题：双曲线及其标准方程导学案一．教学目标:知识与技能：1.掌握双曲线的定义和标准方程的推导过程;2.学会判断双曲线标准方程焦点所在位置,会求解双曲线的标准方程过程与方法：本节课主要运用类比思想通过学生自己动手实践总结出双曲线的定义，运用类比和数形结合思想自我探究，分组讨论找到双曲线的标准方程。

情感态度与价值观：学生通过本节课自己动手实践亲身经历研究双曲线的过程，从中找到自我价值，从双曲线方程的形式上进一步体会数学也是一种美的学科。

二.教学重点:双曲线的定义及其标准方程三.教学难点:双曲线的定义及其标准方程四.教学过程:(一)课前复习：（二）类比椭圆定义的研究，让学生用自己提前准备拉链，图钉等东西，自己动手画双曲线，分组讨论给出双曲线定义,在这一过程中回答下列问题：思考：1.在作图的过程中拉链两边的长是否一致？拉链哪一部分的长没有变化？除了这些，还有没有不变的量？2.动点在运动过程中满足什么条件？F F|的关系是什么？3.这个常数与|124.动点运动的轨迹是什么？5.若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？(二)双曲线的定义:（类比椭圆定义给出双曲线定义）1. 双曲线的定义:2.探究以下问题，巩固双曲线定义：(1)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差为8,则M 点的轨迹是什么?(2)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为10,则M 点的轨迹是什么? (3)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为12,则M 点的轨迹是什么? (4)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为0,则M 点的轨迹是什么? 得出以下结论：1）当常数等于21F F 时，动点M 的轨迹是———————————————— 2）当常数大于21F F 时，动点M 的轨迹————————————————— 3）若常数等于0时,动点M 的轨迹—————————————————— 4）在双曲线的定义描述中要注意几个条件？分别是什么？(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？动手实践推导过程并展示：(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记) 两种标准方程的比较(引导学生归纳)：(1)------------------------------表示焦点在x 轴上的双曲线,焦点是:1(,0),F c -2(,0)F c ,这里222c a b =+.(2)------------------------------表示焦点在y 轴上的双曲线,焦点是:1(0,),F c -2(0,)F c ,这里222c a b =+.(只需将(1)方程的x,y 互换即可得到)强调指出：(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，0,0a b >>，但a 不一定大于b ；(3)如果2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222c a b =+，不同于椭圆方程中222c a b =-．练习：写出以下双曲线的焦点坐标(四).课堂巩固例1.已知双曲线的焦点为1F (-5,0),2F (5,0)，双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：若双曲线上一点Ｐ， |1PF |=10，则|2PF |=_________1916)2(,191612222-=-=-y x y x ）（方案(五)小结(六)作业:课本108P 习题8.3 第1,2,4思考题: 当0180θ≤≤ 时，方程22cos sin 1x y θθ+=表示怎样的曲线？。

高三数学(文科)一轮学案【第41-42课时】双曲线

一、复习目标：掌握双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，能利用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的问题二、知识梳理：1、双曲线的第一定义：平面内动点P 与两个定点)02(,2121>=c F F F F 的为常数)(2c a a <，则点P 的轨迹叫双曲线，这两个定点叫双曲线的_____________，两焦点间的距离叫双曲线的____________。

①对于动点P 定点,,21F F 如果2121F F PF PF =-,那么动点P 的轨迹_________________. ②如果2121F F PF PF <-,那么动点P 无轨迹. 2、双曲线的第二定义：3、标准方程：),0,0(,1,122222222222b a c b a bx a y b y a x +=>>=-=- 4、双曲线的几何性质三、基础训练：1、已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .2、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 3、已知方程22132x y k k+=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为____________ 4、设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为___________5、已知双曲线4x 2 – y 2 + 64 = 0上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，点M 到另一个焦点的距离。

6、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是双曲线上的点， I 圆是12PF F ∆的内切圆，I 圆与12F F 切于点A ，则切点A 的坐标为_________。

7、已知F 是双曲线224121y x -=的左焦点，A(1,4), P 为右支上的动点，则PA PF +的最小值为。

高中数学双曲线及其标准方程精品导学案

双曲线及其标准方程一、课前导学1.什么叫做双曲线?为什么常数2a 要小于21F F ？与椭圆有何异同？双曲线的定义：叫做双曲线，叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距。

