通州区2019-2020学年第二学期高二年级期末考试数学试卷【含答案】

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2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷(含解析)

2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={x ∈Z|x 2<4}，则∁U A =( )A. {−3,3}B. {2,3}C. {−1,0,1}D. {−3,−2,2,3}2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=1 xB. f(x)=(x−1) 2C. f(x)=lg xD. f(x)=(12)x 3.已知a =lg 12，b =30.1，c = 3，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. a <c <bD. c <b <a 4.设A ，B 为两个随机事件，若P(B|A)=12，P (A )=25，P (B )=23，则P(A|B)=( )A. 15B. 310C. 12D. 355.已知a >0，b >0，则“ab =1”是“a +b ≥2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在(x−2)10的展开式中，x 6的系数为( )A. −64C 610B. 64C 610C. −16C 410D. 16C 4107.有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为( )A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.0908.某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从A ，B ，C ，D ，E ，F 这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作(每道工序安排一人)，如果员工A 不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有( )A. 360种B. 300种C. 180种D. 120种9.设函数f (x )为定义在R 上的奇函数，若曲线y =f (x )在点(2,4)处的切线的斜率为10，则f′(−2)+f (−2)=( )A. −16B. −6C. 6D. 1610.已知函数f(x)={ln x x ,x >0x 2+2x,x ≤0；若方程f(x)=a 恰有三个根，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1e ) B. [0,1e ] C. (−1,1e ) D. (0,1e )∪{−1}二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

江苏省南通市通州区2019-2020学年高二下学期期中调研数学试题(含答案)

13． C22 + C32 + C42 + C52 + C62 ＝
．
14．规定
A
m x
=
x(x
− 1)L ( x
−
m +1)
，其中
x∈R，m∈ N∗ ，且 A0x
= 1 ，这是排列数 Amn（n，
m∈ N∗ ，且 m≤n）的一种推广．则 A3 3+1 ＝
2
，则函数 f (x) = A3x 的单调减区间
x
x
A．a＝1 B．展开式中常数项为 160 C．展开式系数的绝对值的和 1458
D．若 r 为偶数，则展开式中 xr 和 xr−1 的系数相等
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．其中第 14 题共有 2 空，第一个空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空，每空 5 分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
测
数学试卷 2020.5.18
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．在复平面内，复数 z = −1+ 2i （i 为虚数单位）对应的点所在象限是
A．一
B．二
C．三
D．四
2．已知回归直线方程中斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为
为了分析竞赛成绩与性别是否有关现随机抽取了60名学生的成绩进行分析数据如下图所示的22列联表补充完整判断是否有90的把握认为学生按成绩分组与性别有2如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人再从这6人中随机抽取2求至少有1人在甲组的概率

