ok 定稿版山东省模考数学详细解析答案
山东省高考数学一模试卷及答案（2）
山东省高考数学一模试卷及答案(2)山东省高考数学一模试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则( )A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={0，1}D.M∪N=N【考点】交集及其运算.【分析】列举出N中元素确定出N，找出M与N的交集即可.【解答】解：∵M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}={﹣1，0，1}，∴M∩N={0，1}，故选：C.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.如果复数z= (b∈R)的实部和虚部相等，则|z|等于( )A.3B.2C.3D.2【考点】复数求模.【分析】由已知条件利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3i，由此能求出|z|.【解答】解：z= = = = ﹣ i，∵复数z= (b∈R)的实部和虚部相等，∴ ，解得b=﹣9，∴z=3+3i，∴|z|= =3 .故选：A.【点评】本题考查复数的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用.3.“log2(2x﹣3)<1”是“4x>8”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】利用函数的单调性分别化简log2(2x﹣3)<1，4x>8，即可判断出结论.【解答】解：log2(2x﹣3)<1，化为0<2x﹣3<2，解得 .4x>8，即22x>23，解得x .∴“log2(2x﹣3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4.函数y=x2+ln|x|的图象大致为( )A. B. C. D.【考点】函数的图象.【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断.【解答】解：∵f(﹣x)=x2+ln|x|=f(x)，∴y=f(x)为偶函数，∴y=f(x)的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x→0时，y→﹣∞，故排除D，或者根据，当x>0时，y=x2+lnx为增函数，故排除D，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题.5.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，﹣π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)=Asinωx的图象，只需将函数y=f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f(x)的解析式，再利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论.【解答】解：由函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，﹣π<φ<0)的部分图象，可得A=2，∵ ，∴T=π，ω=2，f(x)=2cos(2x+φ)，将代入得，∵﹣π<φ<0，∴ .故可将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到l的图象，即可得到g(x)=Asinωx的图象，故选：B.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题.6.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是( )A.210B.84C.343D.336【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果.【解答】解：由题意知本题需要分组解决，因为对于7个台阶上每一个只站一人有种;若有一个台阶有2人另一个是1人共有种，所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种.故选：D.【点评】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到步骤完整，完成了所有步骤，恰好完成任务.7.已知变量x，y满足：：，则z=( )2x+y的最大值为( )A. B.2 C.2 D.4【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，设m=2x+y，利用线性规划的知识求出m的最大值即可求出z的最大值.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).设m=2x+y得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线y=﹣2x+m的截距最大，此时m最大.由，解得，即A(1，2)，代入目标函数m=2x+y得z=2×1+2=4.即目标函数z=( )2x+y的最大值为z=( )4=4.故选：D.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本思想.8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为( )(参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A.12B.24C.36D.48【考点】程序框图.【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°= ，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24.故选：B.【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.9.已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为( )A.3B.2C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可.【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M(﹣c，0)，则A(﹣a，0)，B(a，0)，AE的斜率k= ，则AE的方程为y= (x+a)，令x=0，则y= ，即E(0， )，BN的斜率k=﹣，则AE的方程为y=﹣ (x﹣a)，令x=0，则y= ，即N(0， )，∵|OE|=2|ON|，∴2| |=| |，即 = ，则2(c﹣a)=a+c，即c=3a，则离心率e= =3，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键.10.曲线的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为( )A. B. C. D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】设直线l与曲线的切点坐标为(x0，y0)，求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y=x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值.【解答】解：设直线l与曲线的切点坐标为(x0，y0)，函数的导数为 .则直线l方程为，即，可求直线l与y=x的交点为A(2x0，2x0)，与y轴的交点为，在△OAB中，，当且仅当x02=2 时取等号.由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，则△OAB外接圆面积，故选C.【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，同时考查正弦定理的运用，基本不等式的运用：求最值，以及化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.设的值为80 .【考点】二项式定理的应用.【分析】由题意可得a3的值即为x6的系数，利用其通项公式即可得出.【解答】解：由题意可得a3的值即为x6的系数，故在的通项公式中，令r=3，即可求得 .故答案为：80.【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.12.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c+1)=P(ξ【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值.【解答】解：∵N(2，32)⇒，，∴ ，解得c=2，故答案为：2.【点评】本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：(1)正态曲线关于直线x=μ对称;(2)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.13.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】设球半径为R，正方体边长为a，求出当正方体体积最大时对应的球半径，由此能求出结果.【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：，∴ ，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：.故答案为： .【点评】本题考查工件体积与原料体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.14.有下列各式：，，，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：(n∈N*).【考点】归纳推理.【分析】观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，由此可写出一般的式子.【解答】解：观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：故答案为：【点评】本题考查归纳推理、考查观察、分析、解决问题的能力.15.在，点M是△ABC外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为 2 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】取边BC的中点为O，把( + )• =0转化为• =0，得出⊥ ，△ABC为等边三角形，以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用坐标表示得出AM的解析式，求出它的最大值与最小值即可.【解答】解：取边BC的中点为O，则 = ( + )，又( + )• =0，∴ • =0，∴ ⊥ ，∴△A BC为等腰三角形，又∠A= ，∴△ABC为等边三角形，以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示;并设BC=2a(则A(0， a)，B(﹣a，0)，C(a，0)，又BM=CM=2，所以(x+a)2+y2=4(x﹣a)2+y2=1，所以解方程组得：或，所以当时=== ，令a2﹣=cosθ，则AM= = ，所以当θ= 时(AM)min=1，同理当时，AM= = = ，所以当θ= 时(AM)max=3;综上可知：AM的取值范围是[1，3]，AM的最大值与最小值的差是2.故答案为：2.【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了数形结合与逻辑推理以及计算能力的应用问题，是难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.(12分)(2017•日照一模)已知函数f(x)= sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值;(Ⅱ)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c= ，f(C)=0，sinB=2sinA，求a，b的值.【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.【分析】(Ⅰ)f(x)解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数f(x)的最小正周期，利用正弦函数的值域确定出f(x)最小值即可;(Ⅱ)由f(C)=0及第一问化简得到的解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出关系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a与b的值.【解答】解：(Ⅰ)f(x)= sin2x﹣(cos2x+1)﹣1= sin2x﹣cos2x﹣2=2sin(2x﹣ )﹣2，∵ω=2，﹣1≤sin(2x﹣)≤1，∴f(x)的最小正周期T=π;最小值为﹣4;(Ⅱ)∵f(C)=2sin(2C﹣ )﹣2=0，∴sin(2C﹣ )=1，∵C∈(0，π)，∴2C﹣∈(﹣， )，∴2C﹣ = ，即C= ，将sinB=2sinA，利用正弦定理化简得：b=2a，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2，把c= 代入得：a=1，b=2.【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.17.(12分)(2017•日照一模)一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球.(I)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率;(II)设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)利用P= 即可得出.(II)X可能取0，1，2.P(X=k)= ，即可得出分布列与数学期望.【解答】解：(Ⅰ)P= = .(II)X可能取0，1，2.P(X=k)= ，可得P(X=0)= ，P(X=1)= ，P(X=2)= .X的分布列X 0 1 2PEX=0+ +2× = .【点评】本题考查了超几何分布列的概率计算公式、数学期望，考查了推理能力与计算能力了，属于中档题.18.(12分)(2017•日照一模)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD= .(I)求证：EF∥平面ABCD;(Ⅱ)若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法.【分析】(I)根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面ABCD;(Ⅱ)，建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.【解答】解：(Ⅰ)如图，过点E 作EH⊥BC于H，连接HD，∴EH= .∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，FD= ，∴FD∥EH.FD=EH∴四边形EHDF 为平行四边形.∴EF∥HD∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD(Ⅱ)连接HA 由(Ⅰ)，得H 为BC 中点，又∠CBA=60°，△ABC 为等边三角形，∴AH⊥BC，分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz.则 B(1，0，0)，F(﹣2，， )，E(0，0， )，A(0，，0)=(﹣3，， )， =(﹣1，，0)， =(﹣1，0， )，设平面EBF 的法向量为 =(x，y，z).由得令z=1，得 =( ，2，1).设平面ABF的法向量为 =(x，y，z).由得令y=1，得 =( ，1，2)cos< ， >= = = = ，∵二面角A﹣FB﹣E是钝二面角，∴二面角A﹣FB﹣E的余弦值是﹣ .【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等.19.(12分)(2017•安徽模拟)已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*.(Ⅰ)设bn= ，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an;(Ⅱ)设Cn= ，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn< 对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.【考点】数列递推式;数列与不等式的综合.【分析】(Ⅰ)利用递推公式即可得出bn+1﹣bn为一个常数，从而证明数列{bn}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得Tn< 对于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可.【解答】(Ⅰ)证明：∵bn+1﹣bn= == =2，∴数列{bn}是公差为2的等差数列，又 =2，∴bn=2+(n﹣1)×2=2n.∴2n= ，解得 .(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可得，∴cncn+2= = ，∴数列{CnCn+2}的前n项和为Tn= … +=2 <3.要使得Tn< 对于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m>0，故最小值为3.【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键.20.(13分)(2017•日照一模)已知左、右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)的椭圆过点，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.(I)求椭圆C的离心率和标准方程.(II)圆与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R 交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P1的直径，且直线F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范围.【考点】圆锥曲线的范围问题;椭圆的简单性质;圆与圆锥曲线的综合;直线与椭圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)利用椭圆C过点，∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，推出a=2c，然后求解椭圆C的离心率，标准方程.(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用中点坐标公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直线AB的方程，代入椭圆C的方程求出点的坐标，设F1R：y=k(x+1)，联立，设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，利用韦达定理，结合，，化简|PF1||QF1|，通过，求解|PF1||QF1|的取值范围.【解答】(本小题满分13分)(Ⅰ)解：∵椭圆C过点，∴ ，①∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，∵a2=b2+c2，∴ ，②由①②得a2=4，b2=3，a=2，c=1，∴椭圆C的离心率，标准方程为.…(Ⅱ)因为AB为圆P1的直径，所以点P1 为线段AB的中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，又，所以，则(x1﹣x2)﹣(y1﹣y2)=0，故，则直线AB的方程为，即.…(8分)代入椭圆C的方程并整理得，则，故直线F1R的斜率 .设F1R：y=k(x+1)，由，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0，设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有， .又，，所以|PF1||QF1|=(1+k2)|x3x4+(x3+x4)+1|= ，因为，所以，即|PF1||QF1|的取值范围是.…(13分)【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及平方差法的应用，考查分析问题解决问题的能力.21.(14分)(2017•日照一模)设f(x)=xex(e为自然对数的底数)，g(x)=(x+1)2.(I)记，讨论函F(x)单调性;(II)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R)，若函数G(x)有两个零点.(i)求参数a的取值范围;(ii)设x1，x2是G(x)的两个零点，证明x1+x2+2<0.【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)(i)求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的零点的个数，求出a的范围即可;(ii)根据a的范围，得到 = =﹣，令m>0，得到F (=1+m)﹣F(﹣1﹣m)= ( e2m+1)，再令φ(m)= e2m+1，根据函数的单调性证明即可.【解答】解：(Ⅰ)F(x)= = ，(x≠﹣1)，F′(x)= = ，∴x∈(﹣∞，﹣1)时，F′(x)<0，F(x)递减，x∈(﹣1，+∞)时，F′(x)>0，F(x)递增;(Ⅱ)由已知，G(x)=af(x)+g(x)=axex+(x+1)2，G′(x)=a(x+1)ex+2(x+1)=(x+1)(aex+2)，(i)①a=0时，G(x)=(x+1)2，有唯一零点﹣1，②a>0时，aex+2>0，∴x∈(﹣∞，﹣1)时，G′(x)<0，G(x)递减，x∈(﹣1，+∞)时，G′(x)>0，G(x)递增，∴G(x)极小值=G(﹣1)=﹣ <0，∵G(0)=1>0，∴x∈(﹣1，+∞)时，G(x)有唯一零点，x<﹣1时，ax<0，则ex< ，∴axex> ，∴G(x)> +(x+1)2=x2+(2+ )x+1，∵△= ﹣4×1×1= + >0，∴∃t1，t2，且t1使得x2+(2+ )x+1>0，取x0∈(﹣∞，﹣1)，则G(x0)>0，则x∈(﹣∞，﹣1)时，G(x)有唯一零点，即a>0时，函数G(x)有2个零点;③a<0时，G′(x)=a(x+1)(ex﹣(﹣ ))，由G′(x)=0，得x=﹣1或x=ln(﹣ )，若﹣1=ln(﹣)，即a=﹣2e时，G′(x)≤0，G(x)递减，至多1个零点;若﹣1>ln(﹣ )，即a<﹣2e时，G′(x)=a(x+1)(ex﹣(﹣ ))，注意到y=x+1，y=ex+ 都是增函数，∴x∈(﹣∞，ln(﹣ ))时，G′(x)<0，G(x)是减函数，x∈(ln(﹣ )，﹣1)时，G′(x)>0，G(x)递增，x∈(﹣1，+∞)时，G′(x)<0，G(x)递减，∵G(x)极小值=G(ln(﹣ ))=ln2(﹣ )+1>0，∴G(x)至多1个零点;若﹣1﹣2e时，x∈(﹣∞，﹣1)时，G′(x)<0，G(x)是减函数，x∈(﹣1，ln(﹣ ))时，G′(x)>0，G(x)递增，x∈(ln(﹣ )，+∞)时，G′(x)<0，G(x)递减，∵G(x)极小值=G(﹣1)=﹣ >0，∴G(x)至多1个零点;综上，若函数G(x)有2个零点，则参数a的范围是(0，+∞);(ii)由(i)得：函数G(x)有2个零点，则参数a的范围是(0，+∞)，x1，x2是G(x)的两个零点，则有：，即，即 = =﹣，∵F(x)= ，则F(x1)=F(x2)<0，且x1<0，x1≠﹣1，x2<0，x2≠﹣1，x1≠x2，由(Ⅰ)知，当x∈(﹣∞，﹣1)时，F(x)是减函数，x∈(﹣1，+∞)时，F(x)是增函数，令m>0，F (=1+m)﹣F(﹣1﹣m)= ( e2m+1)，再令φ(m)= e2m+1=e2m﹣﹣1，则φ′(m)= >0，∴φ(m)>φ(0)=0，又 >0，m>0时，F(﹣1+m)﹣F(﹣1﹣m)>0恒成立，即F(﹣1+m)>F(﹣1﹣m)恒成立，令m=﹣1﹣x1>0，即x1<﹣1，有F(﹣1+(﹣1﹣x1))>F(﹣1﹣(﹣1﹣x1))，即F(﹣2﹣x1)>F(x1)=F(x2)，∵x1<﹣1，∴﹣2﹣x1>﹣1，又F(x1)=F(x2)，必有x2>﹣1。
2023年4月山东省新高考联合模拟考试数学参考答案