2.双曲线标准方程的推导：（类比求椭圆标准方程的方法）；确定,,a b c 的关系3.双曲线定义（1）把椭圆定义中的“距离的和（大于21F F ）”改为“距离的差（小于21F F ）”，那么点的轨迹会怎样？（2）双曲线定义中动点M 到两定点21,F F 满足几何条件（3）在椭圆的定义中，强调了c a 22<；若22a c =动点的轨迹是什么？若c a 22>呢？设动点M ，两定点21,F F 满足a MF MF 221=-（2a 常数），为常数）c c F F 2(221=c a MF MF 2221<=-时轨迹是；c a MF MF 2212<=-时轨迹是； c a MF MF 2221==-时轨迹是； c a MF MF 2212==-时轨迹是；c a MF MF 2221>=-时轨迹是要点总结注意：(1)若常数要等于12||F F ，则图形是什么？二、课堂导学例1已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=, 求动点P 的轨迹方程.变式1:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足1210PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.变式2:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.例2.写出适合下列条件的双曲线的标准方程1.a=4,b=3,焦点在x 轴上;2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)3已知双曲线与椭圆1362722=+y x ，有公共的焦点，且过点)4,15( 4.焦点在y 轴上,a=4,过点)3104,1( ⒌经过两点A )26,7(--，B )3,72( 例3.如果方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围. 变式3：如果方程11222=+-+m y m x :表示焦点在y 轴双曲线时，求m 的取值范围. 变式4：当k 取何值时，方程13522=-+-k y k x 表示圆？椭圆？双曲线？三、课堂小结1.双曲线方程的推导2.求双曲线方程3.利用定义和标准方程解决一些简单的问题.四、课堂练习1.求适合下列条件的双曲线的标准方程。

高三数学一轮复习导学案62 双曲线

学案双曲线一、课前准备：【自主梳理】.双曲线的定义、平面内一点与两定点、的距离的差的绝对值等于常数.即（>).()若>,则点的轨迹为;()若,则点的轨迹为;() 若<,则点的轨迹为.、平面内点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数(>)（即）的点的轨迹叫做双曲线.定点为双曲线的，定直线为双曲线的..双曲线的几何性质【自我检测】．已知是双曲线－＝右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为－＝.设、分别为双曲线的左、右焦点．若＝，则＝.. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是＝±，则该双曲线的离心率是.. 双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，∠＝°，则双曲线的离心率为.．已知双曲线－＝(>)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则.．已知椭圆＋＝和双曲线－＝有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为.二、课堂活动：【例】填空题：（）已知双曲线－＝，直线过其左焦点，交双曲线左支于、两点，且＝，为双曲线的右焦点，△的周长为，则的值为.（）过双曲线－＝的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段(为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为.（）已知、是双曲线－＝(>，>)的两个焦点，以线段为边作正△，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为.（）已知、为双曲线－＝的左、右焦点，点在上，∠＝°，则·＝ .【例】已知焦点，双曲线上的一点Ｐ到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程；变式.求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；变式.已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。

双曲线导学案1

双曲线及其标准方程一、学习目标1、能口述：双曲线的定义和标准方程。

2、会利用双曲线的定义求双曲线的标准方程。

会与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．3、本节课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．4．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．5．难点：双曲线的标准方程的推导．二、情景导入，问题引领：1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)老师：如果把椭圆的定义中的和变成差呢?同学们能求一下它的轨迹方程吗？三、自主学习1、类比椭圆得出双曲线的概念2、类比椭圆得出双曲线的标准方程四、合作探究1、双曲线的定义把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？（1）、简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）、类比椭圆设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答：问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答：问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答：问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答：（3）．定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．2、双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．五、典型例题书上相关例题六、练习及其巩固，布置作业。

2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】

故得|MC1|-|MC2|=2 2.在④的情况下,
同理得|MC2|-|MC1|=2 2.
由③④得|MC1|-|MC2|=±2 2.
已知|C1C2|=8,根据双曲线定义,
可知点 M 的轨迹是以 C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,
且 a= 2,c=4,b2=c2-a2=14,
22
其方程为 - =1.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准
xa22-by22=1
方程
(a>0,b>0)
ya22-bx22=1 (a>0,b>0)
图形
性范围
质
x≤-a 或 x≥a,y∈R
y≤-a 或 y≥a,x∈R
对称轴:坐标轴对称中心:原对称性
点
顶点坐标:
顶点坐标:
顶点
A1(-a,0),
A1(0,-a),
A2(a,0)
22
2.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|
4 12
的最小值为 ( )
A.9B.8 C.7 D.6
22
【解析】选 A.由 - =1,得 a2=4,b2=12,
4 12
则 a=2,b=2 3,c= 2 + 2=4,
所以左焦点为 F(-4,0),右焦点为 F'(4,0),
22
4.(结论 1)若双曲线 2- 2=1 的焦点 F(3,0)到其渐近线的距离为 5,则双曲线的方程
为( )
22
22
A. - =1 B. - =1
45
54
22
22
C. - =1 D. - =1