江苏省南通市通州区2019年高二第二学期期中考试数学试题及解析

江苏省南通市通州区2019—2020学年第二学期高二期中学业质量监测数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)1.在复平面内,复数12z i =-+(i 为虚数单位)对应的点所在象限是( ) A.一B.二C.三D.四【参考答案】B 【试题解答】根据复数几何意义,即可求得答案.12z i =-+∴复数z 对应的点()1,2-故:复数12z i =-+对应的点在二象限故选:B.本题主要考查了求复数点所在象限,解题关键是掌握复数的几何意义,考查了分析能力,属于基础题.2.已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23,样本点的中心()4,5,则回归直线方程为( )A. 1.2308ˆ.0yx =+ B.0.0813ˆ.2yx =+ C. 1.234ˆyx =+ D. 1.235ˆyx =+ 【参考答案】A 【试题解答】由题意得在线性回归方程ˆy bx a =+中 1.23b =,然后根据回归方程过样本点的中心得到a 的值,进而可得所求方程.设线性回归方程ˆy bx a =+中,由题意得 1.23b =, ∴ 1.23ˆy x a =+.又回归直线过样本点的中心()4,5,∴5 1.234a =⨯+, ∴0.08a =,∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+. 故选A.本题考查线性回归方程的求法,其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键,利用这一性质可求回归方程中的参数,也可求样本数据中的未知参数,属于基础题. 3.已知随机变量X 的分布列为()()1,2,3,410kP X k k ===,则()13P X <≤=( ) A.310B.35C.12 D.15【参考答案】C 【试题解答】根据所给的离散型随机变量的分布列,可以写出等3和2时的概率,本题所求的概率包括两个数字的概率,利用互斥事件的概率公式把结果相加即可. 随机变量X 的分布列为()()1,2,3,410kP X k k === 2(2)10P X ∴==,3(3)10P X == 231(13)10102P X ∴<=+=故选:C.本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 4.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是( ) A.36B.72C.600D.480【参考答案】D 【试题解答】直接利用插空法计算得到答案.根据题意将2,4,5,6进行全排列,再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选:D .本题考查了排列组合中的插空法,意在考查学生的计算能力和应用能力.5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,若两人各投篮2次,则两人各投中一次的概率为( ) A.0.42 B.0.2016C.0.1008D.0.0504【参考答案】B 【试题解答】本题是一个相互独立事件同时发生的概率,两人各投两次,两人都投中1次的概率为11220.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯,从而得到答案.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7∴两人都投中1次的概率为11220.60.40.70.30.2016C C ⨯⨯⨯=故选:B.本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率,解题关键是掌握相互独立事件概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6.设a Z ∈,且016a ≤≤,若20204a +能被17整除,则a 的值为( ) A .1B.4C.13D.16【参考答案】D 【试题解答】由()101020201010416171a a a +=+=-+,按照二项式定理展开,根据它能被17整除,结合所给的选项可得a 的值.∵a Z ∈,且016a ≤≤, 由()101020201010416171a a a +=+=-+()()()()110091010010101100910091101001010101010101010171171171171C C C C a =-+-++-+-+()()()10091009010********11010101010101711711711C C C a =-+-++-++又20204a +能被17整除∴ 1a +能被17整除,结合016a ≤≤ ∴ 16a =故选:D.本题考查了根据表达式整除来求参数问题,解题关键是掌握二项式定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7.在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中,学生的数学成绩服从正态分布()98,100XN .已知参加本次考试的学生约有9450人,如果某学生在这次考试中数学成绩为108分,那么他的数学成绩大约排在该区的名次是( ) 附:若()2,XN μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=.A.1500B.1700C.4500D.8000【参考答案】A 【试题解答】利用正态总体密度曲线的性质求出概率,即可得到结论. 考试的成绩X 服从正态分布(98,100)N98,10μσ==,1089810μσ=+=+,10.6826(108)2P ξ-∴≥=0.1587= 即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%.945015.87%1500∴⨯≈故选:A.本题考查正态分布曲线的性质的应用,解题的关键是求出108ξ≥的概率.8.函数()23xe f x x x=-,()()3,00,3x ∈-的图象大致为( )A. B. C.D.【参考答案】A 【试题解答】判断函数的奇偶性和对称性,3x →-时,函数值结()f x 值不趋近正无穷,利用排除法,即可求得答案. ()()3,00,3x ∈-由()23xe f x x x =-,可得()23x e f x x x --=+∴ ()()f x f x -≠-,故函数()23xe f x x x=-,不是奇函数,排除B,D;()23xe f x x x =-,3x →-时,函数值结()f x 值不趋近正无穷∴排除B综上所述,只有A 符合题意故选:A.本题考查了根据函数表达式求解函数图象问题,解题是掌握奇函数图象特征和灵活使用排除法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9.若382828xx C C -=,则x 的值为( )A.4B.6C.9D.18【参考答案】AC 【试题解答】由382828xx C C -=,可得38x x -=或3828x x -+=,即可求得答案.382828x x C C -=∴ 38x x -=或3828x x -+=解得:4x =或9x = 故选:AC本题主要考查了求解组合数方程,解题关键是掌握组合数基本性质,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 10.直线12y x b =+能作为下列( )函数的图像的切线. A.1()f x x=B.4()f x x =C.()sin f x x =D.()xf x e =【参考答案】BCD 【试题解答】依次计算每个选项中的导数,计算()1'2f x =是否有解得到答案. 1()f x x =,故211'()2f x x =-=,无解,故A 排除; 4()f x x =,故31()42f x x ==,故12x =,即曲线在点11,216⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线为13216y x =-,B 正确;()sin f x x =,故1'()cos 2f x x ==,取3x π=,故曲线在点3π⎛ ⎝⎭的切线为126y x π=-C 正确; ()x f x e =,故'()12x f x e ==,故ln2x =-,曲线在点1ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线为111ln 2222y x =++,D 正确;故选:BCD .本题考查了曲线的切线问题,意在考查学生的计算能力. 11.下列说法正确的有( ) A.任意两个复数都不能比大小B.若(),z a bi a R b R =+∈∈,则当且仅当0ab 时,0z =C.若12,z z C ∈,且22120z z +=,则120z z == D.若复数z 满足1z =,则2z i +的最大值为3 【参考答案】BD 【试题解答】根据复数定义,复数的几何意义,逐项判断,即可求得答案.A,复数(),z a bi a R b R =+∈∈,当0b = 时,z 为实数,可以比较大小,∴ A 为假命题.B,复数(),z a bi a R b R =+∈∈,当0z = 时,0a = 且0b = ,∴B 为真命题.C,当121,z z i == 时,22120z z += ,但12z z ≠ ∴C 为假命题.D,设(),z x yi x y R =+∉复数z 满足1z =,可得:221x y +=即:221x y =-,11y -≤≤由2z i +,可得()222z i x yi i x y i +=++=++=将221x y =-代入可得:23z i +==≤∴D 为真命题.故选:BD本题解题关键是掌握复数的基础知识,掌握复数几何意义,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.12.已知6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2,则下列结论正确的有( ) A.1a =B.展开式中常数项为160C.展开式系数的绝对值的和1458D.若r 为偶数,则展开式中r x 和1r x -的系数相等【参考答案】ACD 【试题解答】61(1)(2)a x x x+-中,给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ,利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果.对于A, 6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +,12a ∴+=1a ,故A 正确;对于B,661111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6611122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r r r T C x --+=-, 当612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为:令620r -=,得3r = 可得展开式中常数项为:33346(1)2160T C =-=-,当6112x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为: 662665261(1)2(1)2r r r r r r r rC xC x x ----=⋅-- 令520r -=,得52r =(舍去)故12x x x +- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为160-.故B 错误; 661111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C,求其展开式系数的绝对值的和与61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和相等61112xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,令1x =,可得:66111112231458⎛⎫⎛⎫++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝==⎭ ∴61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和为:1458.故C 正确; 对于D,66611111222a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r r r T C x --+=-, 当r 为偶数,保证展开式中r x 和1r x -的系数相等 ①2x 和1x 的系数相等,61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中2x 系数为:622226(1)2C x -- 展开式系数中1x 系数为:622226(1)2C x --此时2x 和1x 的系数相等, ②4x 和3x 的系数相等,61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中4x 系数为:15146(1)2C x - 展开式系数中3x 系数为:15146(1)2C x -此时4x 和3x 的系数相等, ③6x 和5x 系数相等,12x x x +- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中6x 系数为:6(1)2C x -展开式系数中5x 系数为:66600(1)2C x -此时6x 和5x 的系数相等, 故D 正确;综上所在,正确的是:ACD 故选:ACD.本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于中档题. 三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.其中第14题共有2空,第一个空2分,第二个空3分;其余题均为一空, 每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.计算2222223456C C C C C ++++=______.【参考答案】35 【试题解答】根据组合数的性质11m m mn n n C C C -++=计算可得; 解:2222223456C C C C C ++++ 3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++322556C C C =++ 3266C C =+3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为:35本题考查组合数的性质,属于中档题.14.规定(1)(1)mx A x x x m =--+,其中x ∈R ,*m N ∈,且01x A =,这是排列数mn A (*,n m N ∈,且m n ≤)一种推广.则1=_______,则函数()3x f x A =的单调减区间为_______.【参考答案】 (1).133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【试题解答】利用定义即可得出1,函数332()(1)(2)3x f x A x x x x x ==--=-,利用导数研究其单调性,即可求得答案.(1)(1)mx A x x x m =--+∴))11111121=--==332()(1)(2)23x f x A x x x x x x ==--=+-则2()362f x x x '=-+令()0f x '<,即:23620x x -+<解得:3333x -+<<∴函数()f x 的单调减区间为:1⎛-+ ⎝⎭故答案为:1⎛ ⎝⎭本题解题关键是掌握新定义和排列数的计算方法,及其根据导数求函数单调性的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为67,则口袋中白球的个数为_______. 【参考答案】3 【试题解答】设口袋中有白球x 个,由已知可得取得白球ξ的可能取值为0,1,2,则ξ服从超几何分布,利用公式2727()k k x xC C P k C ξ--==(0,1,2k =),即可求得答案.口袋中有白球x 个,由已知可得取得白球个数ξ的可能取值为0,1,2则ξ服从超几何分布,2727()(0,1,2)k k x xC C P k k C ξ--===, 2727(0)x C P C ξ-∴==,11727(1)x xC C P C ξ-==,227(2)x C P C ξ== 1127227726()7x x C C C E C C ξ∴=+=6(7)(1)21187x x x x ∴-+-=⨯=,618x ∴= 3x ∴=故答案为:3.本题解题关键是掌握超几何分布期望的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 16.已知()723801238()(21)x m x a a x a x a R x a x m +-=+++++∈,若127a =,则()81ii i a =⋅∑的值为_______.【参考答案】43 【试题解答】因为7(21)x -的展开通项为:777177(2)(1)(1)2r r r r r r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=,根据127a =,求的m ,将所给等式两边求导,即可求得()81ii i a =⋅∑的值.7(21)x -的展开通项为:777177(2)(1)(1)2r r r rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=又777()(21)(21)(21)x m x x x m x +--+-=∴7661777011(1)2(1)211427a C m C m =⨯-⋅+⨯--+==⋅∴2m =80187(2)(21)x x a a x a x +-=++⋯+等式两边求导可得:762712381(21)(2)7(21)2238x x x a a x a x a x ⋅-++⋅⋅-⋅=+++⋯+6(21)(211428)x x x =--++67128(1627)(21)28x x a a x a x =+-=++⋯+令1x =,得:1282843a a a ++⋯=+∴()8143i i i a =⋅=∑故答案为:43本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知12z a i =+,234z i =-(其中i 为虚数单位).(1)若12z z 为纯虚数,求实数a 的值;(2)若121z z z -<(其中2z 是复数2z 的共轭复数),求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)83a =(2)32a >【试题解答】(1)由12z a i =+,234z i =-,可得12234z a iz i +=-,由12z z 为纯虚数,即可求得a ; (2)因为12(2)(34)(3)2z z a i i a i -=+-+=--,121z z z -<,故22121z z z -<,即可求得a 的取值范围.(1)由12z a i =+,234z i =-,得122(2)(34)384634252525z a i a i i a a i z i +++-+===+-, 12z z 为纯虚数,∴38025a -=,且46025a +≠, ∴83a =.(2)12(2)(34)(3)2z z a i i a i -=+-+=--,121z z z -<, ∴22121z z z -<,即()22344a a -+<+, 解得32a >. 本题解题关键是掌握根据复数类型求参数的方法,复数除法和复数模求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.18.在()*3,nn n N ≥∈的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列. (1)求n 的值;(2)求展开式中含2x 的项. 【参考答案】(1)7(2)2214x 【试题解答】(1)因为展开式中第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列,可得:1322n n n C C C +=,整理得,29140n n -+=,即可求得n 的值;(2)当7n =时,7展开式的第1r +项为1441371(1)2rr r r r T C x +-=-⋅⋅,令14324r-=,即可求得含2x 的项. (1)因为展开式中第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列,1322n n n C C C +=,整理得,29140n n -+=,即()()270n n --=,又3n ≥,*n N ∈,∴n 的值为7.(2)当7n =时,7展开式的第1r +项为 171743741(1)2r r rr r rr r T C C x -+-⎛==-⋅⋅ ⎝,其中07r ≤≤且r N ∈.令14324r-=,得2r , ∴2222372121(1)24T C x x =-⋅⋅=,∴展开式中含2x 的项为2214x .本题解题关键是掌握二项式通项公式,掌握二项式的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19.近期,某学校举行了一次体育知识竞赛,并对竞赛成绩进行分组:成绩不低于80分的学生为甲组,成绩低于80分的学生为乙组.为了分析竞赛成绩与性别是否有关,现随机抽取了60名学生的成绩进行分析,数据如下图所示的22⨯列联表.(1)将22⨯列联表补充完整,判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？ (2)如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求至少有1人在甲组的概率.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++.参考数据及公式:【参考答案】(1)见解析,有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关.(2)2021【试题解答】(1)根据所给数据填写22⨯列联表,计算出2K ,即可求得答案;(2)甲组有40人,乙组有20人,若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人,从这6人中随机抽取2人,至少有1人在甲组的概率为22261C P C =-,即可求得答案.(1)22⨯列联表补充如下:根据列联表中的数据,可以求得2260(2717313)14.730302040K ⨯-⨯==⨯⨯⨯,14.7 2.706>,∴有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关.(2)甲组有40人,乙组有20人,若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人, 则抽取的6人中甲组有4人,乙组有2人.从这6人中随机抽取2人,至少有1人在甲组的概率为222620121C P C =-=.故:至少有1人在甲组的概率为2021. 本题解题关键是掌握卡方的求法和概率计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 20.已知函数()3221f x x ax a x =+-+,a R ∈.(1)当1a =时,求函数()f x 在区间[]2,1-上的最大值;(2)当0a ≥时,求函数()f x 的极值.【参考答案】(1)2(2)当0a =时,没有极值;当0a >时,极大值为31a +,极小值为35127a -. 【试题解答】 (1)当1a =时,()321f x x x x =+-+,可得:()()23211)31(x x x x f x =+-=+-'.,()0f x '=,得1x =-或13x =,列出函数单调性表格,即可最大值;(2)()()22()323x ax a x a x f x a '=+-=+-,令()0f x '=,得x a =-或3ax =,分别讨论0a =和0a >,即可求得()f x 的极值.(1)当1a =时,()321f x x x x =+-+,所以()()()2321131f x x x x x '=+-=+-.令()0f x '=,得1x =-或13x =, 列表如下:由于()12f -=,()12f =,所以函数()f x 在区间[]2,1-上的最大值为2. (2)()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=+-,令()0f x '=,得x a =-或3a x =. 当0a =时,()230f x x '=≥,所以函数()f x 在R 上单调递增,无极值.当0a >时,列表如下:∴函数()f x 的极大值为()31f a a -=+,极小值为351327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 本题主要考查根据导数求函数单调性和极值,解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义,考查分析能力和计算能力,属于中档题.21.为抗击疫情,中国人民心连心,向世界展示了中华名族的团结和伟大,特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”,各地医务工作者主动支援湖北武汉.现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院.(1)求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率;(2)若要求每家医院至少一人,设X ,Y 分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数,记X Y ξ=-,求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.【参考答案】(1)742(2)分布列见解析,199【试题解答】(1)设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A ,7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院,求出基本事件总数和事件A 情况数,根据概率计算公式,即可求得答案;(2)若要求每家医院至少1人共有722126-=种等可能的基本事件,随机变量ξ的所有取值为1,3,5,求得(1)P ξ=,(3)P ξ=,(5)P ξ=即可求得分别列,根据期望计算公式,即可求得答案.(1)设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A , 7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院, 共有72128=种等可能的基本事件,其中事件A 包含2721C =种情况,所以()21128P A =. 故:7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为742. (2)若要求每家医院至少1人共有722126-=种等可能的基本事件, 随机变量ξ的所有取值为1,3,5,3477705(1)1261269C C P ξ+====;2577421(3)1261263C C P ξ+====;1677141(5)1261269C C P ξ+====.∴ 随机变量ξ的分布列为∴ 数学期望51119()1359399E ξ=⨯+⨯+⨯=.故:数学期望()E ξ的值为199.本题主要考查了求事件的概率和数据的期望,解题关键是掌握概率计算公式和期望的求法,考查了计算能力和分析能力,属于基础题.22.已知函数()()1xf x x e =-,其中e 是自然对数的底数.(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; (2)设()()2g x x f x =+,求函数()g x 的单调区间;(3)设()()ln h x mf x x =-,求证:当10m e<<时,函数()h x 恰有2个不同零点. 【参考答案】(1)()1y e x =-(2)单调增区间为()0,ln 2和[)1,+∞;单调减区间为(),0-∞和()ln 2,1.(3)证明见解析【试题解答】(1)由()()1x f x x e =-,得()()1x x xf x e x e xe '=+-=,所以()1f e '=,即可求得答案; (2)()()()()2221,11,1x xx x e x g x x f x x x e x ⎧+-≥⎪=+=⎨--<⎪⎩,根据导数,分别讨论1x ≥和1x <函数的单调性,即可求得函数()g x 的单调区间;(3)因为()()ln h x mf x x =-,设()()1ln xF x m x e x =--,得()()2110x xmx e F x mxe x x x-'=-=>,令()()210x h x mx e x =->,当10m e<<,()()220x h x mx mx e '=+>,结合已知和零点定义,即可求得答案.(1)由()()1xf x x e =-,得()()1xxxf x e x e xe '=+-=,∴()1f e '=,∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()1y e x =-.(2)()()()()2221,11,1x xx x e x g x x f x x x e x ⎧+-≥⎪=+=⎨--<⎪⎩, 当1x ≥时,()()220xxg x x xe x e'=+=+>,∴函数()g x 的单调增区间为[)1,+∞.当1x <时,()()21x g x x x e =--,∴()()22x x g x x xe x e '=-=-,令()0g x '>,得0ln 2x <<;令()0g x '<,得0x <或ln 21x <<,∴函数()g x 的单调增区间为()0,ln 2;单调减区间为(),0-∞和()ln 2,1.综上所述,函数()g x 的单调增区间为()0,ln 2和[)1,+∞;函数()g x 的单调减区间为(),0-∞和()ln 2,1.(3)由题意知,()()1ln x F x m x e x =--,得()()2110x x mx e F x mxe x x x -'=-=>,令()()210x h x mx e x =->, 当10m e <<时,()()220x h x mx mx e '=+>,∴()h x 在()0,∞+上单调递增, 又()110h me =-<,211ln ln 10h m m ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴存在唯一的011,ln x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()020010xh x mx e =-=,当()00,x x ∈时,()0h x '<,∴在()00,x 上单调递减,当()0,x x ∈+∞时,()0h x '>,∴在()0,x +∞上单调递增,故0x 是()()210x h x mx e x =->的唯一极值点,令()ln 1t x x x =-+,当()1,x ∈+∞时,()110t x x'=-<, ∴在()1,+∞上单调递减,即当()1,x ∈+∞时,()()10t x t <=,即ln 1x x <-, ∴1ln 111ln ln 1ln ln m F m e m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11ln 11ln 0m m >-+-=, 又()0(1)0F x F <=,∴函数()F x 在()0,x +∞上有唯一的零点, 又()F x 在()00,x 上有唯一的零点,∴函数()F x 恰有2个不同零点.本题主要考查了根据导数求函数的单调性和根据单调性求证零点个数,解题关键是掌握导数求单调性的方法和根据单调求判断零点个数步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题.。