山东省新高考联合模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1314．240；15．(11)，，答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可；16 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）由题意及参考数据可得：3x =，521()10i i x x =−=∑1564≈，51517081362061537i ii x yxy =−=−⨯=−∑，所以 5515370.981564i ix yx yr −−=≈≈−∑， 因为y 与x 的相关系数近似为0.98−，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）由62061241.25y ==及（1）得：51522151537153.7105i ii i i x yx yb x x==−−===−−∑∑， 1241.2153.731702.3a y bx =−=−−⨯=（）．所以 y 关于x 的回归方程为：ˆ153.71702.3yx =−+．将2023年对应的年份编号6x =代入回归方程得：ˆ153.761702.3780.1y =−⨯+=． 所以 我国2023年的新生儿数量约780.1万人．18．【解析】（1）因为 122n n S +=−，所以 122n n n n a S S n −=−=，，当1n =时，112a S ==，适合上式，所以 2n n a =． 所以 22log log 2n n n b a n ===． （2）11221212()()()n n n n n T a b b b a b b b a b b b =++++++++++++1212()()n n a a a b b b =++++++因为 122n n S +=−，212122n n nb b b n ++++=+++=，所以 212(22)()(21)()2n n n n nT n n ++=−=−+．19．【解析】（1）因为 三棱台ABC DEF −是正三棱台，M 为棱AB 的中点，2AB DE =．所以 DE MB 且DE MB =，所以 四边形DMBE 为平行四边形， 所以 MD BE 且MD BE =，同理 NFBE 且NF BE =；所以 MDNF 且MD NF =，所以 四边形DMNF取AC 的中点为O ，连接AE EC OE OB ，，，， 因为 EA EC BA BC ==，， 所以 AC OB ⊥，AC OE ⊥，又OBOE O =，所以 直线AC ⊥面BOE ，又BE ⊂面BOE ， 所以 AC BE ⊥，又MNAC ，MDBE ，所以 MN MD ⊥，所以 四边形DMNF 为矩形．（2）以O 为原点，OB OC ，所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系． 设正方形DMNF 的边长为1，则121DE AB BE ===，，． 则(010)A −，，，00)B ，(010)C ，，，1(623D −，，， 则(020)AC =，，，31(62AD =，，(310)BC =−， 设平面ACFD 的法向量为()x y z =，，n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得2010623y x y z =⎧++=⎩，令1z =−，得01)=−n ， 设BC 与平面ACFD 所成的角为θ，所以|2sin ||||4BC BC θ⋅===|n n ，所以 直线BC 与平面ACDF ． 20．【解析】（1）延长CG 交AB 于点D ，因为 G 是ABC △的重心，则 D 为线段AB 的中点，且12DG GC =，又0AG BG ⋅=所以 GA GB ⊥，因此 12DG DA c ==，2GC DG c ==，又因为 π6GAD ∠=，所以 AG =，在AGC △中，记CAG α∠=， 由正弦定理 sin sin AG CG ACG α=∠，即 2sin sin 6c αα=π⎛⎫− ⎪⎝⎭，1sin cos 62ααααπ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，即 cos αα=， 所以 sin tan cos ααα==，即 tan CAG ∠=． （2）由（1）可知32CD c =，在ABC △中，222222cos 22AC AB BC b c a BAC AC AB bc+−+−∠==⋅⋅，在ACD △中，222222229244cos 222c c b AD AC DC b c DAC c AD AC bc b +−+−−∠===⋅⋅⋅⋅，所以 2222222b c a b c bc bc+−−=，整理得 2225a b c +=，在ABC 中，()2222224cos 255a b a b c ACB ab ab++−∠==，当且仅当a b =时，等号成立；又()0πACB ∠∈，，所以 cos 1ACB ∠<， 综上 cos ACB ∠的取值范围为4[1)5，．21．【解析】（1）由题意可知242a ab =⎧⎨=⎩，解得21a b ==，；所以 椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）由（1）可知(20)(01)A B ，，，，则直线AB 的方程为220x y +−=， 设1122()()M x y N x y ，，，，因为 PQ x ⊥轴，所以 11(1)2x P x −，， 因为 P 为线段QM 的中点，所以 111(2)Q x x y −−，， 又因为 A Q N ，，三点共线，所以 21121222y x y x x −−=−−，即 1212122y y x x +=−−−． 设直线:MN y kx m =+，代入2214x y +=并整理得：222(41)8440k x kmx m +++−=， 则21212228444+14+1km m x x x x k k −−+==，；所以12121212121212122(2)()422222()4y y kx m kx m kx x m k x x mx x x x x x x x +++−+−+=+=−−−−−++ 2222224482(2)414+14+114482244+14+1m km k m k m k k m km k mk k −−+−−−===−−−+−+，所以 12m k =−，所以 直线MN 的方程为：12(2)1y kx k k x =+−=−+，故直线MN 过定点(21)，． 22．【解析】（1）当0a =时，2ln ()xf x x =，[1e]x ∈，．432ln 12ln ()x x x x f x x x −−'==， 令()0f x '=，得x =(1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当e]x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. 因为 (1)0f =，12ef =，21(e)e f =，所以 ()f x 的值域为1[0]2e，．（2）2431()2()ln 12ln ()()()ax a x a x xx x f x x a x a −−−−−'==−−， ()f x 的极值点等价于()f x '的变号零点．设()12ln ag x x x=−−． ①若0a，()f x 的定义域为(0)+∞，，3()0x a −>．显然 ()g x 在(0)x ∈+∞，上单调递减； 因为 (1)10g a =−>，()12ln()0ag e a e a e a−=−−−<−， 所以 存在唯一的0(1e )x a ∈−，，使得0()0g x =，即0()0f x '=， 当0(0)x x ∈，时，()0f x '>，当0()x x ∈+∞，时，()0f x '<； 所以 ()f x 存在唯一极大值点，符合题意． ②若0a >，()f x 定义域为()0()a a +∞，，当()x a ∈+∞，时，3()0x a −>．()12ln ag x x x=−−，2222()0a a x g x x x x −'=−=<， 所以 ()g x 单调递减，注意到 ()2ln g a a =−．（i ）1a >时，()0g a <，所以 ()0g x <，所以 ()0f x '<，所以 ()f x 在()x a ∈+∞，上无极值点；（ii ）1a =时，()0g a =，所以 () 0g x ，所以 () 0f x '，所以 ()f x 在()x a ∈+∞，上无极值点； （iii ）01a <<时，()0g a >，(2)0g <，所以 存在唯一的1(2)x a ∈，，1()0g x =，即1()0f x '=．当1()x a x ∈，时，()0g x >，()0f x '>，当1()x x ∈+∞，时，()0g x <，()0f x '<； 所以 1x x =为()f x 在(,)x a ∈+∞的极大值点， 此时()f x 在()x a ∈+∞，有一个极值点． 当(0)x a ∈，时，3()0x a −<.()12ln a g x x x =−−，2222()a a x g x x x x −'=−=，令()0g x '=，得2ax =． 当(0)2ax ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2ax a ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减．令()12ln 022a ag =−−=，得a =．（i ）1a >时，若(1a ∈，()02ag >，()2ln 0g a a =−<，当(0)2ax ∈，时，2216()12ln 1616a a g a =−−161430a <−+−=−<，所以 存在22()162a a x ∈，，3()2ax a ∈，，23()()0g x g x ==．当2(0)x x ∈，时，()0g x <，()0f x '>， 当23()x x x ∈，时，()0g x >，()0f x '<， 当3()x x a ∈，时，()0g x <，()0f x '>；所以2x x =为()f x 的极大值点，3x x =为()f x 的极小值点； 此时()f x 在(0)a ，上有两个极值点． 若)a ∈+∞，则 () 02a g ，() 0g x ，() 0f x '，此时 ()f x 在(0)a ，上无极值点； 故 1a >不符合题意．（ii ）当1a =时，1()02g >，1()016g <，(1)0g =；所以 存在唯一411()162x ∈，，使得4()0g x =，当4(0)x x ∈，时，()0g x <，()0f x '>， 当4(1)x x ∈，时，()0g x >，()0f x '<；所以 4x x =为()f x 的极大值点；此时 ()f x 在(0)a ，有一个极值点， 故 1a =符合题意．（iii ）当01a <<时， 02a g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()2ln 0g a a =−>，当(0)2a x ∈，时，2()016a g <，所以 存在唯一25()162a ax ∈，，使得5()0g x =，当5(0)x x ∈，时，()0g x <，()0f x '>， 当5()x x a ∈，时，()0g x >，()0f x '<； 所以 5x x =为()f x 的极大值点；此时 ()f x 在(0)x a ∈，有一个极值点，不合题意．综上 a 的取值范围为0a或1a =．。
最新山东中考第二次模拟测试《数学试卷》含答案解析
山 东 中 考 全 真 模 拟 测 试数 学 试 卷一．选择题 1.23的倒数是（ ） A. 32 B. 32- C. 23- D. 23 2.已知代数式163m a b --和216n ab 是同类项，则m -n 的值是（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. 03.近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B.C. D.4.医学研究发现某病毒直径约为0.000043毫米，这个数用科学记数法表示为( )A. 40.4310⨯B. 54.310-⨯C. 40.4310-⨯D. 50.4310⨯ 5.如图所示，正三棱柱的左视图( )A. B.C. D.6.2x -x 的取值范围是（ ）A. 2x ≥B. 2x ≥-C. 2x >D. 2x >-7.下列计算正确的是（ ）A. （a 2）3＝a 5B. （﹣2a ）2＝﹣4a 2C. m 3m 2＝m 6D. 5﹣2＝125 8.三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为( ) A. 19 B. 16 C. 14 D.12 9.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 2B. 2πC. 4D. 4π10.如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（ ）A. 5B. 2C. 52 5二．填空题11.若2a b =+，则代数式222a ab b -+的值为__．12.写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为__________．13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为_____．14.如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交,AB BC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=，则BCD ABDS S ∆∆=_____．15. 设△ABC 的面积为1．如图1，分别将AC ，BC 边2等分，D 1，E 1是其分点，连接AE 1，BD 1交于点F 1，得到四边形CD 1F 1E 1，其面积S 1=．如图2，分别将AC ，BC 边3等分，D 1，D 2，E 1，E 2是其分点，连接AE 2，BD 2交于点F 2，得到四边形CD 2F 2E 2，其面积S 2=；如图3，分别将AC ，BC 边4等分，D 1，D 2，D 3，E 1，E 2，E 3是其分点，连接AE 3，BD 3交于点F 3，得到四边形CD 3F 3E 3，其面积S 3=； … 按照这个规律进行下去，若分别将AC ，BC 边（n+1）等分，…，得到四边形CD n E n F n ，其面积S= ．三．解答题16.解方程21 =122x x x--- 17.某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图： 等级 视力（x ）频数 频率A4.2x < 4 0.1 B 4.2 4.4x ≤≤ 12 0.3C4.5 4.7x ≤≤ a D 4.85.0x ≤≤b E 5.1 5.3x ≤≤ 100.25 合计40 1根据上面提供信息，回答下列问题：（1）统计表中的a = ，b = ；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E 级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．18.某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w （元）的三组对应值如下表：售价x （元/件）50 60 80 周销售量y （件）100 80 40 周销售利润w （元）1000 16001600注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）（1）①求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件(0)m ，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值19.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上一点，连接OP ，点A 关于OP 的对称点C 恰好落在⊙O 上． （1）求证：OP ∥BC ；（2）过点C 作⊙O 的切线CD ，交AP 的延长线于点D ．如果∠D ＝90°，DP ＝1，求⊙O 的直径．20.问题情境:在综合实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图（1），将一张菱形纸片ABCD （∠BAD ＝60°）沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△ACD操作发现:（1）将图（1）中的△ABC 以A 为旋转中心，顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）得到如图（2）所示△ABC ′，分别延长BC ′和DC 交于点E ，发现CE ＝C ′E ．请你证明这个结论． （2）在问题（1）的基础上，当旋转角α等于多少度时，四边形ACEC ′是菱形？请你利用图（3）说明理由． 拓展探究:（3）在满足问题（2）的基础上，过点C ′作C ′F ⊥AC ，与DC 交于点F ．试判断AD 、DF 与AC的数量关系，并说明理由．21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点D （﹣2，﹣3）和点E （3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝2，动点Q 从点P 出发，沿P →M →N →A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．22.定义：点P （a ，b ）关于原点的对称点为P '，以PP '为边作等边△PP 'C ，则称点C 为P 的“等边对称点”； （1）若P （13），求点P 的“等边对称点”的坐标．（2）若P 点是双曲线y ＝2x（x ＞0）上一动点，当点P 的“等边对称点”点C 在第四象限时， ①如图（1），请问点C 是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．②如图（2），已知点A （1，2），B （2，1），点G 是线段AB 上动点，点F 在y 轴上，若以A 、G 、F 、C 这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C 的纵坐标y c 的取值范围．答案与解析一．选择题 1.23的倒数是（ ） A. 32 B. 32- C. 23- D. 23 【答案】A【解析】【分析】直接利用倒数的定义得出答案．【详解】解：23的倒数是：32． 故选A ．【点睛】此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．2.已知代数式163m a b --和216n ab 是同类项，则m -n 的值是（ ） A. -1B. -2C. -3D. 0 【答案】A【解析】【分析】由同类项的定义可先求得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【详解】∵代数式163m a b --和216ab 是同类项， ∴m−1=1，2n=6，∴m=2，n=3，∴m−n=2−3=−1，故选A.【点睛】此题考查同类项，解题关键在于求得m 和n 的值.3.近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．故选D ．【点睛】此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别,解题的关键是熟知其定义.4.医学研究发现某病毒直径约为0.000043毫米，这个数用科学记数法表示为( )A. 40.4310⨯B. 54.310-⨯C. 40.4310-⨯D. 50.4310⨯【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】50.000043 4.310-=⨯，故选B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.如图所示，正三棱柱的左视图( )A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】 根据简单几何体的三视图，可得答案．【详解】主视图是一个矩形，俯视图是两个矩形，左视图是三角形，故选A ．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．6.2x -x 的取值范围是（ ）A. 2x ≥B. 2x ≥-C. 2x >D. 2x >- 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的定义中关于被开方数非负的要求，求x 的取值范围.【详解】二次根式必须满足：被开方数是非负数，所以20x -≥，解得2x ≥，故选A ．【点睛】本题考查二次根式的定义.7.下列计算正确的是（ ）A. （a 2）3＝a 5B. （﹣2a ）2＝﹣4a 2C. m 3m 2＝m 6D. 5﹣2＝125【答案】D【解析】【分析】先根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．【详解】解：A 、结果是a 6，故本选项不符合题意；B 、结果是4a 2，故本选项不符合题意；C 、结果是m 5，故本选项不符合题意；D、结果是125，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂，正确计算是解题的关键.8.三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就坐，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为( )A. 19B.16C.14D.12【答案】D【解析】【分析】画树状图为（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）共有6种等可能的结果数，其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3，所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率=36=12．故选D．9.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A. 2B. 2πC. 4D. 4π【答案】B【解析】【分析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．【详解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝2242AB AC+=，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，∴阴影部分的面积＝2245?(42)1145?4444436022360ππ-⨯⨯+⨯⨯-＝2π，故选B．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.10.如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A. 5B. 2C. 52D. 25【答案】C【解析】【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE和a．【详解】过点D作DE⊥BC于点E.由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．.∴AD=a.∴12DE•AD＝a.∴DE=2.当点F 从D 到B∴Rt △DBE 中，1=，∵四边形ABCD 是菱形， ∴EC=a-1，DC=a ， Rt △DEC 中， a 2=22+（a-1）2. 解得a=52. 故选C ．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．二．填空题11.若2a b =+，则代数式222a ab b -+的值为__． 【答案】4. 【解析】 【分析】由2a b =+，可得2a b -=，所求代数式变形后，整体代入即可． 【详解】2a b =+，2a b ∴-=，22222()24a ab b a b ∴-+=-==，故答案为4【点睛】本题考查了代数式求值，利用完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式结构特征是解答本题的关键．12.写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为__________． 【答案】1y x= 【解析】【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答． 【详解】解：该题答案不唯一，可以为1y x=等． 故答案为：1y x=． 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键． 13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为_____．【答案】 4.5112x yx y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩【解析】 【分析】设木条长x 尺，绳子长y 尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于,x y 的二元一次方程组，此题得解．