高考苏教版数学《双曲线》一轮复习导学案教师版

双曲线【知识梳理】 1．双曲线的定义平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质1．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为________解析： ∵双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62.∴左焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－62，0. 2．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________解析：依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3，故e ＝2a 2＝23＝233. 3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________解析：由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.4．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．解析：由题意a 2＋1a＝1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＝2，得a ＝33，故渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x . 5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |·e ＝________.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支， ∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k |＝43.∴|k |·e ＝43×54＝53.说明：1.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．渐近线与离心率：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[注意] 当a >b >0时，双曲线的离心率满足1<e <2；当a ＝b >0时，e ＝2(亦称为等轴双曲线)；当b >a >0时，e > 2.3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．【考点探究】考点一双曲线的定义及标准方程[例1] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________(2)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[解] (1)∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝ 5.故C 的方程为x 220－y 25＝1.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 【由题悟法】1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线方程的求法：(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．【以题试法】1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2＞1，∴|PF 2|＝17. 考点二双曲线的几何性质[例2] 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是________[解] 设双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵B (0，b )，∴F 1B 所在的直线为－x c ＋yb ＝1.①双曲线渐近线为y ＝±bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，－x c ＋yb＝1，得Q ⎝⎛⎭⎫ac c －a ，bc c －a .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ba x ，－x c ＋yb＝1，得P ⎝⎛⎭⎫－ac a ＋c ，bca ＋c ，∴PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c c 2－a 2，bc2c 2－a 2.由a 2＋b 2＝c 2得，PQ 的中点坐标可化为⎝⎛⎭⎫a 2c b 2，c 2b .直线F 1B 的斜率为k ＝b c ，∴PQ 的垂直平分线为y －c 2b ＝－c b⎝⎛⎭⎫x －a 2c b 2.令y ＝0，得x ＝a 2c b 2＋c ，∴M ⎝⎛⎭⎫a 2c b 2＋c ，0，∴|F 2M |＝a 2c b2.由|MF 2|＝|F 1F 2|得a 2c b 2＝a 2c c 2－a2＝2c ，即3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62. 【一题多变】若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．解：根据题意知1＜ba ＜3，即1＜e 2－1＜ 3.所以2＜e ＜2.即离心率的取值范围为( 2，2)．【由题悟法】1．已知渐近线方程y ＝mx ，求离心率时，若焦点位置不确定时，m ＝b a (m ＞0)或m ＝ab ，故离心率有两种可能．2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．【以题试法】2．(1)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________解析：由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为________解析：设点P (m ，n )，依题意得，点F (2,0)，由点P 在抛物线y 2＝8x 上，且|PF |＝5得⎩⎨⎧m ＋2＝5，n 2＝8m ，由此得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .考点三直线与双曲线的位置关系[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP ·OQ ＝0.求1|OP |2＋1|OQ |2的值． [解] (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，双曲线方程为x 2a 2－y 23a2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 212＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝123－k 2，y 2＝12k 23－k 2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k2. 则OQ 的方程为y ＝－1k x ，同理有|OQ |2＝12()1＋1k 23－1k2＝12(k 2＋1)3k 2－1，∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16. 【由题悟法】1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．[注意] 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．【以题试法】3．F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|1MF ,|＝3|2MF ,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．解析：由双曲线的性质可得|2MF ,|＝b ，则|1MF ,|＝3b .在△MF 1O 中，|OM ,|＝a ，|1OF ,|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－a c ，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－a c，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝22，故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .【巩固练习】1．已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为______解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，c ＝4，即⎩⎨⎧b a＝3，a 2＋b 2＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，故双曲线方程为x 24－y 212＝1.2．已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为________解析：∵m 2＝16，∴m ＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m ＝4时，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32.当m ＝－4时，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 5.故离心率为32或 53.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________解析：设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝ca ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.4．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ,·2PF ,＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________解析：由1PF ,·2PF ,＝0得1PF ,⊥2PF ,，设|1PF ,|＝m ，|2PF ,|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.5．平面内一固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|OP |的最小值为________解析：依题意得，动点P 位于以点A ，B 为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP |的最小值等于32.6．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.7．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F ′.由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：1MF ·2MF ＝0.解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴1MF ·2MF ＝0.。

双曲线导学案

龙文教育学科导学案教师: 学生: 年级日期: 星期: 时段:学情分析高考中对双曲线的考察主要包括三方面：①双曲线定义的应用；②求双曲线方程；③双曲线与平面向量、平面几何知识的综合题。