【精选3份合集】北京市通州区2019-2020学年高二数学下学期期末检测试题

基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线2219y x -=的渐近线的斜率是( )A ．19±B ．13±C ．3±D ．9±2．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式系数之和为（）． A ．81B ．16C ．27D ．323．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（=新工件的体积材料利用率原工件的体积）（）A ．89πB ．169πC ．34(21)π- D ．312(21)π-4．已知函数()()22xx f x me m e x =+--存在零点,则实数m 的取值范围是( )A ．[)1,+∞B ．0,1C ．,0D ．(],1-∞5．某人考试，共有5题，至少解对4题为及格，若他解一道题正确的概率为0.6，则他及格的概率为（） A ．8125B ．81625C ．10533125D ．2426256．已知函数()21f x x lnx =--，则y ＝f （x ）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线22221x y a b-=的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的方程为（）A ．2212x y -=B ．2214x y -=C ．2221x y -=D ．2241x y -=8．设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P MN =；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．49．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（） A ．78 B ．102 C ．114D ．12010．已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为A ．B ．C ．D ．11．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则1z -= A ．3B ．2C ．32D ．2312．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题13．在平面直角坐标系xOy 中，原点O 在圆C ：22(1)()4x y a -+-=内，过点O 的直线与圆C 交于点A ，B .若ABC ∆面积的最大值小于2,则实数a 的取值范围是__________.14．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出S 的值为__________．15．若将函数6()f x x =表示为260126()(1)(1)...(1)f x a a x a x a x =+++++++，其中126,,..,a a a 为实数，则3a 等于 _______.16．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

