「最新」2020版高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题51曲线与方程——求轨迹方程-可编辑修改

专题51 曲线与方程----求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程 （3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1.【2018届北京石景山区一模】如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 【答案】B例2.设点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离．已知点A （1，0），圆C ：x 2+2x+y 2=0，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线 【答案】D【解析】圆的标准方程为()2211x y ++=，如图所示，设圆心坐标为'A ，满足题意的点为点P ，由题意有：'11PA PA --=，则'2'PA PA AA -==，设()2,0B ，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线AB . 本题选择D 选项.例3.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为（ ）． A. B.C. D.【答案】B例4.已知直线y kx m =+与抛物线22y x =交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，若OM AB ⊥于M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A. 222x y += B. ()2211x y -+=C. ()2211x y +-= D. ()2214x y -+=【答案】B【解析】思路：先处理条件OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r可得由,OA OB u u u r u u u r 为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形.即OA OB ⊥u u u r u u u r，设()()1122,,,A x y B x y ，即12120x x y y +=，联立直线与抛物线方程并利联立方程：22y kx m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得：222202ky y m ky y m =+⇒-+= 122my y k∴=222121224y y m x x k == 2220m m k k ∴+=，由0km ≠可得2m k =- ():22l y kx m kx k k x ∴=+=-=-，即直线过定点()2,0C OM AB ⊥Q 即OM CM ⊥Q M ∴的轨迹为以OC 为直径的圆则该圆的圆心为()1,0，半径1r =∴轨迹方程为()2211x y -+=答案：B 例5.点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是___．【答案】【解析】由垂直平分线的性质有，所以，又，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是C ，F 为焦点，以4为实轴长的双曲线， ，，所以点Q 的轨迹方程是.例6.【2018届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线l 过抛物线C ： 24y x =的焦点， l 与C 交于A ， B 两点，过点A ， B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________. 【答案】1x =-1y =-，故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x 1=-，故答案为x 1=-.例7.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP =u u u r u u u u r.(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【答案】(1) 222x y +=.(2)证明略. 【解析】（2）由题意知()1,0F -.设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r.由1=OP PQ u u u r u u u rg 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0=OQ PF u u u r u u u r g ，即⊥OQ PF u u u r u u u r.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ的直线l 过C 的左焦点F. 例8.已知抛物线：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（I ）详见解析；（II ）．【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.（I）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.例9.【2018届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.（1）求抛物线及的方程；（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，,由直线和曲线相切得到，：，同理：，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹.解析：（1）由题意，，故。

所以抛物线的方程为.将代入抛物线方程，解得，因此，令，解得，故：，同理： .则由解得因直线，.则由 得，则因此根据点在圆上满足方程，消参得到.例10：如图所示，点N 在圆224x y +=上运动，DN x ⊥轴，点M 在DN 的延长线上，且()0DM DN λλ=>u u u u r u u u r（1）求点M 的轨迹方恒，并求当λ为何值时，M 的轨迹表示焦点在x 轴上的椭圆 （2）当12λ=时，在（1）中所得曲线记为C ，已知直线:12xl y +=，P 是l 上的动点，射线OP （O 为坐标原点）交曲线C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，求点Q 的轨迹方程设()()00,,,M x y N x y()()00,,0,DM y DN y ∴==u u u u r u u u rDM DN λ=u u u u r u u u rQ 0y y λ∴=DN x ⊥Q 轴 0x x ∴= 00001x xx x y y y y λλ=⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨==⎩⎪⎩①由N 在224x y +=上可知：22004x y +=，代入①可得：设OPt OQ =，进而得到(),Q x y 与()11,P x y 的联系：11x txy ty=⎧⎨=⎩，再寻找,Q R 的联系，结合条件2OQ OP OR ⋅=可知22222222OP ORx y t OQ x y OQ====，从而用t 即可表示出(),Q x y 与()22,R x y 的联系（而不用再设字母）：222222x tx y ty⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程，再消去t 即可得到Q 的轨迹方程解：由（1）可得曲线方程为：2214x y += 设()()()1122,,,,,P x y R x y Q x y2OQ OP OR ⋅=Q 设OP t OQ= ∴由线段比例可得：11OP x y t OQx y=== 11x txy ty =⎧∴⎨=⎩ 由2OQ OP OR ⋅=同理可得：22222222OP ORx y t OQ x y OQ==== 222222x tx y ty⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ,P R Q 分别在直线与椭圆上 2212121,124x x y y ∴+=+=，代入22122212,x tx x tx y ty y ty⎧==⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩可得： 2222122414txty tx tx ty ty tx ty ⎧+=⎪⎪⇒+=+⎨⎪+=⎪⎩，化简可得：Q 的轨迹方程为： 222440x x y y -+-=.