课题§圆锥曲线—双曲线学习目标与考点分析 1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 2、理解数形结合的思想，了解双曲线的简单应用学习重点双曲线的几何意义、双曲线与直线相交问题学习方法讲练集合学习内容与过程一、知识梳理一）．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线第二定义：平面内到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数的动点的轨迹是双曲线，这个常数即该双曲线的离心率，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二）．双曲线的内外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 三）.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.四）．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ⑤与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 五）．双曲线与椭圆的区别和联系椭圆双曲线图像定义a PF PF 221=+（其中212F F a >） a PF PF 221=-（其中2120F F a <<）方程12222=+b y a x 0>>b a12222=+b x a y 0>>b a12222=-by a x (0>a ,0>b ) 12222=-b y a x (0>a ,0>b )常数cb a ,,的222b c a +=（符合勾股定理的结构）,0>>b aa 最大，bc b c b c ><=,,均可222b a c +=（符合勾股定理的结构）,0>>a cc 最大，b a b a b a ><=,,均可M 2M 1PK 2K 1A 1A 2F 2F 1oyxPF 2F 1xOyPF 2F 1xO y关系焦点坐标 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -范围 a x a ≤≤-,b y b ≤≤-b x b ≤≤- ,a y a ≤≤- a x a x ≥-≤或 R y ∈顶点坐标 )0,(),0,(21a A a A -),0(),,0(2b B b B -21A A 叫长轴，长为a 2，21B B 叫短轴．长为b 2),0(),,0(21a A a A -)0,(),0,(2b B b B - 21A A 叫长轴，长为a 2，21B B 叫短轴．长为b 2)0,(),0,(21a A a A -21A A 叫双曲线的实轴。

双曲线导学案

1、如果焦点在y轴上，且的坐标分别为，的意义同上，这时双曲线的方程是什么？
2、完成表格：
例1 已知双曲线的焦点为F
1( -5 , 0 ),F
2
( 5 , 0 )，双曲线上一点P到F
1
、F
2
的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
[感悟]
练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）（1）焦点在x轴上，a=4,b=3；
（2）（2）焦点在x轴上，经过点（），（；
（3）（3）焦点为（0，-6），（0,6），且经过点（2，-5）．
例2 已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
[感悟]
思考1:若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
思考2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
1、设双曲线上的点P到点的距离为15，则P点到的距离是（）
A．7 B.23 C.5或23 D.7或23
2、已知双曲线8kx2-ky2=2的一个焦点为(0,),则k的值等于( )
A.-2
B.1
C.-1
D.
3、双曲线的焦距是（）
A.4
B.2
C.8
D.与m有关
4、求经过点和双曲线的标准方程.
5、已知双曲线与椭圆+ =1有共同的焦点,且过点(15,4),求双曲线的方程.
6、判断方程所表示的曲线.
1、本节课你学到了哪些数学知识？
2、本节课你掌握了哪些数学方法？
3、本节课你体会了哪些数学思想？。

2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】

1.焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线－x2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程是－＝1 . 解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ（λ＞0），即－＝1，则有 4λ＋λ＝25，解得λ＝5，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
2.经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，7）的双曲线的标准方程为－＝1 . 解析：设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，
A.
B.
C.
D.
（2）（2022·全国甲卷 15 题）记双曲线 C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 e，写出满足条
件“直线 y＝2x 与 C 无公共点”的 e 的一个值 2（答案不唯一，（1， ]内的任意值均可） .
7 / 15
解析：（1）设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝ + － × × × cos °＝ m，所以 C 的离心率 e＝＝＝｜｜＝＝ .
双曲线定义的应用主要有两个方面
1.已知动点 M（x，y）满足（ + ）＋－（－）＋＝4，则动点 M 的轨迹是（）
A.射线 C.椭圆
B.直线 D.双曲线的一支
4 / 15
解析：A 设 F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点 M 满足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，
PF2｜，则 cos∠F1PF2＝
；
（2）已知 F 是双曲线－＝1 的左焦点，A（1，4），P 是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为 9 . 解析：（1）∵由双曲线的定义有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2 ，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝4 ，

双曲线(经典导学案及练习答案详解)