北京市通州区2019-2020学年第一学期高二数学期末试题及答案

北京市通州区2019—2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷2020年1月考生须知：本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，共4页满分150分，考试时间120分钟．第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．双曲线2214x y −=的离心率是A B C D ．2．已知椭圆C 的两个焦点分别为()13,0F −，()23,0F ，点P 为椭圆C 上一点，且1210PF PF +=，那么椭圆C 的短轴长是A ．6B ．7C ．8D ．94．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=−，那么8a 等于A ．16−B ．12−C ．12D ．16 5．已知点A 的坐标是()1,0−，点M 满足2MA =，那么M 点的轨迹方程是A ． 22230x y x ++−=B ．22230x y x +−−=C ．22230x y y ++−=D ．22230x y y +−−= 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下表给出了n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于A ．8116 B ．278C ．8116−或8116D ． 278−或2787．已知直线1y x =−交抛物线22y x =于A ，B 两点，点O 为坐标原点，那么OAB △的面积是 A．2 B ．2C D 8．如图1所示，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ， 2PA AB ==，点E ，F 分别为棱PD 的三等分点，点M 为直线PD 上的动点. 当直线PB 与直线CM 所成的角为30︒时，M 点在 A ．线段PE 上 B ．线段EF 上 C ．线段FD 上 D ．PD 的延长线上图1第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．当且仅当=x ______时，函数1(0)4y x x x=+>取得最小值. 10．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为2=−y ，那么该抛物线的标准方程是． 11．已知向量n ()2,4,2=−−，m ()1,2,1=−分别是两个不同平面α，β的法向量，可得向量n 与m 的数量关系是，进而得到平面α与β的位置关系是． 12．写出满足下列条件的一个双曲线的方程：．①焦点在x 轴上，y 轴是对称轴；②一条渐近线的方程是()2y kx k =<−.13．如图2，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．湖的一侧有一条直线型公路l ，规划在公路l 上选一个点P ，并修建一段直线型道路PB ．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC ，BD ，测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长.图2某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整．如图3，过O 作OH l ⊥，垂足为H ，以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系. 由已知10AB =，6AC =，12BD =，计算得出9OH =，()4,3A ，()4,3B −−. 图3 从而得到直线l 的方程为9y =，直线AB 的斜率为 ① .由PB AB ⊥，得直线PB 的斜率为 ② ，进而得到直线PB 的方程为 ③ ，得到点P 的坐标为 ④ ，计算得出PB 的长为 ⑤ 百米.14.“斐波那契数列”是数学史上的一个著名的数列. 在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =， 21n n n a a a ++=+()n *∈N . 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若99a λ=，99S μ=()λμ∈R ,，则100a = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明；证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q ()0q >的等比数列，且112a b ==，4525a a +=，334a b =．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设2n n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．16．（本题13分）已知双曲线2213y x −=，抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线的一个焦点相同，点()00,P x y 为抛物线上一点. （Ⅰ）求双曲线的焦点坐标；（Ⅱ）若P 点到抛物线的焦点的距离是5，求0x 的值．17．（本题13分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且过()0,0，()02,两点. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过点()2,2P ，且与圆C 相切，求直线l 的方程.18．（本题13分）已知椭圆2214x y +=的上、下顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过M 点作MN y ⊥轴于点N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =−交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点，连接OE ，EG ，求OEG∠的大小.以下是某同学的部分解答过程：（Ⅰ）请指出上述解答过程中的错误之处（指出错误源头即可）；（Ⅱ）写出完整的正确的解答过程. 19．（本题14分）如图5，在长方体1111ABCD A BC D −中，点E ，F 分别是AB ，1AC 的中点，12AD AA ==，AB =（Ⅰ）求证：EF ∥平面11ADD A；（Ⅱ）求二面角F DE C −−的余弦值；（Ⅲ）在线段11A D 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面EFD ？图5 若存在，求出111A MA D 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本题14分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y （12x x ≥）两点. （i ）求22AF BF ⋅的最小值；（ii ）点Q 在直线l 上异于2F 的一点，且满足22QA F AQB F B=，求证：点Q 在一条定直线上.C 1D 1A 1B 1F EDC BA通州区2019-2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准2020年1月二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1210. 28x y = 11. 2n m =−，平行 12. 2219y x −=（答案不唯一）13. ①34，②43−，③43250x y ++=，④()13,9−，⑤15 14.1μλ−+三．解答题：本大题共6小题，共80分.15．（本题13分）解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是公差为d 的等差数列，12a =，4525a a +=，所以113425.a d a d +++=所以 3.d = ……………… 2分所以()2133 1.n a n n =+−⨯=− ……………… 4分所以38.a =因为334a b =，所以31.2b = 所以211.2b q =因为12b =，0q >，所以1.2q =……………… 6分所以12112.22n n n b −−⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…………… 8分（Ⅱ）因为2n n c a =+，n S 是数列{}n c 的前n 项和，所以12n n S c c c =+++12222n a a a =++++++()()12222n a a a =+++++++()23122n n n +−=+235.22n n =+ ……………… 13分 16．（本题13分）解：（Ⅰ）因为双曲线的方程为2213y x −=，所以21a =，2 3.b = ……………… 2分所以222 4.c a b =+= 所以 2.c =所以双曲线的焦点坐标为()2,0−，()2,0. ……………… 5分（Ⅱ）因为抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线的一个焦点相同，所以抛物线()220y px p =>的焦点是()2,0.所以 4.p = ……………… 9分因为点()00,P x y 为抛物线上一点，所以点()00,P x y 到抛物线的焦点的距离等于点()00,P x y 到抛物线的准线2x =−的距离. 因为P 点到抛物线的焦点的距离是5，所以02 5.x +=所以0 3.x = ……………… 13分17．（本题13分）解：（Ⅰ）因为圆C 的圆心在y 轴上，所以设圆C 的方程为()222.x y b r +−= ………… 1分因为圆C 过()0,0，()02,两点，所以()22222.b r b r ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，解得11.b r =⎧⎨=⎩，所以圆C 的方程是()221 1.x y +−= ………………… 5分（Ⅱ）依题意，知直线l 的斜率存在. ………………… 6分因为直线l 经过点()2,2P ，所以设直线l 的方程为()22y k x −=−，即220.kx y k −−+= ………………… 8分因为直线l 与圆C 相切，1.=解得0k =，或4.3k = ………………… 12分所以直线l 的方程是2y =或42.33y x =− ……………… 13分18．（本题13分）解：（Ⅰ）“所以直线AE 的方程为()00211y y x x +−=”处出错. ……………… 3分（Ⅱ）因为点A ，B 为椭圆2214x y +=的上、下顶点，所以()0,1A ，()0,1B −.设()()000,0M x y x ≠，所以()00,N y ，00,2x E y ⎛⎫⎪⎝⎭．因为()0,1A ，所以直线AE 的方程为()00211y y x x −−=． ……………… 4分令1y =−，得01x x y =−，所以00,11x C y ⎛⎫− ⎪−⎝⎭．因为()0,1B −，G 为线段BC 的中点，所以()00,121x G y ⎛⎫−⎪ ⎪−⎝⎭． ……………… 6分所以00,2x OE y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0000,1221x x GE y y ⎛⎫=−+ ⎪ ⎪−⎝⎭． ……………… 8分因为点M 是椭圆上的一点，所以220014x y +=，即220044x y =−．所以()()00000012221x x x OE GE y y y ⎛⎫⋅=−++ ⎪ ⎪−⎝⎭()22200000441x x y y y =−++− ()200044141y y y −=−+−0011=0.y y =−−+ ……………… 12分所以OE GE ⊥．所以90OEG ∠=︒．所以EOG ∠的大小是90.︒ ……………… 13分 19．（本题14分）（Ⅰ）证明：连接1AD ，1A D 交于点O ，连接FO ，所以点O 是1A D 的中点. 又因为F 是1AC 的中点，所以OF CD ∥，12OF CD =. 因为AE CD ∥，12AE CD =，所以OF AE ∥，OF AE =. 所以四边形AEFO 是平行四边形. 所以EF AO ∥.因为EF ⊄平面11ADD A ，AO ⊂平面11ADD A ，所以EF ∥平面11ADD A . ……………… 4分（Ⅱ）解：以点A 为坐标原点，直线AB ，AD ，1AA 为分别x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， …………… 5分因为点E ，F 分别是AB ，1AC 的中点，12AD AA ==，AB =所以)B，()0,2,0D，2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 所以22,02DE ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1,1EF =.设平面EFD 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n DE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00即,.x y y z −=⎪⎨⎪+=⎩2020 令1y =，则1z =−，x = 所以()22,1,1n =−. ………………… 7分由题知，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，所以cos ,10n m ==−又因为二面角F DE C −−为锐角，所以二面角F DE C−−的余弦值是10……………… 9分（Ⅲ）解：假设在线段11A D 上存在一点M ，使得BM ⊥平面EFD . 设点M 的坐标为()0,,2t. 所以(),2BM t =−. 因为平面EFD 的一个法向量为()22,1,1n =−，所以BM 与n 不平行.所以在线段11A D 上不存在点M ，使得BM ⊥平面EFD . ……………… 14分 20．（本题14分）（Ⅰ）解：因为椭圆的焦点是1F ，2F ，且122F F =，所以 1.c =因为离心率为2，所以a = 所以 1.b =所以椭圆的方程是22 1.2x y += ………………… 3分（Ⅱ）（i ）解：由（Ⅰ）知()21,0F ，高二数学期末考试第11页（共4页）当直线l的斜率不存在时，1,2A ⎛⎝⎭，1,2B ⎛− ⎝⎭，所以221.2AF BF ⋅= ………………… 4分当直线l 的斜率存在时，设为k ，所以直线l 的方程可设为(1)y k x =−．联立方程组()221,21,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩消去y ，整理得()2222124220.k x k x k +−+−= 所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k−⋅=+ ………………… 5分所以2AF =11=−，2BF =21=−. 所以()()222121211AF BF k x x x x ⋅=+⋅−++ ()22222224111212k k k k k −=+−+++ 22112k k +=+ ………………… 7分 2111.212k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭当20k =时，22AF BF ⋅取最大值为1.所以22AF BF ⋅的取值范围是1,1.2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 因为当直线l 的斜率不存在时，2212AF BF ⋅=，所以22AF BF ⋅的最小值是1.2………………… 9分（ii ）证明：因为点Q 在直线l 上，所以设点Q 的坐标是()(),1m k m −. 因为22QA F A QB F B=，所以点Q 一定在BA 的延长线上.高二数学期末考试第12页（共4页）所以11221.1m x x m x x −−=−− ……………… 12分所以()()12121220.m x x x x m ++−⋅−=所以()()22222224120.1212k k m m k k−+−−=++ 所以 2.m = ……………… 13分所以点Q 的坐标是()2,.k所以点Q 在定直线2x =上.……………… 14分。

北京市通州区2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析

北京市通州区2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．数列{}n a 满足3OA OB ⋅=-u u u v u u u v2,()n n N ≥∈是数列{}n a 为等比数列的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】分析：由反例得充分性不成立，再根据等比数列性质证必要性成立.详解：因为0n a =满足211n n n a a a -+=，所以充分性不成立若数列{}n a 为等比数列，则11n n n na aa a +-=211 n n n a a a -+=，，即必要性成立. 选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．2．设函数21223,0()1log ,0x x f x x x -⎧+≤=⎨->⎩，若()4f a =，则实数a 的值为（）A ．12B ．18C ．12或18D ．116【答案】B 【解析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.详解：因为()4f a =，所以2121log 423400a a a a 或--=⎧+=⎧⎨⎨>≤⎩⎩所以11182800a a a a a ⎧⎧==⎪⎪∴=⎨⎨⎪⎪≤>⎩⎩或选B.点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()()20222x x x x f x x x e⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有 6个零点，则实数m 的取值范围是（） A ．311,4e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．311,00,4e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．31,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦D ．31,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点等价于当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，即可即m=f （x ）有3个不同的解，求出在每一段上的f （x ）的值域，即可求出m 的范围．【详解】函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点，则当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，令F （x ）=f （x ）﹣m=0，即m=f （x ），①当0<x ＜2时，f （x ）=x ﹣x 2=﹣（x ﹣12）2+14，当x=12时有最大值，即为f （12）=14，且f （x ）＞f （2）=2﹣4=﹣2，故f （x ）在[0，2）上的值域为（﹣2，14]， ②当x ≥2时，f （x ）=2x xe-＜0，且当x→+∞，f （x ）→0， ∵f′（x ）=3x x e -，令f′（x ）=3x x e-=0，解得x=3，当2≤x ＜3时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ≥3时，f′（x ）≥0，f （x ）单调递增， ∴f （x ）min =f （3）=﹣31e ，故f （x ）在[2，+∞）上的值域为[﹣31e ，0）， ∵﹣31e＞﹣2，∴当﹣31e ＜m ＜0时，当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，故当﹣31e＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点，当x=0时,函数有5个零点．故选D. 【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的零点问题常用的有方程法、图像法和方程+图像法.本题利用的就是方程+图像法.4．已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-【答案】B 【解析】【分析】由题意首先求得sin α的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合诱导公式可得：4sin cos 25παα⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C 【答案】C 【解析】【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 6．对任意的n *∈N ，不等式1(1)()1nan e nn +≤+（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为（） A ．ln21- B ．11ln 2- C ．ln31-D ．11ln 3- 【答案】B 【解析】【分析】问题首先转化为+11n ae n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭恒成立，取自然对数只需1()ln 11n a n ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭恒成立，分离参数只需11ln(1)a nn≤-+恒成立，构造(]11(),0,1ln(1)m x x x x=-∈+，只要求得()m x 的最小值即可。