【精选精练】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ） A.B.C.D.【答案】D2．【2018届江西省新余市二模】斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）A.为定值 B.为定值C. 点的轨迹为圆的一部分D. 点的轨迹是圆的一部分 【答案】C【解析】由题意知抛物线的焦点为，故直线的方程为，由消去y 整理得，设，则，∴．选项A 中，，为定值．故A 正确．选项B 中，，为定值，故B 正确．选项C 中，由消去k 得，故点的轨迹不是圆的一部分，所以C 不正确．选项D 中，由于，直线过定点，所以点Q 在以为直径的圆上，故D 正确．综上选C ．3．【2018届江西省监测】已知向量OA u u u v ， OB uuu v 满足1OA OB ==u u u v u u u v， 0OA OB ⋅=u u u v u u u v ，OC OA OB λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，若M 为AB 的中点，并且1MC =u u u u v ，则点(),λμ的轨迹方程是（ ）A. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()221112λμ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭C. ()()22111λμ-+-= D. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．如图，在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ， D 为垂足. 当点P 在圆上运动时，满足PD tMD =u u u v u u u u v()2t ≥的动点M 的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（ ）A. 30,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ B. 10,4⎛⎤⎥⎝⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【解析】设(),M x y ，则(),P x ty ，代入圆的方程()228x ty +=，即222188x t y +=，∵2t ≥，∴动点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其中28a =， 228b t =，则2288c t =-，故而可得()22222881128ct e t a t -===-≥，故23,14e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即3,12e ⎫∈⎪⎪⎣⎭，故选D.5．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( )A. (x ＋2)2＋(y －1)2＝1 B. (x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C. (x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D. (x －2)2＋(y ＋1)2＝1 【答案】D6．【2018届广西二模】设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】为椭圆上任意一点,且A,B为焦点，，又，，所以点的轨迹方程为. 7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的周长为22,则顶点C的轨迹方程是 ( ) A. B.C. D.【答案】D8．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】B【解析】设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为，∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）∴=（x+a，y），=（m+a，n）∵=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣①此方程对应的图形是焦点在y 轴上的椭圆，可得动点Q 的轨迹是一个椭圆，B 项是正确答案故选B.9.已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点， 1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 圆C. 双曲线的一支D. 线段 【答案】A【解析】设10M acos bsin F c θθ-∴Q （，）（，），线段1MF 的中点22acos c bsin P θθ-（，），2{ 2acos cx bsin y θθ-=∴=， 22x c y cos sin a b θθ+∴==，，∴点P的轨迹方程为22222144cxya b⎛⎫+⎪⎝⎭+＝，∴线段1MF 的中点P的轨迹是椭圆．故选A．10.过圆：上的点作轴的垂线，垂足为，点满足 .当在上运动时，记点的轨迹为 .（1）求的方程；【答案】（1）【解析】试题分析：（1）设点坐标，点坐标，由题意可得点坐标为满足则点的轨迹的方程为．11.已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）直接利用，列出方程即可求出点M 的轨迹方程，然后说明轨迹的形状；（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程． 详解：（1） 由得化简得：，轨迹为圆（2）当直线的斜率不存在时，直线 符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为：由圆心到直线的距离等于得此时直线的方程为：.12.已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=， R m ∈. （1）求证：对R m ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A B 、； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.【答案】(1)见解析(2) M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆试题解析：证明：（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -5所以圆心C 到直线:120l mx y m -++=的距离222121511m mmm-++=<++.所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点； （2）设中点为(),M x y ，所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆.。