【详解】设木条长x 尺，绳子长y 尺，依题意，得： 4.5112x yx y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩故答案为 4.5112x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14.如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交,AB BC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=，则BCDABDS S ∆∆=_____．【答案】12． 【解析】 【分析】利用基本作图得BD 平分ABC ∠，再计算出30ABD CBD ∠=∠=，所以DA DB =，利用2BD CD =得到2AD CD =，然后根据三角形面积公式可得到BCD ABDS S的值．【详解】解：由作法得BD 平分ABC ∠， ∵90C =∠，30A ∠=， ∴60ABC ︒∠=，∴30ABD CBD ︒∠=∠=， ∴DA DB =，在Rt BCD ∆中，2BD CD =， ∴2AD CD =， ∴12BCD ABD S S ∆∆=. 故答案为12． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)． 15. 设△ABC 的面积为1．如图1，分别将AC ，BC 边2等分，D 1，E 1是其分点，连接AE 1，BD 1交于点F 1，得到四边形CD 1F 1E 1，其面积S 1=．如图2，分别将AC ，BC 边3等分，D 1，D 2，E 1，E 2是其分点，连接AE 2，BD 2交于点F 2，得到四边形CD 2F 2E 2，其面积S2=；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n E n F n，其面积S= ．【答案】．【解析】试题分析：如图所示，连接D1E1，D2E2，D3E3，∵图1中，D1，E1是△ABC两边的中点，∴D1E1∥AB，D1E1=AB，∴△CD1E1∽△CBA，且=，∴S△CD1E1=S△ABC=，∵E1是BC的中点，∴S△BD1E1=S△CD1E1=，∴S△D1E1F1=S△BD1E1=×=，∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1=+=，同理可得：图2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2==，图3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3==，以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CD n E n F n，其面积S n==，故答案为．考点：规律型：图形的变化类；三角形的面积；规律型；综合题．三．解答题16.解方程21=122xx x---【答案】x=-1．【解析】【详解】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1解这个方程，得x= -1检验：x= -1时，x-2≠0∴原方程的解是x= -1首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解17.某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.15.25.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.24.4 4.2 4.35.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.14.2 4.4 4.5 4.1 4.55.1 4.4 5.0 5.2 5.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a=，b=；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【答案】（1）8、0.15；（2）补全图形见解析；（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有100人；（4）恰好选到1名男生和1名女生的概率23．【解析】【分析】（1）由所列数据得出a的值，继而求出C组对应的频率，再根据频率之和等于1求出b的值；（2）总人数乘以b的值求出D组对应的频数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）由题意知C等级的频数8a=，则C组对应的频率为8400.2÷=，∴1(0.10.30.20.25)0.15b=-+++=，故答案为8、0.15；（2）D组对应的频数为400.156⨯=，补全图形如下：（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有4000.25100⨯=（人）；（4）列表如下：男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，所以恰好选到1名男生和1名女生的概率82 123=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．18.某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）（1）①求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件(0)m >，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值【答案】（1）①y 与x 的函数关系式是2200y x =-+；②40，70，1800；（2）5. 【解析】 【分析】(1)①设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可；②设进价为a 元，根据利润=售价-进价，列方程可求得a 的值，根据“周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得w 关于x 的二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可得；(2)根据“周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得(2200)(40)w x x m =-+--，进而利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】(1)①设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，将(50，100)，(60，80)分别代入得，501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，2k =-，200b =， ∴y 与x 的函数关系式是2200y x =-+；②设进价为a 元，由售价50元时，周销售是为100件，周销售利润为1000元，得 100(50-a)=1000， 解得：a=40，依题意有，(2200)(40)w x x =-+- =222808000x x -+- =()22701800x --+ ∵20-<，∴当x=70时，w 有最大值为1800，即售价为70元/件时，周销售利润最大，最大为1800元， 故答案为40，70，1800；(2)依题意有，(2200)(40)w x x m =-+--22(2280)8000200x m x m =-++--221401260180022m x m m +⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭ ∵0m >，∴对称轴140702m x +=>， ∵20-<，∴抛物线开口向下，∵65x ，∴w 随x 的增大而增大，∴当65x =时，∴w 有最大值(265200)(6540)m -⨯+--，∴(265200)(6540)1400m -⨯+--=，∴5m =.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系正确列出函数解析式是解题的关键.19.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上一点，连接OP ，点A 关于OP 的对称点C 恰好落在⊙O 上． （1）求证：OP ∥BC ；（2）过点C 作⊙O 的切线CD ，交AP 的延长线于点D ．如果∠D ＝90°，DP ＝1，求⊙O 的直径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的直径AB ＝4．【解析】【分析】（1）由题意可知AP PC =，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP ＝12∠AOC ，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC ＝12∠AOC ，利用同位角相等两直线平行，可得出PO 与BC 平行； （2）由CD 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OC 垂直于CD ，又AD 垂直于CD ，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC 与AD 平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP ，由∠AOP=∠COP ，等量代换可得出∠APO=∠AOP ，再由OA=OP ，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP 三内角相等，确定出三角形AOP 为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD=4．【详解】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴AP PC∴∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝12∠AOC，又∵∠ABC＝12∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴PO∥BC；（2）解：连接PC，∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP，∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP，∵OA＝OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，在Rt△PCD中，PD＝12 PC，又∵PC＝OP＝12 AB，∴PD＝14 AB，∴AB＝4PD＝4．【点睛】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．20.问题情境:在综合实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图（1），将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＝60°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD操作发现:（1）将图（1）中的△ABC以A为旋转中心，顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）得到如图（2）所示△ABC′，分别延长BC′和DC交于点E，发现CE＝C′E．请你证明这个结论．（2）在问题（1）的基础上，当旋转角α等于多少度时，四边形ACEC′是菱形？请你利用图（3）说明理由．拓展探究:（3）在满足问题（2）的基础上，过点C′作C′F⊥AC，与DC交于点F．试判断AD、DF与AC 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当α＝30°时，四边形AC ′EC 是菱形，理由见解析；（3）AD +DF ＝AC ，理由见解析【解析】【分析】（1）先判断出∠ACC ′=∠AC ′C ，进而判断出∠ECC ′=∠EC ′C ，即可得出结论；（2）判断出四边形AC ′EC 是平行四边形，即可得出结论；（3）先判断出HAC ′是等边三角形，得出AH=AC ′，∠H=60°，再判断出△HDF 是等边三角形，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图2，连接CC′，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠AC′B ＝30°，AC ＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C ，∴∠ECC′＝∠EC′C ，∴CE ＝C′E ；（2）当α＝30°时，四边形AC′EC 是菱形，理由：∵∠DCA ＝∠CAC′＝∠AC′B ＝30°，∴CE ∥AC′，AC ∥C′E ，∴四边形AC′EC 是平行四边形，又∵CE ＝C′E ，∴四边形AC′EC 是菱形；（3）AD+DF＝AC．理由：如图4，分别延长CF与AD交于点H，∵∠DAC＝∠C′AC＝30°，C′F⊥AC，∴∠AC′H＝∠DAC′＝60°，∴△HAC′是等边三角形，∴AH＝AC′，∠H＝60°，又∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝30°，∴∠HDC＝∠DAC+∠DCA＝60°，∴△HDF是等边三角形，∴DH＝DF，∴AD+DF＝AD+DH＝AH．∵AC′＝AC，∴AC＝AD+DF．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转，等边三角形的判定和旋转，菱形的判定和性质，判断出△HAC′是等边三角形是解本题的关键．21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝22，动点Q 从点P 出发，沿P →M →N→A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．【答案】（1）y ＝x ﹣1，y ＝12-x 2+32x +2；（2）P （2，3）或（32，258）；（3）N （12，12-）． 【解析】【分析】（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）S 四边形OBPF ＝S △OBF +S △PFB ＝12×4×1+12×PH ×BO ，即可求解； （3）过点M 作A ′M ∥AN ，过作点A ′直线DE 的对称点A ″，连接PA ″交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，即可求解．【详解】（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：34229322a b a b -=-+⎧⎨++=⎩，解得： 1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故抛物线的表达式为：y ＝12-x 2+32x +2， 同理可得直线DE 的表达式为：y ＝x ﹣1…①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作PH ∥y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：y ＝14x -+1，设点P （x ，213222x x -++），则点H （x ，14x -+1）， S 四边形OBPF ＝S △OBF +S △PFB ＝12×4×1+12×PH ×BO ＝2+2（213121224x x x -+++-）＝7， 解得：x ＝2或32， 故点P （2，3）或（32，258）； （3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点P （2，3），过点M 作A ′M ∥AN ，过作点A ′直线DE 的对称点A ″，连接PA ″交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，∵MN ＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A ′（1，2），A ′A ″⊥DE ，则直线A ′A ″过点A ′，则其表达式为：y ＝﹣x +3…②，联立①②得x ＝2，则A ′A ″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A ″（3，0），同理可得：直线AP ″的表达式为：y ＝﹣3x +9…③，联立①③并解得：x ＝52，即点M （52，32）， 点M 沿BD 向下平移2个单位得：N （12，12-）． 【点睛】本题考查是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、面积的计算等，其中（3），通过平移和点的对称性，确定点Q 运动的最短路径，是本题解题的关键．22.定义：点P （a ，b ）关于原点的对称点为P '，以PP '为边作等边△PP 'C ，则称点C 为P 的“等边对称点”； （1）若P （13），求点P 的“等边对称点”的坐标．（2）若P 点是双曲线y ＝2x（x ＞0）上一动点，当点P 的“等边对称点”点C 在第四象限时， ①如图（1），请问点C 是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．②如图（2），已知点A （1，2），B （2，1），点G 是线段AB 上的动点，点F 在y 轴上，若以A 、G 、F 、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C 的纵坐标y c 的取值范围．【答案】（1）（33）；（2）①是，y ＝﹣6x（x ＞0）；②y c ≤﹣6或﹣3＜y c ≤﹣2 【解析】【分析】 （1）P （13P '（﹣13，可求PP '＝4；设C （m ，n ），有PC ＝P 'C ＝4，通过解方程可得m 3，再进行运算即可；（2）①设P （c ，2c ）则P '（﹣c ，﹣2c ），可求PP '＝224c c +；设C （s ，t ），有PC ＝P 'C ＝224c c+通过解方程可得s ＝﹣22t c ，t ＝3±，令33x c y c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，消元c 即可得xy ＝﹣6； ②当AG 为平行四边形的边时，G 与B 重合时，为一临界点通过平移可求得C （1，﹣6），y c ≤﹣6；当AG 为平行四边形的对角线时，G 与B 重合时，求得C （3，﹣2），G 与A 重合时，C （2，﹣3），此时﹣3＜y c ≤﹣2．【详解】解：（1）∵P （13，∴P '（﹣13），∴PP '＝4，设C （m ，n ），∴等边△PP ′C ，∴PC ＝P 'C ＝4， 2222(1)(3)(1)(3)4m n m n -+-=+++= ，∴m 3， 3﹣1）2+（n 32＝16．解得n∴m ＝﹣3或m ＝3．如图1，观察点C 位于第四象限，则C （﹣3．即点P 的“等边对称点”的坐标是（3）． （2）①设P （c ，2c ），∴P '（﹣c ，﹣2c ），∴PP '＝设C （s ，t ），PC ＝P 'C ＝==∴s ＝﹣22tc ，∴t 2＝3c 2，∴t＝，∴C）或C），∴点C 在第四象限，c ＞0，∴C（c），令x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴xy ＝﹣6，即y ＝﹣6x （x ＞0）；②当AG 为平行四边形的边时，G 与B 重合时，为一临界点通过平移可求得C （1，﹣6），∴y c ≤﹣6；当AG 为平行四边形的对角线时，G 与B 重合时，求得C （3，﹣2），G 与A 重合时，C （2，﹣3），此时﹣3＜y c ≤﹣2，综上所述：y c≤﹣6或﹣3＜y c≤﹣2．【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，平行四边形的判定与性质，对新定义的理解是解题的关键.。
2022届高三第二次模拟考试数学题带答案和解析(山东省济南省)
2022届高三第二次模拟考试数学题带答案和解析（山东省济南省）选择题设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合A，B，然后求交集即可.详解：由题意可得：，∴故选：D选择题设复数满足(其中为虚数单位),则下列说法正确的是（）A. B. 复数的虚部是C. D. 复数在复平面内所对应的点在第一象限【答案】D【解析】分析：先求出，然后依次判断模长，虚部，共轭复数，对应的点是否正确即可.详解：∴，复数的虚部是1，，复数在复平面内所对应的点为，显然在第一象限.故选：D选择题已知是公差为的等差数列, 为数列的前项和,若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先根据已知条件求出,再利用通项求.详解:由题得所以故答案为：C选择题已知角的终边经过点,其中,则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用三角函数定义确定与的值，即可得到结果.详解：∵角的终边经过点,其中,∴时，，，∴；时，，，∴；∴故选：B选择题某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:箱子中有编号为的五个形状、大小完全相同的小球,从中任取两球,若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖;否则不中奖则中奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出所有的基本事件的个数，再求摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.详解：由题得试验的所有基本事件有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4）,(3,5),(4,5),共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有（1,3），（1,5），（3,5），共3个，由古典概型的概率公式得.故答案为：C选择题已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到z的最小值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：因为z=2x+y,所以y=-2x+z,所以当直线y=-2x+z经过点A(1，4)时，直线的纵截距z最小，所以z的最小值为2×1+4=6.故答案为：B选择题已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示,则该棱柱的左视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题得侧视图是一个矩形，先求矩形的长，再求侧视图的面积.详解：设侧视图的长为x，则所以侧视图的面积为故答案为：C选择题设分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线的左右顶点,其中,若双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意得到2c=a,,解方程组即得双曲线的标准方程.详解：由题得故答案为：A选择题执行如图所示的程序框图,则该程序框图的输出结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：运行程序得到s的周期是4，再通过周期得到输出的值.详解：运行程序如下：s=2,i=1,s=-3,i=2,s=-,i=3,s=,i=4,s=2,i=5,可以看出S的周期性，周期为4，，所以输出的是.故答案为：选择题如图,半径为的圆中, 为直径的两个端点,点在圆上运动,设,将动点到两点的距离之和表示为的函数,则在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分成两类情况与分别求表达式即可.详解：当时，，，∴，当时，，∴故选：A选择题已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先设A,B,,再求切线PA,PB方程，再求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.详解:设A,B,,因为所以切线PA的方程为所以切线PB的方程为联立切线PA,PB的方程解之得x=a+b,y=ab,所以P（a+b,ab）.所以故答案为：A选择题已知定义在上的函数,当时, 且为奇函数,若方程的根为,则的所有的取值为（）A. 或或B. 或或C. 或或或D. 或或或【答案】D【解析】分析：先求出函数f(x)的对称中心，再画出分段函数的图像，再画出直线y=kx+k（过定点（-1,0））图像，数形结合分析得到答案.详解：因为为奇函数，所以函数f(x)的对称中心为（-1,0），画出函数f(x)的图像如图所示，直线y=k(x+1)，所以直线过定点P（-1,0）,当直线y=kx+k处于直线AF位置时，函数f(x)与直线y=kx+k有七个交点，它们分别是A,B,C,P,D,E,F,其中A和F，B和E，C和D都关于点P 对称，所以所以故答案为：D填空题已知是互相垂直的单位向量,向量,,则__________．