§8.7双曲线学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab xa，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.(5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 2．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|等于1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17. 3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y 轴上且离心率为3的双曲线方程________．答案y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以) 解析取c ＝3，则e ＝ca＝3，可得a ＝1，∴b ＝c 2－a 2＝2，因此，符合条件的双曲线方程为y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一双曲线的定义及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______．答案 2 3解析不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.延伸探究在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，则△F 1PF 2的面积为_____．答案 2解析不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1―→⊥PF 2―→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.教师备选1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) 答案 C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ， |MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 2．(2022·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．4＋37 D ．3＋317答案 B解析由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时， |PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 答案 B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a＝－2a 26a 2＝－13， sin ∠F 1PF 2＝223，所以12PF F S △＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．答案 9解析设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|＋4即|PF |＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 题型二双曲线的标准方程例2 (1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－3y 23＝1D.3x 23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝ca＝2，则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________．答案y 2－x 29＝1 解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1. 教师备选1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1. 2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．答案 y 225－x 275＝1解析设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ，2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)(2022·佛山调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1 答案 D解析由题意可知|PF 1|＝43c3， |PF 2|＝23c3， 2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1 渐近线例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A.y 212－x 24＝1 B.3y 24－x 24＝1 C.x 24－y 24＝1 D.y 216－x 24＝1 答案 B解析由题意知，b ＝2，又因为e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，解得a 2＝43，所以双曲线的方程为3y 24－x 24＝1.(2)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 B解析由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点，所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以c ≥4，所以2c ≥8，所以C 的焦距的最小值为8.思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0⎝⎛⎭⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132C.7D.13 答案 A解析设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72. 高考改编已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∠F 1AF 2＝120°，|AF 2|＝2|AF 1|，则双曲线E 的离心率为( ) A. 3 B. 5 C.7 D ．7答案 C解析点A 在双曲线E 的左支上，左、右焦点分别为F 1，F 2，设|AF 1|＝m ，由|AF 2|＝2|AF 1|知|AF 2|＝2m ，由双曲线定义得|AF 2|－|AF 1|＝2m －m ＝m ＝2a ，在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，由余弦定理知，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 120° ＝4a 2＋16a 2＋8a 2＝28a 2， ∴|F 1F 2|＝27a ，又|F 1F 2|＝2c ，∴27a ＝2c ，e ＝ca＝7.(2)(2022·滨州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,3) C ．(3，＋∞) D ．(2,3)答案 A解析在△PF 1F 2中， sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理得，|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2. 教师备选1．(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于( )A.12B.3－1C.3＋12D ．2答案 A解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，所以b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12. 2．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 A解析令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，则c ＝a 2＋b 2. 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，∴c a＝2，即离心率e ＝ 2. 思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝c a转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则( )A ．双曲线C 的焦点坐标为(0，±2)B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．点(2,3)在双曲线C 上D ．直线mx －y －m ＝0(m ∈R )与双曲线C 恒有两个交点答案 BC解析双曲线C 上的点到其焦点的最短距离为c －a ＝1，离心率e ＝c a ＝2，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1，所以C 的焦点坐标为(±2,0)，A 错误；双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，B 正确；因为22－323＝1，所以点(2,3)在双曲线C 上，C 正确；直线mx －y －m ＝0即y ＝m (x －1)，恒过点(1,0)，当m ＝±3时，直线与双曲线C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D 错误．(2)(2022·威海模拟)若双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线C 2的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，132B.⎝⎛⎭⎫1，133 C.⎝⎛⎭⎫132，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫133，＋∞ 答案 D解析因为双曲线C 1：y 24－x 29＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，为使双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，只需b a >23，则离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋49＝133. 课时精练1．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±512，0 B.⎝⎛⎭⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1，所以c 2＝19＋116＝25144，所以c ＝512，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±512，0. 2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1 D.x 22－y 28＝1 答案 D解析由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1. 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3答案 B解析方法一依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9.