江苏省南京师范大学连云港华杰实验学校2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

2020学年度第一学期期中考试
高一数学试题
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则__________．
【答案】
【解析】已知集合，集合，则
即答案为
2. 已知集合，集合，则__________．
【答案】
【解析】已知集合，集合，则
即答案为
3. 已知幂函数的图像过点，则__________．
【答案】2
【解析】设函数的解析式为：，由题意可得：，
函数的解析式为：，
据此可知：.
点睛：(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
4. 已知函数，那么__________．
【答案】3
【解析】根据函数的解析式可得
即答案为3
5. 函数，的值域为__________．
【答案】
【解析】函数在上为增函数，
∴当时，，当时，．
∴函数，的值域为．
6. 计算：__________．
【答案】
【解析】
即答案为
7. 已知函数在实数集上是奇函数，且当时，，则
__________．
【答案】1
【解析】根据题意知函数在实数集上是奇函数，则
∵当当时，．
∵函数在实数集上是奇函数，，．
即答案为1
8. 设，，，则的大小关系为__________．（用“”连接）
【答案】
【解析】
故
9. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由题意得，所以函数的定义域为.
10. 将函数的图像先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到函数的图像，则函数的零点为__________．
【答案】
【解析】将函数的图像先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到函数
令，得到其零点为
即答案为
11. 已知定义在实数集上的奇函数在区间上是单调增函数，且，若，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】∵定义在实数集上的奇函数在区间上是单调增函数，且，则的图象过点，
∴函数在区间上是单调增函数，且的图象过点，
则的解为或，
即不等式的解集为，
故答案为
【点睛】本题主要考查不等式的求解，灵活应用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．
12. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】
...............
即答案为
13. 如图，已知正方形的边长为6，平行于轴，顶点和分别在函数，
和的图像上，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】由于顶点，和分别在函数，和()的图象上，设
，由于平行于轴，则，有
，解得，又，则.
【点睛】由于正方形三个顶点在对数函数图像上，且平行于轴，则轴，因此可以巧设出三点的坐标，利用两点纵坐标相等，横坐标之差的绝对值为边长2，以及两点横坐标相等，纵坐标之差的绝对值为边长2，解答出本题.
14. 已知函数，函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出f（x）的函数图象如图所示：
令则，
由图象可知当时，有两解，当时只有一解，
有四个零点，在上有二解，
∴，解得．
故答案为
二、解答题（共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）时，可以求出集合，然后进行并集及补集的运算即可；（2）根据可得出，解该不等式组即可得出实数的取值范围．
试题解析：
（1）当时，集合，
因为集合，所以，
从而.
（2）因为集合，且，
所以，解之得，即实数的取值范围是.
16. 已知函数，的值域为，函数.
（1）求集合；
（2）求函数，的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由题函数的值域为，所以，解之即可得到函数的定义域
（2）令，因为，可得，
所以函数，可以化为（），求此二次函数在山过的最值即可
试题解析：
（1）因为函数的值域为，所以，
所以，即函数的定义域.
（2）令，因为，所以，即，
所以函数，可以化为（），
所以，，
即函数，值域为.
17. 已知函数，.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）若函数的两个零点为，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）根据函数是偶函数，所以，代入函数数解析式利用恒等式可求得实数的值
（2）由题意得，即，解之可得实数的取值范围
试题解析：
（1）因为函数是偶函数，所以，
所以，
整理得，
所以，，即所求的实数的值为.
（2）由题意得，即，
解之得，则，即所求的实数的取值范围.
18. 经市场调查，某商品在过去的20天内的价格（单位：元）与销售量（单位：件）均为时间（单位：天）的函数，且价格满足，销售量满足，其中，.
（1）请写出该商品的日销售额（单位：元）与时间（单位：天）的函数解析式；
（2）求该商品的日销售额的最小值.
【答案】（1）；（2）在第20天，日销售额取最小值600元
【解析】试题分析：（1）日销售额=销售量×价格，根据条件写出函数解析式即可；注意函数的定义域；
（2）将（1）得到的解析式写成分段函数的形式，分别求出函数在各段的最小值，取其中最小者为最小值.
试题解析：
（1），.
（2）当，时，，
其对称轴，当时，取最小值且；
当，时，，其对称轴，所以当时，取最小值且
综上所述，在第20天，日销售额取最小值600元.
答：在第20天，日销售额取最小值600元.
【点睛】本题考查函数在实际问题中的应用，考查分段函数最值的求法，其中在求函数解析
式时一定要注意其定义域，求分段函数在各段的最小值，取其中最小者为最小值.
19. 已知函数，.
（1）求证：函数在上是单调增函数；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若方程有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）偶函数；（3）
【解析】试题分析：（1）任取，且，利用函数单调性的定义即可证明函数在上是单调增函数；
（2）函数的定义域为，验证即可证明函数为偶函数；
（3）由题意得：可证，则方程有实数解，即，即，可得实数的取值范围
试题解析：
（1）任取，且，因为，
所以
因为，且，所以，，，
从而，即，所以函数在上是增函数
（2）函数为偶函数，函数的定义域为，
对于任意的，，
所以函数为偶函数.
（3）由题意得：，
即.
20. 已知函数，函数.
（1）若函数，的最小值为-16，求实数的值；
（2）若函数在区间上是单调减函数，求实数的取值范围；
（3）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）8或－32；（2）或；（3）
【解析】试题分析：（1）设，由，可得，
化简得，，根据对称轴与的关系，求出函数的最小值
可得实数的值；
（2）由函数的图象知：函数的减区间为，，
则或；由此可得实数的取值范围；
（3）不等式可以化为，即，
则问题转化为当时，不等式的解集为，
令（），讨论函数的单调性和最小值，即可求实数的取值范围．试题解析：
（1）设，又，则，
化简得，，对称轴方程为，
当，即时，有，解得或；
当，即时，有，解得（舍）；
所以实数的值为8或－32；
（2）由函数的图象知：函数的减区间为，，
或，则或；
则实数的取值范围为或
（3）不等式可以化为，即，
因为当时，不等式的解集为，
所以当时，不等式的解集为，
令（），则函数在区间上单调增函数，在上单调减函数，所以
，所以，从而，即所求实数的取值范围．。