【答案】2【解析】分析:直接利用向量的数量积运算即得解.详解:由题得.故答案为:2填空题2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是__________．【答案】丙【解析】分析：利用反推法，逐一排除即可.详解：如果甲是冠军，则爸爸与妈妈均猜对，不符合；如果乙是冠军，则三人均未猜对，不符合；如果丙是冠军，则只有爸爸猜对，符合；如果丁是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；如果戊是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；故答案为：丙填空题已知表示不超过的最大整数,例如: .在数列中, ,记为数列的前项和,则__________．【答案】4947【解析】分析：先对n分类讨论，求出每一段的数列的和，再求.详解：当1≤n≤9时，=0；当10≤n≤99时，=1，此区间所有项的和为90.当100≤n≤999时，=2，此区间所有项的和为900×2=1800.当1000≤n≤2018时，=3，此区间所有项的和为3×1019=3057.所以90+1800+3057=4947.故答案为：4947填空题已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.详解：设球的半径为R,所以设AB=x,则，由余弦定理得设底面△ABC的外接圆的半径为r,则所以PA=.所以三棱锥的体积=.当且仅当x=时取等.故答案为：解答题在中, ,.(1)求的长;(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1)先求出，再利用余弦定理求的长.(2)先求出的表达式，再求函数的取值范围得解.详解：（1）在中，.代入数据得: .，.在中，由余弦定理知:代入数据得: .（2）设，则.在中，由余弦定理知:.，又，，的取值范围为.解答题如图,在以为顶点的五面体中,底面是矩形, .(1)证明: 平面;(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍的体积求法表述为:术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍的“下袤”的长为,“上袤”的长为,“广”的长为,“高”即“点到平面的距离”为,则刍甍的体积的计算公式为:,证明该体积公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）先证明，再证明平面.(2)利用割补法证明.详解：（1）证明：是矩形，，又平面，平面平面，又平面，平面平面又平面，平面，平面.（2）解：设分别是棱上的点，且满足，链接.由第（1）问的证明知，，所以四边形和为平行四边形.，又，平面，多面体为三棱柱.因此，刍甍可别分割成四棱锥和三棱柱.由题意知，矩形中，矩形的面积，又四棱锥的高，即“点到平面的距离”为，四棱锥的体积；三棱柱的体积可以看成是以矩形为底,以点到平面的距离为高的四棱柱体积的一半.又矩形的面积三棱柱的体积刍甍的体积：.刍甍体积公式得证.解答题近期济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数, 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内, 与(均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立关于的回归方程,并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,为更好的服务乘客,车队随机调查了人次的乘车支付方式,得到如下结果：已知该线路公交车票价元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据调查结果发现:使用扫码支付的乘客中有名乘客享受折优惠,有名乘客享受折优惠,有名乘客享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下,按照上述收费标准,试估计该车队一辆车一年的总收入.参考数据:其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:【答案】(1)见解析;(2) 活动推出第天使用扫码支付的人次为；(3)见解析.【解析】分析：（1）根据散点图判断, 适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型. (2)先求出，再得到，再预测活动推出第天使用扫码支付的人次.(3)先求出享受折优惠、8折优惠、9折优惠的收入，再得到总的收入.详解：(1)根据散点图判断, 适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型. (2) ,两边同时取常用对数得:；设,,，，把代入,得: ，，，；把代入上式:；活动推出第天使用扫码支付的人次为关于的回归方程为: ，活动推出第天使用扫码支付的人次为；(3)由题意可知:一个月中使用现金的乘客有人,共收入元；使用乘车卡的乘客有人，共收入元；使用扫码支付的乘客有人，其中:享受折优惠的有人,共收入元享受折优惠的有人,共收入元:享受折优惠的有人,共收入元所以,一辆车一个月的收入为:（元）所以,一辆车一年的收入为: (元)解答题如下图已知离心率为的椭圆经过点,斜率为的直线交椭圆于两点，交轴于点,点为线段的中点.(1)求椭圆的方程；(2)若点关于轴的对称点为,过点且与垂直的直线交直线于点,求面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根据题意得方程组，解之即得椭圆的方程.(2)先求出，再利用基本不等式求函数的最大值.详解：(1)由已知得: 解得,椭圆的方程为:(2)椭圆的左顶点,设的方程: ),则,由得: .设.，.则，直线的斜率为: ，所以直线的方程为,即.直线的方程式为：.所以点.点到直线的距离,，,的面积,所以，当时取等号.所以面积的最大值为.解答题已知函数,(1)讨论单调性;(2)当时,函数的最大值为,求不超过的最大整数.【答案】(1)见解析;(2)-1.【解析】分析：（1）对a分类讨论求单调性.(2)先利用导数求出m的表达式，，再求不超过的最大整数.详解：（1），①当时，时，单调递减；时，单调递增；②当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；③当时，时，单调递增；④当时，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上，当时，在上单调递减，上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2），，当时，，单调递增；时，，单调递减；，，，所以，存在唯一的，使，即所以，当时，，单调递增；时，，单调递减；又，所以，.所以，不超过的最大整数为.解答题选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.(1)求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)已知点的极坐标为,求的值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：(1)利用代入消参法把直线的参数方程互为普通方程，利用，把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程化为标准形式，代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理表示即可.详解：(1) 的普通方程为: ；又,即曲线的直角坐标方程为:(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得，即,.解法二:，，，．解答题选修4-5：不等式选讲已知函数.(1)解不等式；(2)若，且,证明: ，并求时，的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1) 通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)利用绝对值三角不等式证明不等式，同时可知=，在结合均值不等式即可得到的值详解：(1)当时,不等式为,；当时,不等式为,不成立；当时,不等式为,,综上所述,不等式的解集为；（2）解法一:，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.解法二：，当时，；当时，；当时，的最小值为，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.。
山东省高考数学模拟考试试题及答案.doc
山东省 2020 年高考数学模拟考试试题及答案参考答案一、1. 一看就是两个交点，所以需要算？ C2. 分母数化，忘了“共”， D3.的向量坐运算， A4.球盒模型（考点关班里有）， 37 分配， B5.在一个方体中画即可（出人就是从方体出凑的，其就是一个臑 bie nao） C6.画个，一目了然， A7.关是把“所有”翻成“任取”，C8. 用 6、 4、 2 特即可（更高的，可以用极限特8-、 4、 2，招班里有）， B二、多9. 个，主要考文，AD10. 注意相同近的双曲法，x2 y2，D 可用哥口（直平方⋯⋯）a2 b2AC11.B 构造二面平行， C注意把面全 AEFD1（也可通排除法出）， D CG 中点明不在面上， BC12.利用函数平移的思想找称中心，ABC三、填空13. 确定不是小学？3614. 竟然考和差化，哥告你不住公式怎么，不直接展开也可以，4 515. 利用焦半径公式，或者更快的用特殊位置，或者更更快用极限特殊位置（招班有），2， 116.根据称之美原（招班有）， 8（老，填空所有都可以不笔直接口算出来的呀~~~）四、解答b n n 117. 故弄玄虚，都是等差等比的基本运算，选①，先算等比的通项 3 ，再算等差的通项 a n 3n 16 ，k 4，同理②不存在，③牛逼 k 418.（1）根据三角形面积很容易得出两边之比，再用正弦定理即可，60°（2）设 AC=4x（想想为什么不直接设为x？），将三角形 CFB三边表示出来，再用余弦定理，5175119.（1）取 SB中点 M，易知 AM//EF，且 MAB=45°，可得 AS=AB，易证 AM⊥面 SBC，进一步得证3（2）可设 AB=AS=a，AD=2a ，建系求解即可，320.（1）正相关（2）公式都给了，怕啥，但是需要把公式自己化简一下，y 121.86 7.89x ?（3）两侧分布均匀，且最大差距控制在1%左右，拟合效果较好x 2y2 2 1 1， x 321. （1）没啥可说的，y24 4（2）单一关参模型，条件转化为 AB=CD=1（绝招班里有讲），剩下就是计算了，无解，所以不存在22.（1）送分的（求导可用头哥口诀）， 7（2）考求导，没啥意思，注意定义域，单增0,（3）有点意思，详细点写由递推公式易知a n 1a n 7 1 7 a n 7由 a n 1 7 知71 a n 1a n若a n7 ，则 a n 1 7 ；若 a n 7 ，则 a n 1 7又 a 17 ，所以 n 为奇数时 an7 ， n 为偶数时 a71n1） n 为奇数时， a n7 ， a n 1 7 ，由（ 2）的单增可知7 7 2a n a n 2 1 a n f 2 a n77 77 1可知 1a n 2 1 7ln 7lna n 21lnan2 lnan 17a na n7 7 72） n 为偶数时， a n7 ， a n 1 7 ，由（ 2）的单增可知7 7 2a n a n 2 1 a n f 2 a n77 77 1a n 71 lna n ln70 a n an 1可知7 272 ln2 lna n 1an 177lnan 11由 1） 2）可得7ln a n27a n a 1ln a 2 ln a 3ln a nn 1n 1所以 ln77L 7 1 1 7lna 1a 2an 1ln 727 ln ln ln27 7 7所以 2n 2 2ln a n ln7 1证毕注 ： 奉 劝 大 家 千 万 不 要 求 通 项 公 式 ， 当 然 利 用 不 动 点 也 能 求 出 来n 171 7 777a n1 7 ，只是接下来你就要崩溃了吧 ~~~1 n 117 77 117。
山东省2021年冬季普通高中学业水平合格考试数学模拟试题(一)(解析版)
山东省2021年冬季普通高中学业水平合格模拟考试数学试题一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。
每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知复数z 满足2i z z -=，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i【答案】B 【详解】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，故2i 2i z z b -==， 所以1b =， 故选：B.2．若向量()1,2BA =，()4,5CA =，则BC =（ ） A ．()5,7 B ．()3,3-- C ．()3,3 D ．()5,7--【答案】B 【详解】因为向量()1,2BA =，()4,5CA =，所以()()()1,24,53,3BC BA CA =-=-=--； 故选：B.3．设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为（ ）． A ．有的正方形不是平行四边形 B ．有的平行四边形不是正方形 C ．所有正方形都不是平行四边形 D ．不是正方形的四边形不是平行四边形 【答案】A 【详解】解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 命题p ：所有正方形都是平行四边形， 所以p ⌝为有的正方形不是平行四边形. 故选：A. 4．不等式12x x+>-解集为（ ） A ．{|0}x x >B ．{}1x x ≥C ．{}1x x >D ．{|1x x >或0}x =【答案】A 【详解】由12x x +>-得：2221(1)0x x x x x+++=>，解得0x >.故选：A5．若tan θ=cos2θ=( )A ．12B ．0.5-C ．D 【答案】B 【详解】由sin tan cos θθθ=和22sin cos 1θθ+=可得，1cos 2θ=±，所以21cos22cos 10.52θθ=-=-=-. 故选：B.6．函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】当1a >时，1xy a a =-为增函数，当0x =时，111y a=-<且110y a =->，故A ，B 不符合.当01a <<时，1xy a a=-为减函数，当0x =时，110y a =-<，故C 不符合，D 符合.故选：D.7．某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）A ．16B ．18C ．22D ．40【答案】B 【详解】由题意得高三学生人数为1500500550450m =--=，因为在抽取的样本中，高二年级有20人， 所以样本容量n 满足500201500n =，得60n = 所以样本中高三年级的人数为45060181500⨯=， 故选：B8．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，则当0x <时，()f x =（ ） A ．e 1x -- B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．1x e -+【答案】D 【详解】设0x <，则0x ->，因为函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，()()1x f x e f x -=-=-，即：()1x f x e =-+. 故选：D9．若a b >，则下列正确的是（ ） A ．22a b > B ．b c a c -<-C ．ac bc >D ．11a b< 【答案】B 【详解】A ：1,2a b ==-时，22a b >不成立，错误；B ：由a b >，两边同时减去c ，有a c b c ->-，正确；C ：当0c <时，由a b >则ac bc <，错误；D ：1,2a b ==-时，11a b<不成立，错误； 故选：B10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题为真命题的是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件 B ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件 C ．“a ＜3”是“a ＜5”的必要条件D ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件 【答案】D 【详解】取a ＝2，b ＝3，c ＝0，满足ac ＝bc ，但是不满足a ＝b ，选项A 错误， 取a ＝2，b ＝﹣3，满足a ＞b ，但是不满足a 2＞b 2，选项B 错误， 由“a ＜5”推不出“a ＜3”，选项C 错误，“a +5是无理数”，则“a 是无理数”，选项D 正确， 故选：D ．11．如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ）A ．16海里/小时B ．15海里/小时C ．/小时D ．/小时【答案】A 【详解】由图可知BS =753045ASB ∠=︒-︒=︒，则sin 45AB =︒8AB =， 所以该船的航行速度为1162AB ÷=（海里/小时）． 故选：A12．,a b →→为平面向量，已知()()1,2,1,0a b →→==，则,a b →→夹角的余弦值等于（ ）A B ．C ．15D ．15-【答案】A 【详解】设,a b →→向量的夹角为θ，则·cos||||a ba b θ→→→→=== 故选：A.13．抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为（ ） A ．1 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，样本总数由2(54321)30⨯++++=种，其中目标样本“向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6”的样本数为2510⨯=种，所以抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为101303=. 故选：C14．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是（ ）A ．甲得分的中位数和极差都比乙大B ．甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大C ．甲得分的中位数和极差都比乙小D ．甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小【答案】B 【详解】甲得分依次为1、2、10、38、39， 中位数是10，极差为39138-=， 乙得分依次为11、22、23、24、30， 中位数是23，极差为301119-=， 则甲得分的中位数比乙小，极差比乙大， 故选：B.15．袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，6，从中随机摸出一个球，设事件A 为摸出的小球编号为奇数，事件B 为摸出小球的编号为2，则()P A B =（ ）A ．13B ．23C ．12D ．56【答案】B 【详解】事件A 与事件B 是互斥事件，112()()()263P A B P A P B ∴⋃=+=+=. 故选：B.16．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（ ） A ．12 B ．24 C ．4 D ．30【答案】C 【详解】所求的体积为11324432⨯⨯⨯⨯=，故选：C.17．已知在长方体1111ABCD A B C D -中，在平面11ABB A 上任取一点M ，作ME AB ⊥于E ，则（ ）A ．ME ⊥平面ABCDB ．ME ⊂平面ABCDC ．//ME 平面ABCD D ．以上都有可能【答案】A 【详解】M ∈平面11ABB A ，E AB ∈，即E ∈平面11ABB A ，ME ∴⊂平面11ABB A ， 又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，ME ∴⊥平面ABCD .故选：A.18．函数22cos 1y x =-的最小正周期为（ ） A ．2π B ．πC ．2π D ．4π 【答案】B 【详解】22cos 1cos 2y x x =-=，因此，该函数的最小正周期为22T ππ==. 故选：B.19．在高一（1）班组织的“我爱古诗词”的调研考试中，全班40名学生的成绩数据（均为整数且都在[]40,100）统计为如下的频率分布直方图，则第四小组（成绩分布在[)70,80）的频率为（ ）A ．0.001B ．0.01C ．0.03D ．0.3【答案】D 【详解】由频率分布直方图可得第四小组的频率为()10.010.0150.0150.0250.005100.3-++++⨯=. 故选：D.20．已知12是函数2log (),2()2,2x x m x f x x +≥⎧=⎨<⎩的一个零点，则[4(19)]f f 的值是（ ）A ．1B ．0C ．2D +1【答案】B 【详解】由题意知：2(12)log (12)0f m =+=，可得11m =-， ∴2log (11),2()2,2x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则2(19)log (1911)3f =-=.∴[4(19)](43)(12)0f f f f =⨯==. 故选：B二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）21．已知1x >，则121x x ++-的最小值是___________． 【答案】5 【详解】 1,10x x >->，112133511x x x x ++=-++≥=--， 当且仅当11,2x x -==时等号成立. 故答案为：522．若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________ 【答案】12(,]23【详解】由题意，不等式2(2)20x a x a -++-<且0a >，即222(1)x x a x -+<+，令()()222,(1)f x x x g x a x =-+=+，所以()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，所以()y f x =是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线， 而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线，作出函数()222f x x x =-+和()(1)g x a x =+的图象，如图所示，其中()()11,22f f ==， 又因为,0x Z a ∈>，结合图象，要使得集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，可得()(1)122g g >⎧⎨≤⎩，即2132a a >⎧⎨≤⎩，解得1223a <≤.即正实数a 的取值范围是12(,]23.故答案为：12(,]23.23．函数()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩，则()4f =______.【答案】10 【详解】因为()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩，所以(4)[(10)](8)[(14)](12)10f f f f f f f =====. 故答案为：1024．在ABC 中，1,,6AC B AB π===ABC 的面积为______．【详解】在ABC 中，1,,6AC B AB π===由正弦定理得sin sin AC AB B C =，所以sin sin AB B C AC ⋅==， 因为0C π<<，则3C π=或23π，可得2A π=或6π，又由1sin 2ABCSAB AC A A =⋅⋅=，所以ABCS =25．已知tan α、tan β是方程240x -+=的两根，并且α、π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则αβ+的值是______． 【答案】8π3【详解】tan α、tan β是方程240x -+=的两根，并且α、π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan tan αβ+=tan tan 4αβ⋅=，()π,3παβ+∈．∴tan α、tan β均大于零，故α、3ππ,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()2π,3παβ+∈．∴()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-⋅∴2π8π2π33αβ+=+=， 故答案为：8π3． 三、解答题（本题共3小题，共25分）26．已知函数()()sin 0||2f x x ϕπωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及其单调递减区间；（2）若要得到()f x 的图象，只需要函数sin y x =的图象经过怎样的图象变换？ 【详解】（1）根据函数的图象：43124T πππ=-=，解得T π=，故2ω=，由于sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于2πϕ<，故6πϕ=-. 所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以函数的最小正周期为π； 令()222262k x k k ππ3π+π≤-≤π+∈Z ， 整理得()536k x k k ππ+π≤≤π+∈Z ， 故函数的单调递减区间为：()5,36k k k ππ⎡⎤+ππ+∈⎢⎥⎣⎦Z ， （2）要得到函数()f x 的图象，只需将函数sin y x =的图象向右平移6π个单位，再将函数图象的横标压缩为原来的12即可.27．如图所示，斜三棱柱111ABC A B C -中，点1D 为11A C 上的中点．（1）求证：1//BC 平面11AB D ；（2）设三棱锥111A A B D -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为2V ，求12V V ． 【详解】（1）证明：连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1，则在平形四边形ABB 1A 1中，点O 为A 1B 的中点，又点D 1为A 1C 1的中点，所以OD 1∴BC 1，又OD 1∴平面AB 1D 1，B 1C ∴平面AB 1D 1，所以BC 1∴平面AB 1D 1．（2）V 1＝111A A B D V -＝11112A A B C V -＝11116ABC A B C V -＝16V 2 所以12V V ＝16．28．已知函数1()22x x f x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.【详解】（1）1()22(2)()2x x x x f x f x --=-=--=-，则函数()f x 是奇函数，则当0x 时，设120x x <， 则2112121212121122()()22222222x xx x x x x x x x f x f x --=--+=-+121212221(22)22x x x x x x -=-，120x x <，12122x x ∴<，即12220x x -<，12221x x >，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，则()f x 在[0，)+∞上是增函数，()f x 是R 上的奇函数，()f x ∴在R 上是增函数.（2）()f x 在R 上是增函数，∴不等式2(log )(1)f x f <等价为不等式2log 1x <，即02x <<.即不等式的解集为(0,2).。