方法二根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C.43 D.233答案 A解析双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点坐标为(9＋b 2，0)，渐近线方程为y ＝±b 3x ，即bx ±3y ＝0， ∵双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33， ∴b 9＋b 2b 2＋9＝33，解得b ＝33，∴c ＝9＋b 2＝9＋(33)2＝6，∴离心率e ＝c a ＝63＝2. 5．(多选)已知双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94答案 ABC解析因为a 2＝16，所以a ＝4,2a ＝8，故A 正确；因为a ＝4，b ＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x ，故B 正确；因为c ＝a 2＋b 2＝16＋9＝5，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|15|32＋(－4)2＝3，故C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c －a ＝1，故D 错误． 6．(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y ＝34x ，P 为C 上一点，则以下说法正确的是( ) A ．C 的实轴长为8B ．C 的离心率为53 C ．|PF 1|－|PF 2|＝8D ．C 的焦距为10 答案 AD解析由双曲线方程知，渐近线方程为y ＝±3a x ，而一条渐近线方程为y ＝34x ， ∴a ＝4，故C ：x 216－y 29＝1， ∴双曲线实轴长为2a ＝8，离心率e ＝c a ＝16＋94＝54，由于P 可能在C 不同分支上，则有||PF 1|－|PF 2||＝8，焦距为2c ＝2a 2＋b 2＝10.∴A ，D 正确，B ，C 错误．7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析因为a 2＝9，b 2＝16，所以c ＝5.所以A (3,0)，F (5,0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×2×3215＝3215. 9．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1－→·MF 2－→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1－→·MF 2－→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵12MF F S △＝12mn ＝4＝12×2ch ， ∴h ＝255. 即M 点到x 轴的距离为255. (2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线方程是y ＝±255x ，点A (0，b )，且△AF 1F 2的面积为6.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若|AP |＝|AQ |，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意得b a ＝255，① 12AF F S △＝12×2c ·b ＝6，②a 2＋b 2＝c 2，③由①②③可得a 2＝5，b 2＝4，∴双曲线C 的标准方程是x 25－y 24＝1. (2)由题意知直线l 不过点A .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为D (x 0，y 0)，连接AD (图略)．将y ＝kx ＋m 与x 25－y 24＝1联立，消去y ，整理得(4－5k 2)x 2－10kmx －5m 2－20＝0，由4－5k 2≠0且Δ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧4－5k 2≠0，80(m 2－5k 2＋4)>0，④ ∴x 1＋x 2＝10km 4－5k 2，x 1x 2＝－5m 2＋204－5k 2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝5km 4－5k 2， y 0＝kx 0＋m ＝4m 4－5k 2. 由|AP |＝|AQ |知，AD ⊥PQ ，又A (0,2)，∴k AD ＝y 0－2x 0＝4m 4－5k 2－25km 4－5k 2＝－1k，化简得10k 2＝8－9m ，⑤由④⑤，得m <－92或m >0. 由10k 2＝8－9m >0，得m <89. 综上，实数m 的取值范围是m <－92或0<m <89.11．(多选)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的离心率为62B ．双曲线y 24－x 28＝1与双曲线C 的渐近线相同 C ．若PO ⊥PF ，则△PFO 的面积为 2D ．|PF |的最小值为2答案 ABC解析因为a ＝2，b ＝2，所以c ＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a ＝62，故A 正确；双曲线y 24－x 28＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，故B 正确；因为PO ⊥PF ，点F (6，0)到渐近线2x －2y ＝0的距离d ＝|2×6|6＝2，所以|PF |＝2，所以|PO |＝(6)2－(2)2＝2，所以△PFO 的面积为12×2×2＝2，故C 正确；|PF |的最小值即为点F 到渐近线的距离，即|PF |＝2，故D 不正确．12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: x 24－y 2b2＝1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫1，132 C.⎝⎛⎭⎫ 32，132 D ．(1，13) 答案 B解析由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y ＝0，又该圆的圆心为(c ，0)，故圆心到渐近线的距离为bc b 2＋4，则由题意可得bc b 2＋4<3，即b 2c 2<9(b 2＋4)，又b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，则(c 2－4)c 2<9c 2，解得c 2<13，即c <13，则e ＝c a ＝c 2<132，又e >1，故离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，132. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A 解析由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，可得a ＝2b ，由双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，可得c ＝5，则由a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝1，双曲线的方程为x 24－y 2＝1，由题意可得A (－2,0)，B (2,0)，设P (m ，n )(m >2，n >0)，则m 24－n 2＝1，即n 2m 2－4＝14， k 1k 2＝n m ＋2·n m －2＝n 2m 2－4＝14，易知k 1，k 2>0，则k 1＋k 2≥2k 1k 2＝1，由A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，可得k 1≠k 2，则k 1＋k 2>1.14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析根据双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，O 为原点，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，如图所示，则|F 1O |＝|OP |＝c ，|F 1P |＝3|OP |＝3c ，所以在△POF 1中，由余弦定理可得cos ∠POF 1＝|OP |2＋|OF 1|2－|PF 1|22|OP |·|OF 1|＝c 2＋c 2－()3c 22×c ×c＝－12. 所以∠POF 1＝2π3，则∠POF 2＝π3，所以tan ∠POF 2＝tan π3＝3，则渐近线方程为y ＝±3x .15．(多选)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO →＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则( )A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0B ．双曲线C 的离心率为132C ．|OE →|＝1D ．△OMN 的面积为6答案 ABD解析如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题意可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO →＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |，即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94，所以a ＝2，b ＝3，e ＝132. 双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S △OMN ＝6.16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .(1)解设双曲线的半焦距为c ，则F (c ，0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，因为|AF |＝|BF |，所以b 2a＝a ＋c ，所以c 2－a 2a＝a ＋c ，所以c －a ＝a ，即c ＝2a ，所以e ＝2.(2)证明设B (x 0，y 0)，其中x 0>a ，y 0>0. 因为e ＝2，故c ＝2a ，b ＝3a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∠BF A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 当∠BF A ＝π2时，由题意易得∠BAF ＝π4，此时∠BF A ＝2∠BAF .当∠BF A ≠π2时，因为tan ∠BF A ＝－y 0x 0－c ＝－y 0x 0－2a， tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a，所以tan 2∠BAF ＝2y 0x 0＋a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－y 20 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3(x 20－a 2) ＝2y 0(x 0＋a )－3(x 0－a ) ＝－y 0x 0－2a＝tan ∠BF A ，因为2∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，故∠BF A ＝2∠BAF . 综上，∠BF A ＝2∠BAF .。