北京市通州区2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析

北京市通州区2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数12sin()24y x π=+的周期，振幅，初相分别是（）A ．,2,44ππB ．4,2,4ππ--C ．4,2,4ππD ．2,2,4ππ2．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（）A ．B ．C ．D ．3．下列说法中正确的是（） ①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度； ④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好. A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，CA ⊥平面PAB ，23PA PB AB ===4AC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（） A ．24πB ．32πC ．48πD ．64π5．若,a b ∈R ，则复数22(610)(45)a a b b i -++-+-在复平面上对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样D ．系统抽样7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为（） A ．22B ．2C ．322D ．228．在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（） A ．233197C C 种B ．()5142003197C C C -种 C ．233198C C 种D ．()233231973197C C C C +种9．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1APD ∠的取值范围是（0，2π] C ．11B D PC -三棱锥的体积为定值 D ．11DC D P ⊥10．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.611．若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设2(5,2)N ξ~，则(37)P ξ<≤=__________．14．已知π⎰cos 6x dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的系数为__________． 15．已知函数()42423,0,3,0,x x ax x f x x x ax x ⎧-->=⎨-+<⎩有四个零点，则实数a 的取值范围是__________． 16．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P AB λ=.（1）证明：PN AM ⊥.（2）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值. （3）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为4π，试确定P 点的位置. 18．已知函数()()263ln f x ax a x x =-++，其中a R ∈. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，若函数()f x 在区间[]1,3e 上的最小值为6-，求a 的取值范围.19．（6分）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，12AB AA ==，1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面11ACC A ；（Ⅱ）求二面角M AN B--的余弦值.20．（6分）“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有,,A B C三种品牌的店，其中A品牌店50家，B品牌店30家，C品牌店20家.（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这100家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有20家，则,B C品牌的店各应抽取多少家？（Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的4个白球和6个红球.顾客可以一次性从盒中抽取3个球，若是3个红球则打六折（按原价的60%付费），2个红球1个白球打八折，1个红球2个白球则打九折，3个白球则打九六折.小张在该店点了价值100元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用为X，求X的分布列与数学期望.x(年)和维修费用y(万元),有以下的统计数据:x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆy bx a=+；（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中1122211()()()ˆˆˆn ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nxa y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，其中11niix xn==∑，11niiy yn==∑）．22．（8分）设1()ln+,() 4.af x xg x axx-==-（I）若()f x的极小值为1，求实数a的值；（II）当1a=时，记()()()h x f x g x=⋅，是否存在整数．．λ，使得关于x的不等式2()h xλ≥有解？若存在求出λ的最小值，若不存在，说明理由.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】【分析】利用2πT ω=求得周期，直接得出振幅为2，在1π24x +中令0x =求得初相. 【详解】依题意，2π4π12T ==，函数的振幅为2，在1π24x +中令0x =求得初相为π4.故选C.【点睛】本小题主要考查()sin A x ωϕ+中,,A ωϕ所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中A 表示的是振幅，ω是用来求周期的，即2πT ω=，要注意分母是含有绝对值的.x ωϕ+称为相位，其中ϕ称为初相.还需要知道的量是频率1f T=，也即是频率是周期的倒数. 2．C 【解析】分析：将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得. 详解：由图共有4种等可能结果，其中将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，则所组成的图形能围成正方体的概率是.故选：C.点睛：本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图. 3．D 【解析】【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可【详解】①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越强，故错误 ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心()x y ，，故正确③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度，故正确 ④相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，故错误综上，说法正确的是②③ 故选D 【点睛】本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题 4．B 【解析】【分析】如图，由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 内的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，则有()22743h h +=+-，可得球的半径，即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 中的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，23AB =，4AC =，23PA PB AB ===又平面PAB ⊥平面ABC ，PF AB ⊥，则PF ⊥平面ABC ，BC 27∴=P 到平面ABC 的距离为3，∴()22743h h +=+-，解得：1h =，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径1722R =+=，故可得外接球的表面积为2432R ππ=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了棱锥的外接球的表面积的求解，考查了学生直观想象和运算求解能力，确定三棱锥P ABC -的外接球的半径是关键.5．D 【解析】分析：利用二次函数的性质可判定复数的实部大于零，虚部小于零，从而可得结果. 详解：因为2610a a -+=()23110a -+≥>，245b b -+-=()21210b ---≤-<，所以复数()()2261045a a b b i -++-+-在复平面上对应的点在第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 6．C 【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C. 考点：分层抽样． 7．C 【解析】【分析】【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，由3AF =得1(2,(,2A B 或1(2,(2A B -所以12AOB A B S OF y y ∆=⨯⨯-1122=⨯⨯=C ．考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系． 8．D 【解析】分析：据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．详解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况， “有2件次品”的抽取方法有C 32C 1973种， “有3件次品”的抽取方法有C 33C 1972种，则共有C 32C 1973+C 33C 1972种不同的抽取方法，故选：D ．点睛：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情况的分类讨论． 9．B 【解析】【分析】根据线面位置关系进行判断．【详解】∵11D A ⊥平面1AA P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，A 正确；若P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，可证此时1D PA ∠为钝角，B 错；由于1//BP CD ，则//BP 平面11B D C ，因此11P B D C -的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C 正确；1D P 在平面11CC D D 上的射影是直线1D C ，而11⊥D C DC ，因此11DC D P ⊥，D 正确．故选B ．【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题． 10．B 【解析】区间[22,31)内的数据共有4个，总的数据共有11个，所以频率为1．4,故选B ． 11．C 【解析】试题分析：()21cos 2cos 03f x x a x =-+'对x R ∈恒成立，故()2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立，即245033t at -++对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()1103{1103f a f a -=-=+，解得1133a -．故选C ．【考点】三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性. 12．B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=1．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0.6826 【解析】由正态分布中三个特殊区间上的概率知()0.6826P X μσμσ-<≤+=， ∴(37)(5252)0.6826P X P X <≤=-<≤+=．答案：0.6826 14．【解析】分析：由微积分基本定理求出a ，再写出二项展开式的通项1r T +，令x 的指数为1，求得r ，从而求得x 的系数．详解：02cos()2sin()2066a x dx x ππππ=+=+=-⎰，二项式252()x x-展开式通项为251031552()()(2)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031r -=，则3r =．∴x 的系数为335(2)C 80-=-．故答案为－1．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 15．()2,0- 【解析】【分析】由题意可知()f x 是偶函数，根据对称性问题转化为直线y a =与曲线()330y x x x =->有两个交点.【详解】因为()f x 是偶函数，根据对称性，4230x x ax --=在()0,∞+上有两个不同的实根，即33a x x =-在()0,∞+上有两个不同的实根，等价转化为直线y a =与曲线()330y x x x =->有两个交点，而()()2'33311y x x x =-=+-，则当01x <<时，'0y <，当1x >时，'0y >，所以函数33y x x =-在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，于是min 102,0x x y yy ====-=，故()2,0.a ∈-故答案为：()2,0- 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16．[)9,+∞ 【解析】【分析】利用基本不等式将3ab a b =++变形为3ab ≥即可求得ab 的取值范围. 【详解】∵0a >，0b >，∴33ab a b =++≥，即30ab -≥3，即9ab ≥，当且仅当3a b ==时，等号成立. 故答案为：[)9,+∞. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求代数式的取值范围问题，属常规考题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断 0PN AM ⋅=，即PN AM ⊥；（2）设出平面ABC 的一个法向量，我们易表达出sin θ，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正线值；（3）平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为4π，则平面PMN 与平面ABC 法向量的夹角余弦值的绝对值为2，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，解方程即可求出对应λ值，进而确定出满足条件的点P 的位置．【详解】（1）证明：如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -．则()01P λ，，，11022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1012M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，从而11,1 22PNλ⎛⎫=--⎪⎝⎭，，1012AM⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，1110110222PN AMλ⎛⎫⋅=-⨯+⨯-⨯=⎪⎝⎭，所以PN AM⊥．（2）平面ABC的一个法向量为()001n=，，，则2sin sin cos21524PN nPN n PN nPN nπθλ⋅⎛⎫=-===⎪⋅⎝⎭⎛⎫-+⎪⎝⎭，，．而[0]2πθ∈，，当θ最大时，sinθ最大，tanθ无意义，2πθ=除外，由（※）式，当12λ=时，()max25sinθ=()maxtan2θ=．（3）平面ABC的一个法向量为()1001n AA==，，．设平面PMN的一个法向量为(),,x y zm=，由（1）得112MPλ⎛⎫=-⎪⎝⎭，，．由m NPm MP⎧⋅=⎨⋅=⎩得11()02212x y zx y zλλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得()213213y xz xλλ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，令3x=，得()()32121mλλ=+-，，，∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为4π，∴()()()22212cos292141m nm nm nλλλ-⋅===⋅+++-＜，＞，解得12λ=-．故点P 在11B A 的延长线上，且112A P =．【点睛】本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键． 18． (1)240x y ++=；(1) [3，+∞）. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出a 的范围即可．【详解】（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 1﹣7x+3lnx （x ＞2）， ∴()3'27f x x x=-+，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣1． ∴切线方程为y+6＝﹣1（x ﹣1），即1x+y+4＝2．（1）函数f （x ）＝ax 1﹣（a+6）x+3lnx 的定义域为（2，+∞），当a ＞2时，()()()()()22632133'26ax a x x ax f x ax a x x x-++--=-++==，令f'（x ）＝2得12x =或3x a=， ①当301a≤＜，即a≥3时，f （x ）在[1，3e]上递增， ∴f（x ）在[1，3e]上的最小值为f （1）＝﹣6，符合题意；②当313e a ＜＜，即13a e ＜＜时，f （x ）在31a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，在33e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递增， ∴f（x ）在[1，3e]上的最小值为()316f f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，不合题意； ③当33e a ≥，即10a e≤＜时，f （x ）在[1，3e]上递减， ∴f（x ）在[1，3e]上的最小值为f （3e ）＜f （1）＝﹣6，不合题意．综上，a 的取值范围是[3，+∞）．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．19． (1)见解析;(2)21.分析：解法一：依题意可知1,,AB AC AA 两两垂直，以A 点为原点建立空间直角坐标系A xyz -，（1）利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可证得线面平面；（2）求出两个平面的法向量，利用两个向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值. 解法二：利用空间几何体的点线面位置关系的判定定理和二面角的定义求解：（1）设AC 的中点为D ，连接1,DN A D ，证明四边形1A DNM 为平行四边形，得出线线平行，利用线面平行的判定定理即可证得线面平面；（2）以及二面角的平面角，在直角三角形中求出其平面角的余弦值，即可得到二面角的余弦值. 详解：解法一：依条件可知AB 、AC 、1AA 两两垂直，如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -.根据条件容易求出如下各点坐标：()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,0,0C -，()10,0,2A ，()10,2,2B ，()11,0,2C -，()0,1,2M ，1,1,02N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）证明：∵1,0,22MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0,2,0AB =，是平面11ACC A 的一个法向量，且10022002MN AB ⋅=-⨯+⨯-⨯=，所以MN AB ⊥.又∵MN ⊄平面11ACC A ，∴//MN 平面11ACC A ；（Ⅱ）设(),,n x y z =是平面AMN 的法向量，因为()0,1,2AM =，1,1,02AN ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由00AM n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得020102y z x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 解得平面AMN 的一个法向量()4,2,1n =-，由已知，平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，21cos ,2121m n m n n m ⋅===-⨯， ∴二面角M AN B --的余弦值是21.（Ⅰ）证明：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ， ∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴1//2DN AB ，又∵11112A M AB =，11//A B AB ， ∴1//A M DN ，∴四边形1A DNM 是平行四边形，∴1//A D MN ，∵1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， ∴//MN 平面11ACC A ；（Ⅱ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ，∴1//MH BB ，∵1BB ⊥底面ABC ，∵1BB AC ⊥，1BB AB ⊥，∴MH AC ⊥，AH AB ⊥， ∴AB AC A ⋂=，∴MH ⊥底面ABC ，在平面ABC 内，过点H 做HG AN ⊥，垂足为G ，连接MG ，AN HG ⊥，AN MH ⊥，HG MH H ⋂=， ∴AN ⊥平面MHG ，则AN MG ⊥， ∴MGH ∠是二面角M AN B --的平面角， ∵12MH BB ==，由AGH BAC ∆~∆，得HG =所以MG ==cos HG MGH MG ∠==，∴二面角M AN B --的余弦值是21. 点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．（Ⅰ）B 品牌店6家，应抽查C 品牌店4家；（Ⅱ）分布列见解析，()80.2E X = 【解析】【分析】（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；（2）求出随机变量X 的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解. 【详解】（Ⅰ）由题意得，应抽查B 品牌店30206100⨯=家，应抽查C 品牌店20204100⨯=家；（Ⅱ）离散型随机变量X 的可能取值为60,80,90,96.于是()0346310201601206C C P X C ====，()12463104151801202C C P X C ⨯====， ()21463106639012010C C P X C ⨯====，()3046310419612030C C P X C ====.X 的分布列如下所以()11316080909680.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.21． (1)详见解析;(2) ˆ0.70.35yx =+;(3) 当10x =时，ˆ7.35y =万元. 【解析】（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算4i 1x ii y =∑，42i1xi =∑，再借助()()()1122211ˆˆˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx ====⎧---⎪==⎪--⎨⎪=-⎪⎩∑∑∑∑计算出ˆ,b a ，求出回归方程；（3）依据线性回归方程0.70.5ˆ3yx =+求出当10x =时，ˆy 的值：【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证1n =时成立，再假设当()*n k k N =∈时，不等式成立，分析推证1n k =+时也成立：(1)(2)4i 1x 66.5ii y==∑； ¯ 4.5,= ¯ 3.5=422222i1x345686i ==+++=∑0.7,0.5ˆ3ba == 所求的线性回归方程：0.70.5ˆ3yx =+ (3)当10x =时，ˆ7.35y=万元 22．（I ）2a =；（II ）min =0λ 【解析】【分析】（I ）求出()f x 的定义域以及导数，讨论a 的范围，求出单调区间，再结合()f x 的极小值为1，即可求得实数a 的值；（II ）求出()h x 的定义域以及导数，利用导数研究()h x 最小值的范围，即可求出λ。