2024届山东省联合模拟考试数学试题(解析版)
2024年全国普通高考模拟考试数学试题2024．5注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A.3B.3.5C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的求法计算即可.【详解】易知730% 2.1⨯=，则该组数据的第三个数4为第30百分位数.故选：C2.已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =+≤≤()0a >，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A.()0,2024 B.(]0,2024 C.()0,2023 D.(]0,2023【答案】B 【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，则集合B 中最小元素a 应在集合A 中，即可得到a 的取值范围.【详解】由题意A B ⋂≠∅，再由0a >，所以集合B 中最小元素a 应在集合A 中，所以02024a <≤，即a 的取值范围是(]0,2024.故选：B.3.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线=3y -的距离为5，则PF =（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知()0,1F ，抛物线的准线为1y =-，而PF 与P 到准线的距离相等，所以()()5133PF =----=.故选：C4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120B.72C.64D.48【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为2334A 62A 127=⨯=.故选：B5.已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b - ，则a 与b 的夹角为（）A.60° B.120°C.135°D.150°【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可.【详解】易知a 在b上的投影向量为cos ,55cos ,88a b a b a b a b b b ⋅=-⇒=- ，而51cos ,82b a b a =-⋅=-，所以a 与b 的夹角为120 .故选：B6.已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.内含【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求a 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆M ：2220x y ay ++=⇒()222x y a a ++=，所以圆心()0,M a -，半径为a .==，且0a >，所以112a =.又圆N 的圆心()2,2N -，半径为：1.所以2MN ==，912a -=.由922<，所以两圆内含.故选：D7.已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则23a a +可能取的值是（）A.2-B.3- C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据题意，令12cos a θ=，42sin a θ=，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.【详解】设12cos a θ=，42sin a θ=，则1243π)4a a a a θ=+++=，所以23[a a ∈+-，故选：A.8.已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A.12B.2C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【详解】由题意化简()11cos 4sin(4)22121f x x x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭11sin(42)sin 2(21)2121x x x x πππ=-+=-+--，21y x =-与()f x 图象有交点，则1sin 2(21)2121x x x π-+=--有实根，令21t x =-，则12t x +=，则化为1sin 2t t t π+=，即1sin 2t t tπ=-的所有实根之和，即()sin 2g t t π=与1()h t t t =-所有交点横坐标之和，显然()g t 是周期为1的奇函数，()h t 为奇函数且在(0,)+∞上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,t t t t t t ，它们的和为0，则12345612345616322t t t t t tx x x x x x ++++++++++=⨯+=，故选：D .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知1z ，2z 为复数，则（）A.1212z z z z +=+ B.若12z z =，则2121z z z =C.若11z =，则12z -的最小值为2 D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =【答案】BD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；设()1i,,R z a b a b =+∈，由复数的几何意义计算模长判断C ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断D.【详解】对于A ，若121i,1i =+=-z z ，则121i 1i 2z z +=++-=，121i 1i z z +=++-=1212z z z z +≠+，故A 错误；对于B ，设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z z =，故B 正确；对于C ，设()1i,,R z a b a b =+∈，因为11z =，所以221a b +=，所以()1i 22a b z =-+===-，因为11a -≤≤，所以1549a ≤-≤，所以12z -的最小值为1，故C 错误；对于D ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故D 正确.故选：BD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.()15P A =B.()1|3P B C =C.事件A 与B 是互斥事件D.事件B 与C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件,,A B C 的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以()2326C 31C 155P A ===；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以()2326C 3411C 155P B =-=-=；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以()2326C 22C 5P C =⨯=；A B +表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以()1P A B +=；BC 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以()2326C 1C 5P BC ==.因为()()()|P BC P B C P C =12=，故B 错误；因为()()()P A B P A P B +=+，所以,A B 互斥，故C 正确；因为()()()P BC P B P C ≠⋅，所以,B C 不独立，故D 错误.故选：AC11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，过C 的右焦点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，1F AB 的内切圆分别切直线1F A ，1F B ，AB 于点P ，Q ，M ，内切圆的圆心为I，半径为，则（）A.CB.切点M 与右焦点2F 重合C.11F BI F AI ABI S S S +-=△△△D.17cos 9AF B ∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据渐近线方程求出2a =，得到离心率；B 选项，由双曲线定义和切线长定理得到22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，得到切点M 与右焦点2F 重合；C 选项，根据双曲线定义和1F AB 的内切圆的半径得到11F BI F AI ABI S S S +-=△△△；D 选项，作出辅助线，得到112tan 4PI AF I PF ∠==，利用万能公式得到答案.【详解】A 选项，由题意得112a =，解得2a =，故离心率c e a ===A 正确；B 选项，11,,AP AM F P FQ QB BM ===，由双曲线定义可得1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，两式相减得1122AF BF AF BF -=-，即22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，故切点M 与右焦点2F 重合，B 正确；C 选项，1F AB 的内切圆的半径为2r =故()111111111122222F BI F AI ABI S S S F A r F B r AB r F A F B AB +-=+-=+- ()11112424222F A AM F B BM a =-+-=⨯=C 错误；D 选项，连接1F I ，则1F I 平分1AF B ∠，其中111224F P AF AP AF AF a =-=-==，故112tan 4PI AF I PF ∠==，所以2221111212112c i os cos co s s c s n s s in o in AF I AF IAF I AF I AF I AF IAF B ∠-∠∠-=∠=+∠∠∠2212212141tan 71tan 9214AF I AF I ⎛⎫-⎪-∠⎝⎭===+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M 与右焦点2F 重合，从而推理得到四个选项的正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为10，则=a ___________．【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.【详解】易知二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()5152155C C rr rr rr r T x a x a x ---+=⋅=⋅，显然1r =时，115C 102a a =⇒=.故答案为：213.若函数()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为___________．【答案】π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化简，再判断1sin 02ϕ+≠，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出ϕ.【详解】因为()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭ππcos cos sin sin sin coscos sin 33x x x x ϕϕ=+++1cos cos sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若1sin 02ϕ+=，则cos 2ϕ=±，所以()0f x =或()f x x =，显然不满足()f x 的最大值为2，所以1sin 02ϕ+≠，则()()f x x θ=+，（其中3cos 2tan 1sin 2ϕθϕ+=+），依题意可得2213sin cos 422ϕϕ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即sin 2ϕϕ+=，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.故答案为：π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）14.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2AB =，AF =，若PA PE ⊥，当四面体PAQE 体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________．【答案】222-或84352362+-【解析】【分析】先确定P 点的轨迹，确定四面体P AQE -体积最大时，P ，Q 点的位置，再利用体积法求内切球半径.【详解】如图：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BE ⊂平面ABEF ，且BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD .AP ⊂平面ABCD ，所以BE AP ⊥，又⊥PE AP ，,PE BE ⊂平面PBE ，所以AP ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以AP PB ⊥.又P 在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹是如图所示的以AB 为直径的半圆，作PH AB ⊥于H ，则PH 是三棱锥P AQE -的高.所以当AQE 的面积和PH 都取得最大值时，四面体PAQE 的体积最大.此时Q 点应该与B 或F 重合，P 为正方形ABCD 的中心.如图：当Q 点与B 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 1PEQ S = ，1PAQ S = ，APE V 中，因为AP PE ⊥，2AP =，2PE =，所以2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：2222222r ==+.如图：当Q 点与F 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 3PEQ S = ，1PAQ S = ，2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：22231r =++84352362+--=.综上可知，当四面体PAQE 的体积最大时，其内切球半径为：222-或84352362+-.故答案为：222或84352362+-【点睛】关键点点睛：根据PA PE ⊥得到P 点在以AE 为直径的球面上，又P 点在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹就是球面与平面ABCD 的交线上，即以AB 为直径的半圆上.明确P 点轨迹是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()1ln f x x kx =-．（1）若曲线()f x 在e x =处的切线与直线y x =垂直，求k 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1k =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合题意有，()()e ln e 1f k ='-=-，即可求解k 值；（2）对函数求导，分0k >和0k <两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.【小问1详解】因为()()1ln f x x kx =-，0k ≠，所以()()ln f x kx =-'，曲线()f x 在e x =处的切线与y x =垂直，所以()()e ln e 1f k ='-=-，得1k =；【小问2详解】由()()1ln f x x kx =-得()()ln f x kx =-'，当0k >时，()f x 的定义域为()0,∞+，令()0f x '=得1x k=，当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 的定义域为(),0∞-，令()0f x '=得1x k=当1,x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,0x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0k >时，()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点．（1）证明：111C D B E ⊥；（2）若1124BC B C ==，1B E =，求直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接1EC ，可得1AB C E ⊥，由已知得11AB B C ⊥，所以得AB ⊥平面11B C E ，可得11C D ⊥平面11B C E ，则可得111C D B E ⊥；（2）以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出1BC的坐标及平面11CDD C 的一个法向量n的坐标，由1BC 和n夹角的余弦值的绝对值即为直线1BC 与平面11CDD C 所成角正弦值，由向量夹角的余弦公式算出，再算出直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值.【小问1详解】连接1EC ，因为1ABC 为等边三角形，所以1AB C E ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AB BC⊥在四棱台1111ABCD A B C D -中，11//BC B C ，所以11AB B C ⊥，又1111111,,B C C E C B C C E ⋂=⊂平面11B C E ，所以AB ⊥平面11B C E ，因为11//AB C D ，所以11C D ⊥平面11B C E ，因为1B E ⊂平面11B C E ，所以111C D B E ⊥；.【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，所以4AB BC ==，所以1C E =因为1B E =，112B C =，所以2221111C B B E C E +=，所以111B E B C ⊥，又由（1）111C D B E ⊥，且11111C D B C C = ，1111,C D B C ⊂平面1111D C B A ，所以1B E ⊥平面1111D C B A ，即1B E ⊥平面ABCD ，取CD 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，以EB ，EF，1EB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0B ，()2,4,0C，(10,2,C ，()2,4,0D -，所以(12,2,BC =-，(12,2,CC =-- ，()4,0,0CD =-，设(),,n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，所以100n CC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22040x y x ⎧-+-+=⎪⎨=⎪⎩，得()n = ，直线1BC 与平面11CDD C所成角正弦值为113BC n BC n⋅==⋅，则直线1BC 与平面11CDD C3=.17.已知数列{}n a 满足12a =，1nn n a a d q +-=⋅，*n ∈N ．（1）若1q =，{}n a 为递增数列，且2，5a ，73a +成等比数列，求d ；（2）若1d =，12q =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）12d =（2）()1171332nnn a --=+⋅【解析】【分析】（1）利用数列{}n a 为单调递增数列，得到1n n a a d +-=，再根据2，5a ，73a +成等比数列，得到28230d d +-=，即可求出的值.（2）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得212221n n n n a a a a +--<-．可得()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭；由数列{}2n a 是递减数列得出2120n n a a +-<，可得()1112n n n naa ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】因为12a =，且{}n a 为递增数列，所以1n n a a d +-=，所以{}n a 为等差数列，因为2，5a ，73a +成等比数列，所以()()2114263a d a d +=++，整理得28230d d +-=，得12d =，34d =-，因为{}n a 为递增数列，所以12d =.【小问2详解】由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．