东北师大附属中学高三一轮导学案：双曲线【B】

双曲线(学案)B一、知识梳理：1.双曲线的定义定义的理解:(1)当2a=2c时, ; 当2a>2c时,(2)当a=0时, ;(3)当|M错误！未找到引用源。

|-| M错误！未找到引用源。

|=2a时,表示 ; 当|M错误！未找到引用源。

|-| M错误！未找到引用源。

|=2a时,表示2.双曲线的标准方程:焦点在x轴上的标准方程:错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1(a>0,b>0)．焦点在y轴上的标准方程:错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1(a>0,b>0)两种方程可用统一形式表示:A错误！未找到引用源。

+ B错误！未找到引用源。

=1 (AB<0) ,当A>0,B<0时,焦点在轴上,当A<0,B>0时,焦点在轴上; 对双曲线的两种标准方程，都有(a>0,b>0)，焦点都在实轴上，且a、b、c始终满足错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

3.双曲线焦点所在的轴的判定方法:在标准方程中,只要看系数,如果错误！未找到引用源。

为正,错误！未找到引用源。

的系数为负,则双曲线的焦点在x轴上,反之,焦点在y上.4.双曲线的几何性质对于双曲线错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1(a>0,b>0)(1)范围:由标准方程可知, 错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1(a>0,b>0)|x|错误！未找到引用源。

a ,说明双曲线位于直线x=错误！未找到引用源。

两侧;(2)对称性: 双曲线错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=1(a>0,b>0) 关于直线x轴,y轴,及原点对称;(3)顶点:错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

是双曲线与x轴的两个交点,错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

线段错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

分别叫双曲线的实轴与虚轴，它们的长分别是2a，2b；a，b分别叫双曲线的半实轴长与半虚轴长。

精品导学案：双曲线及其标准方程

精品导学案：1. 1.3双曲线及其标准方程课前预习学案一、预习目标①双曲线及其焦点,焦距的定义。

②双曲线的标准方程及其求法。

③双曲线中a，b，c的关系。

④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。

二、预习内容①双曲线的定义。

②利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类比。

③掌握a，b，c之间的关系。

三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、教学过程前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆”。

下面我们来考虑这样一个问题？平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。

若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时，可知它的轨迹也是一条曲线那么由这个实验我们得出一个结论：“平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。

”但大家思考一下这个结论对不对呢？我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线；随着|MF1|-|MF2|的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线；当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。

那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义：定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。

双曲线导学案

2.3.1双曲线及其标准方程（一）一学习目标1．掌握双曲线的定义、焦点、焦距的概念； 2．推导双曲线的标准方程；3．掌握两类标准方程，会求双曲线方程二知识总结 1．双曲线定义：（1）问题：①把椭圆定义中的和改成差，动点的轨迹会发生什么变化？②平面上与两点距离的差为非零常数的动点轨迹是什么？ ③平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是什么？（2）12||||||2PF PF a -=……………………（*）注意：①（*）式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下：12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支（含2F 的一支）； 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）.②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线. ③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形. ④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距.2．标准方程的推导：焦点在X 轴：_______________,焦点为______________。

焦点在y 轴:_________________,焦点为_______________ 三、考题类型例1、判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标.①12222=-y x ②12422-=-y x ③369422=-x y 四、预习检测A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2、椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数n 的值是（） A 、5±B 、3±C 、5D 、93、双曲线x 225–y 29 = 1的两个焦点分别为F 1、F 2, 双曲线上的点P 到F 1的距离为12, 则P 到F 2的距离为 .课后练习案1、双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =．A. 5B. 13C.D.2、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（）A 、4B 、C 、8D 、与m 无关3、双曲线2255x ky +=的一个焦点是)，那么实数k 的值为A 、25-B 、25C 、1-D 、14、过双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长是 A 、28 B 、22 C 、14 D 、122.3.1双曲线及其标准方程（二）一、学习目标：巩固双曲线定义的理解及标准方程的运用二、知识总结1、当不知道双曲线焦点在X 轴还是在Y 轴时，可设为：221mx ny +=(0)mn <2、与双曲线22221x y a b -=共焦点的双曲线可设为：22221x y a b λλ-=-+22()b a λ-<< 三、考题类型例1、求和双曲线12y 2– 13x 2= 156 有相同焦点且过（3，－42 ）的双曲线方程。

高中数学《双曲线及其标准方程》(导学案)

第二章圆锥曲线与方程2.2.1 双曲线及其标准方程一、学习目标1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．【重点、难点】1.双曲线的定义及标准方程2.双曲线的标准方程的推导及简单应用二、学习过程【复习引入】复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．【导入新课】问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是；2a >12F F 时，轨迹．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？【典型例题】【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2【变式拓展】1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)．2.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．三、总结反思1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论．四、随堂检测1．动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0) B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)3．满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 24－y 216＝1 D.x 216－y 24＝14．已知双曲线x 216－y 29＝1的左支上一点M 到其左焦点F 1的距离为10，求点M 到该曲线左焦点F 2的距离．。