北京市通州区2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析

北京市通州区2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x '是偶函数()f x （x ∈R 且0x ≠）的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使不等式()0f x <成立的x 的取值范围是（） A ．(,2)(0,2)-∞- B ．(2,0)(0,2)- C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，利用导数得到，()g x 在(0,)+∞是增函数，再根据()f x 为偶函数，根据(2)0f -=，解得()0f x <的解集．【详解】解：令()()f x g x x=， 2()()()xf x f x g x x '-∴'=，0x 时，()()0xf x f x '-<，0x ∴>时，()0g x '<，()g x ∴在(0,)+∞上是减函数，()f x 是偶函数(2)(2)0f f -==∴ g ∴（2）(2)02f ==，当02x <<，()g x g >（2）0=，即()0f x >，当2x >时，()g x g <（2）0=，即()0f x <，()f x 是偶函数， ∴当2x <-，()0f x <，故不等式()0f x <的解集是(,2)(2,)-∞-+∞，故选：D ．【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决，属于中档题．2．在某次体检中，学号为i （1,2,3,4i =）的四位同学的体重()f i 是集合{45,48,52,57,60}kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤，则这四位同学的体重所有可能的情况有（） A ．55种 B ．60种 C ．65种 D ．70种【答案】D 【解析】【分析】根据(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可. 【详解】解：当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中全部取等号时，情况有155C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有两个取等号，一个不取等号时，情况有215330C C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有一个取等号，两个不取等号时，情况有315330C C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中都不取等号时，情况有455C =种；共560+60+5=70+种. 故选：D . 【点睛】本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.3．一位母亲根据儿子 39-岁身高的数据建立了身高()y cm 与年龄x (岁)的回归模型7.1973.93y x =+，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（） A ．身高在145.83cm 左右 B ．身高一定是145.83cm C ．身高在145.83cm 以上 D ．身高在145.83cm 以下【答案】A 【解析】【分析】由线性回归方程的意义得解. 【详解】将10x =代入线性回归方程求得()7.191073.145.9383,cm y =⨯+= 由线性回归方程的意义可知145.83cm 是预测值，故选A ．【点睛】本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.4．将红、黑、蓝、黄个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是，把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有种结果，而红球和蓝球恰好放在同一个盒子里有=6种结果，∴编号为红球和蓝球不放到同一个盒子里的种数是-6=305．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（） A 2B 2C ．1D ．2【答案】B 【解析】【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为)3,sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为)3,sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l 的距离为2sin 43cos sin 4322d πθθθ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==42sin 2πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d 取最小值，且min 22d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.6．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A ．115B ．215C ．15D ．415【答案】B 【解析】【分析】先求得二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05一共6个数字中任选两个，和为4的概率，由此得出正确选项. 【详解】令1x =代入5(31)x -得5232=，即二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共15种，其中和为36324-=的有04,13共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为215，故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.7．将2名教师和6名学生平均分成2组，各组由1名教师和3名学生组成，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的安排方案有（） A ．40种 B ．60种 C ．80种 D ．120种【答案】A 【解析】【分析】根据甲、乙两地先安排老师，可知22A ，然后安排学生36C ，可得结果. 【详解】第一步，为甲、乙两地排教师，有22A 种排法；第二步，为甲、乙两地排学生，有36C 种排法，故不同的安排方案共有232640A C ⋅=种，故选：A 【点睛】本题考查排列分组的问题，一般来讲先分组后排列，审清题意细心计算，属基础题. 8．()()511x x -+展开式中2x 项的系数是 A ．4 B ．5 C ．8 D ．12【答案】B 【解析】【分析】把（1+x ）5 按照二项式定理展开，可得（1﹣x ）（1+x ）5展开式中x 2项的系数．【详解】（1﹣x ）（1+x ）5=（1﹣x ）（1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5），其中可以出现的有1*10x 2 和﹣x*5x ，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x 2项的系数是10﹣5=5，故选B ．【点睛】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．9．已知函数()f x 在区间[)0+∞，上是增函数，且()()g x f x =-.若()()lg 1g x g >，则x 的取值范围是（）A ．[)110， B ．110⎛⎫+∞⎪⎝⎭， C ．11010⎛⎫⎪⎝⎭， D ．()111010⎛⎤⋃+∞⎥⎝⎦，，【答案】C 【解析】【分析】由()()g x fx =-，得到()g x 为偶函数，再由()f x 是[)0,+∞上的增函数，得到()g x 是[)0,+∞上的减函数，根据()()lg 1g x g >，转化为()()lg 1g x g >，即可求解. 【详解】由题意，因为()()()g x fx g x -=-=，所以()g x 为偶函数，又因为()f x 是[)0,+∞上的增函数，所以()g x 是[)0,+∞上的减函数，又因为()()lg 1g x g >，所以()()lg 1g x g >，所以lg 1x <，解得11010x <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对称区间上的函数的单调性的应用，同时解答中涉及到对数函数的图象与性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．定义在()0,∞+上的函数()f x ，若对于任意x 都有()()()2f x f x xf x ''+>-且()10f =则不等式()()20xf x f x +>的解集是（）A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】D 【解析】【分析】令()()()2g x xf x f x =+,求导后根据题意知道()g x 在()0,∞+上单调递增，再求出(1)0g =，即可找到不等式()()20xf x f x +>的解集。