②又①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，④由③，④即知，()1112n n n na a ++--=，于是()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- ()1211111112221222212n nn --⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+-++=++ ()1171332nn --=+⋅，故数列{}n a 的通项公式为()1171332nnn a --=+⋅．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）数列{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质即可；（2）根据数列{}21n a -是递增数列得，21210n n a a +-->，数列{}2n a 是递减数列得，2120n n a a +-<，综合数列{}21n a -和{}2n a 即可得()1112n n n naa ++--=，最后利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左焦点为F ，点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且以AB为直径的圆经过点F ．（1）求C 的方程；（2）过点()5,0G -的直线l 交C 于D ，E 两点，线段DE 上存在点M 满足DM GE DG EM ⋅=⋅，过G与l 垂直的直线交y 轴于点N ，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）221189x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆中,,a b c 的关系，求出,,a b c 的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线l ：()5y k x =+，再设()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，把直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出12x x +，12x x ，并用,,120x x x 表示条件DM GE DG EM ⋅=⋅，整理得0x 为定值；再结合弦长公式表示出GM ，利用两点间的距离公式求GN ，表示出GMN 的面积，利用基本（均值）不等式求最值.【小问1详解】由题意知()0,A b ，(),0F c -，因为点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2221619b a b+=⇒218a =，由以AB 为直径的圆经过点F ，知0FA FB ⋅= ，得22403b c c -+=①，又222b c a +=②，由①②得3c =，3b =，所以C 的方程为：221189x y +=.【小问2详解】如图：由题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()5y k x =+，且()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，将()5y k x =+代入221189x y +=，整理可得()2222122050180kxk x k +++-=，()()()2222Δ2041250180kk k =-+->，解得77k -<<，由根与系数的关系可得21222012k x x k +=-+，2122501812k x x k -=+，根据DM GE DG EM = ，得01120255x x x x x x -+=-+，解得()22221212021225018202525121218201051012k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫-+-⎪++++⎝⎭===-++-++，设与直线l 垂直的直线方程为()15y x k=-+，令0x =，则5y k =-，即50,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故GN ==，()1855GM =--=，记GMN 面积为S ，则12S GM GN =⨯==7272==，当且仅当1k =±时取等号，所以GMN 面积的最小值为7．【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.19.设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n n i M a a a a a i n i =∈≤≤∈N L，从集合n M 中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）求3M 中(),2d A B =的点对的个数；（2）从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）【答案】（1）12对（2）①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk kk D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【小问1详解】当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.【小问2详解】①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n nn n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯⨯+⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且1C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n n n n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
山东省模考数学答案(1)
山东省模拟考试答案解析解析老师:即墨区萃英中学王晓芬李文杰由卫娟即墨区第一中学孙彩芹即墨区高级实验中学杨金红1、C [解析]C y x y x x y y x ，故选或解得根据题意⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+421122本题考查集合运算以及求解曲线的交点，本质是解一元二次方程，属于基础题。
2、D [解析]Db a b a i bi a i i i i i i 故选所以，所以根据题意,1,1,0,)1)(1()1(112=+===+-=-+-=+-本题考查复数的运算以及共轭复数的概念，属于基础题。
3、A [解析]Ac b c a c b a ，故选所以根据题意0,0)32(3)(==+--=∙-∙=∙-λλλλ本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题。
4、B [解析]()()BT x r r x C x C T r x x r r r r rr r 故选的系数所以得到由项是的展开式中第根据题意,120,74102,1211)1(84102101010110-===--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+---+本题考查二项式定理中二项展开式的系数问题，属于基础题。
5、C [解析]CV ABC S AS ABCAS AS AC SC AS AC SC AS SB AB AS AB SAB AC BC AB BC AB ABC ABC S ，故选的高为三棱锥面得再由又，又3432631,32,32,4,2,2,102,6,22222=⨯⨯=∴-∴⊥∴⊥∴=+==∴==⊥∴=∠=∴==⊥∴=∠- ππ本题考查立体几何中求三棱锥的体积，考查同学们的空间想象能力，属于基础题。
6、A [解析]()A AB B A y x x xx y 故选有最小值时，由数形结合易知当的图象，和圆（角坐标系中作出根据题意，可在同一直,3)1,2(),4,2(2)20422=+->+=本题考查圆锥曲线中圆的最值问题，属于基础题。
7、C [解析]根据全称命题和特称命题的关系，全称命题的否定是特称命题，故选C 本题考查全称命题的否定，属于基础题。
2022-2023学年山东省临沂市高考模拟考试(一模)数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年山东省临沂市高考模拟考试（一模）数学试题1. 已知集合，，则下列集合为空集的是( )A. B. C. D.2. 在复平面内，复数，对应的点分别是，，则的虚部是( )A. iB.C. 1D.3. 某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是( )件数7891011人数37541A. B. 9 C. D. 104. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为( )A. B. C. D.5. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长如图，直角梯形ABCD，已知，，，，则其重心G到AB的距离为( )A. B. C. D. 17. 已知，，，则( )A. B. C. D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右两支分别交于点M，N，且，则C的离心率为( )A. B. C. D.9. 已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为( )A. B.C. D.10. 已知圆，点，点P在圆C上，O为坐标原点，则( )A. 线段AP长的最大值为6B. 当直线AP与圆C相切时，C. 以线段AP为直径的圆不可能过原点OD. 的最大值为2011. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则( )A.B. 延长AO交直线于点D，则D，B，Q三点共线C.D. 若PB平分，则12. 已知正方体的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，，，的中点，则( )A. 直线，EF是异面直线B. 平面截正方体所得截面的面积为C. 三棱锥的体积为D. 三棱锥的外接球的表面积为13. 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高单位：服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有__________若，，14. 的展开式中常数项为__________.15. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________.16. 已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________.17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求若，求面积的取值范围.18. 为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图.若此次活动中获奖的学生占参赛总人数，试估计获奖分数线;采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在的人数为，求的分布列和数学期望.19. 已知数列为等比数列，，是与的等差中项，为的前n项和.求的通项公式及集合A为正整数集的某一子集，对于正整数k，若存在正整数m，使得，则，否则记数列满足求的前20项和20. 如图，三棱锥，，，，平面平面ABC，点M为PC的中点.若，求直线BM与平面ABC所成角的正弦值;若，求BC的长.21. 已知动点与点的距离和它到直线的距离之比是，点M的轨迹为曲线求C的方程;若点A，B，D，E在C上，且，AD与BE交于点P，点P在椭圆上，证明：的面积为定值.22. 已知函数，若恒成立，求实数a的最小值;证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的交集、补集运算，指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题.解指数不等式、对数不等式得集合A，B，由交集、补集的定义逐个计算得答案.【解答】解：集合，，所以，，，，，，故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的相关概念与运算，复数的几何意义，属于基础题.由复数的几何意义可知，，计算出后由虚部的概念即可得解.【解答】解：由题意，，则，所以的虚部为3.【答案】C【解析】【分析】本题考查百分位数，属于基础题.由得，第75百分位数是第15位和第16位工人生产的产品件数的平均数，由此即可求出结果.【解答】解：抽取的人数为人，，所以该组数据的产品件数的第75百分位数是第15位和第16位工人生产的产品件数的平均数，即4.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算、投影向量的求法，属于基础题.结合数量积的定义式、投影向量的求法求解.【解答】解：向量在向量上的投影向量为：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题．由，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：因为，因为，所以“”是“”的充分不必要条件.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何体的体积，属于中档题.求出直角梯形绕AB旋转一周所得几何体体积，记重心G到AB的距离为，则，即可得出答案.【解答】解：设则，直角梯形绕AB旋转一周所得旋转体的体积为，，设重心G到AB的距离为，则，得故选：7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了判断函数零点、方程的根所在区间，利用作差法/作商法比较代数式的大小和利用对数函数的图象与性质比较大小，属于较难题.令，利用判断函数零点、方程的根所在区间得，再利用作差法比较代数式的大小得和，再利用对数函数的图象与性质比较大小得结论.【解答】解：令，则函数是增函数.因为，，所以存在唯一，使得，因此满足的因为，所以，因此因为，所以，因此，即，而函数是减函数，因此因为，所以，因此，而，所以，即，而函数是减函数，因此综上所述，8.【答案】D【解析】【分析】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质，余弦定理的应用等知识，属于中档题．设，，根据双曲线的定义算出，由余弦定理，，即可得.【解答】解：如图：，设，则，，根据双曲线的定义，得，即，解得，即，，，，所以，即，解得，所以9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的判断，属于中档题.由为定义在R上的偶函数，得为奇函数，根据函数奇偶性的定义判断选项即可求解.【解答】解：由于为定义在R上的偶函数，所以，即，所以，所以是R上的奇函数.选项A：定义域为，不是R，故A错误；选项B：定义域为R，由，则是奇函数，故B正确；选项C：定义域为R，由，则不是奇函数，故C 错误；选项D：定义域为R，由，则是奇函数，故D正确.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了由标准方程确定圆心和半径，点到圆上点的最值问题，圆的切点坐标、切线长，向量的加法运算和向量的数量积的概念及其运算，属于中档题.利用圆C的标准方程确定其圆心和半径，再利用点到圆上点的最值问题对A进行判断;再利用圆的切线长对B进行判断;再利用平面几何知识对C进行判断;再利用向量的加法运算和向量的数量积对D进行判断，从而得结论.【解答】解：对于由得，因此圆C的圆心为，半径为因为，所以点A在圆C外，而，因此线段AP长的最大值为，故A正确;对于由选项A知：，因此当直线AP与圆C相切时，，故B正确;对于因为圆C与x轴交于点，，所以当P与E或F重合时，和都是以AP为斜边的直角三角形，因此以线段AP为直径的圆过原点O，故C错误;对于因为在中，，，，而，所以，因此当与同向共线时，取得最大值，最大值为，故D正确.故选11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及应用，属于较难题.求出，进而求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，得到即可判断求出，利用两点间距离公式求出即可判断求出直线AO的方程，得到，由光学性质可知BQ平行于x轴，可知根据B，D，Q三点都在上，即可判断B；PB平分推出，由，计算m的值，即可判断【解答】解：中，令，即，解得：，故，则直线AB必经过焦点，故直线AB的方程为，即，联立与，得：，故，故A正确;又，即，所以，所以，故B点坐标，则，故C错误；直线AO的方程为，令，则，故，又由光学性质可知BQ平行于x轴，所以Q点纵坐标等于B点坐标为，显然，，Q三点都在上，故B正确；由光学性质可知AP平行于x轴，BQ平行于x轴，则，有，PB平分，有，所以，即，得，故D错误.故选：12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查异面直线的概念，考查棱锥的体积、外接球的表面积，考查空间几何体的截面问题，属于难题.【解答】解：对于A，取CD中点，连接，根据正方体的结构特征，可知，又平面ABCD，平面，所以EF与相交或异面，又点，则直线EF与直线是异面直线，又，所以直线EF与直线是异面直线，故A正确；对于B，取AB中点K，连接MK、DK，根据正方体的结构特征，可知，M ，K分别是，AB的中点，所以，所以，所以，MK共面，所以平面截正方体所得截面为四边形，正方体棱长为4，所以，，，，所以中，，则，，所以中，，则，，所以，故B错误；对于C，连接，，交于点H，取BH中点N，连接MN，根据正方体的结构特征，可知点A，B，，共面，且，，又，，平面，所以平面，又M，N分别为，BH的中点，所以，所以平面，所以MN是三棱锥的高，，中，，，，所以，，故C正确；对于D，取中点，取CD中点，连接，取中点O，连接OA，OB，OM，，根据正方体的结构特征，可知平面，易知中，，又点是中点，所以点是外接圆圆心，又平面，所以上的任一点到点A，B，的距离都相等，所以，又点O是中点，所以过点O且平行于平面ABCD的平面交MB于MB的中点，所以该平面上任一点到点M和点B的距离相等，点O在该平面上，所以，所以，即点O是三棱锥的外接球的球心，易求，则，，则中有，，即三棱锥的外接球半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.故选13.【答案】1359【解析】【分析】本题为正态分布的常规考法，计算简单，属于基础题．首先得到正态分布中，，观察即为，所以【解答】解：由知；，，株水稻，株高在的约有1359株.14.【答案】【解析】【分析】本题考查利用二项展开式的通项求展开式中特定项，属于基础题.求出展开式中的常数项与含的系数，再求展开式中的常数项．【解答】解：展开式的通项为：，令，解得，，令，解得，，展开式中常数项为：故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质的应用，属于中档题.根据三角函数图象的对称性，得到，求得，进而求得，得到，结合，即可求得的值.【解答】解：如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形ABCD和EFGH的面积之和，即，因为函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，又因为图中阴影部分的面积为，所以，解得，又由图象可得，可得，所以，所以，所以，因为，可得，即，因为，所以故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了点到直线的距离，利用导数研究函数的最值，函数零点与方程根的关系，属于较难题，由题可得点是直线上一点，求得原点O到直线l的距离d，则，令，，利用导数求其最值即可.【解答】解：由已知可得，，不妨设直线l：则点是直线l上一点，原点O到直线l的距离为，则，设，，，可知函数在上单调递增，可得，所以的最小值为17.【答案】解：由正弦定理得：，所以，即，因为，所以，又，所以；由余弦定理得：，即，所以，即，又，【解析】本题考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，考查了运算求解能力，属于基础题．由题意，由正弦定理得：，进而求出C；由余弦定理得：，即，利用三角形面积公式，结合不等式，求出，即可得解．18.【答案】解：根据直方图可知，成绩在的频率为，大于，成绩的频率为，因此获奖的分数线应该介于之间.设分数线为，使得成绩在的概率为，即，可得，所以获奖分数线划定为应从和两组内分别抽取5人和2人，则的可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012P数学期望【解析】本题考查频率分布直方图及利用超几何分布求分布列、均值，属于中档题.根据频率分布直方图计算即可；应从和两组内分别抽取5人和2人，则的可能取值为0，1，2，求出相关概率即可得分布列、数学期望.19.【答案】解：设的公比为q，，是与的等差中项，，，，，由题意知，，又，，，即，故，又，【解析】本题考查等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，分组并项法求和，考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题.利用等差中项，等比数列的通项公式列方程解出q，代入公式即可；根据上问得出，又，，可得，即，再根据题意求得的前20项和.20.【答案】解：取AB得中点D，连接PD，由于，因此，又平面平面ABC，又平面平面，平面PAB，平面以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，则，，当时，，，取平面ABC的一个法向量为，，设直线BM与平面ABC所成的角为，，直线BM与平面ABC所成角的正弦值为由题意知，又，，，即，，又，可得，在中，，，【解析】本题考查了利用空间向量求线面所成角，属于中档题.以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；由题意知，，由可得，求出，进而求得答案.21.【答案】解：由题意知，化简整理得曲线C的轨迹方程为证明：设，，，由题意知由，可知D，E分别为AP，BP的中点，所以，，由得，，，同理，所以A，B都在直线上.由得，，又因为直线AB过坐标原点，所以又点P到直线AB的距离，所以，又，，故故的面积为定值.【解析】本题考查圆锥曲线的知识，主要考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于较难题.根据与点的距离和它到直线的距离之比是，列出等式化简即可.根据题意得出D，E坐标，将A、B、D、E的坐标带入椭圆方程，联立方程组化简得到A，B 都在直线上，再将此直线与椭圆联立方程组，得出AB距离，用点到直线距离求出高，进而化简的面积得到为定值.22.【答案】解：显然，，恒成立，即恒成立只要恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，上式显然成立，故上式恒成立，只需满足时恒成立即可，设，则上式化为而，可得在单调递减，在单调递增，因此式恒成立，只需恒成立，即对恒成立，于是恒成立，即，设，，则，可得在单调递增，在单调递减，则，于是，实数a的最小值为；证明：设直线l分别切，的图象于点，，由可得，得l的方程为，即，由可得，得l的方程为，即，比较l的方程，得，消去，得，令，则，当时，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，在上有一个零点，由，得，在上有一个零点，在上有且只有两个零点，故有且只有两条直线与函数，的图象都相切.【解析】本题考查导数中的恒成立、零点问题以及利用导数研究函数的单调性，属于较难题.问题转化为时恒成立即可，设，则上式化为，利用导数求出的单调性，因此式恒成立，只需恒成立，设，，求出的最值即可；首先设直线l与函数，的切点分别为，，并分别求出切线方程，再对比系数后可得，的方程组，消元后，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断函数的零点个数，即可证明.。
山东省2021年普通高中学业水平合格性考试全真模拟 数学试题(3)(含答案与全解全析)
19．下图为某地区2006年~2018年地方财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知，该地区2006年~2018年（）
A．财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势
B．财政预算内收入､城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同
C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量
综上可得，选项D中的结论不成立.