高三：高中数学第1轮全套高效复习导学案第三课时双曲线标准方程及其简单的性质

第二课时双曲线及其性质【学习目标】① 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．【考纲要求】双曲线为A 级要求【自主学习】 1．双曲线的定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在轴上；12222=-b x a y ，焦点在轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,12222>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越，e 越小，双曲线开口越，焦准距P ＝．(5) 具有相同渐近线x ab y ±=的双曲线系方程为(6) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为，离心率为． (7)12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为．【基础自测】1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .2.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .3.已知椭圆2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）与双曲线2222n y m x -=1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（-c ，0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .4.设F 1、F 2分别是双曲线2222by ax -=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 .5.（2008·上海春招）已知P 是双曲线9222y a x -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= .[典型例析]例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。

高三数学一轮复习专题双曲线导学案(无答案) 学案

双曲线及其标准方程（第一课时）一、课时目标：1.了解双曲线的定义、几何图形2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．二、知识梳理：1. 定义:平面内，与两个定点F 1，F 2 距离的差的绝对值为______(小于21F F ) 的点的轨迹。

定义式：{}21212F F a PF PF P <=-（1） 2121F F PF PF =-，点P 的轨迹为________ （2） 2121F F PF PF >-,点P 的轨迹为_________ 2．双曲线的标准方程及图形三、知识运用A1、双曲线13422=-y x 上一点P 到其中一个焦点的距离为5，到另外一个焦点的距离为 A2、双曲线064422=+-y x 上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么P 到另一个焦点的距离为A3、双曲线191622=-y x 的焦距为（）A 、10 B 、7 C 、 72 D 、5 A4、双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0C ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0D ．(3，0)A5、双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22D .2－12A6、已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B7、已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( ) A.23B ．1C ．2 D4 C8、k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B 充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件C9、设21\F F 是双曲线12422=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的点，且2143PF PF =则21F PF ∆的面积为（）A 、24 B 、38 C 、24 D 、48 四、例题分析例1、求适合下列条件的双曲线方程A （1）焦点（-5,0）、（5,0）双曲线上一点到两焦点的距离差的绝对值等于6 A(2)焦点在x 轴上，3,4==b a 双曲线的标准方程为B （3）焦点为（0,6）、（0，-6），且经过点(2，-5) C(4)经过两点A （-7，-)3,72(),26B例2、A(1)如果12,F F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是．C(2)一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆C 思考题：设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝五、课堂小结：1、双曲线的定义:________________________2、双曲线的标准方程：先定位，再定量，解决不了就讨论分类 ⎪⎩⎪⎨⎧)3()2()1(（3、(C 层)解决焦点三角形的方法⎩⎨⎧)2()1( 作业：A1、焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝1C2、已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1 C3、已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是________．C4、F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝双曲线的简单几何性质一、课时目标:1、理解双曲线的X 围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，2、会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．二、知识梳理1.双曲线的简单几何性质标准方程 x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x2b 2＝1 (a>0，b>0)图形X 围焦点对称性关于______轴对称，关于原点对称顶点轴长实轴长=______,虚轴长=_______ 渐近线Y ＝±a bx离心率e ＝c a>1三、知识运用A1．下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B .x 24－y 22＝1C .x 24－y 26＝1 D .x 24－y210＝1 A2．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254xA3．设双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x A4．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．8x 2－8y 2＝3C ．2y 2－4x 2＝1D ．8y 2－8x 2＝3C5.已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( ) A ．－12 B ．－2C0 D ．4C6．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e ＝______.四．例题分析A 例1：求双曲线的实半轴和虚半轴、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

双曲线导学案

高三年级（数学）导学案学习目标：1、了解双曲线的实际背景，体会双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2、记住双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念，掌握双曲线的简单几何性质，能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线。

3、记住双曲线的标准方程，会根据已知条件求出双曲线的标准方程。

学习过程一、课前自主学习 1．（预习教材P 45~ P 48找出疑惑之处）（1）问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图定点12,F F 点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．平面内与两定点12,F F 的距离的差的等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的．（2）双曲线的标准方程和椭圆标准方程有何不同？（1）（2）（3）双曲线中,,a b c 有何关系？（4）当a=b 时，双曲线叫等轴双曲线。

2.预习自测：（1）动点P 到点1(2,0)F -及点2(2,0)F 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线（2）在双曲线2211625x y -=中，焦点坐标为．（3）已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为．3.（预习教材理P 49~ P 51填写下表）等轴双曲线的渐近线，离心率 4．预习自测：（1）双曲线14322=-y x 的实轴长和虚轴长分别是( ) A. 32， 4 B.4，32 C.3，4 D. 2，3 （2）如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A.23 B. 26 C. 23 D.2二、探究·合作·展示【例1】已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？．【例2】求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程【例3】求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e (5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -【例4】过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30 的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB ？思考：1AF B ∆的周长三：学习评价1．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为．2、若双曲线y 216－x 2m ＝1的离心率e ＝2，则m ＝________3、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．4. 若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（）． A ．212B ．84C ．3D ．215．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（）．1 B.C.1 D.26. 对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．．7．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．8．.已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y a b-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程。

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