2019-2020学年北京市通州区数学高二(下)期末检测试题含解析

2019-2020学年北京市通州区数学高二(下)期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．函数()212()log 295f x x x =+-的单调递增区间为（） A ．1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．(,5)-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞【答案】B【解析】【分析】先求出()212()log 295f x x x =+-的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可. 【详解】令22950x x +->,得f (x )的定义域为1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭,根据复合函数的单调性规律,即求函数2295t x x =+-在1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭上的减区间,根据二次函数的图象可知(,5)-∞-为函数2295t x x =+-的减区间.故选：B【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.2．定积分103d x x ⎰的值为( )A ．3B ．1C ．32D ．12【答案】C【解析】【分析】运用定积分运算公式，进行求解计算.【详解】1201333022xdx x ==⎰，故本题选C. 【点睛】本题考查了定积分的运算，属于基础题.3．已知函数2()ln f x x ax x =-+在区间(0,2)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（） A ．922,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．922,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．()22,8 D ．)22,8⎡⎣ 【答案】A【解析】分析：先求导得到221()x ax f x x '-+=，转化为方程2()210g x x ax =-+=在（0,2）内有两个相异的实数根，再利用根的分布来解答得解.详解：由题得2121()2x ax f x x a x x='-+=-+，原命题等价于方程2()210g x x ax =-+=在（0,2）内有两个相异的实数根，所以20249802220=10(1)8210a a a g g a ⎧<<⎪⎪⎪∆=->∴<<⎨⎪>⎪=-+>⎪⎩（）.故答案为：A. 点睛：（1）本题主要考查导数的应用，考查导数探究函数的极值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题有两个关键，其一是转化为方程2()210g x x ax =-+=在（0,2）内有两个相异的实数根，其二是能准确找到方程2()210g x x ax =-+=在（0,2）内有两个相异的实数根的等价不等式组,它涉及到二次方程的根的分布问题.4．如图，某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ．72B ．73C ．76D ．7【答案】C【解析】【分析】根据三视图知几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台，计算体积得到答案.【详解】根据三视图知：几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为1的三棱台，故111117111221122322226V ⎛=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝.故选：C .【点睛】本题考查了三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5．函数y =的定义域为（） A ．(],2-∞ B ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C ．11,,222⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦U D ．(],1-∞【答案】B【解析】【分析】利用二次根式的性质和分式的分母不为零求出函数的定义域即可.【详解】由题意知，2202320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，解得2x <且12x ≠-，所以原函数的定义域为11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：B【点睛】本题考查函数定义域的求解；考查二次根式的性质和分式的分母不为零；考查运算求解能力；属于基础题. 6．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B【解析】【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=，故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B .【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.7．已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,0-B ．()1,-+∞C ．()2,0-D ．()2,1--【答案】A【解析】【分析】先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数()22x x g x x lnx-=-，对函数求导，利用导数方法判断函数()g x 单调性，再结合图像，即可求出结果.【详解】由()220alnx x a x +-+=得22x x a x lnx -=-，令()22x x g x x lnx-=-，则()()()()2122x x lnx g x x lnx -+--'=，设()22h x x lnx =+-，则()21h x x '=-，由()0h x '>得2x >；由()0h x '<得02x <<，所以()h x 在()02，上单调递减，在()2，∞+上单调递增；因此()()24220min h x h ln ==->，所以220x lnx +->在()0∞+，上恒成立；所以，由()0g x '>得1x >；由()0g x '<得01x <<；因此，()g x 在()01，上单调递减，在()1∞+，上单调递增；所以()()11min g x g ==-；又当()01x ∈，时，220x x -<，()220x x g x x lnx -=<-，作出函数()g x 图像如下：因为函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，所以y a =与()22x x g x x lnx-=-有两不同交点，由图像可得：实数a 的取值范围是10a -<<.故选A【点睛】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.8．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹. 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如 8455 用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意直接判断即可.【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有D 符合，故选D.【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型.9．若a v ，b v 均为单位向量，且(2)a a b ⊥-v v v ，则a v 与b v 的夹角大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】C【解析】分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得a b ⋅r r，再由数量积的定义可求得夹角．详解：∵()2a a b ⊥-v v v ，∴2(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r ，∴12a b ⋅=r r ， ∴1cos ,2a b a b a b ⋅<>==r r r r r r ，∴,3a b π<>=r r ．故选C ．点睛：平面向量数量积的定义：cos ,a b a b a b ⋅=<>r r r r r r ，由此有cos ,a b a b a b⋅<>=r r r r r r ，根据定义有性质：0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．10．二项式()()1n x n N *+∈的展开式中2x 项的系数为15，则n =（） A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理． 11．已知定义在R 上的函数(1)y f x =+的图象关于1x =-对称，且当0x >时，()f x 单调递增，若1.350.5(log 3),(0.5),(0.6)a f b f c f -===，则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】分析：由题意可得函数()f x 为偶函数，再根据函数的单调性，以及指数函数和对数函数的性质比较即可得到结果详解：Q 定义在R 上的函数()1y f x =+的图象关于1x =-对称， ∴函数()f x 的图象关于y 轴对称即函数()f x 为偶函数0.523log 3log =-Q()()0.523log 3f log f ∴=21log 32<<Q ， 1.3 1.30.522-=>，500.61<<当0x >时，()f x 单调递增b ac ∴>>故选D点睛：本题利用函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小，根据单调性的概念，只要判定输入值的大小即可判断函数值的大小。

2019-2020学年北京市通州区数学高二下期末检测试题含解析

2019-2020学年北京市通州区数学高二下期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（）A ．3B ．9C ．18D ．27 【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d +=∴53a = ∴1999()272a a S ⨯+== 故选D.2．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( ) A ．恰有1件一等品B ．至少有一件一等品C ．至多有一件一等品D ．都不是一等品【答案】C【解析】【分析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－＝.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．31cm 2B ．31cm 3 C ．31cm 6 D ．31cm 12【答案】C【解析】分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1，高为1的三角形，三棱锥的高为1，根据三棱锥的体积公式得到结果.详解：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1cm ，高为1cm 的三角形，面积2111122S cm =⨯⨯=，三棱锥的高是1cm ，所以31111326V cm =⨯⨯= 故选C.点睛：当已知三视图去还原成几何体直观图时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性． 4．直线4x 1t 5(t 3y 1t 5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρ2cos θ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15 B ．710 C ．75 D ．57【答案】C【解析】【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：222l r d =-即可求出弦长l ．详解：直线415(t 315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρ2cos θ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，，化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝，∴圆心112()222C r -，，＝．圆心C 到直线距离22113411221034d ⨯-⨯+==+ ， ∴直线被圆所截的弦长22725l r d =-＝．故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：222l r d =- 是解题的关键．5．已知函数()f x 的导函数为2()2f x ax ax '=-，若0a <，则函数()f x 的图像可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义和0a <，确定函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，即可得出结论．【详解】函数()f x 的导函数为()222f x ax ax ax x '=-=-（），0a <，∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，故选：D ．【点睛】本题考查函数的图象与其导函数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（）A ．{2,3,4,5}B ．{1,2,3,4,5,6}C ．{1,2,3,4,5}D ．{2,3,4,5,6}【答案】A【解析】由题意，循环依次为23135a a +≤⇒≤，2(23)3131a a ++>⇒>，所以可能取值的集合为{2,3,4,5}，故选A .7．已知函数2log ,0()22,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则()4f x ≥的解集为（）A ．(,1][2,)-∞-+∞B ．[1,0][2,)-+∞C ．(,1][16,)-∞-⋃+∞ D ．[1,0][16,)-⋃+∞【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的表达式，讨论当0x >和0x ≤时，不等式的解，从而得到答案。

(试题)2019-2020第一学期通州区高二数学期末试题

北京市通州区2019-2020学年新高考高二数学下学期期末检测试题

基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（） A ．18种 B ．24种C ．30种D ．36种 2．设随机变量，若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．3．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（）A ．22B ．16C ．15D ．114．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x -=，(2)(2)f x f x -=+，当[0,2]x ∈时2()2log (3)f x x =+，则(923)f =（）A ．22log 3B ．3C ．22log 5D ．45．若0,10,a b <-<<则有（） A ．2a ab ab >> B ．2a ab ab << C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >>6．已知()()31303f x x xf '=+，则()1f '的值为（） A ．1- B ．1C ．2D ．37．()512x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（） A ．70B ．80C ．90D ．608．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +>，()02020f =，则不等式()22018x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0,∞+B ．()2018,+∞C ．()2020,+∞D ．()(),02018,-∞+∞9．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x ，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x 等于（） A ．21B ．22C ．23D ．2410．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若30FP FQ +=,则OPQ ∆的面积为( )A ．23B ．3C ．43D ．2311．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏12．已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设为取得红球的次数，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题 13．已知函数22,()3,x ax a f x x ax x a+<⎧=⎨-+⎩，存在唯一的负数零点，则实数a 的取值范围是________. 14．一只蚂蚁位于数轴0x =处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x =1处的概率为________. 15．在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得222sin 1sin 2sin 89+++=________．16．若直线l ：2ax by 20(a 0,b 0)-+=>>与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，被圆22x y 2x 4y 10++-+=截得的弦长为4，则OA OB (O +为坐标原点)的最小值为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年北京市通州区新高考高二数学下学期期末检测试题

基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为1l 和2l ．已知两个人在试验中发现对变x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都为t ，那么下列说法正确的（） A ．1l 与2l 相交于点（s ，t ）B ．1l 与2l 相交，交点不一定是（s ，t ）C ．1l 与2l 必关于点（s ，t ）对称D ．1l 与2l 必定重合 2．用数学归纳法证明()*1111N ,12321n n n n ++++<∈>-时，第一步应验证不等式（） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 3．如图，已知函数()f x 的图象关于坐标原点对称，则函数()f x 的解析式可能是（）A ．2()ln f x x x =B ．()=ln f x x xC ．ln ()xf x x=D ．()xef x x=4．)323012331x a a x a x a x -=+++，则()()220213a a a a +-+的值为（）A ．2B ．-2C ．8D ．-85．两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中的概率()0.8P A =，乙射中的概率()0.9P B =，则目标被击中的概率为（） A ．1.7B ．1C ．0.72D ．0.986．设()ln f x x x =，若()3f a '=，则a =（） A ．eB ．ln 2C ．2eD ．ln 227．椭圆22145x y +=的焦点坐标是（）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±8．已知i 为虚数单位，15zi i =+，则复数z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i9．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，160DAA ∠=︒，则1AC =（）A ．1B ．2C ．3D ．210．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：C ）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．最低气温低于0C 的月份有4个B ．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温C ．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份D ．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关11．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题，那么（） A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题 D ．p 是假命题且q 是假命题12．已知复数32iz i-=+的共扼复数在复平面内对应的点为(),x y ，则（） A ．32x y -=B ．32x y -=C ．32x y +=D ．32x y +=二、填空题：本题共4小题13．已知圆：222x y r +=的面积为2r π，类似的，椭圆：()222210x y a b a b+=>>的面积为__．14．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．15．若A ，B 分别是椭圆E ：221(1)x y m m+=>短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，若直线AP 与直线的BP 斜率之积为4m-，则m =__________． 16．已知直线l 与椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>相切于第一象限的点00(,)P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，1260F PF ︒∠=(1F 、2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在12PF F △中，12F PF ∠的平分线的长度为a m，则实数m 的值是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020第一学期通州区高二数学期末试题