本题选择D选项.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
21．已知 ，则 的最小值为__________.
【答案】8
【解析】由 ，
可得： .
当且仅当 ，即 时取得最小值8.
故答案为：8.
22．已知函数 ，则 __.
【答案】4.
【解析】 函数 ，
所以 ， ，
.
故答案为：4.
5．下列各图中，可表示函数 图象的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一的y值，则只有D满足条件；
故选：D
6．若函数 是幂函数，则 （）
A．3B． C．3或 D．
【答案】C
【解析】因为函数 是幂函数,所以 ,
解得 或 .故选:C
7．计算 的结果为（）
选项B:如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行,也可包含于这个平面,故B错误;
选项C:若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面,故C错误;
选项D:垂直于同一个平面的两条直线互相平行, 故D正确 ,故选:D
18．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（）
山东省2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷及答案详解(15页)
山东省2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(模拟试卷)数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}|){(}2|){(2x y y x B y x y x A ===+=，，，，则=B A A ．)}11{(， B ．)}42{(，- C ．)}42()11{(，，，- D ．Φ 2．已知)(R b a bi a ∈+，是ii+-11的共轭复数，则=+b a A ．1- B ．21- C ．21D ．13．设向量)12()31()11(，，，=-==，且⊥-)(λ，则=λA ．3B ．2C ．2-D ．3- 4．10)1(x x-的展开式中4x 的系数是A ．210-B ．120-C ．120D ．210 5．已知三棱锥ABC S -中，2π=∠=∠ABC SAB ，4=SB ，132=SC ，2=AB ，6=BC ，则三棱锥ABC S -的体积是A ．4B ．6C ．34D ．36 6．已知点A 为曲线)0(4>+=x xx y 上的动点，B 为圆1)2(22=+-y x 上的动点，则||AB 的最小值是A ．3B ．4C ．23D ．24 7．设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形8．若1>>>c b a 且2b ac <，则A ．a c b c b a log log log >>B ．c a b a b c log log log >>C ．a b c c a b log log log >>D ．c b a a c b log log log >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东一模数学试题及答案
结束语：本试题及答案仅供参考，实际考试请以官方发布的试题及答案为准。
6. 已知椭圆C的方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中a > b > 0，且椭圆C的离心率为\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)，若椭圆C的右焦点为F(c, 0)，左顶点为A(-a, 0)，且直线AF的斜率为\( \frac{1}{2} \)，求椭圆C的方程。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题
3. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 1，a3 = 4，则该数列的公差d为______。
4. 函数\( y = \frac{1}{x} \)在区间(1, +∞x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求证：对于任意实数x，都有\( f(x) \geq -1 \)。
山东一模数学试题及答案
一、选择题
1. 若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的零点为x1和x2，则x1 + x2的值为：
2022年山东省高考数学一模试卷及答案解析
2022年山东省高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数z 满足iz ＝1﹣i （其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3＜0}，B ＝{x |lnx ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（1，e ]B ．[1，3]C ．（0，e ]D ．（0，3]3．（5分）已知等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞1是{a n }为增数列的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）如图所示，正方体的棱长为√3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（ ）A ．π6B ．πC ．4π3D ．4π5．（5分）北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．90种B ．125种C ．150种D ．243种6．（5分）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X 近似服从正态分布N （100，225），从中任取3名同学，至少有2人的数学成绩超过100分的概率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．787．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x ，圆F ：（x ﹣1）2+y 2＝1，直线l ：y ＝k （x ﹣1）（k ≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M 1，M 2，M 3，M 4四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．|M 1M 2|•|M 3M 4|B ．|FM 1|•|FM 4|C ．|M 1M 3|•|M 2M 4|D ．|FM 1|•|M 1M 2|8．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）={2|x−1|−1，0＜x ≤212f(x −2)，x ＞2，若关于x 的方程[f （x ）]2﹣（a +1）f （x ）+a ＝0（a ∈R ）恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ） A ．﹣4B ．4C ．8D ．﹣4或8二、选择题：本题共4小题。
山东省2022届高三数学毕业班5月模拟考试试题答案(pdf)
山东省2022届高三毕业班5月模拟考数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：题号12345678答案DADBCCAB二、多项选择题：题号9101112答案ABBDACACD12.著名的伯努利（Bernoulli）不等式为：1212(1)(1)(1)1n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+，其中实数1x ，2x ，...，n x 同号，且均大于1-.特别地，当*n ∈N ，且1x >-时，有(1)1n x nx +≥+.已知伯努利不等式还可以推广为：设x r ∈R ，，若1r ≥，且1x >-，则(1)1r x rx +≥+.设a ，b 为实数，则下列结论正确的为A ．任意(0,)a ∈+∞，且任意[1,)b ∈+∞，都有1(1)(1)2(1)b b a b a +++≥+B ．任意(1,)b ∈+∞，存在(0,)a ∈+∞，使得1b a b ab +<+C ．任意(0,1]a ∈，且任意(1,)b ∈-+∞，都有(1)1a b ab +≤+D ．任意[1,)b ∈+∞，存在*a ∈N ，且a b ≤，使得1()1b b a a b ≤-+解析：（1）考查选项A ：若1b ≥，则(1)1b a ab +≥+，且1(1)1bb a a+≥+，∴11(1)(12(b b a a b a a +++≥++，又0a >，由基本不等式可知12a a+≥，∴1(1)(1)2(1)b b a b a+++≥+，故选项A 正确；（2）考查选项B ：∵0a >，∴11a ->-，又1b >，∴(11)1(1)b b a a b a =+-≥+-，∴1b a b ab +≥+恒成立，故选项B 错误；（3）考查选项C ：∵01a <≤，且1b >-，∴11a≥，且1ab >-，∴11(1)11aab ab b a+≥+⋅=+，即101(1)a b ab <+≤+，∴(1)1ab ab +≤+，故选项C 正确；（4）考查选项D ：①若*b ∈N ，则当a b =时，不等式1()1b b aa b ≤-+显然成立，②若*b ∉N ，∵1b ≥，∴([1()]1b ba ab a b b b -=+≥+-，∴当(1,)a b b ∈-时，(10b a a b b ≥+->，∴1()1b ba ab ≤-+，记[]b 为不超过b 的最大整数，易知[](1,)b b b ∈-，∴当[]a b =时，1(1b ba ab ≤-+成立，∴任意[1,)b ∈+∞，存在*a ∈N ，且a b ≤，使得1(1b ba ab ≤-+，故选项D 正确；综上所述，应选ACD .三、填空题：13.22x -或（42x -，2||x -等）；14.；15.0或1；16.2-.16.已知等边△ABC 的边长为2，将其绕着BC 边旋转角度θ，使点A 旋转到A '位置.记四面体A ABC '的内切球半径和外接球半径依次为r ，R ，当四面体A ABC '的表面积最大时，A A '=，rR=.（注：本题第一空2分，第二空3分.）解析：显然当π2A BA '∠=时，四面体A ABC '的表面积最大，此时A A '=，故应填；当四面体A ABC '的表面积最大时（易知四面体A ABC '的表面积最大值为4+，设A A '的中点为O ，易知12OB OC AA '==，∴OB OC OA OA '====，即O 为四面体A ABC '的外接球球心，∴四面体A ABC '的外接球半径R =，∵OB OC ==，且2BC =，∴222BC OB OC =+，∴π2BOC ∠=，易知OC ⊥平面A AB '，∴不难求得四面体A ABC '的体积为12233A AB V S OC '=⋅⋅=，又1(43V r =⋅+⋅=r =，∴2r R ==-，故应填2-.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 的首项13a =，其前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设log 3n n a b =，求数列1{}n n b b +的前n 项和n T .解：(1)（法一）∵对任意的*n ∈N ，点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上，∴183n n a S +=+，………………………………………………………………………………1分∴当2n ≥时，183n n a S -=+，………………………………………………………………2分∴118()8n n n n n a a S S a +--=-=，即19n n a a +=(2)n ≥，……………………………………3分又∵113S a ==，∴218327a S =+=，∴219a a =，………………………………………4分∴19n n a a +=*()n ∈N ，∴数列{}n a 是以3为首项，9为公比的等比数列，……………5分∴121393n n n a --=⨯=.………………………………………………………………………6分（法二）∵对任意的*n ∈N ，点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上，∴183n n a S +=+，………………………………………………………………………………1分∴183n n n S S S +-=+，即193n n S S +=+，…………………………………………………2分∴1339()88n n S S ++=+，又113327888S a +=+=，∴数列3{}8n S +是以278为首项，9为公比的等比数列，…………………………………3分∴21132739888n n n S +-+=⨯=，∴21338n n S +-=，…………………………………………4分∴当2n ≥时，21212113333388n n n n n n a S S +-----=-=-=，………………………………5分又13a =，亦满足上式，∴213n n a -=*()n ∈N .……………………………………………6分(2)311log 3log 21n n a n b a n ===-，………………………………………………………7分∴11111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+，…………………………………………9分∴12231111111[(1)(()]2335212121n n n n T b b b b b b n n n +=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-++，即21n nT n =+.………………………………………………………………………10分18．（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 1b C c Ba c+=+．(1)求角B 的大小；(2)设D ，E 分别为边AB ，BC 的中点，已知△BCD的周长为3+且2AE CD =，若5c a <，求a .解：(1)由正弦定理，得sin cos sin sin sin B C C B A C =+，……………………1分∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，∴πA B C ++=，∴sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，i n c n s s os s n i i n C B C C B +=，………………………………………………………3分∵(0,π)B ∈，(0,π)C ∈，∴sin 0C ≠cos 1B B -=，…………………………4分∴2πsin 1(6B -=，……………………………………………………………………………5分易知ππ5π66(6,B --∈，∴ππ66B -=，即π=3B .…………………………………………6分(2)设BE m =，BD n =，则2a m =，2c n =，在△ABE 中，由余弦定理，得222222cos 42AE BE BA BE BA B m n mn =+-⋅⋅=+-，…………………………………7分在△BCD 中，同理有222222cos 42CD BC BD BC BD B m n mn =+-⋅⋅=+-，…………8分∵2AE CD =，∴22194AE CD =，即22224219=424m n mn m n mn +-+-，…………………………………9分整理得221024=0n mn m -+，解得=4n m ，或=6n m ，∵5c a <，即210n m <，∴=4n m ，且CD =，……………11分∵△BCD 的周长为3+，∴2(63m n m ++=+=+∴12m =，∴21a m ==.…………………………………………………………………12分19．（12分）某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人PK 赢取“购书劵”的游戏.游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有5个号码分别为1，2，3，4，5的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）.每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）.若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除2个积分，乙增加2个积分；若号码之差为偶数，则甲增加*()n n ∈N 个积分，乙被扣除n 个积分.PK 游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，PK 游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书劵”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励.(1)设PK 游戏结束后，甲的积分为随机变量ξ，求ξ的分布列；(2)以(1)中的随机变量ξ的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时，记正整数n 的最小值为0n .(i)求0n 的值，并说明理由；(ii)当0n n =时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书劵”奖励的概率.解：(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A ，“一局游戏后乙被扣除n 个积分”为事件B ，由题可知3()5P A =，2()5P B =，…………………………………………………2分当三局均为甲被扣除2个积分时，6ξ=-，当两局为甲被扣除2个积分，一局为乙被扣除n 个积分时，4n ξ=-，当一局为甲被扣除2个积分，两局为乙被扣除n 个积分时，22n ξ=-，当三局均为乙被扣除n 个积分时，3n ξ=，∴3327(6)()5125P ξ=-==，2233254(4)(55125P n C ξ=-=⋅⋅=，1233236(22)(55125P n C ξ=-=⋅⋅=，328(3)(5125P n ξ===，∴ξ的分布列为ξ6-4n -22n -3nP2712554125361258125………………………6分(2)(i)由(1)易知2754368618()(6)+(4)+(22)31251251251255n E n n n ξ-=-⋅-⋅-⋅+⋅=，显然甲、乙双方的积分之和恒为零，当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时，则需618()05n E ξ-=>，…………8分∴3n >，即正整数n 的最小值04n =.……………………………………………………9分(ii)当4n =时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C ，则32117()1()5125P C =-=，………………………………………………………………10分由题设可知，若甲获得“购书劵”奖励，则甲被扣除积分的局数至多为1，记“甲获得“购书劵”奖励”为事件D ，易知事件CD 为“甲恰好有一局被扣除积分”，∴1233236()(55125P CD C =⋅⋅=，……………………………………………………………11分∴36()4125()117()13125P CD P D C P C ===，即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书劵”奖励的概率为413.……………………………………………………………………12分20．（12分）如图，平面⊥ABCD 平面ABE ，点E 为半圆弧 AB 上异于A ，B 的点，在矩形ABCD中，=AB ，设平面ABE 与平面CDE 的交线为l .(1)证明：∥l 平面ABCD ；(2)当l 与半圆弧 AB 相切时，求二面角--A DE C 的余弦值.