通州区2019—2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷2020年1月考生须知：本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，共4页满分150分，考试时间120分钟．第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．双曲线2214x y -=的离心率是A ．2B ．5C ．2D ． 2．已知椭圆C 的两个焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，点P 为椭圆C 上一点，且1210PF PF +=，那么椭圆C 的短轴长是A ．6B ．7C ．8D ．94．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，那么8a 等于A ．16-B ．12-C ．12D ．16 5．已知点A 的坐标是()1,0-，点M 满足2MA =，那么M 点的轨迹方程是A ． 22230x y x ++-=B ．22230x y x +--=C ．22230x y y ++-=D ．22230x y y +--= 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下表给出了n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于 A ．8116 B ．278C ．8116-或8116D ． 278-或2787．已知直线1y x =-交抛物线22y x =于A ，B 两点，点O 为坐标原点，那么OAB △的面积是 A．2 B ．2C D 8．如图1所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ， 2PA AB ==，点E ，F 分别为棱PD 的三等分点，点M 为直线PD 上的动点. 当直线PB 与直线CM 所成的角为30︒时，M 点在 A ．线段PE 上 B ．线段EF 上 C ．线段FD 上 D ．PD 的延长线上图1第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．当且仅当=x ______时，函数1(0)4y x x x=+>取得最小值. 10．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为2=-y ，那么该抛物线的标准方程是． 11．已知向量n ()2,4,2=--，m ()1,2,1=-分别是两个不同平面α，β的法向量，可得向量n 与m 的数量关系是，进而得到平面α与β的位置关系是． 12．写出满足下列条件的一个双曲线的方程：．①焦点在x 轴上，y 轴是对称轴；②一条渐近线的方程是()2y kx k =<-.13．如图2，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．湖的一侧有一条直线型公路l ，规划在公路l 上选一个点P ，并修建一段直线型道路PB ．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC ，BD ，测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长.图2某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整．14.“斐波那契数列”是数学史上的一个著名的数列. 在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =， 21n n n a a a ++=+()n *∈N . 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若99a λ=，99S μ=()λμ∈R ,，则100a = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明；证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q ()0q >的等比数列，且112a b ==，4525a a +=，334a b =．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设2n n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．16．（本题13分）已知双曲线2213y x -=，抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线的一个焦点相同，点()00,P x y 为抛物线上一点. （Ⅰ）求双曲线的焦点坐标；（Ⅱ）若P 点到抛物线的焦点的距离是5，求0x 的值．17．（本题13分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且过()0,0，()02,两点. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过点()2,2P ，且与圆C 相切，求直线l 的方程.18．（本题13分）已知椭圆2214x y +=的上、下顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过M 点作MN y ⊥轴于点N ，E 为线段MN 的中点，直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点，连接OE ，EG ，求OEG∠的大小.（Ⅰ）请指出上述解答过程中的错误之处（指出错误源头即可）；（Ⅱ）写出完整的正确的解答过程.19．（本题14分）如图5，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1A C 的中点，12AD AA ==，AB =．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11ADDA ；（Ⅱ）求二面角F DE C --的余弦值；（Ⅲ）在线段11A D 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面EFD ？图5 若存在，求出111A MA D 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本题14分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y （12x x ≥）两点. （i ）求22AF BF ⋅的最小值；（ii ）点Q 在直线l 上异于2F 的一点，且满足22QA F AQB F B=，求证：点Q 在一条定直线上.C 1D 1A 1B 1F EDC BA通州区2019-2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准2020年1月二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1210. 28x y = 11. 2n m =-，平行 12. 2219y x -=（答案不唯一）13. ①34，②43-，③43250x y ++=，④()13,9-，⑤15 14.1μλ-+三．解答题：本大题共6小题，共80分.15．（本题13分）解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是公差为d 的等差数列，12a =，4525a a +=，所以113425.a d a d +++=所以 3.d = …………………… 2分所以()2133 1.n a n n =+-⨯=- …………………… 4分所以38.a =因为334a b =，所以31.2b = 所以211.2b q =因为12b =，0q >，所以1.2q = …………………… 6分所以12112.22n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (8)分（Ⅱ）因为2n n c a =+，n S 是数列{}n c 的前n 项和，所以12n n S c c c =+++12222n a a a =++++++()()12222n a a a =+++++++()23122n n n +-=+235.22n n =+ …………………… 13分16．（本题13分）解：（Ⅰ）因为双曲线的方程为2213y x -=，所以21a =，2 3.b = …………………… 2分所以222 4.c a b =+= 所以 2.c =所以双曲线的焦点坐标为()2,0-，()2,0. …………………… 5分（Ⅱ）因为抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线的一个焦点相同，所以抛物线()220y px p =>的焦点是()2,0.所以 4.p = …………………… 9分因为点()00,P x y 为抛物线上一点，所以点()00,P x y 到抛物线的焦点的距离等于点()00,P x y 到抛物线的准线2x =-的距离. 因为P 点到抛物线的焦点的距离是5，所以02 5.x +=所以0 3.x = …………………… 13分17．（本题13分）解：（Ⅰ）因为圆C 的圆心在y 轴上，所以设圆C 的方程为()222.x y b r +-= …………………… 1分因为圆C 过()0,0，()02,两点，所以()22222.b r b r ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得11.b r =⎧⎨=⎩，所以圆C 的方程是()221 1.x y +-= …………………… 5分（Ⅱ）依题意，知直线l 的斜率存在. …………………… 6分因为直线l 经过点()2,2P ，所以设直线l 的方程为()22y k x -=-，即220.kx y k --+= …………………… 8分因为直线l 与圆C 相切，1.=解得0k =，或4.3k = (12)分所以直线l 的方程是2y =或42.33y x =- …………………… 13分18．（本题13分）解：（Ⅰ）“所以直线AE 的方程为()00211y y x x +-=”处出错. …………………… 3分（Ⅱ）因为点A ，B 为椭圆2214x y +=的上、下顶点，所以()0,1A ，()0,1B -.设()()000,0M x y x ≠，所以()00,N y ，00,2x E y ⎛⎫⎪⎝⎭．因为()0,1A ，所以直线AE 的方程为()00211y y x x --=． …………………… 4分令1y =-，得01x x y =-，所以00,11x C y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭．因为()0,1B -，G 为线段BC 的中点，所以()00,121x G y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭． …………………… 6分所以00,2x OE y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0000,1221x x GE y y ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭． …………………… 8分因为点M 是椭圆上的一点，所以220014x y +=，即220044x y =-．所以()()00000012221x x x OE GE y y y ⎛⎫⋅=-++ ⎪ ⎪-⎝⎭()22200000441x x y y y =-++- ()200044141y y y -=-+-0011=0.y y =--+ ……………………12分所以OE GE ⊥．所以90OEG ∠=︒．所以EOG ∠的大小是90.︒ …………………… 13分19．（本题14分）（Ⅰ）证明：连接1AD ，1A D 交于点O ，连接FO ，所以点O 是1A D 的中点. 又因为F 是1A C 的中点，所以OF CD ∥，12OF CD =. 因为AE CD ∥，12AE CD =，所以OF AE ∥，OF AE =. 所以四边形AEFO 是平行四边形. 所以EF AO ∥.因为EF ⊄平面11ADD A ，AO ⊂平面11ADD A ，所以EF ∥平面11ADD A . …………………… 4分（Ⅱ）解：以点A 为坐标原点，直线AB ，AD ，1AA 为分别x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， …………………… 5分因为点E ，F 分别是AB ，1A C 的中点，12AD AA ==，AB =，所以)B，()0,2,0D，2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 所以22,02DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1,1EF =.设平面EFD 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n DE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00 即,.x y y z -=⎪⎨⎪+=⎩2020令1y =，则1z =-，x = 所以()22,1,1n =-. …………………… 7分由题知，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，所以cos ,10n m ==-又因为二面角F DE C --为锐角，高二数学期末考试第11页（共4页）所以二面角F DE C --的余弦值是10…………………… 9分（Ⅲ）解：假设在线段11A D 上存在一点M ，使得BM ⊥平面EFD .设点M 的坐标为()0,,2t .所以(),2BM t =.因为平面EFD 的一个法向量为()22,1,1n =-，所以BM 与n 不平行.所以在线段11A D 上不存在点M ，使得BM ⊥平面EFD . …………………… 14分20．（本题14分）（Ⅰ）解：因为椭圆的焦点是1F ，2F ，且122F F =，所以 1.c =因为离心率为2，所以a = 所以 1.b = 所以椭圆的方程是22 1.2x y += …………………… 3分（Ⅱ）（i ）解：由（Ⅰ）知()21,0F ，当直线l 的斜率不存在时，2A ⎛ ⎝⎭，1,2B ⎛- ⎝⎭，所以221.2AF BF ⋅=…………………… 4分当直线l 的斜率存在时，设为k ，所以直线l 的方程可设为(1)y k x =-．联立方程组()221,21,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，整理得()2222124220.k x k x k +-+-=高二数学期末考试第12页（共4页）所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k -⋅=+ …………………… 5分所以2AF =11=-，2BF =21=-. 所以()()222121211AF BF k x x x x ⋅=+⋅-++ ()22222224111212k k k k k-=+-+++ 22112k k+=+ …………………… 7分2111.212k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭当20k =时，22AF BF ⋅取最大值为1.所以22AF BF ⋅的取值范围是1,1.2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 因为当直线l 的斜率不存在时，2212AF BF ⋅=，所以22AF BF ⋅的最小值是1.2 …………………… 9分（ii ）证明：因为点Q 在直线l 上，所以设点Q 的坐标是()(),1m k m -. 因为22QA F A QB F B=，所以点Q 一定在BA 的延长线上. 所以11221.1m x x m x x --=-- …………………… 12分所以()()12121220.m x x x x m ++-⋅-=高二数学期末考试第13页（共4页）所以()()22222224120.1212k k m m k k-+--=++ 所以 2.m = …………………… 13分所以点Q 的坐标是()2,.k所以点Q 在定直线2x =上. …………………… 14分。