解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∥AB CD ，………1分∵⊂AB 平面ABE ，⊄CD 平面ABE ，∴∥CD 平面ABE ，………………………………………………2分又⊂CD 平面CDE ，平面 ABE 平面=CDE l ，………………3分∴∥l CD ，………………………………………………………………………………………4分∵⊂CD 平面ABCD ，⊄l 平面ABCD ，∴∥l 平面ABCD .………………………………5分(2)（法一）取AB ，CD 的中点分别为O ，F ，连接OE ，OF ，则⊥OF AB ，∵平面⊥ABCD 平面ABE ，且交线为AB ，∴⊥OF 平面ABE ，又⊂OE 平面ABE ，⊥OF OE ，当l 与半圆弧 AB 相切时，⊥OE l ，即⊥OE AB ，…………………………………………7分以OE ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设=BC ，易得(0,1,0)-A，C，(0,-D ，(1,0,0)E ，则(1,1,=DE，= AD ，(0,2,0)= DC ，……………………………………8分设111(,,)=m x y z 为平面DAE 的一个法向量，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，AD m DE m即111100=+-=⎪⎩，，x y ∴1110=⎧⎨=-⎩，，z x y 令1=1x ，则(1,1,0)=- m ，…………………9分设222(,,)= n x y z 为平面DCE 的一个法向量，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，DC n DEn (第20题图)即2222200=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，y x y∴2220=⎧⎪⎨=⎪⎩，，y x 令2=1z -，则(1)n =- ，…………………10分∴3cos ,3||||m n m n m n ⋅<>===，………………………………………………11分易知二面角--A DE C 的平面角大小即为,m n <>，∴二面角--A DE C的余弦值为3-.……………………………………………………12分（法二）当l 与半圆弧 AB 相切时，⊥AE EB ，=AE EB，∴=AB ，…………6分∵平面⊥ABCD 平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =，且⊥DA AB ，DA ⊂平面ABCD ，∴⊥DA 平面ABE ，又⊂AE 平面ABE ，∴⊥DA AE ，同理，⊥CB BE ，……………………………………………7分不妨设=BC，则===BE AE AD 2==AB DC ，∴由勾股定理得2==DE CE ，……………………………8分取DE 的中点F ，连接AF ，FC ，AC ，则⊥DE AF ，⊥DE CF ，∴∠AFC 是二面角--A DE C 的平面角，…………………………………………………9分易知112==AF DE，32=CF DEAC ==，……………10分∴在△AFC中，有2223cos 3∠==-AFC ，…………………………11分∴二面角--A DE C 的余弦值为33-.……………………………………………………12分21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -，(1,0)B ，设△ABC 的内切圆与AC 相切于点D ，且||1CD =，记动点C 的轨迹为曲线T .(1)求T 的方程；(2)设过点11(,)32R 的直线l 与T 交于M ，N 两点，已知动点P 满足1PM MR λ= ，且2PN NR λ=，若120λλ+=，且动点Q 在T 上，求||PQ 的最小值.解：(1)不妨设△ABC 的内切圆与BC ，BA 分别相切于点E ，F ，由切线长相等可知，||||1CD CE ==，||||AD AF =，||||BE BF =，……………………1分∴||||||||2AD BE AF BF +=+=，∴||||||||||||4||CA CB CD AD CE BE AB +=+++=>，…………………………………2分∴动点C 的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（且C 不在直线AB 上），设动点C 的轨迹方程为：22221(0)x y y a b+=≠，易知2a =，且221a b -=，解得23b =，∴T 的方程为：221(0)43x y y +=≠.………………………………………………………4分(2)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y ，∵1PM MR λ= ，∴101011111(,)(,)32x x y y x y λ--=--，若11λ=-，则21λ=，PM MR =-，即P 与R 重合，与PN NR = 矛盾，∴11λ≠-，∴1011131x x λλ+=+，1011121y y λλ+=+，∴1010111132(,)11x y M λλλλ++++，…………………………6分代入22143x y +=，化简得22210010032(61272)912360x y x y λλ-++-++-=，…………7分同理可得，22220020032(61272)912360x y x y λλ-++-++-=，…………………………8分∴1λ，2λ为方程222000032(61272)912360x x y x x y -++-++-=的两根，∵120λλ+=，∴00612720x y +-=，即002120x y +-=，即动点P 在定直线1:2120l x y +-=上，…………………………………………………9分显然直线1l 与T 没有交点，令直线2:20(0)l x y m m +-=>，当2l 与T 相切时，记1l ，2l 的距离为d ，则||PQ d ≥，联立2220,1,43x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2242120x mx m -+-=，由22(2)16(12)0m m =---=∆，解得4m =±，又0m >，∴4m =，………………10分此时，解得1x =，32y =，即切点为3(1,2，且直线1l ,2l的距离为d ==||5PQ ≥，当Q 点坐标为3(1,)2，且1PQ l ⊥时，经计算，得1347(,510P ，此时，|PQ ，且不难知道直线PR 即直线l 不过点(2,0)和(2,0)-，符合题设条件，∴||PQ的最小值为5.…………………………………………………………………12分（注：本题未说明点P ，Q 的存在性及未论证直线l 不过点(2,0)和(2,0)-总共扣1分.）22．（12分）已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a ∈R .(1)若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(2)证明：*n ∀∈N，1(1(1e n--⋅⋅⋅-.解：(1)221(1)()1(1)(1)a x a f x x x x --'=-=+++，………………………………………………1分当1a ≤时，(0,)x ∀∈+∞，(1)0x a -->，∴当0x >时，()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，……………………………2分当1a >时，(0,1)x a ∀∈-，(1)0x a --<，∴当01x a <<-时，()0f x '<，……………………………………………………………3分∴()f x 在区间(0,1)a -上单调递减，不合题意，∴若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为(,1]-∞.…………………4分(2)欲证1(1(1en -⋅⋅⋅-，只需证e n<，………………………………5分即证e (1(1n <++⋅⋅⋅+，…………………………6分只需证<ln(1ln(1ln(1n ++++⋅⋅⋅++，……………7分由(1)可知当1a =时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴()(0)0f x f >=，∴当0x >时，不等式ln(1)01xx x +->+恒成立，即ln(1)1x x x +>+恒成立，…………8分∴1>+，即>，…………………9分同理>，…，ln >将上述不等式累加得：ln(1ln(1ln(1++⋅⋅⋅+………………………………………………………………………10分n =++⋅⋅⋅+==，∴不等式<ln(1ln(1ln(1n +++⋅⋅⋅++得证，∴不等式1(1(1e n-⋅⋅⋅-得证.………………………12分。
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山东省模拟考试答案解析1、C [解析]C y x y x x y y x ，故选或解得根据题意⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+421122本题考查集合运算以及求解曲线的交点，本质是解一元二次方程，属于基础题。
2、D [解析]Db a b a i bi a i i i i i i 故选所以，所以根据题意,1,1,0,)1)(1()1(112=+===+-=-+-=+-本题考查复数的运算以及共轭复数的概念，属于基础题。
3、A [解析]Ac b c a c b a ，故选所以根据题意0,0)32(3)(==+--=∙-∙=∙-λλλλ本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题。
4、B [解析]()()BT x r r xC x C T r x x r r r r rr r 故选的系数所以得到由项是的展开式中第根据题意,120,74102,1211)1(84102101010110-===--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+---+本题考查二项式定理中二项展开式的系数问题，属于基础题。
5、C [解析]CV ABC S AS ABCAS AS AC SC AS AC SC AS SB AB AS AB SAB AC BC AB BC AB ABC ABC S ，故选的高为三棱锥面得再由又，又3432631,32,32,4,2,2,102,6,22222=⨯⨯=∴-∴⊥∴⊥∴=+==∴==⊥∴=∠=∴==⊥∴=∠- ππ本题考查立体几何中求三棱锥的体积，考查同学们的空间想象能力，属于基础题。
6、A [解析]()A AB B A y x x xx y 故选有最小值时，由数形结合易知当的图象，和圆（角坐标系中作出根据题意，可在同一直,3)1,2(),4,2(2)20422=+->+=本题考查圆锥曲线中圆的最值问题，属于基础题。
7、C [解析]根据全称命题和特称命题的关系，全称命题的否定是特称命题，故选C 本题考查全称命题的否定，属于基础题。
8、B [解析].,2,4,6,,2,3,4,1log 1log log log log log ,,,,1,,log log ,1log log ,1log log ,12B D c b aC A c b a Bb c cb b a b ac c b a C A c b a c a a c b c b ab c b b c b c ca b a c c a c a a b a ，故答案为可以排除再令可排除进行检验，令另外，可以代入特殊值故答案为而得又选项可排除======<>>>>∴<<∴<∴>>><∴=>=<∴>>> 本题考查不等式性质及对数函数的单调性，题目新颖，属于难题。
9、A,D [解析]根据题目提供的图表分析题目，区分好两条折线即可。
故选A,D 本题考查分析问题，读取图表的能力，属于基础题。
10、A,C [解析]选项错误。
以，故有一个公共点，所的方程，得线正确。
联立直线和双曲故选项），的焦点（经过选项错误。
，故为的离心率正确。
此时故选项得），又过点（的方程为设双曲线双曲线的渐近线为D C C C e y B e C A y x C x y x 00,21332.123),0(3,33222=∆-==≠=-∴±=-λλλ 本题考查双曲线的基本几何性质，属于基础题。
11、B,C [解析]CB D F AD A AEFM GC AEFD AEF B AEFD G A AEFD G A F D G A A AEFD AEF EF AD ,89,,,,,111111111,11错误。
故选的距离，显然到面的距离即点到面选项正确。
点故，易知梯形面积为腰梯形截正方体所得截面为等选项正确。
面故面选项错误。
故即面面根据题意∴⊄∴ 本题考查立体几何中共面，平行和垂直等问题，属于中档题。
12、A,B,C [解析][][]CB AC x f x f x f T A x f x f x f x f B x f T x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ,,0,0)3(0,3)(0,1)(20,0)(),()1()1(2)(1)1()2()1(),1()1(21)1(),2()2(0,2)()2()1)(1()1(0,1)()1(选项正确。
故答案为）对称，故关于（）对称，关于（）对称知关于（及选项正确，由）对称，故关于（选项正确，，故期是是周期函数，有一个周所以式知由）对称，的图象关于（为奇函数，则同理，）对称，图象关于（为奇函数，所以根据题意+∴=∴--=--=+=∴+=+--=+--=++∴--=+∴+--=+∴+ 本题考查函数的奇偶性，周期性和对称性的综合运用，属于难题。
13、36[解析].36,361626故答案是根据题意得守擂方式为=⋅C C 本题考查简单的排列组合问题，属于基础题。
14、54-[解析]。
故答案为）（根据题意54-,54)6sin(26-sin 611sin(,54)6sin(534sin 23cos 23sin )6cos(-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∴-=-∴=-=-+παππαπαπααααπα 本题考查三角恒等变换，属于基础题。
15、2；1[解析]12112,12)0,1(22==+=∴==P BF AF F p pF px y 焦点弦的性质得是抛物线的焦点，根据又得的焦点为根据题意抛物线 本题考查抛物线的基本性质和结论，属于中档题。
16、8[解析].88)(16ca bc )(2)(2)(2),(21,16,,,222222222222，故答案为此时面积和为最大值，时取等号当且仅当以上三个式子相加得时取等号当且仅当，时取等号当且仅当时取等号当且仅当根据题意易知设c b a c b a ab c a c a ac c b c b bc b a b a ab ac bc ab S S S c b a c AD b AC a AB ADB ACD ABC ===++≤++=+≤=+≤=+≤++=++=++===∆∆∆ 本题考查球与几何体，基本不等式的综合应用，各模块的交叉综合一直是我们研究的方向，2020年的高考也会尝试打破章节模块的单一命题，推陈出新，在A 模块的背景下考查B 模块的知识和方法，属于难题。
[]{}符合题意。
存在同理求得时选③符合题意不存在且且要使时，选②符合题意存在只要要使时，选①得是等比数列，根据题意解析、4292772092,9,2,1,25,28111,2811122256-11128-011128-,,22256141251112814125,1412528,111,27,14,3133102361330133,,23622923,13322923,2292332)1(1311,3,1,10,1)3(,3,1,81,31715521122212144544211222121522315511152=∴<<∴⎩⎨⎧><--==∴-=-=∴<>∴⎩⎨⎧+<+<+∴<<---=∴+--=∴-=∴-==∴==-===∴<<∴⎩⎨⎧-<-<-∴<<-+-=-+-=∴-=⨯-+-=-==∴-=-==+-==--=∴-=-=∴-==++++++++++-k k k k a d a S k k k k k k S S S S k k k S k k k S k k S d a b a a b a k k k k k S S S S k k k S k k k S k k k k k S a d a a a b b a a b b q b b b b k k k k k k k k k k k k k k n n n {}{}符合题意。
即存在使，此时存在选③同理可得符合题意。
不存在正整数为递减数列，此时选②同理可得符合题意。
即存在使此时存在中，选①在等差数列法二：401,0,411-2,13928402,0,4,163,3,10,1625162512125=>==<===∴+-==>==<==-=∴-=∴-=+=-=++++k a a a a k n a k a n a k a a a a k n a d b b a a a k k n n n k k n n 本题考查等差数列和等比数列基本量的运算，是高考必考内容，题干的选择权交给考生是个新意，充分体现了能力立意和情境创新的考纲要求，同时自主选择，也让部分成绩薄弱的同学敢于尝试，激发做题兴趣。
题目要求考生能够根据条件，自主分析，得出命题，并解决问题，这种自主推断题甚至是开放题后将成为新高考的热点。
18、[解析]解：（1）由题意知，如图，D 为AC 中点，∴DCBD =AB AC ABC S ∙=∆21,DF DC CDF S ∙=∆21由DF AC =,CDF S ABC S ∆∆=得：BC DC AB 21==在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ,21==∠BC AB ABC COS ABC ∠是三角形的内角，3π=∠∴ABC .（2）由题意知，如图设a CD =，则a CD BD 33==，a BC 4=，ABC Rt ∆中︒=∠90A ，︒=∠45ABC aAC DF 22==∴在DFC Rt ∆中，()aa a DF CD FC 3222222=+=+=在FDB Rt ∆中，()()aaa DF BD FB 172232222=+=+=在FBC ∆中，由余弦定理得：511752222=∙-+=∠BC FB BC FC FB CFB COS .考点：直角三角形求角、斜三角形余弦定理。
此题由条件作图成为学生障碍，看似简单，但两个问号有不同条件，需要分别作图，几乎没有关联性。
题目有图、无图，对学生而言完全不一样。
由面积相等建立等式，得不到有效的关系，基本方法不准确。
教学建议：重视作图。
多让学生读题作图，留给学生时间让他们通过作图明确已知条件，进一步明确已知条件之间的关系。
解三角形重点是边角关系，所以要重视基础知识的落实，狠抓基本方法的归纳与总结，应用的熟练与准确。
19、[解析]解：（1）连接AC ,取AC 中点O ，连接FO ,EO .F为SC 中点，O 为A C 中点FO ∴∥SA .又SA A B C D F O A B C D⊥∴⊥ 平面平面E O F E A B C D ∴是在面内的射影F E O E F A B C D ∠就是与面所成角.=45F E O ∴∠又在EFO 中，=90F O E E O F O ︒∠∴=设,EO FO a ==则22,SA O F a ==设2A D b=SA A B C D ⊥ 平面，A B C D 为矩形，以A 为原点，,,A B A D A S为,,x y z 轴建立坐标系，则()()()()()()()0,0,00,2,00,0,22,2,00,,0,,2,0,0A D b S a C a b E b F a b a B a ()()()0,2,02,2,2,0,AD b SC a b a EF a a ==-=0E F A D ∴= ,0E F S C =E F A D ∴⊥,EF SC ⊥即E F 是A D 与SC 的公垂线.（2）1,2FE BC b =∴= ,()()()2,,20,,22,0,2SC a a SD a SB a a ∴=-=-=-设平面SB C 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111220220ax az ax az ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，()1111,0,1x n =∴= 令设平面S D C 的法向量为()2222,,n x y z =，则(2222222220120ax az y n az ⎧+-=⎪=∴=⎨+=⎪⎩令121212,3n n COS n n n n ==观察可知二面角B S C D --为钝角，∴余弦值为3-.考点：空间向量在立体几何中的应用、直线与平面所成角、二面角、公垂线此题条件中棱长是关系而不是具体长度，给